2015年高考人教版理科数学创新演练：离散型随机变量及其分布列]

第七节 离散型随机变量及其分布列[考情展望] 1.以实际问题为背景，结合常见的概率事件考查离散型随机变量的分布列求法.2.一般与排列、组合、统计相结合综合考查.3.多以解答题中考查，难度多属中档．一、离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母X ，Y ，ξ，η，…表示．所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．二、离散型随机变量的分布列及性质1．一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，则表的概率分布列． 2．离散型随机变量的分布列的性质 (1)p i ≥0(i ＝1,2，…，n )；(2)∑ni ＝1p i ＝1. 三、常见离散型随机变量的分布列1．两点分布：若随机变量X 服从两点分布，其分布列为1，其中p ＝P (X ＝1)称为成功概率．2．超几何分布：在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件{X ＝k }发生的概率为P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC N，k ＝0,1,2，…，m ，其中m ＝min {M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *，称分布列为超几何分布.运用两个分布列的关键随机变量X 服从两点分布，常与事件成败问题有关，随机变量X 服从超几何分布多与产品抽检问题有关．1．抛掷甲、乙两颗骰子，所得点数之和为X ，那么X ＝4表示的基本事件是( )A ．一颗是3点，一颗是1点B ．两颗都是2点C ．一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点D ．甲是3点，乙是1点或甲是1点，乙是3点或两颗都是2点【解析】 甲是3点，乙是1点与甲是1点，乙是3点是试验的两个不同结果，故应选D.【答案】 D2．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X 去描述1次试验的成功次数，则P (X ＝0)等于( )A ．0 B.12 C.13 D.23【解析】 由已知得X 的所有可能取值为0,1， 且P (X ＝1)＝2P (X ＝0)，由P (X ＝1)＋P (X ＝0)＝1，得P (X ＝0)＝13.【答案】 C3．已知随机变量X 的分布列为：P (X ＝k )＝12k ，k ＝1,2，…，则P (2＜X ≤4)等于( )A.316 B.14 C.116 D.516【解析】 P (2＜X ≤4)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝123＋124＝316.【答案】 A4．从装有3个白球，4个红球的箱子中，随机取出了3个球，恰好是2个白球，1个红球的概率是( )A.435 B.635 C.1235 D.36343【解析】 如果将白球视为合格品，红球视为不合格品，则这是一个超几何分布问题，故所求概率为P ＝C 23C 14C 37＝1235.【答案】 C考向一 [189] 离散型随机变量分布列的性质设离散型随机变量X 的分布列为设η＝|x －1|，则【思路点拨】 先根据概率的性质求m 的值，再根据X 的值，确定η＝|X －1|的值． 【尝试解答】 由分布列的性质，知 0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m ＝1，∴m ＝0.3. 列表∴P (η＝1)＝P (X ＝规律方法1 1.利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数.2.若X 是随机变量，则η＝|X －1|等仍然是随机变量，求它的分布列可先求出相应随机变量的值，再根据对应的概率求解.对点训练 随机变量X 的分布列如下：其中，a ，b ，c 成等差数列，则P (|X |＝1)＝________.【解析】 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝a ＋ca ＋b ＋c ＝1则2b ＝1－b ，则b ＝13，a ＋c ＝23，所以P (|X |＝1)＝P (X ＝－1)＋P (X ＝1)＝a ＋c ＝23.【答案】 23考向二 [190] 离散型随机变量的分布列(2013·浙江高考改编)设袋子中装有3个红球，2个黄球，1个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．若从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列．【思路点拨】 对取出球的颜色进行分类以确定得分值，进而确定随机变量ξ的取值，计算相应的概率，再列出分布列．【尝试解答】 由题意得ξ＝2,3,4,5,6. 故P (ξ＝2)＝3×36×6＝14，P (ξ＝3)＝2×3×26×6＝13， P (ξ＝4)＝2×3×1＋2×26×6＝518，P (ξ＝5)＝2×2×16×6＝19， P (ξ＝6)＝1×16×6＝136. 所以ξ的分布列为规律方法2 1.求随机变量的分布列的主要步骤：(1)明确随机变量的取值；(2)求每一个随机变量取值的概率；(3)列成表格．2．求出分布列后注意运用分布列的两条性质检验所求的分布列是否正确．对点训练 某商店试销某种商品20天，获得如下数据：试销结束后(3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至．．．3件，否则不进货．．．，将频率视为概率．(1)求当天商店不进货．．．的概率；(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列．【解】(1)P(当天商店不进货)＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为1件)＝120＋520＝310.(2)由题意知，X的可能取值为2,3.P(X＝2)＝P(当天商品销售量为1件)＝520＝14；P(X＝3)＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为2件)＋P(当天商品销售量为3件)＝120＋920＋520＝34.所以X的分布列为PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．某地区2013年2月6日至15日每天的PM2.5监测数据如茎叶图10－7－1所示．图10－7－1(1)小陈在此期间的某天曾经来此地旅游，求当天PM2.5日均监测数据未超标的概率；(2)小王在此期间也有两天经过此地，这两天此地PM2.5监测数据均未超标，请计算出这两天空气质量恰好有一天为一级的概率；(3)从所给10天的数据中任意抽取三天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列及期望．【思路点拨】(1)由茎叶图可知：有2＋4天PM2.5日均值在75微克/立方米以下，据此利用古典概型的概率计算公式即可得出；(2)由茎叶图可知：空气质量为一级的有2天，空气质量为二级的有4天，只有这6天空气质量不超标，据此可得出其概率；(3)由茎叶图可知：空气质量为一级的有2天，空气质量为二级的有4天，只有这6天空气质量不超标，而其余4天都超标，利用“超几何分布”即可得出．【尝试解答】 (1)记“当天PM2.5日均监测数据未超标”为事件A ， 因为有2＋4天PM2.5日均值在75微克/立方米以下， 故P (A )＝2＋410＝35.(2)记“这两天此地PM2.5监测数据均未超标且空气质量恰好有一天为一级”为事件B ，P (B )＝C 12C 14C 26＝815.(3)ξ的可能值为0,1,2,3.由茎叶图可知：空气质量为一级的有2天，空气质量为二级的有4天，只有这6天空气质量不超标，而其余4天都超标．P (ξ＝0)＝C 36C 310＝16，P (ξ＝1)＝C 26C 14C 310＝12，P (ξ＝2)＝C 16C 24C 310＝310，P (ξ＝3)＝C 34C 310＝130.ξ的分布列如下表：∴E (ξ)＝0×16＋1×12＋2×10＋3×30＝5.规律方法3 1.求解本例的第 3 问关键在于明确ξ服从超几何分布.2.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是： 1 考察对象分两类； 2 已知各类对象的个数； 3 从中取出若干个； 4 研究取出某类对象的个数的概率分布.3.要善于看出某些实际问题实质是超几何分布，或将实际问题转化为超几何分布，一种方式就是将一类对象视为合格品，另一类对象视为不合格品，再对其进行解释.对点训练 某校高三年级同学进行体育测试，测试成绩分为优秀、良好、合格三个等级，测试结果如下表：(单位：人)优秀 30人． (1)求a 的值；(2)若用分层抽样的方法，在合格的同学中按男女抽取一个容量为5的样本，从中任选2人，记X 为抽取女生的人数，求X 的分布列及数学期望．【解】 (1)设该年级共n 人，由题意得50n ＝30180＋120，所以n ＝500.则a ＝500－(180＋120＋70＋20＋30)＝80. (2)依题意，X 所有取值为0,1,2.P (X ＝0)＝C 22C 25＝110，P (X ＝1)＝C 12C 13C 25＝35，P (X ＝2)＝C 23C 25＝310.X 的分布列为：E (X )＝0×110＋1×35＋2×10＝5规范解答之二十三 离散型随机变量的分布列与统计交汇问题————[1个示范例]————[1个规范练]————(12分)在某大学自主招生考试中，所有选报Ⅱ类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A ，B ，C ，D ，E 五个等级．某考场考生两科的考试成绩的数据统计如下图10－7－2所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B 的考生有10人．(1)求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A 的人数； (2)若等级A ，B ，C ，D ，E 分别对应5分，4分，3分，2分，1分． ①求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；②若该考场共有10人得分大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分．从这10人中随机抽取两人，求两人成绩之和的分布列和数学期望．图10－7－2【规范解答】 (1)因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B 的考生有10人， 所以该考场有10÷0.25＝40人.1分所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A 的人数为40×(1－0.375－0.375－0.15－0.025)＝40×0.075＝3.3分 (2)求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为140×[1×(40×0.2)＋2×(40×0.1)＋3×(40×0.375)＋4×(40×0.25)＋5×(40×0.075)]＝2.9.6分(3)设两人成绩之和为ξ，则ξ的值可以为16,17,18,19,20，7分 P (ξ＝16)＝C 26C 210＝1545，P (ξ＝17)＝C 16C 12C 210＝1245，P (ξ＝18)＝C 16C 12C 210＋C 22C 210＝1345，P (ξ＝19)＝C 12C 12C 210＝445，P (ξ＝20)＝C 22C 210＝145，所以ξ的分布列为16 10分所以E ξ＝16×1545＋17×1245＋18×1345＋19×445＋20×145＝865.所以ξ的数学期望为865.12分【名师寄语】 解答此类问题注意以下几点：, 1 认真审题，根据题目要求，准确从图表中提取信息.2 正确找出随机变量ξ的取值，并求出取每一个值的概率，提高计算能力.3 要注意语言叙述的规范性，解题步骤应清楚、正确、完整，不要漏掉必要说明及避免出现严重跳步现象.(2013·课标全国卷Ⅱ)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t 亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图10－7－3所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t 该农产品．以X (单位：t,100≤X ≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T (单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．图10－7－3(1)将T 表示为X 的函数；(2)根据直方图估计利润T 不少于57 000元的概率；(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X ∈[100,110)，则取X ＝105，且X ＝105的概率等于需求量落入[100,110)的频率)．求T 的数学期望．【解】 (1)当X ∈[100,130)时，T ＝500X －300(130－X )＝800X －39 000.当X ∈[130,150]时，T ＝500×130＝65 000.所以T ＝⎩⎪⎨⎪⎧800X －39 000，100≤X ＜130，65 000，130≤X ≤150.(2)由(1)知利润T 不少于57 000元当且仅当120≤X ≤150.由直方图知需求量X ∈[120, 150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T 不少于57 000元的概率的估计值为0.7.(3)依题意可得T 的分布列为所以ET ＝0.459 400.。

提
(1)关键是分清取出2个球所得分数之和的所有情况，然 后分类讨论，根据情况算出相应的概率、写出分布列；
示 (2)类似第(1)问写出分布列，根据期望、方差的公式
建立方程求解.
[解] (1)由题意得ξ＝2,3,4,5,6. 故 P(ξ＝2)＝36× ×36＝14，P(ξ＝3)＝2×6×3×6 2＝13，
的小正方体．经过搅拌后，从中随机取一
个小正方体，记它的涂漆面数为 X，则 X
的均值 E(X)＝
()
126
6
A.125
B.5
C.116285
D.75
解析：依题意，X 的取值可能为 0,1,2,3，且 P(X＝0)＝12275，P(X ＝1)＝15245，P(X＝2)＝13265， P(X＝3)＝1825，E(X)＝0×P(X＝0)＋1×P(X＝1)＋2×P(X＝2) ＋3×P(X＝3)＝0×12275＋1×15245＋2×13265＋3×1825＝115205＝65， 故选 B .
A．0.16
B．0.32
C ．0.68
D．0.84
想一想
解答此类问题的关键是什么？
[解析] (1)P(0＜ξ＜1)＝P(ξ＜2)－P(ξ＜1)＝0.8－0.5 ＝0.3，故选 B.
[答案] B (2) 因为曲线的对称轴是直线 x＝2，所以由图知 P(ξ≤0) ＝P(ξ＞4)＝1－P(ξ≤4)＝0.16.

i＝1
(xi－E(X))2pi 为这些偏离程度的加权
平均，刻画了随机变量 X 与其均值 E(X)的 平均偏离程度 ．称
D(X)为随机变量 X 的方差，其 算术平方根 DX为随机变量 X
的标准差． (2)D(aX＋b)＝ a2D(X) ． (3)若 X 服从两点分布，则 D(X)＝ p(1－p)． (4)若 X～B(n，p)，则 D(X)＝ np(1－p)．

从而由上表得两个分布列为：
①2X＋1的分布列： 2X＋1 P ②|X－1|的分布列： |X－1| P 0 0.1 1 0.3 2 0.3 3 0.3 1 3 5 7 9
0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
[答案]
2 1 1 (1)3 [－3，3]
(2)见解析
[奇思妙想]
本题(2)中条件不变，求P(1<2X＋1<9)．
01抓住3个必备考点
考点1
离散型随机变量 ，常用字
随着试验结果变化而变化的变量称为 随机变量
母X，Y，ξ，η，…表示．所有取值可以一一列出的随机变量， 称为 离散型随机变量
[想一想]
电灯泡的寿命X是离散型随机变量吗？
提示：电灯泡的寿命X的可能取值是任何一个非负实数，而 所有非负实数不能一一列出．所以X不是离散型随机变量． [填一填] 一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为
1 变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)等于3. (2)从装有3个红球、2个白球的袋中随机取出2个球，设其中 有ξ个红球，则随机变量ξ的概率分布列为 ξ P 0 0.1 1 0.6 2 0.3
02突破3个热点考向
考向一 离散型随机变量的分布列的性质 例1 (1)随机变量ξ的分布列如下： ξ P －1 a 0 b 1 c
2个必记数据——随机变量分布列表格中的两类数据 (1)表格第一行数据是随机变量的取值，把试验的所有结果进行 分类，分为若干个事件，随机变量的取值就是这些事件的代 码． (2)表格第二行数据是第一行数据代表事件的概率，利用离散型 随机变量的分布列，很容易求出其期望和方差等特征值．
3点必须注意——掌握离散型随机变量分布列的注意点 (1)搞清离散型随机变量每个取值对应的随机事件，准确确定离 散型随机变量所有可能的值，不可多也不能少． (2)求离散型随机变量的每一个值的概率，通常借助于排列、组 合的知识，计算要准确无误． (3)在求离散型随机变量概率分布列时，需充分运用分布列的性 质，一是可以减少运算量；二是可验证所求的分布列是否正确.

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可得随机变量 ξ 的分布列为： ξ P 0 1 2 3 4 6
1 1 1 2 11 1 30 6 5 15 30 10
1 1 1 2 11 所以数学期望 E(ξ) ＝ 0× 30 ＋ 1× 6 ＋ 2× 5 ＋ 3× 15 ＋ 4× 30 ＋ 1 91 6×10＝30.
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5．离散型随机变量的分布，„，ξ取 每一个值xi的概率为P(ξ＝xi)＝pi，则称下表 ξ P x1 p1 x2 p2 x3 p3 „ „ xi pi „ „
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故 X 的分布列为 X 2 3 P 4 5
5 2 10 8 9 9 81 81
5 2 10 8 224 E(X)＝2×9＋3×9＋4×81＋5×81＝ 81 .
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解
(1) 设 A1 表示事件“日销售量不低于 100 个”， A2 表示事件
“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里，有连 续 2 天的日销售量都不低于 100 个且另 1 天的日销售量低于 50 个”，因此 P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6， P(A2)＝0.003×50＝0.15， P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.
及独立事件等基础知识，考查对随机变量的识别及概率计算能