《三角恒等变换、解三角形》复习导学案

第2讲 三角恒等变换与解三角形正弦定理、余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查：1．边和角的计算．2．三角形形状的判断．3．面积的计算．4．有关参数的范围问题．由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来进行命题将是今后高考的一个关注点，不可轻视．热点一 三角恒等变换1．三角求值“三大类型”“给角求值”“给值求值”“给值求角”．2．三角函数恒等变换“四大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan 45°等．(2)项的分拆与角的配凑：如sin 2α＋2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α，α＝(α－β)＋β等．(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次．(4)弦、切互化：一般是切化弦．例1 (1)(2017·河南省洛阳市统考)设a ＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°，b ＝22(sin 56°－cos 56°)，c ＝1－tan 239°1＋tan 239°，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．b >a >cC ．c >a >bD ．a >c >b答案 D解析 由三角恒等变换的公式，可得a ＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°＝cos(50°－127°)＝cos(－77°)＝cos 77°＝sin 13°，b ＝22(sin 56°－cos 56°)＝22sin 56°－22cos 56° ＝sin(56°－45°)＝sin 11°，c ＝1－tan 239°1＋tan 239°＝1－sin 239°cos 239°1＋sin 239°cos 239°＝cos 239°－sin 239°＝cos 78°＝sin 12° .因为函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2为单调递增函数， 所以sin 13°>sin 12°>sin 11°，所以a >c >b ，故选D.(2)已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β等于( ) A.5π12 B.π3C.π4D.π6 答案 C解析 因为α，β均为锐角，所以－π2<α－β<π2. 又sin(α－β)＝－1010，所以cos(α－β)＝31010. 又sin α＝55，所以cos α＝255， 所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝55×31010－255×⎝⎛⎭⎫－1010＝22. 所以β＝π4. 思维升华 (1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现“张冠李戴”的情况．(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解．跟踪演练1 (1)(2017·河北省衡水中学三调)若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，则sin 2α的值为( ) A ．－118B.118 C ．－1718D.1718答案 C解析 由3cos 2α＝sin(π4－α)， 可得3(cos 2α－sin 2α)＝22(cos α－sin α)， 于是3(cos α＋sin α)＝22，所以1＋2sin αcos α＝118， 所以sin 2α＝－1718，故选C.(2)(2017届山东省师大附中模拟)已知sin ⎝⎛⎭⎫π6－α－cos α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝________. 答案 79解析 ∵sin ⎝⎛⎭⎫π6－α－cos α＝12cos α－32sin α－cos α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝13， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－13. 则cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝79. 热点二 正弦定理、余弦定理1．正弦定理：在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R (R 为△ABC 的外接圆半径)．变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C 等． 2．余弦定理：在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A .变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc . 例2 已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，c ＝3a sin C －c cos A .(1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c .解 (1)由c ＝3a sin C －c cos A 及正弦定理，得3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0.由于sin C ≠0，所以sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝12. 又0<A <π，故A ＝π3. (2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4. 而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8.解得b ＝c ＝2.思维升华 关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口．跟踪演练2 (2017·广西陆川县中学知识竞赛)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足a cos C ＝(2b －c )cos A .(1)求角A ；(2)若a ＝7，△ABC 的面积S △ABC ＝103，求b ＋c 的值．解 (1)由a cos C ＝(2b －c )cos A ，得sin A cos C ＝(2sin B －sin C )cos A ，即sin A cos C ＋cos A sin C ＝2sin B cos A ，即sin(A ＋C )＝2sin B cos A ，即sin B ＝2sin B cos A .∵sin B ≠0，∴cos A ＝12，而0<A <π2，∴A ＝π3. (2)由S △ABC ＝103，得12bc sin π3＝103，∴bc ＝40. ∵a ＝7，∴b 2＋c 2－2bc cos π3＝49，即b 2＋c 2＝89， 于是(b ＋c )2＝89＋2×40＝169，∴b ＋c ＝13(舍负).热点三 解三角形与三角函数的综合问题解三角形与三角函数的综合是近几年高考的热点，主要考查三角形的基本量，三角形的面积或判断三角形的形状．例3 (2017·河南省息县第一高级中学阶段测试)已知函数f (x )＝23sin x cos x －3sin 2x －cos 2x ＋2.(1)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求f (x )的值域； (2)若△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足b a ＝3，sin (2A ＋C )sin A＝2＋2cos(A ＋C )，求f (B )的值．解 (1)∵f (x )＝23sin x cos x －3sin 2x －cos 2x ＋2 ＝3sin 2x －2sin 2x ＋1 ＝3sin 2x ＋cos 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 又∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2， ∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6，sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴f (x )∈[－1,2]．(2)由题意可得sin [A ＋(A ＋C )]＝2sin A ＋2sin A cos(A ＋C )，∴sin A cos(A ＋C )＋cos A sin(A ＋C )＝2sin A ＋2sin A cos(A ＋C )，化简可得sin C ＝2sin A ，∴由正弦定理可得c ＝2a .∵b ＝3a ，∴由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－3a 22a ·2a ＝12， ∵0<B <π，∴B ＝π3，∴f (B )＝1. 思维升华 解三角形与三角函数的综合题，要优先考虑角的范围和角之间的关系；对最值或范围问题，可以转化为三角函数的值域来求．跟踪演练3 (2017届青岛市统一质量检测)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋m sin 2x (m ∈R )，f ⎝⎛⎭⎫π12＝2.(1)求m 的值；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝2，f ⎝⎛⎭⎫B 2＝3，△ABC 的面积是3，求△ABC的周长．解 (1)∵f ⎝⎛⎭⎫π12＝2，∴f ⎝⎛⎭⎫π12＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π12＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2×π12＋π6＋ m sin ⎝⎛⎭⎫2×π12＝sin π2＋cos π3＋m 2＝2， 解得m ＝1.(2)由(1)知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋sin 2x ＝sin 2x cos π3＋cos 2x sin π3＋cos 2x cos π6－ sin 2x sin π6＋sin 2x ＝3cos 2x ＋sin 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， ∴f ⎝⎛⎭⎫B 2＝2sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3＝ 3. ∵0<B <π，π3<B ＋π3<4π3， ∴B ＋π3＝2π3，则B ＝π3. 又∵S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ＝3， ∴ac ＝4.∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－3ac ＝4，∴(a ＋c )2＝4＋12＝16，∴a ＋c ＝4，∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝6.真题体验1．(2017·全国Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝________. 答案 75°解析 如图，由正弦定理，得3sin 60°＝6sin B ，∴sin B ＝22. 又c ＞b ，∴B ＝45°，∴A ＝180°－60°－45°＝75°.2．(2017·北京)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称 .若sin α＝13，则sin β＝________. 答案 13解析 由角α与角β的终边关于y 轴对称，可知α＋β＝π＋2k π(k ∈Z )，所以β＝2k π＋π－α(k ∈Z )，所以sin β＝sin α＝13. 3．(2017·江苏)若tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝16，则tan α＝________. 答案 75解析 方法一 ∵tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝tan α－tan π41＋tan αtan π4＝tan α－11＋tan α＝16. ∴6tan α－6＝1＋tan α(tan α≠－1)，∴tan α＝75. 方法二 tan α＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π4＋π4 ＝tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＋tan π41－tan ⎝⎛⎭⎫α－π4·tan π4＝16＋11－16＝75. 4．(2017·浙江)已知△ABC ，AB ＝AC ＝4，BC ＝2.点D 为AB 延长线上一点，BD ＝2，连接CD ，则△BDC 的面积是________，cos ∠BDC ＝________.答案 152 104解析依题意作出图形，如图所示，则sin ∠DBC ＝sin ∠ABC .由题意知AB ＝AC ＝4，BC ＝BD ＝2，则sin ∠ABC ＝154，cos ∠ABC ＝14， 所以S △BDC ＝12BC ·BD ·sin ∠DBC ＝12×2×2×154＝152. 因为cos ∠DBC ＝－cos ∠ABC ＝－14＝BD 2＋BC 2－CD 22BD ·BC ＝8－CD 28， 所以CD ＝10.由余弦定理，得cos ∠BDC ＝4＋10－42×2×10＝104. 押题预测1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A ＝23，sin B ＝5cos C ，并且a ＝2，则△ABC 的面积为________．押题依据 三角形的面积求法较多，而在解三角形中主要利用正弦、余弦定理求解，此题很好地体现了综合性考查的目的，也是高考的重点．答案 52 解析 因为0<A <π，cos A ＝23， 所以sin A ＝1－cos 2A ＝53. 又5cos C ＝sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝53cos C ＋23sin C ， 结合sin 2C ＋cos 2C ＝1，得sin C ＝56，cos C ＝16. 于是sin B ＝5cos C ＝56. 由a ＝2及正弦定理a sin A ＝c sin C，得c ＝ 3. 故△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝52. 2．已知函数f (x )＝3sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为2π3. (1)求ω的值；(2)在△ABC 中，sin B ，sin A ，sin C 成等比数列，求此时f (A )的值域．押题依据 三角函数和解三角形的交汇点命题是近几年高考命题的趋势，本题综合考查了三角变换、余弦定理和三角函数的值域，还用到数列、基本不等式等知识，对学生能力要求较高．解 (1)f (x )＝32sin 2ωx －12(cos 2ωx ＋1) ＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6－12， 因为函数f (x )的周期为T ＝2π2ω＝2π3，所以ω＝32. (2)由(1)知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x －π6－12， 易得f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎫3A －π6－12. 因为sin B ，sin A ，sin C 成等比数列，所以sin 2A ＝sin B sin C ，所以a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－bc 2bc≥2bc －bc 2bc ＝12(当且仅当b ＝c 时取等号)． 因为0<A <π，所以0<A ≤π3， 所以－π6<3A －π6≤5π6， 所以－12<sin ⎝⎛⎭⎫3A －π6≤1， 所以－1<sin ⎝⎛⎭⎫3A －π6－12≤12， 所以函数f (A )的值域为⎝⎛⎦⎤－1，12.A 组 专题通关1．(2017·贵阳市第一中学适应性考试)已知在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝10，c＝3，cos A ＝14，则b 等于( ) A. 2 B. 3C ．2D ．3答案 C解析 由余弦定理知，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得10＝b 2＋9－2·b ·3·14 , b 2－32b －1＝0，所以(b －2)(b ＋12)＝0，解得b＝2(舍负)，故选C.2．tan 70°＋tan 50°－3tan 70°tan 50°的值等于()A. 3B.3 3C．－33D．－ 3答案 D解析因为tan 120°＝tan 70°＋tan 50°1－tan 70°tan 50°＝－3，即tan 70°＋tan 50°－3tan 70°tan 50°＝－ 3.3．(2017·荆、荆、襄、宜四地七校联考)已知α为第四象限角，sin α＋cos α＝15，则tan α2的值为( ) A ．－12B.12 C ．－13D.13答案 C解析 由sin α＋cos α＝15平方，得1＋2sin αcos α＝125⇒2sin αcos α＝－2425⇒(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝4925. 因为α为第四象限角，所以sin α<0，cos α>0，sin α－cos α＝－75， 因此sin α＝－35，cos α＝45， tan α2＝sinα2cos α2＝sin α2cos α2cos 2α2＝sin α1＋cos α ＝－351＋45＝－13，故选C. 4．(2017·合肥一模)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos C ＝223，b cos A ＋a cos B ＝2，则△ABC 的外接圆的面积为( )A ．4πB ．8πC ．9πD ．36π答案 C解析 ∵b cos A ＋a cos B ＝2，∴b ·b 2＋c 2－a 22bc ＋a ·a 2＋c 2－b 22ac＝2， ∴c ＝2.由cos C ＝223， 得sin C ＝13，∴2R ＝c sin C ＝213＝6，R ＝3， S ＝π×32＝9π，故选C.5．若sin 2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎡⎦⎤π4，π，β∈⎣⎡⎦⎤π，3π2，则α＋β的值是( ) A.7π4 B.9π4 C.5π4或7π4 D.5π4或9π4答案 A解析 ∵sin 2α＝55，α∈⎣⎡⎦⎤π4，π， ∴cos 2α＝－255且α∈⎣⎡⎦⎤π4，π2， 又∵sin(β－α)＝1010，β∈⎣⎡⎦⎤π，3π2， ∴cos(β－α)＝－31010， ∴sin(α＋β)＝sin [(β－α)＋2α]＝sin(β－α)cos 2α＋cos(β－α)sin 2α＝1010×⎝⎛⎭⎫－255＋⎝⎛⎭⎫－31010×55＝－22， cos(α＋β)＝cos [(β－α)＋2α]＝cos(β－α)cos 2α－sin(β－α)sin 2α＝⎝⎛⎭⎫－31010×⎝⎛⎭⎫－255－1010×55＝22， 又α＋β∈⎣⎡⎦⎤5π4，2π，∴α＋β＝7π4，故选A. 6．(2017·全国Ⅰ)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan α＝2，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝________. 答案 31010解析 cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4＝22(cos α＋sin α)． 又由α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan α＝2知，sin α＝255，cos α＝55， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝22×⎝⎛⎭⎫55＋255＝31010. 7．(2017届湖南省百所重点中学阶段性诊断)我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步．欲知为田几何．”这道题讲的是有一个三角形沙田，三边分别为13里，14里，15里，假设1里按500米计算，则该沙田的面积为________平方千米．答案 21解析 设△ABC 的对应边边长分别为a ＝13里，b ＝14里，c ＝15里，cos C ＝132＋142－1522×13×14＝513⇒sin C ＝1213 ⇒S ＝12×13×14×1213×250 000＝21×106(平方米) ＝21(平方千米)．8.(2017·河南省息县第一高级中学阶段测试)如图，在平面四边形ABCD 中，AD＝1，CD ＝2，AC ＝7，cos ∠BAD ＝－714，sin ∠CBA ＝216，则BC 的长为________．答案 3解析 因为cos ∠BAD ＝－714， 故sin ∠BAD ＝ 1－⎝⎛⎭⎫－7142＝32114， 在△ADC 中运用余弦定理，可得cos ∠CAD ＝1＋7－427＝277， 则sin ∠CAD ＝ 1－⎝⎛⎭⎫2772＝217， 所以sin ∠BAC ＝sin(∠BAD －∠CAD )＝32114×277＋714×217＝63＋314＝32， 在△ABC 中运用正弦定理，可得 BC sin ∠BAC ＝7sin ∠CBA ⇒BC ＝32×7×621＝3.9．(2017·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a sin A ＝4b sin B ，ac ＝5(a 2－b 2－c 2)．(1)求cos A 的值；(2)求sin(2B －A )的值．解 (1)由a sin A ＝4b sin B 及a sin A ＝b sin B，得a ＝2b . 由ac ＝5(a 2－b 2－c 2)及余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－55ac ac ＝－55. (2)由(1)可得sin A ＝255，代入a sin A ＝4b sin B ， 得sin B ＝a sin A 4b ＝55. 由(1)知，A 为钝角，所以cos B ＝1－sin 2B ＝255. 于是sin 2B ＝2sin B cos B ＝45，cos 2B ＝1－2sin 2B ＝35，故sin(2B －A )＝sin 2B cos A －cos 2B sin A ＝45×⎝⎛⎭⎫－55－35×255＝－255. 10．(2017·浙江省“超级全能生”联考)已知f (x )＝sin(ωx ＋φ) ⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2满足f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－f (x )，若其图象向左平移π6个单位长度后得到的函数为奇函数． (1)求f (x )的解析式；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2c －a )cos B ＝b cos A ，求f (A )的取值范围．解 (1)∵f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－f (x )， ∴f (x ＋π)＝－f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝f (x )， ∴T ＝π，∴ω＝2，则f (x )的图象向左平移π6个单位长度后得到的函数为g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋φ，而g (x )为奇函数，则有π3＋φ＝k π，k ∈Z ，而|φ|<π2，则有φ＝－π3， 从而f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. (2)∵(2c －a )cos B ＝b cos A ，由正弦定理得2sin C cos B ＝sin(A ＋B )＝sin C ，又C ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴sin C ≠0，∴cos B ＝12，∴B ＝π3.∵△ABC 是锐角三角形，C ＝2π3－A <π2， ∴π6<A <π2，∴0<2A －π3<2π3， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2A －π3∈(0,1]， ∴f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎫2A －π3∈(0,1]． B 组 能力提高11．(2017届合肥教学质量检测)在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(a －b )(sin A ＋sin B )＝(c －b )sin C ，若a ＝3，则b 2＋c 2的取值范围是( )A.(3，6]B.(3，5)C.(5，6]D.[5，6] 答案 C解析 ∵(a －b )(sin A ＋sin B )＝(c －b )sin C ，由正弦定理得(a －b )(a ＋b )＝(c －b )c ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，∴A ＝π3，∴B ＋C ＝2π3.又△ABC 为锐角三角形，∴⎩⎨⎧ 0<B <π2，A ＋B ＝π3＋B >π2，∴π6<B <π2， 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝332＝2， 得b ＝2sin B ，c ＝2sin C ，∴b 2＋c 2＝4(sin 2B ＋sin 2C )＝4⎣⎡⎦⎤sin 2B ＋sin 2⎝⎛⎭⎫2π3－B＝4－2cos ⎝⎛⎭⎫2B ＋π3，又π6<B <π2， 可得b 2＋c 2∈(5,6]．故选C.12．(2017·湖北省黄冈市质量检测)已知2sin θ＝1－cos θ，则tan θ等于( )A ．－43或0B .43或0 C ．－43D.43答案 A解析 因为2sin θ＝1－cos θ，所以4sin θ2cos θ2＝1－⎝⎛⎭⎫1－2sin 2θ2＝2sin 2θ2， 解得sin θ2＝0或2cos θ2＝sin θ2，tan θ2＝0或2，又tan θ＝2tanθ21－tan 2θ2，当tan θ2＝0时，tan θ＝0； 当tan θ2＝2时，tan θ＝－43，故选A. 13．(2017届河南省安阳市模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2a cos C －a ＝c －2c cos C ，若c ＝3，则a ＋b 的最大值为________．答案 6解析 由题设可得(a ＋c )(2cos C －1)＝0，由于a ＋c ≠0，所以cos C ＝12⇒C ＝60°，由余弦定理可得9＝a 2＋b 2－ab ，即(a ＋b )2＝9＋3ab ，又因为ab ≤(a ＋b )24，当且仅当a ＝b 时取等号，所以(a ＋b )24≤9⇒a ＋b ≤6. 14．(2017届南京市、盐城市模拟)如图，在△ABC 中，D 为边BC 上一点，AD ＝6，BD ＝3，DC ＝2.(1)若AD ⊥BC ，求∠BAC 的大小；(2)若∠ABC ＝π4，求△ADC 的面积． 解 (1)设∠BAD ＝α，∠DAC ＝β.因为AD ⊥BC ，AD ＝6，BD ＝3，DC ＝2，所以tan α＝12，tan β＝13， 所以tan ∠BAC ＝tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝12＋131－12×13＝1. 又∠BAC ∈(0，π)，所以∠BAC ＝π4. (2)设∠BAD ＝α.在△ABD 中，∠ABC ＝π4，AD ＝6，BD ＝3. 由正弦定理得AD sin π4＝BD sin α，解得sin α＝24. 因为AD ＞BD ，所以α为锐角，从而cos α＝1－sin 2α＝144.因此sin ∠ADC ＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝sin αcos π4＋cos αsin π4 ＝22⎝⎛⎭⎫24＋144＝1＋74.△ADC 的面积S ＝12×AD ×DC ·sin ∠ADC＝12×6×2×1＋74＝32(1＋7)．。

三角恒等变换与解三角形1．(2018·全国卷Ⅲ)若sin α＝13，则cos2α＝( ) A.89 B.79 C ．－79 D ．－89[解析] 由sin α＝13，得cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝1－29＝79.故选B. [答案] B2．(2018·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C ＝( ) A.π2 B.π3 C.π4 D.π6[解析] 根据余弦定理得a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，因为S △ABC ＝a 2＋b 2－c 24，所以S △ABC ＝2ab cos C 4，又S △ABC ＝12ab sin C ，所以tan C ＝1，因为C ∈(0，π)，所以C ＝π4.故选C. [答案] C3．(2018·全国卷Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.[解析] 由sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，两式平方相加，得2＋2sin αcos β＋2cos αsin β＝1，整理得sin(α＋β)＝－12. [答案] －124．(2018·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b sin A ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6. (1)求角B 的大小；(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B )的值．[解] (1)在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝bsin B ，可得b sin A ＝a sin B ，又由b sin A ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，得a sin B ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，即sin B ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6，可得tan B ＝ 3.又因为B ∈(0，π)，可得B ＝π3. (2)在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π3，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝7，故b ＝7.由b sin A ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，可得sin A ＝37. 因为a <c ，故cos A ＝27. 因此sin2A ＝2sin A cos A ＝437，cos2A ＝2cos 2A －1＝17.所以，sin(2A －B )＝sin2A ·cos B －cos2A sin B ＝437×12－17×32＝3314.1.高考对此部分的考查一般以“二小”或“一大”的命题形式出现．2．若无解答题，一般在选择题或填空题各有一题，主要考查三角恒等变换、解三角形，难度一般，一般出现在第4～9或第13～15题位置上．3．若以解答题命题形式出现，主要考查三角函数与解三角形的综合问题，一般出现在解答题第17题位置上，难度中等．。

三角函数第1课时 任意角和弧度制、三角函数的概念【学习目标】1.了解任意角的概念会用公式求扇形弧长、面积；2.会用三角函数定义求值，能判断三角函数在各象限的符号. 【教学过程】 一、基础自测1.下列与角9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( )A.2k π＋45°(k ∈Z )B.k ·360°＋9π4(k ∈Z )C.k ·360°－315°(k ∈Z )D.k π＋5π4(k ∈Z )2.一扇形的圆心角α＝︒60，半径R ＝10 cm ，该扇形的面积为 .3.若角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P (－1,2)，则sin α－cos α＋tan α＝________.4.已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限[必备知识] 1.角的概念(1)定义： .(2)分类： (3)终边相同的角： . 2.弧度制的定义和公式(1)定义： .(2)公式： . 3.设角α终边上异于原点的任意一点P (x ，y )，r ＝x 2＋y 2.三角函数 定义 定义域第一象限符号 第二象限符号 第三象限符号 第四象限符号sin αcos αtan α角度 ︒0 ︒30 ︒45 ︒60 ︒90 ︒120 ︒135 ︒150 ︒180弧度 sin αcos α tan α二、典例精讲例1（1）已知角α的终边上一点P (－3，m )(m ≠0)，且sin α＝2m4，则cos α＝________，tan α＝________. （2）若α为第二象限角，则cos 2α，cos α2，1sin 2α中，其值必为正的有( )A.0个B.1个C.2个D.3个归纳：巩固练习1:（1）已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( )A.－12B.－32C.12D.32（2）设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角例2.扇形周长为20 cm ，这个扇形的面积最大时，扇形的圆心角α为 弧度归纳：巩固练习2（多选）已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，下列选项可能正确的有( ) A.圆的半径为2 B.圆的半径为1 C.圆心角的弧度数是1 D.圆心角的弧度数是2三、达标检测1.若扇形的面积为3π8、半径为1，则扇形的圆心角为( )A.3π2B.3π4C.3π8D.3π162.已知角α的终边经过点(3，－4)，则sin α＋1cos α等于( )A.－15B.3715C.3720D.13153.(多选)角α的终边在第一象限，则sinα2⎪⎪⎪⎪sin α2＋cos α2⎪⎪⎪⎪cos α2＋tan α2⎪⎪⎪⎪tan α2的值为( )A.－1B.1C.－3D.34.若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是________.5.已知1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义. (1)试判断角α所在的象限； (2)若角α的终边上一点M ),53(m ，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值.思维导图 三角 函数任意角与弧度制任意角的三角函数角定义弧度制符号角度与弧度互化 特殊角弧度数 扇形弧长、面积三角函数第2课时同角三角函数基本关系与诱导公式【学习目标】1.会用同角基本关系式解决给值求值问题；2.熟记诱导公式并会用诱导公式化简求值. 【教学过程】 二、基础自测1.若sin α＝55，π2<α<π，则αcos = tan α=2.若sin(π＋α)＝12，α∈02π⎛⎫- ⎪⎝⎭，，则tan(π－α)等于( ) A ．－12B 3C 3D 33．已知()cos 2cos 2παπα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则()tan α-=（ ）A ．–2B ．2C ．13- D ．134．sin 1 050°等于( ) A.12 B ．－12 C.32 D ．－32 [必备知识]1.同角三角函数的基本关系平方关系： 商数关系： 2.公式 角 正弦 余弦 正切 口诀① 2k π＋α(k ∈Z )奇变偶不变，符号看象限② －α ③ π－α ④ π＋α⑤ π2－α⑥ π2＋α⑦ 32π＋α⑧ 32π－α三、典例精讲例1（1）已知tan α＝2，则3sin α－cos αsin α＋2cos α等于( )A.54 B ．－54 C.53 D ．－53（2）已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈)4,0(π，则sin θ－cos θ的值为 ．归纳：巩固练习1:（1）已知α是三角形的内角，且tan α＝－13，则sin α＋cos α的值为 ．（2）已知sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，则sin θ－cos θ= ，tan θ＝ . 例2.（1）在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边经过点P (3,4)，则sin )22021(πα-等于( ) A ．－45 B ．－35 C.35 D.45（2）已知sin )3(απ+＝1213，则cos )6(απ-等于( )A.513B.1213 C ．－513 D ．－1213 归纳：巩固练习2：（1）已知α∈(0，π)，且cos α＝－1517，则sin )2(απ+·tan(π＋α)等于( )A ．－1517 B.1517 C ．－817 D.817（2）sin )12(πα-＝13，则cos )1271(πα+＝ .四、达标检测1.已知α是第四象限角，tan α＝－815，则sin α等于( )A.1517 B ．－1517 C.817 D ．－8172.已知(0,)απ∈，若2cos 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭5sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．14B 2C ．2D 143.(多选)在△ABC 中，下列结论正确的是( )A ．sin(A ＋B )＝sinC B ．sin B ＋C 2＝cos A2 C ．tan(A ＋B )＝－tan C )2(π≠C D ．cos(A ＋B )＝cos C4.sin 4π3·cos 5π6·tan )34(π-的值是 ．5.已知－π2<α<0，且函数f (α)＝cos )23(απ+－sin α·1＋cos α1－cos α－1.(1)化简f (α)； (2)若f (α)＝15，求sin αcos α和sin α－cos α的值．思维导图三角函数第3课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式【学习目标】1.会用两角和与差的正弦、余弦、正切公式化简求值；2.会用辅助角公式化简求值. 【教学过程】 三、基础自测1.(多选)下面各式中，正确的是( )A.cos π12＝cos π3－cos π4B.cos 5π12＝22sin π3－cos π4cos π3C.cos )12(π-＝cos π4cos π3＋64 D.3sin α＋cos α＝2sin )3(πα+2.已知tan θ＝2，则tan )4(πθ-＝ .3.cos 17°cos 77°＋cos 73°cos 13°＝4.tan 10°＋tan 50°＋3tan 10°tan 50°＝ . [必备知识]两角和与差的余弦、正弦、正切公式(1)公式C α－β：cos(α－β)＝ ；(2)公式C α＋β：cos(α＋β)＝ ； (3)公式S α＋β：sin(α＋β)＝ ；(4)公式S α－β：sin(α－β)＝ ； (5)公式T α＋β：tan(α＋β)＝ ；(6)公式T α－β：tan(α－β)＝ . (7)(辅助角公式)a sin α＋b cos α＝ .五、典例精讲例1（1）若cos α＝－45，α是第三象限角，则sin )4(πα+等于( )A.－210B.210C.－7210D.7210（2）已知534cos 23sin 23=+αα，则4sin 3απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ） A ．23B 23C ．45-D ．45归纳：巩固练习1:（1）已知sin α＝35，α∈),2(ππ，tan(π－β)＝12，则tan(α－β)的值为( )A.－211B.211C.112D.－112（2）若3sin s 2a a +=，则tan()πα+=（ ）A 3B 2C 2D 3例2.已知sin α＝255，sin(β－α)＝－1010，α，β均为锐角，则β等于( )A.5π12B.π3C.π4D.π6归纳：巩固练习2：已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则β＝ ..六、达标检测1.－sin 133°cos 197°－cos 47°cos 73°等于( ) A.12 B.33 C.22 D.322.已知α，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，tan α，tan β是方程x 2＋12x ＋10＝0的两根，则tan(α＋β)等于( ) A.43 B.－2或12 C.12D.－2 3.（多选）已知3cos α－3sin α＝23cos(α＋φ)，则φ的值可能为（ ）A.π6 B.613π C. 6π- D.611π 4.已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝3cos α，tan β＝33，则tan(α＋β)＝ . 5.已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13.(1)求sin(α－β)的值； (2)求cos β的值.思维导图 辅助角公式 a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)，其中sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝aa 2＋b 2三角函数第4课时 三角恒等变换【学习目标】1.熟记正弦、余弦、正切倍角公式；2.会用正弦、余弦、正切倍角公式、半角公式化简求值. 【教学过程】 四、基础自测1.sin 15°cos 15°等于( )A.－14B.14C.－12D.122.已知α，β为锐角，tan α＝43，则cos 2α等于( )A.725B.－725C.2425D.－24253.计算：4tanπ123tan 2π12－3等于( )A.233B.－233C.239D.－239[必备知识]二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)公式S 2α：sin 2α＝ .(2)公式C 2α：cos 2α＝ ＝ ＝ . (3)公式T 2α：tan 2α＝ .(4)(降幂公式)sin 2α＝ ，cos 2α＝ . (5)(半角公式)=2sinα，=2cosα.七、典例精讲例1（1）(2020·全国Ⅰ)已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α等于( )A.53B.23C.13D.59正用、逆用公式变形正弦：正余余正符号同余弦：余余正正符号异（2）已知sin 2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝ .归纳：巩固练习1:（1）(2019·全国Ⅱ)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α等于( ) A.15 B.55 C.33 D.255（2）已知()5sin 26cos 0απα+-=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2cos 24απ⎛⎫ +⎪⎝⎭=（ ）A ．15-B ．15C ．35D ．45例2.若sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝14，则cos ⎝⎛⎭⎫π3＋2α 等于 . 归纳：巩固练习2：若1010)6cos(=+πθ，则)322cos(πθ- 等于 . 八、达标检测1.已知sin α－cos α＝43，则sin 2α等于( )A.－79B.－29C.29D.792.计算：1－cos 210°cos 80°1－cos 20°等于( )A.22B.12C.32D.－223.(多选)已知函数f (x )＝sin x ·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－14，则f (x )的值不可能是( ) A.－12 B.12C.－2D.24.若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝31010，则tan 2α＝ . 5.已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝210，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π.求： (1)cos α的值；(2)sin ⎝⎛⎭⎫2α－π4的值思维导图。

教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校第八讲 三角恒等变换及解三角形知识结构一、三角恒等变换 二、解三角形知识整理一、三角恒等变换1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 ⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+； ⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-； ⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）；分析：因为）（βα+既可看成是的和，也可以与βα看作是2βα+的倍角，因而可得到下面的两种解法。

解法一：由已知sin α+sin β=1…………①，cos α+cos β=0…………②， ①2＋②2得 2+2cos 1=-）（βα； ∴ cos 21-=-）（βα。

①2－②2得 cos2α+cos2β+2cos （βα+）=－1， 即2cos （βα+）〔1cos +-）（βα〕=－1。

⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．例题1 已知0cos cos 1sin sin =+=+βαβα，，求cos）的值（βα+。

∴()1cos -=+βα。

解法二：由①得12cos2sin 2=-+βαβα…………③由②得02cos2cos2=-+βαβα…………④④÷③得，02cot =+βα ()112cot 12cot 2tan 12tan 1cos 2222-=++-+=+++-=+∴βαβαβαβαβα 分析：由韦达定理可得到tan tan tan tan αβαβ+⋅及的值，进而可以求出()tan αβ+的值，再将所求值的三角函数式用tan ()βα+表示便可知其值。