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课时作业(三十二)1．(2012·湖南)函数f (x )＝sin x －cos(x ＋π6)的值域为( ) A ．[－2,2] B ．[－3，3] C ．[－1,1] D ．[－32，32]答案 B解析 因为f (x )＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝3(32sin x －12cos x )＝3cos(x －π6)，所以函数f (x )的值域为[－3，3]．2．函数y ＝2cos 2(x －π4)－1是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数 D ．最小正周期为π2的偶函数 答案 A解析 y ＝2cos 2(x －π4)－1＝cos2(x －π4)＝cos(2x －π2)＝cos(π2－2x )＝sin2x ，而y ＝sin2x 为奇函数，其最小正周期T ＝2π2＝π，故选A.3．(2010·陕西)(理)对于函数f (x )＝2sin x cos x ，下列选项中正确的是( )A ．f (x )在(π4，π2)上是递增的 B ．f (x )的图像关于原点对称C ．f (x )的最小正周期为2πD ．f (x )的最大值为2 答案 B解析 因f (x )＝2sin x cos x ＝sin2x ，故f (x )在(π4，π2)上是递减的，A 错；f (x )的最小正周期为π，最大值为1，C 、D 错．故选B.(文)函数f (x )＝2sin x cos x 是( ) A ．最小正周期为2π的奇函数 B ．最小正周期为2π的偶函数 C ．最小正周期为π的奇函数 D ．最小正周期为π的偶函数 答案 C解析 因为f (x )＝2sin x cos x ＝sin2x 是奇函数，最小正周期T ＝π，所以选C.4．已知函数f (x )＝(1＋cos2x )sin 2x ，x ∈R ，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为π2的奇函数 D ．最小正周期为π2的偶函数 答案 D解析 f (x )＝(1＋cos2x )sin 2x ＝(1＋cos2x )·1－cos2x 2＝12(1－cos 22x )＝12(1－1＋cos4x 2)，可知f (x )的最小正周期为π2的偶函数．5．函数f (x )＝cos2x ＋2sin x 的最小值和最大值分别为( ) A ．－3,1 B ．－2,2 C ．－3，32 D ．－2，32答案 C解析 f (x )＝cos2x ＋2sin x ＝－2sin 2x ＋2sin x ＋1，令sin x ＝t ，t ∈[－1,1]，则y ＝－2t 2＋2t ＋1＝－2(t －12)2＋32，当t ＝12时，y max ＝32，当t ＝－1时，y min ＝－3，故选C.6．(2013·洛阳统考)函数y ＝2cos x (sin x ＋cos x )的最大值和最小正周期分别是( )A ．2，π B.2＋1，π C ．2,2π D.2＋1,2π答案 B解析 y ＝2cos x sin x ＋2cos 2x ＝sin2x ＋cos2x ＋1＝2sin(2x ＋π4)＋1，所以当2x ＋π4＝2k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋π8(k ∈Z )时取得最大值2＋1，最小正周期T ＝2π2＝π.7．(2013·湖北部分重点中学第二次联考)已知sin(α＋π6)＝13，则cos(2π3－2α)的值为________．答案 －79解析 ∵sin(α＋π6)＝cos[π2－(α＋π6)]＝cos(π3－α)＝13，∴cos(2π3－2α)＝2cos 2(π3－α)－1＝－79.8．(2011·天津)已知函数f (x )＝tan(2x ＋π4)． (1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)设α∈(0，π4)，若f (α2)＝2cos2α，求α的大小．解析 (1)由2x ＋π4≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠π8＋k π2，k ∈Z ，所以f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠π8＋k π2，k ∈Z }，f (x )的最小正周期为π2.(2)由f (α2)＝2cos2α，得tan(α＋π4)＝2cos2α，sin (α＋π4)cos (α＋π4)＝2(cos 2α－sin 2α)．整理得sin α＋cos αcos α－sin α＝2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)．因为α∈(0，π4)，所以sin α＋cos α≠0. 因此(cos α－sin α)2＝12，即sin2α＝12.由α∈(0，π4)，得2α∈(0，π2)，所以2α＝π6，即α＝π12. 9．(2011·北京)已知函数f (x )＝4cos x sin(x ＋π6)－1. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π6，π4]上的最大值和最小值．解析 (1)因为f (x )＝4cos x sin(x ＋π6)－1 ＝4cos x (32sin x ＋12cos x )－1 ＝3sin2x ＋2cos 2x －1 ＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋π6)，所以f (x )的最小正周期为π.(2)因为－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3.于是，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2； 当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π6时，f (x )取得最小值－1. 10．(2010·北京)已知函数f (x )＝2cos2x ＋sin 2x －4cos x . (1)求f (π3)的值；(2)求f (x )的最大值和最小值．解析 (1)f (π3)＝2cos 2π3＋sin 2π3－4cos π3＝－1＋34－2＝－94. (2)f (x )＝2(2cos 2x －1)＋(1－cos 2x )－4cos x ＝3cos 2x －4cos x －1＝3(cos x －23)2－73，x ∈R ，因为cos x ∈[－1,1]，所以，当cos x ＝－1时，f (x )取得最大值6； 当cos x ＝23时，f (x )取得最小值－73.11．(2013·广东六校第二次联考)已知OA →＝(1，sin x －1)，OB →＝(sin x ＋sin x cos x )，f (x )＝OA →·OB →(x ∈R )．求：(1)函数f (x )的最大值和最小正周期； (2)函数f (x )的单调递增区间．解析 (1)∵f (x )＝OA →·OB →＝sin x ＋sin x cos x ＋sin 2x －sin x ＝22sin(2x －π4)＋12，∴当2x －π4＝2k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋3π8(k ∈Z )时，f (x )取得最大值1＋22，f (x )的最小正周期为π. (2)∵f (x )＝22sin(2x －π4)＋12， ∴当2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，即k π－π8≤x ≤k π＋3π8，k ∈Z 时，函数f (x )为增函数． ∴f (x )的单调递增区间为[k π－π8，k π＋3π8](k ∈Z )． 12．(2013·长春调研)已知函数f (x )＝2cos x sin(x ＋π3)－32. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)在平面直角坐标系内，用“五点作图法”画出函数f (x )在一个周期内的图像．解析 (1)∵f (x )＝2cos x sin(x ＋π3)－32 ＝2cos x (12sin x ＋32cos x )－32 ＝sin x cos x ＋3cos 2x －32＝12sin2x ＋32(1＋cos2x )－32 ＝12sin2x ＋32cos2x ＝sin(2x ＋π3)， ∴f (x )的最小正周期为π. (2)设t ＝2x ＋π3，列表如下：13．(2013·济南3月模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)，其中ω>0，|φ|<π2，若a ＝(1,1)，b ＝(cos φ，－sin φ)，且a ⊥b ，又知函数f (x )的最小正周期为π.(1)求f (x )的解析式；(2)若将f (x )的图像向右平移π6个单位得到g (x )的图像，求g (x )的单调递增区间．解析 (1)∵a ⊥b ，∴a·b ＝0.∴a·b ＝cos φ－sin φ＝2cos(φ＋π4)＝0. ∴φ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π＋π4，k ∈Z . 又∵|φ|<π2，∴φ＝π4.∵函数f (x )的最小正周期T ＝π，即2πω＝π，∴ω＝2. ∴f (x )＝sin(2x ＋π4)．(2)由题意知，将函数f (x )的图像向右平移π6个单位得到g (x )的图像， 则g (x )＝sin[2(x －π6)＋π4]＝sin(2x －π12)． 由2k π－π2≤2x －π12≤2k π＋π2，k ∈Z ， 解得k π－5π24≤x ≤k π＋7π24，k ∈Z .∴g (x )的单调递增区间为[k π－5π24，k π＋7π24](k ∈Z )． ►重点班·选做题14．(2010·江苏)设定义在区间(0，π2)上的函数y ＝6cos x 的图像与y ＝5tan x 的图像交于点P ，过点P 作x 轴的垂线，垂足为P 1，直线PP 1与函数y ＝sin x 的图像交于点P 2，则线段P 1P 2的长为________．答案 23 解析设P (x 0，y 0)，则由⎩⎨⎧y 0＝6cos x 0，y 0＝5tan x 0消去y 0，得6cos x 0＝5tan x 0⇒6cos 2x 0＝5sin x 0，即6sin 2x 0＋5sin x 0－6＝0，解得sin x 0＝－32(舍去)或23，∵PP 1⊥x 轴，且点P 、P 1、P 2共线，∴|P 1P 2|＝sin x 0＝23.15．已知角A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，OM →＝(sin B ＋cos B ，cos C )，ON →＝(sin C ，sin B －cos B )，OM →·ON →＝－15.(1)求tan2A 的值；(2)求2cos 2A2－3sin A －12sin (A ＋π4)的值． 解析 ∵OM →·ON →＝(sin B ＋cos B )sin C ＋cos C (sin B －cos B )＝sin(B ＋C )－cos(B ＋C )＝－15，∴sin A ＋cos A ＝－15，①两边平方并整理得：2sin A cos A ＝－2425.∵－2425<0，∴A ∈(π2，π)． ∴sin A －cos A ＝1－2sin A cos A ＝75.②联立①②得：sin A ＝35，cos A ＝－45，∴tan A ＝－34. ∴tan2A ＝2tan A 1－tan 2A ＝－321－916＝－247. (2)∵tan A ＝－34，∴2cos 2A 2－3sin A －12sin (A ＋π4)＝cos A －3sin A cos A ＋sin A ＝1－3tan A 1＋tan A ＝1－3×(－34)1＋(－34)＝13. 16．(2013·浙江五校第一次联考)已知O 为坐标原点，OA →＝(2sin 2x,1)，OB →＝(1，－23sin x cos x ＋1)，f (x )＝OA →·OB →＋m .(1)求y ＝f (x )的单调递增区间；(2)若f (x )的定义域为[π2，π]，值域为[2,5]，求m 的值． 解析 (1)f (x )＝2sin 2x －23sin x cos x ＋1＋m ＝1－cos2x －3sin2x ＋1＋m ＝－2sin(2x ＋π6)＋2＋m .由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π(k ∈Z )，得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z )，故y ＝f (x )的单调递增区间为[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z )．(2)当π2≤x ≤π时，7π6≤2x ＋π6≤13π6，∴－1≤sin(2x ＋π6)≤12.∴1＋m ≤f (x )≤4＋m ，∴⎩⎨⎧ 1＋m ＝2，4＋m ＝5⇒m ＝1.。
