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通州区初三年级模拟考试数学试卷2013年5月一、选择题（本题共32分，每小题4分）在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请将所选答案前的字母按规定要求填涂在答题纸第1-8题的相应位置上． 1．3-的倒数是 A ．3B ．3-C ．13-D ．132．在下列几何体中，主视图、左视图和俯视图形状都相同的是A B C D3．2012年，北京实现地区生产总值约17800亿元，比2011年增长百分之七点多.将17800用科学记数法表示应为 A ．17.8×103B ．1.78×105C ．0.178×105D ．1.78×1044．如图，A 、B 、C 是⊙O 上的三个点，∠ABC =32°，则∠AOC 的度数是 A ．32°B ．64°C ．16°D ．58°5．端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.妈妈买了2只红豆粽和3只咸肉粽，粽子除内部馅料不同外其它均相同．小颖任意吃一个，吃到红豆粽的概率是 A ．25 B ．12 C ．15 D ．236. 一个扇形的圆心角为90°，半径为2，则这个扇形的面积是 A ．6πB ．4πC ．2πD ．π7．某班开展以“提倡勤俭节约，反对铺张浪费”为主题教育活动. 为了解学生每天使用零花钱的情况，小明随机调查了10名同学，结果如下表：关于这10名同学每天使用的零花钱，下列说法正确的是 A ．平均数是2.5B ．中位数是3C ．众数是2D ．方差是48．如图，在直角坐标系xoy 中，已知()01A ，，)0B，以线段AB 为边向上作菱形ABCD ，且点D 在y 轴上.若菱形ABCD 以每秒2个单位长度的速度沿射线AB 滑行，直至顶点D 落在x 轴上时停止．设菱形落在x 轴下方部分的面积为S ，则表示S 与滑行时间的函数关系的图象为第8题图（1） 第8题图（2）二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．若分式2x x-的值为零，则x =． 10．分解因式：322x x x -+=．11．如图，AB ∥CD ，点E 在AB 上，且DC DE =，70AEC ∠=︒，则D ∠的度数是______.12．定义一种对正整数n 的“F 运算”：①当n 为奇数时，结果为31n +；②当n 为偶数时，结果为kn 2（其中k 是使得kn 2为奇数的正整数），并且运算重复进行.例如，取6n =，则：12363105F F F −−−→−−−→−−−→① ②②第次第次第次……，若1n =，则第2次“F 运算”的结果是 ；若13n =，则第2013次“F 运算”的结果是 . 三、解答题（本题共30分，每小题5分）第11题图CDA E B第8题图（1）D CBA Oxy13．计算：(123tan 302--+-+o．14．解不等式组20512(1)x x x -<⎧⎨+>-⎩，．15. 已知：如图，AB ＝AC ，点D 、E 分别在AB 、AC 上，且使AE ＝AD .求证：∠B ＝∠C .16．化简求值：2221y x y x y x ⎛⎫-+ ⎪-⎝⎭g ，其中30x y -=，且0y ≠.17．已知(42)A -，，(24)B -，是一次函数y kx b =+的图象和反比例函数my x=图象的两个交点．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）将一次函数y kx b =+的图象沿y 轴向上平移n 个单位长度，交y 轴于点C ， 若12ABC S =V ，求n 的值.ECA D B18. 列方程或列方程组解应用题：根据城市发展规划设计，某市工程队为该城市修建一条长4800米的公路.铺设600米后，为了缩短工期，该工程队增加了人力和设备，实际每天修建公路的长度是原计划的2倍，结果共用9天完成任务.问原计划每天修建公路多少米? 四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．某中学组织全校1000名学生参加了有关“低碳环保”知识竞赛．为了解本次知识竞赛的成绩分布情况，从中随机抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分），并绘制了如图的频数分布表和频数分布直方图（不完整）．请根据以上提供的信息，解答下列问题：（1）直接写出频数分布表中a ，b 的值，补全频数分布直方图；（2）学校将对成绩在90分以上（不含90分）的学生进行奖励，请估计全校1000名学生中约有多少名获奖？20．如图，在矩形ABCD 中，AB =3，BC，△DCE 是等边三角形，DE 交AB 于点F ，求△BEF 的周长．/分A DF EB21．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦．过点A 作∠BAC 的角平分线，交⊙O 于点D ，过点D 作AC 的垂线，交AC 的延长线于点E ． （1）求证：直线ED 是⊙O 的切线；（2）连接EO ，交AD 于点F ，若5AC =3AB ，求EO FO的值．22. 如图所示，在4×4的菱形斜网格图中（每一个小菱形的边长为1，有一个角是60°），菱形ABCD 的边长为2，E 是AD 的中点，沿CE 将菱形ABCD 剪成①、②两部分，用这两部分可以分别拼成直角三角形、等腰梯形、矩形，要求所拼成图形的顶点均落在格点上． （1）在下面的菱形斜网格中画出示意图；（2）若所拼成的直角三角形、等腰梯形、矩形的面积分别记为S 1、S 2、S 3，周长分别记为l 1、l 2、3l ，判断所拼成的三种图形的面积、周长的大小关系（用“=”、“＞”、“＜”、“≤）：面积关系是； 周长关系是．E A 第22题图五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23. 已知二次函数()2214y x k x k =-++的图象与x 轴分别交于点()1,0A x 、()2,0B x ，且32-<1x <12-． （1）求k 的取值范围；（2）设二次函数()2214y x k x k =-++的图象与y 轴交于点M ，若OM OB =，求二次函数的表达式；（3）在(2)的条件下，若点N 是x 轴上的一点，以N 、A 、M 为顶点作平行四边形，该平行四边形的第四个顶点F 在二次函数()2214y x k x k =-++的图象上，请直接写出满足上述条件的平行四边形的面积.24．已知：2AD =，4BD =，以AB 为一边作等边三角形ABC .使C 、D 两点落在直线AB 的两侧.（1）如图，当∠ADB=60°时，求AB 及CD 的长；（2）当∠ADB 变化，且其它条件不变时，求CD 的最大值，及相应∠ADB 的大小.ADBC25．我们把一个半圆与二次函数图象的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点（半圆与二次函数图象的连接点除外），那么这条直线叫做“蛋圆”的切线.如图，二次函数223y x x =--的图象与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点D ，AB 为半圆直径，半圆圆心为点M ,半圆与y 轴的正半轴交于点C . （1）求经过点C 的“蛋圆”的切线的表达式； （2）求经过点D 的“蛋圆”的切线的表达式；（3）已知点E 是“蛋圆”上一点（不与点A 、点BF ，若点F 也在“蛋圆”上，求点E 的坐标.通州区初三数学模拟考试参考答案及评分标准2013．5 一、选择题：1．C 2．C 3．D 4．B 5．A 6．D 7．B 8．A 二、填空题：9.2x =； 10. ()21x x -； 11. 40 ； 12. 1，4；三、解答题： 13.解：原式=1312-++，………………4分； 第25题图=112++=32. ………………5分. 14. ()205121x x x -<⎧⎨+>-⎩， ．①②解：解不等式①，得 2x <， ………………1分； 解不等式②，5122x x +>-， ………………2分； 5221x x ->--， ………………3分；33x >-，1x >-， ………………4分；∴这个不等式组的解集是12x -<< . ………………5分. 15. 证明：在△ABE 和△AC D 中∵.AB AC A A AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，………………3分；∴△ABE ≌△ACD （SAS ）. ………………4分；∴B C ∠=∠. ……………… 5分.16． 解：原式=x yx y x y y x y x -∙⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--2222222，x yx y x x -∙-=222， ………………1分； xy x y x y x x -∙-+=))((2， ………………2分； =xx y+. ………………3分； 由30x y -=，得3x y =， ………………4分； ∴原式=33y y y +=34y y =34. ………………5分.17. 解：(1) 把(42)A -，，(24)B -，分别代入y kx b =+和my x=中，∴42244.2-=k b k b m ⎧⎪-+=⎪+=-⎨⎪⎪⎩，，………………1分； 解得：128.k b m =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，，………………2分；∴反比例函数的表达式为8y x=-，一次函数的表达式为2y x =--； （2）设一次函数2y x =--的图象与y 轴的交点为D ,则()0D ，-2，………………3分；∵12=∆ABC S ， ∴12221421=∙∙+-∙∙CD CD ，………………4分； ∴4CD =，∴4n =. ………………5分. 18. 解法一:解：设原计划每天修建公路x 米,则实际每天修建公路2x 米， ……1分； 根据题意得：600480060092x x-+=， ……………3分； ∴27009x=， ∴300x =.经检验：x =300是原方程的解，且符合实际问题的意义. ………………4分； 答： 原计划每天修建公路300米. ………………5分. 解法二：解：设铺设600米用x 天,则增加人力和设备后，用()9x -天完成任务.………………1分；根据题意得：600480060029x x-⨯=-， ………………3分； 解得：2x =.经检验：2x =是原方程的解，且符合实际问题的意义.………………4分；∴6003002=， 答：原计划每天修建公路300米. ………………5分. 四、解答题19. （1）0.05a =，24b =. ………………2分； 补全频数分布直方图正确；………………4分；（2）0.371000370⨯=. ………………5分. 估计全校1000名学生中约有370名获奖. 20．解法一：∵矩形ABCD ，△DCE 是等边三角形， ∴30ADF ECB ∠=∠=o ，3ED EC ==，在Rt △ADF 中，90A ∠=o ，AD =∴tan AFADF AD∠=，tan 30==o∴1AF =，∴312FB AB AF =-=-=，2FD =，………………1分； ∴321EF ED DF =-=-=，………………2分；过点E 作EG CB ⊥，交CB 的延长线于点G . ………………3分； 在Rt △ECG 中，90EGC ∠=o ，3EC =，30ECG ∠=o ， ∴1322EG EC ==，cos GCECG EC∠=，cos 303GC ==o∴GC =∴GB GC BC =-==， 由勾股定理得，222EB EG GB =+，∴EB =………………4分；∴△BEF 的周长=3EF FB EB ++=+………………5分.解法二：∵矩形ABCD ，△DCE 是等边三角形，∴60EDC ECD ∠=∠=o ，3ED EC ==，过点E 作EH CD ⊥交CD 于点H ，交AB 于点G . ………………1分；∴点H 是DC 的中点，点G 是AB 的中点，30FEG ∠=o，GH AD ==，在Rt △EHD 中，90EHD ∠=o ，3ED =，∴sin EH EDH ED∠=，sin 603EH ==o∴EH =∴EG EH GH =-==. 在Rt △EGF 中，90EGF ∠=o ，60EFG ∠=o ，∴sin EG EFG EF∠=，sin 60==o ∴1EF =，………………2分； ∴1122FG EF ==， ∵点G 是AB 的中点，3AB =， ∴1322GB AB ==， ∴13222FB FG GB =+=+=，………………3分； 由勾股定理得，222EB EG GB =+，∴EB =………………4分；∴△BEF 的周长=3EF FB EB ++=+………………5分.解法三：∵矩形ABCD ，△DCE 是等边三角形，∴30ADF ECB ∠=∠=o ，3ED EC ==，在Rt △ADF 中，90A ∠=o ，AD =∴tan AF ADF AD ∠=，tan 30==o ∴1AF =， ∴312FB AB AF =-=-=，2FD =，………………1分；∴321EF ED DF =-=-=，………………2分；过点B 作BG CE ⊥，交CE 于点G . ………………3分；在Rt △BCG 中，90BGC ∠=o ，BC =，30ECB ∠=o ，∴12BG BC ==，cos GC BCG BC∠=，cos 30==o ∴32GC =， ∴33322GE EC GC =-=-=， 由勾股定理得，222EB EG GB =+，或BG 是线段EC 的垂直平分线，∴EB =BE =BC ，…………4分；∴△BEF 的周长=3EF FB EB ++=+………………5分.21． (1)证明：连接OD.∵OD OA =，∴OAD ODA ∠=∠，∵AD 平分BAC ∠，∴BAD CAD ∠=∠，∴ODA CAD ∠=∠，………………1分；∴AE ∥OD ，∵DE AE ⊥，∴ED DO ⊥，∵点D 在⊙O 上，∴ED 是⊙O 的切线； ………………2分；（2）解法一：连接CB ,过点O 作OG AC ⊥于点G .……………3分；∵AB 是⊙O 的直径，∴90ACB ∠=o ，∵OG AC ⊥，∴OG ∥CB ， ∴AG AC AO AB=， ∵5AC =3AB ， ∴35AG AO =，………………4分； 设35AG x AO x ==，，∵DE AE ⊥，ED DO ⊥，∴四边形EGOD 是矩形，∴EG OD =，AE ∥OD ，∴5DO x =，5GE x =，8AE x =,∴△AEF ∽△DFO ， ∴EF AE FO OD=， ∴85EF FO =， ∴135EO FO =. ………………5分． 解法二：连接CB ,过点A 作AH DO ⊥交DO 的延长线于点H .…………3分； ∵DE AE ⊥，ED DO ⊥，∴四边形AHDE 是矩形，∴EA DH =，AE ∥HD ，AH ∥ED ，∴CAB AOH ∠=∠，∵AB 是⊙O 的直径，∴90ACB ∠=o ，∴ACB AHO ∠=∠，∴△AHO ∽△BCA ， ∴OH ACAO AB =，∵5AC =3AB ， ∴35OHAO =，………………4分；设35OH x AO x ==，，∴5DO x =，8AE DH x ==,∵AE ∥HD ，∴△AEF ∽△DFO ， ∴EF AEFO OD =， ∴85EF FO =， ∴135EO FO =.………………5分． 解法三：连接CB ,分别延长AB 、ED 交于点G .…………3分； ∵DE AE ⊥，ED DO ⊥，∴AE ∥OD ，90ODG ∠=o ，∴CAB DOG ∠=∠，∵AB 是⊙O 的直径，∴90ACB ∠=o ，∴ACB ODG ∠=∠，∴△GDO ∽△BCA ， ∴OD ACOG AB =，∵5AC =3AB ， ∴35ODOG =，………………4分；设35OD x OG x ==，，∴5AO x =，8AG AO OG x =+=,∵AE ∥OD ，∴△AEG ∽△ODG ，△AEF ∽△DFO ，∴AG AE OG OD =，EF AE FO OD=， ∴85EF FO =， ∴135EO FO =. ………………5分. 22.(1)画图正确； 每图各1分，共3分；(2)面积关系是 S 1=S 2=S 3 ； ………………4分； 周长关系是 l 1>l 2>3l ．………………5分.五、解答题：23.解：(1)令0y =，则()22140x k x k -++= 解方程得：2x k =或2x =，………………1分；由题意得：()20A k ，，()20B ，， ∴31222-k <<-， ∴3144k -<<-. ………………2分； (2)令0x =，则4y k =，∴()04M k ，， ∵OM OB =，∴42k -=，………………3分； ∴12k =-， ∴22y x x =--. ………………4分；或∵OM OB =，()20B ，，∴()0M ，-2，把点M 的坐标分别代入()2214y x k x k =-++中， ∴42k =-，………………3分； ∴12k =-，∴22y x x =--. ………………4分；(3)2，5+，5. （每个答案各1分） ………………7分． 24．解：（1）过点A 作AG BC ⊥于点G .∵∠ADB=60°，2AD =，∴1DG =，AG =∴3GB =，∴ tan AG ABG BG ∠==∴30ABG ∠=o ，AB =………………1分；∵△ABC 是等边三角形，∴90DBC ∠=o ，BC =，………………2分；由勾股定理得：CD ===……3分；（2）作60EAD ∠=o ，且使AE AD =，连接ED 、EB .…………4分；∴△AED 是等边三角形，∴AE AD =，60EAD ∠=o ，∵△ABC 是等边三角形，∴AB AC =，60BAC ∠=o ，∴EAD DAB BAC DAB ∠+∠=∠+∠，即EAB DAC ∠=∠，∴△EAB ≌△DAC . ………………5分；∴EB =DC .当点E 、D 、B 在同一直线上时，EB 最大，∴246EB =+=，………………6分；∴CD 的最大值为6，此时120ADB ∠=o . ………………7分.另解：作60DBF ∠=o ，且使BF BD =，连接DF 、AF .参照上面解法给分.25．解：（1）由题意得：()10A -，，()30B ，，()03-D ，，()10M ，.∴2AM BM CM ===，∴OC ==，∴(0C∵GC 是⊙M 的切线，∴90GCM ∠=o ∴cosOM MC OMC MC MG∠==，……1分；∴122MG=，∴4MG =，∴()30G -，，∴直线GC 的表达式为y x =+. ………………2分； （2）设过点D 的直线表达式为3y kx =-，∴2323,y kx y x x =-⎧⎨=--⎩， ∴()220x k x -+=，或1202x x k ==+，0)]2([2=+-=∆k ，或12x x =， ……………3分；∴2k =-，∴过点D 的“蛋圆”的切线的表达式为23y x =--. …………4分；（3）假设点E 在x 轴上方的“蛋圆”上，设()E m n ，，则点F 的坐标为()m n -，. EF 与x 轴交于点H ，连接EM .∴222HM EH EM +=，∴()2214m n -+=，……①…………5分；∵点F 在二次函数223y x x =--的图象上，∴223m m n --=-，……② 解由①②组成的方程组得：11m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩；11m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩0n =舍去) ……………6分；由对称性可得：11m n ⎧=⎪⎨=-⎪⎩；11m n ⎧=⎪⎨=-⎪⎩. ………………7分； ∴()11E +，()21E ，()311E +-，()411E -. ……………8分.。
北京市通州区2013年中考数学一模试卷一、选择题（本题共32分，每小题4分）在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请将所选答案前的字母按规定要求填涂在答题纸第1-8题的相应位置上．（﹣）的倒数是﹣2．（4分）（2013•通州区一模）在下列几何体中，主视图、左视图和俯视图形状都相同的可B2011年3．（4分）（2013•通州区一模）2012年，北京实现地区生产总值约17800亿元，比4．（4分）（2013•通州区一模）如图，A、B、C是⊙O上的三个点，∠ABC=32°，则∠AOC 的度数是（）5．（4分）（2013•通州区一模）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，妈妈买了2只红豆粽、3只碱水粽、5只干肉粽，粽子除内部馅料不同外其它均相同，小颖随意吃一个，吃到红豆B=6．（4分）（2013•通州区一模）一个扇形的圆心角为90°，半径为2，则这个扇形的面积是=7．（4分）（2013•通州区一模）某班开展以“提倡勤俭节约，反对铺张浪费”为主题教育活动．为[，则方差[））﹣8．（4分）（2013•通州区一模）如图，在直角坐标系xoy中，已知A（0，1），B（，0），以线段AB为边向上作菱形ABCD，且点D在y轴上．若菱形ABCD以每秒2个单位长度的速度沿射线AB滑行，直至顶点D落在x轴上时停止．设菱形落在x轴下方部分的面积为S，则表示S与滑行时间t的函数关系的图象为（）．．．D．=2BAO==，×=轴方向滑落的速度，S=t=S=×=×﹣（•=2﹣二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．（4分）（2013•通州区一模）若分式的值为零，则x=2．时，分式10．（4分）（2013•通州区一模）分解因式：x3﹣2x2+x=x（x﹣1）2．11．（4分）（2013•通州区一模）如图，AB∥CD，点E在AB上，且DC=DE，∠AEC=70°，则∠D的度数是40°．12．（4分）（2013•通州区一模）定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为3n+1；②当n为偶数时，结果为（其中k是使得为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n=6，则：631056 …，若n=1，则第2次“F运算”的结果是1；若n=13，则第2013次“F运算”的结果是4．=1=5=1三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．（5分）（2013•通州区一模）计算：．+1+214．（5分）（2013•通州区一模）解不等式组：15．（5分）（2013•通州区一模）已知：如图，AB=AC，AE=AD，点D、E分别在AB、AC 上．求证：∠B=∠C．16．（5分）（2013•通州区一模）化简求值：，其中x﹣3y=0，且y≠0．．==．17．（5分）（2013•通州区一模）已知A（﹣4，2），B（2，﹣4）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数图象的两个交点．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）将一次函数y=kx+b的图象沿y轴向上平移n个单位长度，交y轴于点C，若S△ABC=12，求n的值．和2=，一次函数的表达式为18．（5分）（2013•通州区一模）列方程或方程组解应用题：根据城市规划设计，某市工程队准备为该城市修建一条长4800米的公路．铺设600m后，为了尽量减少施工对城市交通造成的影响，该工程队增加人力，实际每天修建公路的长度是原计划的2倍，结果9天完成任务，该工程队原计划每天铺设公路多少米？四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．（5分）（2013•通州区一模）某中学组织全校1000名学生参加了有关“低碳环保”知识竞赛．为了解本次知识竞赛的成绩分布情况，从中随机抽取了部分学生的成绩，并绘制了如图（1）直接写出频数分布表中a，b 的值，补全频数分布直方图；（2）学校将对成绩在90分以上（不含90分）的学生进行奖励，请估计全校1000名学生中约有多少名获奖？0.0520．（5分）（2013•通州区一模）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=，△DCE是等边三角形，DE交AB于点F，求△BEF的周长．AD=ADF==，EC=ECG=，BC==EB==EF+FB+EB=3+．GH=AD= EDH==，GH==，=EF=，AB=，EB==EF+FB+EB=3+．AD=ADF==，BC=BCG=，，﹣=EB==EF+FB+EB=3+．21．（5分）（2013•通州区一模）已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是弦．过点A作∠BAC 的角平分线，交⊙O于点D，过点D作AC的垂线，交AC的延长线于点E．（1）求证：直线ED是⊙O的切线；（2）连接EO，交AD于点F，若5AC=3AB，求的值．得出求出，求出22．（5分）（2013•通州区一模）如图所示，在4×4的菱形斜网格图中（每一个小菱形的边长为1，有一个角是60°），菱形ABCD的边长为2，E是AD的中点，按CE将菱形ABCD 剪成①、②两部分，用这两部分可以分别拼成直角三角形、等腰梯形、矩形，要求所拼成图形的顶点均落在格点上．（1）在下面的菱形斜网格中画出示意图；（2）判断所拼成的三种图形的面积（s）、周长（l）的大小关系（用“=”、“＞”或“＜”连接）：面积关系是；周长关系是．=222=2=6+2；，面积=2五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．（7分）（2013•通州区一模）已知二次函数y=x2﹣2（k+1）x+4k的图象与x轴分别交于点A（x1，0）、B（x2，0），且＜x1＜．（1）求k的取值范围；（2）设二次函数y=x2﹣2（k+1）x+4k的图象与y轴交于点M，若OM=OB，求二次函数的表达式；（3）在（2）的条件下，若点N是x轴上的一点，以N、A、M为顶点作平行四边形，该平行四边形的第四个顶点F在二次函数y=x2﹣2（k+1）x+4k的图象上，请直接写出满足上述条件的平行四边形的面积．的不等式由题意得，故可得：，，则，或，×+2=5+×+2=5；或24．（7分）（2013•通州区一模）已知：，PB=4，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧．（1）如图，当∠APB=45°时，求AB及PD的长；（2）当∠APB变化，且其它条件不变时，求PD的最大值，及相应∠APB的大小．，AE=PE=×=1=．B===AG==，，．，PD====25．（8分）（2013•通州区一模）我们把一个半圆与二次函数图象的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点（半圆与二次函数图象的连接点除外），那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图，二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点D，AB为半圆直径，半圆圆心为点M，半圆与y轴的正半轴交于点C．（1）求经过点C的“蛋圆”的切线的表达式；（2）求经过点D的“蛋圆”的切线的表达式；（3）已知点E是“蛋圆”上一点（不与点A、点B重合），点E关于x轴的对称点是F，若点F也在“蛋圆”上，求点E的坐标．cos解由①②组成的方程组得：；；，，。
南通市2013年中考数学模拟考试试卷(如皋)（考试时间：120分钟满分：150分）一、选择题（本大题共 小题，每小题 分，共 分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置．．．．．．．上） ． 的倒数是．15．－15．－ ．． 下列运算结果正确的是． · ＝ ． ＝ ． － ＝ ． ＝． 已知 ＝ ，则 的余角为． ． ． ．． 在△ △ 中，在给出下列四组条件：① ＝ ， ＝ ， ＝ ；② ＝ ，∠ ＝∠ ， ＝ ；③∠ ＝∠ ， ＝ ，∠ ＝∠ ；④ ＝ ， ＝ ，∠ ＝∠ ．其中，能使△ △ 的条件共有． 组 ． 组 ． 组 ． 组． 某课外小组的同学们在社会实践活动中调查了 户家庭某月的用电量，如下表所示：． ， ． ， ． ， ． ，． 解集在数轴上表示为如图所示的不等式组是．3,2xx<-⎧⎨≥⎩．3,2xx<-⎧⎨≤⎩．3,2xx>-⎧⎨≥⎩．3,2xx>-⎧⎨≤⎩． 根据如图提供的信息，可知一个杯子的价格是． 元 ． 元． 元 ． 元． 已知：二次函数 ＝ － ＋ ，下列说法错误．．的是．当 时， 随 的增大而减小．若图象与 轴有交点，则 ≤．当 ＝ 时，不等式 － ＋ 的解集是．若将图象向上平移 个单位，再向左平移 个单位后过点（ ，－ ），则 ＝－ ． 如图，直角三角形纸片 的∠ °，将三角形纸片沿着图示的中位线 剪开，然后把剪开的两部分重新拼接成不重叠的图形，下列选项中不能．．拼出的图形是（第 题）．平行四边形 ．矩形 ．等腰梯形 ．直角梯形．如图，两个反比例函数 ＝1k x和 ＝2k x （其中 ）在第一象限内的图象依次是 和 ，设点 在 上， 轴于点 ，交 于点 ， 轴于点 ，交 于点 ，则四边形 的面积为 ． ＋ ． － ． · ．12k k 二、填空题（本大题共 小题，每小题 分，共 分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置．．．．．．．上） ．月球表面温度，中午是 ℃，半夜是－ ℃，则半夜比中午低是 ℃．．用科学记数法表示 ． ．函数 12x -+中，自变量 的取值范围是 ． ．如图，点 ， ， 都在⊙ 上，若∠ ＝ °，则∠ ＝ °．．一只自由飞行的小鸟，将随意地落在如图所示方格地面上（每个小方格都是边长相等的正方形），则小鸟落在阴影方格地面上的概率为 ．．如图热气球的探测器显示，从热气球上看一栋高楼顶部的仰角为 °，看这栋高楼底部的俯角为 °，若热气球与高楼水平距离为 ，则这栋楼的高度为 ．（第（第 题）·（第（第（第．把两个相同的矩形按如图所示的方式叠合起来，若它们的长与宽分别为 与 ，则重叠部分的面积为 ．则 的取值范围是 ．三、解答题（本大题共 小题，共 分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．（本小题满分 分）计算 － tan 602︒- 11()2-．．（本小题满分 分）计算262393m m m m -÷+--．．（本小题满分 分）如图，在△ 和△ 中，∠ ＝∠ ＝ °， ＝ ， ＝ ，点 ， ， 三点在同一直线上，连结 ． （ ）求证：△ △ ；（ ）试猜想 ， 有何特殊位置关系，并证明．．（本小题满分 分）某校 名初二年级学生进行数学测验，从中随机抽取部分学生的成绩（得分取正整数，满分为 分）进行统计，请你根据下面尚未完成并有局部污染的频率分布表和频率分布直方图（如图）．回答下列问题： （ ）被抽取调查的学生成绩的数量为 ； （ ）补全频数分布直方图；（ ）请估计该校初二年级学生在这次数学测验中优秀学生人数约为多少名？（b （第（第分以上为优秀）．（本小题满分 分）甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选出两位同学打第一场比赛．（ ）请用树形图法或列表法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．（ ）若已确定甲打第一场，再从其余三位同学中随机选取一位，求恰好选中乙同学的概率．．（本小题满分 分）如图，在正方形网络图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网络点 ， ， ，请在网格中进行下列操作：（ ）请在图中标出该圆弧所在圆心点 的位置，点 坐标为 ；（ ）连接 ， ，则⊙ 的半径为 （结果保留根号），扇形 的圆心角度数为 °；（ ）若扇形 是某一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面半径为 （结果保留根号）．分组频数频率？？合计？？频数 组成绩（分）（第 题）．（本小题满分 分）已知关于 的方程 － － ＋ ＝ ，其中 ， 为实数．（ ）若此方程有一个根为 ，判断 与 的大小关系并说明理由；（ ）若对于任何实数 ，此方程都有实数根，求 的取值范围．．（本小题满分 分）如图 ，在底面积为 、高为 的长方体水槽内放入一个圆柱形烧杯．以恒定不变的流量先向烧杯中注水，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽为止．此过程中，烧杯本身的质量、体积忽略不计，烧杯在大水槽中的位置始终不改变．水槽中水面上升的高度 （单位： ）与注水时间 （单位： ）之间的函数关系如图 所示．（ ）写出函数图象中点 、点 的实际意义； （ ）求烧杯的底面积；（ ）若烧杯的高为 ，求注水的速度及注满水槽所用的时间．．（本小题满分 分）在平面内，按图 方式摆放着三个正方形 、和 ，其中点 ， ， ， ， 依次位于直线 上．（ ）请在图 中过点 画 的垂线，交 的延长线于点 ．判断△ 与图（第 题）图（第 题）（图 ）（图 ）△ 是否全等，并说明理由．（ ）在图 中，已知正方形 的面积为 ，正方形 的面积为 ，求△ 的面积．（ ）让图 中的点 在线段 上移动（点 不与点 ， 重合），且四边形 、 和 依然是正方形，如图 ，其中哪些三角形的面积始终与△ 的面积相等？请直接写出所有符合条件的三角形．．（本小题满分 分）已知抛物线 － － ＋ － ＋ － ＋ 与 轴交于点 和点 点 在点 的右边 ，与 轴交于点 （ ， ）．以 为直径画半 轴下方部分 ，在半圆上任取一点 ，过点 作半 的切线，并且交抛物线于点Ｐ， 点 在点 的右边 ，交 轴于点 ．（ ）求抛物线的解析式及 ， 两点的坐标；（ ）若直线与 轴相交所成的角为 ，求直线 的解析式；（ ）过点 ， 作半 的切线，交直线 于点 、Ｅ，若 ∶ ∶ ，求点 的坐标；４ 是否存在点 ，使得 ？若存在，请求出 的坐标；若不存在，请说明理由．。
2013年北京通州中考一模数学试卷一、选择题（本题共32分，每小题4分）下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．1．3-的倒数是（）．A．3B．3-C．13-D．132．在下列几何体中，主视图、左视图和俯视图形状都相同的是（）．3．2012年，北京实现地区生产总值约17800亿元，比2011年增长百分之七点多．将17800用科学记数法表示应为（）．A．317.810⨯B．51.7810⨯C．50.17810⨯D．41.7810⨯4．如图，A、B、C是⊙O上的三个点，32∠=︒ABC，则∠AOC的度数是（）．A．32︒B．64︒C．16︒D．58︒5．端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．妈妈买了2只红豆粽和3只咸肉粽，粽子除内部馅料不同外其它均相同．小颖任意吃一个，吃到红豆粽的概率是（）．A．25B．12C．15D．236．一个扇形的圆心角为90︒，半径为2，则这个扇形的面积是（）．A．6πB．4πC．2πD．π7．某班开展以“提倡勤俭节约，反对铺张浪费”为主题教育活动．为了解学生每天使用零花钱的情况，小明随机调查了10名同学，结果如下表：关于这10名同学每天使用的零花钱，下列说法正确的是（）．A．平均数是2.5B．中位数是3C．众数是2D．方差是48．如图，在直角坐标系xOy 中，已知(0,1)A ，(3,0)B ，以线段AB 为边向上作菱形ABCD ，且点D 在y 轴上．若菱形ABCD 以每秒2个单位长度的速度沿射线AB 滑行，直至顶点D 落在x 轴上时停止．设菱形落在x 轴下方部分的面积为S ，则表示S 与滑行时间t 的函数关系的图象为（ ）．二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．若分式2-x x的值为零，则=x __________．10．分解因式：322-+=x x x __________．11．如图，∥AB CD ，点E 在AB 上，且=DC DE ，70∠=︒AEC ，则∠D 的度数是__________．12．定义一种对正整数n 的“F 运算”：①当n 为奇数时，结果为31+n ；②当n 为偶数时，结果为2kn（其中k 是使得2kn为奇数的正整数），并且运算重复进行． 例如，取6=n ，则：12363105−−−→−−−→−−−→① F F F ②②第次第次第次，若1=n ，则第2次“F 运算”的结果是__________；若13=n ，则第2013次“F 运算”的结果是__________．y xOABCD第8题图（2）第8题图（1）DCBA Oxy三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．计算：1023tan30(23)12--︒+-+．14．解不等式组20512(1)-<⎧⎨+>-⎩xx x．15．已知：如图，=AB AC，点D、E分别在AB、AC上，且使=AE AD．求证：∠=∠B C．16．化简求值：222(1)-+⋅-y x yx y x，其中30-=x y，且0≠y．17．已知(4,2)-A ，(2,4)-B 是一次函数=+y kx b 的图象和反比例函数=my x图象的两个交点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）将一次函数=+y kx b 的图象沿y 轴向上平移n 个单位长度，交y 轴于点C ，若12=ABC S △，求n 的值．18．列方程或列方程组解应用题：根据城市发展规划设计，某市工程队为该城市修建一条长4800米的公路．铺设600米后，为了缩短工期，该工程队增加了人力和设备，实际每天修建公路的长度是原计划的2倍，结果共用9天完成任务．问原计划每天修建公路多少米?四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．某中学组织全校1000名学生参加了有关“低碳环保”知识竞赛．为了解本次知识竞赛的成绩分布情况，从中随机抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分），并绘制了如图的频数分布表和频数分布直方图（不完整）．请根据以上提供的信息，解答下列问题：（1）直接写出频数分布表中a ，b 的值，补全频数分布直方图；（2）学校将对成绩在90分以上（不含90分）的学生进行奖励，请估计全校1000名学生中约有多少名获奖？20．如图，在矩形ABCD 中，3=AB ，3=BC ，DCE △是等边三角形，DE 交AB 于点F ，求BEF △的周长．21．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦．过点A 作∠BAC 的角平分线，交⊙O 于点D ，过点D 作AC 的垂线，交AC 的延长线于点E ． （1）求证：直线ED 是⊙O 的切线；（2）连接EO ，交AD 于点F ，若53=AC AB ，求EOFO的值．22．如图所示，在44⨯的菱形斜网格图中（每一个小菱形的边长为1，有一个角是60︒），菱形ABCD的边长为2，E 是AD 的中点，沿CE 将菱形ABCD 剪成①、②两部分，用这两部分可以分别拼成直角三角形、等腰梯形、矩形，要求所拼成图形的顶点均落在格点上． （1）在下面的菱形斜网格中画出示意图；第22题图（矩形）（等腰梯形）（直角三角形）E DCBA ②①（2）若所拼成的直角三角形、等腰梯形、矩形的面积分别记为1S 、2S 、3S ，周长分别记为1l 、2l 、3l ，判断所拼成的三种图形的面积、周长的大小关系（用“=”、“>”、“<”、“≤”或“≥”连接）：面积关系是______________________________； 周长关系是______________________________．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．已知二次函数22(1)4=-++y x k x k 的图象与x 轴分别交于点1(,0)A x 、2(,0)B x ，且13122-<<-x ． （1）求k 的取值范围；（2）设二次函数22(1)4=-++y x k x k 的图象与y 轴交于点M ，若=OM O B ，求二次函数的表达式；（3）在（2）的条件下，若点N 是x 轴上的一点，以N 、A 、M 为顶点作平行四边形，该平行四边形的第四个顶点F 在二次函数22(1)4=-++y x k x k 的图象上，请直接写出满足上述条件的平行四边形的面积．24．已知：2=AD ，4=BD ，以AB 为一边作等边三角形ABC ．使C 、D 两点落在直线AB 的两侧．（1）如图，当60∠=︒ADB 时，求AB 及CD 的长；（2）当∠ADB 变化，且其它条件不变时，求CD 的最大值，及相应∠ADB 的大小．25．我们把一个半圆与二次函数图象的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点（半圆与二次函数图象的连接点除外），那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图，二次函数223=--y x x 的图象与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点D ，AB 为半圆直径，半圆圆心为点M ，半圆与y 轴的正半轴交于点C ． （1）求经过点C 的“蛋圆”的切线的表达式； （2）求经过点D 的“蛋圆”的切线的表达式；（3）已知点E 是“蛋圆”上一点（不与点A 、点B 重合），点E 关于x 轴的对称点是F ，若点F 也在“蛋圆”上，求点E 的坐标．2014年北京通州中考一模数学试卷答案一、选择题（本题共32分，每小题4分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案CCDBADBA二、填空题（本题共16分，每小题4分）题号 910 11 12答案2=x 2(1)-x x40︒ 1；4三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．解：原式13312323=-⨯++， 131232=-++， 332=+．14．解：解不等式20-<x ，得2<x ，解不等式512(1)+>-x x ，1>-x ，∴这个不等式组的解集是12-<<x ．15．证明：在ABE △和ACD △中，∵=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AB AC A A AE AD ， ∴≅ABE ACD △△（SAS ）． ∴∠=∠B C ．16．解：原式=2222222()--+⋅--x y y x yx y x y x222-=⋅-x x y x y x ， 2()()-=⋅+-x x y x y x y x， =+xx y． 由30-=x y ，得3=x y ， ∴原式333344===+y y y y y ．17．解：（1）把(4,2)-A ，(2,4)-B 分别代入=+y kx b 和=my x中， ∴42244=2⎧⎪-+=⎪+=-⎨⎪⎪-⎩k b k b m ， 解得128=-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩k b m ．∴反比例函数的表达式为8=-y x，一次函数的表达式为2=--y x ． （2）设一次函数2=--y x 的图象与y 轴的交点为D ，则(0,2)-D ， ∵12=ABC S △，∴11421222⋅⋅-+⋅⋅=CD CD ， ∴4=CD ， ∴4=n ．18．解：设原计划每天修建公路x 米, 则实际每天修建公路2x 米，根据题意得：600480060092-+=x x， ∴27009=x， ∴300=x ．经检验：300=x 是原方程的解，且符合实际问题的意义． 答：原计划每天修建公路300米．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．解：（1）被抽查的学生总数为520.26200÷=，∴100.05200==a ,200(10.050.20.260.37)24=⨯----=b ． 补全的频数分布直方图如图所示：（2）根据题意得，0.371000370⨯=．答：估计全校1000名学生中约有370名获奖．20．解：∵矩形ABCD ，等边三角形DCE △，∴60∠=∠=︒EDC ECD ，3==ED EC ．过点E 作⊥EH CD 交CD 于点H ，交AB 于点G ．∴点H 是DC 的中点，点G 是AB 的中点，30∠=︒FEG ，3==GH AD ， 在Rt EHD △中，90∠=︒EHD ，3=ED ，∴sin ∠=EH EDH ED ，即3sin 6032︒==EH ， ∴332=EH ，∴3133322=-=-=EG EH GH ． 在Rt EGF △中，90∠=︒EGF ，60∠=︒EFG ， ∴sin ∠=EG EFG EF，即1332sin 602︒==EF ， ∴1=EF ，∴1122==FG EF ， ∵点G 是AB 的中点，3=AB ， ∴1322==GB AB ， ∴13222=+=+=FB FG GB ，由勾股定理得，222=+EB EG GB ， ∴3=EB （舍去负值），∴BEF △的周长33=++=+EF FB EB ． 21．（1）证明：连接OD ．∵=OD OA ， ∴∠=∠OAD ODA ， ∵AD 平分∠BAC ， ∴∠=∠BAD CAD ， ∴∠=∠ODA CAD ， ∴∥AE OD ， ∵⊥DE AE ， ∴⊥ED DO ， ∵点D 在⊙O 上， ∴ED 是⊙O 的切线．（2）解：连接CB ，过点O 作⊥OG AC 于点G ．∵AB 是⊙O 的直径， ∴90∠=ACB ， ∵⊥OG AC ， ∴∥OG CB ，∴=AG ACAO AB， ∵53=AC AB ，∴35=AG AO ， 设3=AG x 5=AO x ， ∵⊥DE AE ，⊥ED DO ， ∴四边形EGOD 是矩形， ∴=EG OD ，∥AE OD ， ∴5=DO x ，5=GE x ，8=AE x ，∴∽AEF DFO △△， ∴=EF AE FO OD ， ∴85=EF FO ， ∴135=EO FO ．22．解：（1）如图所示：②①②①②①（直角三角形）①②（等腰梯形）（矩形）（2）由于各个图形都是由①和②拼接而成，故面积关系是123==S S S ； 经过计算可知，1623=+l ，28=l ，3423=+l ，故周长关系是123>>l l l ．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．解：（1）令0=y ，则22(1)40-++=x k x k ，解方程得：12=x k 或22=x ， 由题意得：(2,0)A k ，(2,0)B ，∴31222-<<-k ，∴3144-<<-k ．（2）令0=x ，则4=y k ， ∴(0,4)M k ， ∵=OM OB ， ∴42-=k ，∴12=-k ，∴22=--y x x ．（3）2，517+，517-．由（2）知，12=-k ，则(1,0)-A ．如图1，当AM 为边时，=AN MF ，且∥AN MF ． 由（2）知，二次函数的表达式为22=--y x x ． ∵点M 的坐标为(0,2)-， ∴当2=-y 时，222-=--x x ， 解得11=x ，20=x ，∴点F 的坐标为(1,2)-或(0,2)-（与点M 重合，舍去）， ∴1==AN MF ，此时==12=2⋅⨯平行四边形AMFN S AN NM ；如图2，当AM 为对角线时，同理证得1==AN MF ， 此时==12=2⋅⨯平行四边形AMFN S AN NM ；如图3，当AM 为边时，=AE EN ，=ME FE ． 设(,)F a b ，(,0)N t ，则21222022-⎧=⎪⎪-⎪=⎨⎪⎪=--⎪⎩a tb b a a ， 解得117223172⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪+⎪=⎪⎩a b t 或117223172⎧-=⎪⎪⎪=⎨⎪-⎪=⎪⎩a b t ，此时，317==(1)2=225172+⋅+⨯⨯+=+平行四边形AMFN S AN OM t ， 或317==(1)2=225172-⋅+⨯⨯+=-平行四边形AMFN S AN OM t ； 综上所述，符合条件的平行四边形的面积是2，517+或517-．24．解：（1）过点A 作⊥AH BD 于点H ．∵60∠=︒ADB ，2=AD ， ∴1=DH ，3=AH ， ∴3=-=HB BD DH ， ∴3tan 3∠==AH ABH BH ， ∴30∠=︒ABH ，23=AB ， ∵ABC △是等边三角形， ∴90∠=︒DBC ，23=BC ，由勾股定理得：22224(23)27=+=+=CD DB BC ． （2）作60∠=︒EAD ，且使=AE AD ，连接ED 、EB ． ∴AED △是等边三角形， ∴=AE AD ，60∠=︒EAD ，∵ABC △是等边三角形， ∴=AB AC ，60∠=︒BAC ，∴∠+∠=∠+∠EAD DAB BAC DAB ，即∠=∠EAB DAC ， ∴≅EAB DAC △△． ∴=EB DC ．当点E 、D 、B 在同一直线上时，EB 最大， ∴246=+=EB ，∴CD 的最大值为6，此时120∠=︒ADB ．25．解：（1）由题意得：(1,0)-A ，(3,0)B ，(0,3)-D ，(1,0)M ．∴2===AM BM CM ， ∴223=-=OC CM OM ， ∴(0,3)C ．∵GC 是⊙M 的切线， ∴90∠=︒GCM ， ∴cos ∠==OM MC OMC MC MG ，即122=MG， ∴4=MG ，∴(3,0)-G ，∴直线GC 的表达式为333=+y x ． （2）设过点D 的直线表达式为3=-y kx ，由2323=-⎧⎨=--⎩y kx y x x 得2(2)0-+=x k x ， 由2[(2)]0∆=-+=k ，得2=-k ，∴过点D 的“蛋圆”的切线的表达式为23=--y x ．（3）假设点E 在x 轴上方的“蛋圆”上，设(,)E m n ，则点F 的坐标为(,)-m n ． 设EF 与x 轴交于点H ，连接EM ．∴222+=HM EH EM ， ∴22(1)4-+=m n ，∵点F 在二次函数223=--y x x 的图象上， ∴223--=-m m n ，解得131⎧=+⎪⎨=⎪⎩m n 或131⎧=-⎪⎨=⎪⎩m n ．(0=n 舍去)由对称性可得：131⎧=+⎪⎨=-⎪⎩m n 或131⎧=-⎪⎨=-⎪⎩m n ．∴1(13,1)+E ，2(13,1)-E ，3(13,1)+-E ，4(13,1)--E ．2013年北京通州中考一模数学试卷部分解析一、选择题 1. 【答案】C【解析】3-的倒数是13-．故选C ．2. 【答案】C【解析】球体的主视图，左视图和俯视图都是圆，形状相同．故选C ．3. 【答案】D【解析】17800用科学记数法表示应为41.7810⨯．故选D ．4. 【答案】B【解析】264∠=∠=︒AOC ABC ．故选B ．5. 【答案】A【解析】一共5只粽子，其中2只红豆粽，故吃到红豆粽的概率是25．故选A ．6. 【答案】D【解析】扇形的面积290π2π360⋅==．故选D ．7. 【答案】B【解析】通过计算可知，平均数为3；中位数为3；众数为3；方差为2．故选B ．8. 【答案】A【解析】根据题意，易得2=AB ，60∠=︒BAO ，菱形的高为3．设菱形沿y 轴方向滑落的速度为1，则沿x 轴滑落的速度为3．当点A 在x 轴上方时，落在x 轴下方的部分是三角形，面积212332=⋅⋅=S t t t ；当点A 在x 轴下方，点C 在x 轴上方时，落在x 轴下方的部分是梯形，面试13[(1)1]3322=+-⋅⨯=-S t t t ；当点C 在x 轴下方时，落在x 轴下方的部分的面积为菱形的面积减去x 轴上方部分的三角形的面积，即21323(62)(62)233(3)22=⨯--⋅-=--S t t t ．综上可知，选项A 的图形符合．故选A ．二、填空题9. 【答案】2=x【解析】由题意得20-=x x，解得2=x ． 故答案为：2=x ．10. 【答案】2(1)-x x【解析】分解因式：32222(21)(1)-+=-+=-x x x x x x x x ． 故答案为：2(1)-x x ．11. 【答案】40︒【解析】∵∥AB CD ，70∠=︒AEC ，∴70∠=∠=︒C AEC ．∵=DC DE ，∴70∠=∠=︒CED C ． ∴18040∠=︒-∠-∠=︒D C CED ． 故答案为：40︒．12. 【答案】1；4【解析】若1=n ，则12141−−−→−−−→①② F F 第次第次，即第2次“F 运算”的结果是1； 若13=n ，则1234561340516141−−−→−−−→−−−→−−−→−−−→−−−→①②③④⑤⑥ F F F F F F 第次第次第次第次第次第次，从第5次开始，出现循环，周期2=T ，∵(20134)210041-÷=L ，∴第2013次“F 运算”的结果是4． 故答案为：1；4．。
新世纪教育网精选资料 版权全部 @新世纪教育网九年级综合水平质量调研数学试卷2013.3学校 ___________________ 班级 _______________姓名 ________________ 学号 _____________考1． 本试卷共 8 页，共五道大题， 25 道小题，满分 120 分，考试时间 120 分钟 .生 2． 在试卷和答题卡上正确填写学校．班级．姓名．学号.须3． 试题答案一律填涂或书写在 答题卡 上，在试卷上作答无效 .知4． 考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回.注 意 1 ． 考生要按规定的要求在机读答题卡上作答，题号要对应，填涂要规范.事项 2 ． 考试结束后，试卷和机读答题卡由监考人一并回收.第一卷（机读卷 32 分）一 1.4 的算术平方根是选 A ． 2B ．± 2C ． 16D ．± 16择2. 如图，已知 △ ABC 为直角三角形， ∠ C=90°，若 C题 沿图中虚线剪去∠ C ， 则∠ 1+∠ 2 等于D本 A.90°B. 135 °E12题C. 150 °D. 270 °BA32第 2分题图，3.布袋中装有 1 个红球， 2 个白球， 3 个黑球，它们除颜色外完好同样，从袋中任每 小 意摸出一个球，摸出的球是白球．．的概率是题 A ．1B ．1C ． 1D ．543626分4.某班的 9 名同学的体重分别是（单位：千克）： 61，59， 70，59， 65，67，59，63，57，这组数据的众数和中位数分别是A ． 59，61B ．59，63C ． 59， 65D ． 57，61 5.全世界可被人类利用的淡水总量仅占地球上总水量的 0.00003 ，所以珍惜水、保护 水，是我们每一位公民当仁不让的责任．此中数字 0.00003 用科学记数法表示为A ．3 10 4B ．3 10 5C ．0.310 4D ．0.3 10 56.如图，模块①－⑤均由 4 个棱长为 1 的小正方体构成，模块⑥由 15 个棱长为 1的小正方体构成 .现从模块①－⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个棱长为 3 的大正方体 . 则以下选择方案中，能够达成任务的为新世纪教育网精选资料版权全部@新世纪教育网一选择题本题32分，每小题4分A．模块②，④，⑤B．模块①，③，⑤C．模块①，②，⑤D．模块③，④，⑤7.如图，两个齐心圆，大圆的弦 AB与小圆相切于点 P，大圆的弦CD经过点 P，且 CD=13， PC=4，则两圆构成的圆环的面积是A．16πB．36πC．52πD．81π第 7题图8. 矩形 ABCD 中，AD8cm， AB 6cm ．动点E从点C开始沿边 CB 向点B以 2cm/s 的速度运动至点 B 停止，动点 F从点 C 同时出发沿边CD 向点 D 以 1cm/s 的速度运动至点D停止．如图可获得矩形CFHE ，设运动时间为 x（单位： s），此时矩形 ABCD 去掉矩形 CFHE 后节余部分的面积为y(单位： cm2) ，则 y 与 x 之间的函数关系用图象表示大概是以下图第 8题图中的注 1．第Ⅱ卷包含 4 道填空和 13 道解答，共 8 . 答前要真，看清目意要求，按要求真作答.事2．答笔迹要工整，画要清楚，卷面要整.3．考生除画能够用笔外，答必用色或黑色笔、珠笔.二填空本共16分，每小4分三解答本第二卷（非机读卷88 分）9.若分式 x 24的 0， x 的．x210.如，点 A、 B 、C是半径6的⊙O上的点，BB 30,AC 的_____________.AOC第 10如，在△ ABC 中， D、 E 分 AB、 AC 上的点， DE∥A 11.BC．若 AD ＝3， DB＝ 5，DE ＝ 1.2， BC＝．D EB C第 1112. 如，在ABC 中，A，ABC 的平分与ACD 的均分交于点A，得 A，11A1=． A1 BC 的均分与A1CD 的均分交于点A2，得A2，⋯⋯，A2009 BC 的均分与A2009CD的均分第 12交于点 A2010，得 A2010，A2010=．13.（本小 5 分）( 3 1)04sin6027题14. （本小题 5 分）共3x1430解不等式组x，并把它的解集表示在数轴上．2x2分，每小题5分15. （本小题 5 分）A D如图， E、F 是平行四边形ABCD 对角线 AC E上两点， BE ∥ DF ，求证：AF CE 。
通州区初三年级模拟考试数学试卷（一模）数学、选择题（每题只有一个正确答案，共 8个小题，每小题 4分，共 32 分）11．的绝对值是（）21 1A．2 B．C．－ 2 D．2 22．2013 年 12 月 14 日，随着嫦娥三号月球探测器缓缓降落在月球表面，中国成为继前苏联和美国后第三个实现月球软着陆的国家 . 月球与地球的平均距离是 384000 公里 . 数字 384000 用科学记数法表示为（）A ．×105B．× 104C．× 106D．×1063．如果一个正多边形的一个外角是45 ，那么这个正多边形的边数是（）A ．6 B．7 C．8 D．94．右图是某几何体的三视图，这个几何体是（A ．圆锥B．圆柱C．正三棱柱D．三棱锥5．某市 2014 年 4 月份一周空气质量报告中某种污染指数的数据是：31，35，31，34，30，32，31，这组数据的中位数和众数分别是（A ．32， 31 B．31，32 C．31，316．如图， AB∥CD ，CD ＝BD ，∠ ABD ＝68°，那么∠ C 的度数是A ． 30 °B．33°C．34°D．36°C7．一盒子内放有只有颜色不同的 2 个红球、3 个白球和 4 个黑球，搅匀后任A．B．1C．44D．9左视图俯视图D．32，35黑球的概率为（）8．如图，平行四边形纸片 ABCD，CD＝5，BC＝ 2，∠ A＝ 60 °，将纸片折叠，使点 A 落在射线 AD 上（记为片重叠部分的面积为 y，可以表示 y与 x 之间关系的大致图象是（）D CA．B．C．D．14．解不等式： 2（x 2）≤3x 1.15．已知： 3x 2y ，求代数式 （2x y ）2 x （x 2y ） y 2 的值．、填空题（ 本题共 16 分，每小题 4 分）9．如果二次根式 3x 1有意义，那么 x 的取值范围是210．分解因式： 3x 2 12x 12 = ．11．如图， AB 是⊙ O 的直径，点 C 、D 在圆上，∠ D ＝则∠ ABC 等于．412．如图，在反比例函数 y （x 0） 的图象上，有x点P 1， P 2，P 3， P 4⋯⋯ P n （n 为正整数，且 n ≥1），它们的横坐标依次为 1，2，3，4⋯⋯ n （n 为正整数， 且 n ≥1）．分别过这些点作 x 轴与 y 轴的垂S 1，S 2，S 3⋯⋯ S n 1 （n 为正整数，且 n ≥2），那么 S 1 S 2S 3，S 1 S 2 S 3 S 4S n（用含有n 的代数式表示） ．、解答题（ 本题共 30 分，每小题 5 分）13．计算：(1) 2 12 2cos30 3 0.COA第 11 题图邻两点，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为16．如图，在△ ABC 中，∠ ABC＝ 45°，高线 AD 和 BE 交于点 F. 求证： CD＝ DF.F ED17 ．已知：关于 x 的一元二次方程 x2＋ax＋ a－2＝0.（1）求证：无论 a 取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；（2）当方程的一个根为－ 2 时，求方程的另一个根 .18．列方程或方程组解应用题：现有甲、乙两个空调安装队分别为 A 、 B 两个公司安装空调，甲安装队为 A 公司安装 66 台空调，乙安装队为 B 公司安装 60台空调，两个安装队同时开工恰好同时安装完成，甲队比乙队平均每天多安装 2 台空调 . 求甲、乙两个安装队平均每天各安装多少台空调.四、解答题 （本题共 20 分，每小题 5 分）19．为了解某区 2014 年八年级学生的体育测试情况，随机抽取了该区若干名八年级学生的测试成绩进行了统计 分析，并根据抽取的成绩等级绘制了如下的统计图表 （不完整 ）：成绩等级 A BCD 人数6010请根据以上统计图表提供的信息，解答下列问题： 1）本次抽查的学生有 __________ 名, 成绩为 B 类的学生人数为 ________ 名, C 类成绩所在扇形的圆心角度数为 ________ ；2）请补全条形统计图；3）根据抽样调查结果，请估计该区约 5000 名八年级学生体育测试成绩为 D 类的学生人数．20．如图：在矩形 ABCD 中， AB=2，BC=5，E 、P 分别在 AD 、BC 上，且 DE=BP=1．OE ∥ BD ，交 BC 于点 F ，交 AE 于点 E. 1）求证：∠ E=∠ C ；42）当⊙ O 的半径为 3， cosA ＝ 时，求 EF 的长 .5求证：四边形 EFPH 为矩形 . 21．如图， CD 为⊙O 的直径，点 B 在⊙O 上，连接 BC 、 BD ，过点 B 的切线 AE 与 CD 的延长线交于点 A ， E AFA22．问题解决如图 1，将两个完全相同的三角形纸片 ABC 和 DEC 重合放置，其中∠ C=90°， ∠B=∠ E=30°.1）如图 2，固定△ ABC ，将△ DEC 绕点 C 旋转，当点 D 恰好落在 AB 边上时， 设△BDC 的面积为 S 1 ，△ AEC 的面积为 S 2，那么 S 1与S 2的数量关系是 ______2）当△ DEC 绕点 C 旋转到图 3所示的位置时，小明猜想（ 1）中 S 1与S 2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△ BDC 和△ AEC 中 BC 、 CE 边上的高，请你证明小明的猜想．3）如图 4，∠ ABC=60°，点 D 在其角平分线上， BD=CD=6，DE ∥AB 交 BC 于点 E ，若点 F 在射线 BA 上，并且S DCF S BDE ，请直．接．写．出． 相应的 BF 的长．图1BE图2图4五、解答题 （本题共 22分，第 23题7分，第 24题 7分，第 25题8分）223．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 y x 2 2x 8的图象与一次函数y x b 的图象交于 A 、 B 两点，点 A 在 x 轴上，点 B 的纵坐标为 7. 点 P 是二次函数图象上 之间的一个动点（不与点 A 、B 重合），设点 P 的横坐标为 m ，过点 P 作 x 轴的垂线交 AB 于点 AB 于点 D.（1）求 b 及 sin ∠ACP 的值；（2）用含 m 的代数式表示线段 PD 的长；（3）连接 PB ，线段 PC 把△ PDB 分成两个三角形，是否存 在适合的 m 值，使这两个三角形的面积之比为 1:2. 如果存在，直．接．写．出．m 的值；如果不存在，请说明理由 .A 、B 两点C ，作 PD⊥x24．已知：等边三角形 ABC 中，点 D、E、F 分别为边 AB、AC、BC的中点，点 M 在直线 BC 上，以点M 为旋转中心，将线段 MD 顺时针旋转 60o 至 MD ，连接 ED .（1）如图 1，当点 M 在点 B左侧时，线段 ED 与 MF 的数量关系是 _______ ；（2）如图 2，当点 M 在 BC 边上时，（ 1）中的结论是否依然成立？如果成立，请利用图2证明，如果不成立，请说明理由；3）当点 M 在点 C右侧时，请你在图．．3．中．画．出．相．应．的．图．形．出证明或说明理由 .，直．接．判．断．（ 1）中的结论是否依然成立？不必给图 2 图 325．如图，在平面直角坐标系xOy中，半圆的圆心点 A 在x轴上，直径 OB=8，点 C是半圆上一点，COA 60 ，二次函数y a（x h）2k 的图象经过点 A、B、C.动点 P和点 Q同时从点 O出发，点 P 以每秒 1 个单位的速度从 O 点运动到点 C，点 Q 以每秒两个单位的速度在 OB 上运动，当点 P 运动到点 C 时，点 Q 随之停止运动.点 D 是点 C 关于二次函数图象对称轴的对称点，顺次连接点D、P、Q，设点P 的运动时间为 t秒，△ DPQ的面积为 y.（ 1）求二次函数y a（x h）2k 的表达式；（2）当DQP 120 时，直．接．写．出．点 P 的坐标；（ 3）在点 P 和点 Q 运动的过程中，△ DPQ 的面积存在最大值吗？如果存在，请求出此时的 t 值和△DPQ 面积的最大值；如果不存在，请说明理由 .备用图。
北京市2013年中考数学几何综合海淀24．在△ABC 中，∠ACB ＝90︒．经过点B 的直线l （l 不与直线AB 重合）与直线BC 的夹角等于ABC ∠，分别过点C 、点A 作直线l 的垂线，垂足分别为点D 、点E ．（1）若45ABC ∠=︒，CD =1（如图），则AE 的长为 ； （2）写出线段AE 、CD 之间的数量关系，并加以证明； （3）若直线CE 、AB 交于点F ， 56CF EF =，CD =4，求BD 的长．东城24. 问题1：如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =BC =CD ，点M ，N 分别在AD ，CD 上，若∠MBN =12∠ABC ，试探究线段MN ，AM ，CN 有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不用证明；问题2：如图2，在四边形ABCD 中，AB =BC ，∠ABC +∠ADC =180°，点M ，N 分别在DA ，CD 的延长线上，若∠MBN =12∠ABC 仍然成立，请你进一步探究线段MN ，AM ，CN 又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明.昌平24．在△ABC 中，AB =4，BC =6，∠ACB =30°，将△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转，得到△A 1BC 1．（1）如图1，当点C 1在线段CA 的延长线上时，求∠CC 1A 1的度数； （2）如图2，连接AA 1，CC 1．若△CBC 1的面积为3，求△ABA 1的面积；（3）如图3，点E 为线段AB 中点，点P 是线段AC 上的动点，在△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转的过程中，点P 的对应点是点P 1，直接写出线段EP 1长度的最大值与最小值．C 1C BA 1A图2A 1C 1ABC图1图3A朝阳24．在Rt △ABC 中，∠A =90°，D 、E 分别为AB 、AC 上的点．（1）如图1，CE =AB ，BD =AE ，过点C 作CF ∥EB ，且CF =EB ，连接DF 交EB 于点G ，连接BF ，请你直接写出EBDC 的值；（2）如图2，CE =kAB ，BD =kAE ，12EB DC ，求k 的值．图2B 图1FB大兴24. 如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD ，点P 为正方形AD 边上的一点（不与点A 、点D 重合）将正方形纸片折叠，使点B 落在P 处，点C 落在G 处，PG 交DC 于H ，折痕为EF ，连接BP 、BH ． （1）求证：∠APB=∠BPH ；（2）当点P 在边AD 上移动时，△PDH 的周长是否发生变化？并证明你的结论； （3）设AP 为x ，四边形EFGP 的面积为S ，请直接写．．．出．S 与x 的函数关系式，并求出．．S 的最小值 ．西城24．在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠ABC =α，点P 在△ABC 的内部．(1) 如图1，AB =2AC ，PB =3，点M 、N 分别在AB 、BC 边上，则cos α=_______， △PMN 周长的最小值为_______；(2) 如图2，若条件AB =2AC 不变，而P A =2，PB =10，PC =1，求△ABC 的面积； (3) 若P A =m ，PB =n ，PC =k ，且cos sin k m n αα==，直接写出∠APB 的度数．房山24（1）如图1，△ABC 和△CDE 都是等边三角形，且B 、C 、D 三点共线，联结AD 、BE相交于点P ，求证： BE = AD . （2）如图2，在△BCD 中，∠BCD ＜120°，分别以BC 、CD 和BD 为边在△BCD 外部作等边三角形ABC 、等边三角形CDE 和等边三角形BDF ，联结AD 、BE 和CF 交于点P ，下列结论中正确的是 （只填序号即可） ①AD=BE=CF ；②∠BEC=∠ADC ；③∠DPE=∠EPC=∠CP A =60°； （3）如图2，在（2）的条件下，求证：PB+PC+PD=BE .丰台24．在ABC △中，∠ACB =90°，AC ＞BC ，D 是AC 边上的动点，E 是BC 边上的动点，AD =BC ，CD =BE ．（1） 如图1，若点E 与点C 重合，连结BD ，请写出∠BDE 的度数；（2）若点E 与点B 、C 不重合，连结AE 、BD 交于点F ，请在图2中补全图形，并求出∠BFE 的度数．ACB第24题图1第24题图2ADDBC （E ）A图1怀柔24. 如图，△ABC 中，∠ACB=90°，AD=AC,AB=AN,连结CD 、BN,CD 的延长线交BN 于点F ． （1）当∠ADN 等于多少度时，∠ACE=∠EBF,并说明理由； （2）在（1）的条件下，设∠ABC=α，∠CAD =β，试探索α、β满足什么关系时，△ACE ≌△FBE ，并说明理由．门头沟24．已知：在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 为BC 边的中点，点F 是AB 边上一点，点E 在线段DF 的延长线上，点M 在线段DF 上，且∠BAE ＝∠BDF ，∠ABE ＝∠DBM ． （1） 如图1，当∠ABC ＝45°时，线段 DM 与AE 之间的数量关系是 ； （2） 如图2，当∠ABC ＝60°时，线段 DM 与AE 之间的数量关系是 ；（3）① 如图3，当ABC α∠=（0<<90α︒︒）时，线段 DM 与AE 之间的数量关系是 ；② 在（2）的条件下延长BM 到P ，使MP ＝BM ，连结CP ，若AB ＝7，AE＝求sin ∠ACP 的值．A BCD EFMMFED CBA ABCD EF M图1图2图3密云24．如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 是AB 的中点，过点E 作EF BC ∥交CD 于点F ．46AB BC ==，， 60B =︒∠. （1）点E 到BC 的距离为 ；（2）点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PM EF ⊥交BC 于点M ，过M 作MN AB ∥交折线ADC 于点N ， 连结PN ，设EP x =.①点N 在线段AD 上时（如图2），P M N △的形状是否发生改变？若不变，求出PMN △的周长； 若改变，请说明理由；②当点N 在线段DC 上时（如图3），是否存在点P ，使PMN △为等腰三角形？若存在，请求出 所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由.平谷24．（1）如图(1)，△ABC 是等边三角形，D 、E 分别是AB 、BC 上的点，且BD CE =，连接AE 、CD 相交于点P .请你补全图形，并直接写出∠APD 的度数；= （2）如图（2）,Rt △ABC 中，∠B =90°，M 、N 分别是 AB 、BC 上的点，且,AM BC =BM CN =，连接AN 、CM 相 交于点P . 请你猜想∠APM = °，并写出你的推理过程A DE BF C图1图2 A DE BFCP N M图3 AD E BF CP N M石景山24．如图，△ABC 中，∠90ACB =︒, 2=AC ，以AC 为边向右侧作等边三角形ACD ．（1）如图24-1,将线段AB 绕点A 逆时针旋转︒60，得到线段1AB ，联结1DB ，则与1DB 长度相等的线段为 （直接写出结论）；（2）如图24-2，若P 是线段BC 上任意一点（不与点C 重合），点P 绕点A 逆时针旋转︒60得到点Q ,求ADQ ∠的度数；（3）画图并探究：若P 是直线BC 上任意一点（不与点C 重合），点P 绕点A 逆时针旋转︒60得到点Q ,是否存在点P ，使得以 A 、 C 、 Q 、 D 为顶点的四边形是梯形，若存在,请指出点P 的位置，并求出PC 的长；若不存在，请说明理由．顺义24．如图1，将三角板放在正方形ABCD 上，使三角板的直角顶点E 与正方形ABCD的顶点A 重合．三角板的一边交CD 于点F ，另一边交CB 的延长线于点.G （1）求证：EF EG =； （2）如图2，移动三角板，使顶点E 始终在正方形ABCD 的对角线AC 上，其他条件不变， （1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； （3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD ”改为“矩形ABCD ”，且使三角板的一边经过点B ，其他条件不变，若AB a =，BC b =，求EFEG的值．图24-1 图24-2B 1ABCD备用图 A D备用图AD通州24．已知：2AD =，4BD =，以AB 为一边作等边三角形ABC .使C 、D 两点落在直线AB 的两侧.（1）如图，当∠ADB=60°时，求AB 及CD 的长；（2）当∠ADB 变化，且其它条件不变时，求CD 的 最大值，及相应∠ADB 的大小.延庆25. （本题满分8分）如图1，在四边形ABCD 中，AB CD =，E F 、分别是BC AD 、的中点，连结EF 并延长，分别与BA CD 、的延长线交于点M N 、，则BME CNE ∠=∠（不需证明）． （温馨提示：在图1中，连结BD ，取BD 的中点H ，连结HE HF 、，根据三角形中位线定理，证明HE HF =，从而12∠=∠，再利用平行线性质，可证得BME CNE ∠=∠．） 问题一：如图2，在四边形ADBC 中，AB 与CD 相交于点O ，AB CD =，E F 、分别是BC AD 、的中点，连结EF ，分别交DC AB 、于点M N 、，判断OMN △的形状，请直接写出结论．问题二：如图3，在ABC △中，AC AB >，D 点在AC 上，AB CD =，E F 、分别是BC AD 、的中点，连结EF 并延长，与BA 的延长线交于点G ，若60EFC ∠=°，连结GD ，判断AGD △的形状并证明．A DBC。
2013年北京市通州区高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 设集合A ={x|x 2−4<0}，B ={0, 1, 2}，则A ∩B 等于（ ） A {0} B {0, 1} C {0, 1, 2} D ⌀2. 在复平面内，复数21−i对应的点位于( )A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限3. 已知圆的直角坐标方程为x 2+y 2−2y =0．在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，该圆的方程为（ ）A ρ=2cosθB ρ=2sinθC ρ=−2cosθD ρ=−2sinθ4. 已知函数f(x)={2x x ≤0log 2x ，x >0，则f[f(−1)]=( )A −2B 2C 1D −15. 一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是（ ）A 16+4√2B 12+4√2C 8+4√2D 4+4√26. 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A 251−2B 250−2C 251−1D 250−17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则“a =2bcosC”是“△ABC 是等腰三角形”的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件 8. 已知直线l 1:4x −3y +6=0和直线l 2:x =−1，抛物线y 2=4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是（ ） A 3√55 B 2 C 115D 3二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9. 如图，已知AD =5，DB =8，AO =3√10，则圆O 的半径OC 的长为________．10. 已知x ，y 满足约束条件{2x +y ≤4x +2y ≤4x ≥0y ≥0，则z =x +y 的最大值为________．11. 若x +1>0，则x +1x+1的最小值为________．12. 在边长为1的等边△ABC 中，D 为BC 边上一动点，则AB →⋅AD →的取值范围是________． 13. 奇函数f(x)的定义域为[−2, 2]，若f(x)在[0, 2]上单调递减，且f(1+m)+f(m)<0，则实数m 的取值范围是________．14. 对任意两个实数x 1，x 2，定义max(x 1，x 2)={x 1，x 1≥x 2x 2，x 1<x 2若f(x)=x 2−2，g(x)=−x ，则max （f(x)，g(x)）的最小值为________．三、解答题（共6小题，共80分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. 已知函数f(x)=sinxcosx +cos 2x −12． （1）求f(x)的最小正周期；（2）求函数f(x)在[−π8，π2]的最大值和最小值．16. 如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，CC 1⊥底面ABC ，AC =BC =2，AB =2√2，CC 1=4，M 是棱CC 1上一点． （1）求证：BC ⊥AM ；（2）若N 是AB 上一点，且AN AB =CMCC 1，求证：CN // 平面AB 1M ；（3）若CM =52，求二面角A −MB 1−C 的大小．17. 某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上每隔1小时抽一包产品，称其重量（单位：克）是否合格，分别记录抽查数据，获得重量数据的茎叶图如图．（1）根据样品数据，计算甲、乙两个车间产品重量的均值与方差，并说明哪个车间的产品的重量相对较稳定；（2）若从乙车间6件样品中随机抽取两件，求所抽取的两件样品的重量之差不超过2克的概率．18. 已知椭圆的中心在原点O，短半轴的端点到其右焦点F(2, 0)的距离为√10，过焦点F作直线l，交椭圆于A，B两点．（1）求这个椭圆的标准方程；（2）若椭圆上有一点C，使四边形AOBC恰好为平行四边形，求直线l的斜率．19. 已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2(a, b∈R)（1）若函数f(x)在x=1处有极值为10，求b的值；（2）若对任意a∈[−4, +∞)，f(x)在x∈[0, 2]上单调递增，求b的最小值．20. 现有一组互不相同且从小到大排列的数据a0，a1，a2，a3，a4，a5，其中a0=0．记T=a0+a1+a2+a3+a4+a5，x n=n5，y n=1T(a0+a1+⋯+a n)(n=0, 1, 2, 3, 4, 5)，作函数y=f(x)，使其图象为逐点依次连接点P n(x n, y n)(n=0, 1, 2, 3, 4, 5)的折线．（1）求f(0)和f(1)的值；（2）设直线P n−1P n的斜率为k n(n=1, 2, 3, 4, 5)，判断k1，k2，k3，k4，k5的大小关系；（3）证明：当x∈(0, 1)时，f(x)<x．2013年北京市通州区高考数学一模试卷（理科）答案1. B2. A3. B4. D5. B6. B7. A8. B9. 510. 8311. 112. [12, 1]13. (−12，1]14. −115. 解：（1）由已知，得f(x)=12sin2x+12cos2x=√22sin(2x+π4)，∵ ω=2，∴ T=π，则f(x)的最小正周期为π；（2）∵ −π8≤x≤π2，∴ 0≤2x+π4≤5π4，则当2x+π4=π2时，即x=π8时，f(x)取得最大值√22；当2x+π4=5π4时，即x=π2时，f(x)取得最小值−12．16. （1）证明：因为三棱柱ABC−A1B1C1中CC1⊥平面ABC，所以CC1⊥BC．因为AC=BC=2，AB=2√2，所以，由勾股定理的逆定理知BC⊥AC．又因为AC∩CC1=C，所以BC⊥平面ACC1A1因为AM⊂平面ACC1A1，所以BC⊥AM；（2）证明：如图，过N作NP // BB1交AB1于P，连结MP，则NP // CC1，且△ANP∽△ABB1．于是有NPBB1=ANAB．由已知ANAB =CMCC1，有NPBB1=CMCC1．因为BB1=CC1．所以NP=CM．所以四边形MCNP是平行四边形．所以CN // MP．因为CN⊄平面AB1M，MP⊂平面AB1M，所以CN // 平面AB1M；（3）因为BC⊥AC，且CC1⊥平面ABC，所以以C为原点，CA，CB，CC1分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系C−xyz ．因为CM =52，所以C(0, 0, 0)，A(2, 0, 0)，B 1(0, 2, 4)，M(0,0,52)， AM →=(−2,0,52)，B 1M →=(0,−2,−32)．设平面AMB 1的法向量m →=(x,y,z)， 则{m →⋅B 1M →=0˙，即{−2x +52z =0−2y −32z =0， 令x =5，则y =−3，z =4，即m →=(5,−3,4)． 又平面MB 1C 的一个法向量是CA →=(2,0,0)， 所以cos <m →，CA →>=|m →|⋅|CA →|˙=√52+(−3)2+42√22=√22． 由图可知二面角A −MB 1−C 为锐角， 所以二面角A −MB 1−C 的大小为π4．17. x ¯=16(107+111+111+113+114+122)=113x ¯=16(108+109+110+112+115+124)=113，S 2=16[(107−113)2+(111−113)2+(111−113)2+(113−113)2+(114−113)2+(122−113)2]＝21， S 2=16[(108−113)2+(109−113)2+(110−113)2+(112−113)2+(115−113)2+(124−113)2] =883，∵ x ¯=x ¯，S 甲2<S 乙2，∴ 甲车间的产品的重量相对较稳定．从乙车间6件样品中随机抽取两件，共有15种不同的取法：(108, 109)， (108, 110)，(108, 112)，(108, 115)，(108, 124)，(109, 110)， (109, 112)，(109, 115)，(109, 124)，(110, 112)，(110, 115)， (110, 124)，(112, 115)，(112, 124)，(115, 124)．设A 表示随机事件“所抽取的两件样品的重量之差不超过2克”，则A 的基本事件有4种：(108, 109)，(108, 110)，(109, 110)，(110, 112)． 故所求概率为P(A)=415．18. 解：（1）由已知，可设椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，则a =√10，c =2．所以b =√a 2−c 2=√10−4=√6， 所以椭圆方程为x 210+y 26=1．（2）若直线l ⊥x 轴，则平行四边形AOBC 中，点C 与点O 关于直线l 对称，此时点C 坐标为(2c, 0)．因为2c >a ，所以点C 在椭圆外，所以直线l 与x 轴不垂直． 于是，设直线l 的方程为y =k(x −2)，点A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)， 则{x 210+y 26=1y =k(x −2)，整理得，(3+5k 2)x 2−20k 2x +20k 2−30=0，x 1+x 2=20k 23+5k 2，所以y 1+y 2=−12k 3+5k 2．因为四边形AOBC 为平行四边形，所以OA →+OB →=OC →， 所以点C 的坐标为(20k 23+5k 2，−12k3+5k 2)， 所以(20k 23+5k 2)210+(−12k 3+5k 2)26=1，解得k 2=1，所以k =±1． 19. 解：（1）f ′(x)=3x 2+2ax +b则{f′(1)=3+2a +b =0f(1)=1+a +b +a 2=10⇒{a =4b =−11或{a =−3b =3…当{a =4b =−11时，f ′(x)=3x 2+8x −11，△=64+132>0，所以函数有极值点； 当{a =−3b =3时，f′(x)=3(x −1)2≥0，所以函数无极值点；则b 的值为−11．…（2）解法一：f ′(x)=3x 2+2ax +b ≥0对任意的a ∈[−4, +∞),x ∈[0, 2]都成立则F(a)=2xa +3x 2+b ≥0对任意的a ∈[−4, +∞),x ∈[0, 2]都成立∵ x ≥0，F(a)在a ∈[−4, +∞)单调递增或为常数函数所以得F(a)min =F(−4)=−8x +3x 2+b ≥0对任意的x ∈[0, 2]恒成立， 即b ≥(−3x 2+8x)max ，又−3x 2+8x =−3(x −43)2+163≤163，当x =43时(−3x 2+8x)max =163，得b ≥163，所以 b 的最小值为163． …解法二：f ′(x)=3x 2+2ax +b ≥0对任意的a ∈[−4, +∞),x ∈[0, 2]都成立即b ≥−3x 2−2ax 对任意的a ∈[−4, +∞),x ∈[0, 2]都成立， 即b ≥(−3x 2−2ax)max ．令F(x)=−3x 2−2ax =−3(x +a3)2+a 23①当a ≥0时，F(x)max =0，∴ b ≥0； ②当−4≤a <0时，F(x)max =a 23，∴ b ≥a 23．又∵ (a 23)MAX =163，∴ b ≥163．综上，b的最小值为163．…20. （1）解：f(0)=a0a0+a1+a2+a3+a4+a5=0，…f(1)=a0+a1+a2+a3+a4+a5a0+a1+a2+a3+a4+a5=1；…（2）解：k n=y n−y n−1x n−x n−1=5Ta n，n=1，2，3，4，5．…因为a0<a1<a2<a3<a4<a5，所以k1<k2<k3<k4<k5．…（3）证：由于f(x)的图象是连接各点P n(x n, y n)(n=0, 1, 2, 3, 4, 5)的折线，要证明f(x)<x(0<x<1)，只需证明f(x n)<x n(n=1, 2, 3, 4)．…事实上，当x∈(x n−1, x n)时，f(x)=f(x n)−f(x n−1)x n−x n−1⋅(x−x n−1)+f(x n−1)=x n−x x n−x n−1f(x n−1)+x−x n−1x n−x n−1f(x n)<x n−xx n−x n−1x n−1+x−x n−1x n−x n−1x n=x．下面证明f(x n)<x n．法一：对任何n(n=1, 2, 3, 4)，5(a1+a2+...+a n)=[n+(5−n)](a1+a2+...+a n)…= n(a1+a2+...+a n)+(5−n)(a1+a2+...+a n)≤n(a1+a2+...+a n)+(5−n)na n...= n[a1+a2+...+a n+(5−n)a n]<n(a1+a2+...+a n+a n+1+...+a5)=nT…所以f(x n)=a1+a2+⋯+a nT <n5=x n．…法二：对任何n(n=1, 2, 3, 4)，当k n<1时，y n=(y1−y0)+(y2−y1)+...+(y n−y n−1)=15(k1+k2+⋯+k n)<n5=x n；…当k n≥1时，y n=y5−(y5−y n)=1−[(y n+1−y n)+(y n+2−y n+1)+...+(y5−y4)]=1−15(k n+1+k n+2+⋯+k5)<1−15(5−n)=n5=x n．综上，f(x n)<x n．…。
