1991年全国高考理科试题

1991年全国统一高考数学试卷（湖南、云南、海南）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（3分）（1991•云南）sin15°cos30°sin75°的值等于（ ） A ． B ．C ．D ．2．（3分）（1991•云南）已知一个等差数列的第5项等于10，前3项的和等于3，那么（ ） A ． 它的首项是﹣2，公差是3 B ． 它的首项是2，公差是﹣3C ． 它的首项是﹣3，公差是2D ． 它的首项是3，公差是﹣ 23．（3分）（1991•云南）设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为，那么它的体积为（ ） A ． B ． C ． D ． 24．（3分）（1991•云南）在直角坐标系xOy 中，参数方程（其中t 是参数）表示的曲（ ）A ． 双曲线B ． 抛物线C ． 直线D ． 圆 5．（3分）（1991•云南）设全集I 为自然数集N ，E={x 丨x=2n ，n ∈N}，F={x 丨x=4n ，n ∈N}，那么集合N 可以表示成（ ） A ．E ∩F B ． ∁U E ∪F C ． E ∪∁U F D ． ∁U E∩∁U F 6．（3分）（1991•云南）已知Z 1，Z 2是两个给定的复数，且Z 1≠Z 2，它们在复平面上分别对应于点Z 1和点Z 2．如果z 满足方程|z ﹣z 1|﹣|z ﹣z 2|=0，那么z 对应的点Z 的集合是（ ） A ． 双曲线 B ． 线段Z 1Z 2的垂直平分线 C ． 分别过Z 1，Z 2的两条相交直线 D ． 椭圆7．（3分）（1991•云南）设5π＜θ＜6π，cos =a ，那么sin 等于（ ）A ．﹣B ．﹣C ． ﹣D ． ﹣8．（3分）（1991•云南）函数y=sinx ，x的反函数为（ ）A ． y =arcsinx ，x ∈[﹣1，1]B ． y =﹣arcsinx ，x ∈[﹣1，1]C ． y =π+arcsinx ，x ∈[﹣1，1]D ． y =π﹣arcsinx ，x ∈[﹣1，1]9．（3分）（1991•云南）复数z=﹣3（sin ﹣icos ）的辐角的主值是（ ） A ．B ．C ．D ．10．（3分）（1991•云南）满足sin（x﹣）的x的集合是（）A．{}B．{}C．{}D．{x|2kπ}}11．（3分）（1991•云南）点（4，0）关于直线5x+4y+21=0的对称点是（）A．（﹣6，8）B．（﹣8，﹣6）C．（6，8）D．（﹣6，﹣8）12．（3分）（1991•云南）极坐标方程4sin2θ=3表示的曲线是（）A．二条射线B．二条相交直线C．圆D．抛物线13．（3分）（1991•云南）由数字0，1，2，3，4，5组成无重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（）A．210个B．300个C．464个D．600个14．（3分）（1991•云南）如图是周期为2π的三角函数y=f（x）的图象，那么f（x）可以写成（）A．s in（1+x）B．s in（﹣1﹣x）C．s in（x﹣1）D．s in（1﹣x）15．（3分）（1991•云南）设命题甲为lgx2=0；命题乙为x=1．那么（）A．甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件B．甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件16．（3分）（1991•云南）的展开式中常数项是（）A．﹣160 B．﹣20 C．20 D．16017．（3分）（1991•云南）体积相等的正方体、球、等边圆柱（即底面直径与母线相等的圆柱）的全面积分别为S1，S2，S3，那么它们的大小关系为（）A．S1＜S2＜S3B．S1＜S3＜S2C．S2＜S3＜S1D．S2＜S1＜S318．（3分）（1991•云南）曲线2y2+3x+3=0与曲线x2+y2﹣4x﹣5=0的公共点的个数是（）A．4B．3C．2D．1二、填空题：把答案填在题中的横线上.19．（3分）（1991•云南）椭圆9x2+16y2=144的离心率为_________．20．（3分）（1991•云南）设复数z1=2﹣i，z2=1﹣3i，则复数的虚部等于_________．21．（3分）（1991•云南）已知圆台的上、下底面半径分别为r、2r，侧面积等于上、下底面积之和，则圆台的高为_________．22．（3分）（1991•云南）=_________．23．（3分）（1991•云南）在体积为V的斜三棱柱ABC﹣A′B′C′中，已知S是侧棱CC′上的一点，过点S，A，B的截面截得的三棱锥的体积为V1，那么过点S，A′，B′的截面截得的三棱锥的体积为_________．24．（3分）（1991•云南）设函数f（x）=x2+x+的定义域是{n，n+1}（n是自然数），那么在f（x）的值域中共有_________个整数．三、解答题.25．（1991•云南）已知α，β为锐角，cosα=，tan（α﹣β）=，求cosβ的值．26．（1991•云南）解不等式：．27．（1991•云南）如图：已知直棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，AA1=，M是CC1的中点．求证：AB1⊥A1M．28．（1991•云南）设{a n}是等差数列，a1=1，S n是它的前n项和；{b n}是等比数列，其公比的绝对值小于1，T n是它的前n项和，如果a3=b2，S5=2T2﹣6，，{a n}，{b n}的通项公式．29．（1991•云南）已知双曲线C的实半轴长与虚半轴的乘积为，C的两个焦点分别为F1，F2，直线l过F2且与直线F1F2的夹角为tanψ=，l与线段F1F2的垂直平分线的交点是P，线段PF2与双曲线C的交点为Q，且|PQ|：|QF2|=2：1．求双曲线C的方程．30．（1991•云南）已知函数．（Ⅰ）证明：f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数；（Ⅱ）证明：对于任意不小于3的自然数n，都有f（n）＞．1991年全国统一高考数学试卷（湖南、云南、海南）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（3分）（1991•云南）sin15°cos30°sin75°的值等于（ ） A ． B ． C ． D ．考点： 二倍角的正弦．专题： 计算题；三角函数的求值．分析： 利用诱导公式与二倍角的正弦即可求得答案． 解答：解：∵sin15°cos30°sin75° =sin15°cos15°cos30° =sin30°cos30° =sin60° =×=．故选B ．点评：本题考查诱导公式与二倍角的正弦，属于中档题．2．（3分）（1991•云南）已知一个等差数列的第5项等于10，前3项的和等于3，那么（ ） A ． 它的首项是﹣2，公差是3 B ． 它的首项是2，公差是﹣3 C ． 它的首项是﹣3，公差是2 D ． 它的首项是3，公差是﹣2考点： 等差数列的通项公式；等差数列的前n 项和． 专题： 等差数列与等比数列． 分析： 设等差数列的首项为a 1，公差为d ，由题意可建立关于a 1和d 的方程组，解之即可． 解答： 解：设等差数列的首项为a 1，公差为d ，由等差数列的求和公式可得，解得，故选A点评： 本题考查等差数列的通项公式和求和运算，属基础题．3．（3分）（1991•云南）设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为，那么它的体积为（ ）A ．B ．C ．D ． 2考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：由已知中正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为，结合正六边形面积的求法，及正六棱锥侧棱长、高、对角线的一半构成直角三角形，满足勾股定理，我们可以分别求出其底面积和高，代入棱椎体积公式，即可得到答案解答：解：∵正六棱锥的底面边长为1，则S=6•=底面积又∵侧棱长为则棱锥的高h==2故棱锥的体积V=×S×h=××2=底面积故选C点评：本题考查的知识点是棱锥的体积公式，其中根据已知条件计算出棱锥的底面积和高是解答本题的关键．4．（3分）（1991•云南）在直角坐标系xOy中，参数方程（其中t是参数）表示的曲（）A．双曲线B．抛物线C．直线D．圆考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：判断此曲线的类型可以将参数方程化为普通方程，再依据变通方程的形式判断此曲线的类型，由此参数方程的形式，可采用代入法消元的方式将其转化为普通方程．解答：解：由题意，由（1）得2t=x﹣1代入（2）得2y=（x﹣1）2﹣2，即y=（x﹣1）2﹣1，其对应的图形是一条抛物线．故选B．点评：本题考查直线的参数方程，解题的关键是掌握参数方程转化为普通方程的方法代入法消元，本题易因为忘记判断出x，y的取值范围而误判此曲线为直线，好在选项中没有这样的干扰项，使得本题的出错率大大降低．5．（3分）（1991•云南）设全集I为自然数集N，E={x丨x=2n，n∈N}，F={x丨x=4n，n∈N}，那么集合N可以表示成（）A．E∩F B．∁U E∪F C．E∪∁U F D．∁U E∩∁U F考点：子集与交集、并集运算的转换．专题：计算题．分析：根据已知条件，对四个选项一一进行验证，看它们运算的结果是否是自然数集N，即可得出答案．解答：解：∵E={x丨x=2n，n∈N}，F={x丨x=4n，n∈N}，对于选项A：E∩F=F，不合．B：∁U E∪F={x|x=2n+1，n∈N}∪F，其中不能含有元素2，故不合题意；C：E∪∁U F=N，正确；D：∁U E∩∁U F=∁U（E∪F）={x|x=2n+1，n∈N}≠N，故不合题意．故选C ．点评： 本题主要考查了子集与交集、并集运算的转换，考查了自然数集N 的概念，属于基础题．6．（3分）（1991•云南）已知Z 1，Z 2是两个给定的复数，且Z 1≠Z 2，它们在复平面上分别对应于点Z 1和点Z 2．如果z 满足方程|z ﹣z 1|﹣|z ﹣z 2|=0，那么z 对应的点Z 的集合是（ ） A ． 双曲线 B ． 线段Z 1Z 2的垂直平分线C ． 分别过Z 1，Z 2的两条相交直线D ． 椭圆考点： 复数求模． 专题： 计算题．分析： 利用复数z 的几何意义可知|z ﹣z 1|﹣|z ﹣z 2|=0中z 对应的点Z 的集合． 解答： 解：∵|z ﹣z 1|﹣|z ﹣z 2|=0，∴|z ﹣z 1|=|z ﹣z 2|，又复数z 1，z 2在复平面上分别对应于点Z 1和点Z 2， ∴z 对应的点Z 到点Z 1和点Z 2的距离相等， ∴点Z 为线段Z 1Z 2的垂直平分线． 故选B ．点评： 本题考查复数z 的几何意义，考查理解与转化能力，属于中档题．7．（3分）（1991•云南）设5π＜θ＜6π，cos =a ，那么sin 等于（ ）A ．﹣B ． ﹣C ． ﹣D ． ﹣考点： 二倍角的余弦．专题： 计算题；三角函数的求值． 分析： 5π＜θ＜6π⇒∈（，3π）⇒∈（，），由cos=a 即可求得sin．解答：解：∵5π＜θ＜6π ∴∈（，3π），∈（，），又cos=a ，∴sin =﹣=﹣．故选D ．点评：本题考查二倍角的正弦与余弦，考查平方关系的应用，考查运算能力，属于中档题．8．（3分）（1991•云南）函数y=sinx ，x的反函数为（ ）A ． y =arcsinx ，x ∈[﹣1，1]B ． y =﹣arcsinx ，x ∈[﹣1，1]C ． y =π+arcsinx ，x ∈[﹣1，1]D ． y =π﹣arcsinx ，x ∈[﹣1，1]考点： 反三角函数的运用．专题：三角函数的求值．分析：由于x时，﹣1≤sinx≤1，而arcsinx，x∈[﹣1，1]，表示在区间[﹣，]上，正弦值等于x的一个角，从而得到函数y=sinx，x的反函数．解答：解：由于x时，﹣1≤sinx≤1，而arcsinx，x∈[﹣1，1]，表示在区间[﹣，]上，正弦值等于x的一个角，故函数y=sinx，x的反函数为y=π﹣arcsinx，x∈[﹣1，1]，故选D．点评：本题主要考查反正弦函数的定义，求一个函数的反函数，属于中档题．9．（3分）（1991•云南）复数z=﹣3（sin﹣icos）的辐角的主值是（）A．B．C．D．考点：复数的基本概念．专题：计算题．分析：利用诱导公式即可得出．解答：解：===．∴argZ=．故选C．点评：熟练掌握诱导公式和辐角主值的意义即可得出．10．（3分）（1991•云南）满足sin（x﹣）的x的集合是（）A．{}B．{}C．{}D．{x|2kπ}}考点：正弦函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：由sin（x﹣），结合正弦函数的单调性可得2kπ+≤x﹣≤2kπ+，k∈z，由此求得满足sin（x﹣）的x的集合．解答：解：由sin（x﹣），结合正弦函数的单调性可得2kπ+≤x﹣≤2kπ+，k∈z．解得，故选A．点评：本题主要考查正弦函数的图象和性质，三角不等式的解法，属于中档题．11．（3分）（1991•云南）点（4，0）关于直线5x+4y+21=0的对称点是（）A．（﹣6，8）B．（﹣8，﹣6）C．（6，8）D．（﹣6，﹣8）考点：与直线关于点、直线对称的直线方程．专题：直线与圆．分析：设出对称点的坐标，利用对称点的连线被对称轴垂直平分，建立方程组，即可求得结论．解答：解：设点M的坐标为（a，b），则∴a=﹣6，b=﹣8∴M（﹣6，﹣8），故选D．点评：本题考查直线中的对称问题，考查学生的计算能力，属于基础题．12．（3分）（1991•云南）极坐标方程4sin2θ=3表示的曲线是（）A．二条射线B．二条相交直线C．圆D．抛物线考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题．分析：根据极坐标方程4sin2θ=3可知4ρ2sin2θ=3ρ2，然后根据y=ρsinθ，x=ρcosθ可得其直角坐标方程，即可得到答案．解答：解：∵4sin2θ=3∴4ρ2sin2θ=3ρ2则4y2=x2+y2，∴x=y或x=﹣y，则极坐标方程4sin2θ=3表示的图形是两条直线．故选B．点评：本题主要考查了简单曲线的极坐标方程，以及极坐标方程与直角坐标方程的互化，属于基础题．13．（3分）（1991•云南）由数字0，1，2，3，4，5组成无重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（）A．210个B．300个C．464个D．600个考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题．分析：由题意知本题是一个分类计数问题，由题意知个位数字小于十位数字，个位数字只能是0，1，2，3，4共5种类型，每一种类型分别有A55个、A41A31A33个、A31A31A33个、A21A31A33个、A31A33个，根据分类计数原理得到结果．解答：解：由题意知本题是一个分类计数问题∵由题意知个位数字小于十位数字，∴个位数字只能是0，1，2，3，4共5种类型，每一种类型分别有A55个、A41A31A33个、A31A31A33个、A21A31A33个、A31A33个，∴共有A55+A41A31A33+A31A31A33+A21A31A33+A31A33=300，故选B．点评：本题考查排列组合及分类计数原理，是一个数字问题，这种问题比较容易出错，解题时要做到不重不漏，有些题目带有一定的约束条件，解题时要先考虑有限制条件的元素．14．（3分）（1991•云南）如图是周期为2π的三角函数y=f（x）的图象，那么f（x）可以写成（）A．s in（1+x）B．s in（﹣1﹣x）C．s in（x﹣1）D．s in（1﹣x）考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题．分析：由题意知，f（x）=sin（x+φ），利用1+φ=π+2kπ，k∈Z，求得φ，即可求得答案．解答：解：依题意，f（x）=sin（x+φ），∵函数y=f（x）经过（1，0），∴1+φ=π+2kπ，k∈Z，∴φ=π+2kπ﹣1，k∈Z，∴f（x）=sin（x+π+2kπ﹣1）=sin（π+x﹣1）=﹣sin（x﹣1）=sin（1﹣x），故选D．点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，求得φ是关键，考查诱导公式与运算能力，属于中档题．15．（3分）（1991•云南）设命题甲为lgx2=0；命题乙为x=1．那么（）A．甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件B．甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：探究型．分析：利用充分条件和必要条件的定义判断．解答：解：由lgx2=0，的x2=1，所以x=1或x=﹣1，所以甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件．故选B．点评：本题主要考查充分条件和必要条件关系的判断．16．（3分）（1991•云南）的展开式中常数项是（）A．﹣160 B．﹣20 C．20 D．160考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为0，求出r，进而求出展开式的常数项．解答：解：展开式的通项为T r+1=（﹣2）r C6r x3﹣r令3﹣r=0得r=3所以展开式的常数项为（﹣2）3C63=﹣160故选A点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．17．（3分）（1991•云南）体积相等的正方体、球、等边圆柱（即底面直径与母线相等的圆柱）的全面积分别为S1，S2，S3，那么它们的大小关系为（）A．S1＜S2＜S3B．S1＜S3＜S2C．S2＜S3＜S1D．S2＜S1＜S3考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．专题：空间位置关系与距离．分析：由题意求出正方体，球，及圆柱的体积，通过相等即可得到棱长，球半径，及圆柱半径和母线长，求出三者的表面积即可得到大小关系．解答：解：设球的半径为R，正方体的棱长为a，圆柱的底面半径是r，所以球的体积为：πR3，正方体的体积为：a3，圆柱的体积为：2πr3；故a3=πR3=2πr3且球的表面积为：4πR2，正方体的表面积为：6a2，圆柱的表面积为：6πr2；因为S2﹣S1=4πR2﹣6a2=4πR2﹣6×（πR3）=4πR2﹣6×（π）R2＜0．∴S2＜S1同样地，S2＜S3＜S1故选C．点评：本题是基础题，考查正方体、球、圆柱的表面积体积的关系，考查计算能力．18．（3分）（1991•云南）曲线2y2+3x+3=0与曲线x2+y2﹣4x﹣5=0的公共点的个数是（）A．4B．3C．2D．1考点：曲线与方程．专题：计算题；直线与圆．分析：将两个曲线方程联解，消去y得得2x2﹣11x﹣13=0，解之得x=﹣1或x=．再将x的回代到方程中，解之可得只有x=﹣1、y=0符合题意．由此即可得到两个曲线有唯一的公共点，得到答案．解答：解：由消去y2，得2x2﹣11x﹣13=0解之得x=﹣1或x=当x=﹣1，代入第一个方程，得y=0；当x=时，代入第一个方程得2y2++3=0，没有实数解因此，两个曲线有唯一的公共点（﹣1，0）故选：D点评：本题求两个已知曲线公共点的个数，着重考查了曲线与方程、二元方程组的解法等知识，属于基础题．二、填空题：把答案填在题中的横线上.19．（3分）（1991•云南）椭圆9x2+16y2=144的离心率为．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用椭圆的标准方程和离心率计算公式即可得出．解答：解：由椭圆9x2+16y2=144化为，∴a2=16，b2=9．∴=．故答案为．点评：熟练掌握椭圆的标准方程和离心率计算公式是解题的关键．20．（3分）（1991•云南）设复数z1=2﹣i，z2=1﹣3i，则复数的虚部等于1．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：利用复数的运算性质将+转化为a+bi（a，b∈R）的形式，即可求得答案．解答：解：∵z1=2﹣i，∴=2+i，∴===﹣+i；又z2=1﹣3i，∴=1+3i，∴=+i；∴+=i，∴+的虚部等于1．故答案为：1．点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，属于中档题．21．（3分）（1991•云南）已知圆台的上、下底面半径分别为r、2r，侧面积等于上、下底面积之和，则圆台的高为．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：空间位置关系与距离．分析：求出圆台的上底面面积，下底面面积，写出侧面积表达式，利用侧面面积等于两底面面积之和，求出圆台的母线长，最后根据解直角三角形求出它的高即可．解答：解：设圆台的母线长为l，则圆台的上底面面积为S上=π•r2=r2π圆台的下底面面积为S下=π•（2r）2=4r2π所以圆台的两底面面积之和为S=S上+S下=5r2π又圆台的侧面积S侧=π（r+2r）l=3πrl于是5r2π=3πrl即l=，圆台的高为h==，故答案为：．点评：本题考查旋转体（圆柱、圆锥、圆台），棱柱、棱锥、棱台的高，考查计算能力，是基础题．22．（3分）（1991•云南）=0．考点：极限及其运算．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：把分式的分子分母同时除以n•3n，然后取极限值即可得到答案．解答：解：==．故答案为0．点评：本题考查数列的极限，解答的关键是消去趋于无穷大的式子，是基础题．23．（3分）（1991•云南）在体积为V的斜三棱柱ABC﹣A′B′C′中，已知S是侧棱CC′上的一点，过点S，A，B的截面截得的三棱锥的体积为V1，那么过点S，A′，B′的截面截得的三棱锥的体积为．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：我们可设侧棱CC′到侧面ABB′A′的距离为d，根据斜三棱柱ABC﹣A′B′C′的体积等于侧面ABB′A′的面积与d的乘积的一半，再根据同底同高的棱锥体积公式，求出四棱椎S﹣ABB′A′的体积，进而得到答案．解答：解：设侧棱CC′到侧面ABB′A′的距离为d∵斜三棱柱ABC﹣A′B′C′的体积等于侧面ABB′A′的面积与d的乘积的一半，∴V=S ABB'A'•d，又四棱椎S﹣ABB′A′的体积等于S ABB'A'•d=V，则那么过点S，A′，B′的截面截得的三棱锥的体积为等于V﹣V1﹣V=．故答案为：．点评：本题考查的知识点是棱柱的体积，棱锥的体积，考查割补法．属于基础题．24．（3分）（1991•云南）设函数f（x）=x2+x+的定义域是{n，n+1}（n是自然数），那么在f（x）的值域中共有2n+2个整数．考点：二次函数的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：f（x）的对称轴是x=﹣，当n≥1时，f（x）在[n，n+1]上是单调递增的，因为f（n）和f（n+1）都不是整数，故f（x）的值域中的整数个数问题只要计算f（n+1）﹣f（n）即可；n=0时，值域为[f（0），f（1）]．解答：解：当n≥1时，f（x）在[n，n+1]上是单调递增的，f（n+1）﹣f（n）=（n+1）2+（n+1）+﹣n2﹣n﹣=2n+2，故f（x）的值域中的整数个数是2n+2，n=0时，值域为[f（0），f（1）]=[，]，有1，2两个整数．故答案为：2n+2点评：本题考查二次函数的值域问题，对问题的化归转化能力．三、解答题.25．（1991•云南）已知α，β为锐角，cosα=，tan（α﹣β）=，求cosβ的值．考点：两角和与差的正切函数．专题：计算题．分析：依题意，可求得sinα及tanα，利用两角差的正切可求得tanβ，由cosβ=即可求得答案．解答：解：∵α为锐角，cosα=，∴sinα==，∴tanα==．∵tanβ=tan[α﹣（α﹣β）]===，又β是锐角，∴cosβ===．点评：本题考查三角公式、三角函数式的恒等变形和运算能力，属于中档题．26．（1991•云南）解不等式：．考点：其他不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：先移项平方后化成一般形式，再直接利用一元二次不等式的解法，求解即可．解答：解：①当x＜0时，由于等价于5﹣4x﹣x2≥0即有﹣5≤x≤1，故不等式的解集是[﹣5，0）；②当x=0时，由于，显然x=0满足题意；③当x＞0时，由于等价于即有由于故不等式的解集是．综上可知，不等式的解集是．点评：此题考查了一元二次不等式的解法，利用了转化的思想，考查计算能力．27．（1991•云南）如图：已知直棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，AA1=，M是CC1的中点．求证：AB1⊥A1M．考点：直线与平面垂直的性质．专题：证明题．分析：要证，只要A1M⊥AC1，B1C1⊥AC1即证MA1⊥AB1C1，从而可证AB1⊥A1M解答：证明：连接AC1∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，，∴=Rt△A1C1M中，tan∠A1MC1==Rt△AA1C1中，tan∠AC1A1==∴tan∠MA1C1=tan∠AC1A1即∠AC1A1=∠A1MC1∴A1M⊥AC1∵B1C1⊥A1C1，B1C1⊥CC1且AC1∩CC1=C1∴B1C1⊥平面AA1C1且MA1⊂面AA1C1∴B1C1⊥MA1，又AC1∩B1C1是=C1根据线面垂直的判定定理可知MA1⊥平面AB1C1∴AB1⊥A1M点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定定理的应用，线线垂直与线面垂直的相互转化，属于中档试题28．（1991•云南）设{a n}是等差数列，a1=1，S n是它的前n项和；{b n}是等比数列，其公比的绝对值小于1，T n是它的前n项和，如果a3=b2，S5=2T2﹣6，，{a n}，{b n}的通项公式．考点：数列的极限；等差数列的性质；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：则由题意可得，化简可得3b1q=2b1﹣6 ①．再由=②，由①②构成方程组，解方程组求得b1和q的值，可得d的值，从而求得，{a n}，{b n}的通项公式．解答：解：设数列{a n}的公差为d，数列{b n}的公比为q（|q|＜1）．则由题意可得，化简可得3b1q=2b1﹣6 ①．再由=②，由①②构成方程组，解方程组求得，故有d=．∴a n=1+（n﹣1），b n=6•．点评：本小题考查等差数列、等比数列的概念，数列的极限，运用方程（组）解决问题的能力，属于中档题．29．（1991•云南）已知双曲线C的实半轴长与虚半轴的乘积为，C的两个焦点分别为F1，F2，直线l过F2且与直线F1F2的夹角为tanψ=，l与线段F1F2的垂直平分线的交点是P，线段PF2与双曲线C的交点为Q，且|PQ|：|QF2|=2：1．求双曲线C的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：如图，以F1F2所在的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴建立直角坐标系．设双曲线的方程为，可得直线PQ的方程为，得到点P的坐标．由线段的定比分点坐标公式得点Q的坐标，代入双曲线的方程即可得到．又ab=，联立即可得出．解答：解：如图，以F1F2所在的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴建立直角坐标系．设双曲线的方程为，直线PQ的方程为，则P，由线段的定比分点坐标公式得，=．∴．代入双曲线的方程得，整理得，解得，或=．（舍去）．∴．又ab=，∴，a=1．故所求的双曲线方程为．点评：本小题考查利用坐标法研究几何问题的思想，线段的定比分点坐标公式，双曲线的有关知识及综合解题能力．30．（1991•云南）已知函数．（Ⅰ）证明：f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数；（Ⅱ）证明：对于任意不小于3的自然数n，都有f（n）＞．考点：函数单调性的性质；函数单调性的判断与证明．专题：证明题；函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）设x1，x2为任意两个实数，且x1＜x2，而f（x）==1﹣，利用作差证明f（x2）＞f（x1）即可；（Ⅱ）要证f（n）＞（n∈N，n≥3），即要证1﹣，即要证2n﹣1＞2n（n≥3）．用数学归纳法即可证明；解答：（Ⅰ）证明：设x1，x2为任意两个实数，且x1＜x2，f（x）==1﹣，f（x2）﹣f（x1）==，由指数函数性质知，＞0，＞0，∴f（x2）﹣f（x1）＞0，故f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数；（Ⅱ）要证f（n）＞（n∈N，n≥3），即要证1﹣，即要证2n﹣1＞2n（n≥3）．①现用数学归纳法证明①式．（1）当n=3时，左边=23﹣1=7，右边=2×3=6，∴左边＞右边，因而当n=3时①式成立．（2）假设当n=k（k≥3）时①式成立，即有2k﹣1＞2k，那么2k+1﹣1=2•2k﹣1=2（2k﹣1）+1＞2•2k+1=2（k+1）+（2k﹣1），∵k≥3，∴2k﹣1＞0．∴2k+1﹣1＞2（k+1）．这就是说，当n=k+1时①式成立．根据（1）（2）可知，①式对于任意不小于3的自然数n都成立．由此有f（n）＞．（n≥3，n∈N）．点评：本小题考查指数函数，数学归纳法，不等式证明等知识以及综合运用有关知识解决问题的能力．。

1991年全国高考数学（理科 ）试题及其解析考生注意：本试题共三道大题（26个小题），满分120分.一．选择题（共15小题，每小题3分，满分45分. 每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把你认为正确结论的代号写在题后的圆括号内.每一个小题选对得3分，不选或选错一律得0分） （1）已知54sin =α，并且是第二象限的角，那么αtg 的值等于 （ ） （A ）34- （B ）43- （C ）43 （D ）34（2）焦点在（-1，0）顶点在（1，0）的抛物线方程是 （ ）（A ）)1(82+=x y (B))1(82+-=x y (C))1(82-=x y (D))1(82--=x y(3) 函数x x y 44sin cos -=的最小正周期是 （ ） （A ）2π（B ）π （C ）π2 （D ）π4 （4）如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有 （ ） （A ）12对 （B ）24对 （C ）36对 （D ）48对 （5）函数)252sin(π+=x y 的图象的一条对称轴的方程是 （ ） （A ）2π-=x （B ）4π-=x （C ）8π=x （D ）45π=x（6）如果三棱锥S-ABC 的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点S 在底面的射影O 在△ABC 内，那么O 是△ABC 的 （ ） （A ）垂心 （B ）重心 （C ）外心 （D ）内心 （7）已知}{n a 是等比数列，且252,0645342=++>a a a a a a a n ，那么53a a +的值等于 （ ） （A ）5 （B ）10 （C ）15 （D ）20 （8）如果圆锥曲线的极坐标方程为θ-=ρcos 3516，那么它的焦点的极坐标为 （ ）（A ）),6(),0,0(π （B ）)0,3(),0,3(- （C ）)0,3(),0,0( （D ）)0,6(),0,0( （9）从4台甲型和5台乙型电视机中任取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有 （ ） （A ）140种 （B ）84种 （C ）70种 （D ）35种 （10）如果AC ＜0且BC ＜0，那么直线Ax+By+C=0不通过．．． （ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 （11）设甲、乙、丙是三个命题。

1991年全国普通高等学校招生统一考试(上海卷)考生注意：1．全卷共七大题，在120分钟内完成，2．第五、六、七题要求写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写出最后答案，而未写出主要演算过程的，不能得分。

有数字计算的问题，答案中必须明确写出数值和单位。

一、(32分)单项选择题。

每小题4件，每小题只有一个正确答案，把正确答案前面的字母填写在题后的方括号内。

选对的得4分：选错的或不答的，得0分；选了两个或两个以上的，得0分。

填写在方括号外的字母，不作为选出的答案，(1).氡222衰变为钋218的半衰期为3.8天。

充氡222经7.6天后还剩下(A)10克(B)5克(C)2．6克(D)1.25克(2).a、b、c三球自同一高度以相同速率抛出，a球竖直上抛，b球水平抛出，c球竖直下抛。

设三球落地时的速率分别为v a、v b、v C则(A)v a>v b>v C(B)v a=v b>v C(C)v a>v b=v C。

(D)v a=v b=v C(3).一定质量的理想气体处于某一初始状态，现要使它的温度经过状态变化后，回到初始状态的温度，用下列哪个过程可以实现？(A)先保持压强不变而使体积膨胀，接着保持体积不变而减小压强(B)先保持压强不变而使体积减小，接着保持体积不变而减小压强(C)先保持体积不变而增大压强，接着保持压强不变而使体积膨胀(D)先保持体积不变而减小压强，接着保持压强不变而使体积减小(4).质量相同的三个小球a、b、c在光滑水平面上以相同的速率运动，它们分别与原来静止的三个小球A、B、C相碰（a与A相碰，b与B相碰，c与C相碰）。

碰后，a球继续沿原来方向运动；b球静止不动；c球被弹回而向反方向运动。

这时，A、B、C三球中动量最大的是(A)A球(B)B球(C)C球(D)D球(5).图1所示三个点电荷q1、q2、q3固定在一直线上，q2与q3的距离为q1与q2距离的2倍，每个电荷所受的静电力的合力均为零。

1991年全国普通高等学校招生统一考试(上海卷) 考生注意：1．全卷共七大题，在120分钟内完成，2．第五、六、七题要求写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写出最后答案，而未写出主要演算过程的，不能得分。

有数字计算的问题，答案中必须明确写出数值和单位。

一、(32分)单项选择题。

每小题4件，每小题只有一个正确答案，把正确答案前面的字母填写在题后的方括号内。

选对的得4分：选错的或不答的，得0分；选了两个或两个以上的，得0分。

填写在方括号外的字母，不作为选出的答案，(1).氡222衰变为钋218的半衰期为3.8天。

充氡222经7.6天后还剩下(A)10克(B)5克(C)2．6克(D)1.25克(2).a、b、c三球自同一高度以相同速率抛出，a球竖直上抛，b球水平抛出，c球竖直下抛。

设三球落地时的速率分别为v a、v b、v C则(A)v a>v b>v C(B) v a=v b>v C(C) v a>v b=v C。

(D) v a=v b=v C(3).一定质量的理想气体处于某一初始状态，现要使它的温度经过状态变化后，回到初始状态的温度，用下列哪个过程可以实现？(A)先保持压强不变而使体积膨胀，接着保持体积不变而减小压强(B)先保持压强不变而使体积减小，接着保持体积不变而减小压强(C)先保持体积不变而增大压强，接着保持压强不变而使体积膨胀(D)先保持体积不变而减小压强，接着保持压强不变而使体积减小(4).质量相同的三个小球a、b、c在光滑水平面上以相同的速率运动，它们分别与原来静止的三个小球A、B、C相碰（a与A相碰，b与B相碰，c与C相碰）。

碰后，a球继续沿原来方向运动；b球静止不动；c球被弹回而向反方向运动。

这时，A、B、C三球中动量最大的是(A)A球(B)B球(C)C球(D)D球(5).图1所示三个点电荷q1、q2、q3固定在一直线上，q2与q3的距离为q1与q2距离的2倍，每个电荷所受的静电力的合力均为零。