天津市红桥区2016-2017学年高二上学期期末数学试卷(文科)Word版含解析

天津市红桥区2016-2017学年高二上学期期末考试数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.圆心为()1,3O -，半径为2的圆的方程为（ ）A ．()()22132x y -++= B ．()()22134x y ++-= C ．()()22134x y -++= D ．()()22132x y ++-= 2.若抛物线22y mx =的准线方程为3x =-，则实数m 的值为（ ） A ．-6 B ．16-C ．16D ．6 3.已知圆的一般方程为22240x y x y +-+=，则该圆的半径长为（ ）A C ．3 D ．54.双曲线22163x y -=的渐近线方程为（ ）A ．12y x =±B ．2y x =± C.y x = D ．y = 5.已知z 轴上一点N 到点()1,0,3A 与点()1,1,2B --的距离相等，则点N 的坐标为（ ） A ．10,0,2⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．20,0,5⎛⎫- ⎪⎝⎭ C.10,0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．20,0,5⎛⎫ ⎪⎝⎭6.观察下列一组数据11a = 235a =+ 37911a =++413151719a =+++…则10a 从左到右第一个数是（ ）A ．91B ．89 C.55 D ．457.已知抛物线C ：22y x =-的焦点为F ，点()00,A x y 是C 上一点，若32AF =，则0x =（ ）A ．2B ．1 C.-1 D ．-28.已知双曲线一焦点坐标为()5,0，一渐近线方程为340x y -=，则双曲线离心率为（ ）A B 53 D ．54第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）9.若圆1C ：()()2240x a y a -+=>与圆2C ：(229x y +-=相外切，则实数a 的值为 ．10.椭圆中有如下结论：椭圆上()222210x y a b a b +=>>斜率为1的弦的中点在直线22220x y a b +=上，类比上述结论：双曲线()222210x y a b a b+=>>上斜率为1的弦的中点在直线 上．11.以点()0,2M 为圆心，并且与x 轴相切的圆的方程为 ．12.如图，棱长为1的正方体OABC D A B C -′′′′中，G 为侧面正方形BCC B ′′的中心，以顶点O 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则点G 的坐标为 ．13.已知双曲线22163x y -=的左右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线与左支相交于,A B 两点，如果122AF BF AB +=，则AB = ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）14. （本小题满分12分）（Ⅰ）ABC ∆的三个顶点分别为()1,5A -，()2,2B --，()5,5C ，求其外接圆的方程；（Ⅱ）求经过点()5,2-，焦点为)的双曲线方程.15. （本小题满分12分）已知两点()1,5A -，()3,7B ，圆C 以线段AB 为直径. （Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）若直线l ：40x y +-=与圆C 相交于,M N 两点，求弦MN 的长. 16. （本小题满分12分） 已知抛物线C ：24y x =-.（Ⅰ）写出抛物线C 的焦点坐标、准线方程、焦点到准线的距离；（Ⅱ）直线l 过定点()1,2P ，斜率为k ，当k 为何值时，直线l 与抛物线；只有一个公共点；两个公共点；没有公共点. 17. （本小题满分12分）已知椭圆C ：2212x y +=，12,F F 分别是椭圆C 的左、右焦点.（Ⅰ）求椭圆C 的长轴和短轴的长，离心率e ，左焦点1F ； （Ⅱ）已知P 是椭圆上一点，且12PF PF ⊥，求12F PF ∆的面积.试卷答案一、选择题1-5:BDBCD 6-8:ACD二、填空题9.220x y a b -= 11.()2224x y +-= 12.11,1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭13.三、解答题14.（Ⅰ）解法一：设所求圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，则由题意有5260228055500D E F D E F D E F -+++=⎧⎪--++=⎨⎪+++=⎩解得4220D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩故所求圆的方程为2242200x y x y +---=.（解法二：由题意可求得线段AC 的中垂线方程为2x =，线段BC 的中垂线方程为30x y +-=，∴圆心是两中垂线的交点()2,1，半径5r ==，故所求圆的方程为()()222125x y -+-=.） （Ⅱ）∵焦点坐标为)，焦点在x 轴上，∴可设双曲线方程为()222210,0x y a b a b -=>>.∵双曲线过点()5,2-，∴222541a b -=，得222254b a b =+.联立2222222546b a b a b c ⎧=⎪+⎨⎪+==⎩解得25a =，21b =，故所求双曲线方程为2215x y -=.15.解：（Ⅰ）由题意，得圆心C 的坐标为()1,6，直径2r ==r =， 所以，圆C 的方程为()()22165x y -+-=. （Ⅱ）设圆心C 到直线:40l x y +-=的距离为d ，则有d 由直径定理和勾股定理，有222915222MN r d ⎛⎫⎪=-=-= ⎪⎝⎭.所以2MN =，即MN =16.解：（Ⅰ）抛物线C 焦点()1,0F -，准线方程1x =，焦点到准线距离为2， （Ⅱ）由题意设直线l 的方程：2y kx k =-+由方程组224y kx k y x=-+⎧⎨=-⎩可得：24480ky y k ++-=（1） （1）当0k =时，由（1）得2y =代入24y x =-，1x =-，此时直线与抛物线只有一个公共点.（2）当0k ≠时，（1）的判别式()()2164481621k k k k ∆=--=---当0∆=时，1k =+或1k =当0∆>时，11k <<+，此时直线与抛物线有两个公共点；当0∆<时，1k >+或1k <-，此时直线与抛物线没有公共点.17.解：（Ⅰ）由椭圆22:12x C y +=知22a =，21b =，则a =1b =，故1c =，所以椭圆C 的长轴2a =，短轴22b =，离心率c e a ===，左焦点()11,0F -.（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得a =1b =，1c =.由椭圆的定义知122PF PF a +==， 在12Rt PF F ∆中，由勾股定理，得2222121244PF PF F F c +===②，2-①②，得122844PF PF =-=，122PF PF =∴，1212112122F PF S PF PF ∆==⨯=∴.。

天津市部分区2016～2017学年度第一学期期末考试高二数学（理科）试卷参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．11． 12． 13． 14．1 15. 13⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）解：（1）解法一：设圆的方程为 222()()x a y a r -+-=（）．依题意得222222(3),(3)(2),a a r a a r ⎧+-=⎨-+-=⎩ ……………………………………………………3分 解得 ，，所以圆的方程为 ． …………………………………………6分解法二：依题意易得线段的中垂线方程为 ．…………………………………3分联立方程组解得所以圆心 ，所以圆 的方程为 ．………………………………………6分（2）直线的倾斜角为∴ ………………………………………8分∴可设直线的方程为由（Ⅰ）可知圆心到直线的距离………………………………………11分解得∴直线的方程为 ………………………………………12分17．（12分）解： （1）5,3,4AC CB AB ===∴∴………………2分又四边形是矩形∴………………3分又∴平面又平面∴平面平面 ………………………………………6分（2）取的中点，连结，∴为正三角形∴ …………………………8分由（Ⅰ）可知平面平面∴平面平面又平面平面∴平面∴是在平面上的投影∴是直线与平面所成的角 …………………………10分在中，1A D CD ==∴11tan A D ACD CD ∠== ∴直线与平面所成角的正切值为. …………………………12分18．（12分）解： （1）抛物线的准线方程为：由抛物线的定义可知：∴∴抛物线的标准方程为． …………………………………………4分（2）由已知，，直线的方程为，……………………6分联立 消得：，所以 ……………………………8分所以 ， …………………10分又因为到直线的距离 ，所以1822OMN S ∆=⨯= ． ……………………………………12分 19．（12分） 解： （1）连接交于，连接 四边形为矩形∴为的中点，又是中点 ∴， ∴ （2）如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系,依题意得，，， ，，，， ………………………………………………4分易得， …………………5分cos ,||||CE AP CE AP CE AP ⋅<>==-⋅ ………………………6分 ∴所求异面直线与所成角的余弦值为………………………7分（3）由题意可知：平面的一个法向量为 …………………………8分 又可解得1(1,2,0),(0,1,)2AC AP ==故设平面的一个法向量为 则00n AC n AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即20102x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩不妨令，可得 ……10分 于是2cos ,3||||AB n AB n AB n ⋅<>==⋅ 所以二面角的余弦值为 …………………………12分20．（12分）解： (1)由题意可知： …………………………1分 …………………………2分∴∴∴椭圆的方程为： ……………………………3分(2) 设点，由方程组2210132x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩消去，整理得 ………………4分 求解可得， ………………………………5分AB ==………………………………6分 （3）由方程组2222101x y x y ab +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩消去，整理得222222()2(1)0a b x a x a b +-+-=设点，222222(2)4()(1)0a a b a b =--+⋅->， ……………………………7分以为直径的圆经过坐标原点，∴∴121212122()10x x y y x x x x +=-++=∴① ……………………………8分又 ∴由①可知 ………………………………10分∴∴ ∴ ……………………………12分。

天津市部分区2016～2017学年度第一学期期末考试高二数学（文科）试卷参考答案一、选择题：1．B 2．D 3．A 4．B 5．D 6．C 7．C 8．A 9．C 10．B二、填空题：11．«Skip Record If...» 12．4 13．«Skip Record If...» 14．«Skip Record If...»15．«Skip Record If...»三、解答题：16．（本小题满分12分）（1）直线«Skip Record If...»的斜率为«Skip Record If...»«Skip Record If...»，…………………………………………………1分当«Skip Record If...»时，直线«Skip Record If...»与«Skip Record If...»轴垂直，显然不与直线«Skip Record If...»垂直，∴«Skip Record If...»，∴直线«Skip Record If...»的斜率为«Skip Record If...»«Skip Record If...»…………………………………………………3分∵«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»，∴«Skip Record If...»………………………………………………………………4分即«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»，解得«Skip Record If...»………………………………………………6分（2）由（1）知，«Skip Record If...»：«Skip Record If...»，«Skip Record If...»：«Skip Record If...»以上二方程联立«Skip Record If...»，解得«Skip Record If...»，即圆心坐标为«Skip Record If...»…………8分圆心到直线«Skip Record If...»的距离为«Skip Record If...» (10)分∴ 圆的半径为4 ……………………………………………………………………11分∴ 所求圆的方程为«Skip Record If...»……………………………………12分17．（本小题满分12分）（1）∵«Skip Record If...»，且«Skip Record If...»，∴«Skip RecordIf...»…………………………………………2分又«Skip Record If...»……………………………………………………………………………………3分以上二式联立，解得«Skip Record If...»………………………………………………………5分∴ 椭圆«Skip Record If...»的方程«Skip Record If...»………………………………………………………6分（2）点«Skip Record If...»的坐标分别为«Skip Record If...»，∴直线«Skip Record If...»的斜率为«Skip Record If...»…………7分∵直线«Skip Record If...»与直线«Skip Record If...»平行，∴直线«Skip Record If...»的斜率为2，设直线«Skip Record If...»的方程为«Skip Record If...»……………8分与«Skip Record If...»联立消去«Skip Record If...»得«Skip Record If...»……………………………9分∵直线«Skip Record If...»与椭圆«Skip Record If...»相切∴«Skip Record If...»，解得«Skip Record If...»………11分∴直线«Skip Record If...»的方程为«Skip R ecord If...»．………………………………………………………12分18．（本小题满分12分）（1）∵«Skip Record If...»平面«Skip Record If...»，«Skip Record If...»平面«Skip Record If...»，∴«Skip Record If...»………………………2分∵«Skip Record If...»，«Skip Record If...»是平面«Skip Record If...»内的两条相交直线………………………4分∴«Skip Record If...»平面«Skip Record If...»∵«Skip Record If...»∥«Skip Record If...»，且«Skip Record If...»，∴四边形«Skip Record If...»是平行四边形∴«Skip Record If...»∥«Skip Record If...»…………………………………………………………5分∴ «Skip Record If...»平面«Skip Record If...»……………………………………………………………6分（2）连接«Skip Record If...»，在直角«Skip Record If...»中，«Skip Record If...»，在直角梯形«Skip Record If...»中，«Skip Record If...»∴«Skip Record If...»是边长为2的正三角形，取«Skip Record If...»中点«Skip Record If...»，连«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»且«Skip Record If...» (7)分∵«Skip Record If...»平面«Skip Record If...»，«Skip Record If...»平面«Skip Record If...»，∴«Skip Record If...»∵«Skip Record If...»是平面«Skip Record If...»内的两条相交直线，∴«Skip Record If...»平面«Skip Record If...»………………9分连«Skip Record If...»，∴«Skip Record If...»是直线«Skip Record If...»与平面«Skip Record If...»所成的角………………………10分在直角«Skip Record If...»中，«Skip Record If...»，在直角«Skip Record If...»中，«Skip Record If...»∴在直角«Skip Record If...»中，«Skip Record If...»，∴«Skip Record If...»«Skip Record If...»……………12分19．（本小题满分12分）（1）∵抛物线«Skip Record If...»的准线为«Skip Record If...»，∴«Skip Record If...»，∴«Skip Record If...»∴ 抛物线«Skip Record If...»的方程为«Skip Record If...»………………………………………………………2分∴ 抛物线«Skip Record If...»的焦点为«Skip Record If...»……………………………………………………3分过点«Skip Record If...»向准线«Skip Record If...»作垂线，垂足为«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»，依题意«Skip Record If...»∴ «Skip Record If...»，∴直线«Skip Record If...»的倾斜角为«Skip Record If...»，即直线«Skip Record If...»的斜率为«Skip Record If...»…………5分（或：设点«Skip Record If...»的横坐标为«Skip Record If...»，∵«Skip Record If...»为线段«Skip Record If...»的中点，∴«Skip Record If...»，∴«Skip Record If...»，易知点«Skip Record If...»的纵坐标«Skip Record If...»，∴«Skip Record If...»的斜率为«Skip Record If...»………5分）∴ 直线«Skip Record If...»的方程为«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»…………………6分（2）由«Skip Record If...»解得«Skip Record If...»或«Skip Record If...»………………………8分即«Skip Record If...»………………………………………………10分∴«Skip Record If...»…………………………………12分20．（本小题满分12分）（1）当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»，∴«Skip Record I f...»……………1分令«Skip Record If...»，解得«Skip Record If...»或«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»的变化情况如下表：…………4分«Skip Record If...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»2«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»+ 0 - 0 +«SkipRecordIf...»↗ 1 ↘-3 ↗∴«Skip Record If...»的单调递增区间为«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，单调递减区间为«Skip Record If...»…………5分当«Skip Record If...»时，极大值为1，当«Skip Record If...»时，极小值为-3 ………………………………6分（2）方程«Skip Record If...»即方程«Skip Record If...»，∵«Skip Record If...»显然不是方程的根，∴«Skip Record If...»恰有一个实数根，即方程«Skip Record If...»恰有一个实数根……………8分令«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»，令«Skip Record If...»«Skip Record If...»由（1）可知，函数«Skip Record If...»的单调递增区间为«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，单调递减区间为«Skip Record If...»………10分∵方程«Skip Record If...»恰有一个实数根，考虑到«Skip Record If...»，∴«Skip Record If...»或«Skip Record If...»即所求«Skip Record If...»的取值范围是«Skip Record If...»或«Skip Recor d If...»……………………………………………12分。

2016-2017学年天津市红桥区高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．01233333C C C C +++=（ ）A ．5B ．6C ．7D ．82．3A n =7×8×n ，则n=（ ） A ．7B ．8C ．9D ．103．2×2列联表中a ，b 的值分别为（ ）A ．94，96B ．52，50C ．52，54D ．54，524．从五件正品，一件次品中随机取出两件，则取出的两件产品中恰好是一件正品，一件次品的概率是（ ） A ． B ． C ．1D ．5．一位母亲记录了儿子3～7岁时的身高，并根据记录数据求得身高（单位：cm ）与年龄的回归模型为 7.273y x =+．若用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则下列叙述正确的是（ ）A ．身高一定是145cmB ．身高在145cm 以上C ．身高在145cm 左右D ．身高在145cm 以下6．某射手射击所得环数X 的分布列如表，已知X 的数学期望E （X ）=8.9，则y 的值为（ ）A ．0.8B ．0.4C ．0.6D ．0.27．在二项式（2x 2+）6的展开式中，常数项是（ ）A．50 B．60 C．45 D．808．全组有8个男同学，4个女同学，现选出5个代表，最多有2个女同学当选的选法种数是（）A．672 B．616 C．336 D．280二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分）.9．五个不同的点最多可以连成线段的条数为．10．二项式（+2）5的展开式中，第3项的系数是．11．已知（1﹣2x）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，那么a1+a2+…+a7=．12．某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，至少有1名女生当选的概率为．13．有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲不能和乙站在一起，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有种．三、解答题：本大题共4小题，共48分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．14．（12分）已知（3x+）n的展开式中各二项式系数之和为16．（1）求正整数n的值；（2）求展开式中x项的系数．15．（12分）5个人排成一排，在下列情况下，各有多少种不同排法？（Ⅰ）甲不在排头，也不在排尾；（Ⅱ）甲、乙、丙三人必须在一起．16．（12分）某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和．现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立．（Ⅰ）求至少有一种新产品研发成功的概率；（Ⅱ）若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元，求该企业可获利润的分布列和数学期望．17．（12分）现有某批次同一型号的产品共10件，其中有8件合格品，2件次品．（Ⅰ）某检验员从中有放回地连续抽取产品2次，每次随机抽取1件，求两次都取到次品的概率；（Ⅱ）若该检验员从中任意抽取2件，用X表示取出的2件产品中次品的件数，求X的分布列．2016-2017学年天津市红桥区高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．01233333C C C C +++=（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【考点】D5：组合及组合数公式． 【专题】5I ：概率与统计． 【分析】利用组合数公式求解． 【解答】解：01233333C C C C +++ =1+3+3+1 =8． 故选：D ．【点评】本题考查组合数公式的应用，是基础题，解题时要认真审题．2．3A n =7×8×n ，则n=（ ） A ．7B ．8C ．9D ．10【考点】D4：排列及排列数公式． 【专题】5I ：概率与统计． 【分析】利用排列数公式求解． 【解答】解：∵=7×8×n ，∴由排列数公式得n=9． 故选：C ．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意排列数公式的合理运用．3．（2013•北京校级模拟）2×2列联表中a，b的值分别为（）A．94，96 B．52，50 C．52，54 D．54，52【考点】BN：独立性检验的基本思想．【专题】11 ：计算题．【分析】根据所给的列联表，根据表中最后一列和最后一行是由本行和本列两个数据之和，列出关于a．b的方程，解方程即可．【解答】解：∵根据所给的列连表可以得到a+21=73，∴a=73﹣21=52∵b+46=73+27∴b=54综上可知a=52，b=54故选C．【点评】本题考查独立性检验的思想，本题解题的关键是理解列联表中a，b，c，d四个数据的位置，本题是一个基础题．4．从五件正品，一件次品中随机取出两件，则取出的两件产品中恰好是一件正品，一件次品的概率是（）A．B．C．1 D．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O：定义法；5I ：概率与统计．【分析】先求出基本事件总数n==15，再求出取出的两件产品中恰好是一件正品，一件次品包含的基本事件个数m==5，由此能求出取出的两件产品中恰好是一件正品，一件次品的概率．【解答】解：从五件正品，一件次品中随机取出两件，基本事件总数n==15，取出的两件产品中恰好是一件正品，一件次品包含的基本事件个数m==5，∴取出的两件产品中恰好是一件正品，一件次品的概率：p=．故选：A．【点评】本题考查概率的求法，考查等可能事件概率计算公式、排列组合等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．5．一位母亲记录了儿子3～7岁时的身高，并根据记录数据求得身高（单位：cm）与年龄的回归模型为 7.273=+．若用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，y x则下列叙述正确的是（）A．身高一定是145cm B．身高在145cm以上C．身高在145cm左右D．身高在145cm以下【考点】BQ：回归分析的初步应用．【专题】11 ：计算题．【分析】根据回归模型为 7.273=+，将x=10代入即可得到预测值．y x【解答】解：根据回归模型为 7.273=+，可得x=10时， 7.21073y=⨯+=145cmy x故可预测10岁时的身高在145cm左右故选C．【点评】本题考查回归模型的运用，解题的关键是理解回归模型的含义，从而合理预测．6．某射手射击所得环数X的分布列如表，已知X的数学期望E（X）=8.9，则y 的值为（）A．0.8 B．0.4 C．0.6 D．0.2【考点】CG：离散型随机变量及其分布列．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4L ：消元法；5I ：概率与统计．【分析】利用离散型随机变量的分布列和数学期望列出方程组，能求出y的值．【解答】解：∵X的数学期望E（X）=8.9，∴由射手射击所得环数X的分布列，得：，解得x=0.2，y=0.4．故选：B．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．7．在二项式（2x2+）6的展开式中，常数项是（）A．50 B．60 C．45 D．80【考点】DB：二项式系数的性质．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4O：定义法；5P ：二项式定理．【分析】利用二项式展开式的通项公式，令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项．【解答】解：二项式（2x2+）6展开式的通项公式为T r+1=26﹣r C6r x12﹣3r令12﹣3r=0，求得r=4，故展开式中的常数项为26﹣4C64=60．故选：B【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，是基础题．8．全组有8个男同学，4个女同学，现选出5个代表，最多有2个女同学当选的选法种数是（）A．672 B．616 C．336 D．280【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4O：定义法；5O ：排列组合．【分析】至多有两名女同学，分为三类：没有女同学，有1名女同学，2名女同学．【解答】解：至多有两名女同学，分为三类：没有女同学，有C85=56选法，1名女同学，有C41C84=280种选法，2名女同学，有C42C83=336种选法，根据分类计数原理可得56+280+336=672，故选：A【点评】本题考查计数原理的应用，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分）.9．五个不同的点最多可以连成线段的条数为10．【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4O：定义法；5O ：排列组合．【分析】根据组合的定义即可求出．【解答】解：五个不同的点最多可以连成线段的条数为C52=10，故答案为：10【点评】本题考查了简单的组合问题，属于基础题．10．二项式（+2）5的展开式中，第3项的系数是40．【考点】DC：二项式定理的应用．【专题】5P ：二项式定理．【分析】根据通项公式求得展开式中的第3项，可得第3项的系数．【解答】解：二项式（+2）5的展开式中，第3项为T3=••22=40•x﹣3，故第3项的系数是40，故答案为：40．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．11．已知（1﹣2x）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，那么a1+a2+…+a7=﹣2．【考点】DC：二项式定理的应用．【专题】11 ：计算题．【分析】本题由于是求二项式展开式的系数之和，故可以令二项式中的x=1，又由于所求之和不含a0，令x=0，可求出a0的值，代入即求答案．【解答】解：令x=1代入二项式（1﹣2x）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7得，（1﹣2）7=a+a1+…+a7=﹣1，令x=0得a0=1∴1+a1+a2+…+a7=﹣1∴a1+a2+…+a7=﹣2故答案为：﹣2【点评】本题主要考查二项式定理的应用，一般再求解有二项式关系数的和等问题时通常会将二项式展开式中的未知数x赋值为1或0或者是﹣1进行求解．本题属于基础题型．12．某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，至少有1名女生当选的概率为．【考点】C7：等可能事件的概率．【专题】5I ：概率与统计．【分析】设“恰有一名女生当选”为事件A，“恰有两名女生当选”为事件B，显然A、B为互斥事件，利用互斥事件的概率公式即可求解．【解答】解：设“恰有一名女生当选”为事件A，“恰有两名女生当选”为事件B，显然A、B为互斥事件．从10名同学中任选2人共有10×9÷2=45种选法（即45个基本事件），而事件A包括3×7个基本事件，事件B包括3×2÷2=3个基本事件，故P=P（A）+P（B）==故答案为：【点评】本题考查了古典概型与互斥事件相结合的问题，考查学生的计算能力，属于中档题．13．（2014•上海模拟）有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲不能和乙站在一起，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有1200种．【考点】D8：排列、组合的实际应用．【专题】12 ：应用题；5O ：排列组合．【分析】先排除甲的其余6人，因为乙、丙两位同学要站在一起，故捆绑再与其余5人进行全排，再将甲插空，由于甲不能和乙站在一起，故甲有5种插法，根据乘法原理即可得到结论．【解答】解：根据题意，先排除甲的其余6人，因为乙、丙两位同学要站在一起，故捆绑再与其余5人进行全排，共有=240种排法，再将甲插空，由于甲不能和乙站在一起，故甲有5种插法，所以根据乘法原理，不同的站法有240×5=1200种．故答案为：1200．【点评】本题考查排列知识，考查乘法原理的运用，考查学生分析解决问题的能力．三、解答题：本大题共4小题，共48分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．14．（12分）已知（3x+）n的展开式中各二项式系数之和为16．（1）求正整数n的值；（2）求展开式中x项的系数．【考点】DC：二项式定理的应用；DB：二项式系数的性质．【专题】5P ：二项式定理．【分析】（1）由题意可得展开式中各二项式系数之和2n=16，从而求得n的值．（2）在（3x+）n的展开式的通项公式中，令x的幂指数等于1，求得r的值，可得展开式中x项的系数．【解答】解：（1）由题意可得展开式中各二项式系数之和2n=16，∴n=4．=•34﹣r•，令4﹣=1，求（2）（3x+）n的展开式的通项公式为T r+1得r=2，∴展开式中x项的系数为×32=54．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．15．（12分）5个人排成一排，在下列情况下，各有多少种不同排法？（Ⅰ）甲不在排头，也不在排尾；（Ⅱ）甲、乙、丙三人必须在一起．【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4O：定义法；5O ：排列组合．【分析】（Ⅰ）甲不在排头，也不在排尾，先排甲，其他人任意排，问题得以解决，（Ⅱ）甲、乙、丙三人必须在一起，先把甲乙丙三人捆绑在一起，再和另外2人全排，问题得以解决【解答】解：（Ⅰ）若甲不在排头，也不在排尾，排列的方法有：A31A44=72种；（Ⅱ）甲、乙、丙三人必须在一起，排列的方法有：A33A33═36种．【点评】本题考查排列、组合的应用，注意特殊问题的处理方法，如相邻用捆绑法，不能相邻用插空法，属于中档题．16．（12分）（2014•湖南）某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和．现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立．（Ⅰ）求至少有一种新产品研发成功的概率；（Ⅱ）若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元，求该企业可获利润的分布列和数学期望．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．【专题】5I ：概率与统计．【分析】（Ⅰ）利用对立事件的概率公式，计算即可，（Ⅱ）求出企业利润的分布列，再根据数学期望公式计算即可．【解答】解：（Ⅰ）设至少有一种新产品研发成功的事件为事件A且事件B为事件A的对立事件，则事件B为一种新产品都没有成功，因为甲乙研发新产品成功的概率分别为和．则P（B）=，再根据对立事件的概率之间的公式可得P（A）=1﹣P（B）=，故至少有一种新产品研发成功的概率为．（Ⅱ）由题可得设企业可获得利润为X，则X的取值有0，120，100，220，由独立试验的概率计算公式可得，，，，，所以X的分布列如下：则数学期望E（X）==140．【点评】本题主要考查了对立事件的概率，分布列和数学期望，培养学生的计算能力，也是近几年高考题目的常考的题型．17．（12分）现有某批次同一型号的产品共10件，其中有8件合格品，2件次品．（Ⅰ）某检验员从中有放回地连续抽取产品2次，每次随机抽取1件，求两次都取到次品的概率；（Ⅱ）若该检验员从中任意抽取2件，用X表示取出的2件产品中次品的件数，求X的分布列．【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】11 ：计算题；33 ：函数思想；35 ：转化思想；5I ：概率与统计．【分析】（Ⅰ）求出任取一件取到次品的概率，然后求解检验员两次都取到次品的概率．（Ⅱ）判断X的可能值，求出概率，然后求解分布列即可．【解答】解：（Ⅰ）从该产品中任取一件取到次品的概率为：=，…（2分）故检验员两次都取到次品的概率为．…（5分）（Ⅱ）显然X的可能取值为0，1，2．…（6分）P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）=，…（10分）所以X的分布列为…（12分）【点评】本题考查离散性随机变量的分布列，独立重复试验概率的求法，考查计算能力．。

2016-2017学年天津市红桥区高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（4分）命题“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是（）A．∀x∈R，x2+1＜1 B．∃x∈R，x2+1≤1 C．∃x∈R，x2+1＜1 D．∃x ∈R，x2+1≥12．（4分）经过两点A（0，﹣1），B（2，4）的直线的斜率为（）A．B．C．D．3．（4分）若直线a，平面α满足a⊄α，则下列结论正确的是（）A．直线a一定与平面α平行B．直线a一定与平面α相交C．直线a一定与平面α平行或相交D．直线a一定与平面α内所有直线异面4．（4分）“a，b不相交”是“a，b异面”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件5．（4分）直线ax﹣5y﹣9=0与直线2x﹣3y﹣10=0平行，则实数a的值为（）A．B．C．D．6．（4分）若直线a平行于平面α，则下列结论正确的是（）A．直线a一定与平面α内所有直线平行B．直线a一定与平面α内所有直线异面C．直线a一定与平面α内唯一一条直线平行D．直线a一定与平面α内一组平行直线平行7．（4分）过两条直线l1：x﹣y+3=0与l2：2x+y=0的交点，倾斜角为的直线方程为（）A．B．C．D．8．（4分）设O是空间一点，a，b，c是空间三条直线，α，β是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是（）A．当a∩b=O且a⊂α，b⊂α时，若c⊥a，c⊥b，则c⊥αB．当a∩b=O且a⊂α，b⊂α时，若a∥β，b∥β，则α∥βC．当b⊂α时，若b⊥β，则α⊥βD．当b⊂α时，且c⊄α时，若c∥α，则b∥c二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）9．（4分）写出命题：“若一个四边形两组对边相等，则这个四边形为平行四边形”的逆否命题是．10．（4分）点P（1，﹣2）在直线4x﹣my+12=0上，则实数m=．11．（4分）已知直线l，m和平面β，若l⊥m，l⊥β，则m与β的位置关系是．12．（4分）经过点（﹣1，3）且平行于y轴的直线方程为．13．（4分）已知点A（﹣1，3），B（2，6），若在x轴上存在一点P满足|PA|=|PB|，则点P的坐标为．三、解答题（本大题共4小题，共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）14．（12分）完成下面问题：（1）求直线2x+5y﹣20=0分别在x轴、y轴上的截距；（2）求平行于直线x﹣y+2=0，且与它的距离为的直线的方程；（3）已知两点M（7，﹣1），N（﹣5，4），求线段MN的垂直平分线的方程．15．（12分）如图，棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M，N，E分别是棱A1B1，A1D1，C1D1的中点．（1）求证：AM∥平面NED；（2）求直线AM与平面BCC1B1所成角的正切值．16．（12分）点A（5，1）关于x轴的对称点为B（x1，y1），关于原点的对称点为C（x2，y2）．（1）求△ABC中过BA，BC边上的中点所在的直线方程；（2）求△ABC的面积．17．（12分）三棱锥P﹣ABC中，已知PA=PB=PC=AC=4，BC=AB=2，O为AC 中点．（1）求证：PO⊥平面ABC；（2）求异面直线AB与PC所成角的余弦值．2016-2017学年天津市红桥区高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（4分）命题“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是（）A．∀x∈R，x2+1＜1 B．∃x∈R，x2+1≤1 C．∃x∈R，x2+1＜1 D．∃x ∈R，x2+1≥1【解答】解：∵原命题“∀x∈R，有x2+1≥1”∴命题“∀x∈R，有x2+1≥1”的否定是：∃x∈R，使x2+1＜1．故选：C．2．（4分）经过两点A（0，﹣1），B（2，4）的直线的斜率为（）A．B．C．D．【解答】解：经过A（0，﹣1），B（2，4）两点的直线的斜率是=，故选：B．3．（4分）若直线a，平面α满足a⊄α，则下列结论正确的是（）A．直线a一定与平面α平行B．直线a一定与平面α相交C．直线a一定与平面α平行或相交D．直线a一定与平面α内所有直线异面【解答】解：∵直线a，平面α满足a⊄α，故直线a一定与平面α平行或相交，故选：C．4．（4分）“a，b不相交”是“a，b异面”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件【解答】解：若“a，b不相交”，则a，b平行或a，b异面，不是充分条件，若a，b异面，则a，b不相交，是必要条件，故选：B．5．（4分）直线ax﹣5y﹣9=0与直线2x﹣3y﹣10=0平行，则实数a的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵直线ax﹣5y﹣9=0与直线2x﹣3y﹣10=0平行，∴它们的斜率相等，∴=，∴a=．故选：A．6．（4分）若直线a平行于平面α，则下列结论正确的是（）A．直线a一定与平面α内所有直线平行B．直线a一定与平面α内所有直线异面C．直线a一定与平面α内唯一一条直线平行D．直线a一定与平面α内一组平行直线平行【解答】解：由直线a平行于平面α，知：在A中，直线a与平面α内的直线平行或异面，故A错误；在B中，直线a与平面α内的直线平行或异面，故B错误；在C中，直线a与平面α内的无数条直线平行，故C错误；在D中，由线面平行的性质定理得：直线a一定与平面α内一组平行直线平行，故D正确．故选：D．7．（4分）过两条直线l1：x﹣y+3=0与l2：2x+y=0的交点，倾斜角为的直线方程为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意得：，解得：，故直线方程是：y﹣2=（x+1），整理得：x﹣y+2+=0，故选：A．8．（4分）设O是空间一点，a，b，c是空间三条直线，α，β是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是（）A．当a∩b=O且a⊂α，b⊂α时，若c⊥a，c⊥b，则c⊥αB．当a∩b=O且a⊂α，b⊂α时，若a∥β，b∥β，则α∥βC．当b⊂α时，若b⊥β，则α⊥βD．当b⊂α时，且c⊄α时，若c∥α，则b∥c【解答】解：对于A，当a∩b=O且a⊂α，b⊂α时，若c⊥a，c⊥b，则c⊥α的逆命题为：当a∩b=O且a⊂α，b⊂α时，若c⊥α，则c⊥a，c⊥b，由直线与平面垂直的性质定理可知逆命题正确；对于B，当a∩b=O且a⊂α，b⊂α时，若a∥β，b∥β，则α∥β的逆命题为：当a∩b=O且a⊂α，b⊂α时，若α∥β，则a∥β，b∥β，有直线与平面平行的性质定理可知逆命题正确；对于C，当b⊂α时，若b⊥β，则α⊥β的逆命题为：当b⊂α时，若α⊥β，则b ⊥β，显然不正确，可能b与β不垂直，所以逆命题不正确；对于D，当b⊂α时，且c⊄α时，若c∥α，则b∥c的逆命题为：当b⊂α时，且c⊄α时，若b∥c，则c∥α；满足直线与平面平行的判定定理，正确；故选：C．二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）9．（4分）写出命题：“若一个四边形两组对边相等，则这个四边形为平行四边形”的逆否命题是若一个四边形不是平行四边形，则这个四边形的两组对边不都相等．【解答】解：命题：“若一个四边形两组对边相等，则这个四边形为平行四边形”的逆否命题是“若一个四边形不是平行四边形，则这个四边形的两组对边不都相等”．故答案为：若一个四边形不是平行四边形，则这个四边形的两组对边不都相等．10．（4分）点P（1，﹣2）在直线4x﹣my+12=0上，则实数m=﹣8．【解答】解：∵点P（1，﹣2）在直线4x﹣my+12=0上，∴4+2m+12=0，∴m=﹣8．故答案为﹣8．11．（4分）已知直线l，m和平面β，若l⊥m，l⊥β，则m与β的位置关系是m ⊂β或m∥β．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，取AA1为l，平面ABCD为β，则l⊥β，当m为AB时，l⊥m，l⊥β，m⊂β，当m为A1B1时，l⊥m，l⊥β，m∥．∴m与β的位置关系是m⊂β或m∥β．故答案为：m⊂β或m∥β．12．（4分）经过点（﹣1，3）且平行于y轴的直线方程为x=﹣1．【解答】解：经过点M（﹣1，3）且平行于y轴的直线为x=﹣1．故答案为x=﹣1．13．（4分）已知点A（﹣1，3），B（2，6），若在x轴上存在一点P满足|PA|=|PB|，则点P的坐标为（5，0）．【解答】解：设P（x，0），则，∴x=5，∴点P的坐标为（5，0），故答案为（5，0）．三、解答题（本大题共4小题，共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）14．（12分）完成下面问题：（1）求直线2x+5y﹣20=0分别在x轴、y轴上的截距；（2）求平行于直线x﹣y+2=0，且与它的距离为的直线的方程；（3）已知两点M（7，﹣1），N（﹣5，4），求线段MN的垂直平分线的方程．【解答】（本小题满分12分）解：（1）将2x+5y﹣20=0化为截距式+=1由此可知此直线在x轴、y轴上的截距分别为10与4（或直接令x=0，y=0得截距）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）因为所求直线平行于直线x﹣y+2=0所以可设所求直线方程为x﹣y+c=0这两条直线间的距离d==解c=0或c=4直线方程为x﹣y=0或x﹣y+4=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）（3）直线MN的斜率k MN==﹣MN的垂直平分线的斜率k=﹣=MN的中点坐标（1，）所以线段MN的垂直平分线的方程为y﹣=（x﹣1）整理得24x﹣10y﹣9=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）15．（12分）如图，棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M，N，E分别是棱A1B1，A1D1，C1D1的中点．（1）求证：AM∥平面NED；（2）求直线AM与平面BCC1B1所成角的正切值．【解答】（1）证明：连结ME﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）∵M、E分别是A1B1、D1C1中点∴A1D1∥ME，A1D1=ME又∵A1D1∥AD，A1D1=AD∴ME∥AD，ME=AD故得平行四边形ADEM﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）∴AM∥DE又∵DE⊂平面NEDAM⊄平面NED∴AM∥平面NED﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）解：取AB中点F，连结B1F，则B1F∥AM∴AM与平面BCC1B1所成角即为B1F平面BCC1B1所成角．∵AB⊥平面BCC1B1∴∠FB1B是直线AM与平面BCC1B1所成角﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）∵∴故直线AM与平面BCC1B1所成角的正切值为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）16．（12分）点A（5，1）关于x轴的对称点为B（x1，y1），关于原点的对称点为C（x2，y2）．（1）求△ABC中过BA，BC边上的中点所在的直线方程；（2）求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵点A（5，1）关于x轴的对称点为B（x1，y1），故B（5，﹣1），关于原点的对称点为C（x2，y2），故C（﹣5，﹣1），故AB的中点是（0，0），BC中点是（0，﹣1），过（5，0），（0，﹣1）的直线方程是：=，整理得：x﹣5y﹣5=0；（2）AB=|﹣1﹣1|=2，BC=|﹣5﹣5|=10，∵AB⊥BC，=AB•BC=×2×10=10．∴△ABC的面积S△ABC17．（12分）三棱锥P﹣ABC中，已知PA=PB=PC=AC=4，BC=AB=2，O为AC 中点．（1）求证：PO⊥平面ABC；（2）求异面直线AB与PC所成角的余弦值．【解答】解：（1）证明：由题意，∵PA=PB=PC=AC=4，AC的中点O，连接OP，OB，易得：OP⊥AC；∵，，∴AC2=AB2+BC2，故得△ABC为Rt△，∴OB=OC=2，PB2=OB2+OP2，∴OP⊥OB．又∵AC∩BO=O且AC、OB⊂面ABC，∴OP⊥平面ABC；（2）分别取PB，BC中点EF，连接OE，OF，EF，则AB∥OF，PC∥EF，故，∠EFO为异面直线AB与PC所成角（或补角）由（Ⅰ）知在直角三角形POB中，，又，；在等腰三角形EOF中，．所以，异面直线AB与PC所成角的余弦值为．。

天津市红桥区2015-2016学年高二数学上学期期末考试试题理（扫描版）高二数学（理）（2016、1）一、选择题（每小题3分，共36分） 题号 123456789101112答案 CBDCADCBADBC二、填空题（每小题3分，共24分）13．14．x+2y+2=0 15．042422=++-+y x y x16．17．x y 2±= 18．19．4 20．黄三、解答题（本大题共4小题，共40分） 21．（本小题6分）解：（1）由21l l ⊥，01221=-∴B A B A ，............................1 01=-∴a 即a =1......................2 (2) ⎩⎨⎧=-+=-030y x y x (3)交点坐标为（，） (4)设直线3l 的方程为：b kx y +=由直线3l 过点（2，4）和点（，），得直线3l 的方程为5x-y-6=0． (6)22．（本小题8分）解：x 2+y 2－6x －8y =0即(x －3)2+(y －4)2=25圆半径为5，圆心M （3，4） (2)设所求直线为y ＝kx ．由弦长为8，半径为5，得：圆心M 到该直线距离为3 (3)∴...............................................5∴，∴．∴所求直线为x y 247或．........................................................8 23．（本小题10分） 解: 椭圆焦点为F(0，4)，离心率为e= (3)所以双曲线的焦点为F(0，4)，离心率为2...............................................5 从而c=4，a=2，b=2........................................................................ (8)所以求双曲线方程为: (10)24．（本小题16分） 由题意： (2)............................................................... (4)............................................................. .6 (7) (8) (10) (11) (13) (14) (15) (16)。

天津市红桥区2015-2016学年高二数学上学期期末考试试题文（扫描版）高二数学（文）（2016、1）一、选择题（每小题3分，共30分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案CADCBADBBC二、填空题（每小题4分，共24分）11．12．x+2y+2=0 13．042422=++-+y x y x 14．32 15． 16．4三、解答题（本大题共4小题，共46分） 17．（本小题8分）解：（1）由21l l ⊥，01221=-∴B A B A ，............................2 01=-∴a 即a =1. (3)(2) ⎩⎨⎧=-+=-030y x y x (4)交点坐标为（，） (6)设直线3l 的方程为：b kx y +=由直线3l 过点（2，4）和点（，），得直线3l 的方程为5x-y-6=0． (8)18．（本小题11分）解：x 2+y 2－6x －8y =0即(x －3)2+(y －4)2=25圆半径为5，圆心M （3，4） (4)设所求直线为y ＝kx ．由弦长为8，半径为5，得：圆心M 到该直线距离为3 (5)∴...............................................7∴，∴．∴所求直线为x y 247或．........................................................11 19．（本小题10分） 解: 椭圆焦点为F(0，4)，离心率为e= (3)所以双曲线的焦点为F(0，4)，离心率为2...............................................5 从而c=4，a=2，b=2........................................................................ (8)所以求双曲线方程为: (10)20．（本小题17分） 由题意： (2)..................................................................4............................................................. .6 (7) (8) (11) (12) (14) (15) (16) (17)。

2016-2017学年天津市红桥区高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．01233333C C C C +++=（ ）A ．5B ．6C ．7D ．82．3A n =7×8×n ，则n=（ ） A ．7B ．8C ．9D ．103．2×2列联表中a ，b 的值分别为（ ）A ．94，96B ．52，50C ．52，54D ．54，524．从五件正品，一件次品中随机取出两件，则取出的两件产品中恰好是一件正品，一件次品的概率是（ ） A ． B ． C ．1D ．5．一位母亲记录了儿子3～7岁时的身高，并根据记录数据求得身高（单位：cm ）与年龄的回归模型为7.273y x =+．若用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则下列叙述正确的是（ ）A ．身高一定是145cmB ．身高在145cm 以上C ．身高在145cm 左右D ．身高在145cm 以下6．某射手射击所得环数X 的分布列如表，已知X 的数学期望E （X ）=8.9，则y 的值为（ ）A ．0.8B ．0.4C ．0.6D ．0.27．在二项式（2x 2+）6的展开式中，常数项是（ ） A ．50 B ．60 C ．45 D ．808．全组有8个男同学，4个女同学，现选出5个代表，最多有2个女同学当选的选法种数是（）A．672 B．616 C．336 D．280二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分）.9．五个不同的点最多可以连成线段的条数为．10．二项式（+2）5的展开式中，第3项的系数是．11．已知（1﹣2x）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，那么a1+a2+…+a7= ．12．某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，至少有1名女生当选的概率为．13．有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲不能和乙站在一起，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有种．三、解答题：本大题共4小题，共48分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．14．（12分）已知（3x+）n的展开式中各二项式系数之和为16．（1）求正整数n的值；（2）求展开式中x项的系数．15．（12分）5个人排成一排，在下列情况下，各有多少种不同排法？（Ⅰ）甲不在排头，也不在排尾；（Ⅱ）甲、乙、丙三人必须在一起．16．（12分）某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和．现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立．（Ⅰ）求至少有一种新产品研发成功的概率；（Ⅱ）若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元，求该企业可获利润的分布列和数学期望．17．（12分）现有某批次同一型号的产品共10件，其中有8件合格品，2件次品．（Ⅰ）某检验员从中有放回地连续抽取产品2次，每次随机抽取1件，求两次都取到次品的概率；（Ⅱ）若该检验员从中任意抽取2件，用X表示取出的2件产品中次品的件数，求X的分布列．高二（理）数学（1706）一、选择题每题4分二、填空题每题4分9. 1010. 4011. -212.8 1513.1200三、解答题15. （Ⅰ）若甲不在排头，也不在排尾，排列的方法有：A A1434............................4分=72种；.........................6分（Ⅱ）甲、乙、丙三人必须在一起，排列的方法有：A A3333............................10分=36种； ..........................12分（列式不唯一，以答案为准）16. 记E =｛甲组研发新产品成功｝，F =｛乙组研发新产品成功｝，由题意知，P E ()=23，P E ()=13,P F ()=35，P F ()=25，且事件E 与F ，E 与F ，E 与F ，E 与F 都是相互独立的。

2015-2016学年天津市红桥区高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题2分，共24分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．不等式的解集是（）A．（﹣∞，2）B．（2，+∞）C．（0，2）D．（﹣∞，0）∪（2，+∞）2．不等式＜0的解集为（）A．{x|x＜﹣1或1＜x＜2} B．{x|1＜x＜2}C．{x|﹣1＜x＜2且x≠1} D．{x|x＜2且x ≠1}3．不等式9x2+6x+1≤0的解集是（）A．{x|x≠﹣}B．{x|﹣≤x≤}C．∅D．{x|x=﹣}4．不等式|x+2|≤5的解集是（）A．{x|x≤1或x≥2}B．{x|﹣7≤x≤3}C．{x|﹣3≤x≤7}D．{x|﹣5≤x≤9} 5．下列不等式中，解集为实数集R的是（）A．x2+4x+4＞0 B．|x|＞0 C．x2﹣x+1≥0 D．﹣1＜6．不等式ax＞b的解集不可能是（）A．B．R C．D．∅7．关于x的不等式组有解，则实数a的取值范围是（）A．[﹣3，1] B．（﹣3，1）C．[﹣1，3] D．（﹣1，3）8．关于x的不等式ax﹣b＞0的解集为（1，+∞），则关于x的不等式＞0的解集为（）A．（﹣1，2）B．（1，2）C．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）9．已知如图，四边形ABCD为圆内接四边形，AB是直径，MN切⊙O于C点，∠BCM=38°，那么∠ABC的度数是（）A．38°B．52°C．68°D．42°10．如图所示，在⊙O中，弦AB与半径OC相交于点M，且OM=MC，AM=1.5，BM=4，则OC=（）A．2B．2C．2D．11．如图，AD，AE，BC分别与圆切D，E，F于点，延长AF与圆O交于另一点G，给出下列三个结论：①AD+AE=AB+BC+CA②△AFB～△ADG③AF•AG=AD•AE其中正确结论的序号是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③12．已知a∈[﹣1，1]，不等式x2+（a﹣4）x+4﹣2a＞0恒成立，则x的取值范围为（）A．（﹣∞，2）∪（3，+∞）B．（﹣∞，1）∪（2，+∞）C．（﹣∞，1）∪（3，+∞）D．（1，3）二、填空题：本大题共8个小题，每小题4分.、共32分.13．不等式组的解集是．14．不等式＜0解集为．15．不等式|5x﹣4|＜6的解集为．16．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，AB=2，DB=1，则DC=．17．如图所示，在平行四边形ABCD中，BC=24，E，F为BD的三等分点，则DN=．18．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=20，过C作△ABC的外接圆的切线CD，BD⊥CD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为．19．（几何证明选讲选做题）如图，圆O的半径为5cm，点P是弦AB的中点，OP=3cm，弦CD过点P，且=，则CD的长为cm．20．如图所示，AB是圆O的直径，直线MN切圆O于C，CD⊥AB，AM⊥MN，BN⊥MN，给出下列四个结论：①∠1=∠2=∠3；②AM•CN=CM•BN；③CM=CD=CN；④△ACM∽△ABC∽△CBN．则其中正确结论的序号是．三、解答题：本大题共4小题，共44分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 21．解下列不等式．（1）6x2﹣x﹣1≥0；（2）﹣x2+2x﹣＞0；（3）≥3；（4）≥1．22．解关于x的不等式＜0 （a∈R）．23．记关于x的不等式的解集为P，不等式|x﹣1|≤1的解集为Q．（Ⅰ）若a=3，求P；（Ⅱ）若Q⊆P，求正数a的取值范围．24．设函数f（x）=2|x﹣1|+x﹣1，g（x）=16x2﹣8x+1．记f（x）≤1的解集为M，g（x）≤4的解集为N．（Ⅰ）求M；（Ⅱ）当x∈M∩N时，证明：x2f（x）+x[f（x）]2≤．2015-2016学年天津市红桥区高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题2分，共24分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．不等式的解集是（）A．（﹣∞，2）B．（2，+∞）C．（0，2）D．（﹣∞，0）∪（2，+∞）【考点】其他不等式的解法．【分析】移项通分化为分式不等式，解答即可．【解答】解：由得：，即x（2﹣x）＜0，所以x＜0或x＞2故选D．2．不等式＜0的解集为（）A．{x|x＜﹣1或1＜x＜2} B．{x|1＜x＜2}C．{x|﹣1＜x＜2且x≠1} D．{x|x＜2且x ≠1}【考点】其他不等式的解法．【分析】利用平方差公式化简不等式，等价转化后利用穿根法求出不等式的解集．【解答】解：由题意得，则，所以（x+1）（x﹣1）（x﹣2）＜0，如图所示：由图得，不等式的解集是{x|x＜﹣1或1＜x＜2}，故选：A．3．不等式9x2+6x+1≤0的解集是（）A．{x|x≠﹣}B．{x|﹣≤x≤}C．∅D．{x|x=﹣}【考点】一元二次不等式的解法．【分析】把不等式化为（3x+1）2≤0，即可求出它的解集．【解答】解：不等式9x2+6x+1≤0可化为（3x+1）2≤0，解得x=﹣；所以该不等式的解集是{x|x=﹣}．故选：D．4．不等式|x+2|≤5的解集是（）A．{x|x≤1或x≥2}B．{x|﹣7≤x≤3}C．{x|﹣3≤x≤7}D．{x|﹣5≤x≤9}【考点】绝对值不等式的解法．【分析】利用绝对值表达式的解法求解即可．【解答】解：不等式|x+2|≤5，等价于﹣5≤x+2≤5，可得：﹣7≤x≤3．不等式|x+2|≤5的解集是：{x|﹣7≤x≤3}．故选：B．5．下列不等式中，解集为实数集R的是（）A．x2+4x+4＞0 B．|x|＞0 C．x2﹣x+1≥0 D．﹣1＜【考点】一元二次不等式的解法．【分析】分别利用不等式的解法确定即可．【解答】解：对于A的解集是{x|x≠﹣2}，对于B的解集是{x|x≠0}，对于C：x2﹣x+1=+＞0，解集是R，对于D的解集是{x|x≠0}，故选：C．6．不等式ax＞b的解集不可能是（）A．B．R C．D．∅【考点】其他不等式的解法．【分析】分a等于0，小于0，大于0三种情况考虑，分别求出不等式的解集，即可做出判断．【解答】解：当a=0时，b＞0，不等式无解；b＜0，不等式解集为R；当a＞0时，解得：x＞，此时不等式的解集为（，+∞）；当a＜0时，解得：x＜，此时不等式的解集为（﹣∞，），则不等式的解集不可能为（﹣∞，﹣）．故选A7．关于x的不等式组有解，则实数a的取值范围是（）A．[﹣3，1] B．（﹣3，1）C．[﹣1，3] D．（﹣1，3）【考点】其他不等式的解法．【分析】根据题意和一元一次不等式的解法求出不等式组的解集，由非空集合的条件列出不等式，由一元二次不等式的解法求出实数a的取值范围．【解答】解：由题意得，，则，∵关于x的不等式组有解，∴不等式的解集是[1+a2，4+2a），且1+a2＜4+2a，则a2﹣2a﹣3＜0，解得﹣1＜a＜3，∴实数a的取值范围是（﹣1，3），故选D．8．关于x的不等式ax﹣b＞0的解集为（1，+∞），则关于x的不等式＞0的解集为（）A．（﹣1，2）B．（1，2）C．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）【考点】其他不等式的解法．【分析】根据关于x的不等式ax﹣b＞0的解集为（1，+∞），可得a=b，a＞0，进而不等式＞0可化为：，由此可求不等式的解集．【解答】解：∵关于x的不等式ax﹣b＞0的解集为（1，+∞），∴a＞0，a﹣b=0∴a=b，a＞0∴不等式＞0可化为：∴（x+1）（x﹣2）＞0∴x＜﹣1，或x＞2∴关于x的不等式＞0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）故选C．9．已知如图，四边形ABCD为圆内接四边形，AB是直径，MN切⊙O于C点，∠BCM=38°，那么∠ABC的度数是（）A．38°B．52°C．68°D．42°【考点】弦切角．【分析】连结AC，由直径所对的圆周角为直角，结合三角形的内角和定理可得∠B+∠BAC=90°，根据弦切角定理可得∠BCM=∠BAC=38°，因此可以得到∠ABC=90°﹣∠BAC=52°．【解答】解：连结AC，可得∵直线MN切圆O于C，∴∠BCM=∠BAC=38°，∵AB是圆O的直径，∴∠BCA=90°，可得∠B+∠BAC=90°，由此可得∠B=90°﹣∠BAC=90°﹣38°=52°，即∠ABC=52°．故选：B10．如图所示，在⊙O中，弦AB与半径OC相交于点M，且OM=MC，AM=1.5，BM=4，则OC=（）A．2B．2C．2D．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】过C、O作直径CD，用OC表示出DM、CM的长，然后运用相交弦定理，列方程求解．【解答】解：如图，延长CO，交⊙O于D，则CD为⊙O的直径；∵OM=MC，∴OC=2MC=2OM，DM=3OM=3MC；由相交弦定理得：DM•MC=AM•BM，即：3MC2=1.5×4，解得MC=；∴OC=2MC=2，故选：B．11．如图，AD，AE，BC分别与圆切D，E，F于点，延长AF与圆O交于另一点G，给出下列三个结论：①AD+AE=AB+BC+CA②△AFB～△ADG③AF•AG=AD•AE其中正确结论的序号是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③【考点】弦切角；与圆有关的比例线段．【分析】由切线性质，能推导出AD+AE=AB+BC+CA；连接FD，若△AFB～△ADG，则有∠ABF=∠DGF，不成立；由切割定理可得AF•AG=AD2=AD•AE．【解答】解：在①中：由切线性质，得BD=BF，CF=CE，∴AD+AE=AB+BC+CA，故①正确；在②中：连接FD（如图），若△AFB～△ADG，则有∠ABF=∠DGF．通过图象结合圆的性质，得：∠ABF=∠BFD+∠BDF=2∠DGF，不成立，故②错误；在③中，由切线性质得AD=AE，∴由切割定理可得AF•AG=AD2=AD•AE，故③正确．故选：C．12．已知a∈[﹣1，1]，不等式x2+（a﹣4）x+4﹣2a＞0恒成立，则x的取值范围为（）A．（﹣∞，2）∪（3，+∞）B．（﹣∞，1）∪（2，+∞）C．（﹣∞，1）∪（3，+∞）D．（1，3）【考点】函数恒成立问题．【分析】把不等式看作是关于a的一元一次不等式，然后构造函数f（a）=（x﹣2）a+x2﹣4x+4，由不等式在[﹣1，1]上恒成立，得到，求解关于a的不等式组得x得取值范围．【解答】解：令f（a）=（x﹣2）a+x2﹣4x+4，则不等式x2+（a﹣4）x+4﹣2a＞0恒成立转化为f（a）＞0恒成立（a∈[﹣1，1]）．∴有，即，整理得：，解得：x＜1或x＞3．∴x的取值范围为（﹣∞，1）∪（3，+∞）．故选：C．二、填空题：本大题共8个小题，每小题4分.、共32分.13．不等式组的解集是（﹣1，5）．【考点】其他不等式的解法．【分析】根据题意和一元一次不等式的解法求出不等式组的解集．【解答】解：由题意得，，则，所以不等式的解集是（﹣1，5），故答案为：（﹣1，5）．14．不等式＜0解集为{x|﹣1＜x＜2} ．【考点】其他不等式的解法．【分析】由不等式不等式，可得（x﹣2）（x+1）＜0，由此解得它的解集．【解答】解：由不等式不等式，可得（x﹣2）（x+1）＜0，解得﹣1＜x＜2，故答案为{x|﹣1＜x＜2}．15．不等式|5x﹣4|＜6的解集为（﹣，2）．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】根据绝对值非负的性质，将不等式两边平方得到关于x的一元二次不等式，化简得（5x+2）（5x﹣10）＜0，即可求出原不等式的解集．【解答】解：∵|5x﹣4|≥0∴不等式|5x﹣4|＜6的两边平方，可得（5x﹣4）2＜36化简得（5x+2）（5x﹣10）＜0，解之得﹣＜x＜2因此，原不等式的解集为（﹣，2）故答案为：（﹣，2）16．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，AB=2，DB=1，则DC=3．【考点】三角形中的几何计算．【分析】由射影定理可得，AB2=BD•BC，数据代入可得结论．【解答】解：由射影定理可得，AB2=BD•BC，∵AB=2，DB=1，∴22=1×（1+DC），∴DC=3．故答案为：3．17．如图所示，在平行四边形ABCD中，BC=24，E，F为BD的三等分点，则DN=6．【考点】线段的定比分点．【分析】根据AD∥BC，得出=，=，从而求出AD与DN的关系，再由AD=BC求出DN的值．【解答】解：如图所示，平行四边形ABCD中，BC=24，E，F为BD的三等分点，所以DE=2BE，且BF=2DF；又AD∥BC，所以==，==2，可得BM=AD=2DN，所以DN=AD，又AD=BC，所以DN=BC=×24=6．故答案为：6．18．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=20，过C作△ABC的外接圆的切线CD，BD⊥CD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为5．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】利用直角△ABC的边角关系即可得出BC，利用弦切角定理可得∠BCD=∠A=60°．利用直角△BCD的边角关系即可得出CD，BD．再利用切割线定理可得CD2=DE•DB，即可得出DE．【解答】解：在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=20，∴BC=AB•sin60°=．∵CD是此圆的切线，∴∠BCD=∠A=60°．在Rt△BCD中，CD=BC•cos60°=，BD=BC•sin60°=15．由切割线定理可得CD2=DE•DB，∴，解得DE=5．故答案为5．19．（几何证明选讲选做题）如图，圆O的半径为5cm，点P是弦AB的中点，OP=3cm，弦CD过点P，且=，则CD的长为6cm．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】连接OA，根据垂径定理可知OP⊥AB，AP=AB，在Rt△AOP中运用勾股定理即可求出AP的长，再利用相交弦定理，可得结论．【解答】解：连接OA，∵点P是弦AB的中点，∴OP⊥AB，AP=AB，∵OA=5cm，OP=3cm，∴在Rt△AOP中，AP=4∴AP×PB=CP×PD∵∴16=×∴CD=故答案为：20．如图所示，AB是圆O的直径，直线MN切圆O于C，CD⊥AB，AM⊥MN，BN⊥MN，给出下列四个结论：①∠1=∠2=∠3；②AM•CN=CM•BN；③CM=CD=CN；④△ACM∽△ABC∽△CBN．则其中正确结论的序号是①③④．【考点】命题的真假判断与应用；弦切角；与圆有关的比例线段．【分析】利用圆周角判断①的正误；相似三角形判断②的正误；三角形全等判断③的正误；三角形相似判断④的正误．即可得出结论．【解答】解：∵AB是圆O的直径，CD⊥AB，∴∠2=∠3，∵直线MN切圆O于C，∴∠1=∠2，∴∠1=∠2=∠3，①对；利用△AMN∽△CNB得=，∴AM•BN=CM•CN，②错．利用△AMN≌△ADC，可得CM=CD，△CDB≌△CNB，可得CD=CN，∴CM=CD=CD，③对；利用等角的余角相等得到△ACM∽△ABC∽△CBN，④对．故答案为：①③④．三、解答题：本大题共4小题，共44分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 21．解下列不等式．（1）6x2﹣x﹣1≥0；（2）﹣x2+2x﹣＞0；（3）≥3；（4）≥1．【考点】其他不等式的解法；一元二次不等式的解法．【分析】（1）由一元二次方程的解法求出对应方程的根，由一元二次不等式的解法求出不等式的解集；（2）先化简不等式，由一元二次方程的解法求出对应方程的根，由一元二次不等式的解法求出不等式的解集；（3）先化简分式不等式，再等价转化为一元二次不等式组，由一元二次不等式的解法求出不等式的解集；（4）先化简分式不等式，再等价转化为对应不等式组，由穿根法求出高次不等式的解集．【解答】解：（1）由6x2﹣x﹣1=0得（3x+1）（2x﹣1）=0，解得x=或x=， (2)所以不等式6x 2﹣x ﹣1≥0 的解集为{x |x或x } (4)（2）由﹣x 2+2x ﹣＞0得3x 2﹣6x +2＜0，因为3＞0，且方程3x 2﹣6x +2=0的解是：x 1=，x 2=，所以原不等式的解集是{x |} (8)（3）由得，则，即，所以，解得，则不等式的解集是{x |} (12)（4）原不等式化为：，整理得0即，如图所以原不等式的解集为{x |x ≤1或2＜x ≤3或x ＞4} (16)22．解关于x 的不等式＜0 （a ∈R ）．【考点】其他不等式的解法．【分析】把不等式转化为同解不等式，对a 分类讨论解答即可．【解答】解：＜0⇔（x ﹣a ）（x ﹣a 2）＜0，①当a=0或a=1时，原不等式的解集为Φ；②当a ＜0或a ＞1时，a ＜a 2，此时a ＜x ＜a 2；③当0＜a ＜1时，a ＞a 2，此时a 2＜x ＜a ．综上，当a ＜0或a ＞1时，原不等式的解集为{x |a ＜x ＜a 2}；当0＜a ＜1时，原不等式的解集为{x |a 2＜x ＜a }；当a=0或a=1时，原不等式的解集为Φ．23．记关于x 的不等式的解集为P ，不等式|x ﹣1|≤1的解集为Q ．（Ⅰ）若a=3，求P ；（Ⅱ）若Q⊆P，求正数a的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用；其他不等式的解法；绝对值不等式的解法．【分析】（I）分式不等式的解法，可转化为整式不等式（x﹣a）（x+1）＜0来解；对于（II）中条件Q⊆P，应结合数轴来解决．【解答】解：（I）由，得P={x|﹣1＜x＜3}．（II）Q={x||x﹣1|≤1}={x|0≤x≤2}．由a＞0，得P={x|﹣1＜x＜a}，又Q⊆P，结合图形所以a＞2，即a的取值范围是（2，+∞）．24．设函数f（x）=2|x﹣1|+x﹣1，g（x）=16x2﹣8x+1．记f（x）≤1的解集为M，g（x）≤4的解集为N．（Ⅰ）求M；（Ⅱ）当x∈M∩N时，证明：x2f（x）+x[f（x）]2≤．【考点】其他不等式的解法；交集及其运算．【分析】（Ⅰ）由所给的不等式可得①，或②，分别求得①、②的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）由g（x）≤4，求得N，可得M∩N=[0，]．当x∈M∩N时，f（x）=1﹣x，不等式的左边化为﹣，显然它小于或等于，要证的不等式得证．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=2|x﹣1|+x﹣1≤1 可得①，或②．解①求得1≤x≤，解②求得0≤x＜1．综上，原不等式的解集为[0，]．（Ⅱ）证明：由g（x）=16x2﹣8x+1≤4，求得﹣≤x≤，∴N=[﹣，]，∴M∩N=[0，]．∵当x∈M∩N时，f（x）=1﹣x，∴x 2f （x ）+x [f （x ）]2=xf （x ）[x +f （x ）]=﹣≤，故要证的不等式成立．2016年8月17日。