2016-2017学年河北省石家庄市高二下学期期末考试数学(文)试题

2016学年第二学期高二数学期末考试一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分．1. 的展开式中项的系数为______．【答案】【解析】的展开式的通项公式为，令，求得，可得展开式中项的系数为，故答案为10.2. 已知直线经过点且方向向量为，则原点到直线的距离为______.【答案】1【解析】直线的方向向量为，所以直线的斜率为，直线方程为，由点到直线的距离可知，故答案为1.3. 已知全集，集合,,若，则实数的值为___________.【答案】2【解析】试题分析：由题意，则，由得，解得．考点：集合的运算．4. 若变量满足约束条件则的最小值为_________.【答案】【解析】由约束条件作出可行域如图，联立，解得，化目标函数，得，由图可知，当直线过点时，直线在y轴上的截距最小，有最小值为，故答案为. 点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.5. 直线上与点的距离等于的点的坐标是_____________.【答案】或.【解析】解：因为直线上与点的距离等于的点的坐标是和6. 某学生在上学的路上要经过2个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，则这名学生在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率是_______.【答案】【解析】设“这名学生在上学路上到第二个路口首次遇到红灯”为事件，则所求概率为，故答案为.7. 某学校随机抽取名学生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是，样本数据分组为，，，，．则该校学生上学所需时间的均值估计为______________．（精确到分钟）.【答案】34................点睛：本题考查频率分布直方图，解题的关键是理解直方图中各个小矩形的面积的意义及各个小矩形的面积和为1，本题考查了识图的能力；根据直方图求平均值的公式，各个小矩形的面积乘以相应组距的中点的值，将它们相加即可得到平均值.8. 一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种________.【答案】186【解析】试题分析：设取红球个，白球个，则考点：古典概型.9. 如图，三棱锥满足：，，，，则该三棱锥的体积V的取值范围是______．【答案】【解析】由于平面，，在中，，要使面积最大，只需，的最大值为，的最大值为，该三棱锥的体积V的取值范围是.10. 是双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值等于_________.【答案】9【解析】试题分析：两个圆心正好是双曲线的焦点，，，再根据双曲线的定义得的最大值为.考点：双曲线的定义，距离的最值问题.11. 棱长为1的正方体及其内部一动点，集合,则集合构成的几何体表面积为___________.【答案】【解析】试题分析：.考点：几何体的表面积.12. 在直角坐标平面中，已知两定点与位于动直线的同侧，设集合点与点到直线的距离之差等于，，记,.则由中的所有点所组成的图形的面积是_______________.【答案】【解析】过与分别作直线的垂线，垂足分别为，，则由题意值，即，∴三角形为正三角形，边长为，正三角形的高为，且，∴集合对应的轨迹为线段的上方部分，对应的区域为半径为1的单位圆内部，根据的定义可知，中的所有点所组成的图形为图形阴影部分．∴阴影部分的面积为，故答案为.二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13. 已知为实数，若复数是纯虚数，则的虚部为（）A. 2B. 0C. -2D. -2【答案】C【解析】∵复数是纯虚数，∴，化为，解得，∴，∴，∴的虚部为，故选C.14. 已知条件：“直线在两条坐标轴上的截距相等”，条件：“直线的斜率等于”，则是的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】B【解析】当直线过原点时，直线在两条坐标轴上的截距相等，斜率可以为任意数，故不成立；当直线的斜率等于，可设直线方程为，故其在两坐标轴上的截距均为，故可得成立，则是的必要非充分条件，故选B.15. 如图，在空间直角坐标系中，已知直三棱柱的顶点在轴上，平行于轴，侧棱平行于轴．当顶点在轴正半轴上运动时，以下关于此直三棱柱三视图的表述正确的是（）A. 该三棱柱主视图的投影不发生变化；B. 该三棱柱左视图的投影不发生变化；C. 该三棱柱俯视图的投影不发生变化；D. 该三棱柱三个视图的投影都不发生变化．【答案】B【解析】A、该三棱柱主视图的长度是或者在轴上的投影，随点得运动发生变化，故错误；B、设是z轴上一点，且，则该三棱柱左视图就是矩形，图形不变．故正确；C、该三棱柱俯视图就是，随点得运动发生变化，故错误．D、与矛盾．故错误；故选B.点睛：本题考查几何体的三视图，借助于空间直角坐标系．本题是一个比较好的题目，考查的知识点比较全，但是又是最基础的知识点；从正面看到的图叫做主视图，从左面看到的图叫做左视图，从上面看到的图叫做俯视图，根据图中C点对三棱柱的结构影响进一步判断.16. 如图，两个椭圆，内部重叠区域的边界记为曲线，是曲线上任意一点，给出下列三个判断：①到、、、四点的距离之和为定值；②曲线关于直线、均对称；③曲线所围区域面积必小于．上述判断中正确命题的个数为（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】C【解析】对于①，若点在椭圆上，到、两点的距离之和为定值、到、两点的距离之和不为定值，故错；对于②，两个椭圆，关于直线、均对称，曲线关于直线、均对称，故正确；对于③，曲线所围区域在边长为6的正方形内部，所以面积必小于36，故正确；故选C.三、解答题(本大题满分76分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17. 已知复数满足，（其中是虚数单位），若，求的取值范围．【答案】或【解析】试题分析：化简复数为分式的形式，利用复数同乘分母的共轭复数，化简为的形式即可得到，根据模长之间的关系，得到关于的不等式，解出的范围.试题解析：，，即，解得或18. 如图，直四棱柱底面直角梯形，，，是棱上一点，，，，，.（1）求异面直线与所成的角；（2）求证：平面.【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）本题中由于有两两垂直，因此在求异面直线所成角时，可以通过建立空间直角坐标系，利用向量的夹角求出所求角；（2）同（1）我们可以用向量法证明线线垂直，以证明线面垂直，，，，易得当然我们也可直线用几何法证明线面垂直，首先，这由已知可直接得到，而证明可在直角梯形通过计算利用勾股定理证明，，，因此，得证.（1）以原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.则，，，. 3分于是,,,异面直线与所成的角的大小等于. 6分（2）过作交于，在中，，，则，，，，10分，.又，平面. 12分考点：（1）异面直线所成的角；（2）线面垂直.19. 如图，圆锥的顶点为，底面圆心为，线段和线段都是底面圆的直径，且直线与直线的夹角为，已知，．（1）求该圆锥的体积；（2）求证：直线平行于平面，并求直线到平面的距离．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）利用圆锥的体积公式求该圆锥的体积；（2）由对称性得，即可证明直线平行于平面，到平面的距离即直线到平面的距离，由，求出直线到平面的距离.试题解析：（1）设圆锥的高为，底面半径为，则，，∴圆锥的体积；（2）证明：由对称性得，∵不在平面，平面，∴平面，∴C到平面的距离即直线到平面的距离，设到平面的距离为，则由，得，可得，∴，∴直线到平面的距离为．20. 阅读：已知，，求的最小值.解法如下：，当且仅当，即时取到等号，则的最小值为.应用上述解法，求解下列问题：（1）已知，，求的最小值；（2）已知，求函数的最小值；（3）已知正数，，求证：.【答案】（1）9（2）18（3）见解析【解析】试题分析：本题关键是阅读给定的材料，弄懂弄清给定材料提供的方法（“1”的代换），并加以运用.主要就是，展开后就可应用基本不等式求得最值.（1）；（2）虽然没有已知的“1”，但观察求值式子的分母，可以凑配出“1”：，因此有，展开后即可应用基本不等式；（3）观察求证式的分母，结合已知有，因此有此式中关键是凑配出基本不等式所需要的两项，如与合并相加利用基本不等式有，从而最终得出.（1），2分而，当且仅当时取到等号，则，即的最小值为. 5分（2），7分而，，当且仅当，即时取到等号，则，所以函数的最小值为. 10分（3）当且仅当时取到等号，则. 16分考点：阅读材料问题，“1”的代换，基本不等式.21. 设椭圆的长半轴长为、短半轴长为，椭圆的长半轴长为、短半轴长为，若，则我们称椭圆与椭圆是相似椭圆．已知椭圆，其左顶点为、右顶点为．（1）设椭圆与椭圆是“相似椭圆”，求常数的值；（2）设椭圆，过作斜率为的直线与椭圆仅有一个公共点，过椭圆的上顶点为作斜率为的直线与椭圆仅有一个公共点，当为何值时取得最小值，并求其最小值；（3）已知椭圆与椭圆是相似椭圆．椭圆上异于的任意一点，求证：的垂心在椭圆上．【答案】（1）或；（2）当时，取得最小值．（3）见解析【解析】试题分析：（1）运用“相似椭圆”的定义，列出等式，解方程可得s；（2）求得的坐标，可得直线与直线的方程，代入椭圆的方程，运用判别式为，求得，再由基本不等式即可得到所求最小值；（3）求得椭圆的方程，设出椭圆上的任意一点，代入椭圆的方程；设的垂心的坐标为，运用垂心的定义，结合两直线垂直的条件：斜率之积为，化简整理，可得的坐标，代入椭圆的方程即可得证．试题解析：（1）由题意得或，分别解得或.（2）由题意知：，，直线，直线，联立方程，整理得：.因为直线与椭圆仅有一个公共点，所以. ①联立方程，整理得：.因为直线与椭圆仅有一个公共点，所以. ②由①②得：.所以，此时，即.（3）由题意知：，所以，且.设垂心，则，即. 又点在上，有，. 则，所以的垂心在椭圆上.。

2017-2018学年河北省石家庄市高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（共13小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={x|1＜x＜4}，B={x|x2﹣2x﹣3≤0}，则A∩B=（）A．（﹣1，3）B．（1，3]C．[3，4）D．[﹣1，4）2．若复数z=i（3﹣2i）（i是虚数单位），则=（）A．2﹣3i B．2+3i C．3+2i D．3﹣2i3．有一段演绎推理是这样的：“所有9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故某奇数是3的倍数”．那么，这个演绎推理（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误 D．没有错误4．在画两个变量的散点图时，下面叙述正确的是（）A．预报变量在x轴上，解释变量在y轴上B．预报变量在y轴上，解释变量在x轴上C．两个变量可以选择x，y轴中的任意一个D．样本点散布在某条直线上5．用反证法证明“方程ax2+bx+c=0（a≠0）至多有两个解”的假设中，正确的是（）A．至多有一个解 B．有且只有两个解C．至少有三个解 D．至少有两个解6．设a，b∈R，则“a≥1且b≥1”是“a+b≥2”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．输出下列四个命题：①回归直线恒过样本点的中心（，）；②回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线；③残差平方和越小的模型，模型拟合的效果越好；④在线性回归分析中，如果两个变量的相关性越强，则相关系数就越接近于1．其中真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．48．下面使用类比推理，得到正确结论的是（）A．“若a•3=b•3，则a=b”类推出“若a•0=b•0，则a=b”B．“若（a+b）c=ac+bc，”类推出“（a•b）c=ac•bc”C．“若（a+b）c=ac+bc”类推出“=+（c≠0）”D．“（ab）n=a n b n”类推出“（a+b）n=a n+b n”9．如图是求S=1+2+3+5+…+99的程序流程图，其中①应为（）A．A≤97？B．A＜99？C．A≤99？D．A≤101？10．已知f（x+1）=，f（1）=1（x∈N*），猜想f（x）的一个表达式为（）A．f（x）= B．f（x）=C．f（x）=D．f（x）=11．已知a＞0，b＞0，且4a+b=ab，则a+b的最小值为（）A．4 B．9 C．10 D．412．[示范高中]定义在R上的偶函数f（x），其导函数为f′（x），当′x∈（﹣∞，0）时，都有f（x）+f′（x）＞0，若a=3f（3），b=（lnπ）f（lnπ），c=﹣2f（﹣2），则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a13．[普通高中]观察下列图形：…由此规律，则第30个图形比第27个图形中的“☆”多（）A．59颗B．60颗C．87颗D．89颗二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）14．函数y=ln（x2﹣2）的定义域为．15．在复平面内．平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C对应的复数分别是1+3i，﹣i，2+i，则点D对应的复数为．16．已知不等式|x+1|+|x﹣2|＞a的解集为R，则实数a的取值范围是．17．观察式子，…，则可归纳出．三、解答题（共5小题，满分60分）18．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n是2a与﹣2na n的等差中项，其中a≠0．（1）求数列{a n}的前三项a1，a2，a3，并猜想数列的通项公式；（2）利用（1）的猜想，若S10=90，求实数a的值．19．已知复数z1=4﹣m2+（m﹣2）i，z2=λ+2sinθ+（cosθ﹣2）i，（其中i是虚数单位，m，λ，θ∈R）．（1）若z 1为纯虚数，求实数m 的值； （2）若z 1=z 2，求实数λ的取值范围． 20．某冷饮店为了解气温对其营业额的影响，随机记录了该店1月份销售淡季中的日营业额x （单位：℃）的数据，如表所示： （Ⅰ）判定y 与x 的是正相关还是负相关；并求回归方程=x +；（Ⅱ）若该地1月份某天的最低气温为0℃，预测该店当日的营业额（参考公式： ==， =﹣b ．）21．为调查某社区居民的业余生活状况，研究居民的休闲方式与性别的关系，随机调查了该8012名以运动为休闲方式的居民，问其中男性居民有多少人？”？ABC=60°，AD=2，AB=PA=1，且PA ⊥平面ABCD ．（1）请判定PB 与AC 的位置关系，并证明； （2）求顶点A 到平面PCD 的距离．请考生在23~25三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。

2016-2017学年河北省石家庄二中高二（下）期末数学试卷（理科）一、单项选择题（每题5分，共60分）1．（5分）如图所示的韦恩图中，全集U＝R，若A＝{x|0≤x＜2}，B＝{x|x＞1}，则阴影部分表示的集合为（）A．{x|x＞1}B．{x|1＜x＜2}C．{x|x＞2}D．{x|x≥2}2．（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知命题p：对任意x∈R，总有2x＞0；q：“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧￢q C．￢p∧q D．p∧￢q4．（5分）不等式1＜|x+1|＜3的解集为（）A．（0，2）B．（﹣2，0）∪（2，4）C．（﹣4，0）D．（﹣4，﹣2）∪（0，2）5．（5分）直线（t为参数）的倾斜角为（）A．70°B．20°C．160°D．110°6．（5分）若函数y＝f（x）的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象可能是（）A．B．C．D．7．（5分）设函数f（x）＝g（x）+x2，曲线y＝g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y＝2x+1，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处切线的斜率为（）A．4B．﹣C．2D．﹣8．（5分）函数f（x）＝，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（）A．[﹣1，2]B．[﹣1，0]C．[1，2]D．[0，2]9．（5分）已知实数a＞0，且a≠1，函数f（x）＝log a|x|在（﹣∞，0）上是减函数，又g （x）＝a x+，则下列选项正确的（）A．g（﹣2）＜g（1）＜g（3）B．g（1）＜g（﹣2）＜g（3）C．g（3）＜g（﹣2）＜g（1）D．g（﹣2）＜g（3）＜g（1）10．（5分）已知函数f（x）＝，若∃x1，x2∈R，x1≠x2，使得f（x1）＝f （x2）成立，则实数a的取值范围是（）A．a＜2B．a＞2C．﹣2＜a＜2D．a＞2或a＜﹣2 11．（5分）将函数y＝﹣x2+x（x∈[0，1]）图象绕点（1，0）顺时针旋转θ角（0＜θ＜）得到曲线C，若曲线C仍是一个函数的图象，则θ的最大值为（）A．B．C．D．12．（5分）已知a为常数，函数f（x）＝x（lnx﹣ax）有两个极值点x1，x2（x1＜x2）（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，共20分）13．（5分）若关于x的不等式|x﹣2|+|x+4|＜a的解集是空集，则实数a的取值范围是．14．（5分）设直线y＝x+b是曲线y＝lnx（x＞0）的一条切线，则实数b的值为．15．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x2﹣4x，则不等式f （x）＞x的解集为．16．（5分）设函数f（x）＝﹣e x﹣x图象上任意一点处的切线为l1，函数g（x）＝ax+2cos x 的图象上总存在一条切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为．三、解答题（共70分）：17．（10分）选修4﹣5：不等式选讲设函数f（x）＝|x+1|+|x﹣a|（a＞0）（Ⅰ）若a＝2时，解不等式f（x）≤4；（Ⅱ）若不等式f（x）≤4对一切x∈[a，2]恒成立，求实数a的取值范围．18．（12分）某企业为了更好地了解设备改造前后与生产合格品的关系，随机抽取了180件产品进行分析，其中设备改造前的合格品有36件，不合格品有49件，设备改造后生产的合格品有65件，不合格品有30件．根据所给数据：（1）写出2×2列联表；（2）判断产品是否合格与设备改造是否有关，说明理由．附：K2＝，数据支持：（65×49﹣36×30）2＝4431025 101×79×85×95＝64430825．19．（12分）在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝4cosθ，直线l的参数方程为：（t为参数），两曲线相交于M，N两点．（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）若P（﹣2，﹣4），线段MN的中点为Q，求P点到Q点距离|PQ|．20．（12分）已知定义域为R的函数f（x）＝是奇函数．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围．21．（12分）设f（x）＝﹣x3+x2+2ax（1）若f（x）在（，+∞）上存在单调递增区间，求a的取值范围．（2）当0＜a＜2时，f（x）在[1，4]的最小值为﹣，求f（x）在该区间上的最大值．22．（12分）已知函数f（x）＝lnx+（1）求f（x）的单调区间（2）若x＞0时，＞恒成立，求a的范围．2016-2017学年河北省石家庄二中高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、单项选择题（每题5分，共60分）1．（5分）如图所示的韦恩图中，全集U＝R，若A＝{x|0≤x＜2}，B＝{x|x＞1}，则阴影部分表示的集合为（）A．{x|x＞1}B．{x|1＜x＜2}C．{x|x＞2}D．{x|x≥2}【解答】解：阴影部分表示的集合为B∩∁U A，∵A＝{x|0≤x≤2），B＝{x|x＞1}，∴∁U A＝{x|x≥2或x＜0}，则B∩∁U A＝{x|≥2}，故选：D．2．（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵，∴对应点的坐标是（﹣2，2）∴对应的点位于第二象限，故选：B．3．（5分）已知命题p：对任意x∈R，总有2x＞0；q：“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧￢q C．￢p∧q D．p∧￢q【解答】解：因为命题p对任意x∈R，总有2x＞0，根据指数函数的性质判断是真命题；命题q：“x＞1”不能推出“x＞2”；但是“x＞2”能推出“x＞1”所以：“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件，故q是假命题；所以p∧￢q为真命题；故选：D．4．（5分）不等式1＜|x+1|＜3的解集为（）A．（0，2）B．（﹣2，0）∪（2，4）C．（﹣4，0）D．（﹣4，﹣2）∪（0，2）【解答】解：1＜|x+1|＜3⇔1＜|x+1|2＜9即即，解得，即x∈（﹣4，﹣2）∪（0，2）解法二：1＜|x+1|＜3⇔⇔解得x∈（﹣4，﹣2）∪（0，2）故选：D．5．（5分）直线（t为参数）的倾斜角为（）A．70°B．20°C．160°D．110°【解答】解：根据题意，设直线的倾斜角为θ，直线的参数方程为，则直线的普通方程为：y﹣2＝tan20°（x﹣1），则有tanθ＝tan20°，且0°≤θ＜180°，则直线的倾斜角为20°，故选：B．6．（5分）若函数y＝f（x）的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数y＝f（x）的导函数在区间[a，b]上是增函数，∴对任意的a＜x′＜x″＜b，有f′（a）＜f′（x′）＜f′（x″）＜f′（b），也即在a，x'，x“，b处它们的斜率是依次增大的．∴A满足上述条件，B存在f′（x′）＞f′（x″），C对任意的a＜x′＜x″＜b，f′（x′）＝f′（x″），D对任意的x∈[a，b]，f′（x）不满足逐项递增的条件，故选：A．7．（5分）设函数f（x）＝g（x）+x2，曲线y＝g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y ＝2x+1，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处切线的斜率为（）A．4B．﹣C．2D．﹣【解答】解：f′（x）＝g′（x）+2x．∵y＝g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y＝2x+1，∴g′（1）＝2，∴f′（1）＝g′（1）+2×1＝2+2＝4，∴y＝f（x）在点（1，f（1））处切线斜率为4．故选：A．8．（5分）函数f（x）＝，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（）A．[﹣1，2]B．[﹣1，0]C．[1，2]D．[0，2]【解答】解：由于f（x）＝，则当x＝0时，f（0）＝a2，由于f（0）是f（x）的最小值，则（﹣∞，0]为减区间，即有a≥0，则有a2≤x++a，x＞0恒成立，由x+≥2＝2，当且仅当x＝1取最小值2，则a2≤2+a，解得﹣1≤a≤2．综上，a的取值范围为[0，2]．故选：D．9．（5分）已知实数a＞0，且a≠1，函数f（x）＝log a|x|在（﹣∞，0）上是减函数，又g （x）＝a x+，则下列选项正确的（）A．g（﹣2）＜g（1）＜g（3）B．g（1）＜g（﹣2）＜g（3）C．g（3）＜g（﹣2）＜g（1）D．g（﹣2）＜g（3）＜g（1）【解答】解：根据题意，当x∈（﹣∞，0）时，f（x）＝log a|x|＝log a（﹣x），若函数f（x）＝log a|x|在（﹣∞，0）上是减函数，即log a（﹣x）在在（﹣∞，0）上是减函数，则有a＞1，又g（x）＝a x+，有g（﹣x）＝a﹣x+＝a x+＝g（x），即g（x）＝g（﹣x），则函数g（x）为偶函数，则有g（﹣2）＝g（2），当x＞0时，g′（x）＝a x lna﹣lna＝lna（a x﹣）＞0，则函数g（x）在（0，+∞）为增函数，则g（1）＜g（2）＝g（﹣2）＜g（3）；故选：B．10．（5分）已知函数f（x）＝，若∃x1，x2∈R，x1≠x2，使得f（x1）＝f （x2）成立，则实数a的取值范围是（）A．a＜2B．a＞2C．﹣2＜a＜2D．a＞2或a＜﹣2【解答】解：若∃x1，x2∈R，x1≠x2，使得f（x1）＝f（x2）成立，则说明f（x）在R上不单调①当a＝0时，f（x）＝，其图象如图所示，满足题意②当a＜0时，函数y＝﹣x2+ax的对称轴x＝＜0，其图象如图所示，满足题意③当a＞0时，函数y＝﹣x2+ax的对称轴x＝＞0，其图象如图所示，要使得f（x）在R上不单调则只要二次函数的对称轴x＝∴a＜2综上可得，a＜2故选：A．11．（5分）将函数y＝﹣x2+x（x∈[0，1]）图象绕点（1，0）顺时针旋转θ角（0＜θ＜）得到曲线C，若曲线C仍是一个函数的图象，则θ的最大值为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，函数图象如图所示，函数在[0，]上为增函数，在[，1]上为减函数．设函数在x＝1处，切线斜率为k，则k＝f'（1）∵f'（x）＝﹣2x+1，∴∴k＝f'（1）＝﹣1，可得切线的倾斜角为135°，因此，要使旋转后的图象仍为一个函数的图象，旋转θ后的切线倾斜角最多为90°，也就是说，最大旋转角为135°﹣90°＝45°，即θ的最大值为45°即．故选：B．12．（5分）已知a为常数，函数f（x）＝x（lnx﹣ax）有两个极值点x1，x2（x1＜x2）（）A．B．C．D．【解答】解：∵f′（x）＝lnx+1﹣2ax，（x＞0）令f′（x）＝0，由题意可得lnx＝2ax﹣1有两个解x1，x2⇔函数g（x）＝lnx+1﹣2ax有且只有两个零点⇔g′（x）在（0，+∞）上的唯一的极值不等于0．．①当a≤0时，g′（x）＞0，f′（x）单调递增，因此g（x）＝f′（x）至多有一个零点，不符合题意，应舍去．②当a＞0时，令g′（x）＝0，解得x＝，∵x，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增；时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减．∴x＝是函数g（x）的极大值点，则＞0，即＞0，∴ln（2a）＜0，∴0＜2a＜1，即．故当0＜a＜时，g（x）＝0有两个根x1，x2，且x1＜＜x2，又g（1）＝1﹣2a＞0，∴x1＜1＜＜x2，从而可知函数f（x）在区间（0，x1）上递减，在区间（x1，x2）上递增，在区间（x2，+∞）上递减．∴f（x1）＜f（1）＝﹣a＜0，f（x2）＞f（1）＝﹣a＞﹣．故选：D．二、填空题（每题5分，共20分）13．（5分）若关于x的不等式|x﹣2|+|x+4|＜a的解集是空集，则实数a的取值范围是（﹣∞，6]．【解答】解析：不等式|x﹣2|+|x+4|＜a的解集为∅，又∵|x﹣2|+|x+4|≥|x﹣2﹣（x+4）|＝6．∴|x﹣2|+|x+4|的最小值为6，故a∈（﹣∞，6]．故答案为：（﹣∞，6]．14．（5分）设直线y＝x+b是曲线y＝lnx（x＞0）的一条切线，则实数b的值为ln2﹣1．【解答】解：y′＝（lnx）′＝，令＝得x＝2，∴切点为（2，ln2），代入直线方程y＝x+b，∴ln2＝×2+b，∴b＝ln2﹣1．故答案为：ln2﹣115．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x2﹣4x，则不等式f （x）＞x的解集为（﹣5，0）∪（5，+∞）．【解答】解：若x＜0，则﹣x＞0，∵当x＞0时，f（x）＝x2﹣4x，∴当﹣x＞0时，f（﹣x）＝x2+4x，∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x）＝x2+4x＝﹣f（x），则f（x）＝﹣x2﹣4x，x＜0，当x＞0时，不等式f（x）＞x等价为x2﹣4x＞x即x2﹣5x＞0，得x＞5或x＜0，此时x＞5，当x＜0时，不等式f（x）＞x等价为﹣x2﹣4x＞x即x2+5x＜0，得﹣5＜x＜0，当x＝0时，不等式f（x）＞x等价为0＞0不成立，综上，不等式的解为x＞5或﹣5＜x＜0，故不等式的解集为（﹣5，0）∪（5，+∞），故答案为：（﹣5，0）∪（5，+∞）16．（5分）设函数f（x）＝﹣e x﹣x图象上任意一点处的切线为l1，函数g（x）＝ax+2cos x 的图象上总存在一条切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为[﹣1，2]．【解答】解：由f（x）＝﹣e x﹣x，得f′（x）＝﹣e x﹣1，∵e x+1＞1，∴∈（0，1），由g（x）＝ax+2cos x，得g′（x）＝a﹣2sin x，又﹣2sin x∈[﹣2，2]，∴a﹣2sin x∈[﹣2+a，2+a]，要使过曲线f（x）＝﹣e x﹣x上任意一点的切线为l1，总存在过曲线g（x）＝ax+2cos x上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则，解得﹣1≤a≤2．即a的取值范围为﹣1≤a≤2．故答案为：[﹣1，2]．三、解答题（共70分）：17．（10分）选修4﹣5：不等式选讲设函数f（x）＝|x+1|+|x﹣a|（a＞0）（Ⅰ）若a＝2时，解不等式f（x）≤4；（Ⅱ）若不等式f（x）≤4对一切x∈[a，2]恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由于函数f（x）＝|x+1|+|x﹣a|（a＞0），若a＝2时，则不等式f（x）≤4 即|x+1|+|x﹣2|≤4．而由绝对值的意义可得|x+1|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到﹣2和2对应点的距离之和，而﹣和应点到﹣2和2对应点的距离之和正好等于4，故不等式f（x）≤4的解集为[﹣，]．（Ⅱ）当x∈[a，2]，不等式即x+1+x﹣a≤4，解得a≥2x﹣3．由于2x﹣3的最大值为2×2﹣3＝1，∴a≥1，故1≤a≤2，实数a的取值范围为[1，2]．18．（12分）某企业为了更好地了解设备改造前后与生产合格品的关系，随机抽取了180件产品进行分析，其中设备改造前的合格品有36件，不合格品有49件，设备改造后生产的合格品有65件，不合格品有30件．根据所给数据：（1）写出2×2列联表；（2）判断产品是否合格与设备改造是否有关，说明理由．附：K2＝，数据支持：（65×49﹣36×30）2＝4431025 101×79×85×95＝64430825．【解答】解：（1）由题意，填写列联表如下；﹣﹣﹣﹣﹣﹣4分（2）根据列联表中的数据，计算K2的观测值为k＝≈12.38，﹣﹣﹣﹣﹣8分由于12.38＞10.828，所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为产品是否合格与设备改造有关．﹣﹣﹣12分．19．（12分）在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝4cosθ，直线l的参数方程为：（t为参数），两曲线相交于M，N两点．（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）若P（﹣2，﹣4），线段MN的中点为Q，求P点到Q点距离|PQ|．【解答】解：（1）曲线C：y2＝4x直线l：x﹣y﹣2＝0．（2）可知P在直线l上，将代入y2＝4x得，设M、N对应的参数分别为t 1，t2可得，∴．20．（12分）已知定义域为R的函数f（x）＝是奇函数．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）是奇函数，所以f（0）＝0，即又由f（1）＝﹣f（﹣1）知．所以a＝2，b＝1．经检验a＝2，b＝1时，是奇函数．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，易知f（x）在（﹣∞，+∞）上为减函数．又因为f（x）是奇函数，所以f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0等价于f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）＝f（k﹣2t2），因为f（x）为减函数，由上式可得：t2﹣2t＞k﹣2t2．即对一切t∈R有：3t2﹣2t﹣k＞0，从而判别式．所以k的取值范围是k＜﹣．21．（12分）设f（x）＝﹣x3+x2+2ax（1）若f（x）在（，+∞）上存在单调递增区间，求a的取值范围．（2）当0＜a＜2时，f（x）在[1，4]的最小值为﹣，求f（x）在该区间上的最大值．【解答】解：（1）f′（x）＝﹣x2+x+2af（x）在存在单调递增区间∴f′（x）≥0在有解∵f′（x）＝﹣x2+x+2a对称轴为∴递减∴f′（x）≤f′（）＝+2a，由0≤+2a，解得a≥﹣．检验a＝﹣时，f（x）的增区间为（，），故不成立．故a＞﹣．（2）当0＜a＜2时，△＞0；f′（x）＝0得到两个根为；（舍）∵∴时，f′（x）＞0；时，f′（x）＜0当x＝1时，f（1）＝2a+；当x＝4时，f（4）＝8a＜f（1）当x＝4时最小∴＝解得a＝1所以当x＝时最大为22．（12分）已知函数f（x）＝lnx+（1）求f（x）的单调区间（2）若x＞0时，＞恒成立，求a的范围．【解答】解：（1）f′（x）＝﹣，令g（x）＝x2+2（1﹣a）x+1，△＝4a（a﹣2）．当0≤a≤2时，x∈（0，+∞），f′（x）≥0，函数f（x）单调递增．当a＜0时，x∈（0，+∞），f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．当a＞2时，f′（x）＝0两根为x1＝a﹣1﹣，x2＝a﹣1+，x∈（0，x1），f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；x∈（x2，+∞），f′（x）＞0，f（x）单调递增；x∈（x1，x2），f′（x）＜0，f（x）单调递减．综上当a≤2时，单调递增区间为（0，+∞）．当a＞2时，单调递增区间为：，；单调递减区间为：（a﹣1﹣，a﹣1+）．（2）x＞0时，＞恒成立，即证整理得＞0，即证x＞1时，lnx+﹣a＞0；即证0＜x＜1时，lnx+﹣a＜0．令h（x）＝lnx+﹣a，h′（x）＝．当a≤2时，h′（x）≥0，h（x）在（0，+∞）单调递增，h（1）＝0．x＞1时，h（x）＝lnx+﹣a＞h（1）＝0．0＜x＜1时，h（x）＝lnx+﹣a＜h（1）＝0．当a＞2时，（x）＜0．0＜x＜1时，h（x）＝lnx+﹣a＞h（1）＝0，不合题意，舍去．综上：a≤2．。

石家庄二中2016～2017学年第二学期期末考试高二数学（文科）试题命题人： 审题人： 考试时间为120分钟，总分150分一、单项选择题（每题5分，共60分）：1.如图所示的韦恩图中，全集U=R ，若{|02}A x x =≤<，{|1}B x x =>，则阴影部分表示的集合为（ ）．A ．{}1x x > B ．{}12x x << C ．{}2x x > D ．{}2x x ³2.复平面内，复数2(1对应的点位于 （ ）(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限3.已知命题:p 对任意x R Î，总有20x >；:"1"q x >是"2"x >的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（ ）.A p q ∧ .B p q ⌝∧⌝ .C p q ⌝∧ .D p q ∧⌝4．不等式1＜|x ＋1|＜3的解集为 ( )A ．(0,2)B ．(－2, 0)∪(2,4)C ．(－4,0)D ．(－4，－2)∪(0,2) 5. 如果函数32(),(,,)f x x ax bx c a b c R =+++∈在R 上不单调，则（ ）A ．b a 32<B ．b a 32≤C ．b a 32>D ．b a 32≥6．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t sin70°，y ＝2＋t cos70°(t 为参数)的倾斜角为 ( ) A ．70° B ．20° C ．160° D ．110°7、若函数y ＝f (x )的导函数f ′(x )在区间[a ，b ]上是增函数，则函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象可能是( )8.设函数2()()f x g x x =+，曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为 ( )A ．4B ．14-C ．2D ．12-9.定义在R 上的可导函数()f x ，已知()f x y e '=的图象如图所示，则()y f x =的增区间是（ ）A ．(,1)-∞B ．(,2)-∞C ．(0,1)D ．(1,2)()()()()()2,001,0.1,2.1,0.1,2.0,2x a x f x f f x a x a x x A B C D ìï-?ïï=íï++>ïïïî轾轾轾轾--犏犏犏犏臌臌臌臌10、，若是的最小值，则的取值范围是11、已知函数2,1,()1,1,x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩若1212,,x x x x ∃∈≠R ，使得12()()f x f x =成立，则实数a 的取值范围是( )A.2a <B.2a >C.22a -<<D.2a >或2a <-12将函数()20,1y x x x 轾=-+?犏臌图像绕点（1,0）顺时针旋转q 角02p q 骣÷ç<<?ç÷ç÷桫得到曲线C ，若曲线C 仍是一个函数的图像，则q 的最大值为（ ） A ．6p B ．4p C. 3p D. 512p二、填空题（每题5分，共20分）13.若关于x 的不等式|x －2|＋|x ＋4|＜a 的解集是空集，则实数a 的取值范围是__________． 14.直线12y x b =+是曲线()ln 0y x x =>的一条切线，则实数b ＝ ．15. 已知()f x 是定义在R 上的奇函数.当0x >时,2()6f x x x =-,则不等式()f x x >的解集为___________.16. 设函数()x x f x e =--图像上任意一点处的切线为1l ，函数()2cos g x ax x =+的图象上总存在一条切线2l ，使得12l l ^，则实数a 的取值范围为 三、解答题（共70分）：17（本题10分）、在平面直角坐标系xoy 中，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=，直线l 的参数方程为: 224x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），两曲线相交于,M N 两点.（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （2）若(2,4)P --求PM PN +的值.18（本题12分）已知命题2:10p x m x ++=有两个不等的负根；命题2:44(2)10q x m x +-+=无实根. 若命题p 与命题q 有且只有一个为真，求实数m 的取值范围.19（本题12分）．设函数()|1|||(0)f x x x a a =++-> （1）若2a =时，解不等式()4f x ≤；（2）若不等式()4f x ≤的对一切[,2]x a ∈恒成立，求实数a 的取值范围.20（本题12分）、已知定义域为R 的函数12()2x x bf x a+-+=+是奇函数。