浙江省普通高中学业水平考试模拟训练评估卷数学(二)

【学考模拟】2023-2024学年浙江省第二学期高二学考模拟考（二）❖一、单选题：本题共12小题，每小题3分，共36分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知角的终边经过点，则()A.2B.C.1D.2.函数的定义域为()A. B.C. D.3.已知虚数单位，则z的共轭复数的虚部为()A.2B.iC.3D.3i4.计算：()A.10B.1C.2D.5.为了得到函数的图像，只需将函数的图像()A.向右平移个单位B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向左平移个单位6.如图，在正方体中，直线BC与平面的位置关系为()A.直线在平面内B.直线与平面相交但不垂直C.直线与平面相交且垂直D.直线与平面平行7.已知，则“”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.中，内角所对的边分别为，若，则()A. B. C. D.9.通苏嘉甬高速铁路起自南通西站，经苏州市、嘉兴市后跨越杭州湾进入宁波市，全线正线运营长度，其中新建线路长度，是《中长期铁路网规划》中“八纵八横”高速铁路主通道之一的沿海通道的重要组成部分，是长江三角洲城市群的重要城际通道，沿途共设南通西、张家港、常熟西、苏州北、汾湖、嘉兴北、嘉兴南、海盐西、慈溪、庄桥等10座车站.假设甲、乙两人从首发站南通西同时上车，在沿途剩余9站中随机下车，两人互不影响，则甲、乙两人在同一站下车的概率为()A. B.C.D.10.函数是自然对数的底数的图象大致是()A. B.C. D.11.著名数学定理“勾股定理”的一个特例是“勾3股4弦5”，我国的西周时期数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，比欧洲的毕达哥拉斯发现勾股定理早500多年，如图，在矩形ABCD 中，满足“勾3股4弦5”，设，E 为线段AD 上的动点，且满足，若，则()A.0B.C. D.12.已知正实数满足，则()A. B.的最小值为C.的最小值为9D.的最小值为二、多选题：本题共4小题，共16分。

浙江省普通高中学业水平考试模拟卷二一、选择题1．若集合{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，{}2,5,8A =，{}1,3,5,7B =，那么()U C A B 等于（ ）A ．{}5B ．{}1,3,7C ．{}4,6D ．{}1,2,3,4,6,7,82．已知正项等差数列{}n a 的前n 项和为9,45n S S =，则5a =（ ） A ．9 B ．8 C ．6 D ．5 3．计算：1324lg100ln e +-=（ ） A ．7-B ．3-C ．1D ．74．下列函数中，与函数y=有相同值域的是（ ） A ．()ln f x x = B ．()1f x x=C ．()||f x x =D ．() xf x e =5．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c =75A =︒，60B =︒，则b =（ ）A B ．C ．4D ．36．若直线:10l kx y -+=上不存在满足不等式组020x y x y -≥⎧⎨+-≤⎩的点(),x y ，则实数k 的取值范围为（ ）A ．()1,+∞B ．()0,∞+C ．()0,1D ．(]0,17．若P 是平面α外一点，则下列命题正确的是（ ）A ．过P 只能作一条直线与平面α相交B ．过P 可作无数条直线与平面α垂直C ．过P 只能作一条直线与平面α平行D ．过P 可作无数条直线与平面α平行8．cos()2πθ+=，则cos 2θ的值为（ ）A ．18B ．716C ．18±D ．13169．若圆222410x y x y +--+=关于直线l 对称，则l 被圆心在原点半径为3的圆截得的最短的弦长为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．510．若数列{n a }满足111n na a +=-，且12a =，则2010a =（ ） A ．2 B ．12 C ．－1D ．3211．已知一个四棱锥的正视图和俯视图如图所示，则该几何体的侧视图为（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知直线()12:20:240l x ay l ax a y ++=+++=，，若12//l l ，则实数a 的值是（ ） A ．2或1-B ．2-或1C ．2D ．1-13．“210x +<”是“|1||2|x x ->+”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件14．双曲线221916x y -=的左顶点到其渐近线的距离为（ ）A ．2B ．95C ．125D ．315．,,PA PB PC 是从P 点引出的三条射线，每两条夹角都是60 ，那么直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值是（ ）ABC ．12 D16．已知数列{}n a 满足2122111216n n n a a a a a ++===，，，则数列{}n a 的最小项为（ ） A ．912B ．1012C ．81812D ．1112 17．已知函数2()220182019f x ax x =--，对任意t R ∈在区间[]1,1t t -+存在两个实数12,x x ，使12()()1f x f x -≥成立，则a 的取值范围是（ ）A ．11[,]22-B ．[1,1]-C ．(]{}[),101,-∞-+∞D ．{}11,0,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭18．已知三棱锥D ABC -的体积为3，且AB BC ⊥，AB，AD BC +=D ABC - 的表面积为（ ） A．2+B．2+C．2+D．2+二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）19．已知向量()3,4a =，()1,2b =-，则2a b +=__________，与a 方向相反的单位向量c =__________. 20．已知点()4,0-是椭圆2231kx ky +=的一个焦点，则k =__________.21．若关于x 的不等式|1||1|2x ax x -+-≥对于任意0x >恒成立，则实数a 的取值范围是__________. 22．如图，在四边形ABCD 中，1AB CD ==，B C ∠≠∠，点M 和点N 分别是边AD 和BC 的中点，延长BA 和CD 交NM 的延长线于,P Q 两点，则()()PM QN AB DC +⋅-的值为___________.三、解答题（本大题共3小题，共31分） 23．（本小题满分10分）已知函数()sin()(0,0,)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示. 33()2,()0,()2484f f f πππ===-.（1）求f (x )的解析式；（2）将y =f (x )的图象先向右平移4π个单位，再将图象上的所有点横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变），所得到的图象对应的函数为y =g (x ),求y =g(x )在,84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值.24．（本小题满分10分）抛物线()220x py p =>的焦点为F ，,C D 是抛物线上关于y 轴对称的两点，点E 是抛物线准线l 与y 轴的交点，ECD ∆是面积为4的直角三角形.（1）求抛物线的方程；（2）点()00,A x y 在抛物线上，,P Q 是直线2y x =-上不同的两点，且线段,AP AQ 的中点都在抛物线上，试用0x 表示PQ .25．（本小题满分11分）已知函数()231f x x ax =---，其中0a >.（1）若2a =，求函数()f x 的单调区间；（2）若关于x 的不等式()23f x x ≤-对任意的实数()1,0x ∈-恒成立，求实数a 的取值范围； （3）若函数()f x 有4个不同的零点，求实数a 的取值范围.浙江省普通高中学业水平考试数学仿真模拟试题卷二选择题部分一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分，每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1．若集合{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，{}2,5,8A =，{}1,3,5,7B =，那么()U C A B 等于（ ）A ．{}5B ．{}1,3,7C ．{}4,6D ．{}1,2,3,4,6,7,81．【答案】C【解析】{}2,5,8A =，{}1,3,5,7B =，所以{}1,2,3,5,7,8A B ⋃=.集合{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，所以(){}4,6U C A B ⋃=.故选C.2．已知正项等差数列{}n a 的前n 项和为9,45n S S =，则5a =（ ） A ．9 B ．8 C ．6 D ．5 2．【答案】D【解析】由等差数列的前n 项和公式可得()199199,45,102a a S a a +==∴+=,又1955210,5a a a a +==∴=，选D.3．计算：1324lg100ln e +-=（ ） A ．7- B ．3-C ．1D ．73．【答案】C【解析】原式1222(2)lg103ln e =+-223=+-1=.故选:C.4．下列函数中，与函数y=有相同值域的是（ ）A ．()ln f x x =B ．()1f x x=C ．()||f x x =D ．() xf x e =4．【答案】D【解析】y =的定义域为(0,)+∞0,0y >=>，y =(0,)+∞，()ln f x x =值域为R ，选项A 不正确；()1f x x=值域为(,0)(0,)-∞+∞，选项B 不正确；()||f x x =值域为[0,)+∞，选项C 不正确；() x f x e =值域为(0,)+∞，选项D 正确.故选:D.5．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且c =75A =︒，60B =︒，则b =（ ）AB．C ．4D ．35．【答案】A【解析】在ABC △中，75A =︒，60B =︒，故18045C A B =︒--=︒，由正弦定理可得sin sin b c B C =，即sin 60b =︒b ===:A.6．若直线:10l kx y -+=上不存在满足不等式组020x y x y -≥⎧⎨+-≤⎩的点(),x y ，则实数k 的取值范围为（ ）A ．()1,+∞B ．()0,∞+C ．()0,1D ．(]0,16．【答案】D【解析】画出如图所示的可行域，由图可知，当且仅当直线:10l kx y -+=的斜率k 满足01k <≤时，直线l 上不存在可行域上的点.故选：D.7．若P是平面α外一点，则下列命题正确的是（）A．过P只能作一条直线与平面α相交B．过P可作无数条直线与平面α垂直C．过P只能作一条直线与平面α平行D．过P可作无数条直线与平面α平行7．【答案】D【解析】观察正方体，令正方体中的平面ABCD为平面α，A、过D'可以作不止一条直线与平面α相交，故A错；B、过D'只可作一条直线与平面α垂直，故B错；C、过D'能作不止一条直线与平面α平行，故C错；D、过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行，且这个平面内的任一条直线都与已知平面平行，故D对．故选：D．8．cos()2πθ+=，则cos 2θ的值为（ ） A ．18 B ．716C ．18±D ．13168．【答案】A【解析】因为cos 24πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以sin θ=21cos 212sin 8θθ=-=. 故选A.9．若圆222410x y x y +--+=关于直线l 对称，则l 被圆心在原点半径为3的圆截得的最短的弦长为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．59．【答案】C【解析】由题意，直线l 过圆222410x y x y +--+=的圆心为M 1,2，则问题转化为过点M 的直线l 被圆229x y +=所截得的最短弦长，即直线l 垂直于OM 时，被圆229x y +=所截得的弦长最短，OM =长为4=，故选C.10．若数列{n a }满足111n na a +=-，且12a =，则2010a =（ ） A ．2B ．12 C ．－1D ．3210．【答案】C【解析】由题意211122a =-=，311112a =-=-，41121a =-=-，因此数列{}n a 是周期数列，且周期为3，∴20102008221a a a +===-，故选C.11．已知一个四棱锥的正视图和俯视图如图所示，则该几何体的侧视图为（ ）A ．B ．C ．D ．11．【答案】A【解析】由正视图和俯视图可知，则该几何体P -ABCD 的底面ABCD P A ∴面ABCD ，其直观图如图所示，由三视图知识知，其侧视图如A 所示，故选A ．12．已知直线()12:20:240l x ay l ax a y ++=+++=，，若12//l l ，则实数a 的值是（ ） A ．2或1- B ．2-或1C ．2D ．1-12．【答案】D【解析】两直线平行，斜率相等可知20a a a ⨯--=，解得21a =-，，当2a =时，2:20l x +=不满足题意舍去.故选D.13．“210x +<”是“|1||2|x x ->+”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件13．【答案】C【解析】210x +<，解得21x <-.因为|1||2|x x ->+等价于22(1)(2)x x ->+. 222144x x x x -+>++，解得21x <-.所以“210x +<”是“|1||2|x x ->+”的充要条件.故选：C. 14．双曲线221916x y -=的左顶点到其渐近线的距离为（ ）A ．2B ．95C ．125D ．314．【答案】C【解析】因为双曲线221916x y -=的左顶点为(3,0)-，渐近线方程为220,430916x y x y -=±=,所以双曲线221916x y -=的左顶点到其渐近线的距离为|4(3)30|1255⨯-±⨯=.故选：C. 15．,,PA PB PC 是从P 点引出的三条射线，每两条夹角都是60 ，那么直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值是（ ）A B C ．12 D 15．【答案】D【解析】过PC 上一点D 作DO ⊥平面APB ，则DPO ∠就是直线PC 与平面PAB 所成的角．因为60APC BPC ∠=∠=︒，所以点O 在APB ∠的平分线上，即30OPE ∠=︒．过点O 作OE PA OF PB ⊥⊥，，因为DO ⊥平面APB ，则DE PA DF PB ⊥⊥，．设1130cos30PE OPE OP =∠=︒∴==︒，．在直角PED中， 601DPE PE ∠=︒=，，则2PD =．在直角DOP 中， 23OP PD ==．则cos 3OP DPO PD ∠==．即直线PC 与平面PAB ．故选D ．16．已知数列{}n a 满足2122111216n n n a a a a a ++===，，，则数列{}n a 的最小项为（ ） A ．912B ．1012C ．81812D ．1112 16．【答案】B【解析】因为2212n n n a a a ++=，所以2112n n n n a a a a +++=⨯；因为121116a a ==，，所以15112216n n n n a a --+=⨯=；436321212,2,,2n n n a aa a a a ----===，以上各式相乘可得211104364362122222n n n n n a a -+-----++-=⨯⨯⨯==，所以2111022n n n a -+=，*n N ∈，由于21110y n n =-+有最小值20-，所以n a 的最小值为102-.故选：B.17．已知函数2()220182019f x ax x =--，对任意t R ∈在区间[]1,1t t -+存在两个实数12,x x ，使12()()1f x f x -≥成立，则a 的取值范围是（ ）A ．11[,]22-B ．[1,1]-C ．(]{}[),101,-∞-+∞D ．{}11,0,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭17．【答案】D【解析】存在两个实数1x ，2x ，使()()()()12max min 11f x f x f x f x -≥⇔-≥，()2220182019f x ax x =--与22y ax =的图象完全“全等”，即可以通过平移完全重合.因为11t x t -≤≤+且t R ∈，即用一个区间宽度为2的任意区间去截取函数图象，使得图象的最高点与最低点间的纵坐标之差大于1，因此取纵坐标之差最小的状态为()()2211f x ax x =-≤≤，当0a >时，此时()()max min 201f x f x a -=-≥，故12a ≥； 当0a =时，显然符合；当0a <时，此时()()max min 021f x f x a -=-≥，故12a ≤-，故选：D .18．已知三棱锥D ABC -AB BC ⊥，AB，AD BC +=D ABC - 的表面积为（ ） A．2+ B．2+C．2+D．2+18．【答案】A【解析】因为11323D ABC AD AB BC V -⎛⎫⋅⋅≥=⎪⎝⎭，AB =，即2AD BC ⋅≥．因为AD BC =+≥=AD BC ==2AC =，AD =AD ⊥平面ABC ，2BD =，易得BC ⊥平面ABD ，所以三棱锥D ABC -的表面积为ABC ABD ACDBCDSS S S +++=11112222222⨯⨯=+． 非选择题部分二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）19．已知向量()3,4a =，()1,2b =-，则2a b +=__________，与a 方向相反的单位向量c =__________.1934,55⎛⎫--⎪⎝⎭【解析】依题意()21,8a b +=，故2218a b +=+=与a 方向相反的单位向量c 为()()()3,43,434,5553,4a a -----⎛⎫===-- ⎪---⎝⎭. 20．已知点()4,0-是椭圆2231kx ky +=的一个焦点，则k =__________.20．【答案】124【解析】点()4,0-是椭圆2231kx ky +=的一个焦点，椭圆2231kx ky +=的标准方程为221113x y k k+=，可得：11163k k -=，解得124k =.故答案为：124. 21．若关于x 的不等式|1||1|2x ax x -+-≥对于任意0x >恒成立，则实数a 的取值范围是__________. 21．【答案】1a ≤-或3a ≥【解析】11|1||1|212|1|||2(0)x ax x a t t a t x x-+-≥⇔-+-≥⇔-+-≥>． 所以min (|1|||)(1)()1|2t t a t t a a -+-=|---|=|-≥，解得1a ≤-或3a ≥．故答案为：1a ≤-或3a ≥. 22．如图，在四边形ABCD 中，1AB CD ==，B C ∠≠∠，点M 和点N 分别是边AD 和BC 的中点，延长BA 和CD 交NM 的延长线于,P Q 两点，则()()PM QN AB DC +⋅-的值为___________.22．【答案】0【解析】设B α∠=,C β∠=,BC a =,如图建系,则()0,0B ,(),0C a ,因为1AB CD ==,所以()cos ,sin A αα,()cos ,sin D a ββ-,因为点M 和点N 分别是边AD 和BC 的中点,所以cos cos sin sin ,22a M αβαβ+-+⎛⎫⎪⎝⎭,,02a N ⎛⎫⎪⎝⎭, 则()cos ,sin AB αα=--,()cos ,sin DC ββ=-,所以()cos cos ,sin sin AB DC αβαβ-=---+,因为cos cos sin sin ,22MN βααβ-+⎛⎫=-⎪⎝⎭,所以()()()()()222222221111cos cos sin sin sin cos sin cos 02222MN AB DC αβαβααββ⋅-=-+-=+-+= 因为,,,P Q M N 四点共线,所以PM QN MN λ+=,则()()0PM QN AB DC +⋅-=,故答案为:0. 三、解答题（本大题共3小题，共31分） 23．（本小题满分10分）已知函数()sin()(0,0,)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示.33()()0,()484f f f πππ===（1）求f (x )的解析式；（2）将y =f (x )的图象先向右平移4π个单位，再将图象上的所有点横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变），所得到的图象对应的函数为y =g (x ),求y =g(x )在,84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值. 23．（本小题满分10分） 【解析】（1）观察图象，32()44T πππ=-=， 32,sin(2)0,,824πππωϕϕϕ∴=⨯+=<∴= （3分）()24f A π=∴=.()2sin(2)4f x x π=+ （5分）（2）将()2sin(2)4f x x π=+图象右平移4π个单位，得到2sin(2)4y x π=-的图象，再将图象上的所有点横坐标变为原来的12倍得到()2sin(4)4y g x x π==-， （7分） 当3,,4,84444x x πππππ⎡⎤⎡⎤∈-∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，()g x ⎤∈⎦. （9分） y =g (x )在,84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦2. （10分）24．（本小题满分10分）抛物线()220x py p =>的焦点为F ，,C D 是抛物线上关于y 轴对称的两点，点E 是抛物线准线l 与y 轴的交点，ECD ∆是面积为4的直角三角形.（1）求抛物线的方程；（2）点()00,A x y 在抛物线上，,P Q 是直线2y x =-上不同的两点，且线段,AP AQ 的中点都在抛物线上，试用0x 表示PQ .24．（本小题满分10分）【解析】（1）不妨设点C 位于第一象限， 则直线EC 的方程为2py x =-， 联立方程22-2x py py x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得2x p p y =⎧⎪⎨=⎪⎩， （2分） 所以(,),2p C p (,),2p D p -(0,)2pE -. 1242ECD S p p ∆=⨯⨯=，解得2p =， （3分）故抛物线的方程为24x y =. （4分） （2）设(,2),P a a -(,2)Q b b -,200(,)4x A x ,AP ∴的中点坐标为20048(,)28a x x a ++-, （5分） 代入24x y =得：20(28)a x a +-20160x -+=,同理可得：20(28)b x b +-20160x -+=,,a b ∴是方程20(28)x x x +-20160x -+=的两个根. （8分） 20(28)x ∴∆=-204(16)0x --+>,解得04x 或00x <.由韦达定理可得：082a b x +=-,2016ab x =-+, （9分）则|PQ a b =-==04x 或00x <）. （10分）25．（本小题满分11分）已知函数()231f x x ax =---，其中0a >.（1）若2a =，求函数()f x 的单调区间；（2）若关于x 的不等式()23f x x ≤-对任意的实数()1,0x ∈-恒成立，求实数a 的取值范围； （3）若函数()f x 有4个不同的零点，求实数a 的取值范围. 25．（本小题满分11分）【解析】（1）当2a =时，()222324,,2231322,,2x x x f x x x x x x ⎧+-<⎪⎪=---=⎨⎪-+≥⎪⎩（1分） 当32x <时，()()222415f x x x x =+-=+-，所以()f x 在(),1-∞-上单调递减，在31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减. （2分）当32x ≥时，()()222211f x x x x =-+=-+， 所以()f x 在3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增. （3分）因为函数()f x 的图象在R 上不间断，所以()f x 的单调减区间是(),1-∞-，单调增区间是()1,-+∞. （4分） （2）23123x ax x ---≤-对任意()1,0x ∈-恒成立.因为()1,0x ∈-，0a >，所以30ax -<，故不等式可化为23123x ax x +--≤-，即12a x x≥-++， 所以问题转化为不等式12a x x≥-++对任意()1,0x ∈-恒成立. （6分） 又12y x x=-++在()1,0-上单调递减， 所以()1121+221y x x =-++<--+=-， 所以2a ≥. （7分）（3）()22234,,3132,,x ax x af x x ax x ax x a⎧+-<⎪⎪=---=⎨⎪-+≥⎪⎩，其中0a >. （8分） 显然，当3x a<时，()23f x x ax =+-至多有2个不同的零点，且当3x a ≥时，()22f x x ax =-+至多有2个不同的零点，又()f x 有4个不同的零点，所以()f x 在3,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和3,a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上都各有2个不同的零点， 所以0,230,a f f a ⎧⎛⎫-< ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩且3,20,230,a a a f f a ⎧>⎪⎪⎪⎛⎫<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫≥⎪ ⎪⎝⎭⎩即22240,42310,3,220,42a a a a a a a a a ⎧⎛⎫+⋅--<⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎪-> ⎪⎪⎝⎭⎨⎪>⎪⎪⎪-⋅+<⎪⎩ （10分） 又0a >，解得3a <<，所以实数a的取值范围是3a <. （11分）。

2023年7月浙江省普通高中学业水平考试数学（答案在最后）本试题卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分100分，考试时间80分钟．考生注意：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上．2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效．3．非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内，作图时可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑．选择题部分（共52分）一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题列出的四个备选项中，只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1.已知集合{}1,0,1,2A =-，{}|0B x x =>，则下列结论不正确的是（）A.1A B ∈ B.A B∅⊆ C.{}2A B ⊆ D.{}|0x x A B>= 【答案】D 【解析】【分析】根据交集、并集的定义求出A B ⋂，A B ⋃，再根据元素与集合的关系、集合与集合的关系判断即可.【详解】因为{}1,0,1,2A =-，{}0B x x =，所以{}1,2⋂=A B ，{}{}|01A B x x ⋃=≥⋃-，所以1A B ∈ ，A B ∅⊆ ，{}2A B ⊆⋂，故A 、B 、C 正确，D 错误；故选：D 2.函数的定义域是（）A.1-2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭， B.1-2⎛⎤∞ ⎥⎝⎦，C.12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，D.12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，【答案】C 【解析】【分析】根据偶次方根的被开方数为非负数、分式的分母不为零列不等式，由此求得函数的定义域.【详解】依题意210x ->，解得12x >，所以()f x 的定义域为12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，.故选：C【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，属于基础题.3.复数()i 2i z =+在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B 【解析】【分析】根据复数乘法运算化简，即可求解.【详解】()1i i 22i z =-+=+，故对应的点为()1,2-，位于第二象限，故选：B4.已知平面向量()1,1a =- ，()2,b λ= ，若a b ⊥，则实数λ=（）A.2B.2- C.1D.1-【答案】A 【解析】【分析】依题意可得0a b ⋅=，根据数量积坐标表示计算可得.【详解】因为()1,1a =- ，()2,b λ= 且a b ⊥，所以()1210a b λ⋅=⨯+-⨯=，解得2λ=.故选：A 5.已知πsin cos 6θθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan2θ=（）A.3B.C.3D.【答案】B【解析】【分析】利用给定条件得到tan 3θ=，再利用二倍角公式求解即可.【详解】若πsin cos 6θθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可得1sin cos cos 22θθθ+=，化简得31sin cos 022θθ-=，解得3tan 3θ=，由二倍角公式得232322tan 33tan221tan 3θθθ⨯===-，故B 正确.故选：B6.上、下底面圆的半径分别为r 、2r ，高为3r 的圆台的体积为（）A.37πrB.321πrC.(35πr+D.(35πr+【答案】A 【解析】【分析】根据圆台的体积公式计算可得.【详解】因为圆台的上、下底面圆的半径分别为r 、2r ，高为3r ，所以()23221π227π33V r r r r r ⎡⎤=++⨯=⎣⎦.故选：A7.从集合{}1,2,3,4,5中任取两个数，则这两个数的和不小于5的概率是（）A.35B.710C.45 D.910【答案】C 【解析】【分析】列出所有可能结果，再由古典概型的概率公式计算可得.【详解】从集合{}1,2,3,4,5中任取两个数所有可能结果有()1,2、()1,3、()1,4、()1,5、()2,3、()2,4、()2,5、()3,4、()3,5、()4,5共10个，其中满足两个数的和不小于5的有()1,4、()1,5、()2,3、()2,4、()2,5、()3,4、()3,5、()4,5共8个，所以这两个数的和不小于5的概率84105P ==.故选：C8.大西洋鲑鱼每年都要逆游而上，游回产地产卵．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v （单位：m /s ）可以表示为3log 100Ov k =，其中O 表示鲑鱼的耗氧量的单位数．若一条鲑鱼游速为2m /s 时耗氧量的单位数为8100，则游速为1m /s 的鲑鱼耗氧量是静止状态下鲑鱼耗氧量的（）A.3倍 B.6倍C.9倍D.12倍【答案】C 【解析】【分析】利用给定条件得到31log 2100O v =，再算出不同情况的消耗氧气的数量，再作比值求倍数即可.【详解】由题意得381002log 100k =，解得12k =，故31log 2100O v =，当1v =时，有311log 2100O=，解得900O =，当0v =时，有310log 2100O=，解得100O =，故得9009100=倍，故C 正确.故选：C9.不等式()()e e 10xx --<（其中e 为自然对数的底数）的解集是（）A.{01}xx <<∣ B.{|0e}x x << C.{0x x <∣或1}x > D.{0xx <∣或e}x >【答案】B 【解析】【分析】写出不等式的等价不等式组，解得即可.【详解】不等式()()e e 10xx --<等价于e 0e 10x x -<⎧⎨->⎩或e 0e 10x x ->⎧⎨-<⎩，解得0e x <<或x ∈∅，所以不等式的解集为{|0e}x x <<.故选：B10.已知a 为实数，则“0x ∀>，12ax x+≥”是“1a ≥”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】利用分离参数法求出a 的取值范围判断充分性，利用基本不等式反推必要性成立即可.【详解】若10,2,x ax x ∀>+≥则22121(1)1,a x x x≥-+=--+当1x =时，不等式的右边取得最大值1，故1,a ≥充分性成立；若1,a ≥则0x >时,12,ax x+≥≥当且仅当1x a ==时取等，即12ax x +≥恒成立，因此，由 1 a ≥可以推出0,x ">1 2ax x+≥，故必要性成立.综上所述，10,2x ax x∀>+≥是 1 a ≥的充要条件.故选：C.11.若函数()()πsin 06f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间ππ,126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围是（）A.(]0,2 B.(]0,4 C.(]0,6 D.(]0,8【答案】A 【解析】【分析】利用给定的区间，求出π6x ω+的范围，然后写出正弦函数的单调递增区间，转化为子集问题处理即可.【详解】当ππ[,]126x ∈-时，πππππ[,+]661266x ωωω+∈-，若函数π()sin(0)6f x x ωω=+>在区间ππ[,]126-上单调递增，则πππ2π662πππ2π2612k k ωω⎧+≤+⎪⎪⎨⎪-+≤-⎪⎩，Z k ∈，解得212,824,Z k k k ωω≤+≤-∈，又0ω>，当0k =时,可得02ω<≤.故选：A.12.在正三棱台111ABC A B C -中，2AB =，11AB A B >，侧棱1AA 与底面ABC所成角的余弦值为3．若此三棱台存在内切球（球与棱台各面均相切），则此棱台的表面积是（）A.2B.2C.4D.4【答案】A 【解析】【分析】取BC 和11B C 的中点分别为P ，Q ，上、下底面的中心分别为1O ，2O ，设11A B x =，内切球半径为r ，根据题意求出侧棱长以及2O P ，1O Q ，再根据切线的性质及等腰梯形11BB C C 和梯形1AA QP 的几何特点列方程组求出半径，再根据面积计算公式即可.【详解】如图，取BC 和11B C 的中点分别为P ，Q ，上、下底面的中心分别为1O ，2O ，设11A B x =，内切球半径为r ，因为123cos 3A AO ∠=，棱台的高为2r ，所以126sin 3A AO ∠=，111122sin 63r AA BB CC A AO =====∠，211333323O P AP AB ==⨯=，同理136O Q x =．因为内切球与平面11BCC B 相切，切点在PQ 上，所以()21326PQ O P O Q x =+=+①，在等腰梯形11BB C C中，)22222x PQ -⎛⎫=- ⎪⎝⎭②，由①②得()222226212x x r +-⎛⎫-=⎪⎝⎭．在梯形1AA QP 中，()22233236PQ r x ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭③，由②③得2x -=，代入得1x =，则棱台的高23h r ==，所以()2133262PQ O P O Q x =+=+=,所以1sin 2ABC S AB AC A =⋅=△111111111sin 24A B C S A B A C A =⋅= ，()1111124BCB C S BC B C PQ =+=正三棱台三个侧面都是面积相等的等腰梯形，故侧面积为4,所以此棱台的表面积是442S =++=.故选：A二、多项选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．每小题列出的四个备选项中，有多个是符合题目要求的，全部选对得4分，部分选对且没有错选得2分，不选、错选得0分）13.下列不等式正确的是（）A.4> B.4< C.24log 3log 5> D.24log 3log 5<【答案】BC 【解析】【分析】根据指数幂的运算及指数函数的性质判断A 、B ，根据对数的运算性质及对于函数的性质判断C 、D.【详解】414142222224⨯==⎭==⎛⎫< ⎪⎝A 错误，B 正确；2421log 5log 5log log 32==<，故C 正确，D 错误.故选：BC14.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，下列结论正确的是（）A.11//BC A DB.1//BC 平面11A ADDC.111BC B D ⊥D.1BC ⊥平面11A B CD【答案】BD 【解析】【分析】连接1AD ，1A D ，11B D ，1AB ，1B C ，根据正方体的性质得到11//BC AD ，即可判断A 、B 、C ，证明11BC B C ⊥、1CD BC ⊥，即可判断D.【详解】连接1AD ，1A D ，11B D ，1AB ，1B C ，对于A ：在正方体中11//AB D C 且11AB D C =，所以四边形11ABC D 为平行四边形，所以11//BC AD ，又11A D AD ⊥，所以11BC A D ⊥，所以A 错误；对于B ，因为11//BC AD ，1AD ⊂平面11A ADD ，1BC ⊄平面11A ADD ，所以1//BC 平面11A ADD ，所以B 正确；对于C ：因为11AB D 为等边三角形，所以1160AD B ∠=︒，又11//BC AD ，所以11AD B ∠为异面直线1BC 与11B D 所成的角，即直线1BC 与11B D 所成的角为60︒，则1BC 与11B D 不垂直，所以C 错误；对于D ：在正方体中，11BC B C ⊥，CD ⊥平面11BCC B ，1BC ⊂平面11BCC B ，所以1CD BC ⊥，又1CD B C C ⋂=，1,CD B C ⊂平面11A B CD ，所以1BC ⊥平面11A B CD ，所以D 正确．故选：BD ．15.已知函数()2sin cos2f x x x =+，则（）A.()f x 的最小值是3-B.()f x 5C.()f x 在区间π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭内存在零点 D.()f x 在区间π,π2⎛⎫⎪⎝⎭内不存在零点【答案】ACD 【解析】【分析】利用三角恒等变换将函数化为二次函数，求解最值判断A ，B ，利用换元法求解零点，再判断范围求解C ，D 即可.【详解】易得2213()2sin cos 22sin 12sin 2(sin )22f x x x x x x =+=+-=--+，故函数()f x 在1sin 2x =时，取得的最大值为32，当sin 1x =-时，函数取得的最小值为3-，故A 正确，B 错误，令[]sin 1,1x t =∈-，故2()212f t t t =+-，令()0f t =，解得11322t =+或21322t =-，当113122t =+>时，排除，无法解出x ，当21322t =-时，可得13sin 22x =-，而sin y x =在π(,0)6-上单调递增，故当π(,0)6x ∈-，1sin ,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，且1130222-<-<，则()f x 在区间π,06⎛⎫-⎪⎝⎭内存在零点，故C 正确，而当π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，sin 0y x =>，1022y =-<，显然sin y x =和122y =-无交点，则()f x 在区间π,π2⎛⎫⎪⎝⎭内不存在零点，故D 正确.故选：ACD.16.在ABC 中，3AB =，1AC =，π3BAC ∠=，点D ，M 分别满足3AB AD = ，2BC MC = ，AM 与CD 相交于点F ，则（）A.1233CD AB AC=- B.12AF AM=C.132AM =D.13cos 13DFM ∠=【答案】BCD 【解析】【分析】根据平面向量线性运算法则判断A ，设AF AM λ=，用AD 、AC 表示AF ，根据共线定理的推论得到方程求出λ，即可判断B ，由1122AM AB AC =+及数量积的运算判断C ，求出cos ,CD AM ，即可判断D.【详解】对于A ，13CD AD AC AB AC =-=-，故A 错误；对于B ，设AF AM λ=，又1122AM AB AC =+ ，∴1132222AF AB AC AD AC λλλλ=+=+，又F ，D ，C 三点共线，∴3122λλ+=，12λ∴=，∴12AF AM = ，故B 正确；对于C ，1122AM AB AC =+，∴()()222211244AM AB ACAB AB AC AC =+=+⋅+111391231424⎛⎫=⨯++⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，2AM ∴= ，故C 正确；对于D ， 111322CD AM AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222211111111331163263222AB AB AC AC =-⋅-=⨯-⨯⨯⨯-⨯= ，又222211212191311393932CD AB AC AB AB AC AC ⎛⎫=-=-⋅+=⨯+-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，∴1CD =，又2AM =，12cos cos ,13132CD AM DFM CD AM CD AM⋅∴∠===⋅ ，故D 正确．故选：BCD．非选择题部分（共48分）三、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）17.已知A ，B 是相互独立事件，()23P A =，()12P B =，则()P AB =_____________．【答案】13【解析】【分析】根据相互独立事件的概率公式计算即可.【详解】因为A ，B 是相互独立事件，所以()()()211323P AB P A P B ==⨯=.故答案为：1318.函数2()log f x x =的反函数为_______.【答案】2xy =【解析】【分析】设2log y x =，由指对数式的互化得到2y x =，再将,x y 位置互换即可得出答案.【详解】解：设2log y x =，则2y x =，所以函数2()log f x x =的反函数为2x y =.故答案为：2x y =.19.已知()f x 是定义域为R 的偶函数，且()()24f x f x +-=，则()2023f =_____________．【答案】2【解析】【分析】利用给定条件，得到函数的周期性，将所求函数值化为已知函数值，代入求解即可.【详解】由题意得()f x 是定义域为R 的偶函数，且()()24f x f x +-=，故()()()224f x f x f x -=-=-，可得()()442()f x f x f x -=--=，故得函数的周期4T =，而令1x =，可得()214f =，解得()12f =，则()()()()()2023450533211f f f f f =⨯+==-==.故答案为：220.已知,,a b c 是同一平面上的3个向量，满足3a =，b = ，6a b ⋅=- ，则向量a 与b 的夹角为_____________，若向量c a - 与c b - 的夹角为π4，则c r 的最大值为_____________．【答案】①.3π4##135︒②.【解析】【分析】由cos ,a b a b a b⋅=⋅ 求出向量a 与b 的夹角，设OA a = ，OB b = ，OC c = ，即可得到,,,O A B C 四点共圆，利用正弦定理求出AOB 外接圆的直径，即可求出c的最大值.【详解】因为3a =，b = ，6a b ⋅=- ，所以cos ,2a b a b a b ⋅===-⋅ ，又[],0,πa b ∈ ，所以3π,4a b = ，因为3a =，b = ，3π,4a b = ，如图，设OA a = ，OB b = ，OC c = ，则c a OC OA AC -=-= ，c b OC OB BC -=-= ，又向量c a - 与c b - 的夹角为π4，则π4ACB ∠=，又3π4AOB ∠=，所以,,,O A B C 四点共圆，又AB b a =- ，所以AB == 设AOB 外接圆的半径为R ，由正弦定理23πsin 42AB R ===c故答案为：3π4四、解答题（本大题共3小题，共33分）21.人工智能发展迅猛，在各个行业都有应用．某地图软件接入了大语言模型后，可以为用户提供更个性化的服务，某用户提出：“请统计我早上开车从家到公司的红灯等待时间，并形成统计表．”地图软件就将他最近100次从家到公司的导航过程中的红灯等待时间详细统计出来，将数据分成了[)55,65，[)65,75，[)75,85，[)85,95，[]95,105（单位：秒）这5组，并整理得到频率分布直方图，如图所示．（1）求图中a 的值并且估计该用户红灯等待时间的第60百分位数（结果精确到0.1）；（2）根据以上数据，估计该用户在接下来的10次早上从家到公司的出行中，红灯等待时间低于85秒的次数．【答案】（1）0.035a =，估计该用户红灯等待时间的第60百分位数约为82.1（2）7次【解析】【分析】（1）根据频率之和为1以及直方图数据即可求解，先确认频率分布直方图中频率为0.6的位置，再结合百分位数定义求解即可.（2）根据频率分布直方图求出红灯等待时间低于85秒的频率即可求解.【小问1详解】因为各组频率之和为1，组距为10，所以()100.010.0250.020.011a ⨯++++=，解得0.035a =.因为()100.010.0250.350.6⨯+=<，()100.010.0250.0350.70.6⨯++=>，所以中位数位于第三组[)75,85中，设中位数为x ，则()0.10.250.035750.6x ++-=，解得0.257582.10.035x =+≈，所以该用户红灯等待时间的中位数的估计值为82.1.【小问2详解】由题红灯等待时间低于85秒的频率为0.10.250.350.7++=，故估计该用户在接下来的10次中红灯等待时间低于85秒的次数为100.77⨯=次.22.如图，在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，1PA AC ==，BC =（1）求三棱锥-P ABC 的体积；（2）求证：平面PAC ⊥平面PBC ；（3）设点D 在棱PB 上，AD CD =，求二面角D AC B --的正弦值．【答案】（1）6（2）证明见解析（3）3【解析】【分析】（1）先求出底面积，再利用体积公式求解体积即可.（2）先利用线面垂直判定定理得到BC ⊥平面PAC ，再利用面面垂直定理判定面面垂直即可.（3）合理作图，找到二面角的平面角，利用三角函数的定义求解即可.【小问1详解】因为,1,AC BC AC BC ⊥==，所以111222ABC S AC BC =⋅=⨯= ，因为PA ⊥平面ABC ,所以三棱锥-P ABC 的体积11326V =⨯⨯=.【小问2详解】因为PA ⊥平面ABC ,BC ⊂平面PBC ,所以PA BC ⊥,又,,AC BC PA AC A ⊥⋂=,PA AC ⊂平面PAC ,所以BC ⊥平面PAC ,因为BC ⊂平面PBC ,所以平面PAC ⊥平面PBC .【小问3详解】过点D 作DE AB ⊥于E ,取AC 的中点F ,连接,EF 因为PA ⊥平面,ABC PA ⊂平面,PAB 所以平面PAB ⊥平面ABC ,又平面PAB ⋂平面,ABC AB DE =⊂平面,PAB 所以DE ⊥平面,ABC DE ∥PA ，因为,AD CD =且F 是AC 的中点,所以,,,DF AC AC DE DF DE D AC ⊥⊥⋂=⊥平面DEF ,,EF AC ⊥所以DFE ∠是二面角——D AC B 的平面角,因为,,EF AC AC BC F ⊥⊥是AC 的中点，所以E 是AB 的中点，又DE //PA ，所以D 是PB 的中点,在Rt DEF △中,32DF ===，所以12sin 332DE DFE DF ∠==即二面角——D AC B的正弦值为3.23.已知函数()2π2sin 2f x x x a x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，R a ∈．（1）若1a =，求()f x 在区间[]0,1上的最大值；（2）若关于x 的方程()10f x a ++=有且只有三个实数根1x ，2x ，3x ，且123x x x <<．证明：（ⅰ）1322x x x +=；（ⅱ）()()311217818f x f x x +-+≤．【答案】（1）0（2）（ⅰ）证明见解析.（ⅱ）证明见解析【解析】【分析】（1）利用分析法得到函数的单调性，再求解最值即可.（2）（ⅰ）合理构造新函数，求出一个零点，再结合对称性求解即可.（ⅱ）将目标式合理表示为函数，利用不等式的性质证明即可.【小问1详解】由已知得1a =,则2π()(1)sin()12f x x x =---，易知2(1)y x =-，πsin()2y x =-在区间[0,1]上单调递减，所以()f x 在区间[0,1]上单调递减,所以max ()(0)0.f x f ==【小问2详解】（ⅰ）若2π()(1)sin()1,2f x x a x =---且()10,f x a ++=即2π(1)(sin()1)02x a x ---=有且只有三个实数根，所以0,a <令2π()(1)(sin()1),2g x x a x =---且(1)0g =，则()g x 的图象关于直线1x =对称，所以1322 2.x x x +==（ⅱ）由题意可知，令3πsin 2t x =，则有1()10,f x a ++=()310f x a ++=()()()()2311333217841cos π8271f x f x x x a x x a +-+=--+-++()()233342cos π1571x x a x a =--+++2233ππ4(sin 1)722(12sin )(242)1822a x a a a a x a t t =--++--=+++，因为0,a <所以2(242)1818a t t +++≤，即311(21)7()818f x f x x +-+≤得证.【点睛】关键点点睛：本题考查导数，解题关键是合理表示出目标式，然后结合不等式的性质，得到所要求的不等关系即可．。

仿真模拟(二)一、选择题(本大题共18小题，每小题3分，共54分)1．若集合A ＝{x |－2＜x ＜1}，B ＝{x |0＜x ＜2}，则A ∩B 等于( ) A ．{x |－1＜x ＜1} B ．{x |－2＜x ＜1} C ．{x |－2＜x ＜2} D ．{x |0＜x ＜1}答案 D解析 利用数轴可求得A ∩B ＝{x |0＜x ＜1}，故选D. 2．函数y ＝2－x ＋ln(x －1)的定义域为( ) A ．(1,2] B ．[1,2] C ．(－∞，1) D ．[2，＋∞) 答案 A解析 由⎩⎪⎨⎪⎧2－x ≥0，x －1＞0，得1＜x ≤2，即函数的定义域为(1,2]．故选A.3．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，y ≥x 表示的平面区域是( )答案 C解析 由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，y ≥x 可知不等式组表示的平面区域为x ＋y ＝2的下方，直线y ＝x 的上方，故选C.4．设向量a ＝(1，－1)，b ＝(0,1)，则下列结论中正确的是( ) A ．|a |＝|b | B ．a ·b ＝1 C ．(a ＋b )⊥b D ．a ∥b答案 C解析 因为|a |＝2，|b |＝1，故A 错误； a ·b ＝－1，故B 错误；(a ＋b )·b ＝(1,0)·(0,1)＝0，故C 正确； a ，b 不平行，故D 错误．故选C.5．已知m ，n 为两条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，下列结论正确的是( ) A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若α∥γ，β∥γ，则α∥β C ．若α⊥β，m ∥α，则m ⊥β D ．若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ⊥n 答案 B解析 对于选项A ，若m ，n ⊂β，m ∩n ＝P ，α∥β，则m ∥α，n ∥α，此时m 与n 不平行，故A 错； 对于选项B ，由平面平行的传递性可知B 正确；对于选项C ，当α⊥β，α∩β＝l ，m ∥l ，m ⊄α时，有m ∥α， 此时m ∥β或m ⊂β，故C 错；对于选项D ，位于两个互相垂直的平面内的两条直线位置关系不确定，故D 错．故选B. 6．不等式x ＋3>|2x －1|的解集为( ) A.⎝⎛⎭⎫－4，23 B.⎝⎛⎭⎫－23，4C ．(－∞，4) D.⎝⎛⎭⎫－23，＋∞ 答案 B解析 不等式x ＋3>|2x －1|等价于－(x ＋3)<2x －1<x ＋3， 由此解得－23<x <4，故选B.7．命题p ：x ∈R 且满足sin 2x ＝1.命题q ：x ∈R 且满足tan x ＝1，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 由sin 2x ＝1，得2x ＝π2＋2k π，k ∈Z ，即x ＝π4＋k π，k ∈Z ；由tan x ＝1，得x ＝π4＋k π，k ∈Z ，所以p 是q 的充要条件，故选C.8．在△ABC 中，cos A ＝35，cos B ＝45，则sin(A －B )等于( )A ．－725 B.725 C ．－925 D.925答案 B解析 ∵A ，B ∈(0，π)，∴sin A ＝45，sin B ＝35，∴sin(A －B )＝sin A cos B －cos A sin B ＝725.9．已知圆C 经过A (5,2)，B (－1,4)两点，圆心在x 轴上，则圆C 的方程是( ) A ．(x －2)2＋y 2＝13 B ．(x ＋2)2＋y 2＝17 C ．(x ＋1)2＋y 2＝40 D ．(x －1)2＋y 2＝20答案 D解析 设圆C 的圆心坐标为(m,0)，则由|CA |＝|CB |，得(m －5)2＋4＝(m ＋1)2＋16，解得m ＝1，圆的半径为25，所以其方程为(x －1)2＋y 2＝20，故选D. 10．已知a <0，－1<b <0，则下列结论正确的是( ) A ．a >ab >ab 2 B ．ab >a >ab 2 C ．ab >ab 2>a D ．ab 2>ab >a 答案 C解析 由题意得ab －ab 2＝ab (1－b )>0， 所以ab >ab 2，ab 2－a ＝a (b ＋1)(b －1)>0， 所以ab 2>a ，故选C.11．已知一个几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则这个几何体的侧面积是( )A ．(1＋2)cm 2B ．(3＋2)cm 2C ．(4＋2)cm 2D ．(5＋2)cm 2答案 C解析 由三视图可知该几何体的直观图如图所示，所以侧面积为(4＋2)cm 2.故选C.12．已知关于x 的不等式x 2－4ax ＋3a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，则x 1＋x 2＋ax 1x 2的最小值是( )A.63 B.233 C.433 D.263答案 C解析 由题意得x 1＋x 2＝4a ，x 1x 2＝3a 2， 则x 1＋x 2＋a x 1x 2＝4a ＋13a ，因为a >0，所以4a ＋13a ≥433，当且仅当a ＝36时等号成立． 所以x 1＋x 2＋a x 1x 2的最小值是433，故选C.13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x －4，x ＞0，若函数y ＝f ()f (x )＋a 有四个零点，则实数a 的取值范围为( )A ．[－2,2)B ．[1,5)C ．[1,2)D ．[－2,5)答案 C解析 函数y ＝f ()f (x )＋a 有四个零点， 则f ()f (x )＋a ＝0有四个解，则方程f (x )＋a ＝－1与f (x )＋a ＝2各有两个解，作出函数f (x )的图象(图略)可得⎩⎪⎨⎪⎧－3＜－a －1≤1，－3＜2－a ≤1，解得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤a ＜2，1≤a ＜5，所以1≤a ＜2.故选C.14．已知等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，若S 3＝72，则S 6等于( )A.312B.632 C ．63 D.1272答案 B解析 由题意得S 6＝S 3(1＋q 3)＝72×(1＋23)＝632，故选B.15．已知数列{a n }为等比数列，若a 4＋a 6＝10，则a 7(a 1＋2a 3)＋a 3a 9的值为( ) A ．10 B ．20 C ．100 D ．200 答案 C解析 a 7(a 1＋2a 3)＋a 3a 9＝a 7a 1＋2a 7a 3＋a 3a 9＝a 24＋2a 4a 6＋a 26＝(a 4＋a 6)2＝102＝100，故选C.16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x >a ，x 2＋5x ＋2，x ≤a ，函数g (x )＝f (x )－2x 恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－1,1) B ．[0,2] C ．[－2,2) D ．[－1,2)答案 D解析 由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x >a ，x 2＋3x ＋2，x ≤a ，因为g (x )有三个不同的零点，所以2－x ＝0在x >a 时有一个解，由x ＝2得a <2. 由x 2＋3x ＋2＝0，得x ＝－1或x ＝－2， 则由x ≤a 得a ≥－1.综上，a 的取值范围为[－1,2)，故选D.17．已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 为双曲线上的一点且满足PF 1—→·PF 2—→＝－12c 2，则此双曲线的离心率的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．[3，＋∞)C ．[2，＋∞) D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5＋12，＋∞答案 C解析 设P (x 0，y 0)，则PF 1—→·PF 2—→＝(－c －x 0)(c －x 0)＋y 20＝x 20＋y 20－c 2， 所以x 20＋y 20－c 2＝－12c 2. 又x 20a 2－y 20b2＝1，所以x 20＝a 2⎝⎛⎭⎫1＋y 20b 2， 所以a 2⎝⎛⎭⎫1＋y 20b 2＋y 20－c 2＝－12c 2， 整理得c 2y 20b 2＝c 22－a 2，所以c 22－a 2≥0，所以c ≥2a ，e ≥2，故选C.18．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BC ＝AA 1＝1，点P 为对角线AC 1上的动点，点Q 为底面ABCD 上的动点(点P ，Q 可以重合)，则B 1P ＋PQ 的最小值为( ) A.32 B. 2 C.3 D ．2 答案 A解析 P 在对角线AC 1上，Q 在底面ABCD 上，PQ 取最小值时P 在平面ABCD 上的射影落在AC 上，将△AB 1C 1沿AC 1翻折到△AB 1′C 1，使平面AB 1′C 1与平面ACC 1在同一平面内，B 1P ＝B 1′P ， 所以(B 1′P ＋PQ )min 为B 1′到AC 的距离B 1′Q .由题意知，△ACC 1和△AB 1′C 1为有一个角为30°的直角三角形，∠B 1′AC ＝60°，AB 1′＝3， 所以B 1′Q ＝3·sin 60°＝32.二、填空题(本大题共4小题，每空3分，共15分)19．若坐标原点到抛物线x ＝－m 2y 2的准线的距离为2，则m ＝________；焦点坐标为________． 答案 ±24(－2,0)解析 由y 2＝－1m 2x ，得准线方程为x ＝14m 2，∴14m 2＝2，∴m 2＝18， 即m ＝±24，∴y 2＝－8x ，∴焦点坐标为(－2,0)．20．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝(－1)n (a n ＋1)，记S n 为{a n }的前n 项和，则S 2 017＝________. 答案 －1 007解析 由a 1＝1，a n ＋1＝(－1)n (a n ＋1)， 可得a 2＝－2，a 3＝－1，a 4＝0，a 5＝1，该数列是周期为4的循环数列，所以S 2 017＝504(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋a 1＝504×(－2)＋1＝－1 007.21．已知向量a ＝(－5,5)，b ＝(－3,4)，则a －b 在b 方向上的投影为________． 答案 2解析 由a ＝(－5,5)，b ＝(－3,4)，则a －b ＝(－2,1)，(a －b )·b ＝(－2)×(－3)＋1×4＝10，|b |＝9＋16＝5，则a －b 在b 方向上的投影为(a －b ) ·b |b |＝105＝2.22．已知函数f (x )＝x 2＋px －q (p ，q ∈R )的值域为[－1，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )＜s 的解集为(t ，t ＋4)，则实数s ＝________. 答案 3解析 因为函数f (x )＝x 2＋px －q ＝⎝⎛⎭⎫x ＋p 22－p 24－q 的值域为[－1，＋∞)，所以－p24－q ＝－1，即p 2＋4q ＝4.因为不等式f (x )＜s 的解集为(t ，t ＋4)，所以方程x 2＋px －q －s ＝0的两根为x 1＝t ，x 2＝t ＋4，则x 2－x 1＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(－p )2－4(－q －s ) ＝p 2＋4q ＋4s ＝4＋4s ＝4，解得s ＝3. 三、解答题(本大题共3小题，共31分)23．(10分)等比数列{a n }中，已知a 1＝2，a 4＝16. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a 3，a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项，试求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n . 解 (1)设{a n }的公比为q ，由已知得16＝2q 3，解得q ＝2. 所以a n ＝2·2n －1＝2n (n ∈N *)． (2)由(1)得a 3＝8，a 5＝32， 则b 3＝8，b 5＝32.设{b n }的公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋2d ＝8，b 1＋4d ＝32.解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝－16，d ＝12.所以b n ＝－16＋12(n －1)＝12n －28. 所以数列{b n }的前n 项和S n ＝n (－16＋12n －28)2＝6n 2－22n (n ∈N *)．24．(10分)如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2＝1(a >1)，过直线l ：x ＝2上一点P 作椭圆的切线，切点为A ，当P 点在x轴上时，切线P A 的斜率为±22.(1)求椭圆的方程；(2)设O 为坐标原点，求△POA 面积的最小值． 解 (1)当P 点在x 轴上时， P (2,0)，P A ：y ＝±22(x －2)．联立⎩⎨⎧y ＝±22(x －2)，x2a 2＋y 2＝1，化简得⎝⎛⎭⎫1a 2＋12x 2－2x ＋1＝0， 由Δ＝0，解得a 2＝2， 所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)设切线方程为y ＝kx ＋m ，P (2，y 0)，A (x 1，y 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋2y 2－2＝0， 化简得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0， 由Δ＝0，解得m 2＝2k 2＋1，且x 1＝－2km 1＋2k 2，y 1＝m 1＋2k 2，y 0＝2k ＋m ， 则|PO |＝y 20＋4，直线PO 的方程为y ＝y 02x ，则点A 到直线PO 的距离d ＝|y 0x 1－2y 1|y 20＋4， 设△POA 的面积为S ， 则S ＝12|PO |·d ＝12|y 0x 1－2y 1|＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪(2k ＋m )－2km 1＋2k 2－2m 1＋2k 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2k 2＋km1＋2k 2m ＝|k ＋m |. 当m ＝2k 2＋1时，S ＝|k ＋1＋2k 2|.(S －k )2＝1＋2k 2，则k 2＋2Sk －S 2＋1＝0，Δ＝8S 2－4≥0，解得S ≥22，当S ＝22时k ＝－22. 同理当m ＝－2k 2＋1时，可得S ≥22， 当S ＝22时k ＝22. 所以△POA 面积的最小值为22. 25．(11分)设a 为实数，函数f (x )＝(x －a )2＋|x －a |－a (a －1)．(1)若f (0)≤1，求a 的取值范围；(2)讨论f (x )的单调性；(3)当a ≥2时，讨论f (x )＋4x在区间(0，＋∞)内的零点个数． 解 (1)f (0)＝a 2＋|a |－a 2＋a ＝|a |＋a ，因为f (0)≤1，所以|a |＋a ≤1，当a ≤0时，0≤1，显然成立； 当a >0时，则有|a |＋a ＝2a ≤1，所以a ≤12，所以0<a ≤12. 综上所述，a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，12. (2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－(2a －1)x ，x ≥a ，x 2－(2a ＋1)x ＋2a ，x <a . 对于u 1＝x 2－(2a －1)x ，其对称轴为x ＝2a －12＝a －12<a ，开口向上，所以f (x )在(a ，＋∞)上单调递增； 对于u 2＝x 2－(2a ＋1)x ＋2a ，其对称轴为x ＝2a ＋12＝a ＋12>a ，开口向上， 所以f (x )在(－∞，a )上单调递减．综上所述，f (x )在(a ，＋∞)上单调递增，在(－∞，a )上单调递减．(3)由(2)得f (x )在(a ，＋∞)上单调递增，在(0，a )上单调递减，所以f (x )min ＝f (a )＝a －a 2.①当a ＝2时，f (x )min ＝f (2)＝－2，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ，x ≥2，x 2－5x ＋4，x <2， 令f (x )＋4x ＝0，即f (x )＝－4x(x >0)， 因为f (x )在(0,2)上单调递减，所以f (x )>f (2)＝－2，而g (x )＝－4x在(0,2)上单调递增，所以g (x )<g (2)＝－2，所以y ＝f (x )与g (x )＝－4x在(0,2)上无交点； 当x ≥2时，f (x )＝x 2－3x ＝－4x，即x 3－3x 2＋4＝0， 所以x 3－2x 2－x 2＋4＝0，所以(x －2)2(x ＋1)＝0，因为x ≥2，所以x ＝2，综上当a ＝2时，f (x )＋4x有一个零点x ＝2. ②当a >2时，f (x )min ＝f (a )＝a －a 2，当x ∈(0，a )时，f (0)＝2a >4，f (a )＝a －a 2，而g (x )＝－4x在(0，a )上单调递增， 当x ＝a 时，g (x )＝－4a ，下面比较f (a )＝a －a 2与－4a的大小， 因为a －a 2－⎝⎛⎭⎫－4a ＝－(a 3－a 2－4)a ＝－(a －2)(a 2＋a ＋2)a<0， 所以f (a )＝a －a 2<－4a. 结合图象不难得到当a >2时，y ＝f (x )与g (x )＝－4x有两个交点．综上所述，当a ＝2时，f (x )＋4x在区间(0，＋∞)内有一个零点x ＝2； 当a >2时，f (x )＋4x在区间(0，＋∞)内有两个零点．。