2020-2022北京重点校高一(上)期末数学汇编及解析：函数的应用(二)

北京市各区2022年高三上学期期中、年末考试分类解析（2）：函数1．（2020年昌平区高三期末考试理3）设4log , 2 ,3.03.03.02===c b a ，则（ A ）A ． b a c <<B ．a b c <<C ．c a b <<D ．a c b << 2．（2020年西城区高三期末考试文3）下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的函 数是（ B ） A ．1y x=-B ．||e x y =C ．23y x =-+ D ．cos y x = 3．（2020年东城区高三期末考试理7）关于函数(lg 21f x x =-+），有如下三个命题： ①)2(+x f 是偶函数；②)(x f 在区间)2,(-∞上是减函数，在区间()∞+,2上是增函数； ③)()2(x f x f -+在区间()∞+,2上是增函数．其中正确命题的序号是（ A ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③ 4．（2020年朝阳区高三期末考试理6）函数2()2xf x a x=--的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范畴是（ C ）A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)5．（2020年丰台区高三期末考试文7）若函数21()log ()f x x a x=+-在区间(1,2)内有零点，则实数a 的取值范畴是（ D ）A ．25(log ,1)2-- B ．(1,)+∞ C ．25(0,log )2 D ．25(1,log )26．（2020年丰台区高三期末考试理7）若函数21()log ()f x x a x =+-在区间1(,2)2内有零点，则实数a 的取值范畴是（ D ） A ．25(log ,1]2-- B ．25(1,log )2 C ．25(0,log )2 D ．25[1,log )27．（2020年朝阳区高三期末考试文3）函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-<=)0(12)0(2x x x y x的图象大致是（ B ）8．（2020年昌平区高三期末考试理7）某类产品按工艺共分10个档次，最低档次产品每件利润为8元.每提高一个档次，每件利润增加2元. 用同样工时，能够生产最低档产品60件，每提高一个档次将少生产3件产品.则获得利润最大时生产产品的档次是（ C ） A ．第7档次 B ．第8档次 C ．第9档次 D ．第10档次 9．（2020年东城区高三期末考试理8）已知函数1)(2+=x x f 的定义域为[]b a ,)(b a <，值域为[]5,1，则在平面直角坐标系内，点),(b a 的运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积为 （ C ）A ．8B ．6C ．4D ．210．（2020年海淀区高三期末考试文7）已知函数()2f x x x x =-，则下列结论正确的是（ C ） A ．()f x 是偶函数，递增区间是),0(+∞ B ．()f x 是偶函数，递减区间是)1,(-∞ C ．()f x 是奇函数，递减区间是)1,1(- D ．()f x 是奇函数，递增区间是)0,(-∞11．（2011年海淀区高三年级第一学期期中练习理2）若)1lg(2)(x x f -=， 则()f x 的定义域是（ D ）A ．),1(+∞B ．),1()1,0(+∞⋃C ．)0,1()1,(-⋃--∞D ．)1,0()0,(⋃-∞ 考点：分式函数的定义域；对数函数的定义域。

2020-2022北京重点校高一（下）期末数学汇编简单几何体的表面积与体积一、单选题 1．（2022·北京市第十二中学高一期末）如图，将底面半径为2的圆锥放倒在平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S 滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆本身恰好滚动了2周，则（ ）A ．圆锥的母线长为8B ．圆锥的表面积为8πC ．圆锥的侧面展开图扇形圆心角为π2D 83π32．（2022·北京市第十二中学高一期末）已知直三棱柱111ABC A B C 的六个顶点都在球O 的表面上，若1AB =，2BC =，60ABC ∠=︒，13A A =，则球O 的体积是（ ）A ．256πB ．253πC 1313πD ．136π3．（2022·北京·人大附中高一期末）校园文创，是指以学校特有的校园文化内涵为基础，经过精妙构思和创作，生产符合校园文化精神、传播校园文化品牌的特殊产品和服务．它既是学校文化的物化形式，同时也是学校文化的传播载体．某文创小组设计了一款校园香囊，它是由6个边长为6cm 的全等正三角形拼接而成的六面体（如图），那么香囊内可供填充的容量约为（ ）A ．392cmB ．3182cmC ．32cmD ．32cm4．（2022·北京八十中高一期末）定义：24小时内降水在平地上积水厚度（mm ）来判断降雨程度.其中小雨（10mm <），中雨（10mm 25mm -），大雨（25mm 50mm -），暴雨（50mm 100mm -），小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级（ ）A ．小雨B ．中雨C ．大雨D ．暴雨5．（2022·北京·101中学高一期末）正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（ ） A ．203+B ．282C ．563D 2826．（2021·北京师大附中高一期末）圆锥的母线长为5cm ，底面半径为2cm ，则圆锥的侧面积为（ ） A ．220cm πB ．210cm πC ．228cm πD ．214cm π7．（2021·北京市第十二中学高一期末）钺（yuè）的本字其实是“戊（yuè）”，是一种斧头．在中国古代，长江流域以南的少数民族都被称为越人，由于民族很杂部落众多，也称“百越”，有学者指出，“越人”的“越”，其含义可能由“戊”而来，意指这些都是一帮拿着斧头的人．此外，“戊（wù）”的本意和“戊”一样，也是指斧头．如图是一把斧子，它的斧头由铁质锻造，它的形状可以近似看做由上下两个多面体组合而成，上部是一个长方体，下部是一个“楔（xie ）形”，其尺寸如图标注（单位：cm ），已知铁的比重为37.87g /cm ，斧头上用作安装斧柄的洞眼仍看作实心，这只斧头的质量（单位：g ）所在的区间为（ ）A ．()800,1200B ．[)1200,1600C ．[)1600,2000D ．[)2000,24008．（2021·北京·人大附中高一期末）圆锥的表面积为12π，母线长为4，则该圆锥的底面半径为（ ） A ．2B ．3C ．1D 39．（2021·北京·首都师范大学附属中学高一期末）如图所示，已知三棱柱111ABC A B C 的所有棱长均为1，且1AA ⊥底面ABC ，则三棱锥11B ABC -的体积为（ ）A 3B 3C 6D 6二、填空题10．（2022·5π，该圆锥侧面的展开图是弧长为2π的扇形，则该圆锥的体积为_________.11．（2022·北京·人大附中高一期末）如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为底面ABCD 内（包括边界）的动点，满足1D P 与直线1CC 所成角的大小为6π，则线段DP 扫过的面积为______.12．（2022·北京八十中高一期末）已知正四棱锥的高为4，侧面积为417________. 13．（2021·北京师大附中高一期末）我国魏晋时期的数学家刘徽在给《九章算术》作注时，想到了推算球体积的方法，创造了一个称为“牟合方盖”的立体图形.如图1所示，在一个正方体内作两个互相垂直的内切圆柱，其相交的部分，就是牟合方盖，如图2所示，牟合方盖恰好把正方体的内切球包含在内并且同球相切.刘微指出，球体积与牟合方盖体积之比等于4π.若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积等于__________.14．（2021·北京市第十二中学高一期末）体积为1的正方体的内切球的体积是______．15．（2021·北京·101中学高一期末）中国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有羡除”．刘徽注：“羡除，隧道也．其所穿地，上平下邪．”现有一个羡除如图所示，四边形ABCD ，ABFE ，CDEF 均为等腰梯形，AB∥CD∥EF ，AB ＝6，CD ＝8，EF ＝10，EF 到平面ABCD 的距离为3，CD 与AB 间的距离为10，则这个羡除的体积是________．16．（2021·北京·人大附中高一期末）阿基米德（Archimedes ，公元前287年－公元前212年）是古希腊伟大的数学家、物理学家和天文学家，他构造了这样的一个几何体：在一个圆柱形容器里放了一个球（如图所示），圆柱的底面直径与高都等于球的直径.若球的体积为36π，则圆柱的体积为________.17．（2021·北京·人大附中高一期末）若正四棱锥的底面边长和高都是2，则其体积为________. 18．（2020·北京·101中学高一期末）已知三棱柱111ABC A B C 的6个顶点都在球O 的球面上，若3cm AB =，4cm AC =，AB AC ⊥，112cm AA =，则球O 的表面积为______2cm .三、解答题19．（2021·北京市第十二中学高一期末）用一个半径为10厘米的半圆纸片卷成一个最大的无底圆锥，放在水平桌面上，被一阵风吹倒，如图所示，求它的最高点到桌面的距离.四、双空题20．（2021·北京师大附中高一期末）如图，这个组合体是小张同学自己设计的一个小奖杯，计划送给小刘同学，以鼓励其认真努力的学习数学，已知该奖杯中的四棱柱的高为10cm，底面是长和宽分别为3cm､2 cm的矩形，则该四棱柱的体积是__________3cm：奖杯顶部两个球的半径分别为5cm和2cm，则这两个球的表面积之和为__________2cm.参考答案1．D【分析】由题意可求出圆锥的母线长，可判断A;由此可求得圆锥的表面积，判断B; 由侧面展开图为半圆可判断C;求得圆锥的体积判断D.【详解】由题意，圆锥在平面内转回原位置时，圆本身恰好滚动了2周，即可知圆锥的侧面展开图的面积即圆锥的侧面积是以母线为半径形成的圆面积的12，设圆锥母线长为l ，即有21π2π,42l l l ⨯⨯=⨯⨯∴= ，故A 错误；圆锥的表面积为2π24+π212π⨯⨯⨯=，故B 错误；由题意可知，圆锥的侧面展开图是以母线为半径形成的圆的一半， 故侧面展开图扇形圆心角为π，故C 错误；圆锥的体积为222183π2423⨯- ，故D 正确，故选：D 2．C【分析】易得AC AB ⊥，将三棱柱111ABC A B C 补全为长方体，再根据长方体的体对角线即为其外接球的直径，求出外接球的半径，再根据球的体积公式即可得解. 【详解】解：在ABC 中，1AB =，2BC =，60ABC ∠=︒， 则2212cos 601421232AC AB BC AB BC =+-⋅︒+-⨯⨯⨯ 则222AC AB BC +=，所以AC AB ⊥，如图将三棱柱111ABC A B C 3,1,3， 则外接球的半径13913R ++==， 所以球O 的体积是3413133R ππ=故选：C.3．C【分析】根据给定条件，求出棱长为6cm 的正四面体的体积作答.【详解】依题意，这个六面体可视为共底面的两个棱长为6cm 的正四面体拼接而成， 如图，正四面体D ABC -棱长为6cm ，O 为正ABC 的中心，连接OC ，OD ，则正ABC 的半径2323(cm)3OC AB ==，正四面体D ABC -的高2226(cm)OD CD OC =-=，于是得23113182(cm )33D ABC ABCV SOD AB OD -=⋅=⋅=， 所以这个六面体香囊内可供填充的容量约为3362cm . 故选：C 4．B【分析】计算出圆锥体积，除以圆面的面积即可得降雨量，即可得解. 【详解】由题意，一个半径为()200100mm 2=的圆面内的降雨充满一个底面半径为()20015050mm 2300⨯=，高为()150mm 的圆锥，所以积水厚度()22150150312.5mm 100d ππ⨯⨯==⨯，属于中雨.故选：B. 5．D【分析】由四棱台的几何特征算出该几何体的高及上下底面面积，再由棱台的体积公式即可得解. 【详解】作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，因为该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2， 所以该棱台的高()2222222h --下底面面积116S =，上底面面积24S =，所以该棱台的体积((121211282164642333V h S S S S =+=+=故选：D. 6．B【分析】根据圆锥侧面积公式，即可计算结果.【详解】根据圆锥侧面积公式可知22510S rl cm πππ==⨯⨯=. 故选：B 7．A【分析】由题得几何体有一个长方体、一个三棱柱和两个三棱锥组成，分别求出各个部分的体积即得解. 【详解】由题得几何体有一个长方体、一个三棱柱和两个三棱锥组成， 长方体的体积：355=75⨯⨯； 三棱柱的体积：175355=22⨯⨯⨯；两个三棱锥的体积：11525235=3222⨯⨯⨯⨯⨯；所以几何体的体积为752575++=12522， 所以这只斧头的质量为7.87125=983.75⨯. 故选：A【点睛】方法点睛：几何体体积的计算常用的方法有：（1）公式法；（2）割补法；（3）转化法.要根据已知条件灵活选择方法求解. 8．A【解析】设圆锥的底面半径为r ，根据圆锥的表面积为12π，母线长为4，由212S r rl πππ=+=求解. 【详解】设圆锥的底面半径为r ， 因为圆锥的表面积为12π，母线长为4， 所以212S r rl πππ=+=， 即 24120r r +-=，解得 2r =或 6r =-（舍去） 故选：A 9．B【分析】根据题意，三棱柱111ABC A B C 是棱长均为1的正三棱柱，算出它的体积3V =．再根据锥体的体积公式得三棱锥111A A B C -、三棱锥1C ABC -的体积都等于三棱柱111ABC A B C 体积的13，由此用三棱柱111ABC A B C 体积减去两个三棱锥的体积，即可算出三棱锥11B ABC -的体积．【详解】解：三棱柱111ABC A B C 的所有棱长均为1， ∴底面ABC ∆为正三角形，面积233ABC S ∆又1AA ⊥底面ABC ，11AA =∴三棱柱111ABCA B C 的体积111134ABC A B C ABC V S AA -∆==三棱锥111A A B C -、三棱锥1C ABC -与三棱柱111ABC A B C 等底等高 ∴1111111133A ABC C ABC ABC A B C V V V ---===由此可得三棱锥11B ABC -的体积11111113ABC A B C A A B C C ABC V V V V ---=--故选：B ．【点睛】本题给出棱长均为1的正三棱柱，求其中的三棱锥11B ABC -体积．着重考查了正三棱柱的性质、柱体和锥体的体积公式等知识，属于中档题． 10．2π3【分析】根据圆锥的侧面积及侧面展开图扇形的弧长可求圆锥的母线长与底面圆的半径，从而可求圆锥的高，根据圆锥的体积公式即可求解.【详解】解：设该圆锥的母线长为l ，底面圆的半径为r ， 由已知条件可得:π5π2π2πrl r ⎧⎪⎨=⎪⎩,解得1,5r l =⎧⎪⎨=⎪⎩故圆锥的高22512h l r --=, 所以该圆锥的体积为2112πππ12333r h =⨯⨯=. 故答案为:2π3. 11．12π【分析】根据题设描述易知P 的轨迹是以D 3DP 扫过的面积. 【详解】由题设，11//DD CC ，要使1D P 与直线1CC 所成角的大小为6π，只需1D P 与直线1DD 所成角的大小为6π，∥1D P 绕1DD 以6π夹角旋转为锥体的一部分，如上图示：P 的轨迹是以D 3圆，∥DP 在ABCD 上扫过的面积为213()412ππ⨯⨯=.故答案为：12π. 12．32【解析】由题意画出图形，设正四棱锥的底面边长为a ，由侧面积列式求得a 值，进一步求得侧棱长即可. 【详解】如图，设正四棱锥P ABCD -的底面边长为a ，底面中心为O ，取BC 的中点M ，连接OM ，PM ，则2a OM =，斜高222164a PM PO OM =++ ∥该棱锥的侧面积2141641724a S a =⨯⨯+24a =， 又22OB =， ∥22216322a PO OB ++ 故答案为：32【点睛】本题考查棱柱的结构特征，考查正四棱锥侧面积的求法，属于基础题.13．163【分析】先根据正方体的棱长为2，确定其内切球的半径为1，体积为43π，再根据球体积与牟合方盖体积之比等于4π，可求得“牟合方盖”的体积. 【详解】若正方体的棱长为2，则其内切球的半径为1，体积为344133V ππ=⋅=. 根据球体积与牟合方盖体积之比等于4π知，“牟合方盖”的体积等于41633ππ4⨯=. 故答案为：163. 14．6π 【分析】求出正方体的棱长，内切球直径就等于正方体棱长，从而易得内切球体积，【详解】设正方体棱长为a ，则31a =，1a =，所以正方体内切球的直径等于1a =，半径为12r =，体积为334413326V r πππ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭． 故答案为：6π． 15．120 【分析】如图，过点A 作,AP CD AM EF ⊥⊥，过点B 作,BQ CD BN EF ⊥⊥，垂足分别为,,,P M Q N ，连接,PM QN ，将一侧的几何体补到另一侧，组成一个直三棱柱，从而可求得体积【详解】解：如图，过点A 作,AP CD AM EF ⊥⊥，过点B 作,BQ CD BN EF ⊥⊥，垂足分别为,,,P M Q N ，连接,PM QN ，将一侧的几何体补到另一侧，组成一个直三棱柱， 则由题意可得底面积为1103152⨯⨯=，棱柱的高为8， 所以体积为158120⨯=，故答案为：12016．54π【分析】由已知结合球的体积公式，求出球半径，可得圆柱的底面半径和高，代入圆柱体积公式，即可求解.【详解】设球的半径为R ，依题意得3436,33R R ππ==， 所求的圆柱底面半径为3，高为6，则体积为23654ππ⨯=.故答案为：54π.17．83【分析】直接根据棱锥的体积公式求解即可． 【详解】解：由题意的该四棱锥的体积1822233V =⨯⨯⨯=， 故答案为：83． 18．169π【解析】由于直三棱柱111ABC A B C 的底面ABC 为直角三角形，我们可以把直三棱柱111ABC A B C 补成四棱柱，则四棱柱的体对角线是其外接球的直径，求出外接球的直径后，代入外接球的表面积公式，即可求出该三棱柱的外接球的表面积.【详解】由题意，三棱柱111ABC A B C 为直三棱柱111ABC A B C ，底面ABC 为直角三角形，把直三棱柱111ABC A B C 补成四棱柱，则四棱柱的体对角线是其外接球的直径， 222113341222++， 则三棱柱111ABC A B C 外接球的表面积是22134169cm 2ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 故答案为：169π.【点睛】本题考查几何体的外接球问题，属于基础题.19．53【分析】先求出圆锥底面的半径，再在轴截面中利用解三角形的方法可求倒放的圆锥的最高点到桌面的距离.【详解】设底面半径为r ，母线的长为l ，则10l cm =，且122r l ππ=，故=5r . 所以圆锥的轴截面为等边三角形，且边长为10，如图：最高点到底面的距离为等边三角形的高，此高为53【点睛】本题考查空间中距离的计算，注意把距离放置在可解的三角形中，同时关注旋转体的轴截面，因为它集中了旋转体的几何量，本题属于基础题.20． 60 116π【分析】根据棱柱和球的表面积公式，即可计算结果.【详解】四棱柱体积3321060V Sh cm ==⨯⨯=，球的表面积()()22244254116S R r cm πππ=+=⨯+=.故答案为：60；116π。

2021-2022学年北京市朝阳区高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{}=2,3,5,7A ，{}=1,3,5,7,9B ，则=A B （ ） A ．{1,3,5,7} B ．{3,5,7}C ．{}1,2,9D ．{}1,2,3,5,7,9【答案】B【分析】直接利用交集的定义求解即可. 【详解】∵{}=2,3,5,7A ,{}=1,3,5,7,9B , ∴{}=3,5,7A B ， 故选：B .2．下列函数在其定义域内是增函数的是（ ） A ．2x y = B ．2log y x =-C ．1y x=-D ．tan y x =【答案】A【分析】函数在定义域内单调递减，排除B ，单调区间不能用并集连接，排除CD. 【详解】2x y =定义域为R ，且在定义域上单调递增，满足题意，A 正确； 2log y x =-定义域为()0,∞+，在定义域内是减函数，B 错误；1y x=-定义域为()(),00,∞-+∞，而1y x=-在()(),0,0,-∞+∞为单调递增函数，不能用并集连接，C 错误；同理可知：tan y x =定义域为ππ,2x x k k Z ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，而tan y x =在区间πππ,π,22k k k Z ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭上单调递增，不能用并集连接，D 错误.故选：A3．已知0x >，则2x x+的最小值为（ ）A B ．2C ．D ．4【答案】C【分析】根据给定条件利用均值不等式直接计算作答.【详解】因为0x >，则2xx+≥2x x=，即x “=”，所以2x x+的最小值为故选：C4．若1sin 3α=，则cos2=α A ．79B ．29C ．79-D ．29-【答案】A【解析】直接利用二倍角的余弦公式求解. 【详解】由题得217cos212sin 1299αα=-=-⋅=.故选A【点睛】本题主要考查二倍角的余弦公式求值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力. 5．已知13313e log 2log 2abc ===，，，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．a c b <<D ．b c a <<【答案】B【分析】根据指数函数以及对数函数的性质判断,,a b c 的范围，即可判断三者的大小关系. 【详解】1333133e log 2log log 2log 20abc ==<==-<1，03=1，＞＜,故c b a <<， 故选：B.6．已知a b >，R c ∈，则下列不等式中恒成立的是（ ） A ．11a b< B ．22a b > C ．ac bc > D ．a c b c +>+【答案】D【分析】直接利用特殊值检验及其不等式的性质判断即可. 【详解】对于选项A ，令2a =，1b =-，但11a b>，则A 错误； 对于选项B ，令2a =，3b =-，但22a b <，则B 错误； 对于选项C ，当0c 时，ac bc =，则C 错误；对于选项D ，有不等式的可加性得a c b c +>+，则D 正确， 故选：D.7．“1a <”是“关于x 的方程2210ax x -+=有实数根”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据给定条件利用充分条件、必要条件的定义直接判断作答. 【详解】当0a =时，方程的实数根为12x =， 当0a ≠时，方程2210ax x -+=有实数根，则440a ∆=-≥，解得1a ≤，则有1a ≤且0a ≠， 因此，关于x 的方程2210ax x -+=有实数根等价于1a ≤，所以“1a <”是“关于x 的方程2210ax x -+=有实数根”的充分而不必要条件. 故选：A8．为了节约水资源，某地区对居民用水实行“阶梯水价”制度：将居民家庭全年用水量（取整数）划分为三档，水价分档递增，其标准如下：如该地区某户家庭全年用水量为300立方米，则其应缴纳的全年综合水费（包括水费、水资源费及污水处理费）合计为1805(260180)7(300260)91820⨯+-⨯+-⨯=元．若该地区某户家庭缴纳的全年综合水费合计为1180元，则此户家庭全年用水量为（ ）A ．170立方米 B ．200立方米C ．220立方米D ．236立方米【答案】C【分析】根据用户缴纳的金额判定全年用水量少于2603m ，利用第二档的收费方式计算即可.【详解】若该用户全年用水量为2603m ， 则应缴纳1805(260180)714601180⨯+-⨯=>元，所以该户家庭的全年用水量少于2603m ， 设该户家庭的全年用水量为x 3m ， 则应缴纳1805(180)71180x ⨯+-⨯=元， 解得220x =. 故选：C9．已知奇函数()f x 的定义域为R ，其图象是一条连续不断的曲线．若(2)(1)0f f -=≠，则函数()f x 在区间(2,2)-内的零点个数至少为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C【分析】根据奇函数()f x 的定义域为R 可得(0)0f =，由(2)(1)0f f -=≠和奇函数的性质可得(2)(1)0f f <、(2)(1)0f f --<，利用零点的存在性定理即可得出结果. 【详解】奇函数()f x 的定义域为R ，其图象为一条连续不断的曲线， 得(0)0f =，由(2)(1)0f f -=≠得(2)(1)0f f -=≠， 所以(2)(1)0f f <，故函数在(12)，之间至少存在一个零点， 由奇函数的性质可知函数在(21)--，之间至少存在一个零点， 所以函数在(22)-，之间至少存在3个零点. 故选：C10．数学可以刻画现实世界中的和谐美，人体结构、建筑物、国旗、绘画、优选法等美的共性与黄金分割相关．黄金分割常数ω=也可以表示成2sin18︒，=（ ）A ．2B ．12C 1D 1【答案】A【分析】利用同角三角函数平方关系，诱导公式，二倍角公式进行求解.()2sin182cos182sin 9054sin 362sin 36====︒-︒︒⋅︒︒︒故选：A 二、填空题11．函数()()ln 1f x x =-的定义域是________． 【答案】()1,+∞{}1x x >【分析】利用对数的真数大于零可求得原函数的定义域.【详解】对于函数()()ln 1f x x =-，10x ->，解得1x >，故函数()f x 的定义域为()1,+∞. 故答案为：()1,+∞.12．40.252lg83lg5⨯++=________． 【答案】7【分析】利用指数运算及对数运算法则进行计算.【详解】()40.252lg83lg50.25163lg2lg5437⨯++=⨯++=+=故答案为：713．已知定义在R 上的函数()f x 满足：①()00f =；②()f x 在区间[]2,4上单调递减；③()f x 的图象关于直线2x =对称，则()f x 的解析式可以是________．【答案】()24f x x x =-+（答案不唯一）【分析】取()24f x x x =-+，结合二次函数的基本性质逐项验证可得结论.【详解】取()()22424f x x x x =-+=--+，则()00f =，满足①，()f x 在区间[]2,4上单调递减，满足②， ()f x 的图象关于直线2x =对称，满足③.故答案为：()24f x x x =-+（答案不唯一）.14．已知函数，满足对任意12x x ≠都有1212[()()]()0f x f x x x -->成立，那么实数a 的取值范围是________．【答案】[2,5)【分析】利用求解分段函数单调性的方法列出不等式关系，由此即可求解 【详解】由已知可得函数()f x 在R 上为单调递增函数，则需满足501(5)11a a a a a -⎧⎪⎨⎪-⨯-+≤⎩＞＞ ，解得25a ≤<， 所以实数a 的取值范围为[2,5)， 故答案为：[2,5)． 15．给出下列四个结论：①函数()cos 22f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是奇函数；②将函数π()cos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向右平移π3个单位长度，可以得到函数()cos2f x x =-的图象；③若,αβ是第一象限角且αβ<，则tan 2tan 2αβ<； ④已知函数44()sin cos 22xxf x ωω=+，其中ω是正整数．若对任意实数a 都有{()|1}{()|}f x a x a f x x R <<+=∈，则ω的最小值是4．其中所有正确结论的序号是________． 【答案】①②④【分析】直接利用奇函数的定义，函数图象的平移变换，象限角，三角函数的恒等变换以及余弦函数图像的性质即可判断.【详解】对于①()cos 2sin 22f x x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，其中()()()sin 2sin 2f x x x f x -=--==-，即()f x 为奇函数，则①正确；对于②将π()cos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向右平移π3个单位长度，即ππ()cos 233f x x ⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()cos 2πcos2x x =-=-，则②正确；对于③若令π6α=，π3β=，则tan 2tan 2αβ>，则③不正确； 对于④44()sincos 22xxf x ωω=+22222sin cos 2sin cos 2222x x x x ωωωω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 2111cos 21sin 1222x x ωω-⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭13cos 244x ω=+，由题意可知，任意一个长为1的开区间(),1a a +上至少包含函数()f x 的一个周期，()f x 的周期为2ππ2T ωω==，则π1ω<，即πω>，则ω的最小值是4, 则④正确； 故答案为：①②④. 三、双空题16．如图，若角α的终边与单位圆交于点03,5P y ⎛⎫⎪⎝⎭，则0y =________，tan α=________．【答案】450.8 43【分析】根据单位圆中的勾股定理和点03,5P y ⎛⎫⎪⎝⎭所在象限求出0y ，然后根据三角函数的定义求出tan α即可【详解】如图所示，点03,5P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭位于第一象限，则有：220315y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且00y >解得：045y =004tan 3y x α==（其中035x =） 故答案为：45；43四、解答题17．已知全集U =R ，集合{R |211}A x x =∈-≤，集合{R |12}B x x =∈-<≤． (1)求集合A B 及()U A B ⋃；(2)若集合{|2,0}=∈≤<>C x R a x a a ，且C B ⊆，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)(1,1]A B ⋂=-，(1,)UA B ⋃=-+∞；(2)(0,1]【分析】（1）解一元一次不等式求集合A ，再应用集合的交并补运算求A B 及()U A B ⋃. （2）由集合的包含关系可得2a ≤2，结合已知即可得a 的取值范围． (1)由211x -≤得：1x ≤，所以(,1]A ∞=-，则(1,)UA =+∞，由(1,2]B =-，所以(1,1]A B ⋂=-，(1,)UA B ⋃=-+∞．(2)因为C B ⊆且0a >， 所以2a ≤2，解得1a ≤． 所以a 的取值范围是(0,1]． 18．已知,αβ为锐角，1cos 7α=，11cos()14αβ+=-． (1)求sin α和πsin 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；(2)求sin()αβ+和cos β的值． 【答案】(1)sin α=，π13sin 614α⎛⎫+=⎪⎝⎭(2)sin()αβ+=1cos 2β=【分析】（1）由,αβ为锐角，可求出0αβ<+<π，利用同角之间的关系可求出sin α，由正弦的两角和求πsin 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭.（2）利用同角之间的关系可求出sin()αβ+，根据()cos cos βαβα=+-⎡⎤⎣⎦结合余弦的差角公式可得出答案. (1)因为α为锐角，且1cos 7α=，所以sin α=所以πππ1113sin()sin cos cos sin 6667214ααα+=+=⨯=．(2)因为,αβ为锐角，所以(0,π)αβ+∈．所以sin()αβ+=． 所以cos cos[()]βαβα=+-cos()cos sin()sin αβααβα=+++11111472=-⨯+=．19．已知函数()2cos cos f x x x x a ωωω=+，其中02ω<<，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知．条件①：()102f =；条件②：()f x 的最小正周期为π；条件③：()f x 的图象经过点,16π⎛⎫ ⎪⎝⎭．(1)求()f x 的解析式； (2)求()f x 的单调递增区间．【答案】(1)条件选择见解析，()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭；(2)单调递增区间为,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈.【分析】（1）利用三角恒等变换化简得出()1sin 262f x x a πω⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭.选择①②：由()102f =可求得a 的值，由正弦型函数的周期公式可求得ω的值，可得出函数()f x 的解析式；选择②③：由正弦型函数的周期公式可求得ω的值，由16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭可求得a 的值，可得出函数()f x 的解析式； 选择①③：由()102f =可求得a 的值，由16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭结合02ω<<可求得ω的值，可得出函数()f x 的解析式； （2）解不等式222262k x k πππππ-+≤+≤+，Z k ∈可得出函数()f x 的单调递增区间.(1)解：()1cos 212sin 2262x f x x a x a ωπωω+⎛⎫=+=+++ ⎪⎝⎭. 选择①②：因为()1012f a =+=，所以12a =-， 又因为()f x 的最小正周期为22ππω=，所以1ω=，所以()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭；选择②③：因为()f x 的最小正周期为22ππω=，所以1ω=，则()1sin 262x a f x π⎛⎫+++ ⎪⎝⎭=，又因为11162f a π⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，所以12a =-，所以()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭；选择①③：因为()1012f a =+=，所以12a =-，所以()sin 26f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．又因为sin 1636f ππωπ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以()2Z 362k k πωπππ+=+∈， 所以16Z k k ω=+∈，，又因为02ω<<，所以1ω=，所以()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭．(2)解：依题意，令222262k x k πππππ-+≤+≤+，Z k ∈，解得36k x k ππππ-+≤≤+，Z k ∈，所以()f x 的单调递增区间为,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈.20．已知函数()2f x x =-，2()4g x x mx =-+（m R ∈）． (1)当4m =时，求不等式()()g x f x >的解集；(2)若对任意x ∈R ，不等式()()g x f x >恒成立，求m 的取值范围；(3)若对任意1[1,2]x ∈，存在[]24,5x ∈，使得12()()g x f x =，求m 的取值范围． 【答案】(1){2|x x <或3}x >(2)(1,1)-(3)5,222⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）将4m =代入不等式，解该一元二次不等式即可；（2）转化为一元二次不等式恒成立问题，利用∆<0即可解得参数m 的范围； （3）对任意1[1,2]x ∈，存在[]24,5x ∈，使得12()()g x f x =，转化为()1g x 的值域包含于()2f x 的值域.同时对()1g x 值域的求解，需要根据二次函数对称轴与闭区间的相对位置进行讨论，最终解不等式组求解. (1)当4m =时，由2442x x x -+>-得2560x x -+>， 即(3)(2)0x x -->，解得2x <或3x >．所以不等式()()g x f x >的解集为{2|x x <或3}x >． (2)由()()g x f x >得242x mx x -+>-， 即不等式2(1)60x m x -++>的解集是R ．所以2(1)240m +-<，解得261261m --<<-． 所以m 的取值范围是(261,261)---． (3)当[]24,5x ∈时，()[]2222,3f x x =-∈． 又222()4()424m m g x x mx x =-+=-+-．①当12m≤，即2m ≤时，对任意1[1,2]x ∈，1()[5,82][2,3]g x m m ∈--⊆．所以252823m m m ≤⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩，此时不等式组无解，②当3122m <≤，即23m <≤时， 对任意1[1,2]x ∈，21()[4,82][2,3]4m g x m ∈--⊆． 所以解得5222m ≤≤③当3222m <<，即34m <<时， 对任意1[1,2]x ∈，21()[4,5][2,3]4m g x m ∈--⊆． 所以234,42,453,m m m <<⎧⎪⎪-≥⎨⎪⎪-≤⎩此时不等式组无解， ④当22m ≥，即4m ≥时， 对任意1[1,2]x ∈，1()[82,5][2,3]g x m m ∈--⊆．所以482253m m m ≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩此时不等式组无解．综上，实数m的取值范围是52⎡⎢⎣． 【点睛】关键点点睛，本题中“对任意1[1,2]x ∈，存在[]24,5x ∈，使得12()()g x f x =”这一条件转化为函数值域的包含关系是解决问题的关键，而其中二次函数在闭区间上的值域问题，又需要针对对称轴与区间的相对位置进行讨论.21．已知非空数集{}()12,,,n A a a n a *=∈N ，设()s A 为集合A 中所有元素之和，集合()P A 是由集合A 的所有子集组成的集合．(1)若集合{}0,1A =，写出()s A 和集合()P A ；(2)若集合A 中的元素都是正整数，且对任意的正整数1k =、2、3、、()s A ，都存在集合()B P A ∈，使得()s B k =，则称集合A 具有性质M ．①若集合{}1,2,4,8A =，判断集合A 是否具有性质M ，并说明理由；②若集合A 具有性质M ，且()100s A =，求n 的最小值及此时A 中元素的最大值的所有可能取值．【答案】(1)()1S A =，(){}{}{}{},0,1,0,1P A =∅；(2)①有，理由见解析；②n 的最小值为7，所有可能取值是37、38、39、、50. 【分析】（1）根据题中定义可写出()s A 与()P A ；（2）（i ）求得()15s A =，取1k =、2、3、、15，找出对应的集合B ，使得()s B k =，即可得出结论；（ii ）设{}()12,,,n A a a n a *=∈N ，不妨设12n a a a <<<，根据题中定义分析出11a =、22a =，516a ≤，632a ≤，764a ≤，737a ≥，然后验证当0k =、1、2、、13时，集合{}1,2,4,8,16,19,50k k +-符合题意，即可得解.(1)解：由题中定义可得()1S A =，(){}{}{}{},0,1,0,1P A =∅.(2)解：（ⅰ）集合A 具有性质M ，理由如下：因为{}1,2,4,8A =，所以()124815s A =+++=．当1k =时，取集合{}1B =，则()s B k =；当2k =时，取集合{}2B =，则()s B k =；当3k =时，取集合{}1,2B =，则()s B k =；当4k =时，取集合{}4B =，则()s B k =；当5k =时，取集合{}1,4B =，则()s B k =；当6k =时，取集合{}2,4B =，则()s B k =；当7k =时，取集合{}1,2,4B =，则()s B k =；当8k 时，取集合{}8B =，则()s B k =；当9k =时，取集合{}1,8B =，则()s B k =；当10k =时，取集合{}2,8B =，则()s B k =；当11k =时，取集合{}1,2,8B =，则()s B k =；当12k =时，取集合{}4,8B =，则()s B k =；当13k =时，取集合{}1,4,8B =，则()s B k =；当14k =时，取集合{}2,48B =,，则()s B k =； 当15k =时，取集合{}1,2,4,8B =，则()s B k =；综上可得，集合A 具有性质M ；（ⅱ）设集合{}12,,,n A a a a =，不妨设12n a a a <<<．因为()1,2,3,,i a i n =为正整数，所以11a ≥，22a ≥．因为存在B 使得()1s B =，所以此时B 中不能包含元素2a 、3a 、、n a 且B ≠∅， 所以{}1B a =．所以11a =．因为存在B 使得()2s B =，所以此时B 中不能包含元素1a 及3a 、4a 、、n a 且B ≠∅，所以{}2B a =，所以22a =．若35a ≥，则45a ≥、、5n a ≥，而123a a +=， 所以不存在()B P A ∈，使得()4s B =，所以34a ≤．若49a ≥，则59a ≥、、9n a ≥，而1237a a a ++≤，所以不存在()B P A ∈，使得()8s B =，所以48a ≤．同理可知516a ≤，632a ≤，764a ≤．若6n ≤，则()1248163263s A ≤+++++=，所以7n ≥．当7n =时，若71262a a a a ≥++++， 则取1261k a a a =++++，可知不存在()B P A ∈，使得()s B k =， 所以7126711001a a a a a ≤++++=-+，解得750a ≤．又因为712610063a a a a -=+++≤，所以737a ≥． 经检验，当0k =、1、2、、13时，集合{}1,2,4,8,16,19,50k k +-符合题意． 所以n 的最小值为7，且集合A 中元素的最大值的所有可能取值是37、38、39、、50.【点睛】关键点点睛：本题考查集合的新定义问题，解题时充分抓住题中的新定义，结合反证法结合不等式的基本性质逐项推导，求出每一项的取值范围，进而求解.。

2022年北京满井中学高一数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 下列函数中既是奇函数，又是其定义域上的增函数的是（）A．y=|x| B．y=lnx C．y=x D．y=x﹣3参考答案：C【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据奇函数、偶函数的定义，奇函数图象的特点，以及增函数的定义便可判断每个选项的正误，从而找出正确选项．【解答】解：A．y=|x|为偶函数，不是奇函数，∴该选项错误；B．根据y=lnx的图象知该函数非奇非偶，∴该选项错误；C.，，∴该函数为奇函数；x增大时，y增大，∴该函数为在定义域R上的增函数，∴该选项正确；D．y=x﹣3，x＞0，x增大时，减小；∴该函数在（0，+∞）上为减函数，在定义域上没有单调性；∴该选项错误．故选：C．【点评】考查偶函数、奇函数的定义，奇函数图象的对称性，增函数的定义，以及反比例函数的单调性，知道函数在定义域上没有单调性．2. 已知，则的最小值是A.6B.5C.D.参考答案：C 略3. 若平面四边形满足,,则该四边形一定是（）A．直角梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形参考答案：C4. 若是定义在上的奇函数，且当时，，则的图象大致是（）参考答案：B5. 函数的单调递增区间为( )A. (－∞,0]B. [0,+∞)C. (0,+∞)D. (－∞, +∞)参考答案：A【分析】由解析式知函数图像为开口向下的抛物线,且对称轴为轴,故可得出其单调增区间.【详解】∵函数, ∴函数图像为开口向下的抛物线,且其对称轴为轴∴函数的单调增区间为.故选:A.【点睛】本题考查了一元二次函数的单调区间,掌握一元二次函数的对称轴是解题的关键,属于基础题.6. 若函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）在一个周期内的图象如图所示，M、N分别是这段图象的最高点和最低点，且，则A?ω=（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义；三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值．【专题】压轴题；图表型．【分析】根据图象求出函数的周期，再求出ω的值，根据周期设出M和N的坐标，利用向量的坐标运算求出A的值，即求出A?ω的值．【解答】解：由图得，T=4×=π，则?=2，设M（，A），则N（，﹣A），∵，A＞0，∴×﹣A×A=0，解得A=，∴A?ω=．故选C．【点评】本题考查了由函数图象求出函数解析式中的系数，根据A、ω的意义和三角函数的性质进行求解，考查了读图能力．7. （5分）长方体的全面积为11，十二条棱长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为（）A．B．C． 5 D．6参考答案：C考点：棱柱的结构特征．专题：计算题；压轴题．分析：设出长方体的长、宽、高，表示出长方体的全面积为11，十二条棱长度之和为24，然后整理可得对角线的长度．解答：设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，由题意可知，4（a+b+c）=24…①，2ab+2bc+2ac=11…②，由①的平方减去②可得a2+b2+c2=25，这个长方体的一条对角线长为：5，故选C．点评：本题考查长方体的有关知识，是基础题．8. （5分）如图是某种算法的程序框图，若输入x=2，则输出的x，n分别为（）A．x=282，n=4 B．x=282，n=5 C．x=849，n=5 D．x=849，n=6参考答案：D考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，x，n的值，当S=134+282=416＞200，退出循环，输出x=849，n=6．解答：模拟执行程序框图，可得第1步：S=2，x=3×2+3=9，n=2；第2步：S=2+9=11，x=3×9+3=30，n=3；第3步：S=11+30=41，x=3×30+3=93，n=4；第4步：S=41+93=134，x=3×93+3=282，n=5；第5步：S=134+282=416＞200，x=849，n=6；所以输出的x=849，n=6．故选：D．点评：本题主要考查了程序框图和算法，正确写出每次循环得到的S，x，n的值是解题的关键，属于基础题．9. 一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积（单位：㎡）为（）A．48 B．64 C．80D．120参考答案：C10. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是（）A. B. C. D. 参考答案：A所以，选A.【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和差三角函数公式进行恒等变形. 首先用两角和的正弦公式转化为含有，，的式子，用正弦定理将角转化为边，得到.解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知，则=参考答案：方法一：，∴，即函数的解析式为。

2020-2022北京高一（上）期末数学汇编向量的数量积一、单选题1．（2022·北京西城·高一期末）如图，AB 为半圆的直径，点C 为AB 的中点，点M 为线段AB 上的一点（含端点A ，B ），若2AB =，则AC MB +的取值范围是（ ）A ．[]1,3B ．2,3⎡⎤⎣⎦C ．10⎡⎣D ．2,10⎡⎣2．（2022·北京西城·高一期末）已知向量()1,1a =，()2,3b =-，那么2a b -=（ ） A ．5 B ．2C ．8 D 743．（2021·北京市第八中学京西校区高一期末）63a =，1=b ，9a b ⋅=-，则a 与b 的夹角（ ） A ．120︒ B ．150︒ C ．60︒ D ．30︒4．（2021·北京昌平·高一期末）已知点(1,1),(3,4)A B -，则||AB =（ ）A 5B ．5C 29D ．295．（2021·北京·临川学校高一期末）给出下列四个命题： ①若0a ≠，则对任意的非零向量b ，都有0a b ⋅= ①若0a ≠，0a b ⋅=，则0b = ①若0a =，a b a c ⋅=⋅，则b c =①对任意向量,,a b c 都有()()a b c a b c ≠⋅⋅⋅⋅其中正确的命题个数是（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0 6．（2021·北京·临川学校高一期末）若|a |=1，|b |=2，|a b +7，则a 与b 的夹角的余弦值为（ ）A ．12-B ．12 C ．3D 37．（2020·北京房山·高一期末）与向量(3,4)a =平行的单位向量是（ ）A ．(0,1)B ．(1,0)C ．34,55⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(3,4)--二、填空题8．（2020·北京西城·高一期末）已知向量a ＝(1,﹣2)，b ＝(﹣3,m )，其中m ①R ．若a ，b 共线，则|b |＝_____．三、解答题9．（2021·北京·临川学校高一期末）已知向量()4,2a =-，(),1b x =．(1)若 a ，b 共线，求x 的值；(2)若a b ⊥，求x 的值；(3)当2x =时，求a 与2b a +夹角θ的余弦值．10．（2021·北京市第八中学京西校区高一期末）平面内给定三个向量(3,2),(1,2),(4,1)a b c ==-=. （1）求32a b c +-；（2）求满足a mb nc =+的实数m 和n ；（3）若()(2)a kc b a +⊥-，求实数k .11．（2020·北京·首都师范大学附属中学高一期末）已知不共线向量a ，b 满足|a |＝3，|b |＝2，（2-a 3b ）•（2a b +）＝20.（1）求a •b ；（2）是否存在实数λ，使λa b +与-a 2b 共线？ （3）若（k a +2b ）①（-a kb ），求实数k 的值.参考答案1．D 【分析】根据题意可得出02MB ≤≤，然后根据向量的运算得出()22AC MB AC MB +=+=()211MB ++，从而可求出答案. 【详解】因为点C 为AB 的中点，2AB =，所以2,4AC CAB π=∠=， 所以()22222AC MB AC MB AC MB AC MB +=+=++⋅ ()22222cos 22114AC MB AC MB MB MB MB π=++⋅=++=++， 因为点M 为线段AB 上的一点，所以02MB ≤≤，所以()221110MB ≤++≤， 所以AC MB +的取值范围是2,10⎡⎣,故选：D.2．B【分析】根据平面向量模的坐标运算公式，即可求出结果.【详解】因为向量()1,1a =，()2,3b =-，所以()25,5a b -=-()2225552a b -=+- 故选：B.3．B 【解析】由向量数量积定义计算两向量夹角余弦后可得角的大小． 【详解】由已知93cos 631a b a b a b ⋅-<⋅>===⨯ ①150a b <⋅>=︒． 故选：B ．【点睛】本题考查求向量的夹角，解题关键是掌握向量数量积的定义． 4．C【解析】首先求出AB 的坐标，再根据向量模的坐标公式计算可得；【详解】因为(1,1),(3,4)A B -，所以()()()3,41,12,5AB =--= 所以222529AB =+故选：C5．D【分析】对于①，当两向量垂直时，才有0a b ⋅=；对于①，当两向量垂直时，有0a b ⋅=，但0b =不一定成立；对于①，当0a =，a b a c ⋅=⋅时，,b c 可以是任意向量；对于①，当向量,,a b c 都为零向量时，()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅【详解】解：对于①，因为0a ≠，0b ≠，所以当两向量垂直时，才有0a b ⋅=，所以 ①错误； 对于①，因为0a ≠，cos 0a b a b θ⋅==，所以0b =或cos 0θ=，所以①错误；对于①，因为0a =，所以0a b a c ⋅=⋅=，所以,b c 可以是任意向量，不一定是相等向量，所以①错误； 对于①，当0a b c ===时，()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅，所以①错误， 故选：D6．B 【分析】由题意把|a b +|7=两边平方，结合数量积的定义可得 【详解】|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角θ， ①|a b +|2222a a b b =+⋅+=7，①12+2×1×2×cosθ+22＝7，解得cosθ12= 故选：B ．7．C 【解析】由0a a a =计算即可得出答案.【详解】与向量a 平行的一个单位向量0aa a =，22345a =+=， 所以034,55a a a ⎛⎫== ⎪⎝⎭. 故选：C 【点睛】本题主要考查向量的模和向量的坐标运算，属于基础题. 8．35【解析】由向量共线的坐标表示求出m ，再由模的坐标运算计算出模．【详解】①a ，b 共线，①m －6＝0，m ＝6， ①22(3)635b =-+ 故答案为：35【点睛】本题考查向量共线的坐标表示，考查向量的模，属于基础题．9．（1）2-；（2）12；（325【解析】（1）根据题意，由向量平行的坐标公式可得24x -=，解可得x 的值，即可得答案； （2）若a b ⊥，则有0a b ⋅=，利用数量积的坐标运算列方程，解得x 的值即可；（3）根据题意，由x 的值可得b 的坐标，由向量的坐标计算公式可得,2a b a +和(2)a b a ⋅+的值，结合(2)cos |||2|a b a a b a θ⋅+=⋅+，计算可得答案． 【详解】()1根据题意，向量()4,2a =-，(),1b x =，若a b 与共线，则有24x -=，解可得2x =-．()2若a b ⊥，则有0a b ⋅=，又由向量()4,2a =-，(),1b x =，则有()4210x ⨯+-⨯=，即420x -=，解可得12x =. ()3根据题意，若()2,2,1x b ==， 则有()28,0b a +=，2224(2)25,2808a b a =+-=+=+=()232a b a ⋅+=又， ()23225cos 1652a b a a b a θ⋅+∴===⋅+ 【点睛】本题主要考查两个向量共线、垂直的性质，两个向量坐标形式的运算，两个向量夹角公式的应用，属于中档题． 10．（1）6；（2）58,99m n ==；（3）1118k =-. 【解析】（1）利用向量加法的坐标运算得到()320,6a b c +-=，再求模长即可；（2）先写mb nc +的坐标，再根据a mb nc =+使对应横纵坐标相等列方程组，解方程组即得结果；（3）利用向量垂直则数量积为零，再利用数量积的坐标运算列关系求出参数即可.【详解】解：（1）由(3,2),(1,2),(4,1)a b c ==-=，得3(9,6),(1,2),2(8,2)a b c ==-=∴()()32918,6220,6a b c +-=--+-=，∴2232066a b c +-=+=；（2）()(),2,4,mb m m nc n n =-=， ∴()4,2mb nc n m m n +=-+，a mb nc =+，∴()4,2(3,2)a n m m n ==-+，故4322n m m n -=⎧⎨+=⎩，解得58,99m n ==； （3）(3,2),(4,)a kc k k ==，∴()34,2a kc k k +=++，(3,2),2(2,4)a b ==-，∴()25,2b a -=-，()()2a kc b a +⊥-，∴()()20a kc b a +⋅-=，即()()534220k k -+++=，解得1118k =-. 【点睛】结论点睛：若()()1122,,,a x y b x y == ，则//a b 等价于12210x y x y -=；a b ⊥等价于12120x x y y +=.11．（1）1；（2）存在，12λ=-；（3）1k =-或2k = 【解析】（1）利用向量运算法则展开计算得到答案. （2）假设存在实数λ，使λa b +与-a 2b 共线，则()2a b m a b λ+=-，计算得到答案. （3）计算（k a +2b ）•（-a kb ）＝0，展开计算得到答案.【详解】（1）向量a ，b 满足|a |＝3，|b |＝2，（2-a 3b ）•（2a b +）＝20， 所以42-a 4a •b -32=b 4×9﹣4a •b -3×4＝20，解得a •b =1； （2）假设存在实数λ，使λa b +与-a 2b 共线，则()2a b m a b λ+=-，故,12m m λ==-，12λ=-. 即存在λ12=-，使得λa b +与-a 2b 共线； （3）若（k a +2b ）①（-a kb ），则（k a +2b ）•（-a kb ）＝0， 即k 2+a （2﹣k 2）a •b -2k 2=b 0，所以9k +（2﹣k 2）×1﹣2k •4＝0， 整理得k 2﹣k ﹣2＝0，解得k ＝﹣1或k ＝2.【点睛】本题考查了向量的运算，意在考查学生的计算能力.。