数列专题复习教案.doc

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年级 数学 科辅导讲义（第 讲）
学生姓名 授课教师： 授课时间：

数列专题复习

题型一：等差、等比数列的基本运算
例1、已知数列}{na是等比数列，且4622aaa，则53aa ( )
A．1 B．2 C．4 D．8
例2、在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11= ( )
A.58 B.88 C.143 D.176
变式 1、等差数列{an}中，a1+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4

专 题 数列专题复习
目 标
数列的通项公式、数列的求和
重 难 点 数列的求和
常 考 点 数列求通项公式、求和

等差数列 等比数列
定义
公差（比）
通项na
前n项和nS
中项
qpnm
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2、若等比数列na满足2412aa，则2135aaa .
3、已知{}na为等差数列，且13248,12,aaaa（Ⅰ）求数列{}na的通项公式；
（Ⅱ）记{}na的前n项和为nS，若12,,kkaaS成等比数列，求正整数k的值。

题型二：求数列的通项公式
⑴.已知关系式)(1nfaann，可利用迭加法（累加法）

例1：已知数列na中，)2(12,211nnaaann，求数列na的通项公式；

变式 已知数列{}na满足122a，12nnaan，求数列{}na的通项公式．
(2).已知关系式)(1nfaann，可利用迭乘法（累积法）
例2、已知数列na满足：111(2),21nnannaan，求求数列na的通项公式；

变式 已知数列{}na满足nnana21，11a，求数列{}na的通项公式。
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(3).构造新数列
1°递推关系形如“qpaann1”，利用待定系数法求解
例、已知数列na中，32,111nnaaa，求数列na的通项公式.

变式 已知数列na中，54,211nnaaa，求数列na的通项公式。

2°递推关系形如“nnnqpaa1”两边同除1np或待定系数法求解
例、已知
n
nnaaa32,111
，求数列na的通项公式.

变式 已知数列na，nnnaa631，31a，求数列na的通项公式。
3°递推关系形如"11nnnnapaqaa（p,q0),两边同除以1nnaa
例1、已知数列na中，1122nnnnaaaa1（n2),a，求数列na的通项公式.

变式 数列na中，)(42,211Nnaaaannn，求数列na的通项公式.
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d、给出关于nS和ma的关系（1nnnSSa）
例1、设数列na的前n项和为nS，已知)(3,11NnSaaannn，设nnnSb3，
求数列nb的通项公式．

变式 设nS是数列na的前n项和，11a，)2(212nSaSnnn.
⑴求na的通项； ⑵设12nSbnn，求数列nb的前n项和nT.

题型三：数列求和
一、利用常用求和公式求和
1、 等差数列求和公式：dnnnaaanSnn2)1(2)(11

2、等比数列求和公式：)1(11)1()1(111qqqaaqqaqnaSnnn
前n个正整数的和 2)1(321nnn
前n个正整数的平方和 6)12)(1(3212222nnnn
前n个正整数的立方和 23333]2)1([321nnn
例1、在数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2＋an＝2an＋1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设Sn是数列{|an|}的前n项和，求Sn.
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二、错位相减法求和（重点）
这种方法主要用于求数列{an· bn}的前n项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列. 求和时
一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比q；然后再将得到的新和式和原和式相减，
转化为同倍数的等比数列求和。
例2、求和：132)12(7531nnxnxxxS

变式 已知等差数列na的通项公式nan，等比数列12,nnnbb，设nnnbaC•，nS是数列nC的
前n项和，求nS。

三、分组法求和
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或
常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.
例3、求数列的前n项和：231,,71,41,1112naaan，…

变式 求数列{n(n+1)}的前n项和.
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四、裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后
重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：

（1）)()1(nfnfan （2）nnnntan)1tan()1cos(cos1sin

（3）111)1(1nnnnan （4）)121121(211)12)(12()2(2nnnnnan
（5）])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1nnnnnnnan
(6) nnnnnnnnSnnnnnnnnna2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21则
例4 求数列,11,,321,211nn的前n项和.

变式 1、在数列{an}中，11211nnnnan，又12nnnaab，求数列{bn}的前n项的和.
2、已知等比数列{an}中，a1＝3，a4＝81，若数列{bn}满足bn＝log3an，则数列1bnbn＋1的前n项和Sn＝________.
题型四：等差、等比数列的判定
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例1、已知nS为等差数列na的前n项和，)(NnnSbnn.求证：数列nb是等差数列.
变式：已知公比为3的等比数列nb与数列na满足*,3Nnbnan，且11a，证明na是等差数列。
例2、设{an}是等差数列，bn＝na21，求证：数列{bn}是等比数列；
变式1、数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，若an+Sn=n.设cn=an－1，求证：数列{cn}是等比数列；
2、已知nS为数列na的前n项和，11a，24nnaS，数列nb，nnnaab21，求证：nb是
等比数列；

课后作业：
1、已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且满足2Sn＝a2n＋n－4(n∈N*)．
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(1)求证：数列{an}为等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式。

2、已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝4an－3(n∈N*)．
(1)证明：数列{an}是等比数列；
(2)若数列{bn}满足bn＋1＝an＋bn(n∈N*)，且b1＝2，求数列{bn}的通项公式．

3、已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列1anan＋1的前n项和nT。
4、已知数列{an}的前n项和为Sn＝3n，数列{bn}满足b1＝－1，bn＋1＝bn＋(2n－1)(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)求数列{bn}的通项公式bn；

(3)若cn＝an·bnn，求数列{cn}的前n项和Tn.