初(高)中数学通性通法《现代波利亚表》

高三数学复习中任务群的设置无论是单位还是个人，无论办什么事情，事先都应有个打算和安排。

有了工作计划，工作就有了明确的目标和具体的步骤，就可以协调大家的行动，增强工作的主动性，下面给大家分享一些关于高三数学的复习计划范文，希望对大家有所帮助。

1.全面复习，立足课本。

第一阶段系统备考就是整个数学备考的基础，就是学生提升成绩的确保。

在教师的指导下，学生自己对基础知识、基本技能展开剖析，达至系统化、结构化。

必须立足课本基础知识和基本方法，起点无法太高。

必须揪纲务本、打牢三基、全面备考、单元闯关。

以单元居多，强化对“基本知识、基本技能、基本方法”能力培育的全面落实，努力做到广度上不取死角，全面系统地掌控高中数学科学知识的概念、定理、公式、法则，予以认知，并构成记忆和技能。

2.理清脉络，抓住重点。

在第一阶段，必须著重对所学科学知识、方法的概括、整理、总结，努力做到串点成线，剖析成辫，共同组成网络，把握住教材的科学知识体系和脉络。

对重点科学知识内容，更必须常抓不懈、常抓常崭新，秉持多角度，多层次备考重点科学知识内容。

既必须“各个击破”，又必须“融会贯通”;既必须熟练掌握，又必须有效率应用领域;既必须特别注意和别的科学知识联系，又必须有意识的予以应用领域，并在解题过程中，不断加强、深化、切割。

3.加强备课组的协作，发挥集体智慧。

高三的备考工作极为艰巨，须要大家群策群力，取长补短，团结一致协作。

备课组成员必须心往一处想要，劲往一处并使，针对备考中存有的注重问题，强化集体复习，共同研究找寻对策，强化互相交流，互相学习。

搞好每单元的教学进度的统一，精心安排不好每课时的导学案的撰写，精心底上每一节课，努力提高课堂效率。

既必须集体复习又必须协调相同班的差异，因材施教。

同时，组内应强化相互听讲，共同探讨、思考、化解教学中辨认出的问题。

4.做到每节课都要体现出能力目标。

(1)计算能力高就是现在学生存有的广泛问题，平时的训练和检测中老师都能够辨认出存有相当一部分学生解题的思路恰当，但因为排序不优良而得不出来恰当的答案，导致安打轻微，而有些学生对此还不以为然，这种见解就是十分有毒的。

波利亚解题----- 案例分析(0507)(总7 页)-本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可-“内页可以根据需求调整合适字体及大小-波利亚解题——案例分析例题：给定正四棱台的高力，上底的一条边长"和下底的一条边长久求正四棱台的体积V •（学生已学过棱柱、棱锥的体积）波利亚解题：一、弄清问题（理解题目的未知和已知条件）本题的已知条件有哪些本题的未知是什么①正四棱台的高力;②Jz底边长d ；正四棱台的体积V •③下底边长b -- ' /二、拟定计划（找到已知条件和未知之间的联系）1）怎样才能求得V由于我们已经知道棱柱、棱锥的体积公式，而棱台的几何结构（棱台的定义）告诉我们，棱台是“用一个平行于底面的平面去截棱锥"，从一个大棱锥中截去一个小棱锥所生成的•如果知道了相应两棱锥的体积K和岭，我们就能求出棱台的体积"=%-岭。

①这样我们就引入两个新的符号K和匕，同时也找到了V、岭、匕三个量之间的联系，这就把求V 转化为求X和«•2）怎样才能求得叫和匕据棱锥的体积公式,底面积可由已知条件直接求得，关键是如何求出两个棱锥的高。

并且，一旦求出小棱锥的高■大棱锥的高也就求出，为x + h .我们再次引入了一个新符号■于是根据棱锥的体积公式就有匕十* V,=1Z,2（X +/7）,这样，问题就由求叫和匕转化为了求x。

3）怎样才能求得x为了使未知数x与已知数方、“联系起来，建立起一个等量关系•我们调动处理立体几何问题的基本经验，进行“平面化"的思考•用一个通过高线以及底面一边上中点（如下图蓝色线条所示）的平面去截两个棱锥，在这个截面上有两个相似三角形能把“、力、x联系起来（转化为平面几何问题）.由三角形相似的性质得：沪二7 ②b x + hV t =Lb 2(x+h) = ^b 2- 3 3 b'h3(〃这就将一个几何问题最终转化为代数方程的求解•解上述方程，便可由d 、b 、表示x,至此，我们已在V 与已知数d 、“、"之间建立起了一个不中断的联络网，解题思路全部沟 通・三、实现计划（利用找到的联系进行解题）作辅助线，由相似三角形的性质可得，专=— b x + h “心 cih 解得—o b_a所以两椎体的体积分别为有：所以棱台的体积：F 岛昔需S 也③四、回顾（1）正面检验每一步，推理是有效的，演算是准确的。

精心整理波利亚的怎样解题表陕西师范大学罗增儒罗新兵１乔治·波利亚乔治·波利亚(George Polya，1887～1985)是美籍匈牙利数学家、数学教育家．在解题方面，是数学启发法(指关于发现和发明的方法和规律，亦译为探索法)现代研究的先驱．由于他在数学教育方面取得的成就和对世界数学教育所产生的影响，在他93岁高龄时，还被ＩＣＭＥ（国际数学教育大会）聘为名誉主席．作为一个数学家，波利亚在函数论、变分法、概率、数论、组合数学、计算和应用数学等众多领域，都做出了开创性的贡献，留下了以“波利亚”命名的定理或术语；他与其他数学家合着的《数学分析中的问题和定理》、《不等式》、《数学物理中的等周问题》、《复变量》等书堪称经典；而以200多篇论文构成的四大卷文集，在未来的许多年里，将是研究生攻读的内容．作为一个数学教育家，波利亚的主要贡献集中体现在《怎样解题》(1945年)、《数学与似真推理》(1954年)、《数学的发现》(1962年)三部世界名着上，涉及“解题理论”、“解题教学”、“教师培训”三个领域．波利亚对数学解题理论的建设主要是通过“怎样解题”表来实现的，而在尔后的着作中有所发展，也在“解题讲习班”中对教师现身说法．他的着作把传统的单纯解题发展为通过解题获得新知识和新技能的学习过程，他的目标不是找出可以机械地用于解决一切问题的“万能方法”，而是希望通过对于解题过程的深入分析，特别是由已有的成功实践，总结出一般的方法或模式，使得在以后的解题中可以起到启发的作用．他所总结的模式和方法，包括笛卡儿模式、递归模式、叠加模式、分解与组合方法、一般化与特殊化方法、从后往前推、设立次目标、归纳与类比、考虑相关辅助问题、对问题进行变形等，都在解题中行之有效．尤其有特色的是，他将上述的模式与方法设计在一张解题表中，并通过一系列的问句或建议表达出来，使得更有启发意义．着名数学家互尔登在瑞士苏黎世大学的会议致词中说过：“每个大学生、每个学者、特别是每个教师都应该读这本引人入胜的书”(1952年2月2日)．２怎样解题表波利亚是围绕“怎样解题”、“怎样学会解题”来开展数学启发法研究的，这首先表明其对“问题解决”重要性的突出强调，同时也表明其对“问题解决”研究兴趣集中在启发法上．波利亚在风靡世界的《怎样解题》（被译成14种文字）一书中给出的“怎样解题表”，正是一部“启发法小词典”．２．１怎样解题”表的呈现弄清问题第一，你必须弄清问题未知是什么?已知是什么?条件是什么?满足条件是否可能?要确定未知，条件是否充分?或者它是否不充分?或者是多余的?或者是矛盾的?画张图，引入适当的符号．把条件的各个部分分开．你能否把它们写下来?拟定计划第二，找出已知数与未知数之间的联系．如果找不出直接的联系，你可能不得不考虑辅助问题．你应该最终得出一个求你以前见过它吗?你是否见过相同的问题而形式稍有不同?你是否知道与此有关的问题?你是否知道一个可能用得上的定理?看着未知数，试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题．这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题．你能不能利用它?你能利用它的结果吗?你能利用它的方法吗?为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素?你能不能重新叙述这个问题?你能不能用不同的方法重新叙述它?回到定义去．如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题．你能不能想出一个更容易着手的有关问题?一个更普遍的问题?一个更特殊的问题?一个类比的问题?你能否解决这个问题的一部分?仅仅解的计划保持条件的一部分而舍去其余部分．这样对于未知数能确定到什么程度?它会怎样变化?你能不能从已知数据导出某些有用的东西?你能不能想出适合于确定未知数的其他数据?如果需要的话，你能不能改变未知数或数据，或者二者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近?你是否利用了所有的已知数据?你是否利用了整个条件?你是否考虑了包含在问题中的必要的概念?实现计划第三，实行你的计划实现你的求解计划，检验每一步骤．你能否清楚地看出这一步骤是正确的?你能否证明这一步骤是正确的?回顾第四，验算所得到的解．你能否检验这个论证?你能否用别的方法导出这个结果?你能不能一下子看出它来?你能不能把这一结果或方法用于其他的问题?下面是实践波利亚解题表的一个示例，能够展示波利亚解题风格的心路历程，娓娓道来，栩栩如生．２．２怎样解题”表的实践例1给定正四棱台的高h，上底的一条边长a和下底的一条边长b，求正四棱台的体积F．(学生已学过棱柱、棱锥的体积)讲解第一，弄清问题．问题1．你要求解的是什么?要求解的是几何体的体积，在思维中的位置用一个单点F象征性地表示出来(图1)．问题2．你有些什么?一方面是题目条件中给出的3个已知量a、b、h；另一方面是已学过棱柱、棱锥的体积公式，并积累有求体积公式的初步经验．把已知的三个量添到图示处(图2)，就得到新添的三个点a、b、h；它们与F之间有一条鸿沟，象征问题尚未解决，我们的任务就是将未知量与已知量联系起来．第二，拟定计划．问题3．怎样才能求得F?由于我们已经知道棱柱、棱锥的体积公式，而棱台的几何结构(棱台的定义)告诉我们，棱台是“用一个平行于底面的平面去截棱锥”，从一个大棱锥中截去一个小棱锥所生成的．如果知道了相应两棱锥的体积B和A，我们就能求出棱台的体积Ｆ＝Ｂ－Ａ．①我们在图示上引进两个新的点A和B，用斜线把它们与F联结起来，以此表示这三个量之间的联系(图3，即①式的几何图示)．这就把求F转化为求A、B．图3问题4．怎样才能求得A与B?依据棱锥的体积公式(V＝13Ｓｈ)，底面积可由已知条件直接求得，关键是如何求出两个棱锥的高．并且，一旦求出小棱锥的高x，大棱锥的高也就求出，为ｘ＋ｈ．我们在图示上引进一个新的点x，用斜线把A与x、ａ连结起来，表示A能由a、ｘ得出，A＝13ａ2ｘ；类似地，用斜线把B与b、ｈ、ｘ连结起来，表示B可由ｂ、ｈ、ｘ得出，Ｂ＝13ｂ2（ｘ＋ｈ）(图4)，这就把求A、B转化为求x．图4问题5．怎样才能求得x？为了使未知数x与已知数a、ｂ、ｈ联系起来，建立起一个等量关系．我们调动处理立体几何问题的基本经验，进行“平面化”的思考．用一个通过高线以及底面一边上中点(图5中，点Q)的平面去截两个棱锥，在这个截面上有两个相似三角形能把a、b、h、x联系起来(转化为平面几何问题)，由△ＶＰＯ1∽△ＶＱＯ2得图5x a x h b =+②这就将一个几何问题最终转化为代数方程的求解．解方程②，便可由a 、b 、h 表示x,在图示中便可用斜线将x 与ａ、ｂ、h 连结起来．至此，我们已在F 与已知数a 、b 、h 之间建立起了一个不中断的联络网，解题思路全部沟通． 第三，实现计划．作辅助线(过程略)如图5，由相似三角形的性质，得x a x h b =+，解得x=ah b a-． 进而得两锥体的体积为Ａ＝13ａ2x ＝13·3a h b a -， Ｂ＝13ｂ2（ｘ＋ｈ）＝13·3b h b a-， 得棱台体积为 Ｆ＝Ｂ－Ａ＝13·33()b a h b a --＝13（a 2＋ab ＋b 2）h ．③第四，回顾． (1)正面检验每一步，推理是有效的，演算是准确的．再作特殊性检验，令ａ→０，由③可得正四棱锥体的体积公式；令ａ→ｂ，由③可得正四棱柱体的体积公式．这既反映了新知识与原有知识的相容性，又显示出棱台体积公式的一般性；这既沟通了三类几何体极限状态间的知识联系，又可增进三个体积公式的联系记忆．(2)回顾这个解题过程可以看到，解题首先要弄清题意，从中捕捉有用的信息(如图1所示，有棱台，a 、b 、h 、F 共5条信息)，同时又要及时提取记忆网络中的有关信息(如回想：棱台的定义、棱锥的体积公式、相似三角形的性质定理、反映几何结构的运算、调动求解立体几何问题的经验积累等不下6条信息)，并相应将两组信息资源作合乎逻辑的有效组合．这当中，起调控作用的关键是如何去构思出一个成功的计划(包括解题策略)．由这一案例，每一个解题者还可以根据自己的知识经验各自进一步领悟关于如何制定计划的普遍建议或模式．(3)在解题方法上，这个案例是分析法的一次成功应用，从结论出发由后往前找成立的充分条件．为了求F ，我们只需求A 、B(由棱台体积到棱锥体积的转化——由未知到已知，化归)；为了求A 、B ，我们只需求x(由体积计算到线段计算的转化——由复杂到简单，降维)；为了求x ，我们只需建立关于x 的方程(由几何到代数的转化——数形结合)；最后，解方程求x ，解题的思路就畅通了，在当初各自孤立而空旷的画面上(图1)，形成了一个联接未知与已知间的不中断网络(图5)，书写只不过是循相反次序将网络图作一叙述．这个过程显示了分析与综合的关系，“分析自然先行，综合后继；分析是创造，综合是执行；分析是制定一个计划，综合是执行这个计划”．(4)在思维策略上，这个案例是“三层次解决”的一次成功应用．首先是一般性解决(策略水平上的解决)，把F 转化为A ，B 的求解（Ｆ＝Ａ－Ｂ），就明确了解题的总体方向；其次是功能性解决(方法水平的解决)，发挥组合与分解、相似形、解方程等方法的解题功能；最后是特殊性解决(技能水平的解决)，比如按照棱台的几何结构作图、添辅助线找出相似三角形、求出方程的解、具体演算体积公式等，是对推理步骤和运算细节作实际完成．(5)在心理机制上，这个案例呈现出“激活——扩散”的基本过程．首先在正四棱台(条件)求体积(结论)的启引下，激活了记忆网络中棱台的几何结构和棱锥的体积公式，然后，沿着体积计算的接线向外扩散，依次激活截面知识、相似三角形知识、解方程知识(参见图1～图5)，……直到条件与结论之间的网络沟通．这种“扩散——激活”的观点，正是数学证明思维中心理过程的一种解释．(6)在立体几何学科方法上，这是“组合与分解”的一次成功应用．首先把棱台补充(组合)为棱锥，然后再把棱锥截成(分解)棱台并作出截面，这种做法在求棱锥体积时曾经用过(先组合成一个棱柱、再分解为三个棱锥)，它又一次向我们展示“能割善补”是解决立体几何问题的一个诀窍，而“平面化”的思考则是沟通立体几何与平面几何联系的一座重要桥梁．这些都可以用于求解其他立体几何问题，并且作为一般化的思想(化归、降维)还可以用于其他学科．(7)“你能否用别的方法导出这个结果?”在信念上我们应该永远而坚定地做出肯定的回答，操作上未实现只是能力问题或暂时现象．对于本例，按照化棱台为棱锥的同样想法，可以有下面的解法．如图6，正四棱台ABCD-Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1中，连结DA 1，ＤB 1，ＤＣ1，ＤＢ，将其分成三个四棱锥Ｄ-Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1，Ｄ-ＡＡ1Ｂ1Ｂ，Ｄ-ＢＢ1Ｃ1Ｃ，其中1111D A B C D V -＝13b 2ｈ， 11D AA B B V -＝11D BB C C V -．（等底等高)图6 图7为了求11D AA B B V -，我们连结A Ｂ1，将其分为两个三棱锥Ｄ-ＡＢＢ1与Ｄ-ＡＡ1Ｂ1（图7），因11AA B S ∆＝b a1ABB S ∆， 故11D AA B B V -＝b a1D ABB V -， 但1D ABB V -＝1B ABD V -＝13·12ａ2·ｈ＝16a 2ｈ，故11D AA B B V -＝1D ABB V -＋11D AA B V -＝16a 2ｈ＋b a ·16a 2ｈ＝16 (a 2＋ａｂ)ｈ． 从而1111ABC D A B C D V -＝11D AA B B V -＋11D BB C C V -＋1111D A B C D V -＝16 (a 2＋ａｂ)ｈ＋16 (a 2＋ａｂ)ｈ＋13b 2ｈ＝13（a 2＋ab ＋b 2）h ． (8)“你能不能把这一结果或方法用于其他问题?”能，至少我们可以由正四棱台体积公式一般化为棱台体积公式(方法是一样的)．注意到a 2＝Ｓ1，b 2＝Ｓ2，ａｂ＝12S S ，可一般化猜想棱台的体积公式为Ｖ台＝13(Ｓ1＋12S S ＋Ｓ2)ｈ． ３波利亚的解题观对于波利亚的怎样解题表及有关着作，人们从不同的角度阐发了对波利亚解题思想的认识(见参考文献)，我们将其归结为5个要点．３．１程序化的解题系统怎样解题表，就“怎样解题”、“教师应教学生做些什么”等问题，把“解题中典型有用的智力活动”，按照正常人解决问题时思维的自然过程分成四个阶段——弄清问题、拟定计划、实现计划、回顾，从而描绘出解题理论的一个总体轮廓，也组成了一个完整的解题教学系统．既体现常识性，又体现由常识上升为理论(普遍性)的自觉努力．这四个阶段首先是一个四步骤的宏观解题程序，其中“实现计划”虽为主体工作，但较为容易完成，是思路打通之后具体实施信息资源的逻辑配置，“我们所需要的只是耐心”；其次，“弄清问题”是认识问题、并对问题进行表征的过程，应成为成功解决问题的一个必要前提；与前两者相比，“回顾”是最容易被忽视的阶段，波利亚将其作为解题的必要环节而固定下来，是一个有远见的做法，在整个解题表中“拟定计划”是关键环节和核心内容．拟定计划”的过程是在“过去的经验和已有的知识”基础上，探索解题思路的发现过程，波利亚的建议是分两步走：第一，努力在已知与未知之间找出直接的联系(模式识别等)；第二，如果找不出直接的联系，就对原来的问题做出某些必要的变更或修改，引进辅助问题，为此，波利亚又进一步建议：看着未知数，回到定义去，重新表述问题，考虑相关问题，分解或重新组合，特殊化，一般化，类比等，积极诱发念头，努力变化问题．这实际上是阐述和应用解题策略并进行资源的提取与分配．于是，这个系统就集解题程序、解题基础、解题策略、解题方法等于一身，融理论与实践于一体．３．２启发式的过程分析还在当学生的时候，波利亚就有一个问题一再使他感到困惑：“是的，这个解答好像还行，它看起来是正确的，但怎样才能想出这样的解答呢?是的，这个实验好像还行，它看起来是个事实，但别人是怎样发现这样的事实?而且我自己怎样才能想出或发现它们呢?”从解题论的观点看，这实际上是既提出了“怎样解题”又提出了“怎样学会解题”的问题，波利亚说，这“终于导致他写出本书”(指《怎样解题》)．波利亚认为“数学有两个侧面”，“用欧几里得方式提出来的数学看来像是一门系统的演绎科学；但在创造过程中的数学看来却像是一门实验性的归纳科学．这两个侧面都像数学本身一样古老．但从某一点说来，第二个侧面则是新的，因为以前从来就没有‘照本宣科’地把处于发现过程中的数学照原样提供给学生，或教师自己，或公众．”他以数十年的时间悉心研究数学启发法，其“怎样解题”的基本思想就可以概括为“知识＋启发法”．在解题表中，波利亚给出了“启发法小词典”，让读者通过阅读词典来开阔思路、指导实践，自己学会怎样解题．这些看法来源于波利亚对数学教育宗旨的认识，波利亚认为，数学教育应“教会年轻人去思考”，培养学生的“独立性、能动性和创新精神”；他认为一个人在学校所受的教育应该受益终生，他赞成，良好的教育应该“系统地给学生自己发现事物的机会”，“应该帮助学生自己再发现所教的内容”，“学东西的最好途径是亲自去发现它”；他特别重视发展学生的数学思维能力，强调数学教学要加强思维训练，要发展学生运用所学知识的能力，发展技能、技巧、有益的思考方式和科学的思维习惯，他反复指出，数学教育的目的不仅仅是传授知识，还要“发展学生本身的内蕴能力”．教师要“教学生证明问题”，也要“教他们猜想问题”．波利亚提出“合情推理”的概念，号召：“让我们教猜想吧!”在解题表的展开中，波利亚则通过剖析典型例题的思维过程来研究“发现和发明的方法和规律”．波利亚不断地提问、不断地建议，“怎样才能想出这样的解答呢?”“我自己怎样才能想出或发现它们呢?”既驱使人们去分析解题过程，又要求人们去总结发现的规律．波利亚在《数学的发现》序言中提出：“领会方法的最佳时机，可能是读者解出一道题的时候，或是阅读它的解法的时候，也可能是阅读解法形成过程的时候”．波利亚书中的例题，其实就是对典型例题进行解题过程的分析，就是暴露数学解题的思维过程，也就是教人“怎样学会解题”．在例1中，数学操作与思维开展相结合的图解或阐释，使我们既领会到了这样的意图，也见到了这样的行动．波利亚对解题过程淋漓尽致的剖析，实质上已接触到心理层面，但没有用到多少教育学或思维学的相关名词，基本上都是其数学前沿研究中切身体验的自然流露，数学功底和过程体验发挥了重要作用．这正是数学家研究数学教育的优势，处处有数学的“真刀真枪”，绝非“纸上谈兵”．波利亚说“货源充足和组织良好的知识仓库是一个解题者的重要资本”，在“知识”与“组织良好”之间，波利亚更强调后者，他说“良好的组织使得所提供的知识易于用上，这甚至可能比知识的广泛更为重要．”用现在的话来说，波利亚在这里强调了“原有的知识经验”和“优化的认知结构”对问题解决的基础作用．３．３开放型的念头诱发．波利亚解释说：“我们表中的问题和建议并不直接提到念头；但实际上，所有的问题和建议都与它有关(可以说解题表中的每一个问句，都是从认知或元认知的角度向读者启发解题念头．），弄清问题是为好念头的出现做准备；拟订计划是试图引发它；在引发之后，我们实现它；回顾此过程和求解的结果，我们试图更好地利用它．”他强调指出：“老师为学生所能做的最大的好事是通过比较自然的帮助，促使他自己想出一个好念头．”在《怎样解题》一书里，出现“念头”这个词不下四五十次．念头有什么用?波利亚说：“它会给你指出整个或部分解题途径”．“也许有些念头会把你引入歧途”，但这并不可怕，“在明显失败的尝试和一度犹豫不决之后”会“突然闪出一个‘好念头’”，最糟糕的是没有任何念头，还“笨头呆脑地干等着某个念头的降临，而不会做任何事情去加速其来到．”这里说的念头不仅在字面上比“问题表征”更为浅白，而且在内涵上更为丰富，其实质是开展积极活跃的思维活动，产生念头与找出解题途径完全可以理解为同义语．那么产生念头的基础是什么呢?波利亚的回答是：“过去的经验和已有的知识”．(解题力量)“如果我们对该论题知识贫乏，是不容易产生好念头的．如果我们完全没有知识，则根本不可能产生好念头．”波利亚一再提到“好念头”，其实这就是直觉、顿悟或灵感，“想出一个好念头是一种‘灵感运动’”，“想像力有了一个突然的跳跃，产生了一个好念头，这是天才的一次闪烁”，“是我们观点上的重大突变，我们看问题方式的一个骤然变动，在解题步骤方面的一个刚刚露头的有信心的预感”．波利亚关于念头的种种议论，正是开展积极思维活动的激发与激活．３．４探索性的问题转换这里说的“问题转换”，在《怎样解题》一书中亦叫“变化问题”、“题目变更”，它揭示了探索解题思路的数学途径，也体现了解题策略的实际运用．波利亚强调：“解题的成功要靠正确思路的选择，要靠从可以接近它的方向去攻击堡垒，为了找出哪个方面是正确的方面，哪一侧是好接近的一侧，我们从各个方面、各个侧面去试验，我们变更问题．”“变化问题使我们引进了新的内容，从而产生了新的接触，产生了和我们有关的元素接触的新可能性．”“新问题展现了接触我们以前知识的新可能性，它使我们做出有用接触的希望死而复苏．通过变化问题，显露它的某个新方面，新问题使我们的兴趣油然而生”．在“怎样解题”表中，波利亚拟出了启引我们不断转换问题的30多个问句或建议：把问题转化为一个等价的问题，把原问题化归为一个已解决的问题，去考虑一个可能相关的问题，先解决一个更特殊的问题、或更一般的问题、或类似的问题……那些启发新念头的问句，也往往与问题转换有关．“如果我们不用‘题目变更’，几乎是不能有什么进展的”——这就是波利亚的结论．３．５朴素的数学解题元认知观念．元认知是对认知的再认知，包括元认知知识，元认知体验和元认知监控．虽然元认知概念提出较晚，但元认知思想早就存在，在波利亚的解题思想中存在着朴素的元认知观念．波利亚解题表的大量问句或建议，都不是问别人，而是自己给自己提问题、提建议，这是解题者的自我诘问、自我反思．问题中的一部分，其对象针对具体的数学内容，属于认知性的；另一部分则以解题者自身为对象，属于元认知性的．比如，“你以前见过它吗?”“你是否知道一个与此有关的问题?”“这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题．你能不能利用它?”等等，都不涉及问题的具体内容，都是针对解题主体、对其解题思维活动的反思，都属于元认知提问，而不完全是认知提问．波利亚解题表中的“回顾”也并不完全是常规解题中的“检验”，主要是有分析地领会所得的解法(参见例1的回顾)，它包含着把“问题及其解法”(认知)作为对象进行自觉反思的元认知意图．至于解题表本身所给出的解题程序(一种程序性知识)，所体现的解题策略(一种策略性知识)及所进行的元认知提问，都属于元认知知识．波利亚对具体范例的分析，基本上是对“问题及其解法”的再认知，已反映出开发元认知的朴素意图．波利亚的另一些问句，如“你能不能重新叙述这个问题?你能不能用不同的方法重新叙述它?”“你能不能改变未知数或数据，或者二者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近?”(接近度)，“你能不能一下子看出它来?”(题感)等，则属于朴素的元认知体验．至于解题表本身，则自始至终体现着元认知调控．综上所述，“解题系统”是波利亚解题思想的整体框架，“分析解题过程”是波利亚解题思想的思维实质，“念头诱发”是波利亚解题思想的外在表现，“问题转换”是波利亚解题思想的具体实现，朴素的元认知观念是波利亚解题思想的心理学基础．而这一切的背后，丰富的数学前沿研究经历和发现体验是波利亚解题思想的物质基础，现代启发法是波利亚解题思想的灵魂，揭示“发现和发明的方法和规律”是波利亚解题思想的目标．４波利亚解题研究的发展４．１反思数学上存在证明的方法与发现的方法，在逻辑实证主义占主导地位的历史时期，关于数学发现方法的研究一度陷于停顿，波利亚的贡献就在于自觉承担起复兴数学启发法的重任，并提出合情推理，为数学启发法的现代研究提供了必要基础．20世纪80年代初期，美国数学教育界兴起的“问题解决”研究是对波利亚现代启发法的直接继承，曾经有“对波利亚的重新发现”、“数学启发法…几乎成了问题解决的同义词”等提法．但是，已有数学实践却未能获得预期的成功，尽管学生已经具备了必要的数学知识，也已经了解了相关的方法原则，或者说已执行了解题表的建议，却仍不能有效地解决问题，这不能不引起数学教育界的反思．波利亚构建的“四阶段”解题系统具有开创性的意义，但局限于“四阶段”对学会“数学地思维”而言是不是有点简单化了?对数学问题解决全过程的探索可能比解题表所简洁描述的复杂得多．数学启发法的现代复兴及其所取得的成功，无论怎样评价都不算过分，但启发法能不能看成影响问题解决能力的惟一要素?“知识+启发法”之外可能还有更多的因素需要重视(如“元认知调节”、。

千淘万漉虽辛苦,吹尽黄沙始到金——探中考试题,助课改顺行2007年江西省中考数学试卷总体上以《中考说明》为基本依据，参照了《课标》中“评价建议”的要求，坚持了以学生的发展为本.三个特点:①考查学生对三基的理解与掌握，②注重了能力立意，③控制了难度。

发挥功能：充分挖掘了各种已有题型的功能，积极开发形式新颖的试题，充分发挥了引导“按课程标准理念所提倡的教学方式进行学习和教学”、“激励学生的学习和改进教师的教学”的作用，有助于推进新课程的顺利进行。

下面具体说明：一．试题依据《中考说明》，关注全体，重视基础——彰显教学过程抓基础的重要性1.试题特点（1）试题首先关注了《课标》中最基础、最核心的内容.我们的《中考说明》是以《课标》为指导的,试题根据《中考说明》,整卷通过三种题型(填空、选择、解答)①覆盖了课标中85%以上的三级知识点(课标中共计43个)；②基本概念和基本技能的占分不低于90分，约75％以上；③对核心知识、主干知识的考查达到了70％以上。

（2）考查了学生的数感、符号感、空间观念、统计观念的掌握程度。

①数感例1：（江西第6题）的点的距离最近的整数点所表示的数是 .点评: 1.实数与数轴上点的一一对应关系;2.无理数的估算; 3. 实数的大小比较。

4.数形结合的思想; 4.与题目“在数轴上与表示5的点的距离最近的整数点所表示的数是 .”比较,感觉更适合考生, 抓住了数学的本质属性.例2：（江西第14题）已知, 则满足条件的最小正整数n为【】A. 2B. 3C. 4D. 5点评:此题涉及数的分解,开平方, 完全平方等基本知识.题小, 巧,清爽, 入口也宽.最典型的解法是用排除法.②符号感例3：（江西第5题）在加油站，加油机显示器上显示的某一种油的单价为每升4.75元，总价从0元开始随着加油量的变化而变化，则总价y（元）与加油量x（升）的函数关系式是 .点评：1.此题主要是考查直接列式建立函数关系式，稍有生活常识的考生一边读题, 一边会从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，脑子里会显现出加油机显示器上那不断跳跃着的两组数字说明它们的函数关系是一次函数关系. 尤其显示器中示数的跳动形象地表现了两个变量变化情景，准确地提示了函数最本质的东西，题中知识形成和思维的展开显得自然和谐。

波利亚“怎样解题表”乔治·波利亚（G.Polya，1887-1985年）出⽣于匈⽛利布达佩斯。

上中学时，他就是⼀个很有上进⼼的学⽣。

但每当遇到较难的数学题时，他也时常感到困惑：“这个解答好像还⾏，它看起来是正确的，但怎样才能想到这样的解答呢？这个结论好像还⾏，它看起来是个事实，但别⼈是怎样发现这个事实的？我⾃⼰怎样才能想出或发现他们呢？”波利亚带着⼀连串的困惑与1905年⾛进了布达佩斯⼤学，并在那⾥获得博⼠学位。

之后，波利亚先后到哥廷根⼤学、巴黎⼤学、瑞⼠联邦⼯学院进⾏数学研究或任教。

1940年移居美国，并在斯坦福⼤学任教，直到退休。

⽆论在学习期间或任教期间，波利亚始终不忘研究少年时学数学所遇到的困惑。

1944年8⽉，波利亚终于将他的研究成果公布于世，这就是名著《怎样解题表》。

该书出版后，不胫⽽⾛，迅速传遍全世界。

直到今天，该书仍被各国数学教育界奉为经典。

“怎样解题表”就是《怎样解题》⼀书的精华，该表被波利亚排在该书的正⽂之前，并且在书中再三提到该表。

实际上，该书就是“怎样解题表”的详细解释。

波利亚的“怎样解题表”将解题过程分成了四个步骤，只要解题时按这四个步骤去做，必能成功。

同学们如果能在平时的做题中不断实践和体会该表，必能很快就会发出和波利亚⼀样的感叹：“学数学是⼀种乐趣！”怎样解题表第⼀步：弄清问题。

1．未知数是什么?已知数据是什么？条件是什么?满⾜条件是否可能?要确定未知数,条件是否充分?或者它是否不充分?或者是多余的?或者是⽭盾的?2．画张图,并引⼊适当的符号。

3．把条件的各部分分开,并把它们写下来.第⼆步：拟订计划1．考虑以前是否见过它? 是否见过相同的问题⽽形式稍有不同? 你是否知道⼀个可能⽤得上的定理?2．考虑具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题.3．能否利⽤它的结果或⽅法?为了利⽤它,是否引⼊某些辅助元素?4．能否⽤不同的⽅法重新叙述它?5．回到定义去.6．如果你不能解决所提出的问题,可先解决⼀个与此有关的问题.7．是否利⽤了所有的已知数据?是否利⽤了所有条件？是否考虑了包含在问题中的所有必要的概念?第三步：实现计划1．实现你的求解计划,检验每⼀步骤.2．你能否清楚地看出这⼀步骤是正确的?你能否证明这⼀步骤是正确的? 你能否说出你所写的每⼀步的理由？.第四步：回顾1．能否检验这个论证?2．你能否⽤别的⽅法导出结果?3．能不能⼀下⼦看出它来?4．能不能把这结果或⽅法⽤于其他问题?-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------⼀些故事波利亚在他著名的《How To Solve It》中讲了这么⼀个有趣的⼼理学实验：⽤⼀个缺了⼀条边的正⽅形围栏围住⼀只动物（狗、⿊猩猩、母鸡、⼈类婴⼉），在围栏的另⼀侧放上⼀个被试很想要的物体（对动物来说是⾷物，对⼈类婴⼉来说是有趣的玩具），然后观察他们各⾃的⾏为。