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高一数学函数和不等式中恒成立问题的教案

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函数和不等式结的恒成立问题的解法
“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，
其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。另
一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形
结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、
创造性都有着独到的作用恒成立问题的基本类型：
一、判别式法
若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次

函数),0()(2Rxacbxaxxf,有

1）0)(xf对Rx恒成立00a;

2）0)(xf对Rx恒成立.00a
例1：若不等式02)1()1(2xmxm的解集是R，求m的范围。

例2 设函数f(x)＝mx2-mx-1．
(1)若对于一切实数x，f(x)＜0恒成立，求m的取值范围；
(2)对于x∈[1,3]，f(x)＜－m＋5恒成立，求m的取值范围

二、最值法
将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：

1）axf)(恒成立min)(xfa

2）axf)(恒成立max)(xfa

例1、若2,2x时，不等式23xaxa恒成立，求a的取值范围。
例2．设22)(2mxxxf，当),1[x时，mxf)(恒成立，求实数m的取
值范围。

巩固．已知函数),1[,2)(2xxaxxxf，若对任意),1[x，0)(xf恒成
立，求实数a的取值范围。

练习2 已知aaxxxf3)(2，若2)(],2,2[xfx恒成立，求a的取值范围.
三、分离变量法
若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为
求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，
操作性更强。一般地有：

1）为参数）aagxf)(()(恒成立max)()(xfag

2）为参数）aagxf)(()(恒成立max)()(xfag
例3．已知,1x时，不等式21240xxaa恒成立，求a的取值范围。

巩固 已知函数]4,0(,4)(2xxxaxxf时0)(xf恒成立，求实数a的取值范
围。

注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。
四、变换主元法
处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换
位”思考，往往会使问题降次、简化。

2
2210[0,1]xmxmxxm练习1：若不等式对满足

的所有实数都成立，求的取值范围。
例1．对任意]1,1[a，不等式024)4(2axax恒成立，求x的取值范围。
2. 若不等式2211xmx对满足2m的所有m都成立，求x的取值范围。

四、数形结合法
数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，这充分说明了数形
结合思想的妙处，在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。我们知道，函数图象和
不等式有着密切的联系：
1）)()(xgxf函数)(xf图象恒在函数)(xg图象上方；
2）)()(xgxf函数)(xf图象恒在函数)(xg图象下上方。

例.设xxxf4)(2 , axxg134)(,若恒有)()(xgxf成立,求实数
a
的取值范围.
例2 已知函数|54|)(2xxxf，若在区间]5,1[上，kkxy3的图象位于函数f(x)
的上方，求k的取值范围.

练习 已知函数|54|)(2xxxf，若在区间]5,1[上，2)3(xky的图象位于函数
f(x)的上方，求k
的取值范围

由此可以看出，对于参数不能单独放在一侧的，可以利用函数图象来解。利用函
数图象解题时，思路是从边界处（从相等处）开始形成的。
综合练习;

例6
已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且f(1)=1,若

0)()(0],1,1[,nmnfmfnmnm时
，若12)(2attxf对于所有的

]1,1[],1,1[ax
恒成立，求实数t的取值范围.
课后作业:
若不等式|1||2|xxa…对任意xR恒成立，则a的取值范围是．

已知函数f(x)=1/a-1/x(a>0,x>0)
(1)若f(x)在[m,n]上的值域是[m,n],求a的取值范围,并求相应的m,n的值
(2)若f(x)≤2x在(0,+无穷大)上恒成立,求a的取值范围

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高考数学复习：导数与不等式恒成立(能成立)问题 课件

高考数学复习：导数与不等式恒成立(能成立)问题 课件


恒(能)成立问题的转化策略：若 f(x)在区间 D 上有最值，则(1) 恒成立：∀x∈D，f(x)>0 ⇔f(x)min>0；∀x∈D，f(x)<0⇔f(x)max<0.
(2) 能成立：∃x∈D，f(x)>0⇔f(x)max>0；∃x∈D，f(x)<0⇔f(x)min<0.
若对任意 x∈(0，＋∞)，不等式 2xln x≥－x2＋ax－3 恒成立，求实数 a 的取 值范围．
③当 a＝12时，h(x)≥0，f′(x)≤0，f(x)单调递减． ④当 a＜0 时，1a－1＜0.当 x∈(0,1)时，h(x)＞0，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当 x∈(1， ＋∞)时，h(x)＜0，f′(x)＞0，f(x)单调递增． 综上，当 a≤0 时，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增；当 a＝12时，f(x) 在(0，＋∞)上单调递减；当 a∈0，12时，f(x)在(0,1)上单调递减，在1，1a－1上单调递 增，在1a－1，＋∞上单调递减．
【解答】 (1) 由题知 f′(x)＝－ax2＋xx－2 1－a， 令 h(x)＝ax2－x＋1－a(x＞0)． ①当 a＝0 时，h(x)＝1－x(x＞0)，当 x(0,1)时，h(x)＞0，f′(x)＜0，f(x)单调递减； 当 x∈(1，＋∞)时，h(x)＜0，f′(x)＞0，f(x)单调递增．当 a≠0 时，由 f′(x)＝0，得 x1 ＝1，x2＝1a－1. ②当 0＜a＜12时，1a－1＞1＞0，当 x∈(0,1)时，h(x)＞0，f′(x)＜0，f(x)单调递减； 当 x∈1，1a－1时，h(x)＜0，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当 x∈1a－1，＋∞时，h(x)＞0， f′(x)＜0，f(x)单调递减．
函数与不等式中的恒成立问题 通用精品课件

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人，活着其实很累，在公司，上有可能需要讨好领导，下还需要和同事打好关系，回家需要处理好家庭的关系，交际需要维护好朋友自己的友谊，一不小心就有可能会各种质疑的话语，让我们心里、身体上背负着更重的压力。
也许经常有这样的场景，喧嚣的闹市，聚会上，热闹非凡，尽情的喝着酒，各种嘈杂，殊不知在心里巴不得这聚会早点结束就好，想着明天还要早起上班，想着家里的妻儿还在幽幽的盼着，而你自己也根本就不喜欢这样的场合，偶尔还可以，时间长了，你已经不知该怎样去选择。年纪越大，时间越来越少，身体越来越没以前那么能抗，而自己明白的事情却越来越迷茫，入夜时分，站在这个城市的中央，越来越觉得生活的选择已经不由的我们自己来做主，只剩下了莫名的伤感。
2
2
B. 0 a 2
D. 3 a 1
2
2
[解析] 由( x a)(1 x a) 1得 :
a2 a 1 x2 x.
(x2

x)min


1 4
,
故a2 a 1 1 ,即 1 a 3 ,
42
2
故选C.
恒成立问题处理方法
1、应用函数思想 ，变为a<f(X)的问题形式， 并转而求f(X)最值
[答案] C
恒成立问题处理方法
2、应用不等式思想 ，通过构造不等式来解决
[链接高考]
[例1] (2005年辽宁高考题)在R上定义 运算 : x y x(1 y), 若不等式( x a) ( x a) 1对任意实数x成立, 则 ( )
A. 1 a 1
C. 1 a 3
(1) 求f ( x)的单调区间和极大值； (2) 证明对任意x1, x2 (1,1), 不等 式 f ( x1 ) f ( x2 ) 4恒成立.
第5节 第1课时利用导数研究恒(能)成立问题--2025高中数学一轮复习课件基础版(新高考新教材)

第5节 第1课时利用导数研究恒(能)成立问题--2025高中数学一轮复习课件基础版(新高考新教材)

1
1
当 0<x<e2 时,g'(x)>0,g(x)单调递增;当e2 <x≤e 时,g'(x)<0,g(x)单调递减,
1
所以 g(x)的极大值亦即最大值为 g(e2 )=e2,
因此 a≤e2,故实数 a 的取值范围是(-∞,e2].
例2(2024·福建泉州模拟)已知函数f(x)=-2x+ln x,g(x)=xex-3x-m.
令 f'(x)>0,解得
1
x>2.所以
1
0<x<2,
1
1
f(x)在(0,2)内单调递减,在(2,+∞)内单调递增.
综上所述,当 a≤0 时,f(x)的单调递减区间为(0,+∞),无单调递增区间;
当 a>0
1
1
时,f(x)的单调递减区间为(0,2),单调递增区间为(2,+∞).
1
1
(2)当 a>0 时,由(1)可知 f(x)在(0,2)内单调递减,在(2,+∞)内单调递增,
(2)如果f(x)有最大值g(a),则f(x) <0恒成立⇔g(a)<0,f(x)≤0恒成立⇔g(a)≤0.
[对点训练3](2024·湖北荆门模拟)设函数f(x)=ex-ax,x≥0且a∈R.
(1)求函数f(x)的单调性;
(2)若不等式f(x)≥x2+1恒成立,求实数a的取值范围.
解 (1)f'(x)=ex-a,x≥0.
(1)求函数f(x)的极值点;
(2)若f(x)≤g(x)恒成立,求实数m的取值范围.
解 (1)函数 f(x)的定义域为(0,+∞),且
专题一单双变量不等式恒(能)成立问题课件-高一数学人教版(2019)必修第一册

专题一单双变量不等式恒(能)成立问题课件-高一数学人教版(2019)必修第一册

【解析】构造二次函数 = 2 ＋＋ ( ≠ 0) ，
图①
2 ＋＋ > 0 ( ≠ 0)在R上恒成立
(1)
如图①，一元二次不等式
2
注：当不等式 ＋＋ > 0未说明为一元二次不等式时，
⟺一元二次不等式 2 ＋＋ > 0 ( ≠ 0)的解集是R
对任意实数恒成立问题，应分情况讨论：
2
⟺二次函数 ==
= ＋＋ ( ≠ 0) 的图像恒在x轴上方
当 = 时，
>
⟺a>0且Δ<0 >

当 ≠ 时，
2 ＋＋ < 0 ( ≠ 0)在R上恒成立
∆<
(2) 如图②，一元二次不等式
⟺一元二次不等式 2 ＋＋ < 0 ( ≠ 0)的解集是R
函数 = +
1
在[ , 2]上单调递增，故()
2
= 1 =1+
函数 = − 2 − 3在[1,2]上单调递减，故() = 1 = −4
所以1 + ≥ −4
综上，所求的取值范围为{|�� ≥ −5}
练习
4

练习 设 = − − ， = + 1
，
故() = 2 = −4
函数 = + 1
2
+ 在(−∞, −1]上单调递减，在[−1, +∞)上单
调递增，故() = −1 =
所以−4 ≥
活学活用
例题2 已知函数 1 = 12 , 2 = −22 − ，若∀1 ∈ | − 1 ≤ < 1 ,

≤ ()恒成立⟺ ≤

课堂小结
二、双变量恒成立主要学习了双参数不等式问题的求解方法：