二次函数经典解题技巧

龙文教育学科教师辅导讲义2ax bx c 与y 轴有且只有一个交点(o ，c )：①c 0，抛物线经过原点：②c 0,与y 轴交于正半轴；③ c 0,与y 轴交于负半轴b以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立•如抛物线的对称轴在 y 轴右侧，则 一 0 .a11.用待定系数法求二次函数的解析式 (1 )一般式：2y ax bx c .已知图像上三点或三对 x 、y 的值，通常选择一般式.(2 )顶点式：y a x h 2 k .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(3 )交点式： 已知图像与 x 轴的交点坐标 x 2，通常选用交点式： y ax x 1 x x 212.直线与抛物线的交点2(1) y 轴与抛物线y ax bx c 得交点为(0, c ).3求抛物线的顶点、对称轴的方法1 )公式法：yax 2 bx cba x ——2a4ac b 2 4a，二顶点是(b 4ac b 2 2a ' 4a对称轴是直线x ——.2a(2)配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为2y ax h k 的形式，得到顶点为(h ,k ),对称轴是直线x h .(3 )运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失29.抛物线 y ax bx c 中，a,b, c 的作用2(1) a 决定开口方向及开口大小，这与 y ax 中的a 完全一样.(2) 2b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y ax bxc 的对称轴是直线bx —，故：①b 0时,2a号)时，对称轴在 y 轴右侧.对称轴为y 轴；②- 0 (即a 、b 同号)时，对称轴在 y 轴左侧；③- 0 (即a 、b 异a a(3)2bx c 与y 轴交点的位置.当x 0时，y c ，「.抛物线(2)与y 轴平行的直线x h 与抛物线y ax 2 bx c 有且只有一个交点(h ,ah 2 bh c ). (3)抛物线与X 轴的交点2 2二次函数y ax bx c 的图像与x 轴的两个交点的横坐标 x 1、x 2，是对应一元二次方程 ax bx c 0的两个实数6、点到坐标轴及原点的距离点P(x,y)到坐标轴及原点的距离:5、反比例函数中反比例系数的几何意义 考点三、二次函数的最值b如果自变量的取值范围是 X i X X 2，那么，首先要看—是否在自变量取值范围2aX= — 时，y 最值4ac―—；若不在此范围内，则需要考虑函数在x 1 x x 2范围内的2a4a如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值(或最小值)，即当Xb4ac 2a 时，y 最值4ab 2 根•抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定: ① 有两个交点0 抛物线与x 轴相交；② 有一个交点(顶点在 x 轴上)③没有交点 0 抛物线与x 轴相离.(4)平行于X 轴的直线与抛物线的交点抛物线与X 轴相切;个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为则横坐标是ax 2 bx ck 的两个实数根.一次函数kx n k 0的图像I 与二次函数yax 2 bx c a 0的图像G 的交点，由方程组kx n ax 2bx的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时cI 与G 有两个交点；②方程组只有一组解时只有一个交点；③方程组无解时I 与G 没有交点.(6 )抛物线与X 轴两交点之间的距离：若抛物线2y ax bx c 与x 轴两交点为A x 1,0， B x 2,0，由于x 1 >x 2是方程2ax bx c 0的两个根, X-I x 2b ,X1aX 2ABX i2X 1 x 2X ix 2 2 4x^24c、b 2 4ac(1)点P(x,y)到X 轴的距离等(2)点P(x,y)到y 轴的距离等于 (3)点P(x,y)到原点的距离等于x 2如下图，过反比例函数 S=PM ?PN= y ?x |xy 。

k (k x k yx0)图像上任一点 P 作x 轴、 xy k, S k oy 轴的垂线 PM ，PN ，则所得的矩形 PMON 的面积X i X X 2内，若在此范围内，则当2、函数平移规律（中考试题中，只占 3分，但掌握这个知识点，对提高答题速度有很大帮助，可以大大节省做题的时间） X 2 X ix式方程，简称截距式： -a5、设两条直线分别为， h : y kmb 1 I2: yk 2x b 2 若111 // 12，则有 l 1 //12k 1k 2且 b 1 b 2若丨丨丨 1 2k 1 k 21如图，已知二次函数 B （o ，-5 ）• （1） 求该二次函数的解析式； （2） 已知该函数图象的对称轴上存在一点c 的图象与坐标轴交于点 （-1， O ）和点P ,使得△ ABP 的周长最小•请求出点P 的坐标.3、直线斜率：k tany 2 y i b 为直线在y 轴上的截距1，一般 2，两点4、直线方程：一般直线方程由直线上两点确定的直线的两点式方程，简称两点式一般两点斜截距ax+by+c=O点斜 y y i k （x x i ）斜截斜截式方程，简称斜截式：y = kx + b （k 工0）5，截距 由直线在x 轴和y 轴上的截距确定的直线的截距对于点 点 P （x o ，y o ）到直线 y=kx+b （即: kx-y+b=O ） 的距离：dkx o y o b 2vk 2（ 1）2P （x o ，y o ）到直线滴一般式方程ax+by+c=O 滴距离有kx 。

y o b、k 2 1--最最常用，记牢知道一点与斜率(2)令y=0 ,得二次函数y 2x 4x 5的图象与x轴的另一个交点坐标C (5, 0 ) ............ 5分由于P是对称轴X 2上一点,连结AB，由于AB OA2OB226 ,要使△ ABP的周长最小，只要PA PB最小.... ........................ 6分由于点A与点C关于对称轴x 2对称，连结BC交对称轴于点P,则PA PB = BP + PC =BC，根据两点之间，线段最短，可得PA PB的最小值为BC.因而BC与对称轴x 2的交点P就是所求的点..... .......................... 8分b 5 k 1kx b，根据题意，可得’ 解得’0 5k b. b所以直线BC的解析式为所求的点P的坐标为(2，-3 ) ...... ...................压轴题中求最值此种题多分类讨论，求岀函数关系式，再求各种情况的最值,典型例题：1如图，在梯形ABCD中，AD // BC，/ B = 90 °，BC =6，AD =3，/ DCB = 30 ° .点E、F同时从B点出发，沿射线BC向右匀速移动.已知F点移动速度是E点移动速度的2倍，以EF为一边在CB的上方作等边△ EFG •设E点移动距离为x (x > 0 ).(□△ EFG的边长是___ (用含有x的代数式表示)，当x = 2时，点G的位置在_____________ ;⑵若△ EFG与梯形ABCD重叠部分面积是y，求①当0v x<2时，y与x之间的函数关系式；②当2 v x<6时，y与x之间的函数关系式；⑶探求⑵中得到的函数y在x取含何值时，存在最大值，并求出最大值解得c1,5.二次函数的表达式为x24x 5 .A DB E —F —C设直线BC的解析式为y5.因此直线BC与对称轴x2的交点坐标是方程组2 x' 的解，解得x 5 y2,3.10最后求出最值。

44解：⑴x , D 点⑵①当0<x <2时，△ EFG 在梯形ABCD 内部，所以y = 2^x 2; 4 ②分两种情况：I .当2 <x < 3时，如图1，点E 、点F 在线段BC 上, △ E FG 与梯形ABCD 重叠部分为四边形 EFNM ， VZ FNC =Z FCN = 30 °，二 FN = FC = 6- 2x. /• GN = 3x -6. 由于在 Rt △ NMG 中，/ G = 60 °， 罷2罷所以，此时 y = ——x 2- （3x - 6） 4 8 II .当3 <x <6时，如图2，点E 在线段 △ E FG 与梯形ABCD 重叠部分为△ ECP •/ EC = 6 - x,BC 7i 3 2 x 8 上，点F 在射线CH 9 3x2 93 2上,图1-3 2 "^3 2 …y = — (6 — x )= x8 8⑶当0<x <2时，丁 y =丄3 x 2在x >0时, 4 x = 2 时，y 最大一 /3 ; 7 J 3 2 当 2 < x < 3 时，丁 y — ——x 8 当 3<x <6 时，T y - "-x 8 9巧 8 . x = 3时，y 最大 综上所述：当x = 18时, 7y 随x 增大而增大, 如图，直线y 3 -x 4 A 出发, (1) 9.3 x 2 3、3 x 2 y 最大一 — 7 9 3* 18 ---- 在x =—时，y 2 79 3 —-—在x < 6时，y 随x2 9 3最大=76分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点；直线y C图25 一x 与AB 交于点C ，与过点A 且平行于y 轴的直线交于点D.点E 从点 为边向右作正方形 PQMN.设正方形PQMN 与厶ACD 重叠部分（阴影部分）的面积为 求点C 的坐标. 以每秒1个单位的速度沿x 轴向左运动.过点E 4 作x 轴的垂线，分别交直线 AB 、OD 于P 、Q 两点，以PQ S （平方单位），点E 的运动时间为t （秒）. (2 ) (3) 0<t<5时，求S 与t 之间的函数关系式. （2 ）中S 的最大值. (4) t>o 时，直接写岀点 9 （4， ）在正方形PQMN 2 内部时t 的取值范围. 【参考公式：二次函数y=ax +bx+c 图象的顶点坐标为（ b 4ac b —, ).】2a 4aQp 0 E解：（1）由题意，得15二 C ( 3, 一 ).3—x 4 5 —x. 46, x解得y3, 15 ；v(2 )根据题意，得AE=t , 0E=8-t.•••点Q的纵坐标为5 (8-t)，点P的纵坐标为3 t,4 45 3• PQ= (8-t)- t=10-2t.4 410当MN 在AD 上时，10-2t=t , • t=—.3当0<t < 10时，S=t(10-2t)，即S=-2t 2+l0t.310当一< t<5 时，S=(10-2t)32，即S=4t 2-40t+100.105225525 (3 )当0<t < __ 时，S=-2(t-2+ ，• t=—时，S最大值=32222而减小，10100--1= -----时，S最大值=39当 < t<5 时，S=4(t-5) 2，: t<5 时，S 随t 的增大325 100 25 —> —，• S的最大值为一2 9 2(4) 4<t< 22或t>6. 5。