2020届山西省吕梁市高三上学期第一次模拟考试数学(理)试题

2020年山西省吕梁市高考数学一模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={0,4,6},B={4,6,7}.则A∪B=()A. {4,6}B. {0,4，6}C. {0,4，6，7}D. {0,2，4，6，7}2.下列四个函数中，既是奇函数又在定义域上单调递减的是()A. y=2−|x|B. y=tanxC. y=−x3D. y=log15x3.使命题“存在x0∈[1,2]，x02−a≤0”为真命题的一个充分不必要条件为()A. a≥2B. a≤2C. a≥1D. a≤14.设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a2017=S2017=2017，则首项a1=()．A. −2014B. −2015C. −2016D. −20175.已知向量a⃗⊥b⃗ ，|b⃗ |=1，则|a⃗|a⃗ |+b⃗ |=()A. √2B. √3C. √5D. √76.函数y=−xsinx的部分图象是()A. B.C. D.7.计算1−2sin215°的结果为()A. 12B. √22C. √32D. 18.已知a=2−13，，c=log1213，则()A. a>b>cB. a>c>bC. c>a>bD. c>b>a9.直线2x−y−1=0被圆(x−2)2+(y+2)2=9截得的弦长为()A. 2√5B. 4C. 3D. 210. 已知函数f(x)={1x ,x ≥1x 3,x <1若函数g(x)=f(x)−kx 恰好有两个零点，则k 的取值范围是( ) A. (1,+∞) B. (0,1) C. [1,+∞) D. (−∞,0)∪(0,1)11. 如图，平面四边形ABCD 中，E ，F 是AD ，BD 中点，AB =AD =CD =2，BD =2√2，∠BDC =90°，将△ABD 沿对角线BD 折起至△A′BD ，使平面A′BD ⊥平面BCD ，则四面体A′BCD 中，下列结论不正确的是( )A. EF//平面A′BCB. 异面直线CD 与A′B 所成的角为90°C. 异面直线EF 与A′C 所成的角为60°D. 直线A′C 与平面BCD 所成的角为30°12. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n+1−2S n =1(n ∈N ∗)，a 1=1，则S 7= ( )A. 255B. 63C. 128D. 127二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）13. 若实数x ，y 满足：{y ≥2x −2y ≥−x +1y ≤x +1，则z =3x −y 的最大值是______；14. 四面体ABCD 的四个顶点都在球O 的表面上，AB =2，BC =CD =1，∠BCD =60°，AB ⊥平面BCD ，则球O 的表面积为 ．15. 函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A,ω,φ是常数，且A >0，ω>0)的部分图象如图所示，下列结论：①最小正周期为π；②f(0)=1③f(x)=−f(5π3−x) ④将f(x)的图象向左平移π6个单位，所得到的函数是偶函数；其中正确的是______．三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16.已知函数f(x)=alnxx+1+bx，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+2y−3=0，则a=，b=．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2c−bcosB =acosA．(Ⅰ)求A；(Ⅱ)若a=√7,2b=3c，求△ABC的面积．18.如图，在直三棱柱ADF−BCE中，AB=BC=BE=2，CE=2√2．(1)求证：AC⊥平面BDE；(2)若EB=4EK，求直线AK与平面BDF所成角φ的正弦值．19.正项数列{a n}满足：a n2−(2n−1)a n−2n=0．(1)求数列{a n}的通项公式a n；(2)令b n=1(n+1)a n ，求数列{b n}的前n项和T n.并求使T n>511成立的最小正整数n的值．20.如图所示，四棱锥V−ABCD的底面为边长等于2cm的正方形，顶点V与底面正方形中心的连线为棱锥的高，侧棱长VC=4cm，求这个正四棱锥的体积．21.已知两点A(−1,0)、B(1,0)，分别求满足下列条件的点M的轨迹方程：(1)M到两定点A、B的距离的差的绝对值等于1；(2)直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之和是2．22.已知函数f(x)=(2−x)e2x，求f(x)的最大值．【答案与解析】1.答案：C解析：本题主要考查集合的并集运算，属于基础题．解：A∪B={0,4,6}∪{4,6,7}={0,4,6,7}．故选C．2.答案：C解析：解：A.y=2−|x|是偶函数；B.y=tanx在定义域上不具有单调性；C.y=−x3是R上的奇函数且具有单调递减；x是非奇非偶函数．D.y=log15故选：C．利用奇偶性、单调性的定义，即可得出结论．本题考查了函数的奇偶性、单调性，考查了推理能力，属于基础题．3.答案：A解析：解：存在x0∈[1,2]，x02−a≤0，可得a≥(x02)min，∴a≥1．∴命题“存在x0∈[1,2]，x02−a≤0”为真命题的一个充分不必要条件为a≥2．故选：A．存在x0∈[1,2]，x02−a≤0，可得a≥(x02)min，即可判断出结论．本题考查了等价转化方法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.答案：B解析：本题考查等差数列的求和，属于基础题．根据等差数列的求和公式即可求出．解：由等差数列前n项和公式可得：S2017=2017(a1+a2017)2=2017，所以a1=−2015．故选B．5.答案：A解析：利用向量的模的运算法则，通过向量的数量积求解即可．本题考查向量的数量积的应用，是基本知识的考查．解：向量a⃗⊥b⃗ ，|b⃗ |=1，则|a⃗|a⃗ |+b⃗ |=√(a⃗|a⃗ |)2+2a⃗ ⋅b⃗|a⃗ |+b⃗ 2=√1+1=√2．故选：A．6.答案：C解析：解：函数y=−xsinx是偶函数，排除B，D，当x=π2时，y=−π2，排除A，故选：C．判断函数的奇偶性，排除选项，利用特殊角的函数值判断即可．本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及函数的特殊点的位置，是常用方法．7.答案：C解析：解：1−2sin215°=cos30°=√32，故选：C．利用二倍角的余弦公式即可求得答案．本题考查二倍角的余弦，属于基础题．8.答案：C解析：本题考查了指数式与对数式的比较大小，属于基础题．解：0<a=2−13<20=1，b=log213<log21=0，c=log1213>log1212=1，即0<a<1,b<0,c>1，所以c>a>b．故选C．9.答案：B解析：解：圆心(2,−2)到直线2x−y−1=0的距离d=5=√5，圆的半径r=3，∴弦长为2√r2−d2=4．故选：B．利用垂径定理求出弦长．本题考查了直线与圆的位置关系，属于基础题．10.答案：A解析：令g(x)=0得出f(x)=kx，做出y=kx与y=f(x)的函数图象，则两图象有两个交点，求出y=kx的过原点的斜率，即可得出k的范围．解：令g(x)=0得f(x)=kx，∵g(x)有两个零点，∴直线y=kx与y=f(x)有两个交点，做出y=kx和y=f(x)的函数图象，如图所示：由图可知当直线过A(1,1)是有三个零点，此时斜率k=1，要想函数g(x)恰有两个零点，只需要k>1即可故选A．11.答案：C解析：本题考查异面直线所成角的求法，线面角的求法和线面平行的判断，考查转化思想和运算能力，属于中档题．运用线面平行的判定定理可判断A；由面面垂直的性质定理，结合异面直线所成角可判断B；由异面直线所成角和勾股定理的逆定理可判断C；由线面角的求法，可判断D．解：A：因为E，F分别为A′D和BD两边中点，所以EF//A′B，即EF//平面A′BC，EF⊄平面A′BC，A正确；B：因为平面A′BD⊥平面BCD，交线为BD，且CD⊥BD，所以CD⊥平面A′BD，A′B⊂平面A′BD，即CD⊥A′B，故B正确；C：取CD边中点M，连接EM，FM，则EM//A′C，所以∠FEM为异面直线EF与A′C所成角，又EF=1，EM=12A′C=√2，FM=12BC=√3，即∠FEM=90°，故C错误；D：连接A′F，可得A′F⊥BD，由面面垂直的性质定理可得A′F⊥平面BCD，连接CF，可得∠A′CF为A′C与平面BCD所成角，由sin∠A′CF=A′FA′C =√22√2=12，则直线A′C与平面BCD所成的角为30°，故D正确．故选：C．12.答案：D解析：本题考查等比数列的定义、通项公式与求和公式，考查运算求解能力，考查数学运算及逻辑推理核心素养．根据递推式可得数列{a n}是首项a1=1，公比q=2的等比数列，然后利用等比数列的求和公式可求出答案．解：由S n+1=2S n+1得S n=2S n−1+1(n∈N ∗，n>1)，两式相减得a n+1−2a n=0，即a n+1a n=2，又a2=2，所以a n=2×2n−2=2n−1，且当n=1时，a1=1也满足a n=2n−1，所以数列{a n}是首项a1=1，公比q=2的等比数列，所以S n=a1−a n q1−q =1−2n−1×21−2=2n−1，故S7=27−1=128−1=127，故选D．13.答案：5解析：解：作出实数x ，y 满足：{y ≥2x −2y ≥−x +1y ≤x +1，对应的平面区域如图：z =3x −y ，得y =3x −z ，平移直线y =3x −z ，由图象可知当直线y =3x −z 经过点A(3,4)时，直线y =3x −z 的截距最小，此时z 最大，z max =3×3−4=5． 即z 的最大值是5， 故答案为：5．作出不等式组对应的平面区域，通过z =3x −y ，利用数形结合即可的得到结论． 本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．14.答案：16π3解析：本题考查球的表面积的求法，考查四面体及外接球等知识，考查运算求解能力，是中档题． 推导出底面△BCD 为等边三角形，取CD 中点为E ，连接BE ，则△BCD 的外心在BE 上，设为G ，取BC 中点F ，连接GF ，过G 作AB 的平行线与AB 的中垂线HO 交于O ，O 为四面体ABCD 的外接球的球心，R =OB ，由此能求出球O 的表面积． 解：如图所示：∵BC =CD =1，∠BCD =60°， ∴底面△BCD 为等边三角形， 取CD 中点为E ，连接BE ，∴△BCD 的外心在BE 上，设为G ，取BC 中点F ，连接GF ， 在Rt △BCE 中，由CE =12，∠CBE =30°，得BF =12BC =12，又在Rt △BFG 中，得BG =12cos30°=√33， 过G 作AB 的平行线与AB 的中垂线HO 交于O ， 则O 为四面体ABCD 的外接球的球心，即R =OB ， ∵AB ⊥平面BCD ，BG ⊂平面BCD ， ∴OG ⊥BG ， 在Rt △BGO 中，得OB =√OG 2+BG 2=√12+(√33)2=2√33，∴球O 的表面积为．故答案为：16π3．15.答案：①③解析：解：由图象可得A =2，T4=7π12−π3=π4， 解得T =π； 即有ω=2πT=2，将(7π12,−2)代入f(x)=2sin(2x +φ)，可得 −2=2sin(7π6+φ)，解得φ=2kπ+π3，k ∈Z ，即有f(x)=2sin(2x +π3)， 可得f(0)=2sin π3=√3； f(x)+f(5π3−x)=2sin(2x +π3)+2sin(11π3−2x)=2sin(2x +π3)−2sin(2x +π3)=0，即有f(x)=−f(5π3−x)；将f(x)的图象向左平移π6个单位，可得y =2sin(2x +π3+π3)=2sin(2x +2π3)对应的图象，不关于y 轴对称，不为偶函数． 综上可得①③正确；②④错误． 故答案为：①③．由图象可得A=2，由图象求得T4=π4，可得周期和ω，可判断①；代入图象的最低点，可得φ，求得f(0)，可判断②；检验f(x)+f(5π3−x)是否为0，可判断③；运用图象平移变换和函数的奇偶性的定义，即可判断④．本题考查三角函数的图象和性质，考查正弦函数的周期和对称性、奇偶性和图象变换，考查数形结合思想方法，以及方程思想，运算能力，属于中档题．16.答案：11解析：本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义，注意切点在切线上，也在曲线上，正确求导和运用直线方程是解题的关键，属于基础题．求得函数f(x)的导数，可得切线的斜率，由切线的方程，可得a，b的方程组，解方程即可得到答案．解：函数f(x)=alnxx+1+bx的导数为f′(x)=a(x+1)x−alnx(x+1)2−bx2，可得y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为k=2a4−b=12a−b，切线方程为x+2y−3=0，可得12a−b=−12，且f(1)=b=1，解得a=b=1，故答案为：1，1．17.答案：(本小题满分12分)解：(Ⅰ)∵2c−bcosB =acosA．由正弦定理，得2sinC−sinBcosB =sinAcosA………(2分)整理得2sinCcosA−sinBcosA=sinAcosB，∴2sinCcosA=sinBcosA+sinAcosB=sin(A+B)=sinC………(4分)因为sinC≠0，所以cosA=12，又0<A<π，所以A=π3.………(6分)方法二：由余弦定理得：(2c−b)×b2+c2−a22bc =a×a2+c2−b22ac………(2分)化简整理得：b2+c2−a2=bc………(4分)即cosA=12，又0<A<π，所以A=π3.………(6分)(Ⅱ)由余弦定理得：(√7)2=b2+c2−2bccosπ3，a2=b2+c2−2bccosA，即b2+c2−bc=7，………(8分)又2b=3c，解得b=3，c=2.………(10分)所以S△ABC=12bcsinA=12×3×2×√32=3√32………(12分)解析：(Ⅰ)方法一：由已知结合正弦定理及两角和的正弦公式可求cos A ，进而可求A ；方法二：由余弦定理对已知进行化简可得b 2+c 2−a 2=bc ，然后再由余弦定理可求cos A ，进而可求A ；(Ⅱ)由已知结合余弦定理可得b 2+c 2−bc =7，结合已知2b =3c ，可求b ，c 代入三角形面积s =12bcsinA 可求．本题主要考查了正弦定理余弦定理，三角形的面积公式及两角和的正弦公式，诱导公式等知识的综合应用，数中档试题18.答案：(1)证明：由题意，AB ⊥BE ，AB ⊥BC ．∵AB =BC =BE =2，CE =2√2， ∴BC 2+BE 2=CE 2，AC ⊥BD ， ∴BE ⊥BC ． ∵AB ∩BC =B ， ∴BE ⊥平面ABCD ， ∴BE ⊥AC ， ∵BD ∩BE =B ， ∴AC ⊥平面BDE ；(2)解：建立如图所示的坐标系，则B(0,0，0)，F(0,2，2)，A(0,2，0)，D(2,2，0)， BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2，0)，BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，2)， ∵EB =4EK ， ∴K(0,0，32).设平面BDF 的法向量为n ⃗ =(x,y ，z)，则{2x +2y =02y +2z =0，取n⃗ =(1,−1,1)， ∵AK⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2,32). ∴直线AK 与平面BDF 所成角φ的正弦值=|2+32|√3×√4+94=7√315．解析：本题考查线面垂直的判定与性质，考查线面角，考查向量方法的运用，属于中档题．(1)证出AC⊥BD，BE⊥AC，即可证明AC⊥平面BDE；(2)若EB=4EK，结论坐标系，利用向量方法求直线AK与平面BDF所成角φ的正弦值．19.答案：解：(1)∵a n2−(2n−1)a n−2n=0，∴(a n−2n)(a n+1)=0，又∵各项为正，∴a n=2n．(2)∵b n=1(n+1)a n =12n(n+1)=12(1n−1n+1)，∴数列{b n}的前n项和T n=12(1−12+12−13+⋯+1n−1n+1)=12(1−1n+1)，若T n>511，即12(1−1n+1)>511，解得n>10，即使T n>511成立的最小正整数n=11．解析：(1)根据数列的递推关系，即可求数列{a n}的通项公式a n；(2)求出b n=1(n+1)an的通项公式，利用裂项法即可得到结论．本题主要考查数列的通项公式以及数列求和，利用裂项法是解决本题的关键．20.答案：解：连AC、BD相交于点O，连VO，∵AB=BC=2cm，∴在正方形ABCD中，CO=√2cm，在直角三角形VOC中，VO=√14cm，∴V V−ABCD=13S ABCD⋅VO=13×4×√14=43√14(cm3).故这个正四棱锥的体积为43√14cm3．解析：连AC、BD相交于点O，连VO，求出VO，则V V−ABCD=13S ABCD⋅VO，由此能求出这个正四棱锥的体积．本题考查四棱锥的体积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．21.答案：解：(1)∵两点A(−1,0)、B(1,0)，M到两定点A、B的距离的差的绝对值等于1，∴依题意得，设点M的轨迹方程为双曲线x2a2−y2b2=1，(a,b>0)，∴a =12，c =1，即b 2=c 2−a 2=34， ∴所求点M 轨迹方程为4x 2−4y 23=1.………………………………………………………(5分)(2)设M(x,y)(x ≠±1)，则k AM =yx+1，k BM =yx−1， ∴k AM +k BM =yx+1+yx−1=2xyx 2−1=2，即y =x −1x ，∴所求点M 轨迹方程为y =x −1x (x ≠±1).………………………………………………(10分)解析：(1)设点M 的轨迹方程为双曲线x 2a 2−y 2b 2=1，(a,b >0)，ega =12，c =1，由此能求出所求点M 轨迹方程．(2)设M(x,y)(x ≠±1)，则k AM =yx+1，k BM =yx−1，由k AM +k BM =yx+1+yx−1=2xyx 2−1=2，能求出所求点M 轨迹方程．本题考查曲线方程的求法，考查双曲线圆、直线方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．22.答案：12e 3．解析：f′(x)=−e 2x +2(2−x)e 2x =e 2x (3−2x)，令f′(x)<0⇒x >32；令f′(x)>0⇒x <32.所以函数f(x)在(32,+∞)上单调递减，在(−∞,32)上递增，∴f(x)最大值是f(32)=(2−32)⋅e 2⋅32=12e 3．。

2020届山西省吕梁市高三上学期第一次模拟考试数学（文）试题一、单选题1．若集合()(){}310A x x x =--≤，{}224x B x -=<，则A B =I （ ）A ．{}1,2,3B ．{}2,3C ．(]1,3D ．[]1,3【答案】D【解析】先求出集合A ，B ，由此能求出A B I ． 【详解】解：()(){}310A x x x =--≤Q{}|13A x x ∴=≤≤{}224x B x -=<Q{}|4B x x ∴=<{}[]|131,3A B x x ≤≤=∴=I故选：D 【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．2．下列函数中，既有奇函数，又在其定义域上单调递增的是（ ） A ．()1f x x x=+B ．()xxf x e e -=-C ．()sin f x x x =D ．()()()ln 1ln 1f x x x =--+【答案】B【解析】根据函数的单调性的定义以及函数的奇偶性的性质判断即可． 【详解】解：对于A ，()f x 是奇函数，但是在定义域上不具有单调性，不合题意； 对于B ，函数是奇函数，且()0xxf x e e-+=>'故函数在定义域上单调递增，符合题意；对于C ，函数是偶函数，不合题意；对于D ，函数定义域为()1,1-上的奇函数，()21120111f x x x x -'=-=<-+-故函数在定义域上单调递减，不合题意； 故选：B ． 【点睛】本题考查了函数的单调性、奇偶性问题，属于基础题． 3．“22x y >”是“x y >”的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充分必要 D ．既不充分也不必要【答案】D【解析】根据充分必要条件的定义分别判断充分性和必要性即可． 【详解】解：由22x y >则x y >，故充分性不成立由x y >得不到22x y >，如0,0x y =<时22x y <，故必要性不成立， 故“22x y >”是“x y >”的既不充分也不必要故选：D 【点睛】本题考查了充分必要条件，属于基础题．4．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，23434a a a +=，则5S =（ ） A ．10 B ．12C ．16D ．32【答案】A【解析】设等比数列的公比为()0q q >根据条件求出公比即可得解. 【详解】解：设等比数列的公比为()0q q >12a =Q ，23434a a a +=2311134a q a q a q ∴+=解得1q =或14q =-（舍去）所以2n a =51510S a ∴==故选：A【点睛】本题考查等比数列的性质，属于基础题.5．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，216BC =u u u r ，AB AC AB AC +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，则AM =u u u u r（ ）A ．4B ．3C ．2D ．6【答案】C【解析】先求出||4BC =u u u r ，又因为||||||2||4AB AC AB AC BC AM +=-===u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r，可得答案．【详解】解：由216BC =u u u r ，得||4BC =u u u r ， Q ||||||4AB AC AB AC BC +=-==u u u ru u u ru u u ru u u ru u u r，而||2||AB AC AM +=u u u r u u u r u u u u r∴||2AM =u u u u r故选：C ． 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，属于基础题．6．直线l ：140mx y m -+-=（m R ∈）与圆C ：()22125x y +-=交于两点P ､Q ，则弦长PQ 的取值范围是（ ） A ．[]6,10 B ．[)6,10C ．(]6,10D ．()6,10【答案】C【解析】通过直线l 转化为直线系，求出直线恒过的定点，说明直线l 被圆C 截得的弦长最小时，圆心与定点连线与直线l 垂直，由勾股定理即可得到最短弦长． 【详解】解：由直线140mx y m -+-=得：()()410m x y -+-+=，令4010x y -=⎧⎨-+=⎩解得41x y =⎧⎨=⎩故l 恒过定点()4,1D ． 因为()2241125+-<，则点D 在圆C 的内部，直线l 与圆C 相交． 圆心()0,1C ，半径为5，||4CD =，当截得的弦长最小时，⊥l CD ，最短的弦长是22516326-=⨯=． 因为直线l ：140mx y m -+-=的斜率存在，故不能取到最小值6， 再由l 经过圆心时弦长最长为210r =，则(]||6,10AB ∈． 故选：C ．【点睛】本题考查直线系方程的应用，考查直线与圆的位置关系，考查平面几何知识的运用，考查计算能力，属于中档题．7．已知奇函数()f x 的图像如图所示，则函数sin 2y f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】采用特殊值法判断函数图象. 【详解】解：由()f x 的图象可知，04f π⎛⎫>⎪⎝⎭，04f π⎛⎫-< ⎪⎝⎭令4x π=，得sin 042424y f f ππππ⎛⎫⎛⎫=--=-⋅->⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；令34x π=，得33sin 042424y f f ππππ⎛⎫⎛⎫=--=-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭故只有A 满足条件， 故选：A 【点睛】本题考查函数图象的识别，利用特殊值法比较简单易行，属于基础题. 8．2log 5a =， 1.20.5b =，0.92c =，则（ ） A ．a b c << B ．b c a <<C ．b a c <<D ．c a b <<【答案】B【解析】由指数函数、对数函数的性质判断可得. 【详解】解：22log 5log 42>=Q ，2a ∴>1.2000.50.51<<=，即01b <<00.9112222=<<=，即12c <<故a c b >> 故选：B 【点睛】考查对数函数、指数函数的单调性的应用，属于基础题．9．tan 2tan 5πα=，则sin 5sin 5παπα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】利用两角和差的正弦公式展开，再利用同角三角函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可得. 【详解】解：tan 2tan5πα=Qsin sin cos cos sin tan tan 2tan tan 5555553sin cos cos sin tan tan 2tan tan sin 555555ππππππααααππππππαααα⎛⎫++++ ⎪⎝⎭∴====⎛⎫---- ⎪⎝⎭ 故选：C 【点睛】本题考查两角和差的正弦公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题.10．被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用.0.618就是黄金分割比t =的近似值，黄金分割比还可以表示成2sin18︒2=（ ）A ．4 B1-C ．2D ．12【答案】D【解析】把2sin18t =︒2︒，然后结合同角三角函数基本关系式与倍角公式化简求值． 【详解】解：把2sin18t ︒=代入2sin3614sin18cos182︒︒︒︒︒=== 故选：D 【点睛】本题考查三角函数的恒等变换与化简求值，考查同角三角函数基本关系式与倍角公式的应用，属于基础题．11．()2log ,02sin ,2104x x f x xx π⎧<<⎪=⎨≤≤⎪⎩，若存在1x ､2x ､3x ､4x 满足1234x x x x <<<，且()()()()1234f x f x f x f x ===，则1234x x x x ++的值是（ ）A ．12B ．13C ．14D ．15【答案】B【解析】根据函数解析式画出函数图象，数形结合即可得解.【详解】解：()2 log,02sin,2104x xf x xxπ⎧<<⎪=⎨≤≤⎪⎩Q可画出函数的图象如下所示：依题意存在1x､2x､3x､4x满足1234x x x x<<<，且()()()()1234f x f x f x f x===则1230124x x x<<<<<<，4810x<<2122log logx x∴-=121x x∴=又函数sin4xyπ=关于6x=对称所以3412x x+=，123411213x x x x∴++=+=故选：B【点睛】本题考查函数方程综合应用，数形结合思想，属于中档题.12．正方体1111ABCD A B C D-（棱长为1）中，点P在线段AD上（点P异于A､D两点），线段1DD的中点为点Q，若平面BPQ截该正方体所得的截面为四边形，则线段AP的取值范围为（）A．10,3⎛⎤⎥⎝⎦B．1,12⎛⎤⎥⎝⎦C．2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭D．10,2⎛⎤⎥⎝⎦【答案】D【解析】设平面BPQ与直线1CC交于点E，可知//PQ BE，则PDQ BCE∆∆∽从而得到PD BCDQ CE=，要使平面BPQ截该正方体所得的截面为四边形，则需点E在线段1CC 之间，从而得到CE 的取值范围，即可求出PD ，即可得解.【详解】解：如图，设平面BPQ 与直线1CC 交于点E ，1111ABCD A B C D -Q 是正方体，则面11//ADD A 面11BCC B面BPQ I 面11ADD A PQ =，面BPQ I 面11BCC B BE =//PQ BE ∴则PDQ BCE ∆∆∽PD BCDQ CE∴= 12BC PD DQ CE CE∴=⋅=要使平面BPQ 截该正方体所得的截面为四边形，则需点E 在线段1CC 之间 当P 在A 点时，E 恰在1CC 的中点，因为点P 在线段AD 上（点P 异于A ､D 两点）则112CE <≤，122CE ∴<≤ 11122CE ∴≤< 即112PD ≤< 所以102AP ∴<≤故选：D【点睛】题重点考查了空间几何体的结构特征、空间中点线面的位置关系等知识，涉及正方体的截面问题，属中档题．二、填空题13．函数()2ln f x a x bx =+在点()()1,1f 处的切线方程为43y x =-，则a =______，b =______.【答案】2 1【解析】首先求出函数的导数，根据在点()()1,1f 处的切线方程为43y x =-，则()11f =，()14f '=，代入计算可得.【详解】解：()2ln f x a x bx =+Q()2af x bx x'∴=+， 因为函数在点()()1,1f 处的切线方程为43y x =-()11f ∴=，()14f '=，即1b =，2141ab +⨯=，所以2a =，1b =.故答案为：2；1. 【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.14．设x ，y 满足约束条件20260,0x y x y x y +-≥⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩，则23z x y =-+的最小值是______.【答案】9-【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案． 【详解】解：解：由约束条件20260,0x y x y x y +-≥⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩作出可行域如图，联立0260x x y =⎧⎨+-=⎩，解得06x y =⎧⎨=⎩．(0,6)A ∴．化23z x y =-+为13222z y x =-+．由图可知，当直线13222z y x =-+过A 时直线在y 轴上的截距最大，z 最小． 此时02639z =-⨯+=-． 故答案为：9-．【点睛】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，属于中档题． 15．已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，PA PB PC ==，2AB =，5BC =3AC =，E ，F 分别为AC ，PB 的中点，32EF =，则球O 的体积为______. 【答案】3π【解析】可证90ABC ∠=︒，则E 为ABC ∆的外心，又PA PB PC ==则PE ⊥平面ABC即可求出PB ，PE 的值，再由勾股定理求出外接球的半径，最后根据体积公式计算可得. 【详解】解：2AB =Q ，5BC =，3AC =222AB BC AC ∴+=90ABC ∴∠=︒，因为E 为AC 的中点，所以E 为ABC ∆的外心，1322BE AC ∴==因为PA PB PC ==，所以点P 在ABC ∆内的投影为ABC ∆的外心E ， 所以PE ⊥平面ABC ，BE ⊂Q 平面ABCPE BE ∴⊥，所以23PB EF ==， 所以22332PE PB BE =-=又球心O 在PE 上，设PO r =，则22233322r r ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以3r =O 体积，34433V r ππ==. 故答案为：43π 【点睛】本题考查多面体外接球体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，属于中档题． 16．()()11sin cos cos sin 22f x x x x x =+--，下列说法错误的是______. ①()f x 的值域是[]1,1-； ②当且仅当222k x k πππ<<+（k Z ∈）时，()0f x >；③当且仅当24x k ππ=+（k Z ∈）时，()f x 取得最小值；④()f x 是以π为最小正周期的周期函数. 【答案】①③④【解析】将函数解析式化简并用分段函数表示出来，画出函数图象，数形结合即可判断. 【详解】解：()()()()sin ,cos sin 11sin cos cos sin cos ,cos sin 22x x x f x x x x x x x x ⎧>⎪=+--=⎨≤⎪⎩Q 则画出函数图象如下：观察函数图象可得：函数的值域为21,2⎡-⎢⎣⎦，故①错误；当且仅当222k x k πππ<<+（k Z ∈）时，()0f x >，故②正确；当22x k ππ=-或2x k ππ=+（k Z ∈）时，()f x 取得最小值，故③错误；函数()f x 是以2π为最小正周期的周期函数，故④错误； 故错误的有：①③④ 故答案为：①③④ 【点睛】本题主要考查三角函数的性质和三角函数图象的应用，属于中档题.三、解答题17．已知ABC ∆的内角A ､B ､C 的对边分别为a ､b ､c ，若1cos 22cos 2C C +=. （1）求C 的值；（2）若2b =，6c ABC ∆的面积. 【答案】（1）3C π=（233+ 【解析】（1）利用二倍角公式将式子变形为232cos 2cos 02C C +-=即可求出cos C 即可得解；（2）由正弦定理求出B ，即可求出sin A ，再由面积公式计算可得. 【详解】解：（1）由1cos 2+2cos 2C C =得，232cos 2cos 02C C +-= 所以1cos 2C =或cos 23C =-（舍去）0C π<<Q ，所以3C π=.（2）由正弦定理得，sin sin c b C B=，即2sin sin b C B c === 又c b >，所以C B >，所以4B π=所以53412A ππππ=--=sin sin sin cos cos sin 464646A ππππππ⎛⎫=+=+=⎪⎝⎭，所以11sin 222ABC S bc A ∆==⨯=【点睛】本题考查正弦定理解三角形，两角和的正弦公式的应用，三角形面积公式的应用，属于基础题.18．已知数列{}n a 满足11a =，()111n n n a na n ++-=+. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）n S 为数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，求证：223n S ≤<. 【答案】（1）12n n a +=（2）证明见解析 【解析】（1）利用累加法求出数列{}n a 的通项公式； （2）裂项相消法求出n S 即可得证. 【详解】解：（1）()111n n n a na n ++-=+ 取1,2,3,,1n n =-L 得，2122a a -=32323a a -=43434a a -=……()11n n na n a n ---=相加得()1122n n n na n +=+++=L 所以12n n a +=（2）由（1）得，()()1141141212n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭所以11111111423344512n S n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L 422n =-+ 因n S 随着n 的增大而增大，所以123n S S ≥= 又2n S < 所以223n S ≤< 【点睛】本题累加法求数列的通项公式以及裂项相消法求和，属于中档题. 19．三棱柱111ABC A B C -中，棱1AC ､AB ､11A C 的中点分别是P ､Q ､O .（1）求证：//PQ 平面1AOB ；（2）若三棱柱111ABC A B C -的体积为103，求三棱柱A POQ -的体积. 【答案】（1）证明见解析（2）5312【解析】（1）通过证明四边形POMQ 为平行四边形，得到//PQ OM ，即可得证； （2）根据11111111248A POQ Q APO Q AC O Q C A ABC A A V V V V V -----====及三棱柱111ABC A B C -的体积为103计算可得. 【详解】解：（1）证明：设M 为1AB 的中点，连接QM ，则11//2QM BB 且11=2QM BB 又11//2PO AA ，112PO AA =，11//BB AA ，11=BB AA //QM PO ∴且QM PO =POMQ ∴为平行四边形//PQ OM ∴，又OM ⊂平面1AOB ，PQ ⊄平面1AOB //PQ ∴平面1AOB（2）11111111248A POQ Q APO Q AC O Q C A ABC A A V V V V V -----====Q 又1//BB 平面11C A A1111111111033B C A A B C A A ABC A B C V V V ---∴===53A POQ V -∴=【点睛】本题考查线面平行的证明，锥体的体积计算，属于基础题. 20．已知两定点()1,0M ，()4,0N ，点P 满足2PN PM =. （1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）若()0,2D -，直线l 与轨迹C 交于A ，B 两点，DA ，DB 的斜率之和为2，问直线l 是否恒过定点，若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】（1）224x y +=（2）直线l 过定点，定点为()2,2【解析】（1）设P 的坐标为(),x y ，由题意得，得到方程化简即可；（2）分斜率存在与不存在两种情况讨论，当直线l 的斜率存在时，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的方程为y kx m =+，联立直线与曲线方程，消元列出韦达定理根据2DA DB k k +=得到m 、k 的关系，即可求出直线过的定点.【详解】解：（1）设P 的坐标为(),x y ，由题意得，=化简得：224x y +=（2）当直线l 的斜率不存在时， 设()00,A x y ，()00,B x y -则有0000222y y x x +-++=，得02x =，此时直线l 与圆相切，不合题意. 当直线l 的斜率存在时，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的方程为y kx m =+，与轨迹C 联立得()2221240k xkmx m +++-=0∆>Q ，()2241m k ∴<+，12221km x x k +=-+，212241m x x k -=+ 所以()()1212121222222222DA DB m x x y y km k k k k x x x x m +++++=+=+=-=- 所以22m k =-+所以直线l 的方程为()22y k x =-+ 所以直线l 过定点()2,2. 【点睛】本题考查求动点的轨迹方程，直线与圆的综合应用，直线过定点问题，属于中档题. 21．现计划用两张铁丝网在一片空地上围成一个梯形养鸡场ABCD ，AB CD ∥，AD BC =，已知AB ､BC 两段是由长为50m 的铁丝网折成，AD ､DC 两段是由长为90m 的铁丝网折成.设上底AB 的长为m x ，所围成的梯形面积为2m S .（1）求S 关于x 的函数解析式，并求x 的取值范围； （2）当x 为何值时，养鸡场的面积最大?最大面积为多少?【答案】（1）()2201002100S x x x =+⋅-+，()0,30x ∈，（2）当x 为10m 时，养鸡场的面积最大，最大为26003m .【解析】（1）由已知条件的该梯形为等腰梯形，作出高，用含x 的代数式表示出上、下底和高，从而表示出面积S ； （2）利用导数最值求出最大值 【详解】解：（1）由题意，50BC AD x ==-，()905040CD x x =--=+， 过A 点作AE CD ⊥，垂足为E ，则()40202x x DE +-==，梯形的高()22504001002100AE x x x =--=-+()()21140100210022S AB CD AE x x x x ∴=+⋅=++-+⎡⎤⎣⎦()2201002100x x x =+-+由2050010021000x x x x >⎧⎪->⎨⎪-+>⎩，解得030x <<.综上，()20S x =+，()0,30x ∈ （2）设()()()22201002100f x x xx =+-+，()0,30x ∈，()()()()4201055f x x x x '=+--令()0f x '=，得10x =（20x =-，55x =舍去）()0,10x ∴∈时，()0f x '>，()f x 单调递增， ()10,30x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减.∴当10x =时，()f x 的最大值是1080000，此时max S =∴当x 为10m 时，养鸡场的面积最大，最大为2. 【点睛】本题主要考察用函数模型解决实际问题，利用导数研究函数的单调性，属于基础题．22．已知函数()22ln xae f x x x x=+-（a R ∈）.（1）若0a ≤，讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 在区间()0,2内有两个极值点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()f x 在()0,2上单调递减，在()2+∞，上单调递增. （2）221e e ⎛⎫⎪⎝⎭，【解析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，求出函数的极值即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，结合函数的零点个数确定a 的范围即可． 【详解】解：（1）由题意可得()f x 的定义域为()0+∞，， ()()()()2332212xxx ae x ae x f x x x x x ---'=--=当0a ≤时，易知0x x ae ->∴由()0f x '<得02x <<，由()0f x '>得2x >，∴()f x 在()0,2上单调递减，在()2+∞，上单调递增.（2）由（1）可得()()()32xx ae x f x x --'=， 当02x <<时，320x x -<，记()xg x x ae =-，则()1xg x ae '=-， ∵()f x 在()0,2内有两个极值点， ∴()g x 在()0,2内有两个零点， ∴0a >.令()0g x '=，则ln x a =-，当ln 0a -≤，即1a ≥时，()0g x '<，所以在()0,2上单调递减，()g x 的图像至多与x 轴有一个交点，不满足题意.当ln 2a -≥，即210a e<≤时，在()0,2上()0g x '>，()g x 单调递增， ()g x 的图像至多与x 轴有一个交点，不满足题意.当0ln 2a <-<，即211a e<<时，()g x 在()0,ln a -上单调递增，在()ln ,2a -上单调递减由()00g a =-<知，要使()g x 在()0,2内有两个零点，必须满足()()2ln ln 10220g a a g ae ⎧-=-->⎪⎨=-<⎪⎩，解得221a e e <<. 综上，实数a 的取值范围是221e e ⎛⎫⎪⎝⎭，. 【点睛】本题考查了函数的单调性，零点问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，属于中档题．。

山西省吕梁市2020届高三上学期第一次模拟考试数学试题（文）——★参*考*答*案★——一、选择题『解析』{}{}[]1.13,4.1,3..A x x B x x A B =≤≤=<∴=选D2. B3. D4. 由23434a a a +=解得d=0.选A5.,..AB AC AB AC AM +=-∴作图可知，为矩形对角线的一半选C()()()6.1404104,14,1,6.6.l mx y m m x y M PQ PQ M PQ CM PQ PQ -+-=⇒--+=∴⊥=∴∴直线：过定点，并在圆内，最长为直径，最短是点为弦的中点即时，算得但直线斜率存在,取不到选C ..0,43;0,4.7A y x y x 选得令得令∴<=>=ππ8.2,01,12a b c ><<<<.选Bsin sin cos cos sin tan tan 55559. 3..sin cos cos sin tan tan sin 5555ππππααααππππαααα⎛⎫+++ ⎪⎝⎭===⎛⎫--- ⎪⎝⎭选C10. 把2sin18t =︒代入2sin3614sin18cos182︒===︒︒.选D.2122123411.log log 1,1213..x x x x x x -=⇒=+=∴=作图求解，且所求选B..21210.12D AP AP 选时，截面是五边形时，截面是四边形，当当>≤<二、填空题13.2,1 14.-9 15. 16.①③④ 『解析』13.'()2a f x bx x ，由导数的几何意义可得(1)1,'(1)4f f ，即1b ，2141ab ，所以2,1a b .14.作图知在点（0,6）处取到最小值-9.15.由已知可得︒=∠90ABC ，因PC PB PA ==，所以点P 在ABC ∆内的投影为ABC ∆的外心E ，所以⊥PE 平面ABC ，BE PE ⊥，所以32==EF PB ，所以323=PE ，又球心O 在PE 上，设r PO =，则222)23()233(r r =+-，所以3=r ，所以球O 体积，ππ34343==r V .16.sin cos y x y x ==同一坐标系中作和的图像即可知①③④ 三、解答题17.『解析』（1）由1cos 2+2cos 2C C =得，232cos 2cos 02C C +-=---------------2分 所以1cos 2C =---------------3分 0C π<<，所以3C π=.------------4分（2）解法一：由正弦定理得，sin sin c b C B=，即2sin sin 2b C B c ===， 又c b >，所以C B >，所以4B π=--------------6分所以53412A ππππ=--=sin =sin()464A ππ+=，---------------8分所以11sin 222ABC S bc A ∆==⨯=---------------10分 解法二：作AD BC ⊥垂足为D ，则1cos 21,2CD b C ==⨯=sin 2AD b C ===---------------6分所以BD ===所以1a BD DC =+=--------------8分所以111)22ABCS a AD∆=⨯=⨯=------------10分18.『解析』（1）1(1)1n nn a na n++-=+取1,2,3,,1n n=-得，2122a a-=32323a a-=43434a a-=1(1)n nna n a n---=…………………3分相加得(1)122nn nna n+=+++=…………………5分所以12nna+=.…………………6分（2）由（1）得，114114()(1)(2)12n na a n n n n+==-++++…………………7分所以111111114[()()()()]23344512nSn n=-+-+-++-++……………8分422n=-+……………9分因n S随着n的增大而增大，所以123nS S≥=……………10分又2nS<……………11分所以223nS≤<……………12分()1111111119.1,//------121//,//-------22//--------3---------4//,-------5//---------6M AB QM QM BB PO AA BB AA QM PO POMQ PQ OM OM AOB PQ AOB ∴∴∴⊂∴解析：证明：设为的中点，连接则分又分分为平行四边形分又平面分平面分()11111111111111111112--------9248//13A POQ Q APOQ AC O Q C A A B C A A B C A A B C A A ABC A B C A POQ V V V V V BB C A AV V V V ---------====∴===∴=分又平面分分20. 『解析』（1）设P 的坐标为(,)x y ，由题意得，=2分化简得：224x y +=---------4分 （2）当直线l 的斜率不存在时， 设0000(,),(,)A x y B x y -则有0000222y y x x +-++=，得02x =，此时直线l 与圆相切，不合题意.---------6分 当直线l 的斜率存在时，设1122(,),(,)A x y B x y ，直线l 的方程为y kx m =+，与轨迹C 联立得222(1)240k x kmx m +++-=()2121222222041,4,11km m x x x x k m kk -+=-<=∆⇒++>+ -----------8分 所以1212121222(2)()22222DA DB y y m x x kmk k k k x x x x m +++++=+=+=-=- 所以22m k =-+---------------10分 所以直线l 的方程为(2)2y k x =-+所以直线l 过定点(2,2)--------------------12分()()()()()()221.150,905040,40,20,2-----211402220050010021000BC AD x CD x x x xA AE CD E DE AE S AB CD AE x x x x x x x ==-=--=++-⊥====∴=+⋅=++⎡⎤⎣⎦=+⎧>⎪->⎨-+>⎩解析：由题意，过点作垂足为，则梯形的高分分由()(),030.200,30.------6x S x x <<⎪=+∈解得综上，分()()()()()()()()()()()()()()()()()()22////max 22201002100,0,30,4201055,------801020,550,10010,300,.--------1010108000010.-----12f x x x x x f x x x x f x x x x x f x f x x f x f x x f x S x m =+-+∈=+--===-=∴∈>∈<∴==∴设分令，得舍时，，递增，时，递减分当时，的最大值是，此时当为时，养鸡场的面积最大，最大为分()()()()()()()()()()()()/233//22.102212,-------100-------2002,02,0,22.-----4xx x f x x ae x ae x f x x x x xa x ae f x x f x x fx +∞---=--=≤->∴<<<>>∴+∞解析：由题意可得的定义域为，，分当时，易知分由得由得在上单调递减，在，上单调递增分()()()()()()()()()()()()()()()()/33///22212020,,1,0,20,20.-----------60,ln ,ln 0,10,0,2.------81ln 20xx x x ae x f x x x x xg x x ae g x ae fx g x a g x x a a a g x g x g x x a a e--=-<<<=-=-∴∴>==--≤≥<-≥<≤由可得，当时，记则在内有两个极值点，在内有两个零点，分令则当即时，所以在上单调递减，的图像至多与轴有一个交点，不满足题意分当，即时()()()()()()()()()()()()/22220,20,.------910ln 2,10-ln ln ,2000,2ln ln 1021,.22021.---------g x g x g x x a a g x a e a g a g x g a a a e e g ae a e e ><-<<<-=-<-=-->⎧⎪<<⎨=-<⎪⎩⎛⎫⎪⎝⎭，在上单调递增，的图像至多与轴有一个交点，不满足题意分当即时，在，上单调递增，在上单调递减由知，要使在内有两个零点，必须满足解得综上，实数的取值范围是，12分。

2020年山西省吕梁市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A＝{x|−5≤x<2}，B={x|y=√4−x2}，则A∪B＝（）A.{x|−5≤x≤−2}B.{x|−5≤x<2}C.{x|−5≤x≤2}D.{x|−2≤x<2}2. 下列函数中，既是奇函数又在其定义域上单调递增的是（）A.f(x)=x−1xB.f(x)＝e x−e−xC.f(x)＝xsinxD.f(x)＝ln(1−x)−ln(1+x)3. x2>y2的充分不必要条件是（）A.x>yB.y<x<0C.|y|<|x|D.|y|<x4. 已知S n为公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，S9＝18，a m＝2，则m＝（）A.4B.5C.6D.75. 已知向量a→,b→，满足|a→|=1,b→=(1,1),a→⋅b→=1，则|2a→−b→|=()A.√5B.√3C.√2D.16. 已知函数y＝f(x)的部分图象如下，是判断函数解析式为（）A.f(x)＝xsinxB.f(x)＝x2+cosxC.f(x)＝xsinx+cosxD.f(x)＝(e x−e−x)sinx+17. 被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的引用.0.618就是黄金分割比：t=√5−12的近似值，黄金分割比还可以表示成2sin18∘，则2t√4−t2=()A.12B.√5−1C.2D.48. 已知a =log 25,b =0.5−2,c =232，则（ ）A.b <c <aB.c <a <bC.a <b <cD.a <c <b9. 已知直线l:mx +ny −2＝0与圆x 2+y 2＝4相交的弦长为2√2，则m +n 的取值范围为（ ） A.[−2, 2] B.[−√2,√2]C.[−2√2,2√2]D.[−4, 4]10. 若直线l:y ＝kx −2与函数f(x)={ln(1−x),x <1x 2−4x +3,x ≥1 的图象恰好有2个不同的公共点，则k 的取值范围为（ ） A.(−∞, 0)B.(2,+∞)∪(2√5−4)C.(−∞, 0)∪(2, +∞)D.(−∞,0)∪(2,+∞)∪(2√5−4)11. 如图四面体A −BCD 中，AD ＝BC ＝2，AD ⊥BC ，截面四边形EFGH 满足EF // BC ；FG // AD ，则下列结论正确的个数为（ ） ①四边形EFGH 的周长为定值 ②四边形EFGH 的面积为定值 ③四边形EFGH 为矩形④四边形EFGH 的面积有最大值1A.0B.1C.2D.312. 已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n+1＝2a n +3a n−1(n ≥2)，数列{a n }的前99项和S 99＝（ ） A.3(950−1)8B.950−18C.399−12D.3(949−1)8二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分）设变量x ，y 满足约束条件{2x −y +3≥0x +y −3≤0x −2y −3≤0 ，则目标函数z ＝−3x +y +2的最小值为________．函数f(x)＝alnx +bx 2在点（1, f(1)）处的切向方程为y ＝4x −3，则a ＝________，b ＝________．已知三棱锥P −ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，PA ＝PB ＝PC ，AB ＝2，BC =√5，AC ＝3，E ，F 分别为AC ，PB 的中点，EF =32，则球O 的体积为________．函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)，则如下结论正确的序号是________．①当ω＝2时，若f(x)图象的对称轴为x=π3，则φ=−π6；②当ω＝2时，若f(x)的图象向右平移π6单位长度后关于原点对称，则f(π12)=1；③当φ=π4时，若f(x)的图象在区间[0,π4]内有且仅有一条对称轴，则ω的取值范围为[1, 5)；④当φ=−π4时，若集合{x∈(0,π)|f(x)=√22}含有2020个元素，则ω的取值范围为(2019, 2020.5)．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若cos2C+2cosC=12，（1）求C的值；（2）若b=2,c=√6，求△ABC的面积．如图三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AC=1,BC=√2,AC1=1,C1A⊥平面ABC．（1）证明：AB⊥平面ACC1A1；（2）求AB1与平面BCC1所成的角的正弦值．已知数列{a n}满足a1＝1，(n+1)a n+1＝na n+n+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）S n为数列{1a n a n+1}的前n项和，求证：23≤S n<2．如图正方形ABCD纸片的边长为5√2，中心为O，正方形EFGH的中心也是O，△AEH，△BEF，△CFG，△DGH分别是以EH，EF，FG，GH为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以EH，EF，FG，GH为折痕折起△AEH，△BEF，△CFG，△DGH，使得A、B、C、D重合于点S，得到四棱锥S−EFGH，设正方形EFGH的边长为x．（1）用x表示四棱锥S−EFGH的体积V(x)；（2）当V(x)最大时，求四棱锥S−EFGH的表面积．已知两定点M(1, 0)，N(4, 0)点P满足|PN|＝2|PM|．（1）求点P的轨迹C的方程；（2）若D(0, −2)，直线l与轨迹C交于A，B两点，DA，DB的斜率之和为2，直线l是否恒过定点，若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由已知函数f(x)＝ax−xlnx，(a∈R)的最大值为1．（1）求a的值；（2）证明：f(x)≤e−2x+2x2．参考答案与试题解析2020年山西省吕梁市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】C【考点】并集及其运算【解析】求出集合B，再计算即可．【解答】因为B＝{x|−2≤x≤2}，所以A∪B＝{x|−5≤x≤2}，2.【答案】B【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】逐项判断即可．【解答】A中单增区间为(−∞, 0)和(0, +∞)，定义域上不是单调递增；B满足条件，C为偶函数，D为减函数．3.【答案】D【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】由x2>y2⇔|x|>|y|，又x>|y|⇒x2>y2，即可判断出答案．【解答】由x2>y2⇔|x|>|y|，又x>|y|⇒x2>y2，A，B既不是充分条件也不是必要条件，C是充要条件．4.【答案】B【考点】等差数列的前n项和【解析】根据等差数列的性质和求和公式可得．【解答】S9=9(a1+a9)=9a5＝18，2∴a5＝2，∵a m＝2∴m＝5，5.【答案】C【考点】平面向量数量积的性质及其运算【解析】直接对所求问题平方再把已知条件代入即可求解．【解答】因为|2a→−b→|2=4a→2−4a→⋅b→+b→2=4−4+2=2，所以|2a→−b→|=√2；6.【答案】C【考点】函数的图象与图象的变换【解析】由特殊点的函数值，运用排除法得解．【解答】f(0)＝1，可排除A；f(π)<0，可排除B，D．7.【答案】A【考点】二倍角的三角函数【解析】把t＝2sin18∘代入要求的式子，利用二倍角的三角公式化简可得结论．【解答】把t＝2sin18∘202=0020=sin3604sin180cos180=12，8.【答案】D【考点】对数值大小的比较【解析】利用指数对数函数的单调性即可得出．【解答】b=0.5−2,c=21.5=2√2≈2.828，因52<25，所以5<25，所以log25<52，所以a< c<b．9.【答案】A【考点】直线与圆的位置关系【解析】由已知结合垂径定理可得m2+n2＝2，再由基本不等式得(m+n)2≤2(m2+n2)＝4，则m+n的取值范围可求．【解答】圆心O(0, 0)到直线l:mx+ny−2＝0的距离d=，√m2+n2∵直线l:mx+ny−2＝0与圆x2+y2＝4相交的弦长为2√2，∴()2+(√2)2=22，得m2+n2＝2，22又∵(m+n)2≤2(m2+n2)＝4，∴−2≤m+n≤2．10.【答案】D【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】直线l过点(0, −2)，若有两个交点，结合函数图象分三种情况讨论，当k<0时，当k＝0时，当k>0时，进而得出结论》【解答】画出函数f(x)的图象，由图可知，当k<0时，直线l与函数f(x)在区间(−∞, 1)内有两个交点，与区间[1, +∞)的部分没有交点，因而满足条件，当k＝0时，直线l与函数f(x)只有一个交点，不满足条件，当k>0时，直线l与函数f(x)在区间(−∞, 1)内只有一个交点，当直线l与f(x)在区间[1, +∞)内的部分也有一个交点时满足条件，这时由y＝kx−2与y＝x2−4x+3联立，得x2−(k+4)x+5＝0，由△＝(k+4)2−20＝0得，k=2√5−4，当k>2时，直线l也与f(x)在区间[1, +∞)内的部分也有一个交点，所以满足条件的k的取值范围为(−∞,0)∪(2,+∞)∪(2√5−4)．11.【答案】D【考点】命题的真假判断与应用【解析】说明四边形EFGH为平行四边形，又AD⊥BC，推出四边形EFGH为矩形．求出周长，以及面积的最值判断命题的真假即可．【解答】因为EF // BC，EF平面BCD，所以EF // 平面BCD，又平面EFGH∩平面BDC＝GH，所以EF // GH，同理FG // EH，所以四边形EFGH为平行四边形，又AD⊥BC，所以四边形EFGH为矩形．由相似三角形的性质得EFBC =AFAC,FCAC=FGAD，所以EFBC+FGAD=AFAC+FCAC，BC＝AD＝2，所以EF+FG＝2，所以四边形EFGH的周长为定值4，S EFGH=EF×FG≤(EF×FG2)2= 1，所以四边形EFGH的面积有最大值1，因为①③④正确．12.【答案】B【考点】数列的求和数列递推式【解析】本题根据递推式进行转化可得到数列{a n+1+a n}是以3为首项，公比为3的等比数列，然后将a n+1+a n看成一个整体在求和时代入计算，再利用等比数列求和公式可得S99的值．【解答】由题意，递推式a n+1＝2a n+3a n−1两边同时加上a n，可得a n+1+a n＝2a n+3a n−1+a n＝3(a n+a n−1)．∵a1+a2＝3，∴数列{a n+1+a n}是以3为首项，公比为3的等比数列，∴a n+1+a n=3n．由题意，设c n=a n+1+a n=3n，则S99＝a1+a2+...+a99＝a1+(a2+a3)+(a4+a5)+...+(a98+a99)＝a1+c2+c4+...+c98＝1+32+34+...+398＝1+32−31001−32=950−18．二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分）【答案】−7【考点】简单线性规划【解析】作出不等式组对应的平面区域，z＝−3x+y+2得y＝3x+z−2，利用数形结合即可的得到结论．【解答】-可行域为△ABC如图所示：目标函数z＝−3x+y+2化为y＝3x+z−2，平移直线y＝3x，由图象可知当直线y＝3x+z−2，经过B点(3, 0)时，直线y＝3x+z−2在y轴上的截距最小，此时z最小，z min＝−3×3+0+2＝−7故答案为：−7 【答案】 2,1【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】结合导数的几何意义及已知切线方程可求 a ，b ， 【解答】 f ′(x)=ax +2bx ，由导数的几何意义可得f(1)＝1，k ＝f ′(1)＝4， 即b ＝1，a1+2b ×1=4，所以a ＝2，b ＝1． 故答案为：2，1 【答案】 4√3π 【考点】球的体积和表面积 【解析】由已知可得∠ABC ＝90∘，因PA ＝PB ＝PC ，所以点P 在△ABC 内的投影为△ABC 的外心E ，所以PE ⊥平面ABC ，PE ⊥BE ，所以PB ＝2EF ＝3，所以PE =√PB 2−BE 2=√32−(32)2=3√32，再利用勾股定理求出r =√3，从而求出球O 体积．【解答】 如图所示：由已知可得∠ABC ＝90∘，因PA ＝PB ＝PC ， 所以点P 在△ABC 内的投影为△ABC 的外心E ， 所以PE ⊥平面ABC ，PE ⊥BE ， 所以PB ＝2EF ＝3，所以PE =√PB 2−BE 2=√32−(32)2=3√32，又球心O 在PE 上，设PO ＝r ，则(3√32−r)2+(32)2=r 2，所以r =√3，所以球O 体积，V =43πr 3=4√3π， 故答案为：4√3π．【答案】 ①②③ 【考点】命题的真假判断与应用 【解析】通过正弦函数的对称轴判断①；利用三角函数的图象的平移转化求解判断②；利用函数的对称轴列出不等式求解判断③；利用函数的值结合函数的周期怕啥函数的零点个数判断④． 【解答】对于①，由2×π3+ϕ=kπ+π2得ϕ=kπ−π6，因|ϕ|<π2，取k ＝0得ϕ=−π6； 对于②，由sin(2(x −π6)+ϕ)=sin(2x −π3+ϕ)得ϕ=π3， 所以f(π12)=sin(2×π12+π3)=1；对于③，由f(x)=sin(ωx +π4)的对称轴为x =kπω+π4ω,k ∈Z ，由0<π4ω≤π4,πω+π4ω>π4得ω∈[1, 5)；对于④，由f(x)=sin(ωx −π4)=√22得，ωx −π4=2kπ+π4或ωx −π4=2kπ+3π4,k ∈Z 所以x =2kπω+π2ω或x =2kπω+πω,k ∈Z ．因集合含有2020个元素，所以x =2018πω+πω<π且2020πω+π2ω≥π，所以2019<ω≤2020.5，所以④不正确；故正确序号为①②③．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 【答案】由cos2C +2cosC =12得，2cos 2C +2cosC −32=0， 所以cosC =12， 由于0<C <π， 所以C =π3．解法一：由正弦定理得，csinC =bsinB ， 即sinB =bsinC c=2×√32√6√22，又c>b，所以C>B，所以B=π4，所以A=π−π3−π4=5π12，可得sinA=sin(π4+π6)=√6+√24，所以S△ABC=12bcsinA=12×2×√6×√6+√24=3+√32．解法二：作AD⊥BC垂足为D，则CD=bcosC=2×12=1，AD=bsinC=2×√32=√3，所以BD=√c2−AD2=√6−3=√3，所以a=BD+DC=√3+1，所以S△ABC=12a×AD=12×(√3+1)×√3=3+√32．【考点】正弦定理【解析】（1）由二倍角公式化简已知等式可得2cos2C+2cosC−32=0，解方程可求cosC=12，结合范围0<C<π，可求C的值．（2）解法一：由正弦定理可求sinB的值，利用大边对大角可求B为锐角，可求B=π4，利用三角形内角和定理可求A，进而利用三角形的面积公式即可得解．解法二：作AD⊥BC垂足为D，则可求CD，AD的值，利用勾股定理可求BD的值，进而可求a，利用三角形的面积公式即可计算得解．【解答】由cos2C+2cosC=12得，2cos2C+2cosC−32=0，所以cosC=12，由于0<C<π，所以C=π3．解法一：由正弦定理得，csinC =bsinB，即sinB=bsinCc =2×√32√6√22，又c>b，所以C>B，所以B=π4，所以A=π−π3−π4=5π12，可得sinA=sin(π4+π6)=√6+√24，所以S △ABC =12bcsinA =12×2×√6×√6+√24=3+√32．解法二：作AD ⊥BC 垂足为D ，则CD =bcosC =2×12=1，AD =bsinC =2×√32=√3，所以BD =√c 2−AD 2=√6−3=√3， 所以a =BD +DC =√3+1，所以S △ABC =12a ×AD =12×(√3+1)×√3=3+√32．【答案】因为AB =AC =1,BC =√2，所以△ABC 是直角三角形，AB ⊥AC ，又C 1A ⊥AB ， AC ∩C 1A ＝A ，所以AB ⊥平面ACC 1A 1以AB ，AC ，AC ₁分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间坐标系，则A(0, 0, 0)，B(1, 0, 0)，C(0, 1, 0)，B 1(1, −1, −1)，C 1(0, 0, 1) 所以AB 1→=(1,−1,1),AC 1→(−1,0,1),CC 1→(0,−1,1)， 设平面BCC 1的法向量为m →=(x,y,z)， 则{m →⋅BC 1→=0m →⋅CC 1→=0， 即{−x +z =0−y +z =0 ，取m →=(1,1,1)， 设AB 1与平面BCC 1所成的角为α，则sinα=|AB 1→⋅m →||AB 1→|⋅|m →|=13，故AB 1与平面BCC 1所成角的正弦值13． 【考点】直线与平面垂直直线与平面所成的角 【解析】（1）判断出AB ⊥AC ，又C 1A ⊥AB ，利用线面垂直定理证明即可；（2）以AB ，AC ，AC ₁分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间坐标系，求出AB 1对应的向量和平面BCC 1的法向量，利用夹角公式求出即可． 【解答】因为AB =AC =1,BC =√2，所以△ABC 是直角三角形，AB ⊥AC ，又C 1A ⊥AB ， AC ∩C 1A ＝A ，所以AB ⊥平面ACC 1A 1以AB ，AC ，AC ₁分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间坐标系，则A(0, 0, 0)，B(1, 0, 0)，C(0, 1, 0)，B 1(1, −1, −1)，C 1(0, 0, 1) 所以AB 1→=(1,−1,1),AC 1→(−1,0,1),CC 1→(0,−1,1)， 设平面BCC 1的法向量为m →=(x,y,z)， 则{m →⋅BC 1→=0m →⋅CC 1→=0， 即{−x +z =0−y +z =0 ，取m →=(1,1,1)， 设AB 1与平面BCC 1所成的角为α，则sinα=|AB 1→⋅m →||AB 1→|⋅|m →|=13，故AB 1与平面BCC 1所成角的正弦值13．【答案】由(n +1)a n+1＝na n +n +1得，(n +1)a n+1−na n ＝n +1，取n ＝1，2，3，…，n −1得，2a 2−a 1＝23a 3−2a 2＝34a 4−3a 3＝4， ……na n −(n −1)a n−1＝n ， 相加得na n =1+2+⋯+n =n(n+1)2，所以a n =n+12．证明： 由（1）得，1an a n+1=4(n+1)(n+2)=4(1n+1−1n+2)，所以S n =4[(12−13)+(13−14)+(14−15)+⋯+(1n+1−1n+2)]=2−4n+2， 因S n 随n 的增大而增大，所以S n ≥S 1=32， 又S n <2， 所以32≤S n <2．【考点】 数列的求和 数列递推式 【解析】（1）直接利用递推关系式的应用求出数列的通项公式．（2）利用裂项相消法在数列求和中的应用和放缩法的应用求出结果． 【解答】由(n+1)a n+1＝na n+n+1得，(n+1)a n+1−na n＝n+1，取n＝1，2，3，…，n−1得，2a2−a1＝23a3−2a2＝34a4−3a3＝4，……na n−(n−1)a n−1＝n，相加得na n=1+2+⋯+n=n(n+1)2，所以a n=n+12．证明：由（1）得，1a n a n+1=4(n+1)(n+2)=4(1n+1−1n+2)，所以S n=4[(12−13)+(13−14)+(14−15)+⋯+(1n+1−1n+2)]=2−4n+2，因S n随n的增大而增大，所以S n≥S1=32，又S n<2，所以32≤S n<2．【答案】连接OA交EH为M，则OA=5,OM=x2，所以四棱锥S−EFGH的高为ℎ=√(5−x2)2−(x2)2=√25−5x(0<x<5)所以V(x)=13x2√25−5x解法一：V(x)=13x2√25−5x=13√25x4−5x5设f(x)＝25x4−5x5(0<x<5)，则f′(x)＝100x3−25x4，由f′(x)＝0得，x＝4．所以当x＝4时，f(x)由最大值，也即V(x)有最大值．此时四棱锥S−EFGH的表面积为x2+2x(5−x2)=10x=40解法二：V(x)=13x2√25−5x=√56√x4(20−4x)≤√56√(4x+20−4x5)5=16√53当且仅当x＝4时，体积取最大值，此时四棱锥S−EFGH的表面积为x2+2x(5−x2)=10x=40．【考点】柱体、锥体、台体的侧面积和表面积【解析】（1）连接OA交EH为M，则OA=5,OM=x2，求出四棱锥S−EFGH的高为ℎ=√(5−x2)2−(x2)2=√25−5x(0<x <5)，由此能用x 表示四棱锥S −EFGH 的体积V(x)． （2）法一：V(x)=13x 2√25−5x =13√25x 4−5x 5设f(x)＝25x 4−5x 5(0<x <5)，则f ′(x)＝100x 3−25x 4，利用导数性质能求出四棱锥S −EFGH 的表面积． 法二：V(x)=13x 2√25−5x =√56√x 4(20−4x)≤√56√(4x+20−4x 5)5=16√53，由此能求出四棱锥S −EFGH 的表面积．【解答】连接OA 交EH 为M ，则OA =5,OM =x2，所以四棱锥S −EFGH 的高为ℎ=√(5−x2)2−(x2)2=√25−5x(0<x <5)所以V(x)=13x 2√25−5x解法一：V(x)=13x 2√25−5x =13√25x 4−5x 5设f(x)＝25x 4−5x 5(0<x <5)，则f ′(x)＝100x 3−25x 4，由f ′(x)＝0得，x ＝4．所以当x ＝4时，f(x)由最大值，也即V(x)有最大值． 此时四棱锥S −EFGH 的表面积为x 2+2x(5−x2)=10x =40 解法二：V(x)=13x 2√25−5x =√56√x 4(20−4x)≤√56√(4x+20−4x 5)5=16√53当且仅当x ＝4时，体积取最大值，此时四棱锥S −EFGH 的表面积为x 2+2x(5−x2)=10x =40．【答案】设P 的坐标为(x, y)，由题意得，√(x −4)2+y 2=2√(x −1)2+y 2 化简得：x 2+y 2＝4． 当直线l 的斜率不存在时， 设A(x 0, y 0)，B(x 0, −y 0)． 则有y 0+2x 0+−y 0+2x 0=2，得x 0＝2，此时直线l 与圆相切，不合题意． 当直线l 的斜率存在时，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，直线l 的方程为y ＝kx +m ，与轨迹C 联立得(1+k 2)x 2+2kmx +m 2−4＝0， x 1+x 2=−2km1+k 2,x 1x 2=m 2−41+k 2，所以k DA +k DB =y 1+2x 1+y 2+2x 2=2k +(m+2)(x 1+x 2)x 1x 2=2k −2km m−2=2，所以m ＝−2k +2，所以直线l 的方程为y ＝k(x −2)+2， 所以直线l 过定点(2, 2)． 【考点】 轨迹方程 【解析】（1）设P 的坐标为(x, y)，列出方程转化求解即可．（2）当直线l 的斜率不存在时，验证直线l 与圆相切，不合题意．当直线l 的斜率存在时，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，直线l 的方程为y ＝kx +m ，与轨迹C 联立得(1+k 2)x 2+2kmx +m 2−4＝0，结合韦达定理，斜率关系，求出直线系方程，然后求解即可． 【解答】设P 的坐标为(x, y)，由题意得，√(x 2+y 2=2√(x −1)2+y 2 化简得：x 2+y 2＝4． 当直线l 的斜率不存在时， 设A(x 0, y 0)，B(x 0, −y 0)． 则有y 0+2x 0+−y 0+2x 0=2，得x 0＝2，此时直线l 与圆相切，不合题意． 当直线l 的斜率存在时，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，直线l 的方程为y ＝kx +m ，与轨迹C 联立得(1+k 2)x 2+2kmx +m 2−4＝0， x 1+x 2=−2km1+k 2,x 1x 2=m 2−41+k 2，所以k DA +k DB =y 1+2x 1+y 2+2x 2=2k +(m+2)(x 1+x 2)x 1x 2=2k −2km m−2=2，所以m ＝−2k +2，所以直线l 的方程为y ＝k(x −2)+2， 所以直线l 过定点(2, 2)． 【答案】由题意x >0，f ′(x)＝a −1−lnxf ′(x)＝a −1−lnx ＝0⇒x ＝e a−1>0， 故当x ∈(0, e a−1)时，f ′(x)>0，当x ∈(e a−1, +∞)时，f ′(x)<0，所以函数f(x)在x ∈(0, e a−1)上单调递增，函数f(x)在x ∈(e a−1, +∞)上单调递减； 所以f(x)在x ＝e a−1处取到最大值，即f(e a−1)＝1，所以a ＝1， 解法一：欲证f(x)≤e −2x +2x 2，即证明e −2x +2x 2≥x −xlnx ， 令ℎ(x)＝e −2x +2x 2−x +xlnx ，则ℎ′(x)＝−2e −2x +4x +lnx ，$h"(x) = 4e^{- 2x} + 4 + \frac{1}{x} > 0$，所以ℎ′(x)为增函数，又ℎ′(1)＝−2e −2+4>0，ℎ(14)=−2e −12+1−ln4<0，所以存在x 0∈(14,1),ℎ(x 0)=0，所以ℎ(x)≥ℎ(x 0)， 由ℎ′(x 0)＝0得，2e −2x 0−2x 0=2e lnx 0+lnx 0， 设g(x)＝2e x +x ，则g ′(x)＝2e x +1>0，所以g(x)为增函数，所以−2x 0=lnx 0,e −2x =x 0，所以ℎ(x 0)=x 0+2x 02−x 0+x 0(−2x 0)=0， 即ℎ(x)≥0，即f(x)≤e −2x +2x 2．解法二：欲证f(x)≤e −2x +2x 2，即证明e −2x +2x 2≥x −xlnx ， 设g(x)＝e −2x +x 2，ℎ(x)＝−x 2+x −xlnx ， 则g ′(x)＝−2e −2x +2x ，因g ′(x)为增函数，g ′(1)＝−2e −2+2>0，g ′(14)=−2e −12+12<0，得g ′(x)在区间(14,1)上存在唯一零点x 0，此时e −2x 0=x 0， g(x)在x ＝x 0时，有最小值g(x 0)=x 0+x 02，ℎ′(x)＝−2x −lnx ，因ℎ′(x)为减函数，ℎ′(1)＝−2<0ℎ′(1)＝−2<0，ℎ(14)=−12+21n2>0，得ℎ′(x)在区间(14,1)上存在唯一零点x 1，此时lnx 1＝−2x 1，所以e −2x 1=x 1，即ℎ(x)在x 1＝x 0时，有最大值ℎ(x 0)=−x 02+x 0−x 0(−2x 0)=x 0+x 02所以g(x)≥g(x 0)＝ℎ(x 0)≥ℎ(x)， 即f(x)≤e −2x +2x 2． 【考点】利用导数研究函数的最值 【解析】（1）先对函数求导，然后结合导数可判断函数的单调性，进而可求函数的最大值，即可求解；（2）法一：欲证f(x)≤e −2x +2x 2，即证明e −2x +2x 2≥x −xlnx ，构造函数ℎ(x)＝e −2x +2x 2−x +xlnx ，转化为求解ℎ(x)的最值，结合导数可求；法二：欲证f(x)≤e −2x +2x 2，即证明e −2x +2x 2≥x −xlnx ，分别构造函数g(x)＝e −2x +x 2，ℎ(x)＝−x 2+x −xlnx ，转化为求解函数g(x)，ℎ(x)的最值，结合导数可求． 【解答】由题意x >0，f ′(x)＝a −1−lnxf ′(x)＝a −1−lnx ＝0⇒x ＝e a−1>0， 故当x ∈(0, e a−1)时，f ′(x)>0，当x ∈(e a−1, +∞)时，f ′(x)<0，所以函数f(x)在x ∈(0, e a−1)上单调递增，函数f(x)在x ∈(e a−1, +∞)上单调递减； 所以f(x)在x ＝e a−1处取到最大值，即f(e a−1)＝1，所以a ＝1， 解法一：欲证f(x)≤e −2x +2x 2，即证明e −2x +2x 2≥x −xlnx ， 令ℎ(x)＝e −2x +2x 2−x +xlnx ，则ℎ′(x)＝−2e −2x +4x +lnx ，$h"(x) = 4e^{- 2x} + 4 + \frac{1}{x} > 0$，所以ℎ′(x)为增函数，又ℎ′(1)＝−2e −2+4>0，ℎ(14)=−2e −12+1−ln4<0，所以存在x 0∈(14,1),ℎ(x 0)=0，所以ℎ(x)≥ℎ(x 0)，由ℎ′(x 0)＝0得，2e −2x 0−2x 0=2e lnx 0+lnx 0， 设g(x)＝2e x +x ，则g ′(x)＝2e x +1>0，所以g(x)为增函数，所以−2x 0=lnx 0,e −2x =x 0， 所以ℎ(x 0)=x 0+2x 02−x 0+x 0(−2x 0)=0， 即ℎ(x)≥0，即f(x)≤e −2x +2x 2．解法二：欲证f(x)≤e −2x +2x 2，即证明e −2x +2x 2≥x −xlnx ，设g(x)＝e −2x +x 2，ℎ(x)＝−x 2+x −xlnx ， 则g ′(x)＝−2e −2x +2x ，因g ′(x)为增函数，g ′(1)＝−2e −2+2>0，g ′(14)=−2e −12+12<0，得g ′(x)在区间(14,1)上存在唯一零点x 0，此时e −2x 0=x 0， g(x)在x ＝x 0时，有最小值g(x 0)=x 0+x 02，ℎ′(x)＝−2x −lnx ，因ℎ′(x)为减函数，ℎ′(1)＝−2<0ℎ′(1)＝−2<0，ℎ(14)=−12+21n2>0，得ℎ′(x)在区间(14,1)上存在唯一零点x 1，此时lnx 1＝−2x 1，所以e −2x 1=x 1，即ℎ(x)在x 1＝x 0时，有最大值ℎ(x 0)=−x 02+x 0−x 0(−2x 0)=x 0+x 02所以g(x)≥g(x 0)＝ℎ(x 0)≥ℎ(x)， 即f(x)≤e −2x +2x 2．。

2020年山西省吕梁市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A ＝{x|−5≤x <2}，B ={x|y =√4−x 2}，则A ∪B ＝（ ） A.{x|−5≤x ≤−2}B.{x|−5≤x <2}C.{x|−5≤x ≤2}D.{x|−2≤x <2}2.下列函数中，既是奇函数又在其定义域上单调递增的是（ ） A.f(x)=x −1x B.f(x)＝e x −e −xC.f(x)＝xsinxD.f(x)＝ln(1−x)−ln(1+x)3.x 2>y 2的充分不必要条件是（ ） A.x >y B.y <x <0 C.|y|<|x| D.|y|<x4.已知S n 为公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，S 9＝18，a m ＝2，则m ＝（ ） A.4 B.5 C.6 D.75.已知向量a →,b →，满足|a →|=1,b →=(1,1),a →⋅b →=1，则|2a →−b →|=() A.√5 B.√3C.√2D.16.已知函数y ＝f(x)的部分图象如下，是判断函数解析式为（ ）A.f(x)＝xsinxB.f(x)＝x 2+cosxC.f(x)＝xsinx +cosxD.f(x)＝(e x −e −x )sinx +17.被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的引用.0.618就是黄金分割比：t =√5−12的近似值，黄金分割比还可以表示成2sin18∘，则22=()A.12 B.√5−1 C.2 D.48.已知a =log 25,b =0.5−2,c =232，则（ ） A.b <c <a B.c <a <bC.a <b <cD.a <c <b9.已知直线l:mx +ny −2＝0与圆x 2+y 2＝4相交的弦长为2√2，则m +n 的取值范围为（ ） A.[−2, 2] B.[−√2,√2]C.[−2√2,2√2]D.[−4, 4]10.若直线l:y ＝kx −2与函数f(x)={ln(1−x),x <1x 2−4x +3,x ≥1的图象恰好有2个不同的公共点，则k 的取值范围为（ ） A.(−∞, 0)B.(2,+∞)∪(2√5−4)C.(−∞, 0)∪(2, +∞)D.(−∞,0)∪(2,+∞)∪(2√5−4)11.如图四面体A −BCD 中，AD ＝BC ＝2，AD ⊥BC ，截面四边形EFGH 满足EF // BC ；FG // AD ，则下列结论正确的个数为（ ） ①四边形EFGH 的周长为定值 ②四边形EFGH 的面积为定值 ③四边形EFGH 为矩形④四边形EFGH 的面积有最大值1A.0B.1C.2D.312.已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n+1＝2a n +3a n−1(n ≥2)，数列{a n }的前99项和S 99＝（ ） A.3(950−1)8B.950−18C.399−12D.3(949−1)8二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分）设变量x ，y 满足约束条件{2x −y +3≥0x +y −3≤0x −2y −3≤0 ，则目标函数z ＝−3x +y +2的最小值为________．函数f(x)＝alnx +bx 2在点（1, f(1)）处的切向方程为y ＝4x −3，则a ＝________，b ＝________．已知三棱锥P −ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，PA ＝PB ＝PC ，AB ＝2，BC =√5，AC ＝3，E ，F 分别为AC ，PB 的中点，EF =32，则球O 的体积为________．函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)，则如下结论正确的序号是________．①当ω＝2时，若f(x)图象的对称轴为x =π3，则φ=−π6；②当ω＝2时，若f(x)的图象向右平移π6单位长度后关于原点对称，则f(π12)=1；③当φ=π4时，若f(x)的图象在区间[0,π4]内有且仅有一条对称轴，则ω的取值范围为[1, 5)；④当φ=−π4时，若集合{x∈(0,π)|f(x)=√22}含有2020个元素，则ω的取值范围为(2019, 2020.5)．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若cos2C+2cosC=12，（1）求C的值；（2）若b=2,c=√6，求△ABC的面积．如图三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AC=1,BC=√2,AC1=1,C1A⊥平面ABC．（1）证明：AB⊥平面ACC1A1；（2）求AB1与平面BCC1所成的角的正弦值．已知数列{a n}满足a1＝1，(n+1)a n+1＝na n+n+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）S n为数列{1a n a n+1}的前n项和，求证：23≤S n<2．如图正方形ABCD纸片的边长为5√2，中心为O，正方形EFGH的中心也是O，△AEH，△BEF，△CFG，△DGH分别是以EH，EF，FG，GH为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以EH，EF，FG，GH为折痕折起△AEH，△BEF，△CFG，△DGH，使得A、B、C、D重合于点S，得到四棱锥S−EFGH，设正方形EFGH的边长为x．（1）用x表示四棱锥S−EFGH的体积V(x)；（2）当V(x)最大时，求四棱锥S−EFGH的表面积．已知两定点M(1, 0)，N(4, 0)点P满足|PN|＝2|PM|．（1）求点P的轨迹C的方程；（2）若D(0, −2)，直线l与轨迹C交于A，B两点，DA，DB的斜率之和为2，直线l是否恒过定点，若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由已知函数f(x)＝ax−xlnx，(a∈R)的最大值为1．（1）求a的值；（2）证明：f(x)≤e−2x+2x2．2020年山西省吕梁市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A＝{x|−5≤x<2}，B={x|y=√4−x2}，则A∪B＝（）A.{x|−5≤x≤−2}B.{x|−5≤x<2}C.{x|−5≤x≤2}D.{x|−2≤x< 2}【解答】因为B＝{x|−2≤x≤2}，所以A∪B＝{x|−5≤x≤2}，2.下列函数中，既是奇函数又在其定义域上单调递增的是（）B.f(x)＝e x−e−xA.f(x)=x−1xC.f(x)＝xsinxD.f(x)＝ln(1−x)−ln(1+x)【解答】A中单增区间为(−∞, 0)和(0, +∞)，定义域上不是单调递增；B满足条件，C为偶函数，D为减函数．3.x2>y2的充分不必要条件是（）A.x>yB.y<x<0C.|y|<|x|D.|y|<x【解答】由x2>y2⇔|x|>|y|，又x>|y|⇒x2>y2，A，B既不是充分条件也不是必要条件，C是充要条件．4.已知S n为公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，S9＝18，a m＝2，则m＝（）A.4B.5C.6D.7【解答】=9a5＝18，S9=9(a1+a9)2∴a5＝2，∵a m＝2∴m＝5，5.已知向量a →,b →，满足|a →|=1,b →=(1,1),a →⋅b →=1，则|2a →−b →|=() A.√5 B.√3 C.√2 D.1【解答】因为|2a →−b →|2=4a →2−4a →⋅b →+b →2=4−4+2=2， 所以|2a →−b →|=√2；6.已知函数y ＝f(x)的部分图象如下，是判断函数解析式为（ ）A.f(x)＝xsinxB.f(x)＝x 2+cosxC.f(x)＝xsinx +cosxD.f(x)＝(e x −e −x )sinx +1【解答】f(0)＝1，可排除A ；f(π)<0，可排除B ，D ．7.被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的引用.0.618就是黄金分割比：t =√5−12的近似值，黄金分割比还可以表示成2sin18∘，则2t √4−t2=()A.12 B.√5−1 C.2 D.4【解答】把t ＝2sin18∘代入20t √4−t 2=2sin180√4−4sin 2180=sin3604sin180cos180=12，8.已知a =log 25,b =0.5−2,c =232，则（ ） A.b <c <a B.c <a <b C.a <b <c D.a <c <b【解答】b =0.5−2,c =21.5=2√2≈2.828，因52<25，所以5<25，所以log 25<52，所以a <c <b ．9.已知直线l:mx +ny −2＝0与圆x 2+y 2＝4相交的弦长为2√2，则m +n 的取值范围为（）A.[−2, 2]B.[−√2,√2]C.[−2√2,2√2]D.[−4, 4]【解答】圆心O(0, 0)到直线l:mx+ny−2＝0的距离d=√22，∵直线l:mx+ny−2＝0与圆x2+y2＝4相交的弦长为2√2，∴(√m2+n2)2+(√2)2=22，得m2+n2＝2，又∵(m+n)2≤2(m2+n2)＝4，∴−2≤m+n≤2．10.若直线l:y＝kx−2与函数f(x)={ln(1−x),x<1x2−4x+3,x≥1的图象恰好有2个不同的公共点，则k的取值范围为（）A.(−∞, 0)B.(2,+∞)∪(2√5−4)C.(−∞, 0)∪(2, +∞)D.(−∞,0)∪(2,+∞)∪(2√5−4)【解答】画出函数f(x)的图象，由图可知，当k<0时，直线l与函数f(x)在区间(−∞, 1)内有两个交点，与区间[1, +∞)的部分没有交点，因而满足条件，当k＝0时，直线l与函数f(x)只有一个交点，不满足条件，当k>0时，直线l与函数f(x)在区间(−∞, 1)内只有一个交点，当直线l与f(x)在区间[1, +∞)内的部分也有一个交点时满足条件，这时由y＝kx−2与y＝x2−4x+3联立，得x2−(k+4)x+5＝0，由△＝(k+4)2−20＝0得，k=2√5−4，当k>2时，直线l也与f(x)在区间[1, +∞)内的部分也有一个交点，所以满足条件的k的取值范围为(−∞,0)∪(2,+∞)∪(2√5−4)．11.如图四面体A−BCD中，AD＝BC＝2，AD⊥BC，截面四边形EFGH满足EF // BC ；FG // AD ，则下列结论正确的个数为（ ） ①四边形EFGH 的周长为定值 ②四边形EFGH 的面积为定值 ③四边形EFGH 为矩形④四边形EFGH 的面积有最大值1A.0B.1C.2D.3【解答】因为EF // BC ，EF ⊄平面BCD ，所以EF // 平面BCD ，又平面EFGH ∩平面BDC ＝GH ， 所以EF // GH ，同理FG // EH ，所以四边形EFGH 为平行四边形，又AD ⊥BC ， 所以四边形EFGH 为矩形．由相似三角形的性质得EFBC =AF AC ,FCAC =FGAD ，所以EFBC +FGAD =AFAC +FCAC ，BC ＝AD ＝2，所以EF +FG ＝2，所以四边形EFGH 的周长为定值4，S EFGH =EF ×FG ≤(EF×FG 2)2=1，所以四边形EFGH 的面积有最大值1，因为①③④正确．12.已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n+1＝2a n +3a n−1(n ≥2)，数列{a n }的前99项和S 99＝（ ） A.3(950−1)8B.950−18C.399−12D.3(949−1)8【解答】由题意，递推式a n+1＝2a n +3a n−1两边同时加上a n ，可得 a n+1+a n ＝2a n +3a n−1+a n ＝3(a n +a n−1)． ∵a 1+a 2＝3，∴数列{a n+1+a n }是以3为首项，公比为3的等比数列， ∴a n+1+a n =3n ．由题意，设c n=a n+1+a n =3n ，则 S 99＝a 1+a 2+...+a 99＝a 1+(a 2+a 3)+(a 4+a 5)+...+(a 98+a 99) ＝a 1+c 2+c 4+...+c 98 ＝1+32+34+...+398 ＝1+32−31001−32=950−18．二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分）设变量x ，y 满足约束条件{2x −y +3≥0x +y −3≤0x −2y −3≤0 ，则目标函数z ＝−3x +y +2的最小值为________． 【解答】 -可行域为△ABC如图所示：目标函数z ＝−3x +y +2化为y ＝3x +z −2， 平移直线y ＝3x ，由图象可知当直线y ＝3x +z −2，经过B 点(3, 0)时，直线y ＝3x +z −2在y 轴上的截距最小，此时z 最小，z min ＝−3×3+0+2＝−7故答案为：−7函数f(x)＝alnx +bx 2在点（1, f(1)）处的切向方程为y ＝4x −3，则a ＝________，b ＝________． 【解答】 f ′(x)=ax +2bx ，由导数的几何意义可得f(1)＝1，k ＝f ′(1)＝4， 即b ＝1，a1+2b ×1=4，所以a ＝2，b ＝1． 故答案为：2，1已知三棱锥P −ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，PA ＝PB ＝PC ，AB ＝2，BC =√5，AC ＝3，E ，F 分别为AC ，PB 的中点，EF =32，则球O 的体积为________． 【解答】 如图所示：由已知可得∠ABC ＝90∘，因PA ＝PB ＝PC ， 所以点P 在△ABC 内的投影为△ABC 的外心E ， 所以PE ⊥平面ABC ，PE ⊥BE ， 所以PB ＝2EF ＝3，所以PE =√PB 2−BE 2=√32−(32)2=3√32， 又球心O 在PE 上，设PO ＝r ，则(3√32−r)2+(32)2=r 2，所以r =√3，所以球O 体积，V =43πr 3=4√3π， 故答案为：4√3π．函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)，则如下结论正确的序号是________．①当ω＝2时，若f(x)图象的对称轴为x =π3，则φ=−π6；②当ω＝2时，若f(x)的图象向右平移π6单位长度后关于原点对称，则f(π12)=1；③当φ=π4时，若f(x)的图象在区间[0,π4]内有且仅有一条对称轴，则ω的取值范围为[1, 5)；④当φ=−π4时，若集合{x ∈(0,π)|f(x)=√22}含有2020个元素，则ω的取值范围为(2019, 2020.5)． 【解答】对于①，由2×π3+ϕ=kπ+π2得ϕ=kπ−π6，因|ϕ|<π2，取k ＝0得ϕ=−π6；对于②，由sin(2(x −π6)+ϕ)=sin(2x −π3+ϕ)得ϕ=π3， 所以f(π12)=sin(2×π12+π3)=1；对于③，由f(x)=sin(ωx +π4)的对称轴为x =kπω+π4ω,k ∈Z ，由0<π4ω≤π4,πω+π4ω>π4得ω∈[1, 5)； 对于④，由f(x)=sin(ωx −π4)=√22得，ωx −π4=2kπ+π4或ωx −π4=2kπ+3π4,k ∈Z所以x =2kπω+π2ω或x =2kπω+πω,k ∈Z ．因集合含有2020个元素，所以x =2018πω+πω<π且2020πω+π2ω≥π，所以2019<ω≤2020.5，所以④不正确；故正确序号为①②③．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos2C +2cosC =12， （1）求C 的值；（2）若b =2,c =√6，求△ABC 的面积． 【解答】由cos2C +2cosC =12得，2cos 2C +2cosC −32=0， 所以cosC =12，由于0<C<π，所以C=π3．解法一：由正弦定理得，csinC =bsinB，即sinB=bsinCc =2×√32√6√22，又c>b，所以C>B，所以B=π4，所以A=π−π3−π4=5π12，可得sinA=sin(π4+π6)=√6+√24，所以S△ABC=12bcsinA=12×2×√6×√6+√24=3+√32．解法二：作AD⊥BC垂足为D，则CD=bcosC=2×12=1，AD=bsinC=2×√32=√3，所以BD=√c2−AD2=√6−3=√3，所以a=BD+DC=√3+1，所以S△ABC=12a×AD=12×(√3+1)×√3=3+√32．如图三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AC=1,BC=√2,AC1=1,C1A⊥平面ABC．（1）证明：AB⊥平面ACC1A1；（2）求AB1与平面BCC1所成的角的正弦值．【解答】因为AB=AC=1,BC=√2，所以△ABC 是直角三角形，AB ⊥AC ，又C 1A ⊥AB ， AC ∩C 1A ＝A ， 所以AB ⊥平面ACC 1A 1以AB ，AC ，AC₁分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间坐标系，则A(0, 0, 0)，B(1, 0, 0)，C(0, 1, 0)，B 1(1, −1, −1)，C 1(0, 0, 1) 所以AB 1→=(1,−1,1),AC 1→(−1,0,1),CC 1→(0,−1,1)， 设平面BCC 1的法向量为m →=(x,y,z)， 则{m →⋅BC 1→=0m →⋅CC 1→=0， 即{−x +z =0−y +z =0 ，取m →=(1,1,1)， 设AB 1与平面BCC 1所成的角为α，则sinα=|AB 1→⋅m →||AB 1→|⋅|m →|=13，故AB 1与平面BCC 1所成角的正弦值13．已知数列{a n }满足a 1＝1，(n +1)a n+1＝na n +n +1． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）S n 为数列{1a n a n+1}的前n 项和，求证：23≤S n <2．【解答】由(n +1)a n+1＝na n +n +1得，(n +1)a n+1−na n ＝n +1，取n ＝1，2，3，…，n −1得，2a 2−a 1＝23a 3−2a 2＝34a 4−3a 3＝4， ……na n −(n −1)a n−1＝n ， 相加得na n =1+2+⋯+n =n(n+1)2，所以a n =n+12．证明：由（1）得，1a n a n+1=4(n+1)(n+2)=4(1n+1−1n+2)，所以S n=4[(12−13)+(13−14)+(14−15)+⋯+(1n+1−1n+2)]=2−4n+2，因S n随n的增大而增大，所以S n≥S1=32，又S n<2，所以32≤S n<2．如图正方形ABCD纸片的边长为5√2，中心为O，正方形EFGH的中心也是O，△AEH，△BEF，△CFG，△DGH分别是以EH，EF，FG，GH为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以EH，EF，FG，GH为折痕折起△AEH，△BEF，△CFG，△DGH，使得A、B、C、D重合于点S，得到四棱锥S−EFGH，设正方形EFGH的边长为x．（1）用x表示四棱锥S−EFGH的体积V(x)；（2）当V(x)最大时，求四棱锥S−EFGH的表面积．【解答】连接OA交EH为M，则OA=5,OM=x2，所以四棱锥S−EFGH的高为ℎ=√(5−x2)2−(x2)2=√25−5x(0<x<5)所以V(x)=13x2√25−5x解法一：V(x)=13x2√25−5x=13√25x4−5x5设f(x)＝25x4−5x5(0<x<5)，则f′(x)＝100x3−25x4，由f′(x)＝0得，x＝4．所以当x＝4时，f(x)由最大值，也即V(x)有最大值．此时四棱锥S−EFGH的表面积为x2+2x(5−x2)=10x=40解法二：V(x)=13x2√25−5x=√56√x4(20−4x)≤√56√(4x+20−4x5)5=16√53当且仅当x＝4时，体积取最大值，此时四棱锥S−EFGH的表面积为x2+2x(5−x2)=10x=40．已知两定点M(1, 0)，N(4, 0)点P满足|PN|＝2|PM|．（1）求点P的轨迹C的方程；（2）若D(0, −2)，直线l与轨迹C交于A，B两点，DA，DB的斜率之和为2，直线l是否恒过定点，若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由【解答】设P的坐标为(x, y)，由题意得，√(x−4)2+y2=2√(x−1)2+y2化简得：x2+y2＝4．当直线l的斜率不存在时，设A(x0, y0)，B(x0, −y0)．则有y0+2x0+−y0+2x0=2，得x0＝2，此时直线l与圆相切，不合题意．当直线l的斜率存在时，设A(x1, y1)，B(x2, y2)，直线l的方程为y＝kx+m，与轨迹C联立得(1+ k2)x2+2kmx+m2−4＝0，x1+x2=−2km1+k2,x1x2=m2−41+k2，所以k DA+k DB=y1+2x1+y2+2x2=2k+(m+2)(x1+x2)x1x2=2k−2kmm−2=2，所以m＝−2k+2，所以直线l的方程为y＝k(x−2)+2，所以直线l过定点(2, 2)．已知函数f(x)＝ax−xlnx，(a∈R)的最大值为1．（1）求a 的值；（2）证明：f(x)≤e −2x +2x 2． 【解答】由题意x >0，f ′(x)＝a −1−lnxf ′(x)＝a −1−lnx ＝0⇒x ＝e a−1>0， 故当x ∈(0, e a−1)时，f ′(x)>0，当x ∈(e a−1, +∞)时，f ′(x)<0， 所以函数f(x)在x ∈(0, e a−1)上单调递增，函数f(x)在x ∈(e a−1, +∞)上单调递减；所以f(x)在x ＝e a−1处取到最大值，即f(e a−1)＝1，所以a ＝1， 解法一：欲证f(x)≤e −2x +2x 2，即证明e −2x +2x 2≥x −xlnx ， 令ℎ(x)＝e −2x +2x 2−x +xlnx ，则ℎ′(x)＝−2e −2x +4x +lnx ，$h"(x)=4e^{-2x}+4+\frac{1}{x}>0$， 所以ℎ′(x)为增函数，又ℎ′(1)＝−2e−2+4>0，ℎ(14)=−2e−12+1−ln4<0，所以存在x 0∈(14,1),ℎ(x 0)=0，所以ℎ(x)≥ℎ(x 0)， 由ℎ′(x 0)＝0得，2e −2x 0−2x 0=2e lnx 0+lnx 0， 设g(x)＝2e x +x ，则g ′(x)＝2e x +1>0， 所以g(x)为增函数，所以−2x 0=lnx 0,e −2x =x 0， 所以ℎ(x 0)=x 0+2x 02−x 0+x 0(−2x 0)=0， 即ℎ(x)≥0，即f(x)≤e −2x +2x 2．解法二：欲证f(x)≤e −2x +2x 2，即证明e −2x +2x 2≥x −xlnx ， 设g(x)＝e −2x +x 2，ℎ(x)＝−x 2+x −xlnx ， 则g ′(x)＝−2e −2x +2x ， 因g ′(x)为增函数，g ′(1)＝−2e−2+2>0，g ′(14)=−2e−12+12<0，得g ′(x)在区间(14,1)上存在唯一零点x 0，此时e −2x 0=x 0， g(x)在x ＝x 0时，有最小值g(x 0)=x 0+x 02，ℎ′(x)＝−2x −lnx ，因ℎ′(x)为减函数，ℎ′(1)＝−2<0ℎ′(1)＝−2<0，ℎ(14)=−12+21n2>0，得ℎ′(x)在区间(14,1)上存在唯一零点x 1，此时lnx 1＝−2x 1，所以e −2x 1=x 1，即ℎ(x)在x 1＝x 0时，有最大值ℎ(x 0)=−x 02+x 0−x 0(−2x 0)=x 0+x 02所以g(x)≥g(x0)＝ℎ(x0)≥ℎ(x)，即f(x)≤e−2x+2x2．。

山西省2020年数学高三上学期理数第一次联考试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2019·淄博模拟) 设全集，集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分）设复数且，则复数z在复平面所对应的的点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限3. （2分）已知c是双曲线的半焦距，则的取值范围是（）A .B .C .D .4. （2分）如图所示,矩形中,点为中点,若,则（）A .B .C . 3D .5. （2分） (2016高一上·天河期末) 设a=40.1 ， b=log30.1，c=0.50.1 ，则（）A . a＞b＞cB . a＞c＞bC . b＞a＞cD . b＞c＞a6. （2分） (2020高一下·吉林期中) 根据如下样本数据得到的回归直线方程，则下列判断正确的是（）x23456y 4.0 2.5-0.50.5-2A .B .C .D .7. （2分）有两件事和四个图象，两件事为：①我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家找到作业本再上学；②我出发后，心情轻松，缓缓前行，后来为了赶时间开始加速，四个图象如下：与事件①，②对应的图象分别为（）A . a，bB . a，cC . d，bD . d，c8. （2分）数列1，37 ， 314 ， 321 ，……中，398是这个数列的（）A . 第13项B . 第14项C . 第15项D . 不在此数列中9. （2分）(2013·新课标Ⅰ卷理) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A . 16+8πB . 8+8πC . 16+16πD . 8+16π10. （2分）函数的图象向左平移个单位后，所得图象的一条对称轴是（）A .B .C .D .11. （2分）在用“二分法“求函数f（x）零点近似值时，第一次所取的区间是[﹣2，4]，则第三次所取的区间可能是（）A . [1，4]B . [﹣2，1]C . [﹣2， ]D . [﹣，1]12. （2分） (2019高二下·萨尔图期末) 函数在上的最大值为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2019·鞍山模拟) 若实数x，y满足约束条件，则z＝lny－lnx的最小值是________．14. （1分）(2020·葫芦岛模拟) 被7除后的余数为________．15. （1分） (2016高二上·沭阳期中) 执行如图所示的伪代码，输出i的值为________．16. （1分） (2019高一下·宁波期中) 在中，，，其面积为，则 ________，________.三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分） (2019高一上·利辛月考) 在中，角的对边分别为，且.（1）求；（2）若，的面积为，求的周长.18. （10分） (2015高二上·城中期末) 在多面体ABCDE中，BC=BA，DE∥BC，AE⊥平面BCDE，BC=2DE，F为AB的中点．（1）求证：EF∥平面ACD；（2）若EA=EB=CD，求二面角B﹣AD﹣E的正切值的大小．19. （10分） (2019高三上·洛阳期中) 设数列的前项和为，且，数列满足， .（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．20. （10分）(2017·自贡模拟) 甲、乙两位射击运动员，在某天训练中已各射击10次，每次命中的环数如下：甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7（Ⅰ）通过计算估计，甲、乙二人的射击成绩谁更稳；（Ⅱ）若规定命中8环及以上环数为优秀，以频率作为概率，请依据上述数据估计，求甲在第11至第13次射击中获得获得优秀的次数ξ的分布列和期望．21. （5分） (2019高二上·菏泽月考) 已知椭圆的焦距为，且过点．（1）求椭圆的方程；（2）已知，是否存在使得点关于的对称点（不同于点）在椭圆上？若存在求出此时直线的方程，若不存在说明理由．22. （10分）(2019·绵阳模拟) 已知函数，对于任意的，恒成立．（1）求的取值范围；（2）设，当取最小值且时，试比较与在上的大小，并证明你的结论．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共55分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：。

2020年山西省吕梁市离石区信义中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知双曲线与双曲线的离心率相同,且双曲线的左、右焦点分别为,是双曲线一条渐近线上的某一点,且,,则双曲线的实轴长为A. B. C. D.参考答案：D本题考查双曲线的标准方程与几何性质.因为双曲线与双曲线的离心率相同,所以双曲线的离心率,即,,即,即双曲线的一条渐近线为;而中,,,所以,;而=,解得;所以,即双曲线的实轴长为.选D.【备注】双曲线,离心率,,渐近线为.2. 如图描述的是我国2014年四个季度与2015年前三个季度三大产业GDP累计同比贡献率，以下结论正确的是（）A．2015年前三个季度中国GDP累计比较2014年同期增速有上升的趋势B．相对于2014年，2015年前三个季度第三产业对GDP的贡献率明显增加C．相对于2014年，2015年前三个季度第二产业对GDP的贡献率明显增加D．相对于2014年，2015年前三个季度第一产业对GDP的贡献率明显增加参考答案：B【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由已知中我国2014年四个季度与2015年前三个季度三大产业GDP累计同比贡献率的条形图，逐一分析给定四个上结论的真假，可得答案．【解答】解：由已知中我国2014年四个季度与2015年前三个季度三大产业GDP累计同比贡献率的条形图可得：2015年前三个季度中国GDP累计比较2014年同期增速没有明显上升的趋势，故A错误；相对于2014年，2015年前三个季度第三产业对GDP的贡献率明显增加，故B正确；相对于2014年，2015年前三个季度第二产业对GDP的贡献率没有明显增加，故C错误；相对于2014年，2015年前三个季度第一产业对GDP的贡献率没有明显增加，故D错误；故选：B．3. 已知函数f（x）是定义在R上周期为4的奇函数，当0＜x＜2时，f（x）=log2x，则f（2）+f（）=（）A．1 B．﹣1 C．0 D．2参考答案：A【考点】函数的值．【分析】利用函数f（x）是定义在R上周期为4的奇函数，当0＜x＜2时，f（x）=log2x，求出相应函数值，即可得出结论．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上周期为4的奇函数，当0＜x＜2时，f（x）=log2x，∴f（2）=f（﹣2）=﹣f（2），∴f（2）=0，f（）=f（﹣）=﹣f（）=log22=1，∴f（2）+f（）=1，故选：A．【点评】本题考查函数值的计算，考查函数的奇偶性，比较基础．4. 已知定义在R上的函数f(x)是偶函数,对x∈R都有f(2+x)=f(2-x),当f(-3)=-2时,f(2 007)的值为( )(A)2 (B)-2 (C)4 (D)-4参考答案：B略5. 若，A． B． C．D．参考答案：A6. 在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且，若，则边b的最小值为（）A．4 B．C．D．参考答案：D7. 在中，点在上，且，点是的中点，若，，则( )A．B．C．D．参考答案：D略8. 给出四个函数，分别满足①；②；③；④，又给出四个函数的图象如下：则正确的配匹方案是（）A．①—M ②—N ③—P ④—Q B．①—N ②—P ③—M ④—QC．①—P ②—M ③—N ④—Q D．①—Q ②—M ③—N ④—P参考答案：D略9. 函数在区间内A．没有零点B．有且仅有1个零点C．有且仅有2个零点D．有且仅有3个零点参考答案：B略10. 已知，，O为坐标原点，点C在内，且，设，则实数等于(A) (B) (C) (D)3参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 由曲线所围成的图形面积为___________参考答案：12. 已知是钝角，，则_________.参考答案：略13. 抛物线的焦点坐标是_______________.参考答案：14.已知函数f(x)(x ∈R)为奇函数,f(2)=1,f(x+2)=f(x)+f(2).则f(3)等于 参考答案：答案:15. 过点作斜率为的直线与椭圆：相交于，若是线段的中点，则椭圆的离心率为 .参考答案：【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题．【答案解析】解析：解：设，则，∵过点作斜率为的直线与椭圆：相交于A ，B 两点，是线段的中点，∴两式相减可得，∴∴，∴．【思路点拨】利用点差法，结合是线段的中点，斜率为，即可求出椭圆的离心率．16. 一个四棱锥的三视图如图所示，其正视图是腰长为1的等腰直角三角形，则这个四棱锥的体积为_________．参考答案：17. 已知函数（a>0），其中若函数在定义域内有零点，则实数a 的取值范围是 。