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4-3定积分的几何意义和性质概论

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模块基本信息 一级模块名称 积分学 二级模块名称 基础模块 三级模块名称 定积分几何意义和性质 模块编号 4-3 先行知识 定积分的概念 模块编号 4-2 知识内容 教学要求 掌握程度

1、定积分的几何意义 1、理解定积分的几何意义 熟悉 2、定积分的性质，用定积分的性质求解问

题

2、理解定积分的性

质，运用定积分的性质求解问题 能力目标 培养学生分析问题的能力 时间分配 45分钟 编撰 王明 校对 熊文婷 审核 危子青 修订人 张云霞 二审 危子青

一、正文编写思路及特点 思路：通过图形和定积分的几何意义让学生直观理解定积分的性质。 特点：培养学生的理解能力。 二、授课部分 （一）知识回顾 定积分的概念 （二）新课讲授 1、定积分的几何意义 (1)当()0fx时 定积分()bafxdx在几何上表示由曲线()yfx、

两条直线xa、xb与x轴所围成的曲边梯形的面积； (2)当()0fx时 由曲线()yfx、两条直线xa、xb与x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方 定积分badxxf)(在几何上表示上述曲边梯形面积的负值； (3)当f(x)在区间[a,b]上的值有正有负时，()bafxdx等于[a,b]上x轴

上方各曲边梯形面积总和减去x轴下方曲边梯形面积总和。例如，若()fx如图所示，则

123()bafxdxSSS 图1 特别的，如果在区间[a b]上f (x)1 ，则abdxdxbaba1 下面我们利用定积分的几何意义求一些简单的定积分: 例1 用定积分的几何意义求10(1)xdx

解 函数1yx在区间[0 1]上的定积分是以1yx为曲边以区间[0 1]为底的曲边梯形的面积（如图2所示） 因为以1yx为曲边以区间[0 1]为底的曲边梯形是一直角三角形 其底边长及高 均为1 所以1011(1)1122xdx

图2 例2用定积分的几何意义求22RRRxdx

解：由定积分的几何意义可知22RRRxdx表示由曲线22yRx与0y所围成的半圆的面积，因此

22212R

RRxdxR

(选择)例3将下列图形的面积用定积分的形式表示出来。

1 1 y=1-x 图3 图4

解：图形4是由曲线2yx，0x及3x所围成的曲边梯形，故

该图形的面积可表示为320Axdx；图形3是由曲线xye，1x及4x所围成的曲边梯形，故该图形的面积可表示为41xAedx

2、定积分的性质 这里先补充两点约定 (1)当ab时 (x)0bafdx

(2)abbadxxfdxxf)()(

下列性质中，均假定所讨论的定积分是存在的. 性质1 函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差) ，即 bababadxxgdxxfdxxgxf)()()]()([

（选讲） 证明: badxxgxf)]()([niiiixgf10)]()([lim

niiiniiixgxf1010)(lim)(lim



babadxxgdxxf)()( 例如：11122000()xxxedxxdxedx

性质2 被积函数的常数因子可以提到积分号外面， 即 babadxxfkdxxkf)()(

3 0

0 4 1 （选讲） 证明：niiibaxkfdxxkf10)(lim)(

baniiidxxfkxfk)()(lim

10



例如：110033(1)3(1)2xdxxdx 性质3（积分区间的可加性）设acb，则

bccabadxxfdxxfdxxf)()()( 例如：当被积函数()0fx时(如图5所示)，()bafxdx表示由曲线yf (x)、两条直xa、xb 与x轴所围成的曲边梯形的面积A；()cafxdx

表示由曲线yf (x)、两条直线xa、xc与x轴所围成的曲边梯形的面积1A;()bcfxdx表示由曲线yf (x)、两条直线xb、xc与x轴所围成

的曲边梯形的面积2A;显然12AAA，故 bccabadxxfdxxfdxxf)()()( 同理当被积函数为其它形式时亦是如此.

图5 说明：这个性质表明定积分对于积分区间具有可加性．

注 ：不论a b c的相对位置如何，总有等式

bccabadxxfdxxfdxxf)()()( 成立 例如 当acbbacadxxfdxxfdxxf)()()( 于是有cbcabadxxfdxxfdxxf)()()(bccadxxfdxxf)()( 例3：计算21,[1,0)()1,[0,1]xxfxxx，试计算定积分11()fxdx

y=f(x) A1 A2 解：根据积分区间的可加性 101110()()()fxdxfxdxfxdx

012

101(1)xdxxdx

由定积分的几何意义知，0211xdx是由x轴，y轴以及单位圆周位于第二象限的部分围成的四分之一圆的面积（如图6所示），即 02

114xdx

10(1)xdx是由x轴，y轴以及直线y=1-x围成的三角形的面积（如

图5所示），即101(1)2xdx 因此 111()42fxdx

图6 性质4（保号性）如果在区间[ab]上 f (x)0 则badxxf0)((ab) 注：若在区间[ab]上 f (x)0 积分badxxf)(表示由曲线yf (x)、两条直线xa、xb 与x轴所围成的曲边梯形的面积，而面积一定是非负的.

推论1（保序性） 如果在区间[ab]上 f (x) g(x) ，则babadxxgdxxf)()((ab) （选讲）证明：这是因为g (x)f (x)0 从而 bababadxxfxgdxxfdxxg0)]()([)()( 所以 babadxxgdxxf)()( 注：推论1表明在同一区间上，被积函数越大相应的积分值也越

-1 1 y=1-x 大。故该性质可用来比较同一区间上两个积分值的大小 例4：不计算积分，比较120xdx与130xdx的大小. 解：因为[0,1]x，有32xx，所以 1132

00xdxxdx

推论2 （绝对可积性）若()fx在区间[ab]上可积，则()fx在[ab]上也可积，且有babadxxfdxxf|)(||)(|(ab)

（选讲） 证明: 这是因为|f (x)|  f (x)  |f (x)|所以 bababadxxfdxxfdxxf|)(|)(|)(| 即 babadxxfdxxf|)(||)(|| 注：推论2表明积分的绝对值小于等于绝对值的积分. 性质5 （估值定理） 设M 及m 分别是函数f(x)在区间[ab]上的最大值及最小值 则baabMdxxfabm)()()((ab) （选讲） 证明： 因为 m f (x) M  所以 bababaMdxdxxfmdx)( 从而 baabMdxxfabm)()()( 注：（1）此性质可用来估计定积分值的范围. （2）若用此性质来估计定积分值的范围，只须求出被积函数()fx在区间[ab]上的最大值及最小值，然后代入公式即可. 例5：估计定积分221xedx值得范围.

解：先求2()xfxe在[1,2]上的最大值M和最小值m 由2()20xfxxe，即0x

得14(0)1,(1),(2)ffefe 故41,Mme，又2(1)3，因此

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定积分的概念,几何意义及其运算

定积分的概念,几何意义及其运算

故f(x)在Domain上↗（↘） ②当f(x) 不单调时 当x∈Domain时，解 f (x) 0 得f(x)在I1， I2…上↗
当x∈Domain时，解 f (x) 0 得f(x)在I1， I2…上↘
极值的求法
一、形法： 顶点即是极值点 谷底极小峰极大
二、数法：
1.一导法求极值：
一求驻点二单调 三写极值靠图象 书写格式要简明 含参反用须验根
第四步：取极限
当n趋向于无穷大时，S
趋向于S
n
n
,即 S
lim
n
Sn
lim n
i 1
f
一、积分的概念：
1.不定积分： 2.定积分：(四大步 参课本P：39～45)
①分割
②近似代替 分割取近似，求和取极限 ③求和
④取极限
积分上限
lim 记作：
b a
f
(x)dx
n
n ba i1 n
f
(i )
积分下限
随着分割越来越细(n→﹢∞或⊿x→0)时 不足近似值和过剩近似值都会趋于真实值
第一步：分割
y
将图中曲边梯形分割成n个小曲边梯形
记他们的面n积分别为：S1, S2, , Sn
显然有S Si
i 1
第二步：近似代替
O
用小矩形的面积近似的代替 小曲边梯形的面积
y= x 2
i-1 i 1 x nn
第三步：求和 求出图中小矩形的面积和 Sn
⑧ cos xdx sin x C
⑨ [af (x) bg(x)]dx a f (x)dx b g(x)dx
⑩ [ f (x)dx]/ f (x) ,
f / (x)dx f (x) C
一、积分的概念：
定积分的性质

定积分的性质

黎曼和
定积分可以表示为黎曼和的形式，即将区间[a,b]分成若干小区间，每个小区间的长度为$\Delta x$，并取小区间 的左端点$x_{i-1}$和右端点$x_i$作为积分的下限和上限，然后对每个小区间上的函数值$f(x_i)$进行求和，最后 将所有小区间的和再乘以$\Delta x$得到定积分的值。
对于任意实数$k_1, k_2$，有$\int (k_1f(x) + k_2g(x)) dx = k_1 \int f(x) dx + k_2 \int g(x) dx$
常数倍
对于任意实数$k$，有$\int kf(x) dx = k \int f(x) dx$
区间可加性
区间可加
对于任意分割$a = x_0 < x_1 < \ldots < x_n = b$，有$\int_{a}^{b}f(x) dx = \sum_{i=0}^{n-1} \int_{x_{i}}^{x_{i+1}}f(x) dx$
利用定积分的性质
如果$f(x) \geq g(x)$，则 $\int_{a}^{b}f(x)dx \geq
\int_{a}^{b}g(x)dx$。
利用定积分的性质
如果$f(x) = g(x)$，则$\int_{a}^{b}f(x)dx = \int_{a}^{b}g(x)dx$。
04
定积分的极限性质
定积分的性质
线性性质
定积分具有线性性质，即对于常数$c$和$d$，有$\int_{a}^{b} (c\varphi_1(x) + d\varphi_2(x)) dx = c\int_{a}^{b} \varphi_1(x) dx + d\int_{a}^{b} \varphi_2(x) dx$。
定积分的概念与性质97457

定积分的概念与性质97457

y
n
Af(i )xi
i1
第四步 取极限
o a x1 xi-1 i xi xn-1 b
记 m x 1 , a x 2 , L x x n } {当 , 0时，
x
n
f(i)xi的极限就是曲边 面梯 积 A.形的
i1
n
即
Alim 0 i1
最小值 ，则 m ( b - a ) a b f( x ) d M x ( b - a )
1b
mb-aaf(x)d xM
由闭区间上连续函数的介值定理得
在 区 间 [ a , b ] 上 至 少 存 在 一 个 点 ， 使 f()b- 1aabf(x)d,x 即 a b f ( x ) d f ( x ) b - ( a ) .
o
a x1 x2 x3 b
（四个小矩形）
xo
a
bx
（九个小矩形）
显然,小矩形越多,矩形总面积越接近曲边梯形面积．
因此,我们用极限求曲边梯形面积.
具体步骤如下： 第一步 分割 在区间 [a, b] 内任意插入 n-1个分点，
a x0 < x1 < x2 < L < xn-1 < xn b,
把 [ T 1 ,T 区 2 ] 分 n 个 间 成 [ t i 小 - 1 ,t i] ， ( i 1 , 区 2 ,L ,n ) 间
小区 [ti-1,间 ti]的长度 ti 记 ti -t为 i-1
第二步 作近似
si v(i ) ti
[ti-1,ti] 上的路程
[ti-1,ti上] 某时刻
速度的变化很小，于近等似速.
因此，在时间间隔很短的条件下，可用匀速代替变速.
课件4：3.4 定积分

课件4：3.4 定积分


1 4
x4)
|02=4,故选D.
(3)(2015·贵阳模拟)已知t>1,若1t(2x+1)dx=t2,则t=
.
【解析】1(t 2x+1)dx=(x2+x) |1t=t2+t-2,
从而得方程t2+t-2=t2,解得t=2.
答案:2
考点1 定积分的计算
【典例1】(1)(2014·江西高考)若f(x)=x2+2
其中为区间［-1,1］的正交函数的组数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】选C.对于①， 1 (sin 1 x cos 1 x)dx 1 (1 sin x)dx
1
2
2
1 2
1 2
cos
x
|11
0，
则f(x)，g(x)为区间［-1,1］上的正交函数；
对于②，
1
(x 1)(x 1)dx
f(x)在[a,b] 表示位于x轴上方的曲边梯形的面积减去位于x轴下方 上有正有负 的曲边梯形的面积
③定积分的性质:
(ⅰ)abkf(x)dx=_k__ab_f__x__d_x_(k为常数). (ⅱ)ab[f1(x)±f2(x)]dx=__ab_f_1 _x__d_x___a_b f_2__x__dx__.
1
1 (x2
1
1)dx
(1 3
x3
x)
|11
4 3
0，
则f(x)，g(x)不为区间［-1,1］上的正交函数；
对于③，
1 x3dx
1
(1 4
x4)
|11
0，
则f(x)，g(x)为区间［-1,1］上的正交函数.
所以满足条件的正交函数有2组.