2017-2018学年江西省赣州市高二上学期期末考试数学(理)试题

2017-2018学年度第一学期高二期中考试理科数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若直线30x y a ++=过圆22240x y x y ++-=的圆心，则a 的值为（ ） A ．-1 B ．1 C ．3 D ．-32.若(2,1,3)a x =，(1,2,9)b y =-，若//a b ，则（ ）A ．1x =，1y =B ．12x =，12y =- C ．16x =， 32y =- D ．16x =-，32y =-3.若直线10x y -+=与圆22()2x a y -+=有公共点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[3,1]-- B ．[1,3]- C ．[3,1]- D ．(,3][1,)∞-+∞4.圆221:20O x y x +-=和圆222:40O x y y +-=的位置关系是（ ）A ．相交B ．相离 C. 外切 D ．内切5.已知直线,l m ，平面,αβ，且l α⊥，m β⊂，给出下列四个命题：①若//αβ，则l m ⊥；②若l m ⊥，则//αβ；③若αβ⊥，则//l m ；④若//l m ，则αβ⊥.其中正确的命题个数为（ ）A ．1B ．2 C.3 D ．46.正方体1111ABCD A B C D -中，二面角1A BC D --的大小为（ ） A ．30° B ．45° C.60° D ．135°7.已知(1,1,)a t t t =--，(2,,)b t t =，则||a b -的最小值为（ ）A B C.115D 8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．123π+ B ．73π C.136π D ．52π9.过点(2,2)P 的直线与圆22(1)5x y -+=相切，且与直线10ax y -+=垂直，则a =（ ） A ．2 B ．1 C.12 D ．12- 10.如图，在四面体D ABC -中，若AB BC =，AD CD =，E 是AC 的中点，则下列正确的是（ ）A ．平面ABC ⊥平面ABDB ．平面ABD ⊥平面BDCC. 平面ABC ⊥平面BDE ，且平面ADC ⊥平面BDE D ．平面ABC ⊥平面ADC ，且平面ADC ⊥平面BDE11.过圆224x y +=外一点作圆(4,2)P 的两条切线，切点分别为,A B ，则ABP ∆的外接圆的方程为（ ）A ．22(4)(2)1x y -+-= B ．22(2)4x y +-= C. 22(2)(1)5x y +++= D ．22(2)(1)5x y -+-=12.三棱锥P ABC -中，PC ⊥平面ABC ，且2AB BC CA PC ====，则该三棱锥的外接球的表面积是（ ） A ．3π B ．4π C. 163π D ．283π第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.直线250x y -+=与圆228x y +=相交于,A B 两点，则||AB = ． 14.若平面a 的一个法向量(2,1,1)n =，直线l 的一个方向向量为(1,2,3)a =，则α与l 所成角的正弦值为 ．15.如图，在边长为4的正方形纸片ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，剪去AOB ∆，将剩余部分沿,OC OD 折叠，使,OA OB 重合，则折叠后以(),,,A B C D O 为顶点的四面体的体积为 ．16.若直线y x b =+与曲线3y =b 的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形,正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形,侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V ; (2)求该几何体的表面积S .18.（1）已知圆经过(2,3)A -和(2,5)B --两点，若圆心在直线230x y --=上，求圆M 的方程；（2）求过点(1,0)A -、(3,0)B 和(0,1)C 的圆N 的方程. 19. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，点D 是BC 的中点.（1）求证：1//A B 平面1ADC ；（2）若AB AC =，12BC AA ==，求点1A 到平面1ADC 的距离. 20. 如图，正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是1,BB CD 的中点.（1）求证：1D F ⊥平面ADE ；（2）求异面直线EF 与1BD 所成角的余弦值.21. 已知直线:(21)(1)740l m x m y m +++--=，m R ∈，圆22:(1)(2)25C x y -+-=. （1）证明：直线l 恒过一定点P ； （2）证明：直线l 与圆C 相交；（3）当直线l 被圆C 截得的弦长最短时，求m 的值.22.已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//AB CD ，90DAB ∠=°，PA ⊥底面ABCD ，且112PA AD DC AB ====，M 是PB 的中点.（1）证明：平面PAD ⊥平面PCD ； （2）求AC 与PB 所成角的余弦值；（3）求平面AMC 与平面BMC 所成二面角（锐角）的余弦值.2017-2018学年度第一学期高二第二次联考理科数学试题参考答案及评分标准一、选择题二、填空题13. 14.; 15. ; 16. 1⎡⎤-⎣⎦.三、解答题：17. 解：（Ⅰ）根据三视图还原几何体，如右图，四棱锥P ABCD -，底面矩形ABCD 中，8AB =，6BC =，对角线,AC BD 交于点H ，PH ⊥底面ABCD ，且4PH =．∴ 该几何体的体积1684643V =⨯⨯⨯=； （Ⅱ）分别取AB 、BC 的中点E 、F ，连接,,,PE HE PF HF ． ∵ ,AB HE AB PH ⊥⊥， ∴AB ⊥平面PHE ，AB PE ⊥．Rt PHE ∆中，4PH =，3HE =，故5PE =，∴ 1202PAB PCD S S AB PE ∆∆==⋅=．同理可求12PBC PAD S S BC PF ∆∆==⋅= ∵ 底面矩形ABCD 的面积为48， ∴该几何体的表面积88S =+ 18.解：（Ⅰ）由点()2,3A -和点()2,5B --可得，线段AB 的中垂线方程为240x y ++=． ∵ 圆经过()2,3A -和()2,5B --两点，圆心在直线230x y --=上， ∴ 240230x y x y ++=⎧⎨--=⎩，解得1,2x y =-=-，即所求圆的圆心()1,2M --，∴半径r AM ==M 的方程为()()221210x y +++=； （Ⅱ）设圆N 的方程为220x y Dx Ey F ++++=， ∵ 圆N 过点()1,0A -、()3,0B 和()0,1C ，∴ 列方程组得10,930,10,D F D F E F -+=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解得2,2,3D E F =-==-，∴ 圆N 的方程为222230x y x y +-+-=．19.解：（Ⅰ）证明：连接1A C 交1AC 于点O ，连接OD ．∵ 矩形11ACC A 中，O 是1A C 的中点，又点D 是BC 的中点， ∴ 1A BC ∆中，1OD A B ∥．∵ OD ⊂平面1ADC ，1A B ⊄平面1ADC ， ∴ 1A B ∥平面1ADC ；（Ⅱ）由（Ⅰ）知O 是1A C 的中点，故点1A 到平面1ADC 的距离与点C 到平面1ADC 的距离相等，设为h ．∵ ABC ∆中，AB AC =，D 是BC 的中点， ∴AD BC ⊥．∵ 直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ， ∴ 11,AD CC BC CC ⊥⊥，∴AD ⊥平面11BCC B ，1AD DC ⊥．在1Rt C CD ∆中，1112,12CC AA CD BC ====，则1C D =12ADC S AD ∆=； 在Rt ACD ∆中，12ACD S AD ∆=； ∵ 三棱锥1C ADC -与三棱锥1C ACD -的体积相等，即111133ADC ACD S h S CC ∆∆⋅=⋅，∴ 1112332AD h AD ⋅=⨯⨯，解得h =即点1A 到平面1ADC． 20.解：如图，以点D 为坐标原点，向量1,,DA DC DD 分别作为,,x y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系．设正方体棱长为A ，则()0,0,0D ，()2,0,0A ，()2,2,0B ，()10,0,2D ，()2,2,1E ，()0,1,0F ．（Ⅰ）设平面ADE 的法向量()000,,n x y z =，则0n DA n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即000020,220x x y z =⎧⎨++=⎩，不妨取()0,1,2n =- ∵()10,1,2D F =-，∴n ∥1D F ，即1D F ⊥平面ADE ； （Ⅱ）∵ ()()12,1,1,2,2,2EF BD =---=--， ∴1112cos ,EF BD EF BD EF BD⋅==⋅EF 与1BD ．21.解：（Ⅰ）直线l 方程变形为()()0472=-++-+y x m y x ，由⎩⎨⎧=-+=-+04072y x y x ，得⎩⎨⎧==13y x ，∴ 直线l 恒过定点()13，P ；（Ⅱ）∵ 55<=PC ，∴ P 点在圆C 内部，∴ 直线l 与圆C 相交；（Ⅲ）当l PC ⊥时，所截得的弦长最短，此时有1l PC k k ⋅=-， 而211,12l PC m k k m +=-=-+，于是2112(1)m m +=-+，解得34m =-. 22.解：建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(1,0,0)D ，(0,0,1)P ，(0,2,0)B ，(1,1,0)C ，1(0,1,)2M ．（Ⅰ）因为(0,0,1)AP =，(0,1,0)DC =， 故0AP DC ⋅=，所以AP DC ⊥． 由题设知AD DC ⊥，且AP 与AD 是平面PAD 内的两条相交直线， 由此得DC ⊥面PAD ，又DC ⊂面PCD ，故平面PAD ⊥面PCD ．（Ⅱ）因(1,1,0)AC =，(0,2,1)PB =-，||2AC ∴=||5PB =，2AC PB ⋅=，10cos ,||||AC PB AC PB AC PB ⋅∴<>==⋅． （Ⅲ）设平面AMC 的一个法向量为1111(,,)n x y z =，则1n AM ⊥，11111111(,,)(0,1,)022n AM x y z y z ∴⋅=⋅=+=．又1n AC ⊥，111111(,,)(1,1,0)0n AC x y z x y ∴⋅=⋅=+=， 取11x =，得11y =-，12z =，故1(1,1,2)n =-．同理可得面BMC 的一个法向量为2(1,1,2)n =． ∵ 1212122cos ,36n n n n n n ⋅<>===， ∴ 平面AMC 与平面BMC 所成二面角（锐角）的余弦值为23．2017-2018学年度第一学期高二第二次联考理科数学试题参考答案及评分标准一、选择题（每题5分，共60分）二、填空题（每题5分，共20分） 13. 14.6; 15. 3; 16. 1⎡⎤-⎣⎦.三、解答题：（本大题共6小题，共70分） 17. （本题满分10分）解：（Ⅰ）根据三视图还原几何体，如右图，四棱锥P ABCD -，底面矩形ABCD 中，8AB =，6BC =，对角线,AC BD 交于点H ，PH ⊥底面ABCD ，且4PH =．∴ 该几何体的体积1684643V =⨯⨯⨯=； …………………………………………5分 （Ⅱ）分别取AB 、BC 的中点E 、F ，连接,,,PE HE PF HF ． ∵ ,AB HE AB PH ⊥⊥， ∴AB ⊥平面PHE ，AB PE ⊥．Rt PHE ∆中，4PH =，3HE =，故5PE =，∴ 1202PAB PCD S S AB PE ∆∆==⋅=．同理可求12PBC PAD S S BC PF ∆∆==⋅= ∵ 底面矩形ABCD 的面积为48，∴ 该几何体的表面积88S =+10分 18. （本题满分12分）解：（Ⅰ）由点()2,3A -和点()2,5B --可得，线段AB 的中垂线方程为240x y ++=．…………………………………………2分∵ 圆经过()2,3A -和()2,5B --两点，圆心在直线230x y --=上， ∴ 240230x y x y ++=⎧⎨--=⎩，解得1,2x y =-=-，即所求圆的圆心()1,2M --，………4分∴半径r AM ==M 的方程为()()221210x y +++=； ………6分 （Ⅱ）设圆N 的方程为220x y Dx Ey F ++++=， ∵ 圆N 过点()1,0A -、()3,0B 和()0,1C ，∴ 列方程组得10,930,10,D F D F E F -+=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解得2,2,3D E F =-==-，…………………10分∴ 圆N 的方程为222230x y x y +-+-=． ……………………………………12分 19. （本题满分12分）解：（Ⅰ）证明：连接1A C 交1AC 于点O ，连接OD ．∵ 矩形11ACC A 中，O 是1A C 的中点，又点D 是BC 的中点， ∴ 1A BC ∆中，1OD A B ∥．∵ OD ⊂平面1ADC ，1A B ⊄平面1ADC ，∴ 1A B ∥平面1ADC ； ……………………………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知O 是1A C 的中点，故点1A 到平面1ADC 的距离与点C 到平面1ADC 的距离相等，设为h ．∵ ABC ∆中，AB AC =，D 是BC 的中点， ∴AD BC ⊥．∵ 直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ， ∴ 11,AD CC BC CC ⊥⊥，∴AD ⊥平面11BCC B ，1AD DC ⊥．在1Rt C CD ∆中，1112,12CC AA CD BC ====，则1C D =1ADC S AD ∆=； 在Rt ACD ∆中，12ACD S AD ∆=； ……………………………………8分 ∵ 三棱锥1C ADC -与三棱锥1C ACD -的体积相等，即111133ADC ACD S h S CC ∆∆⋅=⋅， ∴11123232AD h AD ⨯⋅=⨯⨯，解得5h =即点1A 到平面1ADC……………………………………12分20. （本题满分12分）解：如图，以点D 为坐标原 点，向量1,,DA DC DD 分别作为,,x y z 轴的正方 向，建立空间直角坐标系．设正方体棱长为A ， 则()0,0,0D ，()2,0,0A ，()2,2,0B ，()10,0,2D ，()2,2,1E ，()0,1,0F ．……………………………………4分（Ⅰ）设平面ADE 的法向量()000,,n x y z =，则n DA n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即000020,220x x y z =⎧⎨++=⎩，不妨取()0,1,2n =-∵()10,1,2D F =-，∴n ∥1D F ，即1D F ⊥平面ADE ； ……………………………………8分 （Ⅱ）∵ ()()12,1,1,2,2,2EF BD =---=--， ∴1112cos ,3EF BD EF BD EF BD ⋅==⋅，即异面直线EF 与1BD 所成角的余弦值为3．……………………………………12分21. （本题满分12分）解：（Ⅰ）直线l 方程变形为()()0472=-++-+y x m y x ，由⎩⎨⎧=-+=-+04072y x y x ，得⎩⎨⎧==13y x ，∴ 直线l 恒过定点()13，P ； ……………………………………4分 （Ⅱ）∵ 55<=PC ，∴ P 点在圆C 内部，∴ 直线l 与圆C 相交； ……………………………………8分 （Ⅲ）当l PC ⊥时，所截得的弦长最短，此时有1l PC k k ⋅=-，而211,12l PC m k k m +=-=-+，于是2112(1)m m +=-+，解得34m =-.……………12分22. （本题满分12分）解：建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(1,0,0)D ，(0,0,1)P ，(0,2,0)B ，(1,1,0)C ，1(0,1,)2M ． ……………………………………………2分（Ⅰ）因为(0,0,1)AP =，(0,1,0)DC =，故0AP DC ⋅=，所以AP DC ⊥． 由题设知AD DC ⊥，且AP 与AD 是平面PAD内的两条相交直线， 由此得DC ⊥面PAD ，又DC ⊂面PCD ，故平面PAD ⊥面PCD ．……………………………………5分（Ⅱ）因(1,1,0)AC =，(0,2,1)PB =-，||2AC ∴=||5PB =，2AC PB ⋅=，10cos ,||||AC PB AC PB AC PB ⋅∴<>==⋅． …………………………………………8分 （Ⅲ）设平面AMC 的一个法向量为1111(,,)n x y z =，则1n AM ⊥，11111111(,,)(0,1,)022n AM x y z y z ∴⋅=⋅=+=．又1n AC ⊥，111111(,,)(1,1,0)0n AC x y z x y ∴⋅=⋅=+=， 取11x =，得11y =-，12z =，故1(1,1,2)n =-． 同理可得面BMC 的一个法向量为2(1,1,2)n =． ∵ 1212122cos ,36n n n n n n ⋅<>===， ∴ 平面AMC 与平面BMC 所成二面角（锐角）的余弦值为23．…………………12分。

江西省赣州市2014～2015学年度第一学期期末联考高二数学（理科）试题一、选择题1～5.ACBAD ； 6～10.BCDBC 11～12.AC二、填空题13.10； 14.83； 16.3(1)n n +. 三、解答题17.解：由题意:232p x -≤-≤因为15x ≤≤，所以非:1p x <或5x >……………………………………………………3分 :11q m x m -≤≤+所以非:1q x m <-或1x m >+………………………………………………………………6分又因为非p 是非q 的充分不必要条件，所以1115m m -≥⎧⎨+≤⎩……………………………………8分所以24x ≤≤…………………………………………………………………………………10分18.解：（1）设(,)x y 表示一个基本事件，则抛掷两次骰子包括：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)L L (6,5)，(6,6)，共36个基本事件……………………………2分用A 表示事件“3x y +≤”，则A 包含(1,1)，(1,2)，(2,1)，共3个基本事件…………3分 所以31()3612P A ==，即事件“3x y +≤”的概率为112…………………………………6分 （2）用B 表示事件“2x y -=”，则B 包含(1,3)，(3,1)，(2,4)，(4,2)，(3,5)，(5,3)，(4,6)，(6,4)，共8个基本事件……………………………………………………………9分 所以82()369P B ==，即事件“2x y -=”的概率为29………………………………12分 19.解:（1）1(0.020.0160.0060.004)100.54-+++⨯=……………………………2分 所以27500.54n ==人………………………………………………………………………4分 （2）成绩在区间[)40,50的学生人数是：500.042⨯=人……………………………5分成绩在区间[)50,60的学生人数是：500.063⨯=人……………………………………6分设成绩在区间[)40,50的学生分别是12,A A ，成绩在区间[)50,60的学生分别是123,,B B B ，从成绩在[)40,60的学生中随机选取2人的所有结果有：12(,)A A ，11(,)A B ，12(,)A B ，13(,)A B ，21(,)A B ，22(,)A B ，23(,)A B ，12(,)B B ，13(,)B B ，23(,)B B 共10种情况…………………………………………………………………………8分至少有1人成绩在[)40,50内的结果有：12(,)A A ，11(,)A B ，12(,)A B ，13(,)A B ，21(,)A B ，22(,)A B ，23(,)A B 共7种情况………………………………………………………………10分所以至少有1人成绩在[)40,50内的概率710P =…………………………………………12分 20.解：过点(1,0)A -且斜率为(0)k k ≠的直线方程为(1)y k x =+……………………1分将(1)y k x =+代入24y x =，化简得2222(24)0k x k x k +-+=………………………4分设1122(,),(,)M x y N x y ，则有212242k x x k-+=，121x x =……………………………6分 又2114y x =，2224y x =，所以221216y y =……………………………………………………7分 因为120y y >，所以124y y =………………………………………………………………8分 从而有21212284(1)(1)k FM FN x x y y k-⋅=--+=uuu r uuu r ………………………………………9分12(1)(1)FM FN x x ⋅==++uuu r uu u r 24k=…………………10分 因为cos ,FM FN FM FN FM FN⋅<>=uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，所以22284142k k k -=-⨯…………………………11分 解得12k =±…………………………………………………………………………………12分 21．（1）证明：因为四边形ABCD 为菱形，60ABC ∠=，所以ABC △为正三角形……………………………………………………………………1分因为E 为BC 的中点，所以AE BC ⊥……………………………………………………2分又BC AD ∥，所以AE AD ⊥……………………………………………………………3分因为PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，所以PA AE ⊥………………………………………………………………………………4分而PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD 且PA AD A =，所以AE ⊥平面PAD ．又PD ⊂平面PAD ……………………………………………5分所以AE PD ⊥……………………………………………………………………………6分（2）解法一∵PA ⊥平面ABCD ，PA ⊂平面PAC ，∴平面PAC ⊥平面ABCD ………………………………………………………………7分过E 作EO AC ⊥于O ，则EO ⊥平面PAC ，过O 作OS AF ⊥于S ，连接ES ，则ESO ∠为二面角E AF C --的平面角……………8分在Rt AOE △中，3sin 30EO AE =⋅=3cos302AO AE =⋅=， 又F 是PC 的中点，在Rt ASO △中，32sin 45SO AO=⋅= (10)分又SE ===11分 在Rt ESO △中，cos SO ESO SE∠===12分 解法二：由（1）知AE AD AP ，，两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E F ，分别为BCPC ，的中点，所以(000)10)0)(020)A B C D-，，，，，，，，，，1(002)0)12P E F ⎫⎪⎪⎭，，，，，，，……………………7分所以31(300)12AE AF ⎛⎫== ⎪⎪⎭，，，，，． 设平面AEF 的一法向量为111()m x y z =，，，则00m AE m AF⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以11110102x y z =++=……………………………………………8分 取11z =-，则(021)m =-，，………………………………………………………………9分D BE CF A O S P∵BD AC ⊥，BD PA ⊥，PA AC A =，∴BD ⊥平面AFC …………………………………………………………………………10分故BD 为平面AFC 的一法向量又(0)BD =，，所以cos 5m BDm BD m BD ⋅<>===⋅，11分 因为二面角E AF C --为锐角，12分 22.解：（1）依题意，c =1b =………………………………………………………2分 所以a =………………………………………………………………………3分故椭圆C 的方程为2213x y +=………………………………………………………………5分 （2）①当直线l 的斜率不存在时，由22113x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得1,x y==…………………6分 不妨设A，(1,B ， 所以122233222k k ++=+=…………………………………………………………8分 ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-.将(1)y k x =-代入2213x y +=， 整理化简得，2222(31)6330k x k x k +-+-=………………………………………9分 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2122631k x x k +=+,21223331k x x k -=+……………………10分 又11(1)y k x =-，22(1)y k x =-……………………………………………………11分所以12211212[2(1)](3)[2(1)](3)3()9k x x k x x x x x x ---+---=-++ 121212122(42)()6123()9kx x k x x k x x x x -++++=-++222222223362(42)6123131336393131k k k k k k k k k k k -⨯-+⨯++++=--⨯+++222(126)2126k k +==+……………………12分 所以122k k +=。

注意事项：1、本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分 答题时间120分钟。

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上 2. 第Ⅰ卷（选择题）答案必须使用2B 铅笔填涂；第Ⅱ卷（非选择题）必须将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,2,3A =，集合{}3,4B =，则()U C A B ⋃=( ) A. {}4B. {}2,3,4C. {}3,4,5D. {}2,3,4,52.已知复数z 满足(1)z i i -=-，则z =（ ）A.12 C. 13. “5a =”是“直线4y x =+与圆22()(3)8x a y -+-=相切”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4.已知数列{}n a 满足1*393,()n n aan N +=⋅∈ 且2469a a a ++=，则15793log ()a a a ++=（）A. 13-B. 3C. 3-D. 135. F 是抛物线22y x =的焦点，A B 、是抛物线上的两点，8AF BF +=，则线段AB 的中点到y 轴的距离为（ ）A. 4B. 92C. 72D.3 6. 在区间(0,4]内随机取两个数a b 、，则使得“命题‘x R ∀∈，不等式220x ax b ++>恒成立’为真命题”的概率为（ ）A.14 B. 12 C. 13 D.347. 右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入的a b 、分别为4，10，则输出的a 为 ( ) A.0B.2C.4D.68. 若函数()cos 2cos 23f x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图形向左平移()0>ϕϕ个单位后关于y 轴对称，则ϕ的最小值为（ ）A.6πB. 3πC. 4πD.32π9. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为 ( )A ．32π B ．6π C ．3π D ．24π10. 若()xxae e x f -+=为偶函数，则()ee xf 112+<-的解集为（ ）A.()2,∞-B.()+∞,2C.()2,0D.()()+∞⋃∞-,20,11. 已知双曲线2222:1x x C a b -=的右焦点为F ，点A B 、分别在C 的两条渐近线上，AF x ⊥轴，,//AB OB BF OA ⊥，则双曲线的离心率为（ ）AB12. 设()f x 满足()4()f x f x +=，且当(]1,3x ∈-时，()215,114412,13x x f x x x ⎧-+-<≤⎪=⎨⎪--<≤⎩,若函数()()g x f x kx =-有且仅有五个零点，则实数k 的取值范围是（ ）A. 1(,26B. 11(,)62C. 55(,)3216D. (4第Ⅱ卷（非选择题）二、 填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2=log 1f x x -，则f ⎛ ⎝⎭=14. 已知y x 、满足约束条件100,0x y x y x +-≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩则 y x z 2+=的最大值为15.在正方形ABCD 中，2==AD AB ,N M ,分别是边CD BC ,上的动点，且2=MN ，则A M A N ⋅的取值范围为 16. 设244)(+=xx f ,n S 为数列{}n a 的前n 项和，{}n a 满足10a =，2n ≥时正视图侧视俯视图1231()()()()n n a f f f f n n n n -=+++⋅⋅⋅+，则612a s a n n ++的最大值为三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本题满分12分） 已知向量.,2sin 2cos 3,1,2sin⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=y x x x 当⊥时，有函数().x f y = （Ⅰ）若(),65=x f 求⎪⎭⎫ ⎝⎛+62sin πx 的值； （Ⅱ）在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且满足,22cos acb C -=求函数()B f 的取值范围.18.（本题满分12分）周立波是海派清口创始人和《壹周·立波秀》节目的主持人，他的点评视角独特，语言幽默犀利，给观众留下了深刻的印象．某机构为了了解观众对《壹周·立波秀》节目的喜爱程度，随机调查了观看了该节目的140名观众，得到如下的列联表：（单位：名）男 女 总计 喜爱 40 60 100 不喜爱 20 20 40 总计6080140（Ⅰ）从这60名男观众中按对《壹周·立波秀》节目是否喜爱采取分层抽样，抽取一个容量为6的样本，问样本中喜爱与不喜爱的观众各有多少名？（Ⅱ）根据以上列联表，问能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为观众性别与喜爱《壹周·立波秀》节目有关．（精确到0.001）（Ⅲ）从（Ⅰ）中的6名男性观众中随机选取两名作跟踪调查，求选到的两名观众都喜爱《壹周·立波秀》节目的概率．20()p k k ≥0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0k2.7053.8415.0246.6357.879附：临界值表参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.19.(本小题满分12分)如图，在三棱柱111ABC A B C -中，ABC △是等边三角形，14BC CC ==,D 是11AC 中点. （Ⅰ）求证：1A B ∥平面1B CD ； （Ⅱ）当三棱锥11C B C D -体积最大时 求点B 到平面1B CD 的距离.20.（本题满分12分） 已知A 为椭圆12222=+b y a x ()0>>b a 上的一个动点，弦AC AB ,分别过左右焦点21F F ，,且当线段1AF 的中点在y 轴上时，31cos 21=∠AF F .（Ⅰ）求该椭圆的离心率；（Ⅱ）设C F AF B F AF 222111,λλ==,试判断21λλ+是否为定值？若是定值，求出该定值，并给出证明；若不是定值，请说明理由.21．（本小题满分12分）已知函数()()1ln 1a x f x x x -=-+ （Ⅰ）若函数()f x 在(0,)+∞上为单调增函数，求a 的取值范围；（Ⅱ）若斜率为k 的直线与ln y x =的图像交于A 、B 两点，点()00,y x M 为线段AB 的中点，求证：10>kx .AB1AC1C D1B(第19题图)第22题图请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.（本小题满分10分）选修4-1： 几何证明选讲． 如图所示，已知PA 与⊙O 相切，A 为切点，过点P 的割线交圆于C B ,两点，弦AP CD //，BC AD ,相交于点E ，F 为CE 上一点，且EC EF DE ⋅=2．（Ⅰ）求证：EP EF EB CE ⋅=⋅；（Ⅱ）若2,3,2:3:===EF DE BE CE ，求PA 的长．23.（本小题满分10分）选修4-4： 坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。

豫西名校2017-2018学年上期第二次联考高二理科数学试题考试时间：120分钟 试卷满分：150分一、选择题（共12小题，每题5分，共60分。

）1.抛物线281x y -=的准线方程为： ( ) A. 321=x B ． 2=y C ． 321=y D ． 2-=y 2.“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否是 ( ) A ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 不都是偶数 B ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 都不是偶数 C ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数 D ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 都不是偶数3．在△ABC 中，设角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且cosC cosB ＝2a －cb ，则B 等于 ( ) A ．30° B ．60° C ．90° D ．120°４．数列{n a }的前n 项和为n s ，若11=a ，)1(31≥=+n s a n n ,则6a ＝ ( )A ．443⨯B ．1434+⨯C ．44D ．144+ 5. 不等式()2152≥-+x x 的解集是 （ ） A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,3 B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3,21 C.(]3,11,21 ⎪⎭⎫⎢⎣⎡ D.(]3,11,21 ⎪⎭⎫⎢⎣⎡- 6．若椭圆()0>b >12222a by a x =+过抛物线x y 82=的焦点，且与双曲线122=-y x 有相同的焦点，则该椭圆的方程是 ( )A.12422=+y xB.1322=+y x C.14222=+y x D ．1322=+y x7.设R y x ∈、且⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≥x y y x x 0321，则y x z 2+=的最小值是 ( )A. 5B. 3C. 9D. 68.若不等式20x ax b -+<的解集为()2,1，则不等式abx <1的解集为A.⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,32B. ()⎪⎭⎫⎝⎛+∞∞-,230,C.⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,23 D.()⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞∞-,320,9、设21,F F 分别为双曲线)0>,0 >(12222b a by a x =-的左、右焦点,若在双曲线右支上存在一点P,满足2212,F F F PF 且=到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长,则双曲线离心率 ( ) A ．54 B ．45 C ．53 D ．3510.当1>x 时不等式a x x x ≥-+-112恒成立，则实数a 的取值范围是 （ ） A.(]3,∞- B.[)+∞,3 C.(]2,∞- D.[)+∞,2 11. 定义域为R的函数()x f 满足()()x f x f 22=+，当[)2,0∈x 时,[)()[)⎩⎨⎧∈-∈-=-2,1,5.01,0,)(5.12x x x x x f x 若[)2,4--∈x 时,t t x f 214)(-≤有解,则实数t 的取值范围是 （ ） A.[)()1,00,2 - B.[)[)+∞-,10,2 C.[]1,2- D.(](]1,02, -∞- 12.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，则下列正确的个数是。