高中数学北师大版必修4学案：2.4 平面向量的坐标 Word版含解析汇总

《2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》教学设计一、教材分析1、教材的地位和作用本节课是普通高中课程标准实验教科书（人教A版）《数学必修4》第二章第四节“平面向量的数量积”的第二课时---平面向量数量积的坐标表示、模、夹角。

平面向量的数量积是继向量的线性运算之后的又一重要运算，平面向量数量积的坐标表示，就是运用坐标这一量化工具表达向量的数量积运算，为研究平面中的距离、垂直、角度等问题提供了全新的手段。

它把向量的数量积与坐标运算两个知识点紧密联系起来，是全章重点之一。

本节课是是在学生已经掌握了平面向量数量积的含义及运算律的基础上进行教学的，因此难度不大。

根据新课标的要求和学生的实际我确定本节课的重难点如下：2．教学重点、难点（1）教学重点1.掌握平面向量数量积的坐标表示方法；2.掌握向量垂直的坐标表示的条件及平面内两点间的距离公式；3.能用平面向量数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题. （２）教学难点用平面向量数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题.二、学情分析此之前学生已学习了平面向量的坐标表示和平面向量数量积概念及运算，但数量积是用长度和夹角这两个概念来表示的，应用起来不太方便，如何用坐标这一最基本、最常用的工具来表示数量积，使之应用更方便，就是摆在学生面前的一个亟待解决的问题。

因此，本节内容的学习是学生认知发展和知识构建的一个合情、合理的“生长点”。

三、教学目标分析根据本节课的特点,结合新课程标准对本节课的教学要求和学生的认知规律,我从以下三个方面确定了以下教学目标:(1)知识与技能目标:⑴掌握平面向量数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；⑵掌握平面向量的模的坐标公式以及平面内两点间的距离公式；⑶掌握两个平面向量的夹角的坐标公式；⑷能用平面向量数量积的坐标公式判断两个平面向量的垂直关系；(2) 过程与方法目标：经历根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示的过程，体验在此基础上探究发现向量的模、夹角等重要的度量公式的成功乐趣，培养学生的探究能力、创新精神。

第二章平面向量及其应用1从位移、速度、力到向量........................................................................................ - 1 - 2从位移的合成到向量的加减法................................................................................ - 8 - 3从速度的倍数到向量的数乘.................................................................................. - 23 - 4平面向量基本定理及坐标表示.............................................................................. - 35 - 5从力的做功到向量的数量积.................................................................................. - 52 - 6平面向量的应用...................................................................................................... - 67 -1从位移、速度、力到向量学习任务核心素养1．理解向量的有关概念及向量的几何表示．(重点) 2．掌握共线向量、相等向量的概念．(难点)3．正确区分向量平行与直线平行．(易混点)通过向量的有关概念的学习，培养数学抽象素养．(1)起重机吊装物体时，物体既受到竖直向下的重力作用，同时又受到竖直向上的起重机拉力的作用．(2)民航每天都有从北京飞往上海、广州、重庆、哈尔滨等地的航班．民航客机飞行一次，位移变化一次，由于飞行的距离和方向各不相同，因此，它们是不同的位移．阅读教材，结合上述情境回答下列问题：问题1：上述情境涉及哪些物理量？其特点是什么？ 问题2：在物理中，位移与路程是同一个概念吗？为什么？ 问题3：平行向量一定是相等向量吗？ 知识点1 向量的概念数学中，我们把既有大小又有方向的量统称为向量，而把那些只有大小没有方向的量称为数量(如年龄、身高、体积等).两个数量可以比较大小，那么两个向量能比较大小吗？ [提示] 数量之间可以比较大小，而两个向量不能比较大小． 知识点2 向量的表示方法(1)具有方向和长度的线段，叫作有向线段．以A 为起点，B 为终点的有向线段，记作AB →，线段AB 的长度也叫作有向线段AB →的长度，记作⎪⎪⎪⎪AB →.(2)向量可以用有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，即长度(也称模)，记作|a |.箭头所指的方向表示向量的方向．知识点3 零向量与单位向量(1)长度为0的向量称为零向量，记作0或0→； (2)模等于1个单位长度的向量，叫作单位向量．1.把平行于某一条直线的所有向量归结到共同的起点，则终点构成的图形是________；若这些向量是单位向量，则终点构成的图形是________．[答案] 一条直线 两个点 知识点4 向量的基本关系(1)相等向量：长度相等且方向相同的向量，叫作相等向量，记作a ＝b . (2)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫共线向量；a 平行于b ，记作a ∥b ；规定零向量与任一向量共线．(3)相反向量：长度相等且方向相反的向量，叫作相反向量，a 的相反向量记作－a ；规定零向量的相反向量是零向量．2.下列说法错误的是( ) A ．若a ＝0，则||a ＝0 B ．零向量是没有方向的C ．零向量与任意向量平行D ．零向量与任意向量垂直B [零向量的长度为0，方向是任意的，它与任何向量都平行、垂直，所以B 是错误的．]知识点5 向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a 和b ，在平面内选一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a 与b 的夹角；(2)夹角的大小与向量共线、垂直的关系：θ＝0°⇔a 与b 同向；θ＝180°⇔a 与b 反向；θ＝90°⇔a ⊥b ，规定：零向量与任一向量垂直．3.等边△ABC 中，AB→与AC →的夹角是________，AB →与BC →的夹角是________．[答案] 60° 120°类型1 向量的有关概念【例1】 判断下列命题是否正确，并说明理由． (1)a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ；(2)若AB→＝DC →，则A 、B 、C 、D 四点是平行四边形的四个顶点； (3)在平行四边形ABCD 中，一定有AB →＝DC →；(4)若向量a 与任一向量b 平行，则a ＝0.[解] (1)当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件，故(1)不正确．(2)AB→＝DC →，A 、B 、C 、D 四点可能在同一条直线上，故(2)不正确． (3)在平行四边形ABCD 中，|AB →|＝|DC →|，AB →与DC →平行且方向相同，故AB →＝DC →，(3)正确．(4)零向量的方向是任意的，与任一向量平行，(4)正确．1.向量共线即表示共线向量的有向线段在同一条直线上或平行．2.熟知向量的基本概念，弄清基本概念之间的区别与联系是解决向量概念辨析题的基础．[跟进训练]1．已知O 是△ABC 的外心，则AO →，BO →，CO →是( ) A ．相等向量 B ．平行向量 C ．模相等的向量 D ．起点相同的向量C [⎪⎪⎪⎪AO →＝⎪⎪⎪⎪BO →＝⎪⎪⎪⎪CO →＝r .] 类型2 向量的表示【例2】 (教材北师版P 75例1改编)一辆消防车从A 地去B 地执行任务，先从A 地向北偏东30°方向行驶2千米到D 地，然后从D 地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C 地，从C 地又向南偏西30°方向行驶了2千米才到达B 地．(1)在如图所示的坐标系中画出AD →，DC →，CB →，AB →； (2)求B 地相对于A 地的位置向量．[解] (1)向量AD →，DC →，CB →，AB →，如图所示． (2)由题意知AD →＝BC →， ∴AD 与BC 平行且相等， ∴四边形ABCD 为平行四边形， ∴AB →＝DC →，∴B 地相对于A 地的位置向量为“北偏东60°，6千米”．准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点．用有向线段来表示向量是向量的几何表示，必须确定起点、长度和终点，三者缺一不可．[跟进训练]2．在如图的方格纸中，画出下列向量．(每个小正方形的边长为1).(1)|OA →|＝4，点A 在点O 正北方向；(2)|OB →|＝22，点B 在点O 东偏南45°方向；(3)画一个以C 为起点的向量c ，使|c |＝2，并说出c 的终点的轨迹是什么？ [解] (1)(2)(3)的图象如图所示．(3)c 的终点轨迹是以C 为圆心，半径为2的圆． 类型3 共线向量与夹角【例3】 (教材北师版P 76例2改编)如图，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，(1)分别写出图中所示与OA →，OB →，OC →相等的向量； (2)分别求出AB →与OB →，AB →与FE →的夹角的大小．[解] (1)OA →＝CB →＝DO →；OB →＝DC →＝EO →；OC →＝AB →＝ED →＝FO →. (2)AB →与OB →的夹角的大小为60°，AB →与FE →的夹角的大小为60°.1．例3中与OA →模相等的向量有多少？ [解] 由图知与OA →的模相等的向量有23个． 2．例3中向量OA →的相反向量有哪些？[解] 与向量OA →长度相等方向相反的向量有OD →，BC →，FE →，AO →. 3．例3中与向量OA →共线的向量有哪些？[解] 与向量OA →共线的向量有EF →，BC →，OD →，FE →，CB →，DO →，AO →，DA →，AD →. 4．求出例3中AB →与OA →的夹角的大小 [解] AB →与OA →的夹角的大小为120°.判断一组向量是否相等，关键是看这组向量是否方向相同，长度相等，与起点和终点的位置无关．对于共线向量，则只要判断它们是否同向或反向即可．[跟进训练]3.如图所示，以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中． (1)写出与AF →、AE →相等的向量； (2)写出与AD →模相等的向量； (3)求AE →与CD →夹角的度数． [解] (1)AF →＝BE →＝CD →，AE →＝BD →. (2)DA →，CF →，FC →.(3)因为CD →＝AF →，所以AE →与CD →夹角为∠EAF ＝45°.当堂达标1．下列结论正确的个数是( )①温度含零上和零下温度，所以温度是向量； ②向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量； ③若|a |＞|b |，则a ＞b .A ．0B ．1C ．2D ．3B [①温度没有方向，所以不是向量，故①错；③向量不可以比较大小，故③错；②若a ，b 中有一个为零向量，则a 与b 必共线，故a 与b 不共线，则应均为非零向量，故②对．]2．(多选题)下列说法错误的是( ) A ．若|a |＝|b |，则a ＝±bB ．零向量的长度是0C ．长度相等的向量称为相等向量D ．共线向量是在同一条直线上的向量ACD [对A ，当|a |＝|b |时，由于a ，b 方向不一定相同，a ＝±b 未必成立，所以A 错误；对B ，零向量的长度是0，正确；对C ，长度相等的向量方向不一定相同，故C 错误；对D ，共线向量不一定在同一条直线上，故D 错误．故选ACD.]3．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，且|AD →|＝|AB →|，则这个四边形是( ) A ．正方形 B ．矩形 C ．等腰梯形 D ．菱形 D [由AB →＝DC →可知AB ∥DC ，且|AB →|＝|DC →|， 所以四边形ABCD 为平行四边形． 又|AD →|＝|AB →|，所以平行四边形ABCD 为菱形．故选D.]4．设O 是正方形ABCD 的中心，则OA →，BO →，AC →，BD →中，模相等的向量是________．[答案] OA →与BO →，AC →与BD →5.如图所示的菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，∠DAB ＝60°，则DA →与CA →的夹角为________；DA →与BC →的夹角为________．30° 180° [由图知，DA →与CA →的夹角与∠DAO 是对顶角，又因∠DAB ＝60°，根据菱形的几何性质，知∠DAO ＝30°，故DA →与CA →的夹角为30°，DA →与BC →为相反向量，故DA →与BC →的夹角为180°.]回顾本节内容，自我完成以下问题：1.向量与有向线段有怎样的联系与区别？[提示]用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性，应该注意的是有向线段还是向量的表示，并不是说向量就是有向线段．有向线段的起点、终点是确定的，而向量仅由大小和方向确定，与起点位置无关．2.向量的“平行”与平面几何中的“平行”含义是否相同？[提示]共线向量也就是平行向量，其要求是几个非零向量的方向相同或相反，当然向量所在的直线可以平行，也可以重合，其中“平行”的含义不同于平面几何中“平行”的含义．2从位移的合成到向量的加减法2．1向量的加法学习任务核心素养1．掌握向量加法的定义，会用向量加法的三角形法则和向量加法的平行四边形法则作两个向量的和向量．(重点) 2．掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算．(难点)1．通过向量加法的概念及向量加法法则的学习，培养数学抽象素养．2．通过向量加法法则的应用，培养数学运算素养．有两条拖轮牵引一艘轮船，它们的牵引力F1，F2的大小分别是|F1|＝3 000 N，|F2|＝2 000 N，牵引绳之间的夹角为θ＝60°(如图)，如果只用一条牵引力为F3的拖轮来牵引，也能产生跟原来相同的效果．阅读教材，结合上述情境回答下列问题： 问题1：上述体现了向量的什么运算？ 问题2：向量加法运算常用什么法则？ 问题3：向量的加法运算结果还是向量吗？ 知识点 向量求和法则及运算律 类别 图示几何意义向量求和的法则三角形法则已知不共线向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB →＝a ，BC →＝b ，再作向量AC →，则向量AC →叫作a 与b 的和，记作a ＋b ，即a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →平行四边形法则已知不共线向量a ，b ，作AB →＝a ，AD →＝b ，再作平行AD →的BC →＝b ，连接DC ，则四边形ABCD 为平行四边形，向量AC →叫作向量a 与b 的和，表示为AC →＝a ＋b向量加法的运算律 交换律 a ＋b ＝b ＋a结合律(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )1.根据图中的平行四边形ABCD ，验证向量加法是否满足交换律．(注：AB →＝a ，AD →＝b )[提示] ∵AC →＝AB →＋BC →，∴AC →＝a ＋b . ∵AC →＝AD →＋DC →，∴AC →＝b ＋a .∴a ＋b ＝b ＋a .2.根据图中的四边形ABCD ，验证向量加法是否满足结合律．(注：AB →＝a ，BC →＝b ，CD →＝c )[提示] ∵AD →＝AC →＋CD →＝(AB →＋BC →)＋CD →，∴AD →＝(a ＋b )＋c ， 又∵AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋(BC →＋CD →)， ∴AD →＝a ＋(b ＋c )， ∴(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c ).思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)0＋a ＝a ＋0＝a ；( ) (2)AB →＋BC →＝AC →；( ) (3)AB →＋BA →＝0；( )(4)在平行四边形ABCD 中，BA →＋BC →＝BD →；( ) (5)|AB →|＋|BC →|＝|AC →|.( )[答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)√ (5)×类型1 向量加法法则的应用【例1】 (教材北师版P 81例1改编)(1)如图①，用向量加法的三角形法则作出a ＋b ；(2)如图②，用向量加法的平行四边形法则作出a ＋b .[解] (1)在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，再作向量OB →，则OB →＝a ＋b .(2)在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，再作平行OB →的AC →＝b ，连接BC ，则四边形OACB 为平行四边形，OC →＝a ＋b .用三角形法则求和向量，关键是抓住“首尾相连”，和向量是第一个向量的起点指向第二个向量的终点，平行四边形法则注意“共起点”．且两种方法中，第一个向量的起点可任意选取，可在某一个向量上，也可在其它位置．两向量共线时，三角形法则仍适用，平行四边形法则不适用．[跟进训练]1．已知向量a ，b ，c ，如图，求作a ＋b ＋c .[解] 在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，BC →＝c ，如图，则由向量加法的三角形法则，得OB →＝a ＋b ，OC →＝a ＋b ＋c .类型2 向量加法及其运算律 【例2】 化简下列各式： (1)BC →＋AB →； (2)DB →＋CD →＋BC →；(3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →.所给各式均为向量和的形式，因此可利用三角形法则和向量加法的运算律求解．[解] (1)BC →＋AB →＝AB →＋BC →＝AC →.(2)DB →＋CD →＋BC →＝(DB →＋BC →)＋CD →＝DC →＋CD →＝0或DB →＋CD →＋BC →＝(DB →＋CD →)＋BC →＝(CD →＋DB →)＋BC →＝CB →＋BC →＝0.(3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →＝AB →＋BC →＋CD →＋DF →＋F A →＝AC →＋CD →＋DF →＋F A →＝AD →＋DF →＋F A →＝AF →＋F A →＝0.向量运算中化简的两种方法(1)代数法：借助向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“首尾相接”，向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量．(2)几何法：通过作图，根据“三角形法则”或“平行四边形法则”化简．[跟进训练]2.如图，在平行四边形ABCD 中(1)AB →＋AD →＝________； (2)AC →＋CD →＋DO →＝________； (3)AB →＋AD →＋CD →＝________； (4)AC →＋BA →＋DA →＝________．(1)AC → (2)AO → (3)AD → (4)0 [(1)由平行四边形法则知，AB →＋AD →＝AC →.(2)AC →＋CD →＋DO →＝AD →＋DO →＝AO →. (3)AB →＋AD →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →.(4)∵BA →＝CD →，∴AC →＋BA →＋DA →＝AC →＋CD →＋DA →＝AD →＋DA →＝0.] 类型3 向量加法的实际应用【例3】 (教材北师版P 81例2改编)在静水中船的速度为20 m/min ，水流的速度为10 m/min ，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向．速度是向量，因此需要作出船的速度与水流速度的示意图，把实际问题转化为三角形中求角度问题．[解] 作出图形，如图．船速v 船与岸的方向成α角，由图可知v 水＋v 船＝v 实际，结合已知条件，四边形ABCD 为平行四边形， 在Rt △ACD 中，|CD →|＝|AB →|＝v 水＝10 m/min ， |AD →|＝|v 船|＝20 m/min ， ∴cos α＝|CD →||AD →|＝1020＝12，∴α＝60°，从而船与水流方向成120°的角． 故船行进的方向是与水流的方向成120°的角的方向．1．若例3条件不变，则经过3小时，该船的实际航程是多少？ [解] 由题意可知|AC →|＝32|AD →|＝32×20＝103(m/min)＝335(km/h)， 则经过3小时，该船的实际航程是3×335＝935(km).2．若例3的条件不变，改为若船沿垂直于水流的方向航行，求船实际行进的方向的正切值(相当于河岸的夹角).[解] 如图所示，|AD →|＝|BC →|＝|v 船|＝20 m/min ， |AB →|＝|v 水|＝10 m/min ，则tan ∠BAC ＝2，即为所求．应用向量解决平面几何问题的基本步骤(1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题．(2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将有关向量进行运算，解答向量问题．(3)还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题．[跟进训练]3．作用在同一物体上的两个力F 1＝60 N ，F 2＝60 N ，当它们的夹角为120°时，这两个力的合力大小为( )A ．30 NB ．60 NC ．90 ND ．120 N [答案] B当堂达标1．已知四边形ABCD 是菱形，则下列等式中成立的是( ) A ．AB →＋BC →＝CA →B ．AB →＋AC →＝BC → C ．AC →＋BA →＝AD →D ．AC →＋AD →＝DC →C [由加法的平行四边形法则可知AB →＋AD →＝AC →，即(－BA →)＋AD →＝AC →，所以AC →＋BA →＝AD →.]2．(多选题)如图，D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，则下列等式中正确的是( )A ．FD →＋DA →＋DE →＝0B ．AD →＋BE →＋CF →＝0C ．FD →＋DE →＋AD →＝AB →D ．AD →＋EC →＋FD →＝BD →ABC [FD →＋DA →＋DE →＝F A →＋DE →＝0， AD →＋BE →＋CF →＝AD →＋DF →＋F A →＝0， FD →＋DE →＋AD →＝FE →＋AD →＝AD →＋DB →＝AB →， AD →＋EC →＋FD →＝AD →＋0＝AD →＝DB →≠BD →.故选ABC.]3．已知在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，则AB →＋BC →＋AC →的模等于________. 213 [|AB →＋BC →＋AC →|＝|2AC →|＝2|AC →|＝213.] 4.根据图填空，其中a ＝DC →，b ＝CO →，c ＝OB →，d ＝BA →.(1)a ＋b ＋c ＝________； (2)b ＋d ＋c ＝________．(1)DB → (2)CA → [(1)a ＋b ＋c ＝DC →＋CO →＋OB →＝DB →. (2)b ＋d ＋c ＝CO →＋BA →＋OB →＝CA →.]5．若a 表示“向东走8 km ”，b 表示“向北走8 km ”，则： (1)|a ＋b |＝________；(2)向量a ＋b 的方向是________.(1)82 (2)北偏东45°(或东北方向) [(1)如图所示，作OA →＝a ，AB →＝b ，则a ＋b ＝OA →＋AB →＝OB →，所以|a ＋b |＝|OB →|＝82＋82＝8 2. (2)因为∠AOB ＝45°， 所以a ＋b 的方向是东北方向．]回顾本节内容，自我完成以下问题：1.如何灵活选择三角形法则或平行四边形法则求向量的和？[提示](1)三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的，当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共起点时，常选用平行四边形法则．(2)向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行．2.利用三角形法则求向量的加法时应注意什么问题？[提示]在使用向量加法的三角形法则时要特别注意“首尾相接”．和向量的特征是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点．向量相加的结果是向量，如果结果是零向量，一定要写成0，而不应写成0.2．2向量的减法学习任务核心素养1．掌握向量减法的定义，理解相反向量的意义．(重点)2．掌握向量减法的运算及几何意义，能作出两个向量的差向量．(难点)1．通过向量减法的概念及减法法则的学习，培养数学抽象素养．2．通过向量减法法则的应用，培养数学运算素养．小明的父亲在台北工作，他经常乘飞机从台北到香港开会，再从香港到上海洽谈业务．若台北到香港的位移用向量a表示，香港到上海的位移用向量b表示，台北到上海的位移用向量c表示．阅读教材，综合上述情境回答下列问题： 问题1：上述问题中，b 能用a ，c 表示吗？问题2：方向相同且模相等的两个向量称为什么向量？方向相反且模相等的两个向量称为什么向量？问题3：零向量的相反向量是什么？ 问题4：向量减法是向量加法的逆运算吗？ 知识点1 相反向量定义把与向量a 长度相等、方向相反的向量，叫作向量a 的相反向量，记作－a规定：零向量的相反向量仍是零向量． 性质(1)－(－0)＝0；(2)a ＋(－a )＝(－a )＋a ＝0；(3)若a ＋b ＝0，则a ＝－b ，b ＝－a ．知识点2 向量减法 (1)定义向量a 减向量b 等于向量a 加上向量b 的相反向量，即a －b ＝a ＋(－b )，求两个向量差的运算，叫作向量的减法．(2)几何意义如图，设OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b ，即a －b 表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量．向量的减法可以转化为向量的加法来运算吗？[提示] 因为向量的减法是向量的加法的逆运算，所以向量的减法可以转化为向量的加法来运算．1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)BA →＝OA →－OB →； ( ) (2)相反向量是共线向量； ( ) (3)a －b 的相反向量是b －a ； ( ) (4)|a －b |≤|a ＋b |≤|a |＋|b |.( )[答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)√2.OP →－QP →＋PS →＋SP →＝( ) A ．QP → B ．OQ → C ．SP → D ．SQ → [答案] B类型1 向量减法的几何作图【例1】 (教材北师版P 84例4改编)如图，已知向量a ，b ，c 不共线，求作向量a ＋b －c .[解] 如图所示，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ，再作OC →＝c ，则CB →＝a ＋b －c .若本例条件不变，则a －b －c 如何作？[解] 如图，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b .再作CA →＝c ，则BC →＝a －b －c .利用向量减法进行几何作图的方法(1)已知向量a ，b ，如图①所示，作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b .,(2)利用相反向量作图，通过向量求和的平行四边形法则作出a －b .如图②所示，作OA →＝a ，OB →＝b ，AC →＝－b ，则OC →＝a ＋(－b )，即BA →＝a －b .[跟进训练]1.如图所示，O 为△ABC 内一点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，求作：(1)向量b ＋c －a ； (2)向量a －b －c .[解] (1)以OB →，OC →为邻边作▱OBDC ，如图，连接OD ，AD ，则OD →＝OB →＋OC →＝b ＋c ，AD →＝OD →－OA →＝b ＋c －a .(2)由a －b －c ＝a －(b ＋c )，如图，作▱OBEC ，连接OE ，则OE →＝OB →＋OC →＝b ＋c ，连接AE ，则EA →＝a －(b ＋c )＝a －b －c .类型2 向量减法的运算 【例2】 化简下列式子： (1)NQ →－PQ →－NM →－MP →； (2)(AB →－CD →)－(AC →－BD →).[解] (1)原式＝NP →＋MN →－MP →＝NP →＋PN →＝NP →－NP →＝0.(2)原式＝AB →－CD →－AC →＋BD →＝(AB →－AC →)＋(DC →－DB →)＝CB →＋BC →＝0.化简向量的和差的方法(1)如果式子中含有括号，括号里面能运算的直接运算，不能运算的去掉括号． (2)可以利用相反向量把差统一成和，再利用三角形法则进行化简．(3)化简向量的差时注意共起点，由减数向量的终点指向被减数向量的终点． 提醒：利用图形中的相等向量代入、转化是向量化简的重要技巧．[跟进训练]2．化简：(1)(BA →－BC →)－(ED →－EC →)； (2)(AC →＋BO →＋OA →)－(DC →－DO →－OB →).[解] (1)(BA →－BC →)－(ED →－EC →)＝CA →－CD →＝DA →. (2)(AC →＋BO →＋OA →)－(DC →－DO →－OB →)＝AC →＋BA →－DC →＋(DO →＋OB →)＝AC →＋BA →－DC →＋DB → ＝BC →－DC →＋DB →＝BC →＋CD →＋DB →＝BC →＋CB →＝0. 类型3 向量加减法的综合应用【例3】 (1)已知|a |＝1，|b |＝2，|a ＋b |＝5，则|a －b |＝________． (2)(教材北师版P 85例6改编)已知O 为平行四边形ABCD 内一点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，试用a ，b ，c 表示OD →.(1)5 [(1)设AB →＝a ，AD →＝b ，AC →＝a ＋b ，则四边形ABCD 是平行四边形． 又∵(5)2＝12＋22，∴平行四边形ABCD 为矩形， ∴|a －b |＝⎪⎪⎪⎪DB →＝|AC →|＝ 5.] (2)[解]如图所示：OD →＝OA →＋AD →＝a ＋BC →＝a ＋(OC →－OB →)＝a ＋c －b .用已知向量表示未知向量的方法用图形中的已知向量表示所求向量，应结合已知和所求，联想相关的法则和几何图形的有关定理，将所求向量反复分解，直到全部可以用已知向量表示即可．[跟进训练]3．设平面内四边形ABCD 及任一点O ，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，若a ＋c ＝b ＋d 且|a －b |＝|a －d |.试判断四边形ABCD 的形状．[解] 由a ＋c ＝b ＋d 得a －b ＝d －c ，即OA →－OB →＝OD →－OC →， ∴BA →＝CD →，于是AB 与CD 平行且相等， ∴四边形ABCD 为平行四边形．又|a －b |＝|a －d |，从而|OA →－OB →|＝|OA →－OD →|， ∴|BA →|＝|DA →|，∴四边形ABCD 为菱形．当堂达标1．在△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，则BC →＝( ) A ．a ＋b B ．a －b C ．b －aD ．－a －bC [BC →＝AC →－AB →＝b －a .]2．如图，在四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BC →＝c ，则DC →等于( )A ．a －b ＋cB ．b －(a ＋c )C ．a ＋b ＋cD ．b －a ＋c [答案] A3．(多选题)下列四个式子中可以化简为AB →的是( ) A ．AC →＋CD →－BD → B ．AC →－CB → C ．OA →＋OB →D ．OB →－OA →.AD [因为AC →＋CD →－BD →＝AD →－BD →＝AD →＋DB →＝AB →，所以A 正确；因为OB →－OA →＝AB →，所以D 正确，故选AD.]4．设正方形ABCD 的边长为2，则|AB →－CB →＋AD →－CD →|＝________． 42 [如图，原式＝|(AB →＋AD →)－(CB →＋CD →)|＝|AC →－CA →|＝|AC →＋AC →|＝2|AC →|， ∵正方形边长为2， ∴2|AC →|＝4 2.]5．已知非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则a 与b 的位置关系为________．(填“平行”或“垂直”)垂直 [如图所示，设OA →＝a ，OB →＝b ，以OA 、OB 为邻边作平行四边形， 则|a ＋b |＝|OC →|， |a －b |＝|BA →|， 又|a ＋b |＝|a －b |， 则|OC →|＝|BA →|，即平行四边形OACB 的对角线相等， ∴平行四边形OACB 是矩形， ∴a ⊥b .]回顾本节内容，自我完成以下问题： 1.向量减法的实质是什么？[提示]向量减法是向量加法的逆运算．即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．2.在用三角形法则作向量减法时，应注意什么问题？[提示]在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减向量”．解题时要结合图形，准确判断，区分a－b与b－a.3从速度的倍数到向量的数乘3．1向量的数乘运算学习任务核心素养1．掌握向量数乘的运算及其运算律．(重点)2．理解数乘向量的几何意义．(重点)1．通过向量数乘概念的学习，培养数学抽象素养；2．通过向量数乘的运算及其运算律的应用，培养数学运算素养．夏季的雷雨天，我们往往先看到闪电，后听到雷声，这说明声速与光速的大小不同，光速是声速的88万倍．阅读教材，结合上述情境回答下列问题：问题1：若设光速为v1，声速为v2，将向量类比于数，则v1与v2有何关系？问题2：实数与向量相乘结果是实数还是向量？(1)实数λ与向量a的乘积是一个向量，记作λa.(2)|λa|＝|λ||a|.(3)方向：λa 的方向⎩⎨⎧当λ>0时，与a 的方向相同；当λ<0时，与a 的方向相反；当λ＝0时，0a ＝0.(4)几何意义：当λ>0时，表示向量a 的有向线段在原方向伸长或缩短为原来的|λ|倍；当λ<0时，表示向量a 的有向线段在反方向伸长或缩短为原来的|λ|倍．若a ∥b ，b ∥c ，那么一定有a ∥c 吗？[提示] 不一定，若b ＝0，此时必有a ∥b ，b ∥c 成立，但a 与c 不一定共线．1.已知|a |＝2，|b |＝3，若两向量方向相同，则向量a 与向量b 的关系为b＝________a .32 [由于|a |＝2，|b |＝3，则|b |＝32|a |，又两向量同向，故b ＝32a .] 知识点2 数乘运算的运算律 设λ，μ为实数，a ，b 为向量，则 (1)(λ＋μ)a ＝λ a ＋μ a ； (2)λ(μa )＝(λμ)a ； (3)λ(a ＋b )＝λa ＋λb .向量的线性运算：向量的加法、减法和数乘的综合运算，通常称为向量的线性运算(或线性组合).2.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)若λa ＝0则λ＝0.( ) (2)对于非零向量a ，向量－2a 与向量a 方向相反． ( ) (3)当a 是非零向量，－1||a a 是与向量a 反向的单位向量．( )[答案] (1)× (2)√ (3)√类型1 向量数乘运算的定义【例1】 已知a 、b 为非零向量，试判断下列各命题的真假，并说明理由． (1)2a 的方向与a 的方向相同； (2)|－2a |＝32|3a |；(3)1||a a 是单位向量； (4)a ＋b 与－a －b 是一对相反向量． [解] (1)真命题．∵2>0， ∴2a 的方向与a 的方向相同． (2)假命题．|－2a |＝||－2|a |＝2|a |＝23|3a |. (3)真命题．⎪⎪⎪⎪⎪⎪1||a a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1||a ||a ＝1||a ||a ＝1.(4)真命题．∵a ＋b 与－a －b 是一对相反向量，且－(a ＋b )＝－a －b ， ∴a ＋b 与－a －b 是一对相反向量．对数乘向量的三点说明(1)向量数乘运算的几何意义是把a 沿着a 的方向或a 的反方向扩大或缩小． (2)当λ＝0或a ＝0时，λa ＝0.反之，也成立， (3)数乘向量的运算不满足消去律．[跟进训练]1．已知λ∈R ，a ≠0，则在下列各命题中，正确的命题有( ) ①当λ＞0时，λa 与a 的方向一定相同； ②当λ＜0时，λa 与a 的方向一定相反； ③当λa 与a 的方向相同时，λ＞0； ④当λa 与a 的方向相反时，λ＜0.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个D [由λ与向量a 的乘积λa 的方向规定，易知①②③④正确．] 类型2 向量的线性运算【例2】 (教材北师版P 88例1改编)计算下列各式： (1)2(a ＋b )－3(a －b )； (2)3(a －2b ＋c )－(2a ＋b －3c )； (3)12⎣⎢⎡⎦⎥⎤（3a ＋2b ）－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b －2⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋38b .[解] (1)原式＝2a －3a ＋2b ＋3b ＝－a ＋5b ； (2)原式＝3a －6b ＋3c －2a －b ＋3c ＝a －7b ＋6c ； (3)原式＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋32b －a －34b ＝a ＋34b －a －34b ＝0.1.向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”，但这里的“同类项”指向量，实数看作是向量的系数．2.对于线性运算，把握运算顺序为：正用分配律去括号→逆用分配律合并．[跟进训练]2．(1)化简23⎣⎢⎡⎦⎥⎤（4a －3b ）＋13b －14（6a －7b ）；(2)设向量a ＝3i ＋2j ，b ＝2i －j ，求⎝ ⎛⎭⎪⎫13a －b －⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23b ＋(2b －a ). [解] (1)原式＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤4a －3b ＋13b －32a ＋74b＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫4－32a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＋13＋74b ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫52a －1112b ＝53a －1118b ；(2)原式＝13a －b －a ＋23b ＋2b －a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1－1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋23＋2b ＝－53a ＋53b＝－53(3i ＋2j )＋53(2i －j ) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－5＋103i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－103－53j ＝－53i －5j .类型3 向量线性运算的应用【例3】 已知任意四边形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点．求证：EF →＝12(AB →＋DC →).1．若D 是△ABC 的边BC 的中点，如何用AB →，AC →表示AD →？ [提示] 由三角形法则知， AD →＝AB →＋BD →， AD →＝AC →＋CD →，两式相加得2AD →＝⎝⎛⎭⎫AB →＋BD →＋⎝⎛⎭⎫AC →＋CD →＝⎝⎛⎭⎫AB →＋AC →＋⎝⎛⎭⎫BD →＋CD →＝AB →＋AC →，所以AD →＝12⎝⎛⎭⎫AB →＋AC →.2．在△ABC 中，若AD →＝12⎝⎛⎭⎫AB →＋AC →，则D 是否是△ABC 的边BC 的中点？ [提示] 设D ′是边BC 的中点，则AD ′→＝12⎝⎛⎭⎫AB →＋AC →，又AD →＝12⎝⎛⎭⎫AB →＋AC →， 则AD ′→＝AD →， 所以D 与D ′重合， 所以D 是边BC 的中点．[证明] 取以点A 为起点的向量，应用三角形法则求证，如图． ∵E 为AD 的中点， ∴AE →＝12AD →.∵F 是BC 的中点，∴AF →＝12(AB →＋AC →). 又∵AC →＝AD →＋DC →，∴AF →＝12(AB →＋AD →＋DC →)＝12(AB →＋DC →)＋12AD →. ∴EF →＝AF →－AE →＝12(AB →＋DC →)＋12AD →－12AD →＝12(AB →＋DC →).用已知向量表示其他向量的两种方法(1)直接法(2)方程法当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．[跟进训练]3．在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点．求证：DE →＝12BC →. [证明] ∵D 为AB 的中点， ∴AD →＝12AB →.∵E 是AC 的中点，∴AE →＝12AC →.∴DE →＝AE →－AD →＝12AC →－12AB →＝12⎝⎛⎭⎫AC →－AB →＝12BC →.当堂达标1．(多选题)已知m ，n 是实数，a ，b 是向量，则下列命题中正确的为( ) A ．m (a －b )＝m a －m b B ．(m －n )a ＝m a －n a C ．若m a ＝m b ，则a ＝bD ．若m a ＝n a ，则m ＝n .AB [A 和B 属于数乘运算对向量与实数的分配律，正确；C 中，若m ＝0，则不能推出a ＝b ，错误；D 中，若a ＝0，则m ，n 没有关系，错误．]2. 在△ABC 中，如果AD ，BE 分别为BC ，AC 上的中线，且AD →＝a ，BE →＝b ，那么BC →等于( )A ．23a ＋43bB ．23a －23bC ．23a －43bD ．－23a ＋43bA [由题意，得BC →＝BE →＋EC →＝b ＋12AC →＝b ＋12(AD →＋DC →)＝b ＋12a ＋14BC →，即BC →＝b ＋12a ＋14BC →，解得BC →＝23a ＋43b .]3．设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →等于( ) A ．BC → B ．12AD → C ．AD →D ．12BC →C [EB →＋FC →＝EC →＋CB →＋FB →＋BC →＝EC →＋FB →＝12(AC →＋AB →)＝12·2AD →＝AD →.] 4．若2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13a －12(c ＋b －3x )＋b ＝0，其中a 、b 、c 为已知向量，则未知向量x ＝________．421a －17b ＋17c [据向量的加法、减法整理、运算可得x ＝421a －17b ＋17c .] 5.如图所示，已知AP →＝43AB →，用OA →，OB →表示OP →.则OP →＝________．－13OA →＋43OB → [OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋43AB →＝OA →＋43(OB →－OA →)＝－13OA →＋43OB →.]回顾本节内容，自我完成以下问题： 1.数乘向量的运算中应注意什么问题？[提示] 实数λ与向量a 可作数乘，但实数λ不能与向量a 进行加、减运算，如λ＋a ，λ－a 都是无意义的．还必须明确λa 是一个向量，λ的符号与λa 的方向相关，|λ|的大小与λa 的模有关．2.利用数乘运算的几何意义时应注意什么问题？[提示] 利用数乘运算的几何意义可以得到两个向量共线的判定定理及性质定理，一定要注意，向量的共线(平行)与直线共线(或平行)的区别；常用向量共线解决平面几何中的“平行”或“点共线”问题．。

2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【目标要求】1.掌握向量数量积的坐标表达式，会进行向量数量积的坐标运算．2．能运用数量积表示两个向量的夹角、计算向量的长度，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.【热点提示】向量的数量积是高考命题的热点，主要考查数量积的运算、化简、证明，向量平行、垂直的充要条件的应用以及利用向量解决平面几何问题．【知识梳理】1．平面向量数量积的坐标表示若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．2．两个向量垂直的坐标表示设两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.3．三个重要公式(1)向量模公式：设a ＝(x 1，y 1)，则|a |＝x 21＋y 21.(2)两点间距离公式：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(3)向量的夹角公式：设两非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. 【课堂互动】平面向量数量积的坐标运算【例1】 已知向量a 与b 同向，b ＝(1,2)，a ·b ＝10.(1)求向量a 的坐标；(2)若c ＝(2，－1)，求(b ·c )a .练1 已知a ＝(2，－1)，b ＝(3，－2)，求(3a －b )·(a －2b )．向量的模的问题【例2】 已知向量a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)，－π2<θ<π2. 求|a ＋b |的最大值．练2 已知向量a ＝(2,1)，a ·b ＝10，|a ＋b |＝52，则|b |等于( )A.5B.10 C ．5 D ．25向量的垂直问题【例3】 已知三点A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)．(1)求证：AB ⊥AD ；(2)要使四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标并求矩形ABCD 的对角线的长度．练3 已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，－3)，若λa －2b 与a 垂直，则实数λ等于________．向量的夹角问题【例4】 已知a ＝(1,2)，b ＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得(1)a 与b 的夹角为直角；(2)a 与b 的夹角为钝角；(3)a 与b 的夹角为锐角．4 如下图所示，已知O 是原点，点A (16,12), 点B (－5,15)，求：(1)|OA →|，|AB →|；(2)∠OAB .【限时训练】1．设a ＝(1，－2)，b ＝(－3,4)，c ＝(3,2)，则(a ＋2b )·c 等于( )A ．(－15,12)B ．0C ．－3D ．－112．已知向量a ＝(x －5,3)，b ＝(2，x )，若a ⊥b ，则由x 的值构成的集合是( )A ．{2,3}B ．{－1,6}C ．{2}D ．{6}3．(2010·安徽)设向量a ＝(1,0)，b ＝(12，12)，则下列结论中正确的是( )A ．|a |＝|b |B ．a ·b ＝22C ．a －b 与b 垂直D ．a ∥b4．与a ＝(3,4)垂直的单位向量是( )A ．(45，35) B ．(－45，－35)C ．(45，－35或(－45，35) D ．(45，35)或(－45，－35)5．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(a ＋b )·c ＝52，则a 与c 的夹角是() A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°6．与向量a ＝(72，12)，b ＝(12，－72)的夹角相等，且模为1的向量是( )A ．(45，－35)B ．(45，－35)或(－45，35)C ．(223，－13) D ．(223，－13或(－223，13)。

2．2.1 平面向量基本定理预习课本P96～98，思考并完成以下问题 (1)平面向量基本定理的内容是什么？(2)如何定义平面向量基底？(3)直线的向量参数方程式是什么？[新知初探]1．平面向量基本定理 (1)定理如果e 1和e 2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a ，存在唯一的一对实数a 1，a 2，使a ＝a 1e 1＋a 2e 2.(2)基底把不共线向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{e 1，e 2}．a 1e 1＋a 2e 2叫做向量a 关于基底{e 1，e 2}的分解式．[点睛] 对平面向量基本定理的理解应注意以下三点：①e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量；②该平面内任意向量a 都可以用e 1，e 2线性表示，且这种表示是唯一的；③基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可作为基底．2．直线的向量参数方程式已知A ，B 是直线l 上的任意两点，O 是l 外一点(如图所示)，则对于直线l 上任意一点P ，存在唯一实数t (1－t )；反之，对每一个实数t ，在直线l 上都有唯一的一个点P 与之对应．向量等(1－t )叫做直线l 的向量参数方程式，其中实数t 叫做参变数，简称参数．当t ＝12时，＝12，此时P 点为线段AB 的中点，这是线段AB 中点的向量表达式．[点睛] 1.[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任意两个向量都可以作为基底．( )(2)一个平面内有无数对不共线的向量都可作为表示该平面内所有向量的基底．( ) (3)零向量不可以作为基底中的向量．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√2．如图，向量e 1，e 2，a 的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a 用基底e 1，e 2表示为( )A ．e 1＋e 2B ．－2e 1＋e 2C ．2e 1－e 2D ．2e 1＋e 2答案：B3．设e 1，e 2是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不能作为基底的是( ) A ．e 1，e 2 B ．e 1＋e 2,3e 1＋3e 2 C ．e 1,5e 2 D ．e 1，e 1＋e 2 答案：B4．设e 1，e 2为两个不共线的向量，若点O 是▱ABCD 4e 16e 2，则3e 2－2e 1＝________.解析：3e 2－2e 1＝12(6e 2－4e 1)＝12(＝12((答案不唯一)用基底表示向量[典例] 如图，在平行四边形ABCD 中，a b ，试用基底a ，b 表示AB ，BC .[解] 法一：由题意知，AO ＝OC ＝12AC ＝12a ，BO ＝OD ＝12BD ＝12b .所以AB ＝AO ＋OB ＝AO －BO ＝12a －12b ，BC ＝BO ＋OC ＝12a ＋12b ，法二：设AB ＝x ，BC ＝y ，则AD ＝BC ＝y ，又⎩⎪⎨⎪⎧AB ＋BC ＝AC ， AD －AB ＝BD ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝a ，y －x ＝b ，所以x ＝12a －12b ，y ＝12a ＋12b ，即AB ＝12a －12b ，BC ＝12a ＋12b .用基底表示向量的方法将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止；另一种是通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．[活学活用]如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E ，F 分别是AD ，BC 边上的中点，且BC ＝3AD ，BA ＝a ，BC ＝b .试以a ，b 为基底表示EF ，DF ，CD .解：∵AD ∥BC ，且AD ＝13BC ，∴AD ＝13BC ＝13b .∵E 为AD 的中点， ∴AE ＝ED ＝12AD ＝16b .∵BF ＝12BC ，∴BF ＝12b ，∴EF ＝BA ＋AB ＋BF ＝－16b －a ＋12b ＝13b －a ，DF ＝DE ＋EF ＝－16b ＋13b －a ＝16b －a ，CD ＝CF ＋FD ＝－(DF ＋FC )＝－(DF ＋BF )＝－⎝⎛⎭⎫16b －a ＋12b ＝a －23b .直线的向量参数方程式的应用[典例] 已知平面内两定点A ，B ，对该平面内任一动点C ，总有OC ＝3λOA ＋(1－3λ)OB (λ∈R ，点O 为直线AB 外的一点)，则点C 的轨迹是什么图形？简单说明理由．[解] 法一：3λ＋(1－3λ)＝1且λ∈R ，结合直线的向量参数方程式可知点C 的轨迹是直线AB .法二：将已知向量等式两边同时减去OA ，得OC －OA ＝(3λ－1) OA ＋(1－3λ) OB＝(1－3λ)( OB －OA ) ＝(1－3λ) AB ，即AC ＝(1－3λ) AB ，λ∈R ，∴A ，B ，C 三点共线，即点C 的轨迹是直线AB .直线的向量参数方程式的两方面应用(1)若A ，B ，C 三点共线，则有OC ＝x OA ＋y OB ，且x ＋y ＝1；(2)若OC ＝x OA ＋y OB ，且x ＋y ＝1，则有A ，B ，C 三点共线． [活学活用]在△ABC 中，D 为AB 上一点，若AD ＝2DB ，CD ＝13CA ＋λCB ，则λ＝________.解析：法一：∵AD ＝2DB ， ∴AD ＝23AB ＝23(CB －CA )．∵在△ACD 中，CD ＝CA ＋AD ＝CA ＋23(CB －CA )＝13CA ＋23CB ，∴λ＝23.法二：A ，B ，D 三点共线， 又∵C 在直线AB 外，则13＋λ＝1，∴λ＝23.答案：23[典例] NC ，AM 与BN 相交于点P ，求AP ∶PM 与BP ∶PN .[解] e 1e 2，3e 2－e 1，BN ＝BC ＋CN 2e 1＋e 2. ∵A ，P ，M 和B ，P ，N 分别共线，∴存在实数λ，μ＝－λe 1－3λe 2，2μe 1＋μe 2.(λ＋2μ)e 1＋(3λ＋μ)e 2.2e 1＋3e 2，由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2μ＝2，3λ＋μ＝3， 解得⎩⎨⎧λ＝45，μ＝35.∴AP ∶PM ＝4∶1，BP ∶PN ＝3∶2.[一题多变]1．[变设问]a b ，试用a ，b解：由本例解析知BP ∶PN ＝3∶2CP ＝CN ＋NP ＝CN ＋25NB ＝b ＋25(―CB －CN )＝b ＋45a －25b ＝35b ＋45a .2．[变条件]若本例中的点N 为AC 的中点，其它条件不变，求AP ∶PM 与BP ∶PN . 解：如图，设BM ＝e 1，CN ＝e 2，则AM ＝AC ＋CM ＝－2e 2－e 1，BN ＝BC ＋CN ＝2e 1＋e 2. ∵A ，P ，M 和B ，P ，N 分别共线， ∴存在实数λ，μ使得AP ＝λAM ＝－λe 1－2λe 2，BP ＝μBN ＝2μe 1＋μe 2.故BA ＝BP ＋PA ＝BP －AP ＝(λ＋2μ)e 1＋(2λ＋μ)e 2. 而BA ＝BC ＋CA ＝2e 1＋2e 2，由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2μ＝2，2λ＋μ＝2， 解得⎩⎨⎧λ＝23，μ＝23.∴AP ＝23AM ，BP ＝23BN ，∴AP ∶PM ＝2，BP ∶PN ＝2.若直接利用基底表示向量比较困难，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量( 一般需建立两个不同的向量表达式)，再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得．1．已知平行四边形ABCD 中，P 是对角线AC (t －t ＝( )A ．0B ．1C ．－1D ．任意实数解析：选B P ，A ，C 三点共线，所以t ＋t －1＝1，故t ＝1，故选B.2．设点O 是▱ABCD 两对角线的交点，下列的向量组中可作为这个平行四边形所在平面上表示其他所有向量的基底的是( )A ．①②B ．①③C ．①④D ．③④解析：选B 寻找不共线的向量组即可，在▱ABCD3．若AD 是△ABC 的中线，a b ，则以a ，b ( )A.12(a －b ) B.12(a ＋b ) C.12(b －a ) D.12b ＋a解析：选B 如图，AD 是△ABC 的中线，则D 为线段BC 的中点，从＝12(＝12(a ＋b )．4．在矩形ABCD 中，O e 1e 2( ) A.12(e 1＋e 2) B.12(e 1－e 2) C.12(2e 2－e 1) D.12(e 2－e 1)解析：选A 因为O 是矩形ABCD e 1e 2，＝12＝12(e 1＋e 2)，故选A.5．(全国Ⅰ卷)设D 为△ABC ( )ABCD解析：选A＝－136．已知向量a ，b 是一组基底，实数x ，y 满足(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，则x －y的值为______．解析：∵a ，b 是一组基底，∴a 与b 不共线， ∵(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3，∴x －y ＝3. 答案：37．已知e 1，e 2是两个不共线向量，a ＝k 2e 1＋⎝⎛⎭⎫1－5k2e 2与b ＝2e 1＋3e 2共线，则实数k ＝______.解析：由题设，知k22＝1－5k23，∴3k 2＋5k －2＝0，解得k ＝－2或13.答案：－2或138．如下图，在正方形ABCD a b c ，则在以a ，b 为基底______，在以a ，c ______．解析：以a ，c B 与A 重合，再由三角形法则或平行四边形法则即得．答案：a ＋b 2a ＋c9.如图所示，设M ，N ，P 是△ABCa b ，试用a ，b＝13a －23b ，＝－13b －23(a －b )＝－23a ＋13b ，＝13(a ＋b )．10．证明：三角形的三条中线共点．证明：如图所示，设AD ，BE ，CF 分别为△ABCa b .b －a .设G 在AD 上，且AG AD ＝23a ＋12(b －a )＝12(a ＋b )．＝12b －a .＝13(a ＋b )－a ＝13b －23a＝23⎝⎛⎭⎫12b －a∴G 在BE即G 在CF 上．故AD ，BE ，CF 三线交于同一点．层级二 应试能力达标1．在△ABC 中，点D 在BC a b 用基底a ，b 表示为( )A.12(a ＋b ) B.23a ＋13b C.13a ＋23b D.13(a ＋b )解析：选C＋23(＝13a ＋23b .2．在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AMλ＋μ的值为( )A.12B.13C.14D ．1解析：选A ∵M 为边BC 上任意一点，x ＋y ＝1) ∵N 为AM 的中点，＝12x ＋12y ∴λ＋μ＝12(x ＋y )＝12.3．如果e 1，e 2是平面α内所有向量的一组基底，那么，下列命题中正确的是( ) A ．若存在实数λ1，λ2，使得λ1e 1＋λ2e 1＝0，则λ1＝λ2＝0B ．平面α内任一向量a 都可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中λ1，λ2∈RC ．λ1e 1＋λ2e 2不一定在平面α内，λ1，λ2∈RD ．对于平面α内任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1，λ2有无数对解析：选B A 中，(λ1＋λ2)e 1＝0，∴λ1＋λ2＝0，即λ1＝－λ2；B 符合平面向量基本定理；C 中，λ1e 1＋λ2e 2一定在平面α内；D 中，λ1，λ2有且只有一对．4(λ∈R)，则x ，y 满足的关系是( )A ．x ＋y －2＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．x ＋2y －2＝0D ．2x ＋y －2＝0解析：选A λ，(1＋λ)又∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2λ，y ＝－2λ，消去λ得x ＋y ＝2. 5．设e 1，e 2是平面内的一组基底，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则e 1＋e 2＝________a ＋________b .解析：由⎩⎪⎨⎪⎧a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，解得⎩⎨⎧e 1＝13a －23b ，e 2＝13a ＋13b .故e 1＋e 2＝⎝⎛⎭⎫13a －23b ＋⎝⎛⎭⎫13a ＋13b ＝23a ＋⎝⎛⎭⎫－13b .答案：23 －136．如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，E 为线段AO(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝________.解析：EBλ＝12，μ＝14，λ＋μ＝34.答案：347．设e 1，e 2是不共线的非零向量，且a ＝e 1－2e 2，b ＝e 1＋3e 2. (1)证明：a ，b 可以作为一组基底；(2)以a ，b 为基底，求向量c ＝3e 1－e 2的分解式； (3)若 4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，求λ，μ的值．解：(1)证明：若a ，b 共线，则存在λ∈R ，使a ＝λb ， 则e 1－2e 2＝λ(e 1＋3e 2)．由e 1，e 2不共线，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，3λ＝－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，λ＝－23.∴λ不存在，故a 与b 不共线，可以作为一组基底． (2)设c ＝ma ＋nb (m ，n ∈R)，则 3e 1－e 2＝m (e 1－2e 2)＋n (e 1＋3e 2) ＝(m ＋n )e 1＋(－2m ＋3n )e 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝3，－2m ＋3n ＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1.∴c ＝2a ＋b . (3)由4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，得 4e 1－3e 2＝λ(e 1－2e 2)＋μ(e 1＋3e 2) ＝(λ＋μ)e 1＋(－2λ＋3μ)e 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ＋μ＝4，－2λ＋3μ＝－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，μ＝1.故所求λ，μ的值分别为3和1.8．若点M 是△ABC (1)求△ABM 与△ABC 的面积之比．(2)若N 为AB 中点，AM 与CN 交于点O x ，y 的值． 解：(1)可知M ，B ，C 三点共线，BM ＝AB ＋λλ＝(1－λ)λ＝14，所以S △ABM S△ABC ＝14，即面积之比为1∶4.(2)O ，M ，A 三点共线及O ，N ，C 三点共线⇒⎩⎨⎧x ＋y2＝1，x4＋y ＝1⇒⎩⎨⎧x ＝47，y ＝67.2．2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算预习课本P99～102，思考并完成以下问题 (1)两个向量垂直如何定义？(2)一个向量如何正交分解？(3)向量的直角坐标定义是什么？(4)如何由a ，b 的坐标求a ＋b ，a －b ，λa 的坐标？[新知初探]1．两个向量的垂直与正交分解如果两个向量的基线互相垂直，则称这两个向量互相垂直．如果基底的两个基向量e 1，e 2互相垂直，则称这个基底为正交基底．在正交基底下分解向量，叫做正交分解．2．向量的平面直角坐标的定义(1)基底：在直角坐标系xOy 内，分别取与x 轴和y 轴方向相同的两个单位向量e 1，e 2.这时，我们就在坐标平面内建立了一个正交基底{e 1，e 2}．这个基底也叫做直角坐标系xOy 的基底．(2)坐标分量：在坐标平面xOy 内，任作一向量a (用有向线段)，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(a 1，a 2)，使得a ＝a 1e 1＋a 2e 2，(a 1，a 2)就是向量a 在基底{e 1，e 2}下的坐标，即a＝(a 1，a 2)，其中a 1叫做向量a 在 x 轴上的坐标分量，a 2叫做a 在 y 轴上的坐标分量． 3．向量的坐标表示xe 1＋ye 2＝(x ，y )(x ，y )⇔点A 的坐标(x ，y )． 4．向量的直角坐标运算(1)若a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2)，a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2)，λa ＝(_λa 1，λa 2)．(2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，＝(x 2－x 1，y 2－y 1)；线段AB 中点公式⎩⎨⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y22.[点睛] (1)向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关． (2)当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)相等向量的坐标相同与向量的起点、终点无关．( )(2)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．( ) (3)两向量差的坐标与两向量的顺序无关．( ) (4)点的坐标与向量的坐标相同．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)×2．若a ＝(2,1)，b ＝(1,0)，则3a ＋2b 的坐标是( ) A ．(5,3) B ．(4,3) C ．(8,3) D ．(0，－1) 答案：C3(1,2)(3,4)( ) A ．(4,6) B ．(－4，－6) C ．(－2，－2) D ．(2,2)答案：A4．若点M (3,5)，点N (2,1)______.答案：(－1，－4)平面向量的坐标表示[典例] 如图，在边长为1的正方形ABCD 中，AB 与x 轴正半轴成30°角．求点B 和点D 的坐标和AB 与AD 的坐标．[解] 由题知B ，D 分别是30°，120°角的终边与单位圆的交点． 设B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)． 由三角函数的定义，得 x 1＝cos 30°＝32，y 1＝sin 30°＝12，∴B ⎝⎛⎭⎫32，12.x 2＝cos 120°＝－12，y 2＝sin 120°＝32，∴D ⎝⎛⎭⎫－12，32.∴AB ＝⎝⎛⎭⎫32，12，AD ＝⎝⎛⎭⎫－12，32.求点和向量坐标的常用方法(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．(2)在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．[活学活用]已知O 是坐标原点，点A |OA |43，∠xOA ＝60°， (1)求向量OA 的坐标；(2)若B (3，－1)，求BA 的坐标．解：(1)设点A (x ，y )，则x ＝43cos 60°＝23， y ＝43sin 60°＝6，即A (23，6)，OA ＝(23，6)． (2) BA ＝(23，6)－(3，－1)＝(3，7).平面向量的坐标运算[典例] (1)已知三点A (2，－1)，B (3,4)，C (－2,0)，则向量3AB ＋2CA ＝________，BC－2AB＝________.(2)已知向量a，b的坐标分别是(－1,2)，(3，－5)，求a＋b，a－b,3a,2a＋3b的坐标．[解析](1)∵A(2，－1)，B(3,4)，C(－2,0)，∴AB＝(1,5)，CA＝(4，－1)，BC＝(－5，－4)．∴3AB＋2CA＝3(1,5)＋2(4，－1)＝(3＋8,15－2)＝(11,13)．BC－2AB＝(－5，－4)－2(1,5)＝(－5－2，－4－10)＝(－7，－14)．[答案](11,13)(－7，－14)(2)解：a＋b＝(－1,2)＋(3，－5)＝(2，－3)，a－b＝(－1,2)－(3，－5)＝(－4,7)，3a＝3(－1,2)＝(－3,6)，2a＋3b＝2(－1,2)＋3(3，－5)＝(－2,4)＋(9，－15)＝(7，－11)．平面向量坐标运算的技巧(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行．(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．[活学活用]1．设平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，则a－2b＝()A．(7,3)B．(7,7)C．(1,7) D．(1,3)解析：选A∵2b＝2(－2,1)＝(－4,2)，∴a－2b＝(3,5)－(－4,2)＝(7,3)．2．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，MP＝12MN，则P点坐标为______．解析：法一：设P(x，y)，MP＝(x－3，y＋2)，MN＝(－8,1)，＝12(－8,1)＝⎝⎛⎭⎫－4，12，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －3＝－4，y ＋2＝12.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－32.法二：P 为MN 的中点，由中点坐标公式得 P 点坐标为⎝⎛⎭⎫－1，－32. 答案：⎝⎛⎭⎫－1，－32t AB ，t 为何值时，点P 在y 轴上？点P 在第二象限？[解] (1,2)＋t (3,3)＝(1＋3t,2＋3t )， 若点P 在x 轴上，则2＋3t ＝0，所以t ＝－23.若点P 在y 轴上，则1＋3t ＝0， 所以t ＝－13.若点P 在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t ＜0，2＋3t ＞0，所以－23＜t ＜－13.[一题多变]1．[变条件]本例中条件“点P 在x 轴上，点P 在y 轴上，点P 在第二象限”若换为“B 为线段AP 的中点”试求t 的值．解：由典例知P (1＋3t,2＋3t )， 则⎩⎨⎧1＋1＋3t2＝4，2＋2＋3t2＝5，解得t ＝2.2．[变设问]本例条件不变，试问四边形OABP 能为平行四边形吗？若能，求出t 值；若不能，说明理由．解：OA ＝(1,2)，PB ＝(3－3t,3－3t )．若四边形OABP 为平行四边形，则OA ＝PB ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3－3t ＝1，3－3t ＝2，该方程组无解．故四边形OABP 不能成为平行四边形．向量中含参数问题的求解(1)向量的坐标含有两个量：横坐标和纵坐标，如果横或纵坐标是一个变量，则表示向量的点的坐标的位置会随之改变．(2)解答这类由参数决定点的位置的题目，关键是列出满足条件的含参数的方程(组)，解这个方程(组)，就能达到解题的目的．1．如果用i ，j 分别表示x 轴和y 轴方向上的单位向量，且A (2,3)，B (4,2)，则AB 可以表示为( )A ．2i ＋3jB ．4i ＋2jC ．2i －jD ．－2i ＋j解析：选C 记O 为坐标原点，则OA ＝2i ＋3j ，OB ＝4i ＋2j ，所以AB ＝OB －OA ＝2i －j .2．已知AB ＝a ，且A ⎝⎛⎭⎫12，4，B ⎝⎛⎭⎫14，2，又λ＝12，则λa 等于( ) A.⎝⎛⎭⎫－18，－1 B.⎝⎛⎭⎫14，3 C.⎝⎛⎭⎫18，1D.⎝⎛⎭⎫－14，－3 解析：选A ∵a ＝AB ＝⎝⎛⎭⎫14，2－⎝⎛⎭⎫12，4＝⎝⎛⎭⎫－14，－2， ∴λa ＝12a ＝⎝⎛⎭⎫－18，－1. 3．已知向量a ＝(1,2)，2a ＋b ＝(3,2)，则b ＝( ) A ．(1，－2) B ．(1,2) C ．(5,6)D ．(2,0)解析：选A b ＝(3,2)－2a ＝(3,2)－(2,4)＝(1，－2)．4．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，AB ＝(2,4)，AC ＝(1,3)，则DA ＝( )A ．(2,4)B ．(3,5)C ．(1,1)D ．(－1，－1)解析：选C ＝(1,1)．5．已知M (－2,7)，N (10，－2)，点P 是线段MN P 点的坐标为( )A ．(－14,16)B ．(22，－11)C ．(6,1)D ．(2,4)解析：选D 设P (x ，y )(10－x ，－2－y )(－2－x,7－y )，⎩⎪⎨⎪⎧ 10－x ＝4＋2x ，－2－y ＝－14＋2y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4.6．(江苏高考)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若ma ＋nb ＝(9，－8)(m ，n ∈R)，则m－n 的值为________．解析：∵ma ＋nb ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，∴m －n ＝2－5＝－3. 答案：－37．若A (2，－1)，B (4,2)，C (1,5)________. 解析：∵A (2，－1)，B (4,2)，C (1,5)，(2,3)(－3,3)．(2,3)＋2(－3,3)＝(2,3)＋(－6,6)＝(－4,9)． 答案：(－4,9)8．已知O 是坐标原点，点A ＝6，∠xOA ＝150°________．解析：设点A (x ，y )，则x ＝6cos 150°＝－33，y ＝6sin 150°＝3，即A (－33，3)(－33，3)．答案：(－33，3)9．已知a B 点坐标为(1,0)，b ＝(－3,4)，c ＝(－1,1)，且a ＝3b －2c ，求点A 的坐标．解：∵b ＝(－3,4)，c ＝(－1,1)，∴3b －2c ＝3(－3,4)－2(－1,1)＝(－9,12)－(－2,2)＝(－7,10)，即a ＝(－7,10)又B (1,0)，设A 点坐标为(x ，y )，(1－x,0－y )＝(－7,10)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x ＝－7，0－y ＝10⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝－10， 即A 点坐标为(8，－10)．10(4,3)(－3，－1)，点A (－1，－2)． (1)求线段BD 的中点M 的坐标．(2)若点P (2，y )(λ∈R)，求λ与y 的值． 解：(1)设B (x 1，y 1)，(4,3)，A (－1，－2)， 所以(x 1＋1，y 1＋2)＝(4,3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋1＝4，y 1＋2＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3，y 1＝1，所以B (3,1)．同理可得D (－4，－3)， 设BD 的中点M (x 2，y 2)， 则x 2＝3－42＝－12，y 2＝1－32＝－1， 所以M ⎝⎛⎭⎫－12，－1.(2)(3,1)－(2，y )＝(1,1－y )，(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)，(λ∈R)，所以(1,1－y )＝λ(－7，－4)＝(－7λ，－4λ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＝－7λ，1－y ＝－4λ，所以⎩⎨⎧λ＝－17，y ＝37.层级二 应试能力达标1(2,4)(0,2)( )A ．(－2，－2)B ．(2,2)C ．(1,1)D ．(－1，－1)解析：选D＝12＝12(－2，－2)＝(－1，－1)，故选D. 2．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，c ＝(3,4)，且c ＝λ1a ＋λ2b ，则λ1，λ2的值分别为( )A ．－2,1B ．1，－2C ．2，－1D ．－1,2解析：选D ∵c ＝λ1a ＋λ2b ，∴(3,4)＝λ1(1,2)＋λ2(2,3)＝(λ1＋2λ2,2λ1＋3λ2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ1＋2λ2＝3，2λ1＋3λ2＝4，解得λ1＝－1，λ2＝2.3．已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3,1)点D 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫2，72B.⎝⎛⎭⎫2，－12 C ．(3,2)D ．(1,3)解析：选A 设点D (m ，n )，则由题意得(4,3)＝2(m ，n －2)＝(2m,2n －4)，故⎩⎪⎨⎪⎧2m ＝4，2n －4＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝72，即点D ⎝⎛⎭⎫2，72，故选A. 4．对于任意的两个向量m ＝(a ，b )，n ＝(c ，d )，规定运算“”为m n ＝(ac －bd ，bc ＋ad )，运算“”为m n ＝(a ＋c ，b ＋d )．设f ＝(p ，q )，若f ＝(5,0)，则f 等于( )A ．(4,0)B ．(2,0)C ．(0,2)D ．(0，－4)解析：选B 由(1,2)⊗f ＝(5,0)，得⎩⎪⎨⎪⎧ p －2q ＝5，2p ＋q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1，q ＝－2，所以f ＝(1，－2)，所以f ＝，－2)＝(2,0)．5．已知向量i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，对坐标平面内的任一向量a ，给出下列四个结论： ①存在唯一的一对实数x ，y ，使得a ＝(x ，y )；②若x 1，x 2，y 1，y 2∈R ，a ＝(x 1，y 1)≠(x 2，y 2)，则x 1≠x 2，且y 1≠y 2；③若x ，y ∈R ，a ＝(x ，y )，且a ≠0，则a 的起点是原点O ； ④若x ，y ∈R ，a ≠0，且a 的终点坐标是(x ，y )，则a ＝(x ，y )． 其中，正确结论有________个．解析：由平面向量基本定理，可知①正确；例如，a ＝(1,0)≠(1,3)，但1＝1，故②错误；因为向量可以平移，所以a ＝(x ，y )与a 的起点是不是原点无关，故③错误；当a 的终点坐标是(x ，y )时，a ＝(x ，y )是以a 的起点是原点为前提的，故④错误．答案：16．已知A (－3,0)，B (0,2)，O 为坐标原点，点C 在∠AOB 内，|OC |＝22，且∠AOC ＝π4.(λ∈R)，则λ＝ ________.解析：过C 作CE ⊥x 轴于点E ，由∠AOC ＝π4知，|OE |＝|CE |＝2，所(－2,0)＝λ(－3,0)，故λ＝23.答案：237．在△ABC 中，已知A (7,8)，B (3,5)，C (4,3)，M ，N ，D 分别是AB ，AC ，BC 的中点，且MN 与AD 交于点F解：∵A (7,8)，B (3,5)，C (4,3)，(3－7,5－8)＝(－4，－3)，(4－7,3－8)＝(－3，－5)．∵D 是BC 的中点，＝12(＝12(－4－3，－3－5)＝12(－7，－8)＝⎝⎛⎭⎫－72，－4.∵M ，N 分别为AB ，AC 的中点，∴F 为AD 的中点．＝－12⎝⎛⎭⎫－72，－4＝⎝⎛⎭⎫74，2.8．在直角坐标系xOy 中，已知点A (1,1)，B (2,3)，C (3,2)，(1)0(2)(m ，n ∈R)，且点P 在函数y ＝x ＋1的图象上，求m －n .解：(1)设点P 的坐标为(x ，y )，0，(1－x,1－y )＋(2－x,3－y )＋(3－x,2－y )＝(6－3x,6－3y )．所以⎩⎪⎨⎪⎧ 6－3x ＝0，6－3y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2.所以点P 的坐标为(2,2)，(2,2)．(2)设点P 的坐标为(x 0，y 0)， 因为A (1,1)，B (2,3)，C (3,2)，(2,3)－(1,1)＝(1,2)，(3,2)－(1,1)＝(2,1)，所以(x 0，y 0)＝m (1,2)＋n (2,1)＝(m ＋2n,2m ＋n )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝m ＋2n ，y 0＝2m ＋n ，两式相减得m －n ＝y 0－x 0，又因为点P 在函数y ＝x ＋1的图象上， 所以y 0－x 0＝1， 所以m －n ＝1.2．2.3 用平面向量坐标表示向量共线条件预习课本P103～104，思考并完成以下问题如何利用向量的坐标运算表示两个向量共线？[新知初探]两向量平行的条件[点睛] 两向量的对应坐标成比例．这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)已知a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，若a ∥b ，则必有a 1b 2＝a 2b 1.( ) (2)向量(2,3)与向量(－4，－6)反向．( ) 答案：(1)√ (2)√2．若向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，则与a ＋b 共线的向量可以是( ) A ．(2,1) B ．(－1,2) C ．(6,10) D ．(－6,10) 答案：C3．已知a ＝(1,2)，b ＝(x,4)，若a ∥b ，则x 等于( ) A ．－12 B.12 C ．－2D ．2答案：D4．已知向量a ＝(－2,3)，b ∥a ，向量b 的起点为A (1,2)，终点B 在x 轴上，则点B 的坐标为________．答案：⎝⎛⎭⎫73，0向量共线的判定[典例] (1)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(λ，1)，若(a ＋2b )∥(2a －2b )，则λ的值等于( ) A.12B.13C ．1D ．2(2)已知A (2,1)，B (0,4)，C (1,3)，D (5，－3)的方向相同还是相反？[解析] (1)法一：a ＋2b ＝(1,2)＋2(λ，1)＝(1＋2λ，4)，2a －2b ＝2(1,2)－2(λ，1)＝(2－2λ，2)，由(a ＋2b )∥(2a －2b )可得2(1＋2λ)－4(2－2λ)＝0，解得λ＝12.法二：假设a ，b 不共线，则由(a ＋2b )∥(2a －2b )可得a ＋2b ＝μ(2a －2b )，从而⎩⎪⎨⎪⎧1＝2μ，2＝－2μ，方程组显然无解，即a ＋2b 与2a －2b 不共线，这与(a ＋2b )∥(2a －2b )矛盾，从而假设不成立，故应有a ，b 共线，所以1λ＝21，即λ＝12.[答案] A(2)(0,4)－(2,1)＝(－2,3)(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)，∵(－2)×(－6)－3×4＝0，∴AB ，CD 共线． 又CD ＝－2AB ，∴AB ，CD 方向相反． 综上，AB 与CD 共线且方向相反．向量共线的判定方法(1)利用向量共线定理，由a ＝λb (b ≠0)推出a ∥b .(2)利用向量共线的坐标表达式a 1b 2－a 2b 1＝0直接求解． [活学活用]已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，ka ＋b 与a －3b 平行，平行时它们的方向相同还是相反？解：ka ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)， a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，若ka ＋b 与a －3b 平行，则－4(k －3)－10(2k ＋2)＝0，解得k ＝－13，此时ka ＋b ＝－13a ＋b ＝－13(a －3b )，故ka ＋b 与a －3b 反向．∴k ＝－13时，ka ＋b 与a －3b 平行且方向相反．三点共线问题[典例] (1)已知OA ＝(3,4)，OB ＝(7,12)，OC ＝(9,16)，求证：A ，B ，C 三点共线； (2)设向量OA ＝(k,12)，OB ＝(4,5)，OC ＝(10，k )，当k 为何值时，A ，B ，C 三点共线？[解] (1)证明：∵AB ＝OB －OA ＝(4,8)，AC ＝OC －OA ＝(6,12)，∴AC ＝32AB ，即AB 与AC 共线．又∵AB 与AC 有公共点A ，∴A ，B ，C 三点共线． (2)若A ，B ，C 三点共线，则AB ，AC 共线， ∵AB ＝OB －OA ＝(4－k ，－7)，AC ＝OC －OA ＝(10－k ，k －12)，∴(4－k )(k －12)＋7(10－k )＝0.解得k＝－2或k＝11.有关三点共线问题的解题策略(1)要判断A，B，C三点是否共线，一般是看AB与BC，或AB与AC，或AC与BC 是否共线，若共线，则A，B，C三点共线；(2)使用A，B，C三点共线这一条件建立方程求参数时，利用AC＝λBC，或AB＝λBC，或AB＝λAC都是可以的，但原则上要少用含未知数的表达式．[活学活用]设点A(x,1)，B(2x,2)，C(1,2x)，D(5,3x)，当x为何值时，AB与CD共线且方向相同，此时，A，B，C，D能否在同一条直线上？解：AB＝(2x,2)－(x,1)＝(x,1)，BC＝(1,2x)－(2x,2)＝(1－2x,2x－2)，CD＝(5,3x)－(1,2x)＝(4，x)．由AB与CD共线，所以x2＝1×4，所以x＝±2.又AB与CD方向相同，所以x＝2.此时，AB＝(2,1)，BC＝(－3,2)，而2×2≠－3×1，所以AB与BC不共线，所以A，B，C三点不在同一条直线上．所以A，B，C，D不在同一条直线上．向量共线在几何中的应用题点一：两直线平行判断1.如图所示，已知直角梯形ABCD，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于E，用向量的方法证明：DE∥BC；证明：如图，以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立直角坐标系，设|AD|1|DC|＝1|AB| 2.∵CE ⊥AB ，而AD ＝DC ， ∴四边形AECD 为正方形，∴可求得各点坐标分别为E (0,0)，B (1,0)，C (0,1)，D (－1,1)．(－1,1)－(0,0)＝(－1,1)，(0,1)－(1,0)＝(－1,1)，DE ∥BC . 题点二：几何形状的判断2．已知直角坐标平面上四点A (1,0)，B (4,3)，C (2,4)，D (0,2)，求证：四边形ABCD 是等腰梯形．证明：(4,3)－(1,0)＝(3,3)，(0,2)－(2,4)＝(－2，－2)．∵3×(－2)－3×(－2)＝0(－1,2)(2,4)－(4,3)＝(－2,1)，∵(－1)×1－2×(－2)≠0 ∴四边形ABCD 是梯形．(－2,1)(－1,2)，∴＝5BC ＝AD . 故四边形ABCD 是等腰梯形．题点三：求交点坐标3.如图所示，已知点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，求AC 和OB 交点P 的坐标．解：法一：t (4,4) ＝(4t,4t )，(4t,4t )－(4,0)＝(4t －4,4t )，(2,6)－(4,0)＝(－2,6)．(4t －4)×6－4t ×(－2)＝0，解得t ＝34.(3,3)．∴P 点坐标为(3,3)． 法二：设P (x ，y )，(x ，y )(4,4)．∴4x －4y ＝0.①(x －2，y －6)(2，－6)，∴－6(x －2)＋2(6－y )＝0.②解①②组成的方程组，得x ＝3，y ＝3， ∴点P 的坐标为(3,3)．应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤层级一 学业水平达标1．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是( ) A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1，－2) B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7) C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝⎛⎭⎫12，－34 解析：选B A 中向量e 1为零向量，∴e 1∥e 2；C 中e 1＝12e 2，∴e 1∥e 2；D 中e 1＝4e 2，∴e 1∥e 2，故选B.2．已知点A (1,1)，B (4,2)和向量a ＝(2，λ)，若a λ的值为( ) A ．－23B.32C.23D ．－32解析：选C 根据A ，B (3,1)，∵a 2×1－3λ＝0，解得λ＝23，故选C.3．已知A (2，－1)，B (3,1)a 是( )A ．(2,1)B ．(－6，－3)C ．(－1,2)D ．(－4，－8)解析：选D (1,2)，向量(2,1)、(－6，－3)、(－1,2)与(1,2)不平行；(－4，－8)与(1,2)平行且方向相反．4．已知向量a ＝(x,2)，b ＝(3，－1)，若(a ＋b )∥(a －2b )，则实数x 的值为( ) A ．－3 B ．2 C ．4D ．－6解析：选D 因为(a ＋b )∥(a －2b )，a ＋b ＝(x ＋3,1)，a －2b ＝(x －6,4)，所以4(x ＋3)－(x －6)＝0，解得x ＝－6.5．设a ＝⎝⎛⎭⎫32，tan α，b ＝⎝⎛⎭⎫cos α，13，且a ∥b ，则锐角α为( ) A ．30° B ．60° C ．45°D ．75°解析：选A ∵a ∥b ， ∴32×13－tan α cos α＝0， 即sin α＝12，α＝30°.6．已知向量a ＝(3x －1,4)与b ＝(1,2)共线，则实数x 的值为________． 解析：∵向量a ＝(3x －1,4)与b ＝(1,2)共线， ∴2(3x －1)－4×1＝0，解得x ＝1. 答案：17．已知A (－1,4)，B (x ，－2)，若C (3,3)在直线AB 上，则x ＝________.(x ＋1，－6)(4，－1)，(x ＋1)＋24＝0，∴x ＝23. 答案：238．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)，若λa ＋μb 与a ＋b 共线，则λ与μ的关系是________． 解析：∵a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)， ∴a ＋b ＝(1,2)＋(－2,3)＝(－1,5)，λa ＋μb ＝λ(1,2)＋μ(－2,3)＝(λ－2μ，2λ＋3μ)， 又∵(λa ＋μb )∥(a ＋b )， ∴－1×(2λ＋3μ)－5(λ－2μ)＝0， ∴λ＝μ. 答案：λ＝μ9．已知A ，B ，C 三点的坐标为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，证明：设E ，F 的坐标分别为(x 1，y 1), (x 2，y 2)，(2,2)(－2,3)(4，－1)．(x 1＋1，y 1)＝13(2,2)．∴点E 的坐标为⎝⎛⎭⎫－13，23.同理点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫73，0⎝⎛⎭⎫83，－23.又83×(－1)－4×⎝⎛⎭⎫－23＝010．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1,1)，c ＝(5,2)，m ＝λb ＋c (λ为常数)．(1)求a ＋b ；(2)若a 与m 平行，求实数λ的值． 解：(1)因为a ＝(2,1)，b ＝(1,1)， 所以a ＋b ＝(2,1)＋(1,1)＝(3,2)． (2)因为b ＝(1,1)，c ＝(5,2)，所以m ＝λb ＋c ＝λ(1,1)＋(5,2)＝(λ＋5，λ＋2)． 又因为a ＝(2,1)， 且a 与m 平行， 所以2(λ＋2)＝λ＋5， 解得λ＝1.层级二 应试能力达标1．已知平面向量a ＝(x,1)，b ＝(－x ，x 2)，则向量a ＋b ( ) A ．平行于x 轴B ．平行于第一、三象限的角平分线C ．平行于y 轴D ．平行于第二、四象限的角平分线解析：选C 因为a ＋b ＝(0,1＋x 2)，所以a ＋b 平行于y 轴． 2．若A (3，－6)，B (－5,2)，C (6，y )三点共线，则y ＝( ) A ．13 B ．－13 C ．9D ．－9解析：选D A ，B ，C 三点共线，(－8,8)(3，y＋6)，∴－8(y＋6)－8×3＝0，即y＝－9.3．已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么() A．k＝1且c与d同向B．k＝1且c与d反向C．k＝－1且c与d同向D．k＝－1且c与d反向解析：选D∵a＝(1,0)，b＝(0,1)，若k＝1，则c＝a＋b＝(1,1)，d＝a－b＝(1，－1)，显然，c与d不平行，排除A、B.若k＝－1，则c＝－a＋b＝(－1,1)，d＝a－b＝－(－1,1)，即c ∥d且c与d反向．4．已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(－1,0)，(3,0)，(1，－5)，则第四个顶点的坐标是()A．(1,5)或(5,5)B．(1,5)或(－3，－5)C．(5，－5)或(－3，－5)D．(1,5)或(5，－5)或(－3，－5)解析：选D设A(－1,0)，B(3,0)，C(1，－5)，第四个顶点为D，①若这个平行四边形为▱ABCD，D(－3，－5)；②若这个平行四边形为▱ACDB，D(5，－5)；③若这个平行四边形为▱ACBD，D(1,5)．综上所述，D点坐标为(1,5)或(5，－5)或(－3，－5)．5(6,1)(x，y)(－2，－3)x＋2y的值为________．解析：(6,1)＋(x，y)＋(－2，－3)＝(x＋4，y－2)，(x＋4，y－2)＝(－x－4，－y＋2)．∴x(－y＋2)－(－x－4)y＝0，即x＋2y＝0.答案：06(3，－4)(6，－3)(5－m ，－3－m )．若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数m 应满足的条件为________．解析：若点A ，B ，C(3,1)，(2－m,1－m )，∴3(1－m )≠2－m ，即m ≠12.答案：m ≠127．已知A (1,1)，B (3，－1)，C (a ，b )．(1)若A ，B ，C 三点共线，求a 与b 之间的数量关系；(2)C 的坐标．解：(1)若A ，B ，C(3，－1)－(1,1)＝(2，－2)(a －1，b －1)，∴2(b －1)－(－2)(a －1)＝0，∴a ＋b ＝2.(2)(a －1，b －1)＝(4，－4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝4，b －1＝－4，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝5，b ＝－3，∴点C 的坐标为(5，－3)．8.如图所示，在四边形ABCD 中，已知A (2,6)，B (6,4)，C (5,0)，D (1,0)，求直线AC 与BD 交点P 的坐标．解：设P (x ，y )(x －1，y )，(5,4)(－3,6)(4,0)．由B ，P ，D (5λ，4λ)．(5λ－4,4λ)，(5λ－4)×6＋12λ＝0.解得λ＝47，⎝⎛⎭⎫207，167，27 7，16 7.∴P的坐标为⎝⎛⎭⎫。

1.1 位移、速度和力 1.2 向量的概念填一填1.向量的定义及表示(1)定义：既有________，又有________的量．(2)表示：①有向线段：带有________的线段，它包含三个要素：________、方向、长度；②向量的表示：2．特殊向量(1)零向量：长度为________的向量叫做零向量，记作________．(2)单位向量：长度等于________个单位的向量叫做单位向量．(3)相等向量：长度________且方向________的向量叫做相等向量．(4)平行向量：方向________的非零向量叫做平行向量，如果向量a和b平行，记作________判一判1.2．体积、面积和时间都不是向量．( )3．零向量与任意向量都平行．( )4．若a∥b，b∥c，则a∥c.( )5．如果两个向量共线，那么其方向相同．( )6．实数分为正实数、零、负实数，所以实数是向量．( )7．把平面上所有单位向量的起点都平移到同一点时，它们的终点构成的图形是线段．( )8想一想1.提示：(1)向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移．(2)判断一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个因素．(3)向量与向量之间不能比较大小．2．如何理解相等向量？提示：任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．在平面上，两个长度相等且指向一致的有向线段表示同一个向量，因为向量完全由它的方向和模确定．3．共线向量与平行向量有无区别？提示：(1)平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别． (2)共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同． (3)平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同． 思考感悟：练一练1.下列物理量：⑦密度；⑧功．其中不是向量的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．已知向量a 如图所示，下列说法不正确的是( )A ．也可以用MN →表示 B ．方向是由M 指向N C ．起点是M D ．终点是M3．如图，在矩形ABCD 中，可以用同一条有向线段表示的向量是( ) A.DA →和BC → B.DC →和AB → C.DC →和BC → D.DC →和DA → 4.如图，以1 cm×3 cm 方格纸中的格点为始点和终点的所有向量中，以A 为始点，可以写出________个不同的向量．知识点一 向量的概念1.A ．温度含有零上温度和零下温度，所以温度是向量 B ．单位向量的长度都相等 C ．向量的模是一个非负实数 D ．零向量是长度为0的向量2．给出下列物理量：①密度；②温度；③速度；④质量；⑤功；⑥位移．下列说法正确的是( )A ．①②③是数量，④⑤⑥是向量B ．②④⑥是数量，①③⑤是向量C ．①④是数量，②③⑤⑥是向量D ．①②④⑤是数量，③⑥是向量知识点二向量的表示3.如图，在圆O 中，向量OB →，OC →，AO →是( ) A ．有相同起点的向量 B ．单位向量 C ．模相等的向量 D ．相等的向量4．已知飞机从A 地按北偏东30°的方向飞行2 000 km 到达B 地，再从B 地按南偏东30°的方向飞行2 000 km 到达C 地，再从C 地按西南方向飞行1 000 2 km 到达D 地．(1)作出向量AB →，BC →，CD →，DA →.(2)问D 地在A 地的什么方向？D 地距A 地多远？知识点三 共线向量、相等向量5．如图在等腰梯形ABCD 中．①AB →与CD →是共线向量． ②AB →＝CD →. ③AB →>CD →.以上结论中正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．36．四边形ABCD 为边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取两个交点作为向量，则与AC →平行且长度为22的向量个数有________个.综合知识 向量的模7.A ，B .点C 为小正方形的顶点，且|AC →|＝ 5.(1)画出所有的向量AC →；(2)求|BC →|的最大值与最小值．基础达标一、选择题1．下列各量中是向量的是( ) A ．时间 B ．加速度 C ．面积 D ．长度2．若a 为任一非零向量，b 的模为1，给出下列各式： ①|a |>|b | ②a ∥b ③|a |>0 ④|b |＝±1. 其中正确的是( ) A ．①④ B．③ C ．①②③ D．②③3．下列说法中正确的个数是( ) ①身高是一个向量②∠AOB 的两条边都是向量③温度含零上和零下温度，所以温度是向量 ④物理学中的加速度是向量 A ．0 B ．1 C ．2 D ．34．设e 1，e 2是两个单位向量，则下列结论中正确的是( ) A ．e 1＝e 2B ．e 1∥e 2C ．|e 1|＝|e 2|D ．以上都不对 5.如图，在正六边形ABCDEF 中，点O 为其中心，则下列判断错误的是( ) A.AB →＝OC → B.AB →∥DE →C ．|AD →|＝|BE →| D.AD →＝FC →6．下列说法中正确的是( ) A ．若|a |>|b |，则a ≤b B ．若|a |＝|b |，则a ＝b C ．若a ＝b ，则a ∥bD ．若a ≠b ，则a 与b 不是共线向量7．已知点O 固定，且|OA →|＝2，则A 点构成的图形是( ) A ．一个点 B ．一条直线 C ．一个圆 D ．不能确定 8.如图所示，四边形ABCD ，CEFG ，CGHD 是全等的菱形，则下列结论中不一定成立的是( )A ．|AB →|＝|EF →| B.AB →与FH →共线 C.BD →与EH →共线 D.CD →＝FG → 二、填空题9．如图，四边形ABCD 是菱形，则在向量AB →，BC →，CD →，DA →，DC →和AD →中，相等的有________对．10．如图，在△ABC 中，∠ACB 的平分线CD 交AB 于点D .若AC →的模为2，BC →的模为3，AD→的模为1，则DB →的模为________．11．给出下列说法： ①零向量是没有方向的； ②零向量的长度为0；③零向量的方向是任意的； ④单位向量的模都相等．其中正确的是________(填上序号)．12．下列说法中，正确的序号是________．①若AB →与C D →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点必在一条直线上； ②零向量都相等；③任一向量与它的平行向量不相等；④若四边形ABCD 是平行四边形，则A B →＝D C →；⑤共线的向量，若始点不同，则终点一定不同． 三、解答题13．如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，四边形ABDE 是矩形，找出与向量AB →相等的向量．14．一辆汽车从A 点出发向西行驶了100千米到达B 点，然后又改变方向向北偏西40°行驶了200千米到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达D 点．(1)作出向量AB →，BC →，CD →；(2)求|AD →|.能力提升 15.如图所示，四边形ABCD 中，AB ＝DC ，N ，M 分别是AD ，BC 上的点，且→＝MA →.求证：DN →＝MB →.16.如图，▱ABCD 中，O 是对角线AC ，BD 的交点，设点集S ＝{A ，B ，C ，D ，O )，向量集合T ＝{MN →|M ，N ∈S ，且M ，N 不重合}．若集合T 中的向量互不相等，试求集合T 中元素的个数．1．1 位移、速度和力 1．2 向量的概念一测 基础过关填一填1．(1)大小 方向(2)方向 起点 长度 |AB →| a →，b →，c →2．(1)0 0 (2)1 (3)相等 相同 (4)相同或相反 a ∥b 平行 判一判1．× 2.√ 3.√ 4.× 5.× 6.× 7.× 8.√ 练一练1．D 2.D 3.B 4.7 二测 考点落实1．解析：选项A 中，温度是数量，因此A 说法错误；选项B 中，单位向量的长度都为1，因此B 说法正确；选项C 中，由于|a |≥0，因此C 说法正确；选项D 说法正确．答案：A2．解析：由物理知识可得：密度、温度、质量、功只有大小，没有方向，因此是数量；而速度、位移既有大小又有方向，因此是向量．答案：D3．解析：∵|OB →|＝|OC →|＝|AO →|＝r (r 为圆O 的半径)，∴C 正确． 答案：C4．解析：(1)由题意，作出向量AB →，BC →，CD →，DA →，如图所示．(2)依题意知，三角形ABC 为正三角形，所以AC ＝2 000 km.又因为∠ACD ＝45°，CD ＝1 0002，所以△ACD 为等腰直角三角形，即AD ＝1 000 2 km ，∠CAD ＝45°，所以D 地在A 地的东南方向，距A 地1 000 2 km.5．解析：①因为AB →与CD →的方向不相同，也不相反，所以AB →与CD →不共线，即①不正确；②由①可知不正确；③因为两个向量不能比较大小，所以③不正确．答案：A 6.解析：如图所示，满足与AC →平行且长度为22的向量有AF →，F A →，EC →，CE →，GH →，HG →，IJ →，JI →共8个．答案：87．解析：(1)画出所有的向量AC →，如图所示．(2)由(1)所画的图知，①当点C 在C 1或C 2时，|BC →|取得最小值12＋22＝5；②当点C在点C 5或C 6时，|BC →|取得最大值42＋52＝41.∴|BC →|的最大值为41，最小值为 5. 三测 学业达标1．解析：加速度是既有大小又有方向的量，是向量．而时间、面积、长度是只有大小的量，是数量．答案：B2．解析：①中，|a |的大小不能确定，故①错误；②中，两个非零向量的方向不确定，故②错误；④中，向量的模是一个非负实数，故④错误；③正确．选B.答案：B3．解析：只有④物理学中的加速度既有大小又有方向是向量，①②③错误．④正确． 答案：B4．解析：单位向量的模都等于1个单位，故C 正确． 答案：C5．解析：由题图可知，|AD →|＝|FC →|，但AD →、FC →不共线，故AD →≠FC →，故选D. 答案：D6．解析：因为向量不能比较大小，所以A 项不正确；即便|a |＝|b |，但是向量的方向不确定，所以B 项不正确；向量相等的条件是方向相同且模相等，所以C 项正确；当向量不相等时，可以共线，故D 项不正确．答案：C7．解析：因为|OA →|＝2，所以点A 在以点O 为圆心、2为半径的圆上，故A 点构成的图形是一个圆．答案：C8．解析：由题意可知AB ＝EF ，AB ∥CD ∥FG ，CD ＝FG ，但是∠DEH 不一定等于∠BDC ，故BD 与EH 不一定平行，所以A ，B ，D 成立，C 不一定成立．答案：C9．解析：AB →＝DC →，BC →＝AD →.其余不相等． 答案：2 10.解析：如图，延长CD ，过点A 作BC 的平行线交CD 的延长线于点E . 因为∠ACD ＝∠BCD ＝∠AED ，所以|AC →|＝|AE →|. 因为△ADE ∽△BDC ，所以|AD →||DB →|＝|AE →||BC →|＝|AC →||BC →|，故|DB →|＝32.答案：3211．解析：由零向量的方向是任意的，知①错误，③正确；由零向量的定义知②正确；由单位向量的模是1，知④正确．答案：②③④12．解析：共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB →，CD →在同一条直线上，所以①错误；因为零向量的长度都为零，且其方向任意，所以零向量相等，所以②正确；因为平行向量的方向可以相同且大小也可以相等，所以任一向量与它的平行向量可能相等，所以③错误；画出图形，可得AB →＝DC →，所以④正确；由共线向量的定义可知：共线的向量，始点不同，终点可能相同，所以⑤不正确．答案：②④13．解析：由四边形ABCD 是平行四边形，四边形ABDE 是矩形，知DC →，E D →与A B →的长度相等且方向相同，所以与向量A B →相等的向量为D C →和E D →.14．解析：(1)向量AB →，BC →，CD →如图所示．(2)连接AD .由题意，易知AB →与CD →方向相反， 故AB →与CD →共线，即AB ∥CD .又|AB →|＝|CD →|，所以四边形ABCD 为平行四边形．所以|AD →|＝|BC →|＝200千米．15．证明：因为AB →＝DC →，所以|AB →|＝|DC →|且AB ∥CD ，所以四边形ABCD 是平行四边形．所以|DA →|＝|CB →|且DA ∥CB .同理可证，四边形AM 是平行四边形，所以|CM →|＝|NA →|，所以|MB →|＝|DN →|，DN ∥MB ，即DN →与MB →的模相等且方向相同，所以DN →＝MB →.16．解析：由题可知，S 中任意两点连成的有向线段共有20个，即AB →、AC →、AD →、AO →；BA →、BC →、BD →、BO →；CA →、CB →、CD →、CO →；DA →、DB →、DC →、DO →；OA →、OB →、OC →、OD →.由平行四边形的性质可知，共有8对向量相等，即AB →＝DC →，AD →＝BC →，DA →＝CB →，BA →＝CD →，AO →＝OC →，OA →＝C O →，D O →＝OB →，OD →＝BO →，又集合T 中向量互不相等，故集合T 中的元素共有12个．。

研卷知古今；藏书教子孙。

3.2平面向量基本定理【教学目标】1掌握平面向量基本定；2.了解平面向量基本定理的意义；【重点、难点】重点： 平面向量基本定理难点： 平面向量基本定理的应用【学法指导】1借助课本、资料独立完成。

画出疑难，组内合作探究。

2组内解决不了的问题由课代表汇总课前交任课老师。

一、自主学习1 给定平面内任意两个向量1e 、2e ，请同学们作出向量1232e e +、122e e -.2，设1e 、2e 是同一平面内两个不共线的向量，a 是这一平面内的任一向量，通过作图，发现任一向量a 都可以表示成1122e e λλ+.3.平面向量基本定理：4在不共线的两个向量中，90θ=，即两向量垂直是一种重要的情形，把一个向量分解成两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.例如把图中木块所受的重力分解为向下的力1F 和对斜面的压力2F .二 新知探究例1 已知梯形ABCD 中，//AB DC ，且2AB CD =，E 、F 分别是DC 、AB 的中点，设AD a =，AB b =试用,a b 为基底表示DC 、BC .例2设1e ,2e 是两个不共线向量，已知−→−AB =21e +k 2e , −→−CB =1e +32e , −→−CD =21e -2e , 若三点A, B, D 共线，求k 的值.解：例3 如图，在△ABC 中，−→−AB =a , −→−BC =b ，AD 为边BC 的中线，G 为△ABC 的重心，求向量AG三 巩 固 练 习1. 设O 是平行四边形ABCD 两对角线AC 与BD 的交点，下列向量组，其中可作为这个平行四边形所在平面表示所有向量的基底是（ ）①AD 与AB ②DA 与BC ③CA 与DC ④OD 与OBA.①②B.③④C.①③D.①④2. 已知向量1e 、2e 不共线，实数x 、y 满足()()1212342363x y e x y e e e -+-=+，则x y -的值等于（ ）A.3B.3-C.0D.23. 若O 、A 、B 为平面上三点，C 为线段AB 的中点，则（ ）A.OC OA OB =+B.()12OC OA OB =+ C.2AB OC = D.()12OC OA OB =- 4. 若a 、b 不共线，且()0,a b R λμλμ+=∈，则λ= ，μ= . 5. 已知两向量1e 、2e 不共线，122a e e =+，1232b e e λ=-，若a 与b 共线，则实数λ= ..5 已知向量1223a e e =-，1223b e e =+，其中1e 、2e 不共线，向量1229c e e =-，问是否存在这样的实数λ、μ，使d a b λμ=+与c 共线？6. 设OA 、OB 不共线，点P 在O 、A 、B 所在的平面内，且()()1OP t OA tOB t R =-+∈，求证：A 、B 、P 三点共线.四、归纳小结：通过这节课的学习。

高考数学总复习 平面向量及其线性运算学案 理 北师大版导学目标： 1.了解向量的实际背景.2.理解平面向量的概念、理解两个向量相等的含义.3.理解向量的几何表示.4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.5.掌握向量数乘的运算及其意义，理解两个向量共线的含义.6.了解向量线性运算的性质及其几何意义．自主梳理1．向量的有关概念(1)向量的定义：既有______又有______的量叫做向量．（2）表示方法：用 来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向.用字母a ，b ，…或用AB →，BC →，…表示．(3)模：向量的______叫向量的模，记作________或_______．(4)零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向是________．(5)单位向量：长度为____单位长度的向量叫做单位向量．与a 平行的单位向量e ＝____________.(6)平行向量：方向______或______的______向量；平行向量又叫____________，任一组平行向量都可以移到同一直线上．规定：0与任一向量______．(7)相等向量：长度______且方向______的向量． 2．向量的加法运算及其几何意义（1）已知非零向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB →=a ，BC →=b ，则向量AC →叫做a 与b的 ，记作 ，即 =AB →+BC →= ，这种求向量和的方法叫做向量加法的 .（2）以同一点O 为起点的两个已知向量a ，b 为邻边作OACB ，则以O 为起点的对角线OA →就是a 与b 的和，这种作两个向量和的方法叫做向量加法的 .(3)加法运算律a ＋b ＝________ (交换律)；(a ＋b )＋c ＝____________(结合律)． 3．向量的减法及其几何意义 (1)相反向量与a ____________、____________的向量，叫做a 的相反向量，记作______． (2)向量的减法①定义a －b ＝a ＋________，即减去一个向量相当于加上这个向量的____________．②如图，AB →＝a ，，AD →＝b ，则AC →＝ ，DB →＝____________.4．向量数乘运算及其几何意义(1)定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作______，它的长度与方向规定如下： ①|λa |＝______；②当λ>0时，λa 与a 的方向______；当λ<0时，λa 与a 的方向______；当λ＝0时，λa ＝______.(2)运算律设λ，μ是两个实数，则 ①λ(μa )＝________.(结合律)②(λ＋μ)a ＝________.(第一分配律) ③λ(a ＋b )＝__________.(第二分配律)(3)两个向量共线定理：向量b 与a (a ≠0)共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使b ＝λa .5．重要结论PG →＝13(P A →＋PB →＋PC →)⇔G 为△ABC 的________；P A →＋PB →＋PC →＝0⇔P 为△ABC 的________． 自我检测1.（2010·四川）设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC →＝16，|AB AC AB AC+-＝，|则|AM →|等于 ( )A ．8B ．4C ．2D ．1 2．下列四个命题：①对于实数m 和向量a ，b ，恒有m (a －b )＝m a －m b ；②对于实数m 和向量a ，b (m ∈R )，若m a ＝m b ，则a ＝b ； ③若m a ＝n a (m ，n ∈R ，a ≠0)，则m ＝n ； ④若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ， 其中正确命题的个数为 ( )A ．1B ．2C ．3D ．43.在ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →等于 ( )A ．－14a ＋14bB ．－12a ＋12bC ．a ＋12bD ．－34a ＋34b4.（2010·湖北）已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝m ，成立，则m 等于 ( )A ．2B ．3C ．4D ．55.（2009·安徽）在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ、μ∈R ，则λ＋μ＝______.探究点一 平面向量的有关概念辨析例1 ①有向线段就是向量，向量就是有向线段； ②向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；③向量AB →与向量CD →共线，则A 、B 、C 、D 四点共线； ④如果a ∥b ，b ∥c ，那么a ∥c . 以上命题中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．0 变式迁移1 下列命题中正确的有________(填写所有正确命题的序号)． ①|a |＝|b |⇒a ＝b ；②若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；③|a |＝0⇒a ＝0；④若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，则AB →＝DC →⇔四边形ABCD 是平行四边形． 探究点二 向量的线性运算例2（2011·开封模拟）已知任意平面四边形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点.求证：EF →＝12(AB →＋DC →)．变式迁移2（2011·深圳模拟）如图所示，若四边形ABCD 是一个等腰梯形，AB ∥DC ，M 、N 分别是DC 、AB 的中点，已知AB →＝a ，AD →＝b ，DC →＝c ，试用a 、b 、c 表示BC →，MN →，DN →＋CN →.探究点三 共线向量问题例3 如图所示，平行四边形ABCD 中，AD →＝b ，AB →＝a ，M 为AB 中点，N 为BD 靠近B 的三等分点，求证：M 、N 、C 三点共线.变式迁移3 设两个非零向量e 1和e 2不共线．(1)如果AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，CD →＝－8e 1－2e 2，求证：A 、C 、D 三点共线；（2）如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1－3e 2，CD →＝2e 1－k e 2，且A 、C 、D 三点共线，求k 的值．1.若点P 为线段AB 的中点，O 为平面内的任意一点，则OP →＝12(OA →＋OB →)．如图所示．2．证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．3．三点共线的性质定理：（1）若平面上三点A 、B 、C 共线，则AB →＝λBC →.（2）若平面上三点A 、B 、C 共线，O 为不同于A 、B 、C 的任意一点，则OC →＝λOA →＋μOB →，且λ＋μ＝1.(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．若O 、E 、F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是 ( )A.EF →＝OF →＋OE → Ｂ.ＥF →＝OF →－OE → Ｃ.EF →＝－OF →＋OE → D. EF →＝－OF →－OE →2.设a ，b 为不共线向量， AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，则下列关系式中正确的是 ( )A.AD →＝BC →B.AD →＝2BC →C.AD →＝－BC →D.AD →＝－2BC → 3．(2011·杭州模拟)设a ，b 是任意的两个向量，λ∈R ，给出下面四个结论： ①若a 与b 共线，则b ＝λa ； ②若b ＝－λa ，则a 与b 共线； ③若a ＝λb ，则a 与b 共线；④当b ≠0时，a 与b 共线的充要条件是有且只有一个实数λ＝λ1，使得a ＝λ1b . 其中正确的结论有 ( )A ．①②B ．①③C ．①③④D ．②③④4.在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →等于 ( ) A.23b ＋13c B.53c －23b C.23b －13c D.13b ＋23c 5.（2010·广东中山高三六校联考）在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ等于（ ）A.23B.13 C ．－13 D ．－23 题号 1 2 3 4 5 答案 6.（2009·湖南）如下图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若AD →＝xAB →＋yAC →，则x ＝______，y ＝__________.7.已知1OP ＝a ，OP 2→＝b ，P 1P 2→＝λPP 2→，则OP →＝_________.8. （2011·青岛模拟）O 是平面上一点，A ，B ，C 是平面上不共线三点，动点P 满足OP→＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ＝12时，则P A →·(PB →＋PC →)的值为________．三、解答题(共38分)9．(12分)若a ，b 是两个不共线的非零向量，a 与b 起点相同，则当t 为何值时，a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在同一条直线上？10.(12分)在△ABC 中，AD AE 11AB 3AC 4==，，BE 与CD 交于点P ，且AB →＝a ，AC →＝b ，用a ，b 表示AP →.11．(14分)(2011·黄山模拟)已知点G 是△ABO 的重心，M 是AB 边的中点．（1）求GA →＋GB →＋GO →；（2）若PQ 过△ABO 的重心G ，且，OA →＝a ，OB →＝b ，OP →＝m a ，OQ →＝n b ，求证：1m＋1n＝3.答案 自主梳理1.（1）大小 方 向 （2）有向线段 （3）长度 |a |AB →|(4)任意的 (5)1个 ±a|a| (6)相同 相反 非零 共线向量 平行 (7)相等 相同2.(1)和 a ＋b a ＋b AC →三角形法则 (2)平行四边形法则 (3)b ＋a a ＋(b ＋c ) 3.(1)长度相等 方向相反 －a (2)①(－b ) 相反向量 ②a ＋b a －b 4.(1)λa ①|λ||a | ②相同 相反 0 (2)①(λμ)a ②λa ＋μa ③λa ＋λb 5.(1)重心 (2)重心自我检测 1.2．C [①根据实数与向量积的运算可判断其正确；②当m ＝0时，m a ＝m b ＝0，但a与b 不一定相等，故②错误；③正确；④由于向量相等具有传递性，故④正确．]3.A [由AN →＝3NC →得4AN →＝3AC →＝3(a ＋b )，又AM →＝a ＋12b ，所以MN →＝34(a ＋b )－⎝⎛⎭⎫a ＋12b ＝－14a ＋14b .]4．B [由题目条件可知，M 为△ABC 的重心，连接AM 并延长交BC 于D ， 则AM →＝23AD →，①因为AD 为中线，AB →＋AC →＝2AD →＝mAM →，即2AD →＝mAM →，② 联立①②可得m ＝3.] 5.43解析 设AB →＝a ，AD →＝b ，那么AE →＝12a ＋b ，AF →＝a ＋12b ，又∵AC →＝a ＋b ，AC →＝23(AE →＋AF →)，即λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝43.课堂活动区例1 D [①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段；②不正确，若a 与b 中有一个为零向量时也互相平行，但零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；③不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行； ④不正确，如果b ＝0时，则a 与c 不一定平行． 所以应选D.]变式迁移1 ②③④解析 ①模相同，方向不一定相同， 故①不正确；②两向量相等，要满足模相等且方向相同，故向量相等具备传递性，②正确； ③只有零向量的模才为0，故③正确； ④AB →＝DC →，即模相等且方向相同，即平行四边形对边平行且相等．故④正确． 故应选②③④.例2 证明 方法一 如图所示，在四边形CDEF 中，EF →＋FC →＋CD →＋DE →＝0.①在四边形ABFE 中，EF →＋FB →＋BA →＋AE →＝0.② ①＋②得 (EF →＋EF →)＋(FC →＋FB →)＋(CD →＋BA →)＋(DE →＋AE →)＝0. ∵E 、F 分别是AD 、BC 的中点， ∴FC →＋FB →＝0，DE →＋AE →＝0. ∴2EF →＝－CD →－BA →＝AB →＋DC →， 即EF →＝12(AB →＋DC →)．方法二 取以A 为起点的向量，应用三角形法则求证．∵E 为AD 的中点，∴AE →＝12AD →.∵F 是BC 的中点，∴AF →＝12（AB →＋AC →)．又AC →＝AD →＋DC →，∴AF →＝12（AB →＋AD →＋DC →)＝12（AB →＋DC →)＋12AD →＝12（AB →＋DC →)＋AE → ∴EF →＝AF →－AE →＝12（AB →＋DC →)．即EF →＝12（AB →＋DC →)．变式迁移2 解 BC →＝BA →＋AD →＋DC →例3 解题导引 (1)在平面几何中，向量之间的关系一般通过两个指定的向量来表示，向量共线应存在实数λ使两向量能互相表示．(2)向量共线的判断(或证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线．证明 在△ABD 中BD →＝AD →－AB →.因为AB →＝a, AD →＝b ，所以BD →＝b －a .由共线向量定理知：CM →∥CN →，又∵CM →与CN →有公共点C ，∴M 、N 、C 三点共线．变式迁移3 （1）证明∵AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，CD →＝－8e 1－2e 2， ∴AC →＝AB →＋BC →＝e 1－e 2＋3e 1＋2e 2 ＝4e 1＋e 2＝12-（－8e 1－2e 2) ＝12-CD →． ∴AC →与CD →共线．又∵AC →与CD →有公共点C ，∴A 、C 、D 三点共线．（2）AC →＝AB →＋BC →＝（e 1＋e 2)＋（2e 1－3e 2) ＝3e 1－2e 2，∵A 、C 、D 三点共线，∴AC →与CD →共线．从而存在实数λ使得AC →＝λCD →即3e 1－2e 2＝λ(2e 1－k e 2)．由平面向量的基本定理得⎩⎪⎨⎪⎧3＝2λ，－2＝－λk .解之，得⎩⎨⎧λ＝32，k ＝43.∴k 的值为43.课后练习区1．B [由减法的三角形法则知EF →＝OF →－OE →.]3．D [题目考查两向量共线的充要条件，此定理应把握好两点：(1)与λ相乘的向量为非零向量，(2)λ存在且唯一．故②③④正确．]① ②5.6．1＋32 32解析作DF ⊥AB 交AB 的延长线于F ，设AB ＝AC ＝1⇒BC ＝DE ＝2，∵∠DEB ＝60°，∴BD ＝62. 由∠DBF ＝45°，得DF ＝BF ＝62×22＝32， 所以BF →＝32AB →⋅FD →＝32AC →，所以AD →＝AB →＋BF →＋FD →＝（312+）AB →＋32AC →.7.1λa ＋λ－1λb＝a ＋λ－1λ(b －a )＝1λa ＋λ－1λb .8．0解析 由OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ＝12，得AP →－12（AB →＋AC →)，即点P 为△ABC 中BC边的中点，∴PB →＋PC →＝0. ∴P A →·(PB →＋PC →)＝P A →·0＝0.9．解 设OA →＝a ，OB →＝t b ，OC →＝13(a ＋b )，∴AC →＝OC →－OA →＝－23a ＋13b ，……………………………………………………………(4分)AB →＝OB →－OA →＝t b －a .……………………………………………………………………(6分)要使A 、B 、C 三点共线，只需AC →＝λAB →，即－23a ＋13b ＝λt b －λa ，……………………………………………………………………(8分)∴⎩⎨⎧－23＝－λ，13＝λt .∴⎩⎨⎧λ＝23，t ＝12.……………………………………………………(11分)∴当t ＝12时，三向量终点在同一直线上．……………………………………………(12分)10．解取AE 的三等分点M ，使|AM |＝13|AE |，连结DM .设|AM |＝t ，则|ME |＝2t .又|AE |＝14|AC |，∴|AC |＝12t ，|EC |＝9t ， |AD ||AB |＝|AM ||AE |＝13，…………………………………………………………………………(4分) ∴DM ∥BE ，∴|PC ||DC |＝|PE ||DM |＝|EC ||MC |＝911.∴|DP |＝211|DC |.…………………………………………………………………………(8分)∴AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋211DC →＝13AB →＋211(DA →＋AC →)＝13AB →＋211⎝⎛⎭⎫－13AB →＋AC → ＝311AB →＋211AC →＝311a ＋211b .……………………………………………………………(12分) 11．(1)解 ∵点G 是△ABO 的重心， ∴GA →＋GB →＋GO →＝0.……………………………………………………………………(2分)(2)证明 ∵M 是AB 边的中点，∴OM →＝12(a ＋b )．11 ∵G 是△ABO 的重心，∴OG →＝23OM →＝13(a ＋b )． ∵P 、G 、Q 三点共线，∴PG →∥GQ →，且有且只有一个实数λ,使PG →＝λGQ →.…………………………………………………(5分)，∴(13－m )a ＋13b ＝λ[－13a ＋(n －13)b ]．…………………………………………………(8分) 又因为a 、b 不共线，所以⎩⎨⎧ 13－m ＝－13λ13＝λ(n －13)，……………………………………………………………………(10分) 消去λ，整理得3mn ＝m ＋n ，故1m ＋1n＝3.……………………………………………(14分)。