数列的概念及其表示

数列的概念数列是数学中常见的概念之一。

它由一系列按一定规律排列的数构成。

数列在数学中的应用十分广泛，包括代数、几何、数论等各个领域。

在本文中，我们将介绍数列的定义、常见类型及其性质。

定义数列是由一系列按照一定顺序排列的数字所组成的。

数列可以有无穷多个元素，也可以有有限个元素。

数列中的每个元素称为数列的项。

通常用字母a n表示第 n 项。

数列可以通过以下几种方式定义： - 显式定义：直接给出数列的每一项的计算公式，例如a n=n2表示数列的第 n 项等于 n 的平方。

- 递推定义：给出数列的第一项和一个递推关系式，通过前一项计算出后一项，例如a1=1，a n=a n−1+2表示数列的第一项为 1，而后一项等于前一项加 2。

常见类型等差数列当数列中相邻两项之间的差值相等时，这个数列就是一个等差数列。

等差数列可以用以下公式进行表示：$a_n = a_1 + (n-1) \\cdot d$，其中d为公差。

等差数列的特点是每一项与前一项之间的差值都相等。

常见的等差数列有：$1, 2, 3, 4, 5, \\ldots$，公差为 1；$3, 6, 9, 12, 15, \\ldots$，公差为 3。

等比数列当数列中相邻两项之间的比值相等时，这个数列就是一个等比数列。

等比数列可以用以下公式进行表示：$a_n = a_1 \\cdot r^{(n-1)}$，其中r为公比。

等比数列的特点是每一项与前一项之间的比值都相等。

常见的等比数列有：$1, 2, 4, 8, 16, \\ldots$，公比为 2；$3, 6, 12, 24, 48, \\ldots$，公比为 2。

斐波那契数列斐波那契数列是一个经典的数列，定义方式较为特殊。

它的前两项为 1，从第三项开始，每一项都等于前两项的和。

斐波那契数列可以用以下递推关系式进行表示：a1=1，a2=1，a n=a n−1+a n−2。

斐波那契数列的特点是每一项都等于前两项的和。

高中数学基础之数列的概念及表示法数列在高考中一般以选择题、填空题形式进行考查，难度不高，以考查a n与S n的关系为主．1．数列的有关概念n n若数列{a n}的前n项和为S n，则a n＝⎩⎨⎧S1，n＝1，S n－S n－1，n≥2. 4．数列的分类考点一 数列的有关概念及通项公式例1 数列0，23，45，67，…的一个通项公式为( ) A ．a n ＝n －1n ＋2(n ∈N *) B ．a n ＝n －12n ＋1(n ∈N *)C ．a n ＝2（n －1）2n －1(n ∈N *)D ．a n ＝2n2n ＋1(n ∈N *) 答案 C解析 数列0，23，45，67，…的各项的分子是从0开始的偶数，分母比分子大1，所以它的一个通项公式可以为a n ＝2（n －1）2n －1(n ∈N *)，故选C.例2 已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＋S m ＝S n ＋m ，且a 1＝10，那么a 10＝( ) A ．1 B ．9 C ．10 D ．55 答案 C解析 数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＋S m ＝S n ＋m ，a 1＝10，令n ＝1，m ＝9，代入可得S 1＋S 9＝S 10，即S 1＝S 10－S 9，故a 1＝a 10＝10，故选C.总结：由前几项归纳数列通项公式的常用方法及具体策略 (1)常用方法观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．(2)具体策略①分式中分子、分母的特征； ②相邻项的变化特征；③各项的符号特征和绝对值特征；④对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系； ⑤对于符号交替出现的情况，可用(－1)k 或(－1)k ＋1，k ∈N *处理．(3)由数列的特点(递增及增长速度、递减及递减速度、是否为摆动数列)联想基本数列，再考察它与基本数列的关系．需要注意的是，对于无穷数列，利用前若干项归纳出的通项公式属于“猜想”，而且表达式不一定唯一．考点二 a n 与S n 的关系及其应用例3 数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a n 等于( ) A ．3×4nB ．3×4n ＋1C ．⎩⎨⎧1，n ＝1，3×4n －2，n ≥2 D ．⎩⎨⎧1，n ＝1，3×4n －2＋1，n ≥2 答案 C解析 由a n ＋1＝3S n ，得a n ＝3S n －1(n ≥2).两式相减，得a n ＋1－a n ＝3a n (n ≥2)，即a n ＋1＝4a n (n ≥2)，又由a 1＝1，得a 2＝3a 1＝3，a 2≠4a 1，所以当n ≥2时，a n ＝a 2×4n －2＝3×4n －2.所以a n ＝⎩⎨⎧1，n ＝1，3×4n －2，n ≥2.故选C. 例4 已知数列{a n }的所有项均为正数，其前n 项和为S n ，且S n ＝14a 2n ＋12a n －34，则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝2n －1B ．a n ＝2n ＋1C ．a n ＝4n －1D ．a n ＝4n ＋1 答案 B解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝14a 21＋12a 1－34，整理，得a 21－2a 1－3＝0，解得a 1＝3或a 1＝－1，因为a n >0，所以a 1＝3，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝14a 2n ＋12a n －34－⎝ ⎛⎭⎪⎫14a 2n －1＋12a n －1－34＝14a 2n －14a 2n －1＋12a n －12a n －1，整理，得a 2n －a 2n －1－2a n －2a n －1＝0，即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0，因为a n ＋a n －1>0，所以a n －a n －1＝2，所以数列{a n }是以a 1＝3为首项，2为公差的等差数列，所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，故选B.总结：对含有a n 与S n 的递推式的两种处理思路(1)转化为项项关系：先写出一个对应的等式，如将递推式中的“n ”都换成“n －1”，再利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)转化为“项项递推式”，以便构造等差数列或等比数列来解决问题．(2)转化为和和关系：借助a n ＋1＝S n ＋1－S n 或a n ＝S n －S n －1(n ≥2)转化为“和和递推式”，以便构造等差数列或等比数列，最后活用等差数列或等比数列的性质求解．考点三 由递推关系研究数列的周期性例5 已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝－11＋a n ，则a 2021＝( )A ．1B ．－12 C ．－2 D ．－1 答案 B解析 当n ＝1时，a 2＝－11＋a 1＝－12，当n ＝2时，a 3＝－11＋a 2＝－2，当n ＝3时，a 4＝－11＋a 3＝1，当n ＝4时，a 5＝－11＋a 4＝－12，所以数列{a n }的周期为3，因为2021＝3×673＋2，所以a 2021＝a 2＝－12.故选B.例6 若P (n )表示正整数n 的个位数字，a n ＝P (n 2)－P (2n )，数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2021＝( )A ．－1B ．0C ．1009D ．1011 答案 C解析 由题意得a 1＝－1，a 2＝0，a 3＝3，a 4＝－2，a 5＝5，a 6＝4，a 7＝5，a 8＝－2，a 9＝－7，a 10＝0，a 11＝－1，a 12＝0，…，所以数列{a n }为周期数列，且周期为10，因为S 10＝5，所以S 2021＝5×202＋(－1)＝1009，故选C.总结：(1)求数列中的某一项的值，当该项的序号较大时，应考虑数列是否具有周期性，利用周期性即可求出该数列中的某一项，具体求解过程为：先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．(2)由递推关系可以找到相邻项之间的关系，从而确定数列是否具有周期性． 考点四 数列的单调性及数列的最大(小)项例7 若a n ＝2n 2＋tn ＋3(t 为常数)，n ∈N *，且数列{a n }为递增数列，则实数t 的取值范围为( )A ．t <－2B ．t >－2C ．t <－6D ．t >－6 答案 D解析 因为数列{a n }为递增数列，所以a n ＋1>a n ，在n ∈N *时恒成立．所以a n ＋1－a n ＝[2(n ＋1)2＋t (n ＋1)＋3]－(2n 2＋tn ＋3)＝4n ＋2＋t >0，即t >－4n －2在n ∈N *时恒成立，而n ＝1时，(－4n －2)max ＝－6，所以t >－6.故选D.总结：(1)求参数的范围问题，常常与已知数列的单调性有关，因此解决这类问题，需要先判断该数列的单调性．(2)求数列最大项的方法：设数列{a n }中的第n 项最大，建立不等式组求解即可得出结果． 提升篇例8 已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n 2a n ＋1，a 1＝1，数列{b n }满足b 1＝1，b n －b n －1＝1a n (n ≥2)，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫b n ＋13n 的最小值为( )A ．294 B ．223 C ．213 D ．436答案 A解析 因为a n ＋1＝a n 2a n ＋1，a 1＝1，所以1a n ＋1＝1a n ＋2，即1a n ＋1－1a n＝2，1a 1＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，2为公差的等差数列，所以1a n＝1＋2(n －1)＝2n －1，因为数列{b n }满足b 1＝1，b n －b n －1＝1a n＝2n －1(n ≥2)，所以b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 2－b 1)＋b 1＝(2n －1)＋(2n －3)＋…＋3＋1＝n （2n －1＋1）2＝n 2，当n ＝1时也成立，所以b n ＋13n ＝n 2＋13n ＝n ＋13n .设f (x )＝x ＋13x ，x ∈[1，＋∞)，则f ′(x )＝1－13x 2＝x 2－13x 2.所以函数f (x )在(1，13)上单调递减；在(13，＋∞)上单调递增．而f (3)＝3＋133＝7＋13，f (4)＝4＋134＝7＋14，所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫b n ＋13n 的最小值为294.故选A.例9 设函数f (x )＝⎩⎨⎧（3－a ）x －3，x ≤7，a x －6，x >7，数列{a n }满足a n ＝f (n )，n ∈N *，且数列{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( )A ．(2，3]B ．(1，3)C ．(2，3)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 答案 C解析 因为a n ＝f (n )，f (x )＝⎩⎨⎧（3－a ）x －3，x ≤7，a x －6，x >7，所以a n ＝⎩⎨⎧（3－a ）n －3，n ≤7，a n －6，n >7.因为数列{a n }是递增数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧3－a >0，a >1，a 2>18－7a .解得⎩⎪⎨⎪⎧a <3，a >1，a >2或a <－9，即2<a <3.故选C. 综上，数列需要学生达到的标准为：1．能通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法(列表法、图象法、通项公式法).2．了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数，掌握利用递推关系构造等差或等比数列求通项公式．3．重点提升逻辑推理和数学运算素养．。

"一尺之棰,日取其半, 万世不竭 的意思为: 一尺长的木棒 每 " , 日取其一半 永远也取不完.如果将 "一尺之棰" 视为一份, 那 , 么每日剩下的部分依次 为 1 1 1 1 4 1, , , , , . 2 4 8 16 8 某种树木第1 年长出幼枝, 第2 年幼枝 5 长成粗干, 第3 年粗干可生出幼枝 (如 3 图 ), 那么按照这个规律, 各年树木的 2 1 枝干数依次为 1 5 1, 1, 2, 3, 5 , 8 , .
对应,因此, 数列可以看成以正整数集 定义域 的函 数 an f n ,当自变 量 按 照 从 小 到大的 顺 序 依 次取 值时, 所 对应的一列函 数 值 . 反过来, 对于函
数 y f x , 如果 f i i 1, 2, 3 , 有 f 1, f 2, f 3, , f n , .
意义, 那么我们可以得到一个数列
例1 已知数列的第n 项为2n 1, 写出这个数列的 首项、第2 项和第3 项.
解 首项为
a1 2 1 1 1 ;
第2 项为 a2 2 2 1 3 ; 第3 项为 a3 2 3 1 5 .
一般地, 如果数列 an 的第 n 项与序号 n 之间的关系 可以用一个公式来表示, 那么这个公式叫做这个数 列的通项公式 ( the formula of general term ).
2这个数列的奇数项是 0 , 偶数项是 2 , n 所以它的一个通项公式 是 an 1 1 .
写出数列的通项公式, 就是寻找 an与n 的对应关系 an f n .
n n an n 1
an
1 1 2
1 2

数列的概念和特点数列是由一系列数字按照一定规律排列而成的数学概念。

数列在数学中起着重要的作用，广泛应用于代数、微积分、离散数学等领域，同时也在现实生活中有着许多应用，如金融领域的利息计算、物理领域的运动规律等。

本文将介绍数列的概念和特点，以及数列的分类和常见的数列类型。

数列的概念数列是一组按照一定规律排列的数字的有序集合。

数列可以用数学符号表示为{a1, a2, a3, ...}或者{an}，其中ai表示数列中的第i个数。

数列中的每一个元素都称为数列的项，而数列中不同位置的项的排列顺序称为数列的顺序。

数列中的项可以是整数、小数、分数或者是代数式，但是它们通常是按照一定的规律排列的，这种规律通常是由一个通项公式或者递推关系来描述的。

数列的特点数列的特点包括有限性、无限性、公式、递推关系等。

首先，数列可以是有限的，也可以是无限的。

有限数列是指数列中的项是有限个数的数列，而无限数列是指数列中的项是无限个数的数列。

其次，数列通常是有规律的排列的，这种规律可以用一个通项公式来表示，也可以用递推关系来描述。

通项公式是指可以通过一定的公式或者函数来确定数列中的任意一项，而递推关系是指通过数列中前一项来确定下一项的关系。

另外，数列还有等差数列、等比数列等不同的类型，这些类型在数列的规律和特点上有着各自的特点。

数列的分类根据数列中项的性质和规律的不同，可以将数列分为不同的类型。

常见的数列类型包括等差数列、等比数列、等差数列、调和数列等。

等差数列是指数列中相邻两项之差是一个常数的数列，其通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1是数列中的第一项，d是数列中的公差，n是项数。

等比数列是指数列中相邻两项之比是一个常数的数列，其通项公式为an=a1*r^(n-1)，其中a1是数列中的第一项，r是数列中的公比，n是项数。

等差数列和等比数列是数学中最为常见的数列类型，它们在代数、几何、金融等领域有着广泛的应用。

数列的应用数列在数学中有着广泛的应用。