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2011年全国(理数)高考试题

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2011年普通高等学校招生全国统一考试大纲全国卷（理数）第Ⅰ卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.复数1i z =+，z 为z 的共轭复数，则-1z z z -=（ ） A.2i - B.i - C.i D. 2i2.函数0)y x =≥的反函数为（ ）A.2()4x y x =∈RB.2(0)4x y x =≥C.24y x =()x ∈RD.24(0)y x x =≥3.下面四个条件中，使a b ＞成立的充分而不必要的条件是（ ）A.1a b +＞B.1a b -＞C.22a b ＞D.33a b ＞4.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k = （ ） A.8 B.7 C.6 D.55.设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()yf x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于（ ） A.13B.3C.6D.96. 已知直二面角l αβ--，点A ∈α，AC ⊥l ，C 为垂足，B ∈β，BD ⊥l ，D 为垂足,若AB=2，AC=BD=1，则D 到平面ABC 的距离等于（ ）D. 1 7.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（ ）A.4种B.10种C.18种D.20种8.曲线y =-2x e +1在点(0，2)处的切线与直线y =0和y=x 围成的三角形的面积为（ ） A.13 B.12 C.23D.19.设()f x 是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，()f x =2(1)x x -，则5()2f -=( )A.12-B.1 4-C.14D.1210.已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线24y x =-与C 交于A ，B 两点．则cos AFB ∠=( ) A.45 B.35 C.35- D.45- 11.已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N .若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为( )A.7πB.9πC.11πD.13π 12.设向量a ，b ，c 满足a =b =1，a b ⋅=12-，,a c b c --=60°，则c 的最大值等于( ) A.2 D.1 第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.(120的二项展开式中，x 的系数与x 9的系数之差为 .14.已知α∈（2π，π），sin α，则tan2α=15.已知F 1、F 2分别为双曲线C : 29x 227y -=1的左、右焦点，点A ∈C ，点M 的坐标为(2，0)，AM 为∠F 1AF 2的平分线．则|AF 2| = .16.己知点E 、F 分别在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱BB 1 、CC 1上，且B 1E =2EB, CF=2FC 1，则面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值等于 .三．解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题满分l0分)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .己知A -C =90°，a+cb ，求C .18.(本小题满分12分)根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3,设各车主购买保险相互独立.(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l 种的概率；(2)X 表示该地的l00位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数,求X 的期望.19.(本小题满分12分)如图，四棱锥S ABCD -中，A B C D ,BC CD ⊥，侧面SAB 为等边三角形，2,1A B B C C D S D ====. （1）证明：SD SAB ⊥平面;（2）求AB 与平面SBC 所成的角的大小.20.（本小题满分12分）设数列{}n a 满足10a =且111111n na a +-=--.（1）求{}n a 的通项公式； （2）设n b =记1S ,nn k k b ==∑证明： 1.n S <21.(本小题满分12分)已知O 为坐标原点，F 为椭圆22:12y C x +=在y 轴正半轴上的焦点，过F且斜率为的直线l 与C 交与A 、B 两点，点P 满足0.OA OB OP ++=（1）证明：点P 在C 上；（2）设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上.22.（本小题满分12分）（1）设函数2()ln(1)2xf x x x =+-+，证明：当0x ＞时，()0f x ＞；（2）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为p ，证明：19291()10ep ＜＜2011年普通高等学校招生全国统一考试理数（全国卷）参考答案1.解析： 1i z =+， ∴1i z =-， 22,z z z ⋅==∴12(1i)1i.z z z ⋅--=-+-=-答案：B命题立意：本题主要考查了复数的共轭复数的概念和性质以及复数的代数运算，难度不大.2.解析：0)y x =≥，∴2y ，∴24y x =，互换x 、y 得2(0)4x y x =≥,因此0)y x =≥的反函数为2(0)4xy x =≥. 答案：B命题立意：本题主要考查了反函数的求法，属低档题，难度适中。

3.解析一：使要求a>b 成立的充分不必要条件，必须满足由选项能推出a>b ，而由a>b 推不出选项.在选项A 中，a>b +1能是a>b 成立，而a>b 时a>b +1不一定成立，故A 正确；在选项B 中，a>b -1时a>b 不一定成立，故B 错误；在选项C 中，a 2>b 2时a>b 也不一定成立，因为a ，b 不一定均为正值，故C 错误；在选项D 中，a 3>b 3是a>b 成立的充要条件，故D 也错误。

解析二：A 项：若a>b +1,则必有a>b ，反之，当a =2,b =1时，满足a>b ，但不能推出a>b +1，故a>b +1是a>b 成立的充分而不必要条件；B 项：当a=b=1时，满足a>b -1，反之，由a>b -1不能退出a>b ；C 项：当a=-2,b=1 时，满足22a b >，但a>b 不成立；D 项：a>b 是33a b >的充要条件，综上所述答案选A 。

答案：A命题立意：本题主要考查了不等式的性质以及充分不必要条件、充要条件等概念，难度适中。

4.解析： 212111(1)2(21)21(21)24424k k k k S S a a a kd a k d a k d k k +++-=+=++++=++=⨯++⨯=+=，∴k =5.答案：D命题立意：本题主要考查了等差数列的通项公式，由数列的前n 项和求通项公式等知识，难度较小。

5.解析：由题意可知，*()3nT n π=∈N ,∴*2()3n n ππω⋅=∈N ，∴*6()n n ω=∈N ，∴当n =1时，ω取得最小值6.答案：C命题立意：本题主要考查了三角函数的图像变换以及三角函数的有关性质，难度适中。

6.解析一：如图，在直二面角l αβ--中，AC ⊥l , ∴ AC ⊥β, ∴平面ABC ⊥平面BCD .过D 作DH ⊥BC ,垂足为H ，则DH ⊥平面ABC ，即DH 为D 到平面ABC 的距离。

AC ⊥β, BC ⊂β, ∴ AC ⊥BC . 在Rt ACB ∆中， AC =1，AB =2，∠ACB=90°,∴BC 在Rt BCD ∆中，1,BC BD ==∴CD =由1122BD CD BC DH ⋅=⋅得111,22DH ⨯∴DH =解析一图解析二：如图，连接AD,AB =2,AC =1,同解析1可得BC CD =∴R 11122t ACB S AC BC ∆=⋅=⨯R 11122t BCD S CD BD ∆=⋅=设D 到平面ABC 的距离为h,则 由D ABC A BCD V V --=三棱锥三棱锥得11,33ABC BCD S h S AC ∆∆⋅=⋅即111,33h =∴= 解析二图答案：C命题立意：本题主要考查了线线垂直、线面垂直、面面垂直的有关定理和点到平面的距离以及空间想象能力和数据处理的能力，难度适中。

7.解析一：不同的赠送方法有452323A A A =10(种).解析二：从2本同样的画册，3本同样的集邮册中取出4本有两种取法：第一种：从2本画册中取出1本，将3本集邮册全部取出；第二种：将2本画册全部取出，从3本集邮册中取出2本。

由于画册是相同的，集邮册也是相同的，因此第一种取法中只需从4位朋友中选出1人赠送画册，其余的赠送集邮册，有14C 4=（种）赠送方法；第二种取法中只需从4为朋友中选取2人赠送画册，其余的赠送集邮册，有24C 6=（种）赠送方法.因此共有4+6=10（种）赠送方法。

答案：B命题立意：本题主要考查排列、组合问题，解决本题的关键是要注意到画册、集邮册各自都是相同的，应避免重复。

8.解析： 22(2)e 2e ,x x y'x '--=-=-002e 2,x k y'===-=-∴切线方程为22(0),y x -=--即22y x =-+.如图， 22y x =-+与y x =的交点坐标为（22,33），22y x =-+与x 轴的交点坐标为（1，0）， ∴1211.233S =⨯⨯=答案：A命题立意：本题考查了导数的求导公式，导数的几何意义以及直线的有关内容，难度适中。

9.解析：()f x 是周期为2的奇函数，∴5()2f -=5(2)2f -+=1()2f -=1()2f -=1112(1)222-⨯⨯-=-.答案：A命题立意：本题主要考查了函数的奇偶性、周期性以及数据处理的能力，难度不大。

10.解析一：由224,4,y x y x =-⎧⎨=⎩得1,2x y =⎧⎨=-⎩或4,4.x y =⎧⎨=⎩令(1,2),(4,4),B A -又(1,0),F ∴由两点间距离公式得2,5,BF AF AB ===∴222425454cos .22255BF AF ABAFB BF AF+-+-∠===-⋅⨯⨯解析二：由解析一得(4,4),(1,2),(1,0),A B F -∴(3,4),(0,2),FA FB ==-∴5, 2.FA FB ===∴304(2)4cos .525FA FB AFB FA FB⋅⨯+⨯-∠===-⨯⋅ 答案：D命题立意：本题主要考查了抛物线和直线的交点、向量的模、数量积以及余弦定理三角形等问题.运算量较大，难度适中。

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2011年全国高考理科数学试题及详解

2011年全国高考理科数学试题及详解

2011年高考题全国卷II 数学试题·理科全解全析（1）复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1zz z --= （A ）2i - （B ）i - （C ）i（D ）2i【思路点拨】先求出的z 共轭复数,然后利用复数的运算法则计算即可。

【精讲精析】选B.1,1(1)(1)(1)1z i zz z i i i i =---=+----=-.（2）函数0)y x =≥的反函数为（A ）2()4x y x R =∈ （B ）2(0)4x y x =≥ （C ）24y x =()x R ∈（D ）24(0)y x x =≥【思路点拨】先反解用y 表示x,注意要求出y 的取值范围，它是反函数的定义域。

【精讲精析】选 B.在函数0)y x =≥中，0y ≥且反解x 得24y x =，所以0)y x =≥的反函数为2(0)4x y x =≥.（3）下面四个条件中，使a b ＞成立的充分而不必要的条件是（A ）1a b +＞ （B ）1a b -＞ （C ）22a b ＞ （D ）33a b ＞【思路点拨】本题要把充要条件的概念搞清，注意寻找的是通过选项能推出a>b ，而由a>b 推不出选项的选项.【精讲精析】选A.即寻找命题P 使P ,a b a b ⇒>>推不出P ，逐项验证可选A 。

（4）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k = （A ）8 （B ）7 （C ）6 （D ）5【思路点拨】思路一：直接利用前n 项和公式建立关于k 的方程解之即可。

思路二： 利用221k k k k S S a a +++-=+直接利用通项公式即可求解，运算稍简。

【精讲精析】选D.22112(21)2(21)224 5.k k k k S S a a a k d k k +++-=+=++=++⨯=⇒=（5）设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于 （A ）13（B ）3 （C ）6 （D ）9 【思路点拨】此题理解好三角函数周期的概念至关重要，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，说明了3π是此函数周期的整数倍。

2011年高考新课标全国卷理科数学试题(附答案)

2011年高考新课标全国卷理科数学试题(附答案)

2011年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国卷）理科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）复数212ii +=- （A ）35i - （B ）35i （C ）i - （D ）i （2）下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的函数是（A ）3y x = （B ）||1y x =+ （C ）21y x =-+ （D ）||2x y -= （3）执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是（A ）120 （B ） 720 （C ） 1440 （D ） 5040 （4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 （A ）13 （B ） 12 （C ）23 （D ）34（5）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2θ= （A ） 45-（B ）35- （C ） 35 （D ）45（6）在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为俯视图正视图DCB A（7）已知直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，||AB 为C 的实轴长的2倍，C 的离心率为（A （B （C ） 2 （D ） 3（8）51()(2)ax x x x+-的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（A ）—40 （B ）—20 （C ）20 （D ）40（9）曲线y =，直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为（A ）103 （B ）4 （C ） 163（D ） 6 （10）已知a ，b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题1:||1p +>a b ⇔2[0,)3πθ∈ 2:p ||+a b 1>⇔θ∈2(,]3ππ 3:||1p ->a b ⇔θ∈[0,)3π 4:||1p ->a b ⇔θ∈(,]3ππ其中真命题是（A ） 14,p p （B ） 13,p p （C ） 23,p p （D ） 24,p p （11）设函数()sin()cos()f x x x ωϕωϕ=+++(0,||)2πωϕ><的最小正周期为π，且()()f x f x -=则 （A ）()y f x =在(0,)2π单调递减 （B ）()y f x =在3(,)44ππ单调递减 （C ）()y f x =在(0,)2π单调递增 （D ）()y f x =在3(,)44ππ单调递增 （12）函数11y x=-的图象与函数2sin (24)y x x π=-剟的图象所有交点的橫坐标之和等于（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题-第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．（13）若变量x ，y 满足约束条件32969x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，则2z x y =+的最小值是_________．（14）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在x 轴上，离心率为．过点1F 的直线l 交C 于A ，B 两点，且2ABF ∆的周长为16，那么C 的方程为_________．（15）已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且AB =6，BC =锥O ABCD -的体积为_____________．（16）ABC ∆中，60,B AC =︒=，则AB +2BC 的最大值为_________． 三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9a a a a a +==． （I ）求数列{}n a 的通项公式．（II ）设31323log log log n n b a a a =+++ ，求数列1{}nb 的前n 项和．（18）（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DAB ∠=︒，2AB AD =，PD ⊥底面ABCD（I ）证明：PA BD ⊥；（II ）若PD AD =，求二面角A PB C --的余弦值．（19）（本小题满分12分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方（分别称为A 配方和B 配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每产品的质量指标值，得到时下面试验结果：A 配方的频数分布表B 配方的频数分布表（II ）已知用B 配方生产的一种产品利润y （单位：元）与其质量指标值t 的关系式为2,942,941024,102t y t t -<⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩从用B 配方生产的产品中任取一件，其利润记为X （单位：元）．求X 的分布列及数学期望．（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）．（20）（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中， 已知点(0,1)A -，B 点在直线3y =-上，M 点满足//MB OA ，MA AB MB BA =，M 点的轨迹为曲线C ．（I ）求C 的方程；（II ）P 为C 上动点，l 为C 在点P 处的切线，求O 点到l 距离的最小值．（21）（本小题满分12分）已知函数ln ()1a x bf x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为 230x y +-=．（I ）求,a b 的值；（II ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x kf x x x>+-，求k 的取值范围．请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑． （22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，D ，E 分别为ABC ∆的边AB ，AC 上的点，且不与ABC ∆的顶点重合．已知AE 的长为m ，AC 的长为n ，AD ，AB 的长是关于x 的方程2140x x mn -+=的两个根．（I ）证明：,,,C B D E 四点共圆；（II ）若90A ∠=︒，且4,6,m n ==求,,,C B D E 所在圆的半径．（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos (22sin x y ααα=⎧⎨=+⎩为参数），M 为1C 上的动点，P 点满足2OP OM =，点P 的轨迹为曲线2C ．（I ）求2C 的方程；（II ）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的异于极点的交点为B ，求||AB .（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()||3f x x a x =-+，其中0a >．（I ）当1a =时，求不等式()32f x x ≥+的解集． （II ）若不等式()0f x ≤的解集为｛x|1}x ≤-，求a 的值．2011年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国卷）理科数学答案（1）C 【解析】212i i+-=(2)(12),5i i i ++=共轭复数为C ． （2）B 【解析】3y x =为奇函数，21y x =-+在(0,)+∞上为减函数，||2x y -=在(0,)+∞上为减函数，故选B ．（3）B 【解析】框图表示1n n a n a -=⋅，且11a =所求6a =720，选B ．（4）A 【解析】每个同学参加的情形都有3种，故两个同学参加一组的情形有9种，而参加同一组的情形只有3种，所求的概率为P =3193=，选A ． （5）B 【解析】由题知tan 2θ=,222222cos sin 1tan 3cos2cos sin 1tan 5θθθθθθθ--===-++，选B ．（6）D 【解析】条件对应的几何体是由底面棱长为r 的正四棱锥沿底面对角线截出的部分与底面为半径为r 的圆锥沿对称轴截出的部分构成的。

2011年全国高考2卷理科数学试题及答案

2011年全国高考2卷理科数学试题及答案

2011年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷II)数学本试卷共4页，三大题21小题。

满分150分,考试时间120分钟。

注意事项:1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。

2。

选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。

3。

填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内,答在试题卷上无效。

4. 考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是满足题目要求的。

1.复数1z i =+,z 为z 的共轭复数,则1zz z --= (A ） -2i （B) —i （C) i （D) 2i2. 函数)0y x =≥的反函数为（A ）()24x y x R =∈ (B) ()204x y x =≥（C ）()24y x x R =∈ (D) ()240y x x =≥ 3。

下面四个条件中,使a b >成立的充分而不必要的条件是 (A) 1a b >+ （B) 1a b >- （C ）22a b > （D ） 33a b >4.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差22,24k k d S S +=-=,则k= (A) 8 (B ） 7 (C) 6 （D ） 55.设函数()()cos 0f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于(A ） 13（B) 3 (C) 6 (D) 96.已知直二面角l αβ--,点,,A AC l C α∈⊥为垂足，,,B BD l D β∈⊥为垂足，若2,1AB AC BD ===,则D 到平面ABC 的距离等于(A ）2（B ）（C)7.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4为朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有(A ） 4种 （B) 10种 (C ） 18种 （D ） 20种8。

2011年高考数学真题(全国卷)理科(详细解析)

2011年高考数学真题(全国卷)理科(详细解析)

1. 复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1z z z --=【精讲精析】选B .1,1(1)(1)(1)1z i z z z i i i i =---=+----=- 2. 函数2(0)y x x =≥的反函数为【思路点拨】先反解用y 表示x,注意要求出y 的取值范围，它是反函数的定义域。

【精讲精析】选B .在函数2(0)y x x =≥中，0y ≥且反解x 得24yx =，所以2(0)y x x =≥的反函数为2(0)4xy x =≥.3. 下面四个条件中，使a b ＞成立的充分而不必要的条件是 （A ）1a b +＞ （B ）1a b -＞ （C ）22a b ＞ （D ）33a b >【思路点拨】本题要把充要条件的概念搞清，注意寻找的是通过选项能推出a b ＞，而由a>b 推不出选项的选项.【精讲精析】选A .即寻找命题P 使P ,a b a b ⇒>>推不出P ，逐项验证可选A 。

4. 解：设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k = 【思路点拨】思路一：直接利用前n 项和公式建立关于k 的方程解之即可。

思路二： 利用221k k k k S S a a +++-=+直接利用通项公式即可求解，运算稍简。

【精讲精析】2k k S S +-= 21k k a a +++= 11(21)(11)a k d a k d ++-+++-=12(21)a k d ++21(21)244245k k k =⨯++⨯=+=⇒=故选D 。

5. 设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于【思路点拨】此题理解好三角函数周期的概念至关重要，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，说明了3π是此函数周期的整数倍。