第3节函数的奇偶性与周期性【选题明细表】基础对点练(时间:30分钟)1.(2016·白山一模)下列函数中,不是偶函数的是( D )(A)y=x2+4 (B)y=|tan x|(C)y=cos 2x (D)y=3x-3-x解析:选项A,B,C都是偶函数,选项D,f(-x)≠f(x),不是偶函数.故选D.,既是奇函数,又在区间(0,+∞)上递增的是( C )(A)y=2|x|(B)y=ln x(C)y= (D)y=x+解析:A.为偶函数,B.为非奇非偶函数,C.是奇函数,满足条件,D.不为增函数,不满足条件.故选C.3.(2016·济宁一模)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-,且在(0,1)上f(x)=3x,则f(log3 54)等于( C )(A) (B) (C)- (D)-解析:由f(x+2)=-得,f(x+4)=-=f(x),所以函数f(x)的周期是4,因为f(x)为定义在R上的奇函数,且3<log3 54<4,且在(0,1)上f(x)=3x,所以f(log3 54)=f(log3 54-4)=-f(4-log3 54)=-=-=-.故选C.4.(2016·天津模拟)已知函数y=f(x)+x是偶函数,且f(2)=1,则f(-2)等于( D )(A)-1 (B)1 (C)-5 (D)5解析:令y=g(x)=f(x)+x,因为f(2)=1,所以g(2)=f(2)+2=1+2=3,因为函数g(x)=f(x)+x是偶函数,所以g(-2)=3=f(-2)+(-2),解得f(-2)=5.故选D.5.(2016·张家口模拟)已知函数f(x)的定义域为(3-2a,a+1),且f(x+1)为偶函数,则实数a的值可以是( B )(A) (B)2 (C)4 (D)6解析:因为函数f(x+1)为偶函数,则其图象关于y轴对称,而函数f(x)的图象是把函数f(x+1)的图象向右平移1个单位得到的,所以函数f(x)的图象关于直线x=1对称.又函数f(x)的定义域为(3-2a,a+1),所以(3-2a)+(a+1)=2,解得a=2.故选B.6.(2014·全国Ⅰ卷)设函数f(x),g(x)的定义域为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是( C )(A)f(x)g(x)是偶函数(B)|f(x)|g(x)是奇函数(C)f(x)|g(x)|是奇函数(D)|f(x)g(x)|是奇函数解析:f(x)是奇函数,则f(-x)=-f(x),g(x)是偶函数,则g(-x)=g(x),则f(-x)g(-x)=-f(x)g(x),选项A错;|f(-x)|g(-x)=|f(x)|g(x),选项B错;f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,选项C正确;|f(-x)·g(-x)|=|f(x)g(x)|,D错.故选C.7.(2016·南昌二模)若函数f(x)是周期为4的奇函数,且在0,2]上的解析式为f(x)=则f（f（））= .解析:因为函数f(x)是周期为4的奇函数,所以f（）=f（-8）=f（-）=-f（）=-sin π=sin =.则f（）=×（1-）=×=.答案:8.(2014·全国Ⅱ卷)偶函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,f(3)=3,则f(-1)= .解析:因为f(x)的图象关于直线x=2对称,所以f(2+1)=f(2-1),即f(1)=f(3)=3,又函数y=f(x)是偶函数,所以f(-1)=f(1)=3.答案:3R的偶函数,f(x)在0,+∞)上单调递增,且f（）=0,则不等式f(x-2)>0的解集是.解析:因为偶函数f(x)在0,+∞)上为增函数,且f（）=0,所以不等式f(x-2)>0等价于f(|x-2|)>f（）,即|x-2|>,解得,x>或x<.答案:{x|x>或x<}10.(2016·山东曲阜期末)已知f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=log2(x+1).(1)求函数f(x)在定义域R上的解析式;(2)解关于x的不等式f(2x-1)>1.解:(1)设x<0,则-x>0,因为当x≥0时,f(x)=log2(x+1),所以f(-x)=log2(-x+1).因为f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(-x)=log2(-x+1)=f(x),即f(x)=log2(-x+1).综上可得,f(x)=(2)因为f(x)是定义在R上的偶函数,在(0,+∞)上单调递增,且f(1)=1, 所以f(x)在(-∞,0)上单调递减,且f(-1)=1,因为关于x的不等式f(2x-1)>1,所以2x-1>1,或2x-1<-1,求得x>1,或x<0,故原不等式的解集为{x|x>1,或x<0}.11.(2016·黄冈期末)已知定义在R上的奇函数f(x),当x>0时,f(x)=-x2+2x.(1)求函数f(x)在R上的解析式;(2)若函数f(x)在区间-1,a-2]上单调递增,求实数a的取值范围.解:(1)设x<0,则-x>0,f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x.又f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x)且f(0)=0,于是x<0时f(x)=x2+2x.所以f(x)=(2)作出函数f(x)=的大致图象如图.则由图象可知函数的单调递增区间为-1,1],要使f(x)在-1,a-2]上单调递增,结合f(x)的图象知所以1<a≤3,故实数a的取值范围是(1,3].能力提升练(时间:15分钟)12.(2016·广东省阳东一中、广雅中学高三联考)已知函数f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数,若对于任意的实数x≥0,都有f(x+2)=f(x),且当x∈0,2)时f(x)=log2(x+1),则f(-2 017)+f(2 018)的值为( A )(A)-1 (B)-2 (C)2 (D)1解析:因为f(x)是奇函数,且周期为2,所以f(-2 017)+f(2 018)=-f(2 017)+f(2 018)=-f(1)+f(0).又当x∈0,2)时,f(x)=log2(x+1),所以f(-2 017)+f(2 018)=-1+0=-1.13.(2016·山东潍坊模拟)若函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+1)=-f(x)且x ∈-1,1]时f(x)=1-x2,函数g(x)=则函数h(x)=f(x)-g(x)在区间-5,5]内的零点的个数为.解析:因为函数y=f(x)满足f(x+1)=-f(x),所以f(x+2)=f(x),即f(x)的周期为2.又h(x)=f(x)-g(x)在区间-5,5]内的零点的个数为函数f(x)与g(x)图象的交点个数,作出大致图象如图.由图象可知f(x)与g(x)图象的交点个数为8.答案:8R上的函数f(x)满足f(x)=则f(2 016)的值为.解析:由已知得f(-1)=log2 2=1;f(0)=0,f(1)=f(0)-f(-1)=-1,f(2)=f(1)-f(0)=-1,f(3)=f(2)-f(1)=-1-(-1)=0,f(4)=f(3)-f(2)=0-(-1)=1,f(5)=f(4)-f(3)=1,f(6)=f(5)-f(4)=0,…所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现,所以f(2 016)=f(0)=0.答案:015.(2016·福建泉州期中)已知函数f(x)=a-是定义在(-1,1)上的奇函数.(1)求a的值;(2)试判断函数f(x)在(-1,1)上的单调性并证明;(3)若f(x-1)+f(x)<0,求x的取值集合.解:(1)由题意得f(0)=a-=0,解得a=.(2)由(1)可知f(x)=-,函数f(x)在区间(-1,1)上为增函数.证明如下:设-1<x1<x2<1,则f(x1)-f(x2)=(-)-(-)=-=,因为-1<x1<x2<1,所以-<0,+1>0,+1>0,所以f(x1)<f(x2),所以f(x)在(-1,1)上为增函数.(3)f(x-1)+f(x)<0⇔f(x-1)<-f(x),因为f(x)为奇函数,所以-f(x)=f(-x),则不等式可变形为f(x-1)<f(-x),因为f(x)是定义在(-1,1)上的增函数,所以解得0<x<,所以x的取值集合为(0,).16.已知函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且满足条件:①f(x·y)=f(x)+f(y),②f(2)=1;③当x>1时,f(x)>0.(1)求证:函数f(x)为偶函数;(2)讨论函数f(x)的单调性;(3)求不等式f(x)+f(x-3)≤2的解集.(1)证明:由f(2)=f(1×2)=f(1)+f(2)得f(1)=0.由f(1)=f(-1×(-1))=f(-1)+f(-1)=2f(-1)=0,得f(-1)=0,所以f(-x)=f(-1·x)=f(-1)+f(x)=f(x),所以f(x)为偶函数.(2)解:任取x1,x2∈(0,+∞)且x1<x2,则>1,由x>1时,f(x)>0,得f()>0,所以f(x2)=f(x1·)=f(x1)+f(),所以f(x2)>f(x1),所以f(x)在(0,+∞)上是增函数.因为f(x)是偶函数,所以f(x)在(-∞,0)上是减函数,在(0,+∞)上是增函数.(3)解:由f(x·y)=f(x)+f(y)得f(x)+f(x-3)=f(x(x-3)),又f(4)=f(2×2)=f(2)+f(2)=2,所以原不等式转化为f(x(x-3))≤f(4),因为f(x)是偶函数,所以|x(x-3)|≤4.解得-1≤x≤4且x≠0,所以不等式f(x)+f(x-3)≤2的解集为-1,0)∪(0,4].好题天天练g(x)=f(x)-x是偶函数,且f(3)=4,则f(-3)等于( B )(A)-4 (B)-2 (C)0 (D)4解题关键:利用g(x)为偶函数及g(3)=g(-3)求解.解析:函数g(x)=f(x)-x是偶函数,可知g(3)=g(-3),可得f(3)-3=f(-3)+3,即4-3=f(-3)+3,f(-3)=-2.故选B.2.(2015·揭阳模拟)设f(x)是连续的偶函数,且当x>0时,f(x)是单调函数,则满足f(x)=f()的所有x之和为( D )(A)3 (B)-3 (C)8 (D)-8解题关键:本题的关键是把f(x)=f()转化成自变量之间的关系.解析:因为当x>0时,f(x)是单调函数,所以等价于x=-,等价于x2+5x+3=0,x1+x2=-5,或是x=,等价于x2+3x-3=0,所以x3+x4=-3,所以满足条件的所有x的和是-8.。
2024年高考数学总复习第二章《函数与基本初等函数》§2.3函数的奇偶性与周期性最新考纲1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.2.学会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性.3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做偶函数关于y 轴对称奇函数一般地，如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )就叫做奇函数关于原点对称2.周期性(1)周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．概念方法微思考1．如果已知函数f (x )，g (x )的奇偶性，那么函数f (x )±g (x )，f (x )·g (x )的奇偶性有什么结论？提示在函数f (x )，g (x )公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．已知函数f (x )满足下列条件，你能得到什么结论？(1)f (x ＋a )＝－f (x )(a ≠0)；(2)f (x ＋a )＝1f (x )(a ≠0)；(3)f (x ＋a )＝f (x ＋b )(a ≠b )．提示(1)T ＝2|a |(2)T ＝2|a |(3)T ＝|a －b |题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y ＝x 2，x ∈(0，＋∞)是偶函数．(×)(2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(×)(3)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．(√)题组二教材改编2．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝x (1＋x )，则f (－1)＝________.答案－2解析f (1)＝1×2＝2，又f (x )为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝－2.3．设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时，f (x )－4x 2＋2，－1≤x <0，x ，0≤x <1，则f 32______.答案1解析f 32＝f －124×－122＋2＝1.4.设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]，若当x ∈[0,5]时，f (x )的图象如图所示，则不等式f (x )<0的解集为________．答案(－2,0)∪(2,5]解析由图象可知，当0<x <2时，f (x )>0；当2<x ≤5时，f (x )<0，又f (x )是奇函数，∴当－2<x <0时，f (x )<0，当－5≤x <－2时，f (x )>0.综上，f (x )<0的解集为(－2,0)∪(2,5]．题组三易错自纠5．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是()A ．－13 B.13C.12D ．－12答案B 解析∵f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，∴a －1＋2a ＝0，∴a ＝13.又f (－x )＝f (x )，∴b ＝0，∴a ＋b ＝13.6．偶函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，f (3)＝3，则f (－1)＝________.答案3解析∵f (x )为偶函数，∴f (－1)＝f (1)．又f (x )的图象关于直线x ＝2对称，∴f (1)＝f (3)．∴f (－1)＝3.题型一函数奇偶性的判断例1判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝36－x 2＋x 2－36；(2)f (x )＝ln (1－x 2)|x －2|－2；(3)f (x )2＋x ，x <0，x 2＋x ，x >0.解(1)－x 2≥0，2－36≥0，得x 2＝36，解得x ＝±6，即函数f (x )的定义域为{－6,6}，关于原点对称，∴f (x )＝36－x 2＋x 2－36＝0.∴f (－x )＝－f (x )且f (－x )＝f (x )，∴函数f (x )既是奇函数又是偶函数．(2)－x 2>0，－2|≠2，得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称．∴x －2<0，∴|x －2|－2＝－x ，∴f (x )＝ln (1－x 2)－x.又∵f (－x )＝ln[1－(－x )2]x ＝ln (1－x 2)x ＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数．(3)显然函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．∵当x <0时，－x >0，则f (－x )＝－(－x )2－x ＝－x 2－x ＝－f (x )；当x >0时，－x <0，则f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ＝－f (x )；综上可知，对于定义域内的任意x ，总有f (－x )＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数．思维升华判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f (x )与f (－x )是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f (x )＋f (－x )＝0(奇函数)或f (x )－f (－x )＝0(偶函数)是否成立．跟踪训练1(1)下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是()A ．f (x )＝x ＋sin 2xB ．f (x )＝x 2－cos xC ．f (x )＝3x －13xD ．f (x )＝x 2＋tan x答案D解析对于选项A ，函数的定义域为R ，f (－x )＝－x ＋sin 2(－x )＝－(x ＋sin 2x )＝－f (x )，所以f (x )＝x ＋sin 2x 为奇函数；对于选项B ，函数的定义域为R ，f (－x )＝(－x )2－cos(－x )＝x 2－cos x ＝f (x )，所以f (x )＝x 2－cos x 为偶函数；对于选项C ，函数的定义域为R ，f (－x )＝3－x－13－x ＝－x f (x )，所以f (x )＝3x －13x 为奇函数；只有f (x )＝x 2＋tan x 既不是奇函数也不是偶函数．故选D.(2)(2018·石景山模拟)下列函数中既是奇函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数为()A ．y ＝xB ．y ＝－x 3C ．y ＝12log xD ．y ＝x ＋1x答案B解析由题意得，对于函数y ＝x 和函数y ＝12log x 都是非奇非偶函数，排除A ，C.又函数y＝x ＋1x 在区间(0,1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增，排除D ，故选B.题型二函数的周期性及其应用1．(2018·抚顺模拟)已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)＝________.答案－2解析f (7)＝f (－1)＝－f (1)＝－2.2．已知定义在R上的函数f(x)满足f(2)＝2－3，且对任意的x都有f(x＋2)＝1－f(x)，则f(2020)＝________.答案－2－3解析由f(x＋2)＝1－f(x)，得f(x＋4)＝1－f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4，所以f(2020)＝f(4)．因为f(2＋2)＝1－f(2)，所以f(4)＝－1f(2)＝－12－3＝－2－ 3.故f(2020)＝－2－ 3.3．(2017·山东)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________.答案6解析∵f(x＋4)＝f(x－2)，∴f((x＋2)＋4)＝f((x＋2)－2)，即f(x＋6)＝f(x)，∴f(x)是周期为6的周期函数，∴f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)．又f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(1)＝f(－1)＝6，即f(919)＝6.4．设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件：①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)＝f(x＋2)；③当0≤x<1时，f(x)＝2x－1，则f(1)＋f(2)＋________.答案2－1解析依题意知：函数f(x)为奇函数且周期为2，则f(1)＋f(－1)＝0，f(－1)＝f(1)，即f(1)＝0.∴f(1)＋f(2)＋＝0＋f(0)＋＝f(0)＋＝f(0)＝122－1＋20－1＝2－1.思维升华利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．题型三函数性质的综合应用命题点1求函数值或函数解析式例2(1)设f (x )是定义在R 上周期为4的奇函数，若在区间[－2,0)∪(0,2]上，f (x )＝ax ＋b ，－2≤x <0，ax －1，0<x ≤2，则f (2021)＝________.答案－12解析设0<x ≤2，则－2≤－x <0，f (－x )＝－ax ＋b .因为f (x )是定义在R 上周期为4的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )＝－ax ＋1＝－ax ＋b ，所以b ＝1.而f (－2)＝f (－2＋4)＝f (2)，所以－2a ＋b ＝2a －1，解得a ＝12，所以f (2021)＝f (1)＝12×1－1＝－12.(2)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1－x ，则f (x )＝________.答案e－x －1－x ，x ≤0，e x －1＋x ，x >0解析∵当x >0时，－x <0，∴f (x )＝f (－x )＝e x －1＋x ，∴f (x )e －x －1－x ，x ≤0，e x －1＋x ，x >0.命题点2求参数问题例3(1)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝__________.答案1解析∵f (－x )＝f (x )，∴－x ln(a ＋x 2－x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)，∴ln[(a ＋x 2)2－x 2]＝0.∴ln a ＝0，∴a ＝1.(2)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f (x )ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f 12＝f 32，则a ＋3b 的值为________．答案－10解析因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，所以ff (－1)＝f (1)，故从而12b ＋212＋1＝－12a ＋1，即3a ＋2b ＝－2.①由f (－1)＝f (1)，得－a ＋1＝b ＋22，即b ＝－2a .②由①②得a ＝2，b ＝－4，从而a ＋3b ＝－10.(3)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝－x 2＋ax －1－a ，若函数f (x )为R 上的减函数，则a 的取值范围是____________．答案[－1,0]解析因为函数f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝0，若函数f (x )为R 上的减函数，则满足当x >0时，函数为减函数，且－1－a ≤0－a －2＝a 2≤0，1－a ≤0，≤0，≥－1，即－1≤a ≤0.命题点3利用函数的性质解不等式例4(1)(2018·聊城模拟)已知函数f (x )＝|x |(10x －10－x )，则不等式f (1－2x )＋f (3)>0的解集为()A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(1，＋∞)答案A解析由于f (－x )＝－f (x )，所以函数为奇函数，且为单调递增函数，故f (1－2x )＋f (3)>0等价于f (1－2x )>－f (3)＝f (－3)，所以1－2x >－3，x <2，故选A.(2)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x2，解不等式f (x )>f (2x －1)．解由已知得函数f (x )为偶函数，所以f (x )＝f (|x |)，由f (x )>f (2x －1)，可得f (|x |)>f (|2x －1|)．当x>0时，f(x)＝ln(1＋x)－11＋x2，因为y＝ln(1＋x)与y＝－11＋x2在(0，＋∞)上都单调递增，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．由f(|x|)>f(|2x－1|)，可得|x|>|2x－1|，两边平方可得x2>(2x－1)2，整理得3x2－4x＋1<0，解得13<x<1.所以符合题意的x思维升华解决周期性、奇偶性与单调性结合的问题，通常先利用周期性转化自变量所在的区间，再利用奇偶性和单调性求解．跟踪训练2(1)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)，当x ，12时，f(x)＝12log(1)x ，则f(x)()A．减函数且f(x)>0B．减函数且f(x)<0 C．增函数且f(x)>0D．增函数且f(x)<0答案D解析当x ，12时，由f(x)＝12log(1－x)可知，f(x)单调递增且f(x)>0，又函数f(x)为奇函数，所以在区间－12，f(x)<0.由f(x)知，函数的周期为32，f(x)<0.故选D.(2)(2018·烟台模拟)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝－1，f(3)＝1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是()A．[3,5]B．[－1,1]C．[1,3]D．[－1,1]∪[3,5]答案D解析由偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则在区间(－∞，0)上单调递减，又f(1)＝－1，f(3)＝1，则f(－1)＝－1，f(－3)＝1，要使得－1≤f(x－2)≤1，即1≤|x－2|≤3，即1≤x－2≤3或－3≤x－2≤－1，解得－1≤x≤1或3≤x≤5，即不等式的解集为[－1,1]∪[3,5]，故选D.(3)已知函数g(x)是R上的奇函数，且当x<0时，g(x)＝－ln(1－x)，函数f(x)3，x≤0，(x)，x>0，解不等式f(6－x2)>f(x)．解∵g(x)是奇函数，∴当x>0时，g(x)＝－g(－x)＝ln(1＋x)，易知f(x)在R上是增函数，由f(6－x2)>f(x)，可得6－x2>x，即x2＋x－6<0，∴－3<x<2.函数的性质函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．一、函数性质的判断例1(1)(2017·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)，则()A．f(x)在(0,2)上单调递增B．f(x)在(0,2)上单调递减C．y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称D．y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称答案C解析f(x)的定义域为(0,2)．f(x)＝ln x＋ln(2－x)＝ln[x(2－x)]＝ln(－x2＋2x)．设u＝－x2＋2x，x∈(0,2)，则u＝－x2＋2x在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减．又y＝ln u在其定义域上单调递增，∴f(x)＝ln(－x2＋2x)在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减．∴选项A，B错误；∵f(x)＝ln x＋ln(2－x)＝f(2－x)，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴选项C正确；∵f(2－x)＋f(x)＝[ln(2－x)＋ln x]＋[ln x＋ln(2－x)]＝2[ln x＋ln(2－x)]，不恒为0，∴f(x)的图象不关于点(1,0)对称，∴选项D错误．故选C.(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f(－x)，且f(x)＝f(x＋6)，当x∈[0,3]时，f(x)单调递增，则f(x)在下列哪个区间上单调递减()A．[3,7]B．[4,5]C．[5,8]D．[6,10]答案B解析依题意知，f(x)是偶函数，且是以6为周期的周期函数．因为当x∈[0,3]时，f(x)单调递增，所以f(x)在[－3,0]上单调递减．根据函数周期性知，函数f(x)在[3,6]上单调递减．又因为[4,5]⊆[3,6]，所以函数f(x)在[4,5]上单调递减．(3)定义在实数集R上的函数f(x)满足f(x)＋f(x＋2)＝0，且f(4－x)＝f(x)．现有以下三个命题：①8是函数f(x)的一个周期；②f(x)的图象关于直线x＝2对称；③f(x)是偶函数．其中正确命题的序号是________．答案①②③解析由f(x)＋f(x＋2)＝0可得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴函数f(x)的最小正周期是4，①对；由f(4－x)＝f(x)，可得f(2＋x)＝f(2－x)，f(x)的图象关于直线x＝2对称，②对；f(4－x)＝f(－x)且f(4－x)＝f(x)，∴f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数，③对．二、函数性质的综合应用例2(1)(2018·全国Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)等于()A．－50B．0C．2D．50答案C解析∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(1－x)＝－f(x－1)．∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴－f(x－1)＝f(x＋1)，∴f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，∴函数f(x)是周期为4的周期函数．由f(x)为奇函数且定义域为R得f(0)＝0，又∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴f(2)＝f(0)＝0，∴f(－2)＝0.又f(1)＝2，∴f(－1)＝－2，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)＝0×12＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2.故选C.(2)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则()A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11)答案D解析因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函数f (x )是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．由f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x －4)＝－f (x )，得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)．因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，f (x )在R 上是奇函数，所以f (x )在区间[－2，2]上是增函数，所以f (－1)<f (0)<f (1)，即f (－25)<f (80)<f (11)．(3)设偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0)，则满足f (a －2)>0的实数a 的取值范围为__________．答案{a |a >4或a <0}解析∵偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0)，∴函数f (x )在[0，＋∞)上为增函数，f (2)＝0，∴不等式f (a －2)>0等价于f (|a －2|)>f (2)，即|a －2|>2，即a －2>2或a －2<－2，解得a >4或a <0.1．下列函数中，既是偶函数又在区间(1,2)内单调递减的是()A ．f (x )＝xB ．f (x )＝1x 2C ．f (x )＝2x ＋2－xD ．f (x )＝－cos x答案B解析函数f (x )＝1x2是偶函数，且在(1,2)内单调递减，符合题意．2．已知f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋m ，则f (－2)等于()A ．－3B ．－54C.54D ．3答案A 解析由f (x )为R 上的奇函数，知f (0)＝0，即f (0)＝20＋m ＝0，解得m ＝－1，则f (－2)＝－f (2)＝－(22－1)＝－3.3．已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是()①y ＝f (|x |)；②y ＝f (－x )；③y ＝xf (x )；④y ＝f (x )＋x .A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④答案D解析由奇函数的定义f (－x )＝－f (x )验证，①f (|－x |)＝f (|x |)，为偶函数；②f (－(－x ))＝f (x )＝－f (－x )，为奇函数；③－xf (－x )＝－x ·[－f (x )]＝xf (x )，为偶函数；④f (－x )＋(－x )＝－[f (x )＋x ]，为奇函数．可知②④正确，故选D.4．已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x ，则f (1)等于()A ．－2B ．0C ．2D ．1答案A解析∵函数f (x )为定义在R 上的奇函数，且周期为2，∴f (1)＝－f (－1)＝－f (－1＋2)＝－f (1)，∴f (1)＝0，124＝－2，∴f (1)＝－2.5．(2018·惠州调研)已知定义域为R 的偶函数f (x )在(－∞，0]上是减函数，且f (1)＝2，则不等式f (log 2x )>2的解集为()A ．(2，＋∞)(2，＋∞)(2，＋∞)D ．(2，＋∞)答案B解析f (x )是R 上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，所以f (x )在[0，＋∞)上是增函数，所以f (log 2x )>2＝f (1)⇔f (|log 2x |)>f (1)⇔|log 2x |>1⇔log 2x >1或log 2x <－1⇔x >2或0<x <12.6．(2018·海南联考)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (x )＝f (12－x )，当x ∈[0,6]时，f (x )＝log 6(x ＋1)，若f (a )＝1(a ∈[0,2020])，则a 的最大值是()A ．2018B ．2010C ．2020D ．2011答案D解析由函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (x )＝f (12－x )，可得f (－x )＝f (12＋x )，即f (x )＝f (12＋x )，故函数的周期为12.令log 6(a ＋1)＝1，解得a ＝5，∴在[0,12]上f (a )＝1的根为5,7；又2020＝12×168＋4，∴a 的最大值在[2004,2016]上，即2004＋7＝2011.故选D.7．若f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________.答案－32解析函数f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，故f (－x )＝f (x )，即ln(e－3x＋1)－ax ＝ln(e 3x ＋1)＋ax ，化简得ln 1＋e 3x e 3x ＋e 6x ＝2ax ＝ln e 2ax，即1＋e 3x e 3x ＋e 6x ＝e 2ax ，整理得e 3x ＋1＝e 2ax ＋3x (e 3x ＋1)，所以2ax ＋3x ＝0恒成立，所以a ＝－32.8．已知函数f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝ln x ，则f ________．答案－ln 2解析由已知可得ln 1e2＝－2，所以f (－2)．又因为f (x )是奇函数，所以f (－2)＝－f (2)＝－ln 2.9．奇函数f (x )在区间[3,6]上是增函数，且在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为－1，则f (6)＋f (－3)的值为________．答案9解析由于f (x )在[3,6]上为增函数，所以f (x )的最大值为f (6)＝8，f (x )的最小值为f (3)＝－1，因为f (x )为奇函数，所以f (－3)＝－f (3)＝1，所以f (6)＋f (－3)＝8＋1＝9.10．若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是单调递增的．如果实数t 满足f (ln t )＋2f (1)，那么t 的取值范围是________．答案1e，e 解析由于函数f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (ln t )＝由f (ln t )＋2f (1)，得f (ln t )≤f (1)．又函数f (x )在区间[0，＋∞)上是单调递增的，所以|ln t |≤1，即－1≤ln t ≤1，故1e≤t ≤e.11．已知函数f (x )x 2＋2x ，x >0，，x ＝0，2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．解(1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象(如图所示)－2>－1，－2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．12．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式．(1)证明∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )．∴f (x )是周期为4的周期函数．(2)解∵x ∈[2,4]，∴－x ∈[－4，－2]，∴4－x ∈[0,2]，∴f (4－x )＝2(4－x )－(4－x )2＝－x 2＋6x －8.∵f (4－x )＝f (－x )＝－f (x )，∴－f (x )＝－x 2＋6x －8，即f (x )＝x 2－6x ＋8，x ∈[2,4]．13．若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x )>0，f (x ＋2)＝1f (x )对任意x ∈R 恒成立，则f (2023)＝________.答案1解析因为f (x )>0，f (x ＋2)＝1f (x )，所以f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝1f (x ＋2)＝11f (x )＝f (x )，即函数f (x )的周期是4，所以f (2023)＝f (506×4－1)＝f (－1)．因为函数f (x )为偶函数，所以f (2023)＝f (－1)＝f (1)．当x ＝－1时，f (－1＋2)＝1f (－1)，得f (1)＝1f (1).由f (x )>0，得f (1)＝1，所以f (2023)＝f (1)＝1.14．(2018·天津河西区模拟)设f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝x 2＋1，0≤x <1，－2x ，x ≥1，若对任意的x ∈[m ，m ＋1]，不等式f (1－x )≤f (x ＋m )恒成立，则实数m的最大值是()A ．－1B ．－13C ．－12D.13答案B解析易知函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，又函数f (x )是定义在R 上的偶函数，所以函数f (x )在(－∞，0)上单调递增，则由f (1－x )≤f (x ＋m )，得|1－x |≥|x ＋m |，即(1－x )2≥(x ＋m )2，即g (x )＝(2m ＋2)x ＋m 2－1≤0在x ∈[m ，m ＋1]上恒成立，当m ＝－1时，g (x )＝0，符合要求，当m ≠－1(m )＝(3m －1)(m ＋1)≤0，(m ＋1)＝(m ＋1)(3m ＋1)≤0，解得－1<m ≤－13，所以－1≤m ≤－13，即m 的最大值为－13.15．已知函数f (x )＝sin x ＋x ，对任意的m ∈[－2,2]，f (mx －2)＋f (x )<0恒成立，则x 的取值范围为______________________________．答案2解析易知f (x )在R 上为单调递增函数，且f (x )为奇函数，故f (mx －2)＋f (x )<0等价于f (mx －2)<－f (x )＝f (－x )，则mx －2<－x ，即mx ＋x －2<0对所有m ∈[－2,2]恒成立，令h (m )＝mx ＋x －2，m ∈[－2,2](－2)<0，(2)<0即可，解得－2<x <23.16．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，f (x ＋1)是偶函数，当x ∈(2,4)时，f (x )＝|x －3|，求f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (2020)的值．解因为f (x )为奇函数，f (x ＋1)为偶函数，所以f (x ＋1)＝f (－x ＋1)＝－f (x －1)，所以f (x ＋2)＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f(x)的周期为4，所以f(4)＝f(0)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)．在f(x＋1)＝f(－x＋1)中，令x＝1，可得f(2)＝f(0)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0.所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(2020)＝0.。
函数奇偶性和周期性一、必备知识：1．奇、偶函数的概念 (1)偶函数:一般地，如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有 ，那么函数f (x )就叫做偶函数． (2)奇函数一般地，如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有 ，那么函数f (x )就叫做奇函数． 2．奇、偶函数的图象特征偶函数的图象关于 对称；奇函数的图象关于 对称． 3．具有奇偶性函数的定义域的特点具有奇偶性函数的定义域关于，即“定义域关于”是“一个函数具有奇偶性”的条件． 4．周期函数的概念 (1)周期、周期函数对于函数f (x )，如果存在一个 T ，使得当x 取定义域内的 值时，都有 ，那么函数f (x )就叫做周期函数．T 叫做这个函数的周期．(2)最小正周期:如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个 的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．5．函数奇偶性与单调性之间的关系(1)若函数f (x )为奇函数，且在[a ，b ]上为增(减)函数，则f (x )在[－b ，－a ]上为 ； (2)若函数f (x )为偶函数，且在[a ，b ]上为增(减)函数，则f (x )在[－b ，－a ]上为 ． 6．奇、偶函数的“运算”(共同定义域上)奇±奇＝ ，偶±偶＝ ，奇×奇＝ ，偶×偶＝ ，奇×偶＝ . 7．函数的对称性如果函数f (x )，x ∈D ，满足∀x ∈D ，恒有f (a ＋x )＝f (b －x )，那么函数的图象有对称轴x ＝a ＋b2；如果函数f (x )，x ∈D ，满足∀x ∈D ，恒有f (a －x )＝－f (b ＋x )，那么函数的图象有对称中心⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，0.8．函数的对称性与周期性的关系(1)如果函数f (x )(x ∈D )在定义域内有两条对称轴x ＝a ，x ＝b (a <b )，则函数f (x )是周期函数，且周期T ＝2(b －a )(不一定是最小正周期，下同)．(2)如果函数f (x )(x ∈D )在定义域内有两个对称中心A (a ，0)，B (b ，0)(a <b )，那么函数f (x )是周期函数，且周期T ＝2(b －a )．(3)如果函数f (x )，x ∈D 在定义域内有一条对称轴x ＝a 和一个对称中心B (b ，0)(a ≠b )，那么函数f (x )是周期函数，且周期T ＝4|b －a |. 自查自纠：1．(1)f (－x )＝f (x ) (2)f (－x )＝－f (x ) 2．Y 轴 原点3．原点对称 原点对称 必要不充分4．(1)非零常数 每一个 f (x ＋T )＝f (x ) (2)最小 5．(1)增(减)函数 (2)减(增)函数 6．奇 偶 偶 偶 奇二、题型训练题组一 1．函数()2lg 1()22x f x x -=--是_____________函数。
