中考数学相似三角形经典60题

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中考数学提分冲刺真题精析：相似三角形

一、解答题（共65小题）

1．（2014•淄博）如图，四边形ABCD中，AC⊥BD交BD于点E，点F，M分别是AB，BC

的中点，BN平分∠ABE交AM于点N，AB=AC=BD．连接MF，NF．

（1）判断△BMN的形状，并证明你的结论；

（2）判断△MFN与△BDC之间的关系，并说明理由．

2．（2014•岳阳）如图，矩形ABCD为台球桌面，AD=260cm，AB=130cm，球目前在E点位置，

AE=60cm．如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D点位置．

（1）求证：△BEF∽△CDF；

（2）求CF的长．

3．（2014•永州）如图，D是△ABC的边AC上的一点，连接BD，已知∠ABD=∠C，AB=6，

AD=4，求线段CD的长．

4．（2014•营口）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，1），B

（﹣1，4），C（﹣3，2）．

（1）画出△ABC关于y轴对称的图形△A

1B

1C

1，并直接写出C

1点坐标；

（2）以原点O为位似中心，位似比为1：2，在y轴的左侧，画出△ABC放大后的图形△A

2B

2C

2，

并直接写出C

2点坐标；

（3）如果点D（a，b）在线段AB上，请直接写出经过（2）的变化后点D的对应点D

2的坐标．

5．（2014•义乌市）等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，

BE相交于点P．

（1）若AE=CF；

①求证：AF=BE，并求∠APB的度数；

②若AE=2，试求AP•AF的值；

（2）若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长．

6．（2014•扬州）已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD

边上的P点处．

（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连结AP、OP、OA．

①求证：△OCP∽△PDA；

②若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长；

（2）若图1中的点P恰好是CD边的中点，求∠OAB的度数；

（3）如图

2

，，擦去折痕AO、线段OP，连结BP．动点M在线段AP

上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连结MN交PB于

点F，作ME⊥BP于点E．试问当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变

化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度．

7．（2014•烟台）如图，AB是⊙O的直径，延长AB至P，使BP=OB，BD垂直于弦BC，垂足

为点B，点D在PC上．设∠PCB=α，∠POC=β．

求证：tanα•tan=．

8．（2014•湘西州）如图，在8×8的正方形网格中，△CAB和△DEF的顶点都在边长为1的小

正方形的顶点上，AC与网格上的直线相交于点M．

（1）填空：AC= ，AB= ．

（2）求∠ACB的值和tan∠1的值；

（3）判断△CAB和△DEF是否相似？并说明理由．

9．（2014•武汉）如图，AB是⊙O的直径，C，P是上两点，AB=13，AC=5．

（1）如图（1），若点P是的中点，求PA的长；

（2）如图（2），若点P是的中点，求PA的长．

10．（2014•铜仁地区）如图所示，AD，BE是钝角△ABC的边BC，AC上的高，求证：=．

11．（2014•泰安）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，AC与BD交于点E，∠ADB=∠ACB．

（1）求证：=；

（2）若AB⊥AC，AE：EC=1：2，F是BC中点，求证：四边形ABFD是菱形．

12．（2014•绥化）已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，

4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．

（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A

1B

1C

1，点C

1的坐标是 ；

（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A

2B

2C

2，使△A

2B

2C

2与△ABC位似，且位似比为2：

1，点C

2的坐标是 ；

（3）△A

2B

2C

2的面积是 平方单位．

13．（2014•绍兴）课本中有一道作业题：

有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高AD=80mm．要把它加工成正方形零件，使正

方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．问加工成的正方形零件的边长是多少

mm？

小颖解得此题的答案为48mm，小颖善于反思，她又提出了如下的问题．

（1）如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图

1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm？请你计算．

（2）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能

确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．

14．（2014•上海）已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，对角线AC、BD相交于点

F，点E是边BC延长线上一点，且∠CDE=∠ABD．

（1）求证：四边形ACED是平行四边形；

（2）连接AE，交BD于点

G

，求证：=．

15．（2014•陕西）某一天，小明和小亮来到一河边，想用遮阳帽和皮尺测量这条河的大致宽度，

两人在确保无安全隐患的情况下，先在河岸边选择了一点B（点B与河对岸岸边上的一棵树的

底部点D所确定的直线垂直于河岸）．

①小明在B点面向树的方向站好，调整帽檐，使视线通过帽檐正好落在树的底部点D处，如图

所示，这时小亮测得小明眼睛距地面的距离AB=1.7米；

②小明站在原地转动180°后蹲下，并保持原来的观察姿态（除身体重心下移外，其他姿态均不

变），这时视线通过帽檐落在了DB延长线上的点E处，此时小亮测得BE=9.6米，小明的眼睛

距地面的距离CB=1.2米．

根据以上测量过程及测量数据，请你求出河宽BD是多少米？

16．（2014•黔南州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且满

足=，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE，若CF=2，AF=3．

（1）求证：△ADF∽△AED；

（2）求FG的长；

（3）求证：tan

∠E=．

17．（2014•宁夏）在Rt△ABC中，∠C=90°，P是BC边上不同于B、C的一动点，过P作PQ⊥AB，

垂足为Q，连接AP．

（1）试说明不论点P在BC边上何处时，都有△PBQ与△ABC相似；

（2）若AC=3，BC=4，当BP为何值时，△AQP面积最大，并求出最大值；

（3）在Rt△ABC中，两条直角边BC、AC满足关系式BC=λAC，是否存在一个λ的值，使Rt△AQP

既与Rt△ACP全等，也与Rt△BQP全等．

18．（2014•南通）如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边

作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，连接EB，GD．

（1）求证：EB=GD；

（2）若∠DAB=60°，AB=2

，AG=，求GD的长．

19．（2014•梅州）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60，AB=30．D是AC上的动点，过

D作DF⊥BC于F，过F作FE∥AC，交AB于E．设CD=x，DF=y．

（1）求y与x的函数关系式；

（2）当四边形AEFD为菱形时，求x的值；

（3）当△DEF是直角三角形时，求x的值．

20．（2014•眉山）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，Rt△BAP中，∠BAP=90°，已知∠CBO=∠ABP，

BP交AC于点O，E为AC上一点，且AE=OC．

（1）求证：AP=AO；

（2）求证：PE⊥AO；

（3）当AE=AC，AB=10时，求线段BO的长度．

21．（2014•泸州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，

且DC2

=CE•CA．

（1）求证：BC=CD；

（2）分别延长AB，DC交于点P，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点

F，若PB=OB，CD=，

求DF的长．

22．（2014•柳州）如图，正方形ABCD的边长为1，AB边上有一动点P，连接PD，线段PD

绕点P顺时针旋转90°后，得到线段PE，且PE交BC于F，连接DF，过点E作EQ⊥AB的延

长线于点Q．

（1）求线段PQ的长；

（2）问：点P在何处时，△PFD∽△BFP，并说明理由．

23．（2014•柳州）如图，在△ABC中，∠BAC的角平分线AD交BC于E，交△ABC的外接圆

⊙O于D．

（1）求证：△ABE∽△ADC；

（2）请连接BD，OB，OC，OD，且OD交BC于点F，若点F恰好是OD的中点．求证：四边

形OBDC是菱形．