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2005年云南省玉溪市高中(中专)招生统一测验数学试卷及答案(课改实验区)

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（图3）∵∠AOB ＝∠A OB '' ∴AB ＝A B ''.A.（图4） ∵AD ＝BC ∴AB ＝CD.B.（图5）∵AB 的度数为40°， ∴∠AOB ＝80°.C.D OABE M N（图6）∵MN 垂直平分AD ， ∴AM ＝ME .D.玉溪市2005年高中（中专）招生统一考试数学试卷一、选择题（让你算的少，要你想的多，只选一个可要认准啊！每小题3分，共24分）1．下列说法正确的是 （ ） A ．－1的倒数是1 B. －1的相反数是－1 C. 1的算术平方根是1 D. 1的立方根是±1 2．下列运算错误的是 （ ）A ．3252a 3a 5a ＋＝B ．236a a （）＝ C ．235a a a ＝ D ．24215a 5a a÷＝ 3．地球赤道长约为4410⨯千米，我国最长的河流——长江全长约为36.310⨯千米，赤道长约等于长江长的A ．7倍B ．6倍C ．5倍D ．4倍 4．如图1，CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的高，将△BCD 沿CD 折叠， B 点恰好落在AB 的中点E 处，则∠A 等于 （ ） A ．25° B ．30° C ．45° D ．60° 5．不等式组x 5332x 1⎧⎨⎩＋≥－≥－的解集表示在数轴上正确的 （ ）6．如图2，已知EF 是梯形ABCD 的中位线，若AB ＝8，BC ＝6， CD ＝2，∠B 的平分线交EF 于G ，则FG 的长是（ ） A ．1 B ．1.5 C ．2 D ．2.5 7．观察图3－图6及相应推理，其中正确的是（ ）8.一件工作，甲、乙两人合做5小时后，甲被调走，剩余的部分 由乙继续完成，设这件工作的全部工作量为1，工作量与工作时 间之间的函数关系如图7所示，那么甲、乙两人单独完成这件工 作，下列说法正确的是 （ ） A ．甲的效率高 B ．乙的效率高 C ．两人的效率相等 D ．两人的效率不能确定（图1）（图2）（图7）二、填空题（简洁的结果，表达的是你敏锐的思维，需要的是细心！每小题3分，共36分）9．在实数－2，13，0，－1.2中，无理数是 。

10．多项式224x M 9y ＋＋是一个完全平方式，则M 等于（填一个即可） 。

11．如图8，已知AB ＝AD ，∠1＝∠2，要使△ABC ≌△ADE ，还需添加的条件是（只需填一个） 。

12．已知x 30－，以x ，y 为两边长的等腰三角形的周长是 。

13．已知关于x 的方程22m x 3m x 04＋（－）＋＝有两个不相等的实数根，那么m 的最大整数值是 。

14．用换元法解方程2212x x 3x 2x＋＝－－时，如果设2y x 2x ＝－，则原方程可化为关于y 的一元二次方程的一般形式是 。

15．如图9，△ABC 内接于⊙O ，直线CT 切⊙O 于点C ，若∠AOB ＝80°，∠ABC ＝110°，则∠BCT ＝ 度。

16．在图10中有两圆的多种位置关系，请你找出还没有的位置关系是 。

17．如图11，小红房间的窗户由六个小正方形组成，装饰物是两个四分之一圆，用只含a （或只含b ）的代数式表示窗户中能射进阳光部分的面积是 。

18．在中国地理地图册上，连结上海、香港、台湾三地构成一个三角形，用刻度尺测得它们之间的距离如图12所示。

飞机从台湾直飞上海的距离约为1286千米，那么飞机从台湾绕道香港再到上海的空中飞行距离是 千米。

19．一质点P 从距原点1个单位的A 点处向原点方向跳动，第一次跳动到OA 的中点1A 处，第二次从1A 点跳动到O 1A 的中点2A 处，第三次从2A 点跳动到O 2A 的中点3A 处，如此不断跳动下去，则第n 次跳动后，该质点到原点O 的距离为 。

20．编制一个底面周长为a 、高为b 的圆柱形花柱架，需用沿圆柱表面绕织一周的竹条若干根，如图14中的111222A C B A C B ，，……则每一根这样的竹条的长度最少是 。

ABCDE12（图8）上海 台湾香港 5.4cm3cm3.6cm （图12）三、解答题（耐心计算，仔细观察，表露你萌动的智慧！本大题共15分）21．（4分）计算：13.14⎛⎫⎪⎝⎭－1＋（－π）222．（5分）下表是两个实践活动小组的实习报告的部分内容，请你任选一个．．．．组的测量方案和数据，计算23．（6分）小明在银行存入一笔零花钱。

已知这种储蓄的年利率为n％，若设到期后的本息和（本金＋利息）为y（元），存入的时间为x（年），那么（1）下列哪个图象更能反映y与x之间的函数关系？从图中你能看出存入的本金是多少元？一年后的本息和是多少元？（3分）（2）根据（1）的图象，求出y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围），并求出两年后的本息和。

（3分）四、解答题（合情推理，准确表述，展示你聪灵的气质！本大题共24分）24．（7分）《中华人民共和国道路交通安全法实施条例》中规定：超速行驶属违法行为。

为确保行车安全，一段高速公路全程限速110千米/时（即任一时刻的车速都不能超过110千米/时）。

以下是张师傅和李师傅行驶完这段全程为400千米的高速公路时的对话片断。

张：“你的车速太快了，平均每小时比我多跑20千米，少用我1小时就跑完了全程，还是慢点。

”李：“虽然我的时速快，但最大时速也不超过我平均时速的10％，可没有超速违法啊。

”李师傅超速违法吗？为什么？25．（8分）如图19，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD＝CD，AB＜CD问：当CE分别为何值时，四边形ABED是等腰梯形？直角梯形？请分别说明理由。

E（图19）26．（9分）中考前夕，某校为了了解初三年级480名学生的数学学习情况，特组织了一次检测。

教师随机抽取了一部分学生的检测成绩进行统计分析，绘制成下表：注：72分（含72分）以上为“及格”；96分（含96分）以上为“优秀”；36分（不含36分）以下为“后进”；“全距”是“最高分”与“最低分”之差。

（1）仔细观察上表，填出表中空格处的相应数据；（4分）（2）估计这480名学生本次检测成绩的中位数落在哪个分数段内；（2分）（3）根据表中相关统计量及相应数据，结合你所学的统计知识，选择两个方面对这次检测的总体情况作出合理分析。

（3分）五、综合题（锲而不舍，树立信心，凸现你无畏的坚韧！本大题共21分）27．（10分）如图20，从⊙O外一点A作⊙O的切线AB、AC，切点分别为B、C，⊙O的直径BD为6，连结CD、AO.（1）求证：CD∥AO；（3分）（2）设CD＝x，AO＝y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3分）（3）若AO＋CD＝11，求AB的长。

（4分）B （图20）28．（11分）如图21，已知抛物线21y x 4：＝－的图象与x 轴交于A 、C 两点。

（1）若抛物线21与关于x 轴对称，求2的解析式；（3分） （2）若点B 是抛物线1上一动点（B不与A 、C 重合），以AC 为对角线，A 、B 、C 三点为顶点的平行四边形的第四个顶点记为D ，求证：点D 在2上；（4分）（3）探索：当点B 分别位于1在x 轴上、下两部分的图象上时，□ABCD 的面积是否存在最大值或最小值？若存在，判断它是何种特殊平行四边形并求出它的面积；若不存在，请说明理由。

（4分）玉溪市2005年高中（中专）招生统一考试数学试卷答案及评分标准一、选择题：1．C 2. A 3. B 4. B 5. D 6. C 7. B 8. A 二、填空题：9.2 10. ±12xy 11. ∠B ＝∠D 或∠C ＝∠E 或AC ＝AE 12. 1513. 1 14.2y 3y 10－－＝ 15. 30 16.外离17.222223a a b b 31828ππ－（或－） 18. 3858 19. nn 11 22⎛⎫ ⎪⎝⎭或 20.22a b ＋三、解答题：21．解：原式＝2＋1－3 ………………………………（做对一个部分得1分）（3分） ＝0 ……………………………………………………………（4分） 22. 解：23．解：（1）图16能反映y 与x 之间的函数关系。

……………………………………………（1分） 从图中可以看出存入的本金是100元。

……………………………………………（2分） 一年后的本息和是102.25元。

………………………………………………………（3分） （2）设y 与x 之间的函数关系式为：y ＝100·n ％x ＋100 …………………………（4分） 把（1，102.25）代入上式，得 n ＝2.25∴y ＝2.25x ＋100 ……………………………………………………………（5分） 当x ＝2时，y ＝2.25×2＋100＝104.5（元）………………………………………（6分） 24．解：设李师傅的平均速度为x 千米/时，则张师傅的平均速度为（x －20）千米/时。

根据题意，得4004001x 20x－＝－ ………………………………………………………（3分） 去分母，整理，得 2x 20x 80000－－＝12x 100 x 80＝，＝－ ………………………………………………………（4分） 经检验，12x 100 x 80＝，＝－都是所列方程的根，但2x 80＝－不符合题意，舍去。

∴ x ＝100 ………………………………………………………（5分） ∴李师傅的最大时速是：100（1＋10％）＝110 …………………………………（6分） ∴李师傅行驶途中的最大时速在限速范围内，他没有超速违法。

…………………（7分）25.解：（1）当CE ＝4时，四边形ABED 是等腰梯形。

…………1分 理由如下：在BC 上截取CE ＝AD ，连结DE 、AE ， ∵AD ∥BC ，∴四边形AECD 是平行四边形。

……………………2分 ∴AE ＝CD ＝BD 。

∵BE ＝12－4＝8＞4，即BE ＞AD ， ∴AB 不平行于DE ，∴四边形ABED 是梯形。

……………………3分 ∵AE ∥CD ，CD ＝BD ， ∴∠AEB ＝∠C ＝∠DBC 。

在△ABE 和△DEB 中，AE BDAEB DBC BE EB ⎧⎪⎨⎪⎩＝∠＝∠＝∴△ABE ≌△DEB （SAS ）。

∴AB ＝DE ，∴四边形ABED 是等腰梯形。

……………………5分 （也可不作辅助线，通过证明△ABD ≌EDC 而得AB ＝DE ）（2）当C E '＝6时，四边形AB E 'D 是直角梯形。

……………………6分 理由如下：在BC 上取一点E '，使C E '＝B E '＝1BC 2＝6，连结D E '， ∵BD ＝CD ∴D E '⊥BC又∵B E '≠AD ，AD ∥B E '，∴AB 不平行于D E ' …………………………………………7分 ∴四边形AB E 'D 是直角梯形。

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2005年普通高等学校招生全国统一考试数学及详细解析(江苏卷)

2005年普通高等学校招生全国统一考试数学及详细解析(江苏卷)

2005年普通高等学校招生全国统一考试数学（江苏卷）第一卷（选择题共60分）参考公式：三角函数的和差化积公式sin sin 2sin cos sin sin 2cos sin 2222cos cos 2cos cos cos cos 2sin sin 2222αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+-+-+=-=+-+-+=-=-若事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则它在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()(1)k k n k n n P k C p p -=-一组数据12,,,n x x x 的方差2222121()()()n S x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎣⎦ 其中x 为这组数据的平均数值一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的。

（1） 设集合A={1,2}，B={1,2,3}，C={2,3,4}，则()A B C ⋂⋃=（A ）{1,2,3} （B ）{1,2,4} （C ）{2,3,4} （D ）{1,2,3,4}（2） 函数123()x y x R -=+∈的反函数的解析表达式为（A ）22log 3y x =- （B ）23log 2x y -= （C ）23log 2x y -= （D ）22log 3y x =- （3） 在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝（A ）33 （B ）72 （C ）84 （D ）189（4） 在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，若AB=2，AA 1=1则点A 到平面A 1BC 的距离为（A）4 （B）2 （C）4（D（5） △ABC 中，,3,3A BC π==则△ABC 的周长为 （A）)33B π++ （B）)36B π++ （C ）6sin()33B π++ （D ）6sin()36B π++（6） 抛物线y=4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是（A ）1716 （B ）1516 （C ）78（D ）0 （7） 在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4 8.4 9.4 9.9 9.6 9.4 9.7去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（A ）9.4, 0.484 （B ）9.4, 0.016 （C ）9.5, 0.04 （D ）9.5, 0.016（8） 设,,αβγ为两两不重合的平面，l ,m ,n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若,,αγβγ⊥⊥则α∥β；②若,,m n m αα⊂⊂∥,n β∥,β则α∥β；③若α∥,,l βα⊂则l ∥β；④若,,,l m n l αββγγα⋂=⋂=⋂=∥,γ则m ∥n .其中真命题的个数是（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（9） 设k=1,2,3,4,5,则（x +2）5的展开式中x k 的系数不可能是（A ）10 （B ）40 （C ）50 （D ）80（10） 若1sin(),63πα-=则2cos(2)3πα+= （A ）79- （B ）13- （C ）13 （D ）79 （11） 点P （-3,1）在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左准线上.过点P 且方向为a =(2,-5)的光线，经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（A ）3 （B ）13 (C)2 （D ）12（12） 四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为（A ）96 （B ）48 （C ）24 （D ）0参考答案：DACBD CDBCA AB第二卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。

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2005年全国高中数学联赛试题(二)及参考答案

2005年全国高中数学联赛试题(二)及参考答案

2005年全国高中数学联赛试题（二）及参考答案一、（本题满分50分） 如图，在△ABC 中，设AB>AC ，过A 作△ABC 的外接圆的切线l ，又以A 为圆心，AC 为半径作圆分别交线段AB 于D ；交直线l 于E 、F 。

证明：直线DE 、DF 分别通过△ABC 的内心与一个旁心。

（注：与三角形的一边及另两边的延长线均相切的圆称为三角形的旁切圆，旁切圆的圆心称为旁心。

） 证明：（1）先证DE 过△ABC 的内心。

如图，连DE 、DC ，作∠BAC 的平分线分别交DC 于G 、DE 于I ，连IC ，则由AD=AC ， 得，AG ⊥DC ，ID=IC. 又D 、C 、E 在⊙A 上， ∴∠IAC=21∠DAC=∠IEC ，∴A 、I 、C 、E 四点共圆， ∴∠CIE=∠CAE=∠ABC ，而∠CIE=2∠ICD ， ∴∠ICD=21∠ABC.∴∠AIC=∠IGC+∠ICG=90°+21∠ABC ，∴∠ACI=21∠ACB ，∴I 为△ABC 的内心。

（2）再证DF 过△ABC 的一个旁心.连FD 并延长交∠ABC 的外角平分线于I 1，连II 1、B I 1、B I ，由（1）知，I 为内心， ∴∠IBI 1=90°=∠EDI 1，∴D 、B 、l 1、I 四点共圆， ∵∠BI l 1 =∠BDI 1=90°－∠ADI 1=（21∠BAC+∠ADG ）－∠ADI=21∠BAC+∠IDG ，∴A 、I 、I 1共线. I 1是△ABC 的BC 边外的旁心二、（本题满分50分）设正数a 、b 、c 、x 、y 、z 满足.;,c ay bx b cx az a bz cy =+=+=+求函数zz y y x x z y x f +++++=111),,(222的最小值. 解：由条件得，0)()()(=-+--++-+a bz cy a c ay bx c b cx az b ，即02222=--+c b a bcx ，bca cb x 2222-+=∴，同理，得.2,2222222ab c b a z ac b c a y -+=-+=a 、b 、c 、x 、y 、z 为正数，据以上三式知，222222222,,c b a b c a a c b >+>+>+，故以a 、b 、c 为边长，可构成一个锐角三角形ABC ，C z B y A x cos ,cos ,cos ===∴，问题转化为：在锐角△ABC 中，求函数A f (cos 、B cos 、C cos ）=CCB B A A cos 1cos cos 1cos cos 1cos 222+++++的最小值.令,cot ,cot ,cot C w B v A u ===则,1,,,=++∈+wu vw uv R w v u且).)((1),)((1),)((1222w v w u w w v v u v w u v u u ++=+++=+++=+1)1()1(1111cos 1cos 2222222222+-+=+++=+++=+∴u u u u u u u u u u u u AA),11(2))((13232232w u v u u u w u v u u u u u u +++-≥++-+-=同理，).11(2cos 1cos ),11(2cos 1cos 322322wv w u w w C C w u v u v v B B +++-≥++++-≥+)[(21)(2122222333333222v uv u w v u w u w u w v w v v u v u w v u f +--++=++++++++-++≥∴+.21)(21)]()(2222=++=+-++-uw vw uv w uw u w vw v （取等号当且仅当w v u ==，此时，.21)],,([),21,min ======z y x f z y x c b a三、（本题满分50分）对每个正整数n ，定义函数⎪⎩⎪⎨⎧=.]}{1[,0)(不为平方数当为平方数当n n n n f（其中[x ]表示不超过x 的最大整数，]).[}{x x x -= 试求：∑=2401)(k k f 的值.解：对任意*,N k a ∈，若22)1(+<<k a k ，则k k a 212≤-≤，设,10,<<+=θθk a则].2[]}{1[,12211}{12222k a ka k a k k a k k a k a ka a -=∴+-<-+=-+=-==θθ让a 跑遍区间22)1(,(+k k ）中的所有整数，则∑∑+<<==22)1(21],2[]}{1[k a k ki i ka于是∑∑∑+====2)1(1121]2[)(n a n i ki ik a f ……①下面计算∑=ki ik21],2[画一张2k×2k 的表，第i 行中，凡是i 行中的位数处填写“*”号，则这行的“*”号共]2[i k 个，全表的“*”号共∑=ki i k21]2[个；另一方面，按列收集“*”号数，第j 列中，若j 有T （j ）个正因数，则该列使有T （j ）个“*”号，故全表的“*”号个数共∑=kj j T 21)(个，因此∑=ki i k21]2[=∑=kj j T 21)(. 示例如下：则)]2()12([)]4()3()[1()]2()1([)()(1121n T n T T T n T T n j T a f ni ni kj +-+++-++==∑∑∑===……②由此，∑∑==+--=1512561)]()12()[16()(k k k T k T k k f ……③记,15,,2,1),2()12( =+-=k k T k T a k 易得k a 的取值情况如下：因此，∑∑===-=151161783)16()(k kk ak k f n……④据定义0)16()256(2==f f ，又当)3016(15},255,,242,241{2≤≤+=∈r rk k 设 ，301515311515151515222rr r r r rr k <++<⋅++=-+=-，231}15{13012<<+<≤r r r ，则}255,,242,241{,1]}{1[∈=k k ……⑤从则.76815783)(783)(25612401=-=-=∑∑==i i k f k f。

2005年全国高中数学联赛试题及解答

2005年全国高中数学联赛试题及解答


1 1 0 4 + 2+ 3+ 4 7 7 7 7
D．
1 1 0 3 + 2+ 3+ 4 7 7 7 7
ak p 表示 k 位 p 进制数，将集合 M 中的每个数乘以 7 4 ，得
M = a1 73 + a2 72 + a3 7 + a4 | ai T , i = 1,2,3,4 = a1a2 a3a4 7 | ai T , i = 1,2,3,4 ．
DA2 = DA = AB + BC + CD
2
(
)
2
= AB 2 + BC 2 + CD 2 + 2 AB BC + BC CD + CD AB
(
)
= AB 2 − BC 2 + CD 2 + 2 BC + AB BC + BC CD + CD AB
(
2
)
= AB2 − BC 2 + CD2 + 2 AB + BC BC + CD ，即 2 AC BD = AD 2 + BC 2 − AB 2 − CD 2 = 0, AC BD 只有
(sin 2 − sin 3) − (cos 2 − cos 3) = 2 2 sin −

2

2− 3 2 + 3 3 3 2+ 3 2− 3 0， ， + ． 0 ，∴ sin 2 2 2 4 4 2 4 2 2+ 3 + ) 0 ，∴ ()式 0. 2 4
5 +1 ． 6 解：由题设知， f ( x) 和式中的各项构成首项为 1，公比为 − x 的等比数列，由等比数列的求和公式，得：