竞赛专题之平面几何

全国高中数学联赛竞赛大纲及全部定理内容一、平面几何1、数学竞赛大纲所确定的所有内容。

补充要求：面积和面积方法。

2、几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。

3、几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点。

到三角形三顶点距离的平方和最小的点--重心。

三角形内到三边距离之积最大的点--重心。

4、几何不等式。

5、简单的等周问题。

了解下述定理：在周长一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的面积最大。

在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大。

在面积一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的周长最小。

在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。

6、几何中的运动：反射、平移、旋转。

7、复数方法、向量方法。

平面凸集、凸包及应用。

二、代数1、在一试大纲的基础上另外要求的内容：周期函数与周期，带绝对值的函数的图像。

三倍角公式，三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。

2、第二数学归纳法。

递归，一阶、二阶递归，特征方程法。

函数迭代，求ｎ次迭代，简单的函数方程。

3、ｎ个变元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及应用。

4、复数的指数形式，欧拉公式，棣美弗定理，单位根，单位根的应用。

5、圆排列，有重复的排列与组合，简单的组合恒等式。

6、一元n次方程（多项式）根的个数，根与系数的关系，实系数方程虚根成对定理。

7、简单的初等数论问题，除初中大纲中所包括的内容外，还应包括无穷递降法，同余，欧几里得除法，非负最小完全剩余类，高斯函数，费马小定理，欧拉函数，孙子定理，格点及其性质。

三、立体几何1、多面角，多面角的性质。

三面角、直三面角的基本性质。

2、正多面体，欧拉定理。

3、体积证法。

4、截面，会作截面、表面展开图。

四、平面解析几何1、直线的法线式，直线的极坐标方程，直线束及其应用。

2、二元一次不等式表示的区域。

3、三角形的面积公式。

4、圆锥曲线的切线和法线。

5、圆的幂和根轴。

五、其它抽屉原理。

容斤原理。

极端原理。

集合的划分。

人教版 初三数学竞赛专题：平面几何的定值问题（含答案）【例1】 如图，已知P 为正方形ABCD 的外接圆的劣弧AD⌒上任意一点.求证：PA PC PB为定值.【例2】 如图，AB 为⊙O 的一固定直径，它把⊙O 分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C 作弦CD ⊥AB ，∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ，当点C 在上半圆（不包括A ，B 两点）上移动时，点P （ ） A.到CD 的距离保持不变 B.位置不变C.等分DB⌒ D.随C 点的移动而移动【例3】 如图，定长的弦ST 在一个以AB 为直径的半圆上滑动，M 是ST 的中点，P 是S 对AB 作垂线的垂足.求证：不管ST 滑到什么位置，∠SPM 是一定角.【例4】 如图，扇形OAB 的半径OA =3，圆心角∠AOB =90°.点C 是AB⌒上异于A ，B 的动点，过点C 作CD ⊥OA 于点D ，作CE ⊥OB 于点E .连接DE ，点G ，H 在线段DE 上，且DG =GH =HE .（1）求证：四边形OGCH 是平行四边形；（2）当点C 在AB ⌒上运动时，在CD ，CG ，DG 中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度；（3）求证：CD 2+3CH 2是定值.P AB CDAPB【例5】 如图1，在平面直角坐标系xOy 中，点M 在x 轴的正半轴上，⊙M 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于C ，D 两点，且C 为弧AE 的中点，AE 交y 轴于G 点.若点A 的坐标为（-2，0），AE =8. （1）求点C 的坐标；（2）连接MG ，BC ，求证：MG ∥BC ；（3）如图2，过点D 作⊙M 的切线，交x 轴于点P .动点F 在⊙M 的圆周上运动时，PFOF的比值是否发生变化？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律.（图1）（图2）【例6】 如图，已知等边△ABC 内接于半径为1的圆O ，P 是⊙O 上的任意一点.求证：P A 2+PB 2+PC 2为定值.【能力训练】1.如图，点A ，B 是双曲线xy 3上的两点，分别经过A ，B 两点向x 轴，y 轴作垂线段.若S 阴影=1，则BOACE HG D A=+21S S _______.（第1题图） （第3题图） （第4题图）2.从等边三角形内一点向三边作垂线段，已知这三条垂线段的长分别为1，3，5，则这个等边三角形的面积是__________.3.如图，OA ，OB 是⊙O 任意两条半径，过B 作BE ⊥OA 于E ，又作OP ⊥AB 于P ，则定值OP 2+EP 2为_________.4.如图，在菱形ABCD 中，∠ABC =120°，F 是DC 的中点，AF 的延长线交BC 的延长线于点E ，则直线BF 与直线DE 所夹的锐角的度数为（ ）A.30°B.40°C.50°D.60°5.如图，在⊙O 中，P 是直径AB 上一动点，在AB 同侧作A A '⊥AB ，AB B B ⊥'，且A A '=AP ，B B '=BP .连接B A ''，当点P 从点A 移动到点B 时，B A ''的中点的位置（ ） A ．在平分AB 的某直线上移动 B.在垂直AB 的某直线上移动 C.在弧AMB 上移动 D.保持固定不移动（第5题图） （第6题图） 6.如图，A ，B 是函数xky =图象上的两点，点C ，D ，E ，F 分别在坐标轴上，且分别与点A ，B ，O 构成正方形和长方形.若正方形OCAD 的面积为6，则长方形OEBF 的面积是（ ） A.3 B.6 C.9 D.127.（1）经过⊙O 内或⊙O 外一点P 作两条直线交⊙O 于A ，B 和C ，D 四点，得到如图①~⑥所表示的六种不同情况.在六种不同情况下，P A ，PB ，PC ，PD 四条线段之间在数量上满足的关系式可以用同一个式子表示出来.请你首先写出这个式子，然后只就如图②所示的圆内两条弦相交的一般情况给出它的证明.A ABCDEFAB'（2）已知⊙O 的半径为一定值r ，若点P 是不在⊙O 上的一个定点，请你过点P 任作一直线交⊙O 于不重合的两点E ，F . PE ·PF 的值是否为定值？为什么？由此你发现了什么结论？请你把这一结论用文字叙述出来.8.在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC 的两顶点A ，C 分别在y 轴，x 轴的正半轴上，点O 在原点，现将正方形OABC 绕O 点顺时针旋转，当A 点第一次落在直线x y =上时停止旋转.旋转过程中，AB 边交直线x y =于点M ，BC 边交x 轴于点N .（1）求OA 在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中，当MN 与AC 平行时，求正方形OABC 旋转度数；（3）设△MBN 的周长为P ，在正方形OABC 旋转的过程中，P 值是否有变化？请证明你的结论.⑥⑤④③②①P(B )A PB9.如图，AB 是半圆的直径，AC ⊥AB ，AC =AB .在半圆上任取一点D ，作DE ⊥CD ，交直线AB 于点E ，BF ⊥AB ，交线段AD 的延长线于点F .（1）设弧AD 是x °的弧，若要点E 在线段BA 的延长线上，则x 的取值范围是_______.（2）不论点D 取在半圆的什么位置，图中除AB ＝AC 外，还有两条线段一定相等.指出这两条相等的线段，并予证明.（第9题图） （第10题图）（第11题图）10.如图，内接于⊙O 的四边形ABCD 的对角线AC 与BD 垂直相交于点K ，设⊙O 的半径为R .求证： （1）2222DK CK BK AK +++是定值； （2）2222DA CD BC AB +++是定值.11.如图，设P 是正方形ABCD 外接圆劣弧弧AB 上的一点，求证：DPCP BPAP ++的值为定值.1.等腰△ABC 的底边BC 为定长2，H 为△ABC 的垂心.当顶点A 在保持△ABC 为等腰三角形的情况下 改变位置时，面积S △ABC ·S △HBC 的值保持不变，则S △ABC ·S △HBC =________.2.已知A ，B ，C ，D ，E 是反比例函数xy 16=（x ＞0）图象上五个整数点（横、纵坐标均为整数），分别过这些点向横轴或纵轴作垂线段，以垂线段所在的正方形边长为半径作四分之一圆周的两条弧，组成如图所示的五个橄榄形（阴影部分），则这五个橄榄形的面积总和是__________（用含π的代数式表示）.P D CB A A折叠，使点A ，B 落在六边形ABCDEF 的内部，记∠C ＋∠D ＋ ）A. ∠1＋∠2＝900°－2α B. ∠1＋∠2＝1080°－2α C. ∠1＋∠2＝720°－α D. ∠1＋∠2＝360°－21α（第3题图） （第4题图）4.如图，正△ABO 的高等于⊙O 的半径，⊙O 在AB 上滚动，切点为T ，⊙O 交AO ，BO 于M ，N ，则弧MTN （ ）A.在0°到30°变化B.在30°到60°变化C.保持30°不变D.保持60°不变5.如图，AB 是⊙O 的直径，且AB =10，弦MN 的长为8.若MN 的两端在圆上滑动时，始终与AB 相交，记点A ，B 到MN 的距离分别为h 1，h 2，则∣h 1-h 2∣等于（ ）A.5B.6C.7D.8（第5题图） 12GF EDCHBAB6.如图，已知△ABC 为直角三角形，∠ACB =90°，AC =BC ，点A ，C 在x 轴上，点B 坐标为（3，m ）（m ＞0），线段AB 与y 轴相交于点D ，以P （1，0）为顶点的抛物线过点B ，D . （1）求点A 的坐标（用m 表示） （2）求抛物线的解析式；（3）设点Q 为抛物线上点P 至点B 之间的一动点，连接PQ 并延长交BC 于点E ，连接BQ 并延长交AC 于点F .试证明：FC （AC +EC ）为定值.7.如图，已知等边△ABC 内接于圆，在劣弧AB 上取异于A ，B 的点M .设直线AC 与BM 相交于K ，直线CB 与AM 相交于点N .证明线段AK 和BN 的乘积与M 点的选择无关.（第7题图） （第8题图）8.如图，设H 是等腰三角形ABC 两条高的交点，在底边BC 保持不变的情况下让顶点A 至底边BC 的距离变小，这时乘积S △ABC ·S △HBC 的值变小、变大，还是不变？证明你的结论.9.如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线10941812--=x x y 与x 轴的交点为点A ，与y 轴的交点为点B .过点B 作x 轴的平行线BC ，交抛物线于点C ，连接AC .现有两动点P ，Q 分别从O ，C 两点同时出发，点P 以每秒4个单位的速度沿OA 向终点A 移动，点Q 以每秒1个单位的速度沿CB 向点B 移动.点P 停止运动时，点Q 也同时停止运动.线段OC ，PQ 相交于点D ，过点D 作DE ∥OA ，交CA 于E ，射线QE 交x 轴于点F .设动点P ，Q 移动的时间为t （单位：秒）. （1）求A ，B ，C 三点的坐标和抛物线的顶点坐标；（2）当t 为何值时，四边形PQCA 为平行四边形？请写出计算过程； （3）当290<<t 时，△PQF 的面积是否总是定值？若是，求出此值；若不是，请说明理由； （4）当t 为何值时，△PQF 为等腰三角形，请写出解答过程.NKMB AC HCBA（第9题图） （第10题图） 10.已知抛物线C 1：12121+-=x x y ，点F （1,1）. （1）求抛物线C 1的顶点坐标；（2）若抛物线C 1与y 轴的交点为A ，连接AF ，并延长交抛物线C 1于点B ，求证：211=+BFAF . （3）抛物线C 1上任意一点P （x P ，y P ）（0＜x P ＜1），连接PF ，并延长交抛物线C 1于点 Q （x Q ，y Q ），试判断211=+QFPF 是否成立？请说明理由.11.已知A ，B 是平面上的两个顶点，C 是位于AB 一侧的一个动点，分别以AC ，BC 为边在△ABC 外作正方形ACDE 和正方形BCFG .求证：不论C 在直线AB 同一侧的任何位置，EG 的中点P 的位置不变. 参考答案例 1 延长PC 至E ，使CE ＝AP ，连结BE ，则△BCE ≌△BAP ，及△PBE 为等腰直角三角形，故PA PC CE PC PEPB PB PB++=== 例2 B 提示：连结AC ，BC ，可以证明P 为APB 的中点． 例3 ∵SP ⊥OP ，OM ⊥ST ，∴S ，M ，O ，P 四点共圆，于是∠SPM ＝∠SOM ＝12∠SOT 为定角． 例4 (1)连结OC 交DE 于M ，则OM ＝CM ， EM ＝DM ，而DG ＝ HE ，则HM ＝GM 故四边形OGCH 是平行四边形． (2)DG 不变．DE ＝OC ＝OA ＝3 .DG ＝13DE ＝13×3＝1． (3)设CD ＝x ，延长OG 交CD 于N ，则CN ＝DN ＝12 x ，229CE x =- ， 2214DN x = .∴22394ON x =-，而ON ＝32CH ，∴22143CH x =-．故CD 2＋3CH 2＝x 2＋3(4－13x 2)＝x 2＋12－x 2为定值． 例5 ⑴C (0，4) ⑵先求得AM ＝CM ＝5，连接MC 交AE 于N ，由△AO G ∽△ANM ，得OG AO MN AN =，O G ＝32，38OG OM OC OB ==，又∠BOC ＝∠G OM ，∴△G OM ∽△COB ，∠G MO ＝∠CBO ，得M G ∥BC ．⑶连结DM ，则DM ⊥PD ，DO ⊥PM ，DO 2＝OM •OP ，OP ＝163．动点F 在⊙M 的圆周上运动时，从特殊位置探求OFPF的值．当F 与点A 重合时，2316523OF AO PF AP ===-；当点F 与点B 重合时，8316583OF OB PF PB ===+；当点F 不与点A ，B 重合时，连接OF 、PF 、MF ，∴DM 2＝MO •MP ，∴FM 2＝MO •MP ，即FM MPOM FM=，又∠OMP ＝∠FMP ，∴△MFO ∽△MPF ，35OF MO PF MF ==，故OF PF 的比值不变，比值为35． 例6 ∠BPC ＝120°，在△BPC 中，由余弦定理得BC 2＝PB 2＋PC 2－2PB •PC ＝BC 2，又由上托勒密定理得BC •P A ＋PC •AB ，而AB ＝BC ＝AC ，∴P A ＝PB ＋PC ，从而P A 2＋ PB 2＋ PC 2＝ (PB ＋PC )2＋ PB 2＋ PC 2＝2 (PB 2＋PC 2＋PB •PC )＝2BC 2＝2×()23＝6．故P A 2＋PB 2＋PC 2为定值．A 级 1．4提示：∵S 1＋S 阴＝ S 2＋S 阴＝xy ＝3，∴S 1＋S 2＝2xy －2S 阴＝6－2＝4．2．273 提示：1＋3＋5＝9是等边三角形的高． 3．r 2提示：先考查OB 与OA 垂直的情形．4．D 提示：延长BF 交DE 于点M ，连接BD ，则△BCD 为等边三角形，BF 平分∠CBD ．∵F 为CD 中点，且AD ∥CE ，∴△ADF 与△ECF 关于点F 中心对称．∴CE ＝AD ＝CD ，∴∠CEM=30°，∠DMF=60°，5．D 提示：A′B′的中点均在⊙O 的上半圆的中点处． 6．B 提示：S 正方形OCAD ＝OD •OC ＝A A x y k =＝6，∴S OEBF ＝OE •OF ＝x B •y B k =＝6． 7．⑴略⑵当点P在⊙O 内时，过P 作直径CD ，则PE •PF ＝PD •PC ＝r 2－OP 2为定值；当点P 在⊙O 外时，PE •PF 为定值22OP r -．结论：过不在圆上的一个定点任作一条直线与圆相交，则这点到直线与圆相交点的两条线段长的积为定值． 8．⑴2π⑵22.5° ⑶P 值无变化．理由如下：如图，延长BA 交y 轴于E 点，可证明△OAE ≌△OCN ，得OE ＝ON ，AE ＝CN ，又∠MOE ＝∠MON ＝45°，OM ＝ON ，∴△OME ≌△OMN ，得MN ＝ME ＝AM ＋AE ＝AM ＋CN ．∴P ＝MN ＋BN ＋BM ＝AM ＋CM ＋CN ＋BN ＋BM ＝AB ＋AC ＝4．9．⑴0＜x ＜90 ⑵BE ＝BF 提示：连接BD ，可证明△BDF ∽△ADB ，△BDE ∽△ADC ． 10．⑴作OP ⊥BD 于P ，OQ ⊥AC 于Q ，连接AO ，则AO 2＝()()221122BK DK CK AK ⎡⎤⎡⎤-++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，又AK •CK ＝BK •DK ，得AK 2＋BK 2＋CK 2＋DK 2＝4R 2为定值． ⑵作直径DE ，连接AE ，BE ，CE ，AB 2＋CD 2＝4R 2，AD 2＋BC 2＝4R 2，故AB 2＋BC 2＋CD 2＋DA 2＝8K 2为定值． 11．设正方形的边长为a ，根据托勒密定理，对于四边形APBC 和四边形APBD ，有CP •a ＝AP •a ＋BP •2a ，DP •a ＝BP •a ＋AP •2a ，两式相加并整理得(CP ＋DP )a ＝(AP ＋BP )(a ＋2a )，从而21AP BPCP DP+=-+为定值．B 级1．1 提示：不妨设∠A 为锐角，AD ，BE ，CF 为△ABC 的三条高，H 为垂心，由AB ＝AC 知∠HBD ＝∠HCD ＝∠HAE ，∠HDC ＝∠CDA ＝90°，故R t △CHD ∽R t △ACD ．∴AD DC DC HD =，即AD •HD ＝DC 2＝14BC 2＝1．∴S △ABC •S △HBC ＝2111224BC AD BC HD BC ⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝1．当∠A ≥90°时，结论成立．2．13π－26 提示：∵A ，B ，C ，DE 是反比例函数y ＝16x(x ＞0)图象上五个整数点，由图象可知，这些点的横坐标分别为1，2，4，8，16．∴五个正方形的边长分别为1，3，4，2，1．∴这五人橄榄形的面积总和是2221111112211122222444424242πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦＝5π－10＋8π－16＝13π－26． 3．B 提示：如图，设F A 的延长线与CB 的延长线交于点P ，G A ′的延长线与HB ′的延长线交于点P ′．由对称性可知∠1＝2∠APP ′，∠2＝2∠BPP ′．∴∠1＋∠2＝2∠APB ．∵∠APB ＝540°－α，∴∠1＋∠2＝1080°－2α． 4．D 5．B 提示：如图，设AB 与MN 交于点C ，过点O 作OD ⊥MN 于D ，连接FO 并延长交EB 于G ．由垂径定理，得OD ＝2254-＝3．由△AFO ≌△B G O ，得AF ＝B G ，即h 1＝B G ．由AF ⊥MN ，BE ⊥MN ，得△FOD ∽△F G E ．∴12OD FO GE FG ==．∴E G ＝2OD ＝6，∴12h h AF BE -=-＝E G ＝6． 6．⑴A (3－m ，0) ⑵y ＝x 2－2x ＋1 ⑶过点Q 作QM ⊥AC 于M ，过点Q 作QN ⊥BC 于N ，设Q 点的坐标为(x ，x 2－2x ＋1)，则QM ＝CN ＝(x －1)2，MC ＝QN＝3－x ．∵QM ∥CE ，∴PQM ∽△PEC ．∴QM PMEC PC=，即()2112x x EC--=，得EC ＝2(x －1)．∵QN ∥CF ，∴△BQN ∽△BFC ．∴QN BN FC BC =，即()24134x x FC ---=，得FC ＝41x +．又AC ＝4，∴FC (AC ＋EC )＝()44211x x +-⎡⎤⎣⎦+＝8为定值． 7．提示：易证△ABK ∽△BNA ，故AK •BN ＝AB 2为定值，即AK 与BN 的乘积与M 点的选择无关． 8．提示：S △ABC •S △HBC ＝116BC 4，由于BC 是不变的，所以当点A 至BC 的距离变小时，乘积S △ABC •S △HBC 保持不变． 9．⑴A (18，0)，B (0，－10)，顶点坐标为(4，－989)⑵若四边形PQCA 为平行四边形，由于QC ∥P A ，故只要QC ＝P A 185． ⑶即可，而P A ＝18－4t ，CQ ＝t ，故18－4t ＝t ，得t ＝设点P 运动t s ，则OP ＝4t ，CQ ＝t ，0＜t ＜4.5．说明P在线段OA 上，且不与点O ，A 重合．由于QC ∥OP 知△QDC ∽△PDO ，故144QD QC t DP OP t ===．同理QC ∥AF ，故14QC CE AF EA ==，即14t AF =，∴AF ＝4t ＝OP ．∴PF ＝P A ＋AF ＝P A ＋OP ＝18．又点Q 到直线PF 的距离d ＝10，∴S △PQF ＝12•PF •d ＝12×18×10＝90．于是S △PQF 的面积总为定值90． ⑷由前面知道，P (4t ，0)，F (18＋4t ，0)，Q (8－t ，－10)，0≤t ≤4.5．构造直角三角形后易得PQ 2＝(4t －8＋t )2＋102＝，FQ 2＝(18＋4t －8＋t )2＋102＝(5t ＋10)2＋100．①若FP ＝FQ ，即182＝(5t ＋10)2＋100，故25(t ＋2)2＝224，(t ＋2)2＝24425．∵2≤t ＋2≤6.5，∴t ＋2＝244414255=．∴t ＝ 4145－2． ②若QP ＝QF ，即(5t －8)2＋100＝(5t ＋10)2＋100，即(5t －8)2＝(5t ＋10)2，无0≤t ≤4.5的t 满足． ③若PQ ＝PF ，即(5t －8)2＋100＝182，∴(5t －8)2＝224．由于224≈15，又0≤5t ≤22.5，∴－8≤5t －8≤14.5，14.52＝22984124⎛⎫= ⎪⎝⎭＜224．故没有t (0≤t ≤4.5)满足此方程．综上所述，当t ＝4145－2时，△PQ R 为等腰三角形． 10．⑴C 1的顶点坐标为(1，12). ⑵略 ⑶作PM ⊥AB 于M ，作QN ⊥AB 交AB 延长线于N ，∴PM ＝1－y P ，FM ＝1－x P ．在R t △PMF 中，PF 2＝(1－y P )2＋(1－x P )2＝1－2y P ＋y P 2＋1－2x P ＋x P 2，又∵点P 在抛物线上，∴y P ＝12x P 2－x P ＋1，∴PF 2＝1－x P 2＋2x P －2＋y P 2＋1－2x P ＋x P 2＝y P 2，∴PF ＝y P ，同理，QF ＝y Q ，易证△PMF ∽△QNF ，则PM QN PF QF =，∴11Q P y y PF QF --=，即11PF QF PF QF --=，∴11PF QF+＝2． 11．先从特殊情况出发．当△ABC 是等腰直角三角形时，点P 与点C 重合，此时点P 的位置在AB 的中垂线上，且到AB的距离为12AB ，如图①所示．下面就一般情况来证明上面的结论(结论②所示)．过C ，E ，G 分别作直线AB 的垂线CH ，EM ，G N ，垂足分别是H ，M ，N ．容易证明△AEM ≌△ACH ，△B G N ≌△BCH ．从而有AM ＝CH ＝BN ，EM ＝AH ，G N ＝BH ．这样，线段AB 的中点O 也是线段MN 的中点，连接OP ，则OP 是梯形EMN G 的中位线，从而OP ⊥AB ，OP ＝12(EM ＋G N )＝ 12(AH ＋BH )＝12AB ．∴无论点C 在AB 同一侧的位置如何，E G 中点P 的位置不变．。

高中奥林匹克竞赛数学平面几何100题——珍藏版高中数学联赛的几何题目有100道，难度较高。

这些题目涉及到各种不同的几何概念和定理，需要考生具备扎实的数学基础和丰富的解题经验。

在这些题目中，有许多需要考生进行证明，需要考生熟练掌握各种证明方法和技巧。

同时，还有一些需要考生进行画图，需要考生具备良好的几何直观和手绘能力。

这些几何题目的难度不仅仅在于其题目本身，还在于考试的时间限制。

考生需要在有限的时间内解决尽可能多的问题，因此需要考生具备快速解题的能力和良好的时间管理能力。

为了更好地应对这些几何题目，考生需要在平时的研究中注重基础知识的掌握和解题技巧的训练。

同时，还需要多做一些类似的练题目，以提高自己的解题水平和应对能力。

总之，高中数学联赛的几何题目难度较高，需要考生具备扎实的数学基础、丰富的解题经验、良好的几何直观和手绘能力、快速解题的能力和良好的时间管理能力。

考生需要在平时的研究中注重基础知识的掌握和解题技巧的训练，并多做类似的练题目，以提高自己的解题水平和应对能力。

1.研究证明角平分在这一部分中，我们将研究如何证明一个角被平分。

这是一个非常基础的几何问题，但是它的应用非常广泛。

我们将介绍几种不同的证明方法，包括使用角平分线的定义、角度相等、相似三角形等。

2.研究证明四点共圆在这一部分中，我们将研究如何证明四个点共圆。

这个问题也是几何学中的基础问题之一。

我们将介绍几种不同的证明方法，包括使用圆的定义、圆心角、垂直等。

3.研究证明角的倍数关系在这一部分中，我们将研究如何证明角的倍数关系。

这是一个非常重要的几何问题，因为它在许多几何证明中都有应用。

我们将介绍几种不同的证明方法，包括使用角度相等、相似三角形等。

4.证明线与圆相切在这一部分中，我们将研究如何证明一条线与一个圆相切。

这是一个非常基础的几何问题，但是它的应用非常广泛。

我们将介绍几种不同的证明方法，包括使用切线的定义、圆心角等。

5.证明垂直在这一部分中，我们将研究如何证明两条线段垂直。

高中数学竞赛平面几何题典型例题一、高中数学竞赛平面几何题那点事儿高中数学竞赛里的平面几何题啊，就像是一群神秘的小怪兽，有的看着简单，其实暗藏玄机，有的一上来就张牙舞爪，让你不知所措。

不过别怕，咱今儿个就来好好唠唠典型例题。

平面几何题里，三角形可是个大明星。

比如说有这么一道题：在三角形ABC中，AB = AC，角A = 120°，D是BC中点，DE垂直AB于E，求AE与BE的长度比。

这题啊，就考你等腰三角形的性质。

你看啊，因为AB = AC，角A = 120°，那角B和角C就都是30°。

D是BC中点，那AD就垂直BC。

再看三角形ADE，角AED = 90°，角A = 120°，那角ADE就是30°。

根据30°所对直角边是斜边一半这个性质，设AE = x，那AD就是2x。

又因为三角形ABD是直角三角形，角B = 30°，所以AB = 4x，那BE就等于3x，所以AE与BE的长度比就是1:3啦。

还有圆相关的平面几何题也很常见。

像有个圆O，半径为5，AB 是圆的一条弦，AB = 8，C是圆上一点，角ACB = 30°，求圆心O 到弦AB的距离。

这时候就得用到圆的性质和三角函数啦。

连接OA，OB，过O作OD垂直AB于D。

因为OD垂直AB，D就是AB中点，所以AD = 4。

在直角三角形AOD中，OA = 5，AD = 4，根据勾股定理就能算出OD = 3，这就是圆心到弦的距离。

再比如说四边形里的平面几何题。

有个平行四边形ABCD，对角线AC和BD相交于O点，E是AB中点，OE = 3，求平行四边形ABCD 的周长。

这题就需要利用平行四边形对角线互相平分的性质。

因为平行四边形对角线互相平分，所以O是AC中点。

又因为E是AB中点，所以OE是三角形ABC的中位线。

中位线长度是底边的一半，所以BC = 6。

因为平行四边形对边相等，所以AB = CD，AD = BC，那周长就是2×(AB + BC) = 2×(6 + 6)= 24。

一、选择题
1.在一个直角三角形中，如果一个锐角是另一个锐角的两倍，那么这两个锐角分别是多少
度？
A.30°, 60°（答案）
B.45°, 45°
C.20°, 70°
D.15°, 75°
2.一个正方形的对角线长为d，其边长为a，则a与d的关系是？
A. a = d/2
B. a = d/√2（答案）
C. a = d√2
D. a = 2d
3.在一个等腰三角形中，顶角为40°，则底角为多少度？
A.70°（答案）
B.60°
C.50°
D.80°
4.一个圆的半径为r，则其面积为？
A.πr
B.2πr
C.πr2（答案）
D.2πr2
5.在一个平行四边形中，如果一组邻角互补，则这个平行四边形一定是？
A.矩形（答案）
B.菱形
C.正方形
D.梯形
6.一个正六边形的内角和为多少度？
A.180°
B.360°
C.540°
D.720°（答案）
7.在一个圆中，如果一条弦等于半径，那么这条弦所对的圆心角为多少度？
A.30°
B.60°（答案）
C.90°
D.120°
8.一个梯形的上底为a，下底为b，高为h，则其面积为？
A.(a+b)h
B.(a+b)h/2（答案）
C.ah
D.bh。

奥数挑战平面与立体几何奥数挑战：平面与立体几何奥数（奥林匹克数学竞赛）作为一项旨在培养学生数学能力和解决问题能力的竞赛，常常涵盖了各个数学领域的题目。

其中，平面与立体几何一直是奥数考察的重要领域之一。

本文将介绍平面与立体几何的基本知识和解题思路，希望对参与奥数竞赛的同学有所帮助。

1. 平面几何平面几何是研究平面内点、线、面及其间的相互关系的数学分支。

在奥数竞赛中，常见的平面几何题目类型包括线段相交、平行线、垂直线、三角形性质等。

下面就以一些常见的平面几何题型为例进行介绍。

1.1 线段相交当题目给出若干条线段，要求求出它们相交的情况或者计算相交部分的长度时，可以利用线段相交的充分必要条件：两条线段分别有一个端点在对方的延长线上，并且另外两个端点夹在另外两条线段的延长线的两侧。

根据这个条件，可以推导出判断线段相交的方法，进而解决相交问题。

1.2 平行线和垂直线平行线和垂直线是平面几何中的基本概念。

当题目中出现平行线和垂直线时，可以利用平行线之间的性质和垂直线之间的性质来解题。

例如，利用平行线之间的性质可以判断两条线段是否平行，而利用垂直线之间的性质可以判断两条线段是否垂直。

1.3 三角形性质三角形是平面几何中最基本的图形之一。

在奥数竞赛中，常常需要根据三角形的性质来解题。

例如，利用三角形的内角和为180度的性质可以判断三角形是否成立；利用三角形的相似性质可以计算未知边长或者角度的值等。

2. 立体几何立体几何研究的是三维空间中的点、线、面及其间的相互关系。

在奥数竞赛中，立体几何的题目往往涉及到关于体积、表面积、相似、全等等的计算和推理。

下面就以一些常见的立体几何题型为例进行介绍。

2.1 体积计算计算立体图形的体积是立体几何中的基本题型之一。

常见的题目类型包括计算正方体、长方体、圆柱体、圆锥体、球体等图形的体积。

解决这类问题时，可以利用各种立体图形的体积公式来计算。

2.2 表面积计算计算立体图形的表面积也是立体几何中的一个重要题型。

【高中数学竞赛专题大全】竞赛专题9 平面几何（50题竞赛真题强化训练）一、填空题1．（2018·天津·高三竞赛）凸六边形ABCDEF 的6条边长相等，内角A 、B 、C 分别为134°、106°、134°.则内角E 是___________（用度数作答）.2．（2020·江苏·高三竞赛）在平面直角坐标系xOy 中，直线y kx =与圆C ：()()2227365x y -+-=交于A ，B ，则OA OB ⋅=__________．3．（2021·全国·高三竞赛）在ABC 中，ABC ∠所对的旁切圆与边AC 相切于点D ，ACB ∠所对的旁切圆与边AB 相切于点E ．若||1,||2AB AC ==，则ADE 面积的最大值为_______．4．（2021·浙江·高三竞赛）在ABC 中，AB AC BC >>，在M ，N 为AB 上两点，且AN AC =，BM BC =，点P 为ABC 的内心.若75MPN ∠=°，则ACB =∠______. 5．（2021·全国·高三竞赛）设三个不同的正整数a b c 、、成等差数列，且以555a b c 、、为三边长可以构成一个三角形，则a 的最小可能值为________.6．（2019·贵州·高三竞赛）如图，在△ABC 中，AB =30，AC =20，S △ABC =210，D 、E 分别为边AB 、AC 的中点，△BAC 的平分线分别与DE 、BC 交于点F 、G ，则四边形BGFD 的面积为________.7．（2018·山东·高三竞赛）若直线65280x y --=交椭圆22221x y a b+=（0a b >>，且2a 、b 为整数）于点A 、C ．设()0,B b 为椭圆的上顶点，而ABC 的重心为椭圆的右焦点2F ，则椭圆的方程为______．8．（2018·河北·高三竞赛）在△ABC 中，3AC =，sin sin (k 2)C k A =≥，则△ABC 的面积最大值为_____.9．（2021·全国·高三竞赛）已知直角梯形ABCD 中，//AB CD ，对角线AC 、BD 相交于O ，90DAB ∠=︒，P 、Q 分别是腰AD 、BC 上的点，且,BPA DPC AQB DQC ∠=∠∠=∠，若23AB CD =，则OP OQ=_________．10．（2019·山东·高三竞赛）△ABC 中，16,9AB BC CA ===.在△ABC 外部，到点B 、C 的距离小于6的点组成的集合，所覆盖平面区域的面积是______ .二、解答题11．（2021·全国·高三竞赛）已知ABC 满足60A ∠=︒，E 、F 分别为AB AC 、延长线上的点，且,BE CF BC ACE ==的外接圆与EF 交于不同于E 的点K ．证明：点K 在BAC ∠的角平分线上．12．（2021·全国·高三竞赛）如图，在平行四边形ABCD 中，1A ､1C 分别是边AB BC 、上的点，线段1AC ､1CA 交于点P ，1AA P 和1CC P △的外接圆的第二个交点Q 位于ACD △的内部.证明：PDA QBA ∠=∠.13．（2021·全国·高三竞赛）如图，设O 、H 分别为ABC 的外心与垂心，M 、N 分别为BH 、CH 的中点．BB '是ABC 的外接圆的一条直径，如果HONM 是一个圆的内接四边形，证明：12B N AC '=． 14．（2021·全国·高三竞赛）如图，已知锐角ABC 的外接圆为Γ，过B 、C 分别作圆Γ的切线交于点P ，P 在直线BC 、AC 、AB 上的投影分别为D 、E 、F ，DEF 的外接圆与BC 交于点N （不同于点D ），A 在BC 上的投影为M ．求证：BN CM =． 15．（2021·全国·高三竞赛）如图，已知等腰三角形ABC 中，AB AC =，M 为BC 的中点．D 为线段BM 上一点，E 、F 分别为AC AB 、上的点，且四边形AEDF 为平行四边形.BO 交DE 于点P ，CO 的延长线交DF 的延长线于点Q ，ABC 的外接圆O 交ADM △的外接圆于A 、K 两点．求证：K 、Q 、P 、O 四点共圆．16．（2021·全国·高三竞赛）如图，AE 、AF 为圆的两切线，ABC 为圆的一条割线，EF 为切点连线，D 为过C 、B 关于圆的切线的交点，证明：D 、E 、F 共线． 17．（2021·全国·高三竞赛）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，G 为重心，P 为射线AG 上一点，满足CPA CAB ∠=∠，Q 为射线BG 上一点，满足CQB ABC ∠=∠，证明：AQG 、BPG 的外接圆的另一个交点在AB 上．18．（2021·全国·高三竞赛）如图，设圆内接四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点P ，并且DA 与CB 交于Q ．若PQ AC ⊥，且E 是AB 的中点．求证：PE BC ⊥． 19．（2021·全国·高三竞赛）如图，在ABC 中，BC 最短，D 、E 分别在AB AC 、上满足BD CE BC ==，设I 是ABC 内心，O 是ADE 外心，求证：OI BC ⊥. 20．（2021·全国·高三竞赛）如图，锐角ABC 中，D 为边BC 中点，ABD △内切圆与边AB 切一点,E ACD 的内切圆与边AC 切于点F ，若四边形EDFG 为平行四边形，求证：G 在BAC ∠的平分线上.21．（2021·全国·高三竞赛）如图，已知圆O 是ABC 的外接圆，切线、BP CP 交于点P ，D 是BC 的中点，K 、L 分别在线段AB AC 、上，且满足KD LD ⊥，连结KP LP 、，求证：2BPC KPL ∠=∠．22．（2021·全国·高三竞赛）点P 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>外一点，过P 作椭圆两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，连结AB ，点M 、N 分别为PA 、AB 中点，连结MN 并延长交椭圆于点C ，连结PC 交椭圆于另一点D ，连结ND 并延长交PB 于Q ，证明：Q 为PB 的中点．23．（2021·全国·高三竞赛）如图，在锐角ABC 中，AB AC >，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，ADE 的外接圆与BCE 的外接圆交于点P （异于E ），ADE 的外接圆与BCD △的外接圆交于点Q （异于D ），证明：AP AQ =．24．（2019·江西·高三竞赛）如图所示，BE 、CF 分别是锐角三角形△ABC 的两条高，以AB 为直径的圆与直线CF 相交于点M 、N ，以AC 为直径的圆与直线BE 相交于点P 、Q .证明：M 、N 、P 、Q 四点共圆.25．（2019·山东·高三竞赛）已知：正方形ABCD 的边长为1点M 是边AD 的中点以M 为圆心AD 为直径作圆，点E 在线段AB 上，且直线CE 与圆相切.求△CBE 的面积. 26．（2018·江西·高三竞赛）如图，ABC 的内心为I ，D 、E 、F 分别是边BC 、CA 、AB 的中点，证明：直线DI 平分DEF 的周长．27．（2018·福建·高三竞赛）如图，在锐角ABC 中，E 、E 是边BC 上的点，ABC 、ABD △、ADC 的外心分别为O 、P 、Q ．证明：（1）APQ △ABC ；（2）若EO PQ ⊥，则QO PE ⊥．28．（2019·全国·高三竞赛）在ABC ∆中，设△C=90°，CD AB ⊥，垂足为D ，P 、Q 分别为ADC ∆、BDC ∆的内心，PQ 与CD 交于点K ，记ABC ∆的面积为S.证明：22111CK CD S-=. 29．（2018·全国·高三竞赛）如图，1O 与2O 的半径相等，交于X 、Y 两点. ABC ∆内接于1O ，且其垂心H 在2O 上，点Z 使得四边形CXZY 为平行四边形.证明：AB 、XY 、HZ 三线共点.30．（2021·全国·高三竞赛）如图，以AB 为直径的圆上有C 、D 两点，AC 、BD 两点的中点为E 、F ，直线EF 与直线AD 、BC 分别交于G 、H ，求证：以FG 为直径的圆和以EH 为直径的圆有一交点在CD 上．31．（2021·全国·高三竞赛）如图所示，在等腰ABC 中，AB AC =，设点D 是边AC 上一点，点E 是线段BD 的中点，延长AE 与底边BC 交于点F ，证明：若BF EF =，求证：2AE AB AD =⋅.32．（2021·全国·高三竞赛）如图，在锐角ABC 中，已知点D ､E ､F 分别是点A ､B ､C在边BC ､CA ､AB 上的投影，AEF ､BDF 的内心分别为1I ､2I ，1ACI ､2BCI 的外心分别为1O ､2O ，证明：1212//I I O O .33．（2021·全国·高三竞赛）如图，AB 是O 的一条弦，AB 的垂直平分线交O 于M N 、两点，交AB 于点D ．P 为O 内一点，DMP 外接圆交PN 于点,E ABE 的外接圆交MP 于点F ，且点M P E F 、、、在直线AB 同侧．证明：EF PN ⊥． 34．（2021·全国·高三竞赛）如图，锐角ABC 的外接圆为Γ，D 是A 在BC 上的射影，假设AD BC =，点M 为DC 中点，ADC ∠的角平分线与AC 交于点N ，Γ上一点P 满足//BP AC ．直线DN 与AM 交于点F ，直线PF 与圆Γ再交于点Q ．直线AC 与PNQ 的外接圆再交于点E ．证明：90DQE ∠=︒．35．（2021·浙江·高三竞赛）如图，O 是ABC 的外接圆，D 是弧BC （不含A ）上一点，S 为弧BAC 的中点.P 为线段SD 上一点，过P 作DB 的平行线交AB 于点E ，过P 作DC 的平行线交AC 于点F ，过O 作SD 的平行线交弧BDC 于点T .已知O 上的点Q 满足QAP ∠被AT 平分.证明：QE QF =.36．（2021·全国·高三竞赛）在锐角ABC 中，D 为边BC 上一定点，P 为AD 边上一动点，直线CP 交AB 于点Q ，DQ 交BP 于点X ．BCX 、CAX 、ABX 的三个外接圆分别交DQ 于X 外的另三点1Y 、2Y 、3Y ，过1Y 、2Y 、3Y 分别作DQ 垂线1l 、2l 、3l ，证明：1l 、2l 、3l 均过定点．37．（2021·全国·高三竞赛）在ABC 中，点P 、Q 、R 分别位于边BC 、CA 、AB 上，A ω、B ω、C ω分别是AQR 、BRP △、CPQ 的外接圆，线段AP 与A ω、B ω、C ω分别相交于点X 、Y 、Z .证明：YX BP XZ PC=． 38．（2021·全国·高三竞赛）点O 是ABC 的外接圆圆心，含点A 的BC 的中点为S ，点T 在不包含点A 的BC 上.点M 在圆O 上且//SM OT .点P 在线段SM 上.过点P 作MB 的平行线交AB 于点F ，过点P 作MC 的平行线交AC 于点E .点Q 在圆O 上，使得AT 是PAQ ∠的角平分线.证明：QE QF =.39．（2021·全国·高三竞赛）如图，在ABC 中，A B C ∠≥∠≥∠，且AD 为BC 边上的高，BE 为AC 边上的中线，CF 为C ∠的平分线，AD 与CF BE 、分别交于P R 、两点，BE 与CF 交于Q 点，令PQR ABC Sx S =．求证：16x <，且16是最好的界（即可以无限接近于16）． 40．（2021·全国·高三竞赛）设ABC 的内心为点I ，内切圆分别切BC CA AB 、、于D E F 、、．直线DF 与EI 交于点N ．连结并延长BN ，交AC 于点M ．求证：M 是AC 中点．41．（2021·全国·高三竞赛）已知O 上依次四点A ､B ､C ､D ，射线AB DC 、交于点P .射线AD BC 、交于点Q ，弦AC BD 、交于点R ，点M 为线段PQ 的中点.过点O 作MR 的垂线，分别PQ MR 、于点U ､V .过点U 作O 的切线UK ，与O 切于点K . 证明：（1）P ､Q ､V ､O 四点共圆；（2）K ､M ､R 三点共线.42．（2020·全国·高三竞赛）如图，在等腰ABC 中，AB BC =，I 为内心，M 为BI 的中点，P 为边AC 上一点，满足3AP PC =，PI 延长线上一点H 满足MH PH ⊥，Q 为ABC 的外接圆上劣弧AB 的中点．证明：BH QH ⊥．43．（2020·全国·高三竞赛）如图，在锐角△ABC 中，M 是BC 边的中点点P 在△ABC 内，使得AP 平分△BAC .直线MP 与△ABP 、△ACP 的外接圆分别相交于不同于点P 的两点D 、E .证明：若DE =MP ，则BC =2BP .44．（2019·江苏·高三竞赛）如图所示，D 是△ABC 中，边BC 的中点，K 为AC 与△ABD 的外接圆O 的交点，EK 平行于AB 且与圆O 交于E ，若AD =DE ，求证：AB AK KC +=.45．（2019·广西·高三竞赛）如图所示，AD 、AH 分别是△ABC （其中AB >AC ）的角平分线、高线，点M 是AD 的中点，△MDH 的外接圆交CM 于点E .求证：△AEB =90°. 46．（2019·福建·高三竞赛）如图，O ､H 分别为锐角△ABC 的外心垂心，AD △BC 于D ，G 为AH 的中点点K 在线段GH 上，且满足GK =HD ，连结KO 并延长交AB 于点E .（1） 证明：//EK BC ；（2） 证明：GE GC ⊥.47．（2019·全国·高三竞赛）如图，点A ､B ､C ､D ､E 在一条直线上顺次排列，满足BC =CD P 在该直线外，满足PB =PD .点K ､L 分别在线段PB ､PD 上，满足KC 平分△BKE ，LC 平分△ALD .证明：A ､K ､L ､E 四点共圆.48．（2021·全国·高三竞赛）如图，给定两个相交的圆1O 与2O ，A 、B 为1O 、2O 的交点，一动直线经过B 与1O 交于点C ，与2O 交于点D ，且B 在线段CD 内，过C的1O 的切线与过D 的2O 的切线相交于点M ，连结AM 交CD 于点E ，过点E 作DM 的平行线交AD 于点K ，求点K 的轨迹.（2021·全国·高三竞赛）ABC 的外接圆与内切圆分别为Γ、Ω，ΩA 为A -旁切圆． 49．证明：存在唯一圆1ω，1ω与Ω内切、与ΩA 外切，并且与Γ内切于点A ． 50．设圆1ω与ΩA 、Ω的切点分别为P 、Q ．如果BAQ CAP ∠=∠，求证：AB AC =．。

1、数学竞赛考纲二试1、平面几何基本要求：掌握高中数学竞赛大纲所确定的所有内容。

补充要求：面积和面积方法。

几个重要定理梅涅劳斯定塞瓦定托勒密定西姆松定几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的-费马。

到三角形三顶点距离平方和最小的-重。

三角形内到三边距离之积最大的-重心几何不等式简单等周问。

了解下述定理在周长一定边形的集合中，边形的面积最大在周长一定简单闭曲的集合中，圆的面积最大在面积一定边形的集合中，边形的周长最小在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小几何中的运动：反射、平移、旋转复方法向方法平凸凸及应用、代在一试大纲的基础上另外要求的内容周期函数与周期，绝对的函数的图像三倍角公，三角形的一些简单的恒等式，三角不等式第二数学归纳递，一阶、二阶递归特征方法函迭，次迭代，简单的函数方程个变元的平均不等式柯西不等排序不等及应用复数的指数形式，欧拉公式棣莫佛定，单位根，单位根的应用圆排列，有重复的排列与组合，简单的组合恒等式一次方程（多项式）根的个数，根与系数的关系，实系数方程虚根成对定理简单的初等数论问题，除初中大纲中所包括的内容外，还应包无穷递降同，几里得除法，非负最小完全剩余类高斯函费马小定欧拉函孙子定，格点其性质、立体几多面角，多面角的性质。

三面角、直三面角的基本性质正多面体，欧拉定理体积证法截面，会作截面、表面展开图、平面解析几直线法式，直线极坐标方，直线束及其应用二元一次不等式表示的区域三角形面积公圆锥曲线的切线和法线圆的幂和根轴。

．梅涅劳斯定理托勒密定极端原理。

集合的划分。

覆盖。

容斥原理。

5 、其它抽屉原理赛瓦定理及其逆定理。

西姆松定理)。

理西姆松线的存在性及性质( 平面几何一、梅涅劳斯定理1.数学家梅涅劳斯首先证明的。

它）定理（简称梅氏定理）是由古希腊梅涅劳斯（Menelaus点，那么E、D、、BC、CA或其延长线交于FABC指出：如果一条直线与△的三边AB所在直AB、CA、Z分别在△ABC的BC(CE/EA)=1(AF/FB)×(BD/DC)×。