习题及典型题解选择题○★1.事件,,A B C 中恰好有一个事件发生的事件是( ). (A);ABCABC ABC (B);ABC(C);ABC ABC ABC(D).A B C 答案A★.事件E ={事件,,A B C 至少有一个发生},则E 的表示不正确的是( ). (A);AB C(B);ABC Ω- (C)));(()(B A C A B A -+-+ (D).ABAC BC Ω-答案D(和A B +即并A B ,常用于,A B 互斥AB φ=时的A B )○★2.事件,,A B C 中恰好有两个事件发生的事件是( ).(A);ABCABCABCABC(B);ABAC BC(C);ABC ABC ABC(D).A B C 答案C○★4.事件E ={事件,,A B C 至少有两个发生},则E 的表示不正确的是( ). (A);BC A C B A C AB ABC +++(B);ABAC BC (C);BC A C B A C AB ++ (D).AB BCAC Ω-答案C○.投掷两颗均匀色子,则出现点数之和等于8的概率为( ). (A);111 (B);125 (C);61(D).365 9.从数字1～9中任取3个排成一个三位数, 所得三位数为偶数的概率是( ).(A)49; (B)59; (C)13; (D)19.○.一批产品共50件,其中有5件次品,任取2件,无次品的概率为( ). (A);101 (B);109 (C);24599 (D).245198答案D○★.某办公室10名员工编号从1到10,任选3人其最大编号为5的概率为( ). (A)1;12(B)1;20(C)1;5(D)1.4答案B○★.设,A B 为两事件,1(),3P A =23(|),(|),35P A B P B A ==则()P B =( ).(A)1;5(B)2;5(C)3;5(D)4.5答案A○.设()0.5,(|)0.8,P A P B A ==则()P AB =( ). (A)0.5; (B)0.6;(C)0.8;(D)0.4.答案D ○.设,3.0)(,4.0)(==B A P A P 则=)|(A B P ( ).(A)0.5; (B)0.6;(C)0.7;(D)0.8.答案A 6.已知()0.7,()0.3,()0.2,P AB P B P AB ===则()P A =( ).(A)0.2; (B)0.6; (C)0.4; (D)0.5 .○.已知()0.4,()0.3,()0.5,P A P B P A B ===则()P AB =( ). (A)0.1; (B)0.3; (C) 0.9; (D)0.2.10.已知,4.0)(,8.0)(,5.0)(===AB P B P A P 则=)|(B A P ( ). (A)0.4; (B)0.5; (C)0.8; (D) 0.6.12.设,8.0)|(,6.0)(,5.0)(===A B P B P A P 则=)(B A P ( ). (A)0.5; (B)0.6; (C)0.7; (D)0.8.答案C14.已知事件,A B 独立,()0.5,()0.1,P B P AB ==则()P A =( ). (A)0.5; (B)0.4; (C)0.2; (D)0.1. ○★15.设11(),(),32P A P B ==且,A B 独立,则=)(B A P ( ).(A)1/3; (B)1/2; (C)2/3;(D)5/6.答案C17.已知()0.6,()0.4,P A P AB ==则()P A B -=( ). (A)0.4; (B)0.2; (C)0.24; (D)0.6.○★18.设事件,A B 独立,()0.8,()0.5,P A P B ==则()P AB =( ). (A)0.2; (B)0.3; (C)0.4;(D)0.6.答案C★.设C B A ,,两两独立,()0.2,()0.4,()0.6,()0.96,P A P B P C P AB C ====则()P A B C =( ). (A)0.24, (B)1,(C)0.8,(D)0.52.答案C19.设X则a 为( ).(A)0.2; (B)0.3; (C)0.4; (D)0.1.○★21.设变量X 的密度21,01,()0,cx x f x ⎧+≤≤=⎨⎩其他,则c =( ).(A)0; (B)3; (C)2;(D)1/3.答案A○★22.已知变量X 的分布20,0,(),01,1,1.x F x x x x ≤⎧⎪=<≤⎨>⎪⎩ 则112P X ⎧⎫-≤<⎨⎬⎩⎭=( ).(A)1; (B)0; (C)1/4; (D)3/4. ○23.)(x Φ是标准正态分布函数,则=≤≤-)(a X a P ( ). (A);2/1)(-Φa (B);1)(2-Φa (C));(a Φ (D)).(1a Φ-答案B○★.设随机变量)4,1(~N X ,则下列变量( ))1,0(~N . (B)1;2X - (C);2X (D).4X 答案B○★.设变量X 密度,},4)3(ex p{21)(2R x x x f ∈+-=π则下列变量( )).1,0(~N(A);23+X (B);23+X(C);23-X答案B○★.设X 服从正态分布2(,)N μσ,则随着σ的增大,概率(2)P X μσ-<( ).(A)单调增加; (B)单调减小; (C)保持不变; (D)增减不定. 答案C★.A 地到B 地有两条线路,第一条线路较短但交通拥挤,所需时间(分钟)~(50,100)X N ;第二条线路较长但意外阻塞较少,所需时间~(60,16)Y N .(1)若有70分钟可用,应走哪条线路;(2)若只有65分钟可用,应走哪条线路( ). (A)均应走第一条路; (B)均应走第二条路; (C)70分钟走第一条路,65分钟走第二条路; (D)70分钟走第二条路,65分钟走第一条路. (1)走第一条路线能及时赶到的概率7050(70)(2)0.9772,10P X -⎛⎫≤=Φ=Φ= ⎪⎝⎭走第二条路线能及时赶到的概率7060(70)(2.5)0.9938,4P Y -⎛⎫≤=Φ=Φ=⎪⎝⎭在这种场合应走第二条路.(2)走第一条路线能及时赶到的概率6550(65)(1.5)0.9332,10P X -⎛⎫≤=Φ=Φ= ⎪⎝⎭而走第二条路线能及时赶到的概率6560(65)(1.25)0.8944,4P Y -⎛⎫≤=Φ=Φ= ⎪⎝⎭此时以走第一条路更为保险.答案D○▲.设变量X 的密度为()f x ,且()()f x f x =-,分布为()F x ,则对任意实数a ,有( ).(A)0()1()d a F a f x x -=-⎰; (B)01()()d 2a F a f x x -=-⎰; (C)()()F a F a -=; (D)()2()1F a F a -=-.答案B○★.设随机变量X 服从指数分布,则随机变量min{,2}Y X =的分布函数( ). (A)连续函数; (B)有一个间断点; (C)阶梯函数; (D)有两个间断点. 答案B★.设二维变量(,)X Y 分量,X Y 同分布,1(1)4P X =-=,1(0)2P X ==,1(1)4P X ==,且(0)1P XY ==,则22()P X Y ==( ).(A)0; (B)1/4;(C)1/2;(D)1.答案A○★.关于二维分布下列叙述中错误的是( ). (A)联合分布决定边缘分布;(B)边缘分布不能决定联合分布; (C)联合分布不同,边缘分布可能相同; (D)边缘分布之积即为联合分布.答案D○★.设二维变量211,02,,03(,)~()0,x y x xy X Y f x ⎧≤≤≤≤+⎪=⎨⎪⎩其它,则(1)P X Y +≥=( ).(A)65;72 (B)7;72 (C)11;12 (D)1.12答案A可先计算{1}P X Y +<○★.已知二维变量sin(),0,,(,)~(,)40,.C x y x y X Y f x y π⎧+≤≤⎪=⎨⎪⎩其他则C 的值为( ).答案D(A)1/2;2;1;1.○★.设二维变量22[(5)8(5)(3)25(3)](,)~(,)x x y y X Y f x y Ae -+++-+-=,则A 的值为( ).(A)3π(B)π3 (C)π2答案B○★.设变量),(~p n B X ,期望4.2)(=X E ,方差44.1)(=X D ,则参数p n ,的值为( ). (A);6.0,4==p n (B)6,0.4;n p == (C)8,0.3;n p == (D)12,0.2.n p == 答案B○★.已知离散变量X 的取值为11x =-,20x =,31x =,且()0.1E X =,()0.89D X =,则对应于123,,x x x 的取值概率123,,p p p 依次为( ). (A)0.4,0.1,0.5; (B)0.1,0.4,0.5;(C)0.5,0.1,0.4; (D)0.4,0.5,0.1.答案A○★.设二维变量(,)X Y 的边缘,X Y 不相关,则下列推论不正确的是( ). (A),0;X Y ρ= (B),X Y 独立; (C)ov(,)0;C X Y = (D)()D X Y DX DY +=+答案B○★25.设12,,,n X X X ⋅⋅⋅为总体2(2,4)N 的简单样本,X 是样本均值,正确的是( ). (A));1,0(~/42N nX -~(0,1);X N~(0,1);X N(D)).1,0(~42N X - 答案A☆.设随机变量,X Y 方差不为零,则()()()D X Y D X D Y +=+是X 和Y ( ). (A)不相关的充分条件,但非必要条件; (B)独立的必要条件,但非充分条件; (C)不相关的充分必要条件; (D)独立的充分必要条件. 答案C☆.设()1,()4,cov(,)1D X D Y X Y ===,则2U X Y =-,2V X Y =-的相关系数为( ). (A)0;(C)1;2答案D○★.设,X Y 独立同分布(0,1) N ,则关于22Z X Y =+的分布叙述错误的是( ). (A)参数为1的指数分布; (B)参数为1/2的指数分布; (C)参数为2的卡方分布; (D)参数为1的瑞利分布的平方. 答案A▲.设变量,X Y 独立同分布(0,1)N ,91,,Y Y 是Y 的样本,则~T =( ).(A)(9);t (B)(8);t(C)2(9);χ(D)2(8).χ答案A○★.设独立随机变量),(~2σμN X ,)(~2n Y χ,则统计量~)(YX n σμ-( ).(A)(1);t n - (B)();t n (C)(0,1);N(D)(1,).F n答案B○★.设i X 独立同分布2(,)N μσ,记2211()1n i i S X X n ==--∑,22111()ni i S X X n ==-∑, 22211()1n i i S X n μ==--∑,22311()ni i S X n μ==-∑.则服从分布(1)t n -的是( ).123答案B○★.设12,,...,n X X X 是总体2(,)N μσ的独立样本,其中μ未知,计算总体方差2σ的置信度为1α-的置信区间时,使用的统计量是( ).(A)2();n χ (B)2(1);n χ-(C)();t n (D)(1).t n -答案B○★.设12,,...,n X X X 是总体2(,)N μσ的独立样本,已知μ,计算总体方差2σ的置信度为1α-的置信区间时,使用的统计量是( ). (A)2();n χ (B)2(1);n χ-(C)();t n (D)(1).t n -答案A○★.设12,,...,n X X X 是正态总体2(0,)N σ的样本,则服从(1)t n -的统计量是( ).(B);nX S(D)2.nX S 答案A○★.设12,,...,n X X X 是正态总体2(,)N μσ的样本,则2σ的无偏估计是( ).(A)μ已知时,统计量211()1ni i X n μ=-+∑; (B)μ已知时,统计量211()1ni i X n μ=--∑; (C)μ未知时,统计量211()ni i X X n =-∑; (D)μ未知时,统计量211()1ni i X X n =--∑. 答案D○★.设总体),(~2σμN X ,均值μ的置信度为95%的置信区间含义是( ). (A)平均含总体95%的值;(B)平均含样本95%的值;(C)以95%的概率包含μ的值; (D)μ的分布在置信区间的概率为95%.答案C○★.已知正态总体方差2σ,则均值μ的置信区间长度L 与置信度1α-的关系是( ).(A)当1α-变小时,L 缩短; (B)当1α-变小时,L 变长;(C)当1α-变小时,L 不变;(D)以上说法都不对. 答案A 填空题○★.甲,乙,丙三门炮各向同一目标发射一枚炮弹,设事件,,A B C 分别表示甲,乙,丙击中目标.则三门炮至少有两门炮击中目标如何表示 . 答案AB AC BC ABC ABC ABC ABC +++或或ABBCAC Ω-或)ABC ABC ABC ABC Ω+++-(E ={事件,,A B C 至少有两个发生}的多种表示:;ABAC BC ;ABC ABC ABC ABC +++()()()A BC B AC C AB ---;()()()AB AC B C ;ABBCAC Ω-;()()()AB ABC AC ABC BC ABC ABC -+-+-+;)ABC ABC ABC ABC Ω+++-(;()()A BC BC ABC -+-及交换次序;()()AB AC AB BC AB +-+-及交换次序; )ABC ABC ABC ABC ++-(;()()()()AB C A B C B A C C A B --+-+-.★.某地共有10000辆的面包车牌号从00001到10000,偶然遇到的一辆面包车的牌号含有数字8的概率为 .将面包车牌号修改为从0000到9999不影响样本总数和有利数,牌号不含有数字8的概率为490.656110⎛⎫= ⎪⎝⎭,因此牌号含有数字8的概率即答案为4910.343910⎛⎫-= ⎪⎝⎭. ○★.从装有4只红球和3只黑球的袋中任取3只,恰有2只红球的概率为 .答案3518371324=C C C ○★.设M 件产品中含m 件次品,从中任取两件至少有一件次品的概率为 .答案221M mM C C --或1122(21)(1)m M m m MC C C m M m M M C -+--=- ▲.产品中有10件次品, 90件正品,抽取5件至少有一件次品的概率为 .答案41625.058375.0115100590=-=-C C○★.从4双不同尺码鞋子中任取2只不成双的概率为 .答案762826)(22821224=⨯=C C C ★.从一副52张的扑克牌中任取3张,其中至少有两张花色相同的概率为 .答案1312141341339352133120.602422100C C C C C C +=≈或392610.60245150-≈ ○.袋中有a 只红球,b 只黑球,有放回摸球,则{P 第k 次摸球首次摸到红球}= .答案11()k k kb a ab a b a b a b --⎛⎫= ⎪+++⎝⎭★.在贝努利试验中每次试验成功的概率为,p 试验进行到成功与失败均出现时为止,则试验次数的分布律为 .答案11()(1)(1),2,3.k k k p P X k p p p p k --===-+-=⋅⋅⋅★.在贝努利概型中,()P A p =,求在出现3次A 以前出现3次A 的概率为 .{P 出现3次A 以前出现3次}A 53{k P ==∑出现3次A 以前出现3次,A 且共试验k 次}(最多需试验5次,因为5次试验中或者至少出现3次A ,或者至少出现3次A )53{k P ==∑前1k -次贝努利试验出现2次A ,且第k 次试验出现A }21222234p p C p q p C p q p =⋅+⋅+⋅31323234.p C p q C p q =++或{P =贝努利试验5次试验中至少出现3次A }33244555.C p q C p q p =++(证明两结果相等)○.设,2.0)(,5.0)(=-=B A P A P 则=)(AB P .答案7.0 39.设事件B A ,独立, P (A )=0.4, P (B ) =0.6, 则P (A ∪B )= .答案0.76○★.已知1()()()4P A P B P C ===,()0P AB =,1()()6P AC P BC ==,则C B A ,,全不发生的概率为 .答案712▲.设三个事件,,A B C 独立,且()0P ABC =,1()()()2P A P B P C ==<,9()16P ABC =,则()P A = .答案1()4P A =.40.甲,乙独立地射击,中靶率依次为0.8,0.7,则都中靶的概率为 .▲.某单位装有两种系统A 与B ,系统A 单独使用时有效概率为7.0;在系统A 有效的条件下,系统B 有效概率为84.0.则两种系统都有效的概率为 .答案0.588○★43.产品经两道独立工序,每道工序次品率为2.0,则产品是次品的概率为 . 答案291(10.2)25--=○★.产品经三道独立工序,每道工序次品率为2.0,则产品是次品的概率为 . 答案3611(10.2)125--=○46.设连续型变量X 的分布22,0,()0, 0.x A Be x F x x -⎧⎪+>=⎨≤⎪⎩则=A ,=B .由分布性质得22200020lim ()lim (),1()lim (),x x x x x F x A Be A B F A Be A -→→+-→-∞⎧==+=+⎪⎪⎨⎪=+∞=+=⎪⎩答案1=A ,1-=B ○51.已知变量X 密度)(x f =11,20,x ⎧-+⎪⎨⎪⎩其它.02,x ≤≤则X 的分布函数)(x F = .答案⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤+-<=.2,1,20,41,0,0)(2x x x x x x F○.设离散型随机变量X则X 的分布函数为 .答案0,0,0.3,01,()0.5,12,1, 2.x x F x x x <⎧⎪≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩★.已知变量X 的分布函数为20,1e ,()0.0,x x F x x ->⎧-=⎨≤⎩则{}13P X -≤<= .○.设X 的分布列为则2Y X =的分布列为 .○★.设随机变量X 的分布列为则2Y X X =+的分布列为 . 答案▲.已知变量X 的分布30,0,(),01,1,1.x F x x x x ≤⎧⎪=<≤⎨>⎪⎩则1142P X ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭= .★.公共汽车站台上，某路公共汽车每5分钟有一辆到达,假设乘客到达时间均匀分布,则10位乘客中只有1位等待时间超过4分钟的概率是 ;10位乘客中没有1位等待时间超过4分钟的概率是 .答案0.268；0.1072☆.一批产品的寿命X (小时)具有概率密度2(),800.af x x x=≥若随机独立抽取6件产品,则至少有两件寿命大于1000小时的概率为 . 答案624/625=0.9984.(a =800)○★.一设备开机后无故障工作时间服从参数为1/5的指数分布，设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障时工作2小时便关机，则设备由于故障关机的概率是 ；每次开机无故障工作的时间的分布函数 .答案2/51;e --/51,02,()1, 2.x e x F x x -⎧-≤<=⎨≥⎩ ○.设随机变量~(3,9)X N ,则变量3~3X Y -=. ○▲.设随机变量X ~)2,1(2N ,则概率=≤≤)5.32(X P .)975.0)96.1(,894.0)25.1(,841.0)1(,691.0)5.0((=Φ=Φ=Φ=Φ答案203.0203.0691.0894.0)5.0()25.1(215.321212)5.32(=-=Φ-Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-≤-=≤≤X P X P○★.设X 为正态分布,计算:(1)若X ~2(1,2),N 概率{ 3.5},P X ≤{02};P X <≤(2)若2~(,),X N μσ概率(22).P X μσμσ-<<+(1) 3.51{ 3.5}(1.25)0.894.2P X -⎛⎫≤=Φ=Φ= ⎪⎝⎭2101{02}22P X --⎛⎫⎛⎫<≤=Φ-Φ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2(0.5)120.69110.382.=Φ-=⨯-=(2)(22)2(2)120.97710.954.P X μσμσ-<<+=Φ-=⨯-=○★.设随机变量12,X X 独立同服从分布(0,1)N ,则12(||P X X -≤= .答案2(1)10.6826Φ-=○★.设随机变量X 密度2(),,x f x e x R π-=∈则其方差为 .答案12π○★28.用二维随机变量),(Y X 的联合分布函数),(y x F 表示下列概率：（1）(0)_____;P Y a <≤=（2）(,)______;P a X b Y c <≤≤=（3）(,)_____.P X a Y b >≤= 答案（1）F(+∞,a)-F(+∞,0),（2）F(b,c)-F(a,c),（3）F(+∞,b)-F(a,b)○★.设独立指数分布12(),()X E Y E λλ,则()P X x Y y ≥≥=或 ( ).答案DA.1212()1xy x y ee e λλλλ---+--+ B.12()x y e λλ-+ C.12()1x y e λλ-+- D.1212()x y x y e e λλλλ---++-○★.设独立指数分布12(),()X E Y E λλ,则1112(,)P X Y λλ--≥≥= .答案2e -121212()(,)()()(1)(1)1x y x y x y P X x Y y P X x P Y y e e e e e λλλλλλ-----+≤≤=≤≤=--=--+ 1212()(,)()()x y x y P X x Y y P X x P Y y e e e λλλλ---+≥≥=≥≥== ()()()(,)P X x Y y P X x P Y y P X x Y y ≤≤=≤+≤-≤≤或12121212()()1111x x x x x y x y e e e e e e λλλλλλλλ-----+-+=-+-+-=-（）（）-+1212()()()()(,)x y x y P X x Y y P X x P Y y P X x Y y e e λλλλ---+≥≥=≥+≥-≥≥=+-或○.设变量,X Y 独立同0-1分布,1(1)2P X ==,则变量max{,}Z X Y =的分布列是 .答案13(0),(1).44P Z P Z ====○.设变量,X Y 独立同0-1分布,1(1)2P X ==,则变量min{,}Z X Y =的分布列是 .答案31(0),(1).44P Z P Z ====○★.在编号为1至5的球中任选3只,最大号码X 的分布列为 .22343335551133{3},{4},{5}.10105C C P X P X P X C C C =========通式.5,4,3,20)2)(1()(3521=--===-k k k C C k X P k 或.5,4,3,20)2)(1()1()()(352135313=--==-=-≤-≤==--k k k C C C C C k X P k X P k X P k k k ★.在编号为1至5的球中任选3只,最大号码X 的分布函数为 .答案0,3,0.1,34,()0.4,45,1,5.x x F x x x <⎧⎪≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩★.在编号为1至5的球中任选3只,最小号码X 的分布列为 .2535(5)(4)(),1,2,3.20k C k k P X k k C ---====.3,2,1,20)4)(5()1()()(32533536=--==-=-≥-≥==---k k k C C C C C k X P k X P k X P k kk 或 ○.设二维变量),(Y X 边缘独立= ,β= .答案11,,36αβ==或11,.63αβ== ★.设二维变量),(Y X 边缘独立,联合分布阵列如下,则α= ,β= .两行成比例,1:218:9131:61:===βα答案3=α,9=β. ★.设二维变量(,)X Y 的边际,X Y 均为10-分布,1(0,0)3P X Y ===,1(1,1)6P X Y ===,且事件{0}X =与{1}Y =相互独立,则(0,1)P X Y ==,(1,0)P X Y ==的值分别为 .答案16,13或13,16★.用联合分布(,)F x y 表示概率(,)P X a Y b >≤= . 答案()(,)=(,)(,)X F b F a b F b F a b -+∞-★.设指数分布~(),~()X E Y E λμ独立,则(,)P X x Y y >>= .答案()x y eλμ-+@.设二维变量1,||1,||1,(,)40,.xy x y f x y +⎧⎪<<=⎨⎪⎩其它则,X Y 是否相互独立 ;22,Y X 是否相互独立 .答案否;是.○★.设变量X 密度,01,()0,cx x f x α⎧≤≤=⎨⎩其它,且,75.0=EX 则=DX .答案3,80DX =(3,2)c α== 13.设离散型变量X 的分布列如下,则变量21Y X =+的期望EY = .答案8.8EY =○.设随机变量,X Y 的数学期望分别为5和0,则随机变量32X Y -的期望为 .58.设随机变量,X Y 相互独立,并且方差分别为4和9,则方差(2)D X Y += . ○.设独立变量,X Y 的方差分别为1和3,则方差(32)D X Y -= . 60.设随机变量X 服从二项分布(10,0.5),B 则()E X . 61.设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,则()E X = .59.设12,,,n X X X ⋅⋅⋅为),(2σμN 的简单样本,则∑==ni i X n X 11的期望为 .○63.设12,,,n X X X ⋅⋅⋅为(0,1)N 的简单样本,则样本均值∑==ni i X n X 11～.答案(0,1/)N n○64.设1210,,,X X X ⋅⋅⋅为总体(0,1)N 的简单样本,则22110X X ++～ .答案2(10)χ○★.设n X X X ,...,,21独立同分布),(2σμN ,,)(11,11221∑∑==--==n i i n i i X X n S X n X 则 1)X ~ ;2)22)1(σS n -~ ;3)X 与2S 是否独立 . 答案X ~),(2nN σμ;22)1(σS n -~)1(2-n χ;是.65.设123,,X X X 为总体(,4)N μ的简单样本,则μ的矩估计为 .○★.设n X X X ,,,21 为总体2(,)N μσ的简单样本,则2σ的无偏估计是 .答案2211()1ni i S X X n ==--∑ ○★.设n X X X ,,,21 为有限方差总体X 的简单样本,则DX 的无偏估计是 .答案2211()1ni i S X X n ==--∑ ★.称12,,...,n X X X 为总体X 的简单随机样本,若满足(1) ;(2) .(1)12,,...,n X X X 和总体X 具有相同的分布;(2)12,,...,n X X X 相互独立.★.设1234,,,ξξξξ为总体(0,1)N 的一个样本,221234()(23),a b ξξξξξ=++-则当a = ,b = .时统计量ξ服从2(2)χ分布.答案11,213@.设1,,n X X ⋅⋅⋅和1,,m Y Y ⋅⋅⋅是依次是总体X ~)1,(μN 和Y ~)4,(μN 的样本,μ的一个无偏估计11n mi j i j T a X b Y ===+∑∑,则应满足条件 ;当a = ,b = 时,T 最有效.答案411,,44an bm a b n m n m +===++ ○★.设总体2(,)N μσ的独立样本是12,,...,n X X X ,在计算μ的置信区间时,若2σ已知,采用的统计量及服从的分布是 .答案)1,0(~/N n X U σμ-=★66.12,,...,n X X X 独立同分布2(,)N μσ,若2σ未知,计算μ的置信区间时,采用的统计量,服从的分布及参数是 ．答案)1(~/--=n t nS X T μ或X T =服从t -分布,维度（自由度）参数为 1.n -67.设总体),(~20σμN X ,20σ已知,n X X X ,,,21 为来自X 的一个样本,((1.96)Φ=0.975).则μ的置信度为95%的置信区间为 ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-n u X n u X 02/02/,σσαα⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=n u X n u X 0025.00025.0,σσ.X X ⎡=-+⎢⎣○★68.设n X X X ,,,21 为来自总体~(,4)X N μ的一个简单样本,X 是样本均值(/2()u αΦ=1α-).则μ 的置信度为1α-的置信区间为 ．答案⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-n u X nu X σσαα2/2/,⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=n u X n u X 2,22/2/αα○★.设12,,...,n X X X 是正态总体2(,)N μσ的简单样本,若μ未知,则2σ的置信度为α-1的置信区间是 ．答案⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----)1()1(,)1()1(22/1222/2n S n n S n ααχχ○★69.从正态总体2(,)N μσ中抽取容量为10的简单随机样本,样本均值45.75,X =样本标准差0.0253.522,(9) 2.262.S t ==则μ 的置信度为0.95的置信区间为 ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-+⋅--n S n t X n S n t X )1(,)1(2/2/αα⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅+⋅-=n S t X n S t X )9(,)9(025.0025.0⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅+⋅-=10522.3262.275.45,10522.3262.275.45[]52.275.45,52.275.45+-=[].27.48,52.223.43-=☆.设110,,X X 是总体2(,)N μσ的简单随机样本,2X S 与为样本均值和样本方差,若22{}0.95P S b σ≤=,则b =_ _;μ的置信度为95％的单侧置信下限为 .答案1.88;0.050.5787X t X S -=- 计算题○★71.从数字9,...,1,0中任选三个不同的数字,计算下列事件概率:1A ={不含3和7};2A ={含3或7};3A ={含3但不含7}.;157!3/8910!3/678)(310381=⨯⨯⨯⨯==C C A P ;1581571)(1)(12=-=-=A P A P.307!3/8910!2/78)(31028113=⨯⨯⨯==C C C A P 又法.记B ={含3};C ={含7}.;103)()(==C P B P ;151!3/89108)(31018=⨯⨯==C C BC P)(1)(1)(21C B P A P A P -=-=;1571511031031)()()(1=+--=+--=BC P C P B P;1581571)(1)(12=-=-=A P A P或 ;158151103103)()()()()(2=-+=-+==BC P C P B P C B P A P1287()1()1.1515P A P A =-=-=▲.在某城市共发行甲、乙、丙三种报纸,居民订甲报(记为A)的有45%,订乙报(记为B)的有35%,订丙报(记为C)的有30%,同时订甲、乙两报(记为D)的有10%,同时订甲、丙两报(记为E)的有8%,同时订乙、丙两报(记为F)的有5%,同时订三种报纸(记为G)的有3%.试表示下列事件,并求其百分比:(1)只订甲报的;(2)只订甲、乙两报的;(3)只订一种报纸的;(4)正好订两种报纸的;(5)至少订一种报纸的;(6)不订任何报纸的.72.从1～9九个数字中,任取3个排成一个三位数,求:(1)所得三位数为偶数的概率;(2)所得三位数为奇数的概率.73.设某批产品共30件,其中有4件次品,现从中任取3件,求:(1)其中无次品的概率;(2)其中恰有2件次品的概率.★.从8双不同尺码鞋子随机取6只,计算以下事件的概率.A ={6只鞋子均不成双},B ={恰有2只鞋子成双},C ={恰有4只鞋子成双}.61682616()32()0.224143C C P A C ==≈,1414872616()80()0.559143C C C P B C ==≈,2212862616()30()0.210143C C C P C C ==≈. ★.设某批产品共30件,其中有4件次品,现从中任取3件,求:(1)其中无次品的概率;(2)其中恰有2件次品的概率.答案(1)3263301300.6404.203C C == (2)12264330390.0384.1015C C C ==★.将n 只相同的球,随机放入k 只不同的合子,共有多少种不同放法.k 只不同合子有1k -只壁,将n 只相同的球分成k 组,每组球数可为0.1k -个壁和n 个球排成一排有111k n n k n k C C -+-+-=种排法,每一种排法对应一种不同的放球入合的方法.▲.某班n 个男生m 个女生(1m n ≤+)随机排成一列,计算任意两女生均不相邻的概率.总数()!.m n +先排男生,共有!n 种排法,女生应排在男生之间的空位上或两头,共有1n +个位置,选出m 个排女生,从而有11!m m n n P C m ++=种排法,由乘法法则,基本事件容数为1!!mn n C m +,11!!.()!m mn n m m nn C m C P m n C +++==+○★.更列重合(匹配)问题．编号1至n 的球随机放入编号1至n 的合子,每合放1个球．若球和合子编号相同,则称为1个重合,求至少有1个重合的概率．记i A ={第i 号球放入第i 号合子},1,2,,.i n =11111()()()(1)()nnnn i i i j i i i j ni i P A P A P A A P A -=≤<≤===-++-∑∑21111(1)(1)!n n nnn C C n n n n -=⨯-++--11111(1)110.3680.732.2!!n e n --=-++--=-= ▲.某单位同时装有两种报警系统A 与B ,当报警系统A 单独使用时,其有效的概率为7.0;当报警系统B 单独使用时,其有效的概率为8.0.在报警系统A 有效的条件下,报警系统B 有效的概率为84.0.计算:(1)两种报警系统都有效的概率; (2)在报警系统B 有效的条件下,报警系统A 有效的概率;(3)两种报警系统都失灵的概率.(1)()()(|)0.700.840.588P AB P A P B A ==⨯=; (2)()()(|)0.700.840.588(|)0.735()()0.800.80P AB P A P B A P A B P B P B ⨯=====;(3)()()()()0.700.800.5880.912P AB P A P B P AB =+-=+-=;.088.0)(1)(=-=B A P B A P○★.设(|)(|)1P A B P A B +=，试证A 与B 独立．证明 (|)(|)1P A B P A B +=，因此(|)1(|)(|)P A B P A B P A B =-=，即()()()()P AB P AB P B P B =，于是()(1())()()P AB P B P AB P B -=，因此()(()())()()()P AB P AB P AB P B P A P B =+=，从而A 与B 独立．○★94.第1,第2台车床加工的零件放在一起,产量比例为2:1,次品率依次为0.03,0.02.计算:(1)任取一零件是次品的概率;(2)若取出的零件是次品,它是第2台车床加工的概率. 记事件B ={取得次品},样本空间的划分i A ={零件由第i 台车床加工},1,2.i = (1) 全概率公式得1122()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A =+2120.030.020.0267.121275=⨯+⨯==++ (2)由贝叶斯公式,次品是第2台车床加工的概率为2222()()(|)(|)()()P A B P A P B A P A B P A P B ==10.021112.213140.030.021212⨯+===+⨯+⨯++又法.静态样本统计模型,古典概型.设总产量150n =件;第1,第2车床产量||()i i A nf A =依次为12||100,||50A A ==件;次品数||||(|)i i i A B A f B A =依次为12||3,||1A B A B ==件. (1)条件(局限)空间B 总数,总次品数12||||||314B A B A B =+=+=件,总次品率为||42()0.0267.15075B P B n ====(2)由贝叶斯公式,次品是第2台车床加工的概率为22||1(|).||4A B P A B B == 95.某工厂有甲、乙两个车间生产同一种产品,两车间产品的次品率分别为0.03和0.02,生产出来的产品放在一起,且甲车间产量比乙车间产量多一倍,计算该厂产品合格率.★.袋中有相同形状的3只白球,4只红球和若干只黑球,依次摸出所有球,计算红球比白球早出现的概率.答案P {红球比白球早出现}4/7.=96.已知袋中有10只白球3只黑球,无放回取二只球,求第二次取出的是黑球的概率.○★.学生在做一道有4个选项的单项选择题时,如果不知道问题的正确答案时,就作随机猜测,现从卷面上看题是答对了,试在以下情况下求确实知道正确答案的概率：(1)知道正确答案概率是0.5；(2)知道正确答案的概率是0.2．令B ={知道正确答案},A ={题目答对},则(1)()(|)0.51(|)0.8()(|)()(|)0.510.50.25P B P A B P B A P B P A B P B P A B ⨯===+⨯+⨯；(2)()(|)0.21(|)0.5()(|)()(|)0.210.80.25P B P A B P B A P B P A B P B P A B ⨯===+⨯+⨯． ○★.将信息编码为A ,B 传送,由于信号干扰,接收站收到信息时,A 被误收作B 的概率为2.0,B 被误收作A 的概率为1.0,发出编码A ,B 的概率依次为4.0,6.0,计算:(1)接收站收到信息A 的概率;(2)在收到信息A 的条件下发出信息B 的概率. 记事件B ={收到信息A },1A ={发出信息A },2A ={发出信息B }. (1) )|()()|()()(2211A B P A P A B P A P B P +=;52.01.04.0)2.01(6.0=⨯+-⨯=(2) )()|()()()()|(2222B P A B P A P B P B A P B A P ==.07692.052452.01.04.0==⨯=★97.将信息编码为A 和B 传送,由于信号干扰,接收站收到信息时,A 被误收作B 的概率为02.0;B 被误收作A 的概率为01.0,编码A 与B 传送频繁程度为1:2,计算:(1)接收站收到信息A 的概率;(2)在收到信息A 的条件下发出信息B 的概率. 记事件B ={收到信息A },1A ={发出信息A },2A ={发出信息B }.(1) )|()()|()()(2211A B P A P A B P A P B P +=01.0211)02.01(212⨯++-⨯+=;6567.001.03198.032=⨯+⨯= (2) )()|()()()()|(2222B P A B P A P B P B A P B A P ==.00508.06567.001.031=⨯=○★.某公司第1,2,3车间生产同一产品,产量依次为60%,30%,10%;次品率依次为3%,4%,6%.计算:(1)总产品中任取一件产品是次品的概率;(2)随机检出的一件次品是第2车间生产的概率. 记事件B ={任取的一件产品是次品},i A ={产品由第i 车间生产},1,2,3.i =(1)全概率公式得)|()()()|()()|()()(3332211A B P A P A P A B P A P A B P A P B P ++= 60%3%30%4%10%6% 3.6%.=⨯+⨯+⨯=(2)由贝叶斯公式得)()|()()()()|(2222B P A B P A P B P B A P B A P ==30%4%1.3.6%3⨯==又法.静态样本统计模型,古典概型..依据是频率渐进稳定于概率．设总产量1000n =件;第i 车间产量||()i i A nf A =依次为600,300,100件;次品数||||(|)i i i A B A f B A =依次为6003%18,3004%12,1006%6⨯=⨯=⨯=件.(1)条件(局限)空间B 总数,总次品数||||||(|)1812636iiiiiB AB A f B A ===++=∑∑件,总次品率为||36() 3.6%.1000B P B n === (2)随机检出的一件次品是第2车间生产的概率为22||121(|).||363A B P A B B === ○★.n 件产品中有m 件次品,任取两件,计算:(1)在所取两件中至少有一件是次品的条件下,另一件也是次品的概率; (2)在所取两件中至少有一件不是次品的条件下,另一件是次品的概率. 答案(1)121m n m ---;(2)21mn m +-○★.市场上某商品由甲厂,乙厂及丙厂生产.甲厂产品占50%;乙厂产品占30%;丙厂产品占20%.甲厂产品合格率为88%;乙厂产品合格率为70%;丙厂产品合格率为75%.计算:(1)在市场上任意购买一件这种商品是合格品的概率;(2)在市场上已购买的一件不合格品是乙厂生产的概率.记事件B ={任购一商品是合格品},1A ={商品是甲厂生产},2A ={商品是乙厂生产},3A ={商品是丙车间生产}.(1)全概率公式得)|()()()|()()|()()(3332211A B P A P A P A B P A P A B P A P B P ++=0.50.880.30.70.20.750.80.=⨯+⨯+⨯=(2)由贝叶斯公式, 不合格品是乙车间生产的概率为2222()()(|)(|)1()()P A B P A P B A P A B P B P B ==-0.3(10.7)90.45.10.820⨯-===-○★.某公司产品部件由甲、乙和丙厂提供,各厂所占份额为2:3:8,次品率依次为8%,4%,3%.从产品中抽取检验出一件次品,则次品由哪厂生产的可能性最大.记事件B ={任取的一件产品是次品},i A ={产品由第i 厂生产},1,2,3.i = 甲、乙和丙厂次品贡献（分支）概率依次为()()(|),1,2,3.i i i P A B P A P B A i ==各厂次品贡献概率之比为123238():():()8%:4%:3%238238238P A B P A B P A B =⨯⨯⨯++++++28:34:8316:12:244:3:6.=⨯⨯⨯==因此次品由丙厂生产的可能性最大,概率为366(|).43613P A B ==++ 在无其他信息或依据的条件下,判断通常最可靠.★.全概率公式模型.设第i 类球有i n 个,其中有i a 个红球,总数,ii n n =∑红球总数,ii a a =∑任取一球为红球的概率.记事件B ={取到红球},i A ={取到第i 类球},1,2,.i =()()(|)i i i P B P A P B A =∑.i i i i i i ii i n a a aw f n n n n====∑∑∑ ★.全概率公式模型.第i 省份人口i l 有劳动力i a 人,计算劳动力人口比例f .总人口,i i l l =∑总劳动力,i i a a =∑第i 省人口比重,iil w l=其劳动力比例.i i i a f l = i i a af l l ==∑(各省贡献率之和)i i i i i i il aw f l l ==∑∑(各省劳动力人口比例以其人口比重加权平均)()(|)i i i P A P B A =∑(各划分下条件概率以其划分概率加权平均)().P B =以上步骤可倒.★.全概率公式扩展模型.第i 类盒子i n 个,每盒都有i l 只球,其中i a 只红球,盒子总数,ii n n =∑任取一盒子,再从盒子中任取一球为红球的概率.记事件B ={取到红球},i A ={取到第i 类盒子},1,2,.i =()()(|).i ii i i iin a P B P A P B A n l ==∑∑参下题 ★.有三种盒子共5个,第一种盒子有2个,每个盒子中放有2个白球,1个黑球;第二种盒子有1个,其中放有10个黑球,第三种盒子有2个,每个盒子中放有3个白球,1个黑球.从这些盒子中任取一个盒子,再从取出的盒子中任取一球,求此球为白球的概率． 记事件B ={取到白球},i A ={取到第i 种盒子},1,2,3.i =31()()(|)i i i P B P A P B A ==∑222317.535430=⨯+⨯=@.甲乙网球比赛，每局甲胜率为α，乙胜率为1βα=-．进行到有一人比对方多得2局，求甲乙获胜概率．令B ={甲胜}，i A ={前两局甲胜i 局}22()()(|)2(),i i i P B P A P B A P B αβα===+∑解得2().12P B ααβ=- 又法．令n A ={甲恰好在第n 局获胜},n B ={乙恰好在第n 局获胜}（1,2,n =），A ={甲胜}，B ={乙胜}．则22n A +发生当且仅当第1,3,,21n -局可胜可负,第2,4,,2n 局的胜负情形恰好分别与第1,3,,21n -局的胜负情形相反,即双方交错取胜,而第21,22n n ++局连胜．因此2222()2(2)n n n n n P A αβαααβ+==,所以222200()()(2)12nn n n P A P A αααβαβ∞∞+=====-∑∑,同理2(),12P B βαβ=- 或 2()1()12P B P A βαβ=-=-．@.甲乙轮流投篮,命中率分别为,,(1,1),p s q p t s =-=-甲先投,分别在以下规则下求甲获胜概率.(1)先投中者获胜;(2)若某轮平局重新开始(直至某轮一方投中另一方未投中)． (1)由全概率公式()(),P p qtP =+甲甲解得().1pP qt=-甲还可参考(2)列方程组求解． (2)对前两次应用全概率公式()()1,(),()P P P ptP qs+=⎧⎪⎨=⎪⎩甲乙甲乙解得().pt P pt qs =+甲 还可参考(1)列方程求解．@.甲乙丙三人网球赛,三人水平相同.甲乙先比,胜者与丙比,依次循环,直至一人连胜两局即获得冠军,计算各人获冠概率.比赛规则为擂台赛.首轮在甲乙中产生擂主和候补者,丙为挑战者,此后在未决出冠军的情况下,甲乙丙的地位按擂主→候补者→挑战者→擂主的次序轮换,依次循环. 记A ={获得冠军},B ={成为擂主},C ={成为候补者}. 由全概率公式11(|)(|),2211(|)(|),22P A B P A C P A C P A B ⎧=+⎪⎨⎪=⨯⎩解得4(|),71(|),7P A B P A C ⎧=⎪⎨⎪=⎩因此甲乙丙获冠概率分别为P (甲)P =(乙)()(|)()(|)P B P A B P C P A C =+14115272714=⨯+⨯=,P (丙)1P =-(甲)P -(乙)54121414=-⨯=.★.设人群中有37.5%的人血型为A 型,20.9%为B 型,33.7%为AB 型,7.9%为O 型.任选一人为供血者,任选一人为受血者,记C ={输血成功}.()P C P =( A 型B 型之间输血)+P ( O 型受血)20.3750.2090.337(10.337)0.38018;=⨯⨯+-=()1()10.380180.61982.P C P C =-=-=○★.从含4只红球和3只黑球的袋中任取3只球,计算:1)取出红球数X 的分布列;2)不少于2只红球的概率.1) ;351)0(3733===C C X P ;3512)1(372314===C C C X P ;3518)2(371324===C C C X P .354)3(3734===C C X P 2) .35223543518)3()2()2(=+==+==≥X P X P X P@★.甲、乙两人乒乓球比赛,每局甲胜概率为,1/2,p p ≥各局胜负相互独立．对甲而言,采用三局二胜制有利,还是采用五局三胜制有利．采用三局二胜制,甲最终获胜,其胜局的情况是：甲甲或乙甲甲或甲乙甲．而这三种结局互不相容,于是由独立性得甲获胜的概率为2212(1)p p p p =+-．采用五局三胜制,甲最终获胜,至少需比赛3局,且最后一局甲胜,而前面甲需胜二局．如共赛4局,则甲的胜局情况是：甲乙甲甲,乙甲甲甲,甲甲乙甲．甲获胜的概率为323232234(1)(1)p p C p p C p p =+-+-,而2322221(615123)3(1)(21)p p p p p p p p p -=-+-=--．当1/2p >时21p p >；当1/2p =时211/2p p ==．故当1/2p >时,对甲来说采用五局三胜制为有利．@★.蒙提霍尔问题Monty Hall Problem 美国电视晚会.现有三扇门供选择：一扇门后面是一辆汽车，另两扇门后面依次是一头山羊和一只玩具熊.当然是希望选择到汽车，但并不能看到门后面情况.主持人让你作选择，在你选择一扇门后，主持人打开另一扇门给你看，发现不是汽车.主持人说还有一次改选机会.是否应改选以更可能选中汽车？记B ={选手选中汽车}，A ={主持人打开的窗后无车}.1.如果主持人知道窗后情况，有意打开无车的窗.()1P A =,()1(|).()3P AB P B A P A == 改选选中汽车的概率为21(|)3Q P B A =-=,因此选手应当改选第三窗.或解.设甲、乙、丙门后依次为车、羊、熊.第1次选甲门,甲、乙、丙门后依次为：情况1：车；羊；熊.情况2：熊；车；羊.情况3：羊；熊；车.3种情况中有2种情况改选得车,因此改选选中车的概率为2.32.如果主持人随机打开的窗后无车.11()(|)13(|).2()23P B P A B P B A P A ⨯===或由条件(局限)样本空间(减少一个样本点)直接得到1(|)2P B A =.此种情况是否改选第三窗无差异.○★.预订航班的顾客最终有5%未到,因此对于一个容纳50位乘客的航班售52张票,求每个到达的乘客都有座位的概率．未到达人数~(52,0.05),Y B n p ==近似为泊松分布( 2.6),P np λ=={}.A =都有座位2.6 2.6()(2)1(0)(1)1 2.6P A P Y P Y P Y e e --=≥=-=-=≈--10.0740.1930.733.=--=○★.已知某商场一天内来k 个顾客的概率为/!(0,1,2,)k e k k λλ-=,其中0λ>．又设每个到达商场的顾客购买商品是独立的,其概率为p ．试求这个商场一天内有r 个顾客购买商品的概率． 令k B ={一天内k 个顾客到达}(0,1,2,)k =,r A ={一天内r 个顾客购买商品},则()()(|)(1)!kr r k rr k r k kk rk rP A P B P A B eC p p k λλ∞∞--====-∑∑0()((1))()!!!r k rp k p p p ee r k r λλλλλ∞--=-==∑． ○★.随机变量最大概率(密度)的位置称为众数.@★.贝努利分布(,)B n p 的众数.当(1)n p +不是整数时,众数[(1)]m n p =+(取整),当(1)n p +是整数时,众数(1)m n p =+或(1) 1.n p +-由(,;)(1)(1)1,(,;1)B n p k n k p n p k B n p k kq kq -++-==+-因此当(1)k n p <+时,(,;)1,(,;1)B n p k B n p k >-(,;)B n p k 单增;当(1)k n p >+时,(,;)1,(,;1)B n p k B n p k <-(,;)B n p k 单减. @★.贝努利分布的最大值估计:(,;[(1)])2B n p n p npqπ+ 由斯特林公式!2,nn n n e π⎛⎫⎪⎝⎭[][]!(,;[(1)])[]!([])!np n np n B n p np p q np n np -+- [][][][][][]2[]n np n np np n np n e p q np n np np e e π--⎫⎪⎝⎭-⎫⎫⎪⎪⎭⎭.2[]([])2n np n np npqππ-@★.抛100个硬币,求有50个正面的概率．2222221(2)!14(2/)12!!22(/)2n n nn nn n n n n e C n n n n e ππ==5010010010.08.250C π@★.泊松分布(,)B n p 的众数.当λ不是整数时,众数[]m λ=(取整);当λ是整数时,众数m λ=或1.λ-由1,,(;)1,.(;1)k P k k P k k λλλλλ≥≤⎧=⎨<>-⎩即得结论. @★.甲乙轮流投篮,命中率分别为,,(1,1),p s q p t s =-=-甲先投,直至某人投中,计算（1）甲投篮次数X 的分布列；（2）乙投篮次数Y 的分布列；（3）甲乙投篮次数之和Z X Y =+的分布列．答案（1）1()(1)(),1,2,k P X k qt qt k -==-=⋅⋅⋅.（2）1,0,()(1)(),1,2,.k s k P Y k q qt qt k -=⎧==⎨-=⋅⋅⋅⎩ Y 以概率p 服从单点分布(0)U ,以概率q 服从右漂移一个单位的几何分布(1)G qt -.Y 是两者的混合分布,即(0)(1)Y pU qG qt =+-.（3）11(),21,()(),2,1,2,.n n s qt m n P Z m qs qt m n n --⎧=-==⎨==⋅⋅⋅⎩91.设变量X 的分布()F x =31e ,0,0,0.x x x -⎧->⎨≤⎩求X 的密度;{1}P X >;{11}P X -<<.92.设变量X 的密度为2,01,()0,Ax x f x ⎧≤<=⎨⎩其它.(1)求常数A ;(2)计算概率1{}2P X >.@★.证明正态(Normal)分布密度积分22()21.z dz μσ-+∞--∞=⎰. 证明222()2,z dz μσ-+∞--∞⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰令,z x μσ-=2222222y x x dx dx dy +∞+∞+∞----∞-∞-∞⎡⎤==⋅⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ 2()21,2x y e dxdy π++∞+∞--∞-∞=⎰⎰极坐标表示sin ,cos ,,x r y r dxdy rdrd θθθ===222001 1.2r d e rdr πθπ+∞-==⎰⎰因此,22()21.z dz μσ-+∞--∞=⎰ 或 证明2x e dx +∞--∞=⎰记222,),x u t J e dx u e dt x ut +∞+∞--∞-∞===⎰⎰（令两边乘2u e -,积分得22222u u u t J J edu eudu e dt +∞+∞+∞----∞-∞-∞==⎰⎰⎰22(1)2.1ut dtdt ue du t π+∞+∞+∞-+-∞-∞-∞===+⎰⎰⎰得2x e dx +∞--∞=⎰换元x dx ==22()2 1.z e dz μσ--+∞-∞= @★.设某放射性物质在时段t 内散逸出的粒子数()N t 服从泊松分布(),P t λ则第n 个粒子散出的时刻n S 服从伽玛分布(,1/).n λΓ(课本附表)事件{第n 个粒子到来时刻小于等于t }={时段t 内散出粒子数()N t 大于等于n },即{}{()},n S t N t n ≤=≥于是()(){}{()},!k tn k n t F t P S t P N t n e k λλ+∞-==≤=≥=∑1()()()()!(1)!!k k k t t k n k n d t t t f t e e dt k k k λλλλλλλ-+∞+∞--==⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∑∑1.(1)!n n t t e n λλ--=- 因此~(,1/).n S n λΓ第1个粒子散出时刻及相邻两粒子时间间隔均服从指数分布().E λ★.定理 设连续型变量X 密度为()X f x ,()y g x =严格单调,反函数()x x y =导数连续,则()Y g X =。
