曲线的凹凸性与拐点

x
f ( x )
(,0)
0 0


(0,1)
f ( x)
f ( x)

极大值2


0
拐点(1, )
4 3
1
(1,2)
2
(2,)



极小值2 3
0

（4）无渐近线 （5） 与 y 轴交点(0,2) （6） 作图，如右图。
y
2
0
1
2
x
例5 作函数 y e
x2
的图形
(, ) 解 （1）函数定义域：
x
y
y
(,2)

︵
2 0
(2,2) 拐点
(2,ห้องสมุดไป่ตู้)

︶
曲线在区间( ,2) 是凸的，在区间 ( 2,) 内是凹的，拐点 (2,2) ，如下图。
y
0
1 2
x
二、曲线的渐近线
定义3 曲线 y f ( x)上的动点沿曲线无限远离 原点时，如果动点与定直线L的距离趋于零，则称 L为曲线的渐近线。 曲线的渐近线可分为水平、铅直和斜渐近线。 1、水平渐近线
, lim arctan x
x

2
,
及 y

2
y
是曲线的两条水平渐近线。

2
0


2
x
2、铅直渐近线 如果函数 y f ( x) 有 lim f ( x) 或 lim f ( x) , 则称直线 x a是曲线 y f ( x) 的一条铅直渐近线。
1 例3 求曲线 y 的水平和铅直渐近线。 x2
定理 设函数 y f ( x) 在区间[a,b]内具有二阶导 数， （1） 如果在区间[a, b]内 f ( x) 0 ，则曲线在 区间[a, b]内是凹的； （2） 如果在区间[a, b]内 f ( x) 0 ，则曲线在 区间[a, b]内是凸的； 定义2 连续曲线上凹弧和凸弧的分界点称为

·复习 函数的单调性的定义，函数的极值。

·引入 由函数的单调性我们可知道曲线上升与下降的情况，还应知道它的弯曲方向以及不同弯曲方向的分界点，这就是曲线的凹向与拐点。

·讲解新课曲线的凹凸性与拐点1 曲线的凹凸定义及判定法定义1 如果曲线位于其每一点切线的上方，那么称曲线弧是凹的（如图（1）所示），如果曲线位于其每一点切线的下方，那么称曲线弧是凸的（如图（2））．yOx xyO y f x =()（2）是描述一阶导数的单调性的。

从上图可以看出，如果曲线是凹的，切线的倾斜角随x 的增大而增大，由导数的几何意义知()f x '随x 的增大而增大，即函数的一阶导数是单调增加的，所以()0f x ''>；同样，如果曲线是凸的，切线的倾斜角随x 的增加而减少，就是()f x '随x 的增大而减少，即函数的一阶导数是单调减少的，所以()0f x ''<。

反之结论是否成立呢？下面给出曲线凹凸性的判定定理。

定理1 设函数)(x f y =在[,]a b 内连续，在),(b a 内具有一阶和二阶导数，那么 （1）若在),(b a 内，0)(>''x f ，则曲线曲线)(x f y =在[,]a b 上是凹的. （2）若在),(b a 内，0)(<''x f ，则曲线曲线)(x f y =在[,]a b 上是凸的．例1 判定曲线x y ln =的凹凸性．解：函数x y ln =的定义域为),0(+∞，且21)(,1)(xx f x x f -=''='． 因为在),0(+∞上)(x f ''恒为负， 所以曲线x y ln =在其定义域内是凸的． 例2 判定曲线xy 1=的凹凸性． 解：函数x y 1=的定义域为),0()0,(+∞-∞ ， 且322,1xy x y =''-='．因为当0<x 时，0<''y ；当0>x 时0>''y ， 所以曲线在)0,(-∞内是凸的，在),0(+∞内是凹的， 2 曲线的拐点及其求法定义2 把连续曲线凹凸部分的分界点叫做曲线的拐点．定理2 （拐点的必要条件）若函数)(x f y =在0x 处的二阶导数0()f x ''存在，且点00(,())x f x 为曲线)(x f y =的拐点，则0()0f x ''=。

求其一、二阶导数，得
y 2xex2和y2ex2(2x21)，
令 y = 0. 得驻点 x = 0，
令 y = 0， 得 x 2 .
2
当 x 时 y 0， 所以 y = 0 为该函数图形 的水平渐近线.
讨论 y， y 的正负情况，确定函数 y e x2 的增减区间和极值，凹凸区间和拐点， 将上述结 果归结下表：
.
令 y = 0 得 x = -1， x = 1.
当 x (, -1) 时， y < 0，此区间是凸区间； 当 x (1, 1) 时， y > 0，此区间是凹区间； 当 x (1, + ) 时， y < 0，此区间是凸区间. 因为 f (-1) = f (1) = 0， f (x) 在点 x = - 1. x = 1 的两侧变号，且 f ( -1 ) = f ( 1 ) = ln2，所以点 (- 1, ln2) 和 (1, ln2)为拐点.
所以x直 1为 线曲 y线 1 的垂直.渐近 x1
y
y 1 x 1
O
1
x
(2) 水平渐近线 若limf(x)b, 或limf(x)b,
x
x
则称直线 y = b 为曲线 y = f (x) 的水平渐近线 .
例如，对于曲线 y 1 来说，
x 1
lim 1 0,
y
x x1
y

2x 和 x2 1
2(x2 1) y (x2 1)2 .
不难发现，该函数在定义域内无驻点，也
没有极值点.
通 过y对 和y正 负 情 况 的 讨函 论数 ， 确 的增、减区间凹 和凸 极区 值间 ，和 . 拐点
将上述结果归结下表：

图1函数的单调性可用函数的一阶导函数来判定，对于同样的递增函数有着不同的增法，如向上凸的增或凹的增，那么对于这两种不同的增法我们如何刻画呢？一、曲线的凹凸与拐点1．曲线的凹凸定义和判定法从图1可以看出曲线弧ABC 在区间()c a ,内是向下凹入的，此时曲线弧ABC 位于该弧上任一点切线的上方；曲线弧CDE 在区间()b c ,内是向上凸起的，此时曲线弧CDE 位于该弧上任一点切线的下方．关于曲线的弯曲方向，我们给出下面的定义：定义1 如果在某区间内的曲线弧位于其任一点切线的上方，那么此曲线弧叫做在该区间内是凹的；如果在某区间内的曲线弧位于其任一点切线的下方，那么此曲线弧叫做在该区间内是凸的．例如，图1中曲线弧ABC 在区间()c a ,内是凹的，曲线弧CDE 在区间()b c ,内是凸的． 由图1还可以看出，对于凹的曲线弧，切线的斜率随x 的增大而增大；对于凸的曲线弧，切线的斜率随x 的增大而减小．由于切线的斜率就是函数()x f y =的导数，因此凹的曲线弧，导数是单调增加的，而凸的曲线弧，导数是单调减少的．由此可见，曲线()x f y =的凹凸性可以用导数()x f '的单调性来判定．而()x f '的单调性又可以用它的导数，即()x f y =的二阶导数()x f ''的符号来判定，故曲线()x f y =的凹凸性与()x f ''的符号有关．由此提出了函数曲线的凹凸性判定定理：定理1 设函数()x f y =在()b a ,内具有二阶导数．（1）如果在()b a ,内，()x f ''＞0，那么曲线在()b a ,内是凹的；（2）如果在()b a ,内，()x f ''＜0，那么曲线在()b a ,内是凸的． x y o ()y f x =A B x yo ()y f x =A B图2例１ 判定曲线3x y =的凹凸性．2．拐点的定义和求法定义2 连续曲线上凹的曲线弧和凸的曲线弧的分界点叫做曲线的拐点． 定理2(拐点存在的必要条件) 若函数()x f 在0x 处的二阶导数存在,且点()()00,x f x 为曲线()x f y =的拐点,则().00=''x f我们知道由()x f ''的符号可以判定曲线的凹凸．如果()x f ''连续，那么当()x f ''的符号由正变负或由负变正时，必定有一点0x 使()0x f ''＝0．这样，点()()00,x f x 就是曲线的一个拐点．因此，如果()x f y =在区间()b a ,内具有二阶导数，我们就可以按下面的步骤来判定曲线()x f y =的拐点:(1) 确定函数()x f y =的定义域；(2) 求()x f y ''=''；令()x f ''＝0，解出这个方程在区间()b a ,内的实根；(3) 对解出的每一个实根0x ，考察()x f ''在0x 的左右两侧邻近的符号．如果()x f ''在0x 的左右两侧邻近的符号相反，那么点()()00,x f x 就是一个拐点，如果()x f ''在0x 的左右两侧邻近的符号相同，那么点()()00,x f x 就不是拐点．例２ 求曲线233x x y -=的凹凸区间和拐点．解 （1）函数的定义域为()+∞∞-,；（2）()1666,632-=-=''-='x x y x x y ；令0=''y ，得1=x ；（3）列表考察y ''的符号（表中“∪”表示曲线是凹的，“∩” 表示曲线是凸的）： x()1,∞- 1 ()+∞,1 y ''- 0 + 曲线y ∩ 拐点 ()2,1- ∪由上表可知，曲线在()1,∞-内是凸的，在()+∞,1内是凹的；曲线的拐点为()2,1-．例３ 已知点(1,3)为曲线32y ax bx =+的拐点，求,a b的值。