电动力学习题解答4

第四章 电磁波的传播1. 考虑两列振幅相同、偏振方向相同、频率分别为ωωd +和ωωd -的线偏振平面波，它们都沿z 轴方向传播。

（1）求合成波，证明波的振幅不是常数，而是一个波。

（2）求合成波的相位传播速度和振幅传播速度。

解：根据题意，设两列波的电场表达式分别为：)cos()(),(1101t z k t ω-=x E x E ； )cos()(),(2202t z k t ω-=x E x E则合成波为)]cos())[cos((),(),(2211021t z k t z k t t ωω-+-=+=x E x E x E E)22cos()22cos()(2212121210t z k k t z k k ωωωω---+-+=x E 其中 dk k k +=1，dk k k -=2；ωωωd +=1，ωωωd -=2所以 )cos()cos()(20t d z dk t kz ⋅-⋅-=ωωx E E用复数表示 )](ex p[)cos()(20t kz i t d z dk ωω-⋅-⋅=x E E相速由 t kz ωφ-=确定，k dt dz v p //ω==群速由 t d z dk ⋅-⋅=ωφ'确定，dk d dt dz v g //ω==2. 一平面电磁波以=θ45°从真空入射到2=r ε的介质，电场强度垂直于入射面，求反射系数和折射系数。

解：设 n 为界面法向单位矢量，S 、'S 、"S 分别为入射波、反射波和折射波的玻印亭矢量的周期平均值，则反射系数R 和折射系数T 定义为：2020''E E R =⋅⋅=n S nS ， 201202cos ""cos "E n E n T θθ=⋅⋅=n S n S 又根据电场强度垂直于入射面的菲涅耳公式，可得22121"cos cos "cos cos ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=θεθεθεθεR ， R T -=+=1)"cos cos ("cos cos 422121θεθεθθεε 根据折射定律可得：︒=30"θ，代入上式，得3232+-=R ， 3232+=T 3. 有一可见平面光波由水入射到空气，入射角为60°，证明这时将会发生全反射，并求折射波沿表面传播的相速度和透入空气的深度。

设该波在空气中的波长为501028.6-⨯=λcm ，水的折射率为n =1.33。

解：由折射定律得，临界角︒==75.48)33.1/1arcsin(c θ，所以当平面光波以60°角入射时，将会发生全反射。

由于 θsin k k x='' 所以折射波相速度 2/3sin /sin /sin //c n c v k k v xp ====''''=θθθωω水 透入空气的深度为5225221211107.1)4/3(60sin 2/1028.6sin 2/---⨯≈-⨯=-= πθπλκn cm4. 频率为ω的电磁波在各向异性介质中传播时，若H B D E ,,,仍按)(t i e ω-⋅x k 变化，但D不再与E 平行（即E D ε=不成立）。

（1）证明0=⋅=⋅=⋅=⋅E B D B D k B k ，但一般0≠⋅E k 。

（2）证明μω22/])([k E k E D ⋅-=k 。

（3）证明能流S 与波矢k 一般不在同一方向上。

证明：1）麦氏方程组为：t ∂-∂=⨯∇/B E （1）t ∂∂=⨯∇/D H （2）0=⋅∇D （3）0=⋅∇B （4）由（4）式得： 0)(0)(0=⋅=⋅=∇⋅=⋅∇-⋅-⋅B k B k B B x k x k i e i et i t i ωω 0=⋅∴B k （5）同理由（3）式得：0=⋅D k （6）由（2）式得： D H k H H x k ωωi i et i -=⨯=⨯∇=⨯∇-⋅0)(][ ωμω//B k H k D ⨯-=⨯-=∴ （7）0/)(=⨯⋅-=⋅ωμB k B D B （8）由（1）式得：B E k E E x k ωωi i et i -=⨯=⨯∇=⨯∇-⋅0)(][ ω/E k B ⨯=∴ （9）0/)(=⋅⨯=⋅ωE E k E B （10）由（5）、（8）可知：B k ⊥；B D ⊥；B E ⊥，所以D E k ,,共面。

又由（6）可知：D k ⊥，所以，当且仅当D E //时，k E ⊥。

所以，各向异性介质中，一般0≠⋅E k 。

2）将（9）式代入（7）式，便得：μωμω222/])([/)(k E k E E k k D ⋅-=⨯⨯-=k3）由（9）式得 ωμ/E k H ⨯=ωμωμ/])([/)(2E E k k E k E H E S ⋅-=⨯⨯=⨯=∴E由于一般情况下0≠⋅E k ，所以 S 除了k 方向的分量外，还有 E 方向的分量，即能流 S 与波矢 k 一般不在同一方向上。

5. 有两个频率和振幅都相等的单色平面波沿z 轴传播，一个波沿x 方向偏振，另一个沿y 方向偏振，但相位比前者超前2π，求合成拨的偏振。

反之，一个圆偏振可以分解为怎样的两个线偏振？解：偏振方向在 x 轴上的波可记为)cos()cos(000x x t A kz t A E ϕωω-=-=在 y 轴上的波可记为)cos()2/cos(000y y t A kz t A E ϕωπω-=+-=2/00πϕϕϕ=-=∆x y合成得轨迹方程为：)](cos )([cos 02022022y x y x t t A E E ϕωϕω-+-=+20020220)](sin )([cos A t t A x x =-+-=ϕωϕω所以，合成的振动是一个圆频率为ω的沿 z 轴方向传播的右旋圆偏振。

反之一个圆偏振可以分解为两个偏振方向垂直，同振幅，同频率，相位差为2/π的线偏振的合成。

6. 平面电磁波垂直射到金属表面上，试证明透入金属内部的电磁波能量全部变为焦耳热。

证明：设在 z >0 的空间中是金属导体，电磁波由 z <0 的空间中垂直于导体表面入射。

已知导体中电磁波的电场部分表达式是：)(0t x i z e e ωβα--=E E于是，单位时间内由 z =0 表面的单位面积进入导体的能量为：H E S ⨯=， 其中 ωμαβωμ/)(/E n E k H ⨯+=⨯=iS 的平均值为 ωμβ2/)*Re(2021E S =⨯=H E 在导体内部： )(0t x i z e e ωβασσ--==E E J 金属导体单位体积消耗的焦耳热的平均值为：2/)*Re(22021z eE dQ ασ-=⨯=E J 作积分：ασσα4/20022021E dz e E Q z ==⎰∞- 即得界面上单位面积对应的导体中消耗的平均焦耳热。

又因为 2/ωμσαβ=，所以ωμβασ2/4/2020E E Q ==，原题得证。

7. 已知海水的1=r μ，1=σS ·m -1，试计算频率ν为50，106和109Hz 的三种电磁波在海水中的透入深度。

解：取电磁波以垂直于海水表面的方式入射，透射深度为：πνμσωμσαδ/1/2/1===由于 1=r μ，所以0μμ=，σπνμδ0/1=1） 当50=νHz 时, 72110450/171=⨯⨯⨯⨯=-ππδm2）当610=νHz 时, 5.0110410/1762≈⨯⨯⨯⨯=-ππδm3）当910=νHz 时, 16110410/1793≈⨯⨯⨯⨯=-ππδmm8. 平面电磁波由真空倾斜入射到导电介质表面上，入射角为1θ。

求导电介质中电磁波的相速度和衰减长度。

若导电介质为金属，结果如何？提示：导电介质中的波矢量αβk i +=，α只有z 分量。

（为什么？）解：根据题意,取入射面为 xz 平面，z 轴沿分界面法线方向，如图所示。

设导体中的电磁波表示为：)(0t i e e ω-⋅⋅-=x βx αE E z而 αβk i += k上式中βα,满足： θμεωαβ222=- （1） x 2/ωμε=⋅βα （2） 1θ 2θ根据边界条件得： k 1 k 2c k k i k x x x x /)sin (sin 1111θωθαβ===+= （3）01==+=y y y y k i k αβ （4）∴0=x α，c x /)sin (1θωβ=，0=y α，0=y β。

将结果代入（1）、（2）得：μεωαβθω222221/)sin (=-+z z c （5）2/ωμε=z z βα （6） 解得：21222221222122222])sin [(21)sin (21σμωμεωθωθωμεωβ+-+-=c cz 21222212222122222])sin [(21)sin (21σμωθωμεωθωμεωα+-+--=c c z 其相速度为：22//z x v ββωβω+==。

衰减深度为：z αα/1/1=。

如果是良导体，2k 的实部与其虚部相比忽略，则：⎩⎨⎧==-+2/0/)sin (22221ωμεαβθωz z z z βαc 21222144412222)sin (21sin 2σμωθωθωβ++-=∴c cz 21222144412222)sin (21sin 2σμωθωθωα++=c cz 9. 无限长的矩形波导管，在z=0处被一块垂直插入的理想导体平板完全封闭，求在-∞=z 到z=0这段管内可能存在的波模。

解：在此结构的波导管中，电磁波的传播满足亥姆霍兹方程：022=+∇E E k ，00εμω=k ，0=⋅∇E电场的三个分量通解形式相同，均为：)cos sin )(cos sin )(cos sin (),,(332211z k D z k C y k D y k C x k D x k C z y x E z z y y x x +++=边界条件为：在0=x 及a x =两平面：0==z y E E ，0/=∂∂x E x在0=y 及b y =两平面：0==z x E E ，0/=∂∂y E y在0=z 平面： 0==y x E E ，0/=∂∂z E z由此可得：z k y k x k A E z y x x sin sin cos 1=z k y k x k A E z y x y sin cos sin 2=z k y k x k A E z y x z cos sin sin 3=波数满足：a m k x /π=，b n k y /π=，（⋅⋅⋅⋅⋅⋅=2,1,0,n m ）22002222/c k k k z y x ωεμω==++振幅满足：0//321=++z k A b n A a m A ππ综合上述各式，即得此种波导管中所有可能电磁波的解。