CH6习题及答案
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第六章6.1 复随机过程0()()j t Z t eω+Φ=，式中0ω为常数，Φ是在(0,2)π上均匀分布的随机变量。
求：（1）[()()]E Z t Z t τ*+和[()()]E Z t Z t τ+；（2）信号的功率谱。
解：(1)000[()][]201[()()]212j t j t j j E Z t Z t e e d e d e ωτωπωτωττππ+∞++Φ-+Φ*-∞+=Φ=Φ=⎰⎰0000[()][]2[(2)2]2(2)201[()()]212120j t j t j t j t j E Z t Z t e e d e d ee d ωτωπωτπωττπππ+∞++Φ+Φ-∞++Φ+Φ+=Φ=Φ=Φ=⎰⎰⎰(2)00()[()]{[()()]}[]2()Z Z j S F R F E Z t Z t F eωτωττπδωω*==+==-6.2 6.36.4 已知()a t 的频谱为实函数()A ω，假定ωω>∆时，()0A ω=，且满足0ωω∆ ，试比较：（1） 0()cos a t t ω和0(12)()exp()a t j t ω的傅立叶变换。
（2） 0()sin a t t ω和0(2)()exp()j a t j t ω-的傅立叶变换。
（3） 0()cos a t t ω和0()sin a t t ω的傅立叶变换。
解：由傅立叶变换的定义可以得到： （1）00000()cos [()()]1()()2FTj t FT a t t A A a t e A ωωπωωωωπωω←−→-++←−→-01()2j t a t e ω的傅立叶变换是0()cos a t t ω的傅立叶变换的正频率部分。
（2）00000()s i n [()()]()()2FTj t FTa t t A A jj a t e A jωπωωωωωπωω←−→--+-←−→-0()2j t ja t e ω-的傅立叶变换是0()sin a t t ω的傅立叶变换的正频率部分。
（3）0()c o s a t t ω和0()sin a t t ω的傅立叶变换是希尔伯特变换对。
6.56.66.7 若零均值平稳窄高斯随机信号()X t 的功率谱密度如题图6.7（1） 试写出此随机信号的一维概率密度函数； （2） 写出()X t 的两个正交分量的联合概率密度函数。
00题图6.7解：(1) 零均值平稳窄带高斯信号()X t 的正交表达式为 00()()cos ()sin x t i t t q t t ωω=- 基于功率谱计算功率得21(0)()22X XX AWP R S d σωωππ+∞-∞====⎰()X t 为0均值的高斯随机信号,所以 2()(0,)X t N σ所以一维概率密度222()xf xσ-= ,22AWσπ=(2)又因为()X t的功率谱关于中心频率ω偶对称由（6.37）得()0qiSω=即12()[()()]0qiR E i t q tτ==所以(),()i t q t彼此正交，做为零均值的高斯信号也彼此独立，所以22()2121221(,;,)(,)(,)2i qiq i qf i q t t f i t f q t eσπσ+-== , 22AWσπ=6.8 对于窄带平稳随机过程00()()cos()sinx t i t t q t tωω=-，若其均值为零，功率谱密度为0000cos[()/],/2()cos[()/],/2xPS Pπωωωωωωωπωωωωωω⎧-∆-≤∆⎪=+∆+≤∆⎨⎪⎩，其它式中,Pωωω∆>>∆及都是正实常数。
试求（1）x(t)的平均功率；（2）i(t)的功率谱密度；（3）互相关函数()iqRτ或互谱密度()iqSω；（4）i(t)与q(t)是否正交或不相关？解：（1）()x t的平均功率：()[]22211()cos2cosN NP S d P dPdωωωωωωωωπωωωωπππωωωπ+∞+∆-∞-∆+∆-∆==-∆⎡⎤⎣⎦=∆⎰⎰⎰[]2222sinNP PPωωωωπωωππ+∆-∆∆∆=∆=（2）()N t是零均值平稳窄带随机信号，所以有：002cos ,()()()()020,N N i q P S S w S S w other πωωωωωωωω⎧⎧⎛⎫++-∆⎪⎪ ⎪===≤∆⎝⎭⎨⎨⎪⎪⎩⎩（3）互相关函数()iq R τ或互谱密度()iq S ω因为()N t 是零均值平稳窄带随机信号，并且()N S ω是关于0ω偶对称，有9.3的性质，定理可知，互谱密度()iq S ω为0，互相关函数()iq R τ也为0（4）由()0iq R τ=，所以()i t 与()q t 任意时刻正交。
因为()i t 与()q t 是零均值的，所以()i t 与()q t 是不相关的。
6.96.106.11 已知零均值窄带平稳噪声00()()cos ()sin X t A t t B t t ωω=-的功率谱密度如题图6.11所示。
画出下列情况下随机过程 ()A t ，()B t 各自的功率谱密度： （1）01ωω= （2）02ωω=（3）012()/2ωωω=+判断上述各种情况下，过程()A t ，()B t 是否互不相关。
1221题图6.11解：因为()X t 是零均值平稳窄带随机信号,所以有：000()()()()0xx A B S S S S ωωωωωωωω++-⎧<==⎨⎩其它000[()()]()()0x x BA AB j S S S S ωωωωωωωω--+⎧<=-=⎨⎩其它功率谱图形如下：（1）22（2）11（3）212212-由于()X t 的功率谱不以中心频率0ω偶对称，所以互功率谱密度()BA S ω在三种情况下都不为0, 所以 A(t),B(t)相关.6.126.13 同步检波器如下题图6.13所示，输入()X t 为窄带平稳噪声，它的自相关函数为20()cos X X R eβττσωτ-=，0βω 。
若另一输入0()sin()Y t A t ωθ=+，其中A 为常数，θ服从(0,2)π上的均匀分布，且与()X t 独立。
求检波器输出()Z t 的平均功率。
题图6.13解：由题意知0200[()][sin()]1sin()02E Y t E A t A t d πωθωθθπ=+=+=⎰200020(,)[()()]1sin[()]sin()2cos ()2Y Y R t t E Y t Y t A t A t d A R t πττωτθωθθπωτ+=+=+++==⎰所以()]Y t 也是平稳的.设 ()()()M t X t Y t = 由于(),()X t Y t 独立, 不难得:[()][()()][()][()]0E M t E X t Y t E X t E Y t ===,2220(,)[()()()()][()()][()()]()()1cos 2M X Y X R t t E X t Y t X t Y t E X t X t E Y t Y t R R A e βττττττττσωτ-+=++=++==所以经过低通滤波器LPF 后，由于2220220222201()cos 21cos 212211cos 244M X X X X R A e A e A e A e βτβτβτβττσωτωτσσσωτ----=+==+ 其中高频成分：2201cos 24X A e βτσωτ- 被滤掉，所以 221()4Z X R A e βττσ-=所以()Z t 的平均功率221(0)4Z Z X P R A σ==。
