1.4 直角三角形的射影定理 课件(人教A选修4-1)(2)

∴2AD· BD=2CD² A D B
∴CD² = AD· BD 而AC² =AD² +CD² =AD² +AD· BD
=AD(AD+BD)=AD· AB
14直角三角形的射影定理精心整理中小学数学课件教案试题教学设计对中考高考的教师学生很有帮助对家长辅导也很有帮助免费阅读用请下载
选修 4-1
几何证明选讲
第一讲 相似三角形的判 定及有关性质
直角三角形的射影定理
. B
A N
1.射影：
M
B’
A’
（1）太阳光垂直照在A点，留在直线MN上的影 子应是什么？ 点A′ （2）线段AB留在MN上的影子是什么？
2
练习：课本P22 1
1.直角△ABC中已知:CD=60 AD=25 求：BD,AB,AC,BC的长
BD=144,AB=169, AC=65,BC=156
2.(2007广州一模)如图所示，圆O 上一点C在直径AB上的射影为D， CD=4，BD=8，则圆O的半径等于 5 ． _____
C B O D A
C
A
D
B
射影定理 直角三角形斜边上的高是两条直角边在斜 边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上 射影与斜边的比例中项。 ∵AB² =AC² +BC² 用勾股定理能证明吗? ∴(AD+BD)² =AC² +BC² C 即2AD· BD=AC² -AD² +BC² -BD²
∵AC² -AD² =CD² BC² -BD² =CD²
CD ab
2
C
A
aD 2
O8 b
B
CD ab ab CO 2 由射影定理可得 2 CD AD BD 2 8 16, 解得 CD 4 ;

四
直角三角形的射影定理
1．射影 (1)点在直线上的正射影：从一点向一直线所引垂线的垂足， 叫做这个点在这条直线上的正射影． (2)线段在直线上的正射影：线段的 两个端点 在这条直线上 的 正射影 间的线段． (3)射影：点和线段的 正射影 简称为射影．
2．射影定理 (1)文字语言： 直角三角形斜边上的高是 两直角边 在斜边上射影的比例中 项；两直角边分别是它们在 斜边 上射影与 斜边 的比例中项． (2)图形语言： 如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高， 则有CD2＝ AD·BD ， AC2＝ AD·AB ， BC2＝ BD·AB.
[证明] ∵CD垂直平分AB， ∴△ACD和△BDE均为直角三角形， 且AD＝BD. 又∵DF⊥AC，DG⊥BE， ∴AF·AC＝AD2， BG·BE＝DB2. ∵AD2＝DB2， ∴AF·AC＝BG·BE.
将原图分成两部分来看，就可以分别在两个三角形 中运用射影定理，实现了沟通两个比例式的目的．在求 解此类问题时，关键就是把握基本图形，从所给图形中 分离出基本图形进行求解或证明．
所以BC＝12m.
又因为CD⊥AB，
所以BC2＝BD·AB，
即12m2＝BD·m.所以BD＝14m.
AD＝AB－BD＝m－14m＝34m.
由CD2＝AD·BD＝34m·14m＝136 m2，
得CD＝
3 4
m.
因此，BD的长是14m，CD的长是 43m.
2．已知CD是直角三角形ABC斜边AB上的高，如果两直角边AC， BC的长度比为AC∶BC＝3∶4. 求：(1)AD∶BD的值； (2)若AB＝25 cm，求CD的长． 解：(1)∵AC2＝AD·AB， BC2＝BD·AB， ∴ABDD··AABB＝ABCC22. ∴ABDD＝ABCC2＝342＝196. (2)∵AB＝25 cm，AD∶BD＝9∶16，

►变式训练 3．用射影定理证明勾股定理．
解析：如图，已知 Rt△ABC 中，∠C＝90° ，
求证：AC2＋BC2＝AB2. 证明如下： 作 CD⊥AB 于点 D， 由射影定理， 可得 AC2＝AD· AB.① BC2＝BD· AB，② ①＋ ②，得 AC2＋BC2＝ AD· AB＋ BD· AB＝ AB(AD＋ BD)＝ AB2，即 AC2＋BC2＝AB2.
运用射影定理时， 要注意其成立的条件， 要结合图形去记忆定理， 当所给条件中具备定理的条件时，可直接运用定理，有时也可通过作 垂线使之满足定理的条件，再运用定理，在处理一些综合问题时，常 常与三角形的相似相联系，要注意它们的综合运用．
第一讲
相似三角形的判定及有关性质
1．4 直角三角形的射影定理
理解射影定理，能应用射影定理解决简单几何问题．
1．所谓射影，就是正射影．其中，从一点向一条直线所引垂线
正射影 ．一条线段的两个端 的垂足， 叫做这点在这条直线上的____________
点 在 一条 直 线上的 正 射影 间 的线段 ， 叫做 这 条线段 在 直线 上的
10 ＝____________. 5
题型1 线段长度的计算
例1 如图，
D 为△ABC 中 BC 边上的一点，∠CAD＝∠B，若 AD＝6，AB ＝10，BD＝8，求 CD 的长．
分析：由勾股定理知∠ADB＝90° ，即 AD⊥BC，进一步可得 ∠BAC＝90° ，由射影定理AB＝10，BD＝8，满足 AB2＝AD2 ＋BD2， ∴∠ADB＝90° ， 即 AD⊥BC.又∠CAD＝∠B， 且∠C＋∠CAD ＝90° ，∴∠C＋∠B＝90° . ∴∠BAC＝90° .∴在 Rt△BAC 中，AD⊥BC，由射影定理可知， AD2＝BD· CD， 9 ∴6 ＝8×CD，∴CD＝ . 2

C ）
D .60 °
3．若关于 x 的一元二次方程 x2+ax+b=0 的两根是一直角 三角形的两锐角的正弦值，且 a+5b=1，则 a、b 的值分别为 ( B ) 3 8 7 12 A．- ， B．- ， 25 25 5 5 4 9 C．- ， D．1,0 25 5 4．在 Rt△ABC 中，∠BAC=90，AD⊥BC 于点 D，若 AC 3 BD = ，则 =( C ) AB 4 CD 3 4 A. B. 4 3 16 9 C. D. 9 16
7．如图所示，四边形ABCD是矩形，∠BEF＝90°，①②③④这四个三
角形能相似的是__________．
①③
8．在△ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB于点D，AD＝27，BD＝3，则AC＝ ______，BC＝______，CD＝______. 9 10
3 10 9
9．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，M 是BC的中点，DE⊥AM，E是垂足．求证：DE＝ 2 ab
如图所示，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°, CD⊥AB于点D， DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F.求证：AE· BF· AB＝CD3.
分析：分别在Rt△ABC、Rt△ADC、Rt△BDC中运用射影定理，再将线段进
行代换，就可以实现等积式的证明．
证明：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，
4a 2 b 2
证明：在 Rt△AMB 和 Rt△ADE 中， ∠AMB=∠DAE， ∠ABM=∠AED=90， ∴△ABM∽△DEA. AB AM ∴ = .∵AB=a，BC=b， DE AD AB AD a b 2ab ∴DE= = = . 2 2 2 AM b 4a b a2 4