高二数学双曲线试题

高二数学双曲线试题

1. 双曲线（，）的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设，易求M坐标为，在三角形中，即，由得，答案选B.

【考点】双曲线的性质

2. 已知双曲线的右焦点是抛物线的焦点，两曲线的一个公共

点为，且，则双曲线的离心率为

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意可得：双曲线的焦点为，且两曲线的一个公共点为在y轴右侧，因为，因此可设点,所以,所以，

所以双曲线的离心率为．

【考点】双曲线、抛物线的定义及性质．

3. 与双曲线有共同的渐近线，并且过点A(6,8)的双曲线的标准方程为__________．

【答案】

【解析】设所求双曲线为，把点(6,8)代入，得,解得 λ=-4，

∴所求的双曲线的标准方程为．故答案为：．

【考点】双曲线的性质和应用．

4. 已知集合P={x|1≤x≤8，x∈Z}，直线y=2x+1与双曲线mx2-ny2=1有且只有一个公共点，其中m、n∈P，则满足上述条件的双曲线共有__________________个.

【答案】3

【解析】依题意，将直线y=2x+1与双曲线mx2-ny2=1的方程联立，消去y得：（m-4n）x2-4nx-n-1=0；分①直线y=2x+1与双曲线mx2-ny2=1相切，②直线y=2x+1与双曲线mx2-ny2=1相交，讨论，分利用判别式与直线y=2x+1与双曲线mx2-ny2=1的一条渐近线y=x平行即可求得答案．

【考点】直线与双曲线的位置关系.

5. 已知双曲线中心在原点，一个焦点为，点P在双曲线上，且线段的中点坐标为（0，2），则此双曲线的方程是________________. 【答案】

【解析】由题可得P（，4），∵，∴把P（，4）代入双曲线标准方程，解方程组即可.

【考点】双曲线的标准方程.

6. 双曲线的焦距是10，则实数的值是（ ）

A． B．4 C．16 D．81

【答案】C

【解析】由双曲线的方程，可得，而，所以由可得，故选C.

【考点】双曲线的定义及其标准方程.

7. 设P是双曲线上一点，该双曲线的一条渐近线方程是，分别是双曲线的左、右焦点，若，则等于 ( )

A．2 B．18 C．2或18 D．16

【答案】C

【解析】因为双曲线渐近线方程是，所以又因为,所以等于2或18

【考点】双曲线定义，渐近线方程

8. 已知双曲线的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】已知双曲线的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，∴，离心率＝，∴，故选C．

【考点】1、双曲线的性质；2、直线与圆锥曲线的位置关系．

9. 抛物线的准线与双曲线 交于两点，点为抛物线的焦点，若△为直角三角形，则双曲线的离心率为（ ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】先根据抛物线方程求得准线方程，代入双曲线方程求得，根据双曲线的对称性可知为等腰直角三角形，进而可求得或的纵坐标为，进而求得，利用和的关系求得，则双曲线的离心率可得. 解：依题意知抛物线的准线方程为，代入双曲线的方程得 ，不妨设 ，设准线与轴的交点为，∵是直角三角形，所以根据双曲线的对称性可知，为等腰直角三角形，所以即，解得，∴，所以离心率为，选D.

【考点】双曲线的性质.

10. 若中心在原点,以坐标轴为对称轴的圆锥曲线,离心率为,且过点,则曲线的方程为________.

【答案】

【解析】离心率为的圆锥曲线是双曲线，而且是等轴双曲线，故可设基方程为，把点代入可求出．因此双曲线方程为．

【考点】等轴双曲线的标准方程．

11. 过双曲线的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M、N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于______.

【答案】2.

【解析】本题MN实质上是双曲线的通径，(可令代入双曲线方程求出的坐标，从而得出通径长)，根据题意应该有，

.

【考点】双曲线的通径与离心率.

12. 已知双曲线(a＞0，b＞0)的离心率，过点A(0，－b)和B(a，0)的直线与原点的距离是．

（Ⅰ）求双曲线的方程及渐近线方程；

（Ⅱ）若直线y＝kx＋5 (k≠0)与双曲线交于不同的两点C、D，且两点都在以A为圆心的同一个圆上，求k的值．

【答案】（Ⅰ）,；（Ⅱ）＝

【解析】本题主要考察双曲线的标准方程、韦达定理等基础知识，考察学生运算能力、综合分析和解决问题的能力.（Ⅰ）离心率为，∴，∴①，直线的方程为即，利用点到直线的距离公式得到：②，两式联立，可求出，∴双曲线方程为，渐近线方程为：；（Ⅱ）两点在以为圆心的同一个圆上，的中垂线过点,将直线与双曲线联立，消去，可得，设，中点为，则∴，解得＝，并检验是否满足(.

试题解析：（Ⅰ）直线的方程为：即 又原点到直线的距离

由得 3分

所求双曲线方程为 4分

（注：也可由面积法求得）

渐近线方程为： 5分

（Ⅱ）方法1：由（1）可知（0，－1），设,由

得： 7分

∴3＋3＋＝3＋3＋，

整理得： ＝0，

∵，∴，∴，

又由－10＋25－3＝0 （），

∴y＋y2＝， 10分

＝7， 11分

由△＝100－4（1－3）（25－3）>0 =7满足此条件，

满足题设的＝. 12分

方法2：设，中点为，

由， 7分

∵，的中垂线过点 9分

∵∴ 11分

整理得解得＝.（满足 12分

【考点】1、双曲线的标准方程；2、点到直线的距离公式和直线方程；3、韦达定理.

13. 双曲线的焦距为（ ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】中，所以，双曲线的焦距为2c=,故选D。

【考点】双曲线的几何性质 点评：简单题，双曲线中，不难确定焦距。

14. 双曲线的渐近线方程是（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】双曲线的渐近线方程为，即。选C。

【考点】双曲线的几何性质

点评：简单题，双曲线的渐近线方程为，即。

15. 点在曲线上，点Q在曲线上，点R在曲线上，则最大值是 【答案】10 【解析】曲线焦点，曲线圆心，半径为1，曲线圆心为，半径为1，最大值为，最小值为最大值为 【考点】双曲线定义与两点间距离

点评：圆上的动点到圆外一点的最大距离为圆心到点的距离加上半径，最小距离为圆心到点的距离减去半径，双曲线上的点到两焦点的距离之差为双曲线中的实轴长

16. P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆（x＋5）2＋y2＝4和

（x－5）2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为（ ）.

A．6 B．7 C．8 D．9

【答案】D

【解析】如图，PM过双曲线的焦点F1，PN的延长线过双曲线的焦点F2，这种情况能使得|PM|－|PN|取得最大值，则|PM|－|PN|

=9。故选D。

【考点】双曲线的定义

点评：关于圆的题目，若涉及到线段长度的最值时，一般都考虑线段经过圆心的情况。

17. 已知平面上两点M（-5，0）和N（5，0），若直线上存在点P使|PM|-|PN|=6，则称该直线为“单曲型直线”，下列直线中是“单曲型直线”的是（ ）

①； ②y=2； ③； ④. A．①③ B．③④ C．②③ D．①②

【答案】D

【解析】∵|PM|-|PN|=6∴点P在以M、N为焦点的双曲线的右支上，即（x＞0）.对于①，联立消y得7x2-18x-153=0，∵△=（-18）2-4×7×（-153）＞0，∴y=x+1是“单曲型直线”．对于②，联立消y得x2=，∴y=2是“单曲型直线”．对于③，联立整理得144=0，不成立．∴不是“单曲型直线”．对于④，联立消y得20x2+36x+153=0，∵△=362-4×20×153＜0∴y=2x+1不是“单曲型直线”．故符合题意的有①②．故选D

【考点】本题考查了直线与双曲线的位置关系

点评：联立方程利用一元二次方程处理直线与双曲线交点问题是常用方法，属基础题

18. 方程表示双曲线，则的取值范围是（ ）

A． B．

C．或 D．或

【答案】C

【解析】利用双曲线的标准方程可得到（2-m）（|m|-3）＜0，解之即可．

依题意得，（2-m）（|m|-3）＜0，

∴若m＞0，解得m＜2或m＞3，

∴0＜m＜2或m＞3；

若m＜0，解得-3＜m＜2，

∴-3＜m＜0；

若m=0，亦可．

综上所述，-3＜m＜2或m＞3

故选C．

【考点】双曲线的几何性质

点评：本题考查双曲线的标准方程的应用，考查解不等式组，去绝对值符号是难点，考查分类讨论思想，属于中档题．

19. 若双曲线上一点到左焦点的距离为4，则点到右焦点的距离是 . 【答案】10 【解析】由双曲线方程可知，由定义得

【考点】双曲线定义

点评：双曲线上的点到两焦点距离之差的绝对值等于

20. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ）

A． B． C． D．