第1章1.1集合的含义及其表示

第1章集合1．1集合的含义及其表示[情景导入]一位渔民非常喜欢数学，但他怎么也不明白集合的意义，于是他请教数学家：“尊敬的先生，请您告诉我，集合是什么？”集合是不定义的原始概念，数学家很难回答那位渔民，有一天，他来到渔民的船上，看到渔民撒下渔网，轻轻一拉，许多鱼虾在网上跳动，数学家非常激动，高兴地告诉渔民：“这就是集合！”你能理解数学家的话吗？[学习目标] 1.了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系.2.能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用.3.掌握集合的表示方法、常用的数集及其记法和集合元素的三个特征．1．一般地，一定范围内某些确定的不同的对象的全体构成一个集合，集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元．2．元素与集合的关系：如果x是集合A中的元素，则说x属于集合A，记作x∈A；若x不是集合A中的元素，就说x不属于集合A，记作x∉A．3．集合中元素的三个特征：(1)确定性：给定集合A，对于某个对象x，“x∈A”或“x∉A”这两者必居其一且仅居其一．(2)互异性：集合中的元素互不相同，不允许重复．(3)无序性：在一个给定的集合中，元素之间无先后次序．4．集合的表示．(1)把集合中的元素一一列举出来，并置于括号“{}”内，元素之间逗号分隔，这种表示集合的方法称为列举法．(2)将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来，写成{x|p(x)}的形式，用这样表示集合的方法称为描述法．其中x为集合的代表元素，p(x)指元素x具有的性质．(3)用平面上一段封闭的曲线的内部表示集合，这种图形称为Venn图．用Venn图、数轴上的区间及直角坐标平面中的图形等表示集合的方法称为图示法．5．常用集合的符号表示.实数集有理数集整数集自然数集正整数集R Q Z N N＋或N*6.含有有限个元素的集合叫有限集，含有无限个元素的集合叫无限集．7．空集：把不含任何元素的集合称为空集，记为∅.一、集合的概念及其元素的特征集合，具有确定性、互异性、无序性三个特征．特别是互异性，既是易出错点，也是高考常考知识点．例如由book中的字母组成的集合是{b，o，k}．方程(x2－4x＋4)·(x＋3)＝0的根构成的集合为{2，－3}，不能写成{2，2，－3}．无序性就是指集合的元素之间没有顺序关系，只要放在一起，不存在次序问题．二、元素与集合的关系集合与元素间的关系是用符号“∈”或“∉”表示的．集合中的元素必须是确定的，对于集合A与元素a，要么a∈A，要么a∉A，二者必居其一．集合中的元素是不同的，任何两个相同的对象在同一集合中，只能算作一个元素．三、常用数集的符号表示及集合的分类自然数集N，正整数集N*或N＋，整数集Z，有理数集Q，实数集R.按照集合所含元素个数的多少分为：有限集、无限集、空集．四、集合的表示方法用列举法、描述法表示集合时，应注意根据问题的不同情境或形式选择合理的表示方法．列举法不宜表示无限集，用描述法表示集合时，应该注意代表元素的性质．例如表示数集时代表元素可用一个字母x表示，而表示点集时代表元素则用(x，y)来表示．此外用Venn图表示集合的最大优势在于形象直观．总之应根据不同的情况合理地选择应用．五、对空集概念的理解一般地，我们把不含任何元素的集合称为空集，记作∅.空集是特殊集合，它不含任何元素，规定它是有限集，特别要注意∅与{0}{∅}的区别．题型一集合的概念[例1]判断下列每组对象能否构成一个集合：①高一(1)班成绩较好的同学；②2013年度诺贝尔文学奖获得者；③立方接近于零的正数；④2016年里约热内卢奥运会所有比赛项目；⑤1，2，3，2.分析：解答本题可根据集合的意义，考虑每组对象是否具有明确的标准，是否互异，这是判断它们能否构成集合的依据．解：②④中的对象都是确定的，而且是不同的，因而能构成集合；①中“成绩较好”的标准不明确，不能构成集合；③中“接近于零”的标准不明确，不能构成集合；⑤中含有两个2，不满足互异性，不能构成集合．规律方法1．判断某些对象能否组成集合，关键看这些对象是否具有确定性和互异性的特征，若满足则可以组成集合，否则就不能组成集合．2．若集合中含有字母元素时，要注意元素一定满足互异性．[即时演练] 1.判断下列对象能否组成集合：(1)数学必修1课本中所有的难题；(2)本班16岁以下的同学；(3)方程x2－4＝0在实数范围内的解；(4)2的近似值的全体．解：(1)中难题的标准不确定，不能组成集合．(2)本班16岁以下的同学是确定的、明确的，能组成集合．(3)方程x2－4＝0在实数范围内的解有两个，即±2，故能组成一个集合．(4)“2的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判定一个数(比如2)是不是它的近似值，故不能组成一个集合．题型二元素与集合的关系[例2]已知集合B含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈B，试求实数a的值．解：因为－3∈B，所以－3＝a－3或－3＝2a－1.若－3＝a－3，则a＝0.此时集合B含有两个元素－3，－1，符合题意；若－3＝2a－1，则a＝－1.此时集合B含有两个元素－4，－3，符合题意．综上所述，满足题意的实数a的值为0或－1.规律方法1．本题中由于集合B含有两个元素，－3∈B，故以－3是否等于a－3为标准，进行分类，再根据集合中元素的互异性对元素进行检验．2．解决含有字母的问题时，常用到分类讨论的思想．在进行分类讨论时，务必明确分类标准．[即时演练] 2.已知集合A＝{a＋1，a2－1}，若0∈A，则实数a的值为________．解析：因为0∈A，所以0＝a＋1或0＝a2－1.当0＝a＋1时，a＝－1，此时a2－1＝0，A中元素重复，不符合题意．当a2－1＝0时，a＝±1.a＝－1(舍)，所以a＝1.此时，A＝{2，0}，符合题意．答案：1题型三 集合的表示[例3] 用适当的方法表示下列集合：①方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝2，2x－3y ＝27的解集； ②1 000以内被4除余1的正整数所组成的集合； ③直角坐标平面上在第三象限内的点所组成的集合； ④直角坐标平面上在直线x ＝1和x ＝－1的两侧的点所组成的集合．分析：①宜用列举法，②③④宜用描述法．解：①{(3，－7)}；②{x|x＝4k＋1，k∈N且x<1 000}；③{(x，y)|x<0，且y<0}；④{(x，y)|x<－1 或x>1}．规律方法用描述法表示集合时，若需要多层次描述性质，可选用“且”与“或”等词连接．[即时演练] 3.集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A 只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A.解：(1)当k＝0时，原方程为16－8x＝0.所以x＝2，此时A＝{2}．(2)当k≠0时，由集合A中只有一个元素，所以方程kx2－8x＋16＝0有两个相等实根，则Δ＝64－64k＝0，解之得k＝1.从而x1＝x2＝4，所以集合A＝{4}．综上所述，实数k的值为0或1.当k＝0时，A＝{2}；当k＝1时，A＝{4}．。

合A，记作 a∉A .
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2．常用的数集及其记法
常用的 自然
有理
正整数集 整数集
实数集
数集 数集
数集
记法 N N*或N＋
Z
Q
R
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观察下列集合： (1)中国古代四大发明组成的集合； (2)20的所有正因数组成的集合； (3)不等式x－2≥3的解集； (4)所有正偶数组成的集合．
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问题1：上述四个集合中的元素能分别一一列举出来吗？ 提示：(1)(2)中的元素可以一一列举出来． (3)(4)中的元素不能一一列举，因为元素有无穷多个． 问题2：设(3)(4)中的元素为x，请用等式(或不等式)分别将 它们表示出来． 提示：(3)中元素x≥5；(4)中的元素x＝2n，n∈N＋.
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7．用描述法表示下列集合： (1)正偶数集； (2)被3除余2的正整数集合； (3)平面直角坐标系中第一象限的点组成的集合．
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解：(1)偶数可用式子x＝2n，n∈Z表示，但此题要求为正 偶数，故限定n∈N*，所以正偶数集可表示为 {x|x＝2n，n∈N*}． (2)设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z，但元素为正 整数，故x＝3n＋2，n∈N*，所以被3除余2的正整数集合可 表示为{x|x＝3n＋2，n∈N*}． (3)第一象限内的点的横坐标大于0，且纵坐标大于0，故平 面直角坐标系中第一象限的点组成的集合为{(x，y)|x>0， y>0}.
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1．集合是一个原始的不加定义的概念，像点、 直线一样，只能描述性地说明．集合中的元素是确 定的．
2．集合是由元素组成的，元素与集合是“属于” 或“不属于”的关系．
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3．集合的表示法常见的有描述法与列举法．一般 是当集合中元素的个数较多或无限时，用描述法；当集 合中元素的个数较少时，用列举法．

2.元素与集合之间是∈或∉的关系；
3.集合的三大特征：确定性，互异性，无序性。
/作业布置/
再见
巩固练习
例4 判断下列各题中每组对象是否构成集合。
(1)方程(2x-3)(x+1)=0的所有实数解； (2)大于-5且小于5的所有整数； (3)大于2的整数； (4)本班成绩较好的同学全体。
巩固练习
解：(1)方程(2x-3)(x+1)=0的所有实数解为-1和
3 2
，其对象
是确定的，所以构成集合。
(2)大于-5且小于5的所有整数包括-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4，其对
象是确定的，所以可以构成集合。
(3)大于2的整数有无数个，但是他的对象是确定的，属于集
合中的无限集。
(4)本班成绩较好的同学全体无法确定判断成绩较好的标准，
所以不构成集合。
归纳小结
1.一般地，由某些确定的对象组成的整体称为集合，简称 集．组成这个集合的对象称为这个集合的元素；
新知探究
4.如果a集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A，读作“a属于A”；如果a不
是集合A的元素，就说a不属于A，记作a ∉A，读作“a不属于A”。
注意：组成集合的对象必须是确定的；同一个集合中国的元素必须是互不相同的。
5.含有有限个元素的集合称为有限集，不含任何元素的集合称为空集，
记作∅，空集也是有限集。
不是这个给定集合的元素。
②互异性：任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的元素归入
同一集合时，仅算一个元素。
③无序性：集合中的元素没有先后顺序，是平等的。
例题辨析
例题1 判断下列对象能否组成集合。
(1) 小于6的所有自然数； (2) 方程x2+3x-4=0的所有实数解； (3) 所有的平行四边形； (4)n图： 封闭曲线

第一章集合复习教案1.1.1集合的概念1、集合的概念（1）对象：我们可以感觉到的客观存在以及我们思想中的事物或抽象符号，都可以称作对象.（2）集合：把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合.（3）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素.集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、……2、元素与集合的关系（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈Aa∉（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作A要注意“∈”的方向，不能把a∈A颠倒过来写.3、集合中元素的特性（1）确定性：给定一个集合，任何对象是不是这个集合的元素是确定的了.（2）互异性：集合中的元素一定是不同的.（3）无序性：集合中的元素没有固定的顺序.4、集合分类根据集合所含元素个属不同，可把集合分为如下几类：（1）把不含任何元素的集合叫做空集Ф（2）含有有限个元素的集合叫做有限集（3）含有无穷个元素的集合叫做无限集{Φ，}0{，0等符号的含义注：应区分Φ，}5、常用数集及其表示方法（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合.记作N（2）正整数集：非负整数集内排除0的集.记作N*或N+（3）整数集：全体整数的集合.记作Z（4）有理数集：全体有理数的集合.记作Q（5）实数集：全体实数的集合.记作R注：（1）自然数集包括数0.（2）非负整数集内排除0的集.记作N*或N+，1．1．2集合的表表示方法表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；1．列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；2．描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。

具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。

注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。