二次曲线复习PPT课件

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二次函数的图像和性质PPT课件

问题：
你们喜欢篮球吗？：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？
今天让我们来研究一下二次函数的图像和性质吧
开县德阳中学
教师
二次函数:
一般地,形如 y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0)的函数,叫做二次函数.其中,x是自变量,a,b,c分别是函数表
达式的二次项系数、一次项系数和常数项.
(1) 求此抛物线的函数解析式（2）写出这个二次函数图象的对称轴，顶点坐标及开口方向
；
（3解）（判1断）点把（（-1，-2-，4）-8是）否代在入此抛y=物a线x2上,得； -8=a(-2)2,解出a= -2,所求函数解析式为y= -2x2.
（2）对称轴：y轴，顶点坐标：（0,0），开口向下.
（3）因为 4 2(1)2 ，所以点B（-1 ，-4）不在此抛物线上。
开县德阳中学
教师
1. 二次函数的图像都是什么图形？ 2. 抛物线y=ax2的图像性质: (1) 抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点.
(2)当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线的最低点;
当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点;
（3）抛物线的增减性
（4）|a|越大,抛物线的开口越小;
8
y=x2
7
6
5
坐标平面中描点(x,y),
4
再用平滑曲线顺次连
3 2
接各点,就得到y=x2的
1 -5 -4 -3 -2 -1 o 1
2
3
4
5
x
图像.
开县德阳中学
教师
请画函数y=－x2的图像解:(1) 列表 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …

y=ax平方的图像性质 ppt课件

9
各点，就得到y = x2 的图象．
6
3
ppt课件
－3
3
3
二次函数 y = x2的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中所经过的路线，只是这条曲线开口向上，这条曲线叫做抛物线 y = x2 ，
二次函数的图象都是抛物线，它们的开口或者向上或者向下．一般地，二次函数 y = ax2 + bx + c（a≠0）的图象叫做抛物线y = ax2 + bx + c
线有什么共同点和不同点．
的图象，并考虑这些抛物
你画出的图象与图中相同吗？
ppt课件
8
x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3
y

1 2
x2
···
－8
－4.5
－2 －0.5
0
－0.5
－2 －4.5
4 ·· ··－8x·· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ··
y 2x2 · －8 －4.5 －2 －0.5 0 －0.5 －2 －4.5 －8
··
··
·
对比抛物线， y=x2和y=－x2.它们关于y轴对称吗？一般地，抛物线 y=ax2和y=－ax2呢？
－4 －2 －2 －4
－6
ppt课件
－8
y x2
24
y1x 2
y 2x2 9
．巩固练习
抛物线 y 2 x 2 ，其对称轴左侧，y 随 x 的增大而
3
增大；在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而减小．
9 6 3
－3
3
y轴是抛物线y = x 2 的对称轴，抛物线y = x 2 与它的对称轴的交点（0， 0）叫做抛物线y = x2 的顶点，它是抛物线y = x 2 的最低点．

人教版九年级数学上册《二次函数y=ax2的图象与性质》二次函数PPT精品课件

课堂检测
巩固练习
对应训练
第二十二章二次函数
《超越训练》 P34：例2+达标训练
课堂检测
基础巩固题
第二十二章二次函数
1.函数y=2x2的图象的开口向上 , 对称轴y轴
是 (0,0) ; 在对称轴的左侧，y随x的增大而减小 ,
,顶点 y
在对称轴的右侧, y随x的增大而增大 .
O
x
2.函数y=-3x2的图象的开口向下 ,对称 y轴
2
口大小与a的大小有什么关系？
的图象开
当a<0时，a越小（即a的绝对值越大），开口越小.
－4 －2 －2
24
－4
－6
y 1 x2 2
－8
y x2
y 2x2
对于抛物线 y = ax 2 ，｜a｜越大，抛物线的开口越小．
知识探究归纳
y＝ax2 图象
位置开口方向
对称性顶点最值
增减性
第二十二章二次函数
1.y＝x2的图象是一条抛物线; 2.图象开口向上; 3.图象关于y轴对称; 4.顶点（ 0 ，0 ）; 5.图象有最低点．
y y=x2
o
x
知识探究
第二十二章二次函数
说说二次函数y=-x2的图象有哪些性质，并与同伴交
流.
1.y＝-x2的图象是一条抛物线;
y
o
x
2.图象开口向下;
3.图象关于y轴对称;
画出函数y=-x2的图象.
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
y -4 -2 0 2 4 x
-3
-6 -9

人教版九年级数学上册《二次函数图像与性质》课件(共14张PPT)

相同点：开口：向上，顶点：原点（0,0）——最低点对称轴： y 轴
增减性：y 轴左侧，y随x增大而减小
y 轴右侧，y随x增大而增大
y x2
8 6
y 2x2
பைடு நூலகம்
不同点：a 值越大，抛物线的开口越小．
4 2 －4 －2
y 1 x2 2
24
探究
画出函数 yx2,y1x2,y2x2 的图象，并考虑这些抛物 2
|a|越大,抛物线的开口越小;
二次函数y=ax2的性质
y＝ax2
a>0
a<0
图象
(0,0)最低点
开口方向开口向上
开口向下
对称轴对称轴是y轴，即直线x＝0
顶点
顶点坐标是原点（0，0）
最值当x=0时，y最小值=0 当x=0时，y最大值=0
增减性
当x<0时，y随x的增大而减小当x<0时，y随x的增大而
1
2
3 ···
y = x2 ··· 9 4 1 0 1 4 9 ···
2. 根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y）
3.连线如图，再用平滑曲线顺次
9
连接各点，就得到y = x2 的图象
．
6
y = x2
3
－3
3
二次函数 y = x2的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中所经过的路线，只是这条曲线开口向上，这条曲线叫做抛物线 y = x2 ，
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
当x>0时，y随x的增大而增大
增大；当x>0时，y随x的增大而减小
|a|越大,抛物线的开口越小;

§2 二次曲线的类型概要

二次曲面的方程(2.1)可表示成 :
A A T
T
. a44

F ( x, y, z ) (
Φ(x,y,z)可以表示为:
A 1) T . a44 1
T
(2.3)
( x, y, z ) A
记:
1 ( x, y, z ) a11 x a12 y a13 z,
'
(2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)
虚椭圆:
x2 y2 交于一实点的二虚直线: 2 2 0, a b x2 y2 双曲线: 2 2 1 0, a b x2 y2 两条相交直线: 2 0, 2 a b
(1) a34 0
,再作移轴:
1 x 2 2 y 2 2a34 z 0.
7°12
(2.9)
0, 则同于形式:
x2 y2 2 2z. 2 a b
椭圆抛物面
8°12 0, 则同于形式: x2 y2 2 2z. 2 a b
双曲抛物面
a34 0, a 0, 则(2.8)变为: ' 1 x 2 2 y 2 a44 0. (2.10) ' , 9° 1 2 同号但与 a 44 异号 ,则同于形式:
定理2.1
a11a22a34 0;
(3) a11 x 2 a22 y 2 a44 0,
2 a x (4) 11 2a24 y 0,
a11a22 0;
a11a24 0;
a11 0;
(5) 二次曲面总共有17种曲面. 类似于空间二次曲面的讨论，读者自行研究平面上的二次曲线方程有如下结论。记平面上的二次曲线方程为 :

二次曲线的不变量

CHENLI
3
上页下页结束
3.1 二次曲线的(半)不变量
定义: 曲线方程系数的一个确定的函数, 如果在任意一个直角坐标变换下它的函数值不变, 就称这个函数是这条曲线的一个正交不变量, 简称不变量.
不变量既然与直角坐标系的选择无关, 于是它就反映了曲线本身的几何性质. 因此找出曲线的不变量是解析几何研究中的一个重要课题.
a11 b1 a22 b2 b1 c b2 c
称为二次曲线 F(x, y) = 0 的半不变量.
CHENLI
25
上页下页结束
3.1 二次曲线的(半)不变量
引理当 I2 = I3 = 0 时, K1 = 0 r(A) = 1. 证明: 因为I2 = 0, 即a11a22 = a122,
(c12 , c22 ),
于是由引理,
I1I1 = I1(c11, c21) + I1(c12, c22) 0.
又因为I1 , I1 都不为零, 所以I1I1 > 0, 即 I1 , I1 同号.
CHENLI
18
上页下页结束
3.1 二次曲线的(半)不变量
注: 命题3.4 说明, 二次曲线的不变量 I1 在 I2 0 的情况下, 其正负性在作可逆线性变量替换时也不会变. • I1, I2, I3 在作可逆线性变量替换时的变化规律:
例如: 设 F(x, y) = 2x2 y2, 此时 I1 = 1,
x x
作仿射坐标变换
y
2
y
得
F (x, y) = 2x2 4y2, 此时 I1 = 2.
CHENLI
14
上页下页结束
3.1 二次曲线的(半)不变量

人教版九年级数学上册《二次函数y=ax2的图象与性质》二次函数PPT课件

第二十二章二次函数
∴正方形的边长为
cm，
∴S与C之间的关系式为S =
；
（2）作图如右：
（3）当S = 1cm2时，C2 =16，即C =4cm.
（4）若S ≥ 4cm2，即因此C ≥ 8cm.
≥4，解得C，≥或8c≤-8(舍去）.
巩固练习
第二十二章二次函数
变式题2 已知二次函数y＝2x2.
(1)若点(－2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上，则
巩固练习
第二十二章二次函数
变式题1
已知 0时，y随ห้องสมุดไป่ตู้增大而增大2，则k=
是二次函数，且当x＞ .
分析
是二次函数，即二次项的系数不
为0，x的指数等于2.又因当x＞0时，y随x增大而增大,即
说明二次项的系数大于0. 因此，
，解得k=2 .
巩固练习
对应训练
第二十二章二次函数
《超越训练》 P33：例1+达标训练
问题1 画出二次函数y=x2的图象.
1. 列表：在y = x2 中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x2 … 9
41
0
1
4
9…
知识探究
第二十二章二次函数
2.描点：根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y） 3.连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到y = x2 的图象．
系是什么？
y y=ax2
二次项系数互为相反数，开口相反，大小相同，它们关于x轴对称.
O
x
y=-ax2
知识探究
第二十二章二次函数
知识点 3 二次函数y=ax2的性质

人教版九年级初中数学上册第二十二章二次函数-二次函数的图像和性质PPT课件全文

你还记得如何画出一次函数的图像吗？
描点法画函数图像的一般步骤如下：
描点法
第一步，列表—表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；
第二步，描点—在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，
描出表格中数值对应的各点；
第三步，连线—按照横坐标由小到大顺序，把所描出的各点用平滑的曲线连接起来。
抛物线y=ax2的图象性质:
（1）抛物线y=ax2的对称轴是y轴，顶点是原点.
（2）当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点;
当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点.
（3）|a|越大，抛物线的开口越小.
课堂练习
1.填表：
抛物线
y = ax2（a>0）
y = ax2（a＜0）
顶点坐标
你能通过这种方法画出二次函数的图像吗？
新知探究
二次函数=^2 的图像
通过描点法画出 = 的图像？
【列表】
在 = 中，自变量可以取任意实数，列表取几组对应值：
…
-2
-1
0
1
2
…
…
4
1
0
1
2
…
新知探究
二次函数=^2 的图像
y
通过描点法画出 = 的图像？
9
【描点】
事实上，二次函数的图象都是抛物线，它们的开口或者
3
向上或者向下．一般地，二次函数 y =ax2+bx +c（a≠0）
的图象叫做抛物线y=ax2+bx+c.
-3
O
3
x
新知探究
二次函数=^2 的性质
观察 = 2 的图像，它有对称轴在哪里？图像与y轴的交点在哪里？

二次函数的图像和性质PPT课件(共21张PPT)

相同点
相同点：开口都向下，顶点是
原点而且是抛物线的最高点，
对称轴是 y 轴.
不同点
不同点：|a|越大，抛物线的
开口越小．
x
O
y
－4 －2
2
4
－2
－4
－6
y 1 x2 2
－8
y x2
y 2x2
尝试应用
1、函数y=2x2的图象的开向口上 ,对称轴y轴 ,顶点是(0,0;)
2、函数y=－3x2的图象的开口向下 ,对称轴y轴 ,顶点是(0,0;) 3、已知抛物线y＝ax2经过点A(-2，-8).
不在此抛物线上。
小结
1. 二次函数的图像都是什么图形？
2. 抛物线y=ax2的图像性质: (1) 抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点.
(2)当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线的最低点;
当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点;
（3）抛物线的增减性
（4）|a|越大,抛物线的开口越小;
得到y=-x2的图像.
y 1
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x
-2
-3 -4
-5
-6
y=－x2
-7
-8 -9
-10
二次函数的图像
从图像可以看出,二次函数y=x2和y=－x2的图像都是一条
曲线,它的形状类似于投篮球或投掷ห้องสมุดไป่ตู้球时球在空中所经过
的路线.
这样的曲线叫做抛物线.
y=x2的图像叫做抛物线y=x2.
解：分别填表，再画出它们的图象，如图当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点;
在同一直角坐标系中画出函数y=-x2、y=-2x2、y=- x2的图象，有什么共同点和不同点? -8=a(-2)2,解出a= -2,所求函数解析式为y= -2x2.

《二次函数》PPT优秀课件

探究新知
方法点拨
运用定义法判断一个函数是否为二次函数的步骤：（1）将函数解析式右边整理为含自变量的代数式，左边是函数（因变量）的形式；（2）判断右边含自变量的代数式是否是整式；（3）判断自变量的最高次数是否是2；（4）判断二次项系数是否不等于0.
巩固练习
下列函数中,哪些是二次函数？
(1) y=3(x-1)²+1 （是）
素养目标
2. 能根据实际问题中的数量关系列出二次函数解析式，并能指出二次函数的项及各项系数.
1.掌握二次函数的定义，并能判断所给函数是否是二次函数.
探究新知
知识点 1 二次函数的概念
问题1
正方体的六个面是全等的正方形（如下图）,设正方形的棱长为x,表面积为y,显然对于x的每一个值, y都有一个对应值,即y是x的函数,它们的具体关系可以表示为
探究新知
【分析】认真观察以上出现的三个函数解析式，分别说出哪些是常数、自变量和函数．
函数解析式 y=6x2
自变量 x
函数 y
这些函数有什么共同点？
n
d
x
y
这些函数自变量的最高次项都是二次的！
探究新知
二次函数的定义
一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数，叫做二次函数.
y =-2x2+40x=-2×122+40×12=192（m2）.
xm
xm
y m2
（40-2x ）m
方法点拨:确定实际问题中的二次函数关系式时，常常用到生活中的经验及数学公式（例长方形和圆的面积、周长公式）等.
巩固练习
做一做: ①已知圆的面积y(cm2)与圆的半径x(cm)，写出y与x之间的函数关系式； ②王先生存入银行2万元,先y=存πx一2 个(x一>0年) 定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期,设一年定期的存款年利率为x，两年后王先生共得本息和y万元,写出y与x之间的函数关系式； ③一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S与半径r之间的关系式.

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A2 B 2
圆的公式
图形
圆心在原点，半径为 r
圆心在(r,0),半径为r
直角坐标方程
参数方程
* x=rcosθ y=rsinθ
过圆上一点（ x0,y0)的切线 x0x+y0y=r2
x2+y2=r2
x2+y2=2rx
* x=r(1+cosθ) xox+yoy=r(x+xo) y=rsinθ * x=a+rcosθ (x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2 y=b+rsinθ x0x+y0y+D(x+x0)/2+E(y+y0)/ 2+F=0
顶点对称轴
（-a,0)(a,0)(0,-b)(0,b) x轴y轴，长轴长2a，短轴长2b
(0,-a)(0,a)(-b,0)(b,0) x轴y轴,长轴长2a，短轴长2b （0，0）（0，-c)(0,c),焦点在y轴
对称中心（0，0）焦点（-c,0)(c,0),焦点在x轴
焦距
(离心率)
|F1F2|=2c,c2=a2-b2
• •
• • •
•
• •
直线与椭圆的位置关系：把直线与椭圆的方程组消元后得一元二次方程，它的判别式Δ>0 直线与椭圆相交 Δ=0直线与椭圆相切 Δ &的标准方程与性质
x2 y2 2 1(a b 0) 2 a b
y2 x2 2 1(a b 0) 2 a b
e=c/a
|F1F2|=2c.c2=a2-b2
e=c/a
双曲线的学习要求和学习导航
• • 学习要求知道双曲线的定义，理解双曲线标准方程的参数a,b,c,e的几何意义和相互关系，根据条件熟练写出双曲线的标准方程，灵活应用双曲线的定义，方程及性质解有关问题。学习导航学习时，要与椭圆的标准方程进行比较，加深这两种曲线之间的区别和联系。必须理解双曲线参数 a,b,c,e是双曲线所固有的，与坐标的建立无关。双曲线有心但不封闭，所以存在这样的特殊情况，直线平行 • 双曲线的渐进线但与双曲线仅有一个交点，而并不相切。因此，直线与双曲线只有一个交点，是直线与双曲线相切的必要而非充分条件。
附录
纲要信号图表
一般二次方程的讨论
Excel作图
圆的学习要求和导航
继续
• • 学习要求：掌握由圆的定义推导圆的标准方程，理解参数 a,br的几何意义，掌握一般方程和标准方程的互化，用圆方程解决有关问题，解决直线与圆、圆与圆的位置关系。学习导航：圆的定义与标准方程圆的几何定义几何量间的关系d(P,M)=r 代数等 2 2 2 式 (x-a) +(y-b) =r ,a,b,r的意义。由(x-a)2+(y-b)2=r2 x2+y2+Dx+Ey +F=0 且与Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0比较，得出圆方程 A=C≠0，B=0， 2 2 且D +E -4F>0 x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心（-D/2，-E/2） 4F 半径 r= D E 4 圆与直线的关系，圆心M（a,b),半径r 直线 Ax+By+C=0, d Aa Bb C
圆心在（a,b),半径为r
(x-a)2+(y-b)2=r2
圆心在(-D/2,-E/2),半径为 D 2 E 2 4F
4
x2+y2+Dx+Ey+F=0
x2+y2 x y x12+y12 x1 y1 x22+y22 x2 y2 =0 x32+y32 x3 y3 1 1 1 1
*过三点A(x1,y1)， B(x2,y2)C(x3,y3)的圆
2 2
d>r相离，d=r相切，d<r相交圆与圆关系两圆的圆心(a1,b1),(a2,b2),两圆的半径r1,r1 两圆的圆心距 d (a1 a2 ) 2 (b1 b2 ) 2
d的范围 0
~
内含
• • • • •
|r1r2|
~
相交
r1+r2
外切
d>r1+r2
位置关系
同心
内切
外离
二次曲线小结二次曲线小结
曹杨职校
授课人：陈开运
学习导航与要求
圆椭圆
二次曲线小结
双曲线双曲线
抛物线
双曲线定义的盲点双曲线的渐近线
直线与双曲线关系
概念的精细化
离心率分析
几种曲线定义
曲线与方程曲线的切线
观看网上动态曲线
曲线的个性与共性
二次曲线发展史技巧与题型归类目标诊断题
• •
•
•
什么时候直线与双曲线有一个交点？两个交点？没有交点？
双曲线的标准方程与性质
标准方程图形
x2 y2 2 1 2 a b y2 x2 2 1 2 a b
顶点对称轴
(-a,0) (a,0) X轴y轴，实轴2a，虚轴2b
(0,-a) (0,a) X轴y轴，实轴2a，虚轴2b
对称中心 (0,0)
**过圆 x2+y2+D1x+E1y+F1=0 和圆x2+y2+D2x+E2y+F2=0 的交点的圆
m(x2+y2+D1x+E1y+F1 ) +n(x2+y2+D2x+E2y+F2) =0
椭圆的学习要求与导航
• • • • • • 学习要求知道椭圆定义并推出椭圆标准方程，理解参数a,b,c,e 的相互关系和几何意义。能灵活应用椭圆定义、方程及性质解决问题（椭圆作图）。学习导航椭圆方程的定义及参数a,b,c,(e)是椭圆所特有的，与坐标无关。 a>b>0,c2=a2b2,(e=c/a)必须牢固掌握。椭圆的性质（有心、封闭的曲线），椭圆曲线的范围，掌握曲线（椭圆）对称性的判别，与坐标轴的交点。特别： 1.椭圆的焦点一定在长轴上， 2. a,b,c三个参数的关系是满足以 a为斜边的直角三角形勾股定理a2=b2+c2。 3.标准方程中a对应的变量x（或y)，表明焦点就在x轴（或y轴）。
• • • •
关于相切：（1）过圆上一点（x0,y0) 公式法：（x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2 判别式法：设切线y-y0=k(x-x0)代入圆方程，消去 y得相应x的二次方程，由判别式Δ=0可求得 k 从而得切线。几何法：由圆心到切线距离r确定k而得切线。（2）圆外一点（x0,y0)的切线可仿上述判别式法、几何法处理。