辽宁省鞍山市第一中学等六校2015-2016学年高二上学期期末考试(理)数学试题

高二理科数学第页共8页12015—2016学年度第一学期高二年级期末统一考试理科数学试题（必修3、选修2-1）本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（必考题和选考题两部分）.考生作答时，将第Ⅰ卷的选择题答案填涂在答题卷的答题卡上（答题注意事项见答题卡），将第Ⅱ卷的必考题答在答题卷上.考试结束后，将答题卷交回.第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列命题中，真命题是A．B． x ∈R,2x >x 20,0x x R e∃∈≤C．a ＋b ＝0的充要条件是＝－1D．a >1，b >1是ab >1的充分条件ab2.已知命题,则命题的否定是2:,210P x R x ∀∈+>P A. B.012,2≤+∈∀x R x 012,200≤+∈∃x R x C. D.012,2<+∈∀x R x 012,200<+∈∃x R x 3.下列事件中:①任取三条线段，这三条线段恰好组成直角三角形；②从一个三角形的三个顶点各任画一条射线，这三条射线交于一点；③实数a ,b 不都为0，但a 2＋b 2=0；④明年12月28日的最高气温高于今年12月10日的最高气温.其中为随机事件的是A．①②③④B．①②④C．①③④D．②③④4.若某公司从四位大学毕业生甲、乙、丙、丁中录用两人，这四人被录用的机会均等，则甲被录用的概率为高二理科数学第页共8页2A．B．C．D．415．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为A．11B．12C．13D．146.气象台预报“本市明天降雨概率是70%”，下列说法正确的是A．本市明天将有70%的地区降雨B．本市明天将有70%的时间降雨C．明天出行带雨具的可能性很大D．明天出行不带雨具肯定要淋雨7.椭圆的左、右焦点分别为、,则椭圆上满足的点2212516x y +=1F 2F 21PF PF ⊥PA.有2个B.有4个C.不一定存在D.一定不存在8.某单位有老年人30人，中年人90人，青年人60人，为了调查他们的身体健康状况，采用分层抽样的方法从他们中间抽取一个容量为36的样本，则应抽取老年人的人数是A.5B.6C.7D.89．若直线：与曲线C ：恰好有一个公共点，则实数的值构成的l (1)1y a x =+-2y ax =a 集合为A.B. C. D.{}10-，4{2}5--，4{1}5--，4{10}5--，10.某学校举办了一次以班级为单位的广播操比赛，9位评委给高一(1)班打出的分数如茎叶图所示，统计员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x )无法看清，若记分员计算无误，则数字x 应该是A ．2B ．3C ．4D ．5高二理科数学第页共8页311.如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，CA ＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为C.D.453512．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为，且两条曲12F F 、线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，若，椭圆P 21F PF ∆1PF 110PF =与双曲线的离心率分别为，，则的取值范围是1e 2e 121e e +A．（1，）B．（，）C．（，）D．（，+）+∞43+∞65+∞109∞第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13.在如图的程序框图中，输入n ＝60，按程序运行后输出的结果是.高二理科数学第页共8页414.已知命题，，命题，若命:[0,3]p x ∀∈2223a x x ≥-+-2:,40q x R x x a ∃∈++=题“”是真命题，则实数的范围为.p q ∧a 15.若抛物线上的点A （2，m ）到焦点的距离为6，则p =________.)0(22>=p px y 16.一数学兴趣小组利用几何概型的相关知识做实验来计算圆周率，他们向一个边长为1米的正方形区域均匀撒豆，测得正方形区域有豆5001颗，正方形内切圆区域有豆3938颗，则他们所得的圆周率为________（保留三位有效数字）.三、解答题:本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)四棱锥P －ABCD 中，AB ⊥AD ，AD ⊥DC ，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AD ＝AB ＝21CD ＝1，M 为PB 的中点．求直线CM 与平面ABCD 所成角的正弦值．18.(本小题满分12分)已知椭圆：的离心率为，其中左焦点．C )0(12222>>=+b a by a x 22)0,2(-F （Ⅰ）求椭圆的方程；C （Ⅱ）若直线与椭圆交于不同的两点，且线段的中点在圆m x y +=C B A ,AB M 上，求的值．122=+y x m19.(本小题满分12分)如图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝4，点E在C1C上，且C1E＝3EC.(Ⅰ)证明A1C⊥平面BED；的余弦值．(Ⅱ)求二面角A1－DE－B5高二理科数学第页共8页高二理科数学第页共8页620.(本小题满分12分)某区四所高中进行高二期中联考，共有5000名学生参加，为了了解数学学科的学习情况，现从中随机的抽取若干名学生在这次测试中的数学成绩，制成如下频率分布表：(Ⅰ)根据上面的频率分布表，推出①，②，③，④处的数字分别为，____，____，____，____；（Ⅱ）在所给的坐标系中画出上的频率分布直方图；[80,150]（Ⅲ）根据题中的信息估计总体：①120分及以上的学生人数；②成绩在[126,150]中的概率.分组频数频率[80,90）①②[90,100）0.050[100,110）0.200[110,120）360.300[120,130）0.275[130,140）12③[140,150]0.050合计④频率/组距21.(本小题满分12分)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.(Ⅰ)从袋中随机取出两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(Ⅱ)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n<m+2的概率.7高二理科数学第页共8页高二理科数学第页共8页822.(本小题满分12分)已知椭圆C ：的焦距为4，其长轴长和短轴长之比为．)0(12222>>=+b a by a x 1:3（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设F 为椭圆C 的右焦点，T 为直线上纵坐标不为0的任意一)2,(≠∈=t t t x R 点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q .（ⅰ）若OT 平分线段PQ (其中O 为坐标原点)，求的值；t （ⅱ）在（ⅰ）的条件下，当最小时，求点T 的坐标．||||PQ TF高二理科数学第页共8页92015—2016学年度第一学期高二年级期末统一考试试题理科数学（必修3、选修2-1）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13、5；14、；15、8；16、.1[,4]33.15三、解答题:本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)四棱锥P －ABCD 中，AB ⊥AD ，AD ⊥DC ，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AD ＝AB ＝21CD ＝1，M 为PB 的中点．求直线CM 与平面ABCD 所成角的正弦值．解：以AD 、AB 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系A —xyz ．则由题意得A (0,0,0)、B (0,1,0)、D (1,0,0)、C (1,2,0)、P (0,0,1)、M .----4分11(0,,)22则=，平面ABCD 的法向量为=（0，0，1）MC 31(1,,)22-AP 若直线CM 与平面ABCD 所成角记为，q 题号123456789101112答案DBBCBCDBDAAB高二理科数学第页共8页10则sin.------------------------------10分q =18.(本小题满分12分)已知椭圆：的离心率为，其中左焦点．C )0(12222>>=+b a by a x 22)0,2(-F （Ⅰ）求椭圆的方程；C （Ⅱ）若直线与椭圆交于不同的两点，且线段的中点在圆m x y+=C B A ,AB M 上，求的值．122=+y x m 解：（Ⅰ）由题意得，，c a =2c =解得：-----------------------------4分⎩⎨⎧==222b a 所以椭圆C 的方程为：-----------------------------6分14822=+y x （Ⅱ）设点A,B 的坐标分别为，，线段AB 的中点为M ，),(11y x ),(22y x ),(00y x 由，消去y 得⎪⎩⎪⎨⎧+==+m x y y x 148220824322=-++m mx x 3232,08962<<-∴>-=∆m m 3,32200210mm x y m x x x =+=-=+=∴点M 在圆上，),(00y x 122=+y x高二理科数学第页共8页11------------12分222()()133m m m ∴-+==，即0> 19.(本小题满分12分)如图，正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝4，点E 在C 1C 上，且C 1E ＝3EC .(Ⅰ)证明A 1C ⊥平面BED ；(Ⅱ)求二面角A 1－DE －B 的余弦值．解：以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz .依题设B (2,2,0)，C (0,2,0)，E (0,2,1)，A 1(2,0,4)．＝(0,2,1)，＝(2,2,0)，DE DB＝(－2,2，－4)，＝(2,0,4)．1A C 1DA(Ⅰ)∵＝0，＝0，1A C DB × 1A C DE ×∴A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥DE .又DB ∩DE ＝D ，∴A 1C ⊥平面DBE .-------------------------------------------------------------6分(Ⅱ)设向量n ＝(x ，y ，z )是平面DA 1E 的法向量，则n ⊥，n ⊥.DE1DA高二理科数学第页共8页12∴2y ＋z ＝0,2x ＋4z ＝0.令y ＝1，则z ＝－2，x ＝4，∴n ＝(4,1，－2)．∴cos 〈n ，→A 1C 〉==∵〈n ，→A 1C 〉等于二面角A 1－DE －B 的平面角，∴二面角A 1－DE －B.---------------12分20.(本小题满分12分)某区四所高中进行高二期中联考，共有5000名学生参加，为了了解数学学科的学习情况，现从中随机的抽取若干名学生在这次测试中的数学成绩，制成如下频率分布表：(Ⅰ)根据上面的频率分布表，推出①，②，③，④处的数字分别为，____，____，____，____；分组频数频率[80,90）①②[90,100）0.050[100,110）0.200[110,120）360.300[120,130）0.275[130,140）12③[140,150]0.050合计④频率/组距高二理科数学第页共8页13（Ⅱ）在所给的坐标系中画出上的频率分布直方图；[80,150]（Ⅲ）根据题中的信息估计总体：①120分及以上的学生人数；②成绩在[126,150]中的概率.解:（Ⅰ）①，②，③，④处的数字分别为3，0.025，0.100，1；------------------------------4分（Ⅱ）------------8分（Ⅲ）①（0.275+0.100+0.050）×5000=2125--------------------10分②P=0.4×0.275+0.10+0.050=0.260-----------------------12分21.(本小题满分12分)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.(Ⅰ)从袋中随机取出两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(Ⅱ)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n ，求n <m +2的概率.解：(I)从袋子中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1和2，1和3，1和4，2和3，2和4，3和4，共6个.从袋中随机取出的球的编号之和不大于4的事件共有1和2,1和3两个.因此所求事件的概率为.----------------6分13(II)先从袋中随机取一个球，记下编号为m ，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n ，其一切可能的结果（m ,n ）有：（1,1）（1,2）,（1,3）,（1,4）,（2,1）,高二理科数学第页共8页14（2,2）,（2,3）,（2,4）,（3,1）（3,2）,（3,3）（3,4）,（4,1）（4,2），（4,3）（4,4），共16个.有满足条件n ≥m +2的事件为（1,3）（1,4）（2,4），共3个.所以满足条件n ≥m +2的事件的概率为P=,故满足条件n <m +2的事件的概率316为.--------------------------------------------12分22.(本小题满分12分)已知椭圆C ：的焦距为4，其长轴长和短轴长之比为．)0(12222>>=+b a by a x 1:3（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设F 为椭圆C 的右焦点，T 为直线上纵坐标不为0的任意一)2,(≠∈=t t t x R 点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q .（ⅰ）若OT 平分线段PQ (其中O 为坐标原点)，求的值；t （ⅱ）在（ⅰ）的条件下，当最小时，求点T 的坐标．||||PQ TF 解：（Ⅰ）由已知可得解得⎪⎩⎪⎨⎧==-=,3,42222b a b a c 226 2.a b ＝，＝所以椭圆C 的标准方程是.----------------------------------5分12622=+y x （Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）可得，F 点的坐标是(2，0).设直线的方程为，PQ 2x my +＝将直线的方程与椭圆C 的方程联立，得PQ 222162x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x ，得，其判别式22340)2(m y my +＋－＝22(1683.)0m m ∆>＝＋＋设则1122()()P x y Q x y ，，，，12122242,33m y y y y m m --+==++于是12122(1243)x x m y y m ++＋＝＋＝高二理科数学第页共8页15设为的中点，则点的坐标为.M PQ M 32,36(22+-+m mm 因为，所以直线的斜率为，其方程为.PQ TF ⊥FT m -)2(--=x m y 当时，，所以点的坐标为，t x =()2--=t m y T ()()2,--t m t 此时直线OT 的斜率为，其方程为.()tt m 2--x t t m y )2(-=将点的坐标为代入，M )32,36(22+-+m mm 得.36)2(3222+⋅-=+-m t t m m m 解得.3=t （ⅱ）由（ⅰ）知T 为直线上任意一点可得，点T 的坐标为.3=x ),3(m -于是，1||2+=m TF 221221221221)()]([)()(||y y y y m y y x x PQ -+-=-+-=]4))[(1(212212y y y y m -++=]324)34)[(1(2222+--+-+=m m m m .]324)34)[(1(2222+--+-+=m m m m 3)1(2422++=m m 所以1)3(241)1(2431||||222222++⋅=++⋅+=m m m m m PQ TF 14)1(4)1(2411)3(2412222222+++++⋅=++⋅=m m m m m .414124122++++⋅=m m 33442241=+⋅≥当且仅当，即时，等号成立，此时取得最小值．22411m m +=+1m ±＝||||PQ TF 33故当最小时，T 点的坐标是或-----------------------12分||||PQ TF ()3,1()3,1-。

2015-2016学年辽宁省沈阳市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）若4≤a≤8，0≤b≤2，则a+b的取值范围是（）A．（4，10）B．[4，10]C．（6，8）D．[6，8]2．（5分）命题p：“∀x∈N+，2x≥2”的否定为（）A．∀x∈N+，2x＜2B．∀x∉N+，2x＜2C．∃x∉N+，2x＜2D．∃x∈N+，2x＜2 3．（5分）双曲线=﹣1的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x 4．（5分）已知数列{a n}的首项a1=1，且a n=2a n﹣1+1（n≥2），则a5为（）A．7B．15C．30D．315．（5分）已知△ABC的三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2+b2﹣ab=c2，则C=（）A．B．C．D．6．（5分）若点（x，y）在不等式组表示的平面区域内运动，则t=x ﹣y的取值范围是（）A．[﹣2，﹣1]B．[﹣2，1]C．[﹣1，2]D．[1，2]7．（5分）已知抛物线x2=8y上的点P到抛物线的焦点距离为5，则点P的纵坐标为（）A．2B．3C．4D．58．（5分）已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，b n＞0恒成立，若a2=b2且a8=b8，则（）A．a5≥b5B．a5≤b5C．a5＞b5D．a5＜b59．（5分）已知曲线C的方程为=1（a∈R且a≠0），则“a＞1”是“曲线C是焦点在x轴上的双曲线”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10．（5分）等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=1，S6=9，则的值为（）A．8B．4C．2D．111．（5分）在四面体ABCD中，E，F分别是棱BC，AD的中点，设=，=，=，且=，则x，y，z的值分别为（）A．B．C．D．12．（5分）已知数列{a n}的通项公式为a n=sin﹣kn，数列{a n}的前n项和为S n，且{S n}为递减数列，则实数k的取值范围为（）A．k＞1B．C．D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知椭圆的方程为=1，则该椭圆的离心率为．14．（5分）已知命题“设a，b，c∈R，如果ac2＞bc2，则a＞b”，则它的逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数为．15．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为A1B1的中点，则异面直线AE与A1D所成的角的余弦值为．16．（5分）设a∈R，若x＞0时，均有（3ax﹣2）（x2﹣ax﹣2）≥0，则a=．三、解答题：（共6小题，满分70分）17．（10分）已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinC=csinB．（Ⅰ）判断△ABC的形状；（Ⅱ）若B=30°，a=2，求BC边上中线AD的长．18．（12分）（Ⅰ）解关于x的一元二次不等式x（x﹣2）﹣3＞0；（Ⅱ）解关于x的一元二次不等式（x﹣4）（x﹣2a）＜0（其中a∈R）．19．（12分）已知顶点在原点的抛物线开口向右，且过点（1，2）．（Ⅰ）求该抛物线的标准方程；（Ⅱ）若过该抛物线焦点F且斜率为k的直线l与抛物线交于A、B两点，k∈[1，2]，求弦长|AB|的取值范围．20．（12分）已知等差数列{a n}中，a2=3，a5=9．（Ⅰ）求数列{a n}的通项a n和前n项和S n；（Ⅱ）证明：命题“∀n∈N+，”是真命题．21．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=4，点F为C1D1的中点，点E在CC1上，且CE=1．（Ⅰ）证明：AE⊥平面A1BD；（Ⅱ）求二面角F﹣A1D﹣B的余弦值．22．（12分）已知椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为，且椭圆的四个顶点相连得到的凸四边形的面积为12．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设A，B分别为椭圆的左、右顶点，P，Q是椭圆上不同于顶点的两个动点，且满足直线AP与直线BQ交于点M（﹣9，m），以PQ为直径作圆C，判断点A与圆C的位置关系，并说明理由．2015-2016学年辽宁省沈阳市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）若4≤a≤8，0≤b≤2，则a+b的取值范围是（）A．（4，10）B．[4，10]C．（6，8）D．[6，8]【解答】解：4≤a≤8，0≤b≤2，则a+b∈[4，10]．故选：B．2．（5分）命题p：“∀x∈N+，2x≥2”的否定为（）A．∀x∈N+，2x＜2B．∀x∉N+，2x＜2C．∃x∉N+，2x＜2D．∃x∈N+，2x＜2【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：“∀x∈N+，2x≥2”的否定为：∃x∈N+，2x＜2．故选：D．3．（5分）双曲线=﹣1的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【解答】解：化已知双曲线的方程为标准方程，可知焦点在y轴，且a=3，b=2，故渐近线方程为y==故选：A．4．（5分）已知数列{a n}的首项a1=1，且a n=2a n﹣1+1（n≥2），则a5为（）A．7B．15C．30D．31【解答】解：（法一）∵a n=2a n﹣1+1，a1=1a2=2a1+1=3a3=2a2+1=7a 4=2a3+1=15a5=2a4+1=31（法二）∵a n=2a n﹣1+1∴a5=2a4+1=4a3+3=8a2+7=16a1+15=31（法三）∴a n+1=2（a n﹣1+1）∵a1+1=2∴{a n+1}是以2为首项，以2为等比数列∴a n+1=2•2n﹣1=2n∴a n=2n﹣1∴a5=25﹣1=31故选：D．5．（5分）已知△ABC的三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2+b2﹣ab=c2，则C=（）A．B．C．D．【解答】解：由a2+b2﹣ab=c2，可得：a2+b2﹣c2=ab，根据余弦定理得：cosC===，又C∈（0，π），所以C=．故选：B．6．（5分）若点（x，y）在不等式组表示的平面区域内运动，则t=x ﹣y的取值范围是（）A．[﹣2，﹣1]B．[﹣2，1]C．[﹣1，2]D．[1，2]【解答】解：先根据约束条件画出可行域，由得B（2，0），由，得A（0，1），当直线t=x﹣y过点A（0，1）时，t最小，t最小是﹣1，当直线t=x﹣y过点B（2，0）时，t最大，t最大是2，则t=x﹣y的取值范围是[﹣1，2]故选：C．7．（5分）已知抛物线x2=8y上的点P到抛物线的焦点距离为5，则点P的纵坐标为（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：抛物线x2=8y的焦点坐标（0，2），抛物线x2=8y上的点P到抛物线的焦点距离为5，可得P的纵坐标为：3，故选：B．8．（5分）已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，b n＞0恒成立，若a2=b2且a8=b8，则（）A．a5≥b5B．a5≤b5C．a5＞b5D．a5＜b5【解答】解：设公差为d，公比为q，则∵a2=b2，a8=b8，∴a2+6d=a2q6，∴d=a2（q6﹣1）∴a5﹣b5=a2+3d﹣a2q3=a2（1﹣q3）+a2（q6﹣1）=a2（q3﹣1）2，∵a2＞0，（q3﹣1）2≥0，∴a2（q3﹣1）2≥0，即有a5≥b5，故选：A．9．（5分）已知曲线C的方程为=1（a∈R且a≠0），则“a＞1”是“曲线C是焦点在x轴上的双曲线”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：曲线C的方程为=1（a∈R且a≠0），若曲线C是焦点在x轴上的双曲线，则a≠0．∴“a＞1”是“曲线C是焦点在x轴上的双曲线”的充分不必要条件，故选：A．10．（5分）等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=1，S6=9，则的值为（）A．8B．4C．2D．1【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，S3=1，S6=9，∴，解得a1=，q=2，∴===2．故选：C．11．（5分）在四面体ABCD中，E，F分别是棱BC，AD的中点，设=，=，=，且=，则x，y，z的值分别为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，根据条件，====；又；∴．故选：A．12．（5分）已知数列{a n}的通项公式为a n=sin﹣kn，数列{a n}的前n项和为S n，且{S n}为递减数列，则实数k的取值范围为（）A．k＞1B．C．D．【解答】解：a n=sin﹣kn，可得a1=1﹣k，a2=﹣2k，a3=﹣1﹣3k，a4=﹣4k，a5=1﹣5k，a6=﹣6k，a7=﹣1﹣7k，a8=﹣8k，即有S1=1﹣k，S2=1﹣3k，S3=﹣6k，S4=﹣10k，S5=1﹣15k，S6=1﹣21k，S7=﹣28k，S8=﹣36k，由{S n}为递减数列，可得S1＞S2＞S3＞S4＞S5＞S6＞S7＞S8，即为1﹣k＞1﹣3k＞﹣6k＞﹣10k＞1﹣15k＞1﹣21k＞﹣28k＞﹣36k，解得k＞，当n为4的倍数时，S n=﹣n（n+1）k，由S n＞S n+1，可得﹣n（n+1）k＞1﹣n（n+1）k﹣（n+1）k，解得k＞，显然≤；当n为4的倍数加1时，S n=1﹣n（n+1）k，由S n＞S n+1，可得1﹣n（n+1）k＞1﹣n（n+1）k﹣（n+1）k，解得k＞0；当n为4的倍数加2时，S n=1﹣n（n+1）k，由S n＞S n+1，可得1﹣n（n+1）k＞1﹣n（n+1）k﹣（n+1）k，解得k＞0；当n为4的倍数加3时，S n=﹣n（n+1）k，由S n＞S n+1，可得﹣n（n+1）k＞﹣n（n+1）k﹣（n+1）k，解得k＞0．综上可得k的范围是k＞．故选：C．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知椭圆的方程为=1，则该椭圆的离心率为．【解答】解：∵椭圆的方程为=1，∴a==2，=，∴该椭圆的离心率为e==．故答案为：．14．（5分）已知命题“设a，b，c∈R，如果ac2＞bc2，则a＞b”，则它的逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数为1．【解答】解：若ac2＞bc2，则c≠0，∴a＞b成立，即原命题为真命题，则逆否命题也为真命题．逆命题为：若a＞b，则ac2＞bc2．当c=0时，ac2＞bc2．不成立，∴逆命题为假命题，则否命题也为假命题．故逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有1个．故答案为：1．15．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为A1B1的中点，则异面直线AE与A1D所成的角的余弦值为．【解答】解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，则A（0，0，0），E（1，0，2），A1（0，0，2），D（0，2，0），=（1，0，2），=（0，2，﹣2），设异面直线AE与A1D所成的角为θ，则cosθ=|cos＜，＞|===．∴异面直线AE与A1D所成的角的余弦值为．故答案为：．16．（5分）设a∈R，若x＞0时，均有（3ax﹣2）（x2﹣ax﹣2）≥0，则a=．【解答】解：构造函数y1=3ax﹣2，y2=x 2﹣ax﹣2，它们都过定点P（0，﹣2），考查函数y1=3ax﹣2，令y=0，得M（，0），∴a＞0；考查函数y2=x 2﹣ax﹣2，显然过点M（，0），代入得：﹣﹣2=0，解之得：a=，或a=﹣（舍去）．故答案为：三、解答题：（共6小题，满分70分）17．（10分）已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinC=csinB．（Ⅰ）判断△ABC的形状；（Ⅱ）若B=30°，a=2，求BC边上中线AD的长．【解答】解：（Ⅰ）∵asinC=csinB．∴利用正弦定理可得：ac=cb，解得：a=b，∴△ABC为等腰三角形．（Ⅱ）如图所示：∵BC=AC，B=30°，BC=2，∴C=120°，BD=1，∴AB===2，∴△ABD中，AD===．18．（12分）（Ⅰ）解关于x的一元二次不等式x（x﹣2）﹣3＞0；（Ⅱ）解关于x的一元二次不等式（x﹣4）（x﹣2a）＜0（其中a∈R）．【解答】解：（Ⅰ）∵x（x﹣2）﹣3＞0，∴x2﹣2x﹣3＞0，解方程x2﹣2x﹣3=0，得x1=﹣1，x2=3，∴关于x的一元二次不等式x（x﹣2）﹣3＞0的解集为{x|x＜﹣1或x＞3}．（Ⅱ）∵（x﹣4）（x﹣2a）＜0（其中a∈R），∴（x﹣4）（x﹣2a）=0的解为x1=4，x2=2a，∴当2a＞4，即a＞2时，关于x的一元二次不等式（x﹣4）（x﹣2a）＜0为{x|4＜x＜2a}；当2a＜4，即a＜2时，关于x的一元二次不等式（x﹣4）（x﹣2a）＜0为{x|2a＜x＜4}；当2a=4，即a=2时，关于x的一元二次不等式（x﹣4）（x﹣2a）＜0为∅．19．（12分）已知顶点在原点的抛物线开口向右，且过点（1，2）．（Ⅰ）求该抛物线的标准方程；（Ⅱ）若过该抛物线焦点F且斜率为k的直线l与抛物线交于A、B两点，k∈[1，2]，求弦长|AB|的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设抛物线的方程为y2=2px（p＞0），代入点（1，2），可得p=2，∴抛物线的标准方程y2=4x；（Ⅱ）抛物线焦点坐标为F（1，0），∴直线l：y=k（x﹣1）．设点A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线l：y=k（x﹣1）与y2=4x，得：k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，则由韦达定理有：x1+x2=2+，x1x2=1．则弦长|AB|=•=4+，∵k∈[1，2]，∴∈[1，4]，∴弦长|AB|的取值范围是[5，8]．20．（12分）已知等差数列{a n}中，a2=3，a5=9．（Ⅰ）求数列{a n}的通项a n和前n项和S n；（Ⅱ）证明：命题“∀n∈N+，”是真命题．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，由a2=3，a5=9，可得a1+d=3，a1+4d=9，解得a1=1，d=2，则a n=a1+（n﹣1）d=2n﹣1；前n项和S n=n（1+2n﹣1）=n2；（Ⅱ）证明：==（﹣），即有++…+=（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣﹣）＜，则命题“∀n∈N+，”是真命题．21．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=4，点F为C1D1的中点，点E在CC1上，且CE=1．（Ⅰ）证明：AE⊥平面A1BD；（Ⅱ）求二面角F﹣A1D﹣B的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=4，点F为C1D1的中点，点E在CC1上，且CE=1，∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，A（2，0，0），E（0，2，1），A1（2，0，4），B（2，2，0），D（0，0，0），=（﹣2，2，1），=（2，0，4），=（2，2，0），•=0，=0，∴AE⊥DA1，AE⊥DB，又DA1∩DB=D，∴AE⊥平面A1BD．解：（Ⅱ）F（0，1，4），=（2，0，4），=（0，1，4），=（2，2，0），设平面A1DF的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（﹣2，﹣4，1），设平面A1BD的法向量=（a，b，c），则，取c=1，得=（﹣2，2，1），设二面角F﹣A1D﹣B的平面角为θ，cosθ===．∴二面角F﹣A1D﹣B的余弦值为．22．（12分）已知椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为，且椭圆的四个顶点相连得到的凸四边形的面积为12．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设A，B分别为椭圆的左、右顶点，P，Q是椭圆上不同于顶点的两个动点，且满足直线AP与直线BQ交于点M（﹣9，m），以PQ为直径作圆C，判断点A与圆C的位置关系，并说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得e==，•2a•2b=12，a2﹣b2=c2，解得c=1，a=3，b=2，即有椭圆的方程为+=1；（Ⅱ）A（﹣3，0），B（3，0），M（﹣9，m），AM的方程为y=（x+3），代入椭圆的方程8x2+9y2=72，可得（32+m2）x2+6m2x+9m2﹣288=0，由﹣3x P=，解得x P=，y P=，m≠0，BM的方程为y=（x﹣3），代入椭圆的方程8x2+9y2=72，可得（128+m2）x2﹣6m2x+9m2﹣1152=0，由3x Q=，解得x Q=，y Q=，由=（，），=（，），即有•==＜0，即有∠PAQ为钝角，即点A 在以PQ 为直径的圆C 的内部．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔xy 1x 2x 0>a O•ab x 2-=0)(>k f kxy 1x 2x O•a bx 2-=k<a 0)(<k f②x 1≤x 2＜k ⇔xy1x 2x 0>a O•ab x 2-=k 0)(>k f xy1x 2x O•ab x 2-=k<a 0)(<k f③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0)(<k f xy1x 2x 0>a O•kxy1x 2x O•k<a 0)(>k f④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔x y1x 2x 0>a O ••1k 2k 0)(1>k f 0)(2>k f ab x 2-=xy1x 2x O•<a 1k •2k 0)(1<k f 0)(2<k f a b x 2-=⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合x y1x 2x 0>a O ••1k 2k 0)(1>k f 0)(2<k fxy1x 2x O•<a 1k •2k 0)(1>k f 0)(2<k f⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =x>O-=f(p) f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2bf a-①若2bxa-≤，则()M f q=②2bxa->，则()M f p=(Ⅱ)当0a<时(开口向下)①若2bpa-<，则()M f p=②若2bp qa≤-≤，则()2bM fa=-③若2bqa->，则()M f q=①若2bxa-≤，则()m f q=②2bxa->，则()m f p=．x>O-=f(p)f(q)()2bfa-g0xx>O-=f(p)f(q)()2bfa-xgx<O-=f(p)f(q)()2bfa-x<O-=f(p)f(q)()2bfa-x<O-=f(p)f(q)()2bfa-xgx<O-=f(p)f(q)()2bfa-x<O-=f(p)f(q)()2bfa-g0x。

2015-2016学年辽宁省实验中学、鞍山一中、东北育才中学、大连八中、二十四中等校高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{y|y＝2x﹣1，x∈R}，B＝{x|y＝lg（x﹣2）}，则下列结论正确的是（）A．﹣1∈A B．3∉B C．A∪B＝B D．A∩B＝B 2．（5分）已知复数z＝（）A．|z|＝2B．＝1﹣iC．z的实部为1D．z+1为纯虚数3．（5分）以下是解决数学问题的思维过程的流程图：在此流程图中，①②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法匹配正确的是（）A．①﹣综合法，②﹣分析法B．①﹣分析法，②﹣综合法C．①﹣综合法，②﹣反证法D．①﹣分析法，②﹣反证法4．（5分）幂函数y＝f（x）经过点（5，），则f（x）是（）A．偶函数，且在（0，+∞）上是增函数B．偶函数，且在（0，+∞）上是减函数C．奇函数，且在（0，+∞）是减函数D．非奇非偶函数，且在（0，+∞）上是增函数5．（5分）已知函数y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称，且在[1，+∞）上单调递减，f（0）＝0，则f（x+1）＞0的解集为（）A．（1，+∞）B．（﹣1，1）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）6．（5分）有一段“三段论”推理是这样的：对于定义域内可导函数f（x），如果总有f′（x）＜0，那么f（x）在定义域内单调递减；因为函数f（x）＝满足在定义域内导数值恒负，所以，f（x）＝在定义域内单调递减，以上推理中（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．结论正确7．（5分）已知变量x，y之间的线性回归方程为＝﹣0.7x+10.3，且变量x，y之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是（）A．变量x，y之间呈现负相关关系B．m＝4C．可以预测，当x＝11时，y＝2.6D．由表格数据知，该回归直线必过点（9，4）8．（5分）设函数f（x）＝（a，b，c∈R）的定义域和值域分别为A，B，若集合{（x，y）|x∈A，y∈B}对应的平面区域是正方形区域，则实数a，b，c满足（）A．|a|＝4B．a＝﹣4且b2+16c＞0C．a＜0且b2+4ac≤0D．以上说法都不对9．（5分）在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则|AB|2+|AC|2＝|BC|2”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，“设三棱锥A﹣BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直，则可得”（）A．|AB|2+|AC|2+|AD|2＝|BC|2+|CD|2+|BD|2B．S2△ABC×S2△ACD×S2△ADB＝S2△BCDC．S△ABC2+S△ACD2+S△ADB2＝S△BCD2D．|AB|2×|AC|2×|AD|2＝|BC|2×|CD|2×|BD|210．（5分）已知实数对（x，y），设映射f：（x，y）→（，），并定义|（x，y）|＝，若|f[f（f（x，y））]|＝8，则|（x，y）|的值为（）A．4B．8C．16D．3211．（5分）已知函数f（x）＝，其导函数记为f′（x），则f（2016）+f′（2016）+f（﹣2016）﹣f′（﹣2016）＝（）A．2016B．0C．1D．212．（5分）已知函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），若f′（x）满足＞0，y＝关于直线x＝1对称，则不等式＜f（0）的解集是（）A．（﹣1，2）B．（1，2）C．（﹣1，0）∪（1，2）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）古希腊数学家把1，3，6，10，15，21，…叫做三角形，它有一定的规律性，第2016个三角形与第2015个三角形的差为．14．（5分）设函数f（x）＝，若f（x）的值域为R，则实数a的取值范围是．15．（5分）正偶数列有一个有趣的现象：①2+4＝6②8+10+12＝14+16；③18+20+22+24＝26+28+30，…按照这样的规律，则2016在第个等式中．16．（5分）若函数f（x）＝x4+2x3+4x2+cx的图象关于直线x＝m对称，则f（x）的最小值是．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知x为实数，复数z＝（x2+x﹣2）+（x2+3x+2）i．（Ⅰ）当x为何值时，复数z为纯虚数？（Ⅱ）当x＝0时，复数z在复平面内对应的点Z落在直线y＝﹣mx+n上，其中mn＞0，求+的最小值及取得最值时的m、n值．18．（12分）我国人口老龄化问题已经开始凸显，只有逐步调整完善生育政策，才能促进人口长期均衡发展，十八届五中全会提出“二胎全面放开”政策．为了解适龄公务员对放开生育二胎政策的态度，某部门随机调查了100位30到40岁的公务员，其中男女比例为3：2，被调查的男性公务员中，表示有意愿生二胎的占；被调查的女性公务员中表示有意愿要二胎的占．（1）根据调查情况完成下面2×2列联表（2）是否有99%以上的把握认为“生二胎与性别有关”，并说明理由：参考公式：K2＝．其中n＝a+b+c+d．临界值表19．（12分）设常数a∈R，函数f（x）＝（﹣x）|x|．（1）若a＝1，求f（x）的单调区间；（2）若f（x）是奇函数，且关于x的不等式mx2+m＞f[f（x）]对所有的x∈[﹣2，2]恒成立，求实数m的取值范围．20．（12分）已知函数f（x）的导函数为f′（x），且对任意x＞0，都有f′（x）＞．（Ⅰ）判断函数F（x）＝在（0，+∞）上的单调性；（Ⅱ）设x1，x2∈（0，+∞），证明：f（x1）+f（x2）＜f（x1+x2）；（Ⅲ）请将（Ⅱ）中的结论推广到一般形式，并证明你所推广的结论．21．（12分）设函数f（x）＝x2﹣2x+alnx．（Ⅰ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求实数a的取值范围；（Ⅱ）证明：f（x2）＞﹣．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，P A、PC切⊙O于A、C，PBD为⊙O的割线．（1）求证：AD•BC＝AB•DC；（2）已知PB＝2，P A＝3，求△ABC与△ACD的面积之比．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝8cosθ．（1）求C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，求弦长|AB|．[选修4-5：不等式选讲]24．设不等式﹣2＜|x﹣1|﹣|x+2|＜0的解集为M，a、b∈M，（1）证明：|a+b|＜；（2）比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|的大小，并说明理由．2015-2016学年辽宁省实验中学、鞍山一中、东北育才中学、大连八中、二十四中等校高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：∵2x＞0，∴y＝2x﹣1＞﹣1，∴集合A＝{y|y＝2x﹣1，x∈R}＝（﹣1，+∞）．B＝{x|y＝lg（x﹣2）}＝（2，+∞），则下列结论正确的是A∩B＝B．故选：D．2．【解答】解：z＝＝，∴z+1＝i为纯虚数．故选：D．3．【解答】解：根据已知可得该结构图为证明方法的结构图：∵由已知到可知，进而得到结论的应为综合法，由未知到需知，进而找到与已知的关系为分析法，故①②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法为：①﹣综合法，②﹣分析法，故选：A．4．【解答】解：设幂函数y＝f（x）＝xα，∵幂函数y＝f（x）经过点（5，），∴5α＝，∴α＝，∴f（x）＝，∴f（x）是非奇非偶函数，且在（0，+∞）上是增函数，故选：D．5．【解答】解：由f（x）的图象关于x＝1对称，f（0）＝0，可得f（2）＝f（0）＝0，当x+1≥1时，f（x+1）＞0，即为f（x+1）＞f（2），由f（x）在[1，+∞）上单调递减，可得：x+1＜2，解得x＜1，即有0≤x＜1①当x+1＜1即x＜0时，f（x+1）＞0，即为f（x+1）＞f（0），由f（x）在（﹣∞，1）上单调递增，可得：x+1＞0，解得x＞﹣1，即有﹣1＜x＜0②由①②，可得解集为（﹣1，1）．故选：B．6．【解答】解：∵对于定义域内连续且可导函数f（x），如果总有f′（x）＜0，那么f（x）在定义域内单调递减，∴大前提错误，故选：A．7．【解答】解：＝＝9，∴＝﹣0.7×9+10.3＝4．∴，解得m＝5．故B选项错误．故选：B．8．【解答】解：设y＝ax2+bx+c与x轴相交于两点（x1，0），（x2，0），a＜0．则，x1x2＝．∴|x1﹣x2|＝＝＝．由题意可得：，由＝，解得a＝﹣4．∴实数a，b，c满足a＝﹣4，△＝b2+16c＞0，故选：B．9．【解答】解：由边对应着面，边长对应着面积，由类比可得：S BCD2＝S ABC2+S ACD2+S ADB2．故选：C．10．【解答】解：∵映射f：（x，y）→（，），∴f[f（f（x，y））]＝f（f（，））＝f（，）＝（，），∵定义|（x，y）|＝，若|f[f（f（x，y））]|＝8，∴|（，）|＝8，∴＝8，∴|（x，y）|的值为16，故选：C．11．【解答】解：f（x）＝＝1+，∴f′（x）＝，∵设h（x）＝∴h（﹣x）＝﹣h（x），∵f′（﹣x）＝f′（x），∴f′（﹣x）为偶函数，∴f（2016）+f′（2016）+f（﹣2016）﹣f′（﹣2016）＝1+h（2016）+1+h（﹣2016）+f′（2016）﹣f′（﹣2016）＝2，故选：D．12．【解答】解：令g（x）═，∴，∵＞0，当x＞1时，f′（x）﹣f（x）＞0则g′（x）＞0，∴g（x）在（1，+∞）上单增；当x＜1时，f′（x）﹣f（x）＜0则g′（x）＜0，∴g（x）在（﹣∞，1）上单减；∵g（0）＝f（0），∴不等式＜f（0）即为不等式g（x2﹣x）＜g（0），∵y＝关于直线x＝1对称，∴0＜x2﹣x＜2，解得﹣1＜x＜0或1＜x＜2故选：C．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．【解答】解：由已知中：1，3＝1+2，6＝1+2+3，10＝1+2+3+4，…故a n＝1+2+3+…+n＝，∴第2016个三角形与第2015个三角形的差为2016．故答案为；2016．14．【解答】解：当x＞2时，函数f（x）＝2x+a，为增函数，当x≤2时，函数f（x）＝+a2，为增函数，若f（x）的值域为R，则满足当x＞2时的范围小于或等于当x≤2时的最大值，即22+a≤（﹣2）+a2，即4+a≤+a2＝2+a2，即a2﹣a﹣2≥0，得a≥2或a≤﹣1，故答案为：（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）15．【解答】解：①2+4＝6；②8+10+12＝14+16；③18+20+22+24＝26+28+30，…其规律为：各等式首项分别为2×1，2（1+3），2（1+3+5），…，所以第n个等式的首项为2[1+3+…+（2n﹣1）]＝2n2，当n＝31时，等式的首项为1922，所以2016在第31个等式中故答案为：31．16．【解答】解：一般地，四次函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c）（x﹣d）＝x4﹣（a+b+c+d）x3+mx2+nx+abcd的图象，关于直线x＝（a+b+c+d）对称，故函数f（x）＝x4+2x3+4x2+cx的图象关于直线x＝﹣对称，由函数解析式的常数项为0，可得函数有一零点为0，则﹣1也必为函数的一个零点，故c＝3，∴函数f（x）＝x4+2x3+4x2+3x＝（x2+x）（x2+x+3）＝[（x2+x）+]2﹣，由x2+x≥得：当x2+x＝，即x＝﹣时，函数取最小值﹣，故答案为：﹣．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．【解答】解：（Ⅰ）复数z为纯虚数，∴，解得x＝1．（Ⅱ）当x＝0时，复数z（﹣2，2），复数z在复平面内对应的点Z落在直线y＝﹣mx+n上，∴2m+n＝2，∵mn＞0，∴+＝（+）（m+）＝当且仅当n2＝2m2等号成立，又2m+n＝2，∴m＝2﹣，n＝2﹣2．18．【解答】解：（1）∵某部门随机调查了100位30到40岁的公务员，其中男女比例为3：2，被调查的男性公务员中，表示有意愿生二胎的占；被调查的女性公务员中表示有意愿要二胎的占．∴被调查的男性公务员，有60人，表示有意愿生二胎的占，有50人；被调查的女性公务员，40人，表示有意愿要二胎的占，有15人，2×2列联表（2）K2＝≈22.16＞6.635∴有99%以上的把握认为“生二胎与性别有关”．19．【解答】解（1）当a＝1，时，f（x）＝（1﹣x）|x|＝；当x≥0时，f （x）在内是增函数，在内是减函数；x＜0时，f（x）在（﹣∞，0）内是减函数．综上所述，f（x）的单调递增区间，单调减区间为；（2）∵f（x）是奇函数，∴f（﹣1）＝﹣f（1），解得a＝0；f（x）＝﹣x|x|，f[f（x）]＝x3|x|，即m＞对所有的x∈[﹣2，2]恒成立x2+1∈[1，5]；∴m＞20．【解答】解：（Ⅰ）对F（x）求导数，得F′（x）＝，∵f′（x）＞，x＞0，∴xf′（x）＞f（x），即xf′（x）﹣f（x）＞0，∴F′（x）＞0，故F（x）＝在（0，+∞）上是增函数；（Ⅱ）∵x1＞0，x2＞0，∴0＜x1＜x1+x2．由（Ⅰ），知F（x）＝在（0，+∞）上是增函数，∴F（x1）＜F（x1+x2），即＜，∵x1＞0，∴f（x1）＜f（x1+x2），同理可得f（x2）＜f（x1+x2），以上两式相加，得f（x1）+f（x2）＜f（x1+x2）；（Ⅲ）（Ⅱ）中结论的推广形式为：设x1，x2，…，x n∈（0，+∞），其中n≥2，则f（x1）+f（x2）+…+f（x n）＜f（x1+x2+…+x n）．∵x1＞0，x2＞0，…，x n＞0，∴0＜x1＜x1+x2+…+x n．由（Ⅰ），知F（x）＝在（0，+∞）上是增函数，∴F（x1）＜F（x1+x2+…+x n），即＜．∵x1＞0，∴f（x1）＜f（x1+x2+…+x n）．同理可得f（x2）＜f（x1+x2+…+x n），f（x3）＜f（x1+x2+…+x n），…f（x n）＜f（x1+x2+…+x n），以上n个不等式相加，得f（x1）+f（x2）+…+f（x n）＜f（x1+x2+…+x n）．21．【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝x2﹣2x+alnx，f（x）的定义域为（0，+∞），求导数得：f′（x）＝，∵f（x）有两个极值点x1，x2，f′（x）＝0有两个不同的正根x1，x2，故2x2﹣2x+a＝0的判别式△＝4﹣8a＞0，即a＜，且x1+x2＝1，x1•x2＝＞0，所以a的取值范围为（0，）；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，＜x2＜1且f′（x2）＝0，得a＝2x2﹣2x22，∴f（x2）＝x22﹣2x2+（2x2﹣2x22）lnx2，令F（t）＝t2﹣2t+（2t﹣2t2）lnt，（＜t＜1），则F′（t）＝2（1﹣2t）lnt，当t∈（，1）时，F′（t）＞0，∴F（t）在（，1）上是增函数∴F（t）＞F（）＝，∴f（x2）＞﹣．[选修4-1：几何证明选讲]22．【解答】证明：（1）∵P A是⊙O的切线，由弦切角定理得∠P AB＝∠ADB，∵∠APB为△P AB与△P AD的公共角，∴△P AB∽△PDA，∴＝，同理＝，又P A＝PC，∴，∴AD•BC＝AB•DC；（2）由圆的内接四边形的性质得∠ABC+∠ADC＝π，∴S△ABC＝AB•BC•sin∠ABC，S△ADC＝AD•DC•sin∠ADC，∴＝＝＝＝[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．【解答】解：（1）∵ρsin2θ＝8cosθ，∴ρ2sin2θ＝8ρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程是：y2＝8x．（2）直线的参数方程标准形式为，代入y2＝8x得3t2＝8（2+t），即3t2﹣16t﹣64＝0．设AB对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2＝，t1t2＝﹣．∴|AB|＝|t1﹣t2|＝＝．[选修4-5：不等式选讲]24．【解答】解：（1）记f（x）＝|x﹣1|﹣|x+2|＝，由﹣2＜﹣2x﹣1＜0解得﹣＜x＜，则M＝（﹣，）．…（3分）∵a、b∈M，∴，所以|a+b|≤|a|+|b|＜×+×＝．…（6分）（2）由（1）得a2＜，b2＜．因为|1﹣4ab|2﹣4|a﹣b|2＝（1﹣8ab+16a2b2）﹣4（a2﹣2ab+b2）＝（4a2﹣1）（4b2﹣1）＞0，…（9分）所以|1﹣4ab|2＞4|a﹣b|2，故|1﹣4ab|＞2|a﹣b|．…（10分）。

2015～2016学年度第一学期期末考试试卷 高二（理） 数学 座位号第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、向量(1,2,2),(2,4,4)a b =-=--，则a b 与 （ ） A 、相交 B 、垂直 C 、平行 D 、以上都不对2、如果双曲线的半实轴长为2，焦距为6，那么该双曲线的离心率是 （ ）A 、32B 、62C 、32D 、23、已知命题:,sin 1,p x R x ∀∈≤则p ⌝是 （ ） A 、,sin 1x R x ∃∈≥ B 、,sin 1x R x ∀∈≥ C 、,sin 1x R x ∃∈> D 、,sin 1x R x ∀∈>4、若向量)0,2,1(=a ，)1,0,2(-=b ，则（ ）A 0120,cos >=<b aB b a ⊥C b a //D ||||b a =5、若原命题“0,0,0a b ab >>>若则”，则其逆命题、否命题、逆否命题中（ ） A 、都真 B 、都假 C 、否命题真 D 、逆否命题真6、 “2320x x -+≠”是“1x ≠” 的（ ）条件 （ ） A 、充分不必要 B 、必要不充分 C 、充要 D 、既不充分也不必要 7、若方程x 225－m ＋y 2m ＋9＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是( )A 、－9＜m ＜25B 、8＜m ＜25C 、16＜m ＜25D 、m ＞88、已知△ABC 的周长为20，且顶点B (0，－4)，C (0，4)，则顶点A 的轨迹方程是（ ）A ．1203622=+y x （x ≠0）B ．1362022=+y x （x ≠0）C ．120622=+y x （x ≠0）D ．162022=+y x （x ≠0）9、一位运动员投掷铅球的成绩是14m ，当铅球运行的水平距离是6m 时，达到最大高度4m .若铅球运行的路线是抛物线，则铅球出手时距地面的高度是（ ） A ． 1.75m B ． 1.85mC ． 2.15mD ． 2.25m 10、设a R ∈，则1a >是11a< 的（ ） A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 11.抛物线281x y -=的准线方程是 ( ) A ． 321=x B ． 2=y C ． 321=y D ． 2-=y12. 若A )1,2,1(-，B )3,2,4(，C )4,1,6(-，则△ABC 的形状是（ ） A ．不等边锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形第II 卷（非选择题共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13、经过点(1,3)A -，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程为 。

高二年级理科数学上学期期末考试试卷高二年级数学上学期期末考试试卷(理科)命题人,校对人:鞍山一中张继红一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的．1．向量,则与( )A.相交B.垂直C.平行D.以上都不对2．在中, 则AC边长为( )A.B. C. D.3. 过抛物线y=_2上的点M(, )的切线的倾斜角是( )A B C D4.设在上的图象是一条连续不间断的曲线,且在内可导,则下列结论中正确的是( )A. 在上的极值点一定是最值点B. 在上的最值点一定是极值点C. 在上可能没有极值点D. 在上可能没有最值点5.集合,,若则实数P的取值范围是( )A. B. C. D.6.已知数列,如果()是首项为1公比为的等比数列,那么等于( )A. B. C. D.7.已知椭圆和双曲线有公共的焦点,那么双曲线的渐近线方程为( )A. B. C. D.8. 如图所示长方体ABCD—中,,AD=1,点E.F.G分别是的中点,则异面直线和GF所成的角为( )A. B.C.D.9.已知函数的图象如图所示(为两个极值点),且则有( )A. B.C. D.10．已知直线y=k_-k及抛物线,则( )A.直线与抛物线有且只有一个公共点B.直线与抛物线有两个公共点C.直线与抛物线有一个或两个公共点D.直线与抛物线可能没有公共点11已知梯形的两底的长度分别为.将梯形的两腰各分为n等份,连结两腰对应的分点,得到n-1条线段的长度之和为( )A. B. C. D.12．已知椭圆,过动点P的直线PA,PB分别与椭圆有且只有一个交点,交点为A.B,且,则动点P的轨迹是( )A.圆B.双曲线C.椭圆D.抛物线二.填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分．13．由曲线与所围成的图形的面积是.14．已知_,y满足条件则z=2_+5y的最大值为15．函数的最小值是.16．给出下列三个命题(1)设是定义在R上的可导函数,为函数的导函数.是为极值点的必要不充分条件.(2)双曲线的焦距与m有关(3)命题〝中国人不都是北京人〞的否定是〝中国人都是北京人〞.(4)命题〝〞其中正确结论的序号是.三.解答题:本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)已知在△ABC中,角A.B.C所对的边分别为a,b,c,,求b,c及18．(本小题满分12分)数列｛｝的前n项和记为, 1＝1,.(1) 求｛｝的通项公式;(2) 等差数列｛｝的各项为正数,其前n项和为,且T3＝15,又1+1,2+2,3+3成等比数列,求19．(本小题满分12分)如图,在五棱锥P－ABCDE中,PA＝AB＝AE＝2,PB＝PE＝,BC＝DE＝,∠EAB＝∠ABC＝∠DEA＝90O.(1) 求证:PA⊥平面ABCDE;(2) 求二面角A-PD-E的大小.20．(本小题满分12分)定义在R上的函数__402;()=3+2+ (,为常数),在=－1处取得极值,__402;()的图象在P(1,__402;(1))处的切线平行直线＝8,(1) 求函数__402;()解析式及极值;(2) 求不等式__402;()≥的解集;21．(本小题满分12分)已知曲线C上任意一点M到点F(0,1)的距离比它到直线＝的距离小1.(1)求曲线C的方程;(2)若过点P(2,2)的直线m与曲线C交于A,B两点,设.(i)当λ＝1时,求直线m的方程;(ii)当△AOB的面积为时(O为坐标原点),求λ的值.22．(本小题满分14分)已知__402;()＝.(1) 函数__402;()在区间(0,+)上是增函数还是减函数?证明你的结论;(2) 当＞0时,证明:__402;()＞;(3) 求证:(1+1·2)(1+2·3)…[1+n(n+1)]＞._—_学年度上学期期末考试高二年级数学科试卷理科答案1C 2B 3 B 4 C5 C6 A7 D8 D9 C 10 C 11 C 12 A13. 14.19 15.5 16.(1)(3)17.解:............3分............6分b＝3 c=5或b=5 c=3............8分当b＝3 c＝5时............10分当b＝5 c＝3时............12分18.解:(1)由(n≥1)可得(n≥2),两式相减得n+1－n=2n,.又2＝2S1+1=3,,故｛n｝是首项为1,公比为3的等比数列,. ............6分(2)设｛n｝的公差为,由T3＝15可得1+2+3＝15,可得2＝5,故可设1＝5－,3＝5+.又1＝1,2＝3,3＝9,由题意可得(5－+1)(5++9)＝(5+3)2,解得1＝2,2＝－10.等差数列｛n｝的各项为正,＝2,.............12分19.解:(1)PA＝AB＝2,PB＝,PA2+AB2＝PB2,∠PAB＝90O,即PA⊥AB.同理PA⊥AE.又AB∩A E＝A,PA⊥平面ABCDE. ............4分(2)解法一如图,∠DEA＝90O,AE⊥ED. PA⊥平面ABCDE,PA⊥ED.又PA∩AE＝A,ED⊥平面PAE.过A作AG⊥PE于G,DE⊥AG,AG⊥平面PDE.过G作GH⊥PD于H,连结AH,由三垂线定理得AH⊥PD. ∠AHG为二面角A-PD-E的平面角.在直角△PAE中,AG＝.在直角△PAD中,,在直角△AHG中,sin∠AHG＝.∠AHG＝arcsin,二面角A-PD-E的大小为arcsin. ............12分解法二建立如图所示的空间直角坐标系,则B(2,0,0),E(0,2,0),P(0,0,2),D(,2,0),C(2,,0),过A作AN⊥PD于N.(,2,－2),设,＝(,2,2－2). AN⊥PD, .·+2·2－2(2－2)＝0.解得. ,即,同理,过E作EM⊥PD 于M,则.二面角A－PD－E的大小为,所成的角＜＞. cos＜＞＝.＜＞＝arccos .二面角A－PD－E的大小为arccos. ............12分20.解: (1)由题设知__402;()＝3+22+,则,令,当变化时,__402;()的变化情况如下表:(－,－1)－1(－1,)(+)+－+__402;()↑↓↑__402;()的极大值为__402;(-1)＝0,极小值为__402;()＝.............6分(2)3+22+≥.考虑方程根的情况,若＞0,则方程的根为,①当＞1时,,;②＝1时,不等式的解集为;③0＜＜1时,;若＝0时,不等式的解集为;若＜0时,不等式的解集为.............12分21.解: (1)解法一设当≥-2时;;当＜-2时,两边平方得,因＜-2,不合题意,舍去.故点M的轨迹C的方程是:.............4分解法二∵点M到点F(0,1)的距离比它到直线＝-2的距离小1.∴点M在直线的上方. ∴点M到F(0,1)的距离与它到直线＝-1的距离相等. ∴点M的轨迹C是以F为焦点为准线的抛物线,所以曲线C的方程为.(2)当直线m的斜率不存在时,它与曲线C只有一个交点,不合题意, 当直线m与轴不垂直时,设直线m的方程为.代入得,①＞0对k∈R恒成立.∴直线m与曲线C恒有两个不同的交点.设交点A,B的坐标分别为A()B(),则. .(i)由,且λ＝1得,P为AB的中点,∴.把②代入得,.∴直线m的方程是.............6分(ii)＝.点O到直线m的距离.=·=∵=∴.((无实根)由1°当k＝0时,方程①的解为.当＝;当. ...........10分2°当k＝2时,方程①的解为,同理可得,.............12分22.解:(1)因此函数__402;()在区间(0,+)上是减函数. ............3分(2)证明:当＞0时,__402;()＞成立,即证当＞0时,(+1)ln(+1)+1-2＞0成立. 令g()＝(+1)ln(+1)+1-2,则,..............8分(3)由(2)知:,,令.ln(1+1·2)+ln(1+2·3)+…+ln[1+n(n+1)]＞＝＝,.............14分。

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数（是虚数单位）的虚部是（）A．1 B．C．D．2.可导函数在闭区间的最大值必在（）取得A．极值点 B．导数为0的点 C．极值点或区间端点 D．区间端点3.下列推理过程利用的推理方法是（）①通过大量的试验得出抛硬币出现正面的概率为0.4；②函数为偶函数A．演绎推理归纳推理 B．类比推理演绎推理C．归纳推理合情推理 D．归纳推理演绎推理4.圆上有10个点，过每3个点都可画1个圆的内接三角形，则所有圆的内接三角形的个数为（）A．120 B．240 C．360 D．7205.当一个圆与一个正方形的周长相等时，这个圆的面积与正方形的面积的大小关系为（）A．B．C．D．的大小关系不定7.设是复数，则下列命题中的假命题是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则8.若函数有两个零点，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．9.若函数的导函数在区间上的图象关于直线对称，则函数在区间上的图象可能是（）A．①④ B．②④ C．③④ D．②③10.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积，求其直径的一个近似公式，人们还用过一些类似的近似公式，根据判断，下列近似公式中最精确的一个是（）A．B．C．D．11.5个人站成一列，重新站队时各人都不站在原来的位置上，共有（）种不同的站法A．42 B．44 C．46 D．4812.已知函数的定义域为，且，若，则函数的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设，（是常数），则的导数等于.14.直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为.15.将5名实习教师分配到高二年级的3个班实习，每班至少一名，则不同的分配方案有种.16.计算可以采用以下方法：构造等式：，两边对求导得：，在上式中令得：，类比上述计算方法计算.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分10分）在二项式的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128.（1）求展开式中的二项式系数最大项；（2）若展开式的第二项大于第三项，求的取值范围.18. （本小题满分12分）设函数.（1）若函数在上单调递增，求的取值范围；（2）当时，设函数的最小值为，求证：.19. （本小题满分12分）已知数列的通项公式为：（为自然对数的底数）.（1）计算，由此推测计算的公式，并给出证明；（2）若，求证：.20. （本小题满分12分）已知函数.（1）若，求函数在上的最值；（2）若，求函数的极值点.21. （本小题满分12分）已知等差数列的前项和为，，.（1）求数列的通项与前项和为；（2）设，求证：数列中任意不同的三项都不可能成为等比数列.22.（本小题满分12分）设（其中），曲线在处有水平切线.（1）求的值；（2）设，证明：对任意，有.参考答案一、选择题ACDAB DDDCB BA二、填空题13． 14. 4 15. 150 16.三、解答题17.解：由题意可得：，∴∴展开式二项式系数最大项为第5项，，因为，，∴的解集为.（2）∵，，∴，得，当时，，递增，当时，，递减，∴时，，求在时的最大值，可知当时取最大值0，∴.19. 解：当时，；当时，；当时，…∴，，，…猜想，用数学归纳法证明（略）（2），用二项展开式证明，将二项展开取前两项得证欲证，只需证，只要证，由可得20.解：（1）∵，∴2'2342334414443(1)(3) ()43()x x x xf x x x xx x x x x ---++++ =---=-++=-=-令，得或，令，得，令，得或且随的变化，，的变化情况如下：∴在的最大值为0，最小值为-2.（2），令，则，①当，即时，，故没有极值点；②当，即时，，，减区间为，；增区间为，故有两个极值点.③当时，，，减区间为，增区间为，故有一个极值点.当时，有两个极值点当时，没有极值点.21.解：（1）由已知得：，∴，故，.（2）由（1）得：，假设数列中存在三项（互不相等）成等比数列，则，即，∴，∵，∴，∴，，∴，与矛盾，所以数列中任意不同的三项都不可能成等比数列.22. 解：（1）对求导得：，由题意知，解得：.（2）若对任意，有，则只需小于，令，其中，，，当时，通过求导，求最值得的取值范围，当时，通过求导，求最值得的取值范围，∴，∴，，∴.。

N MD 1C 1B 1A 1DCA学年第一学期高二年级期末质量抽测 数 学 试 卷（理科）（满分150分，考试时间 120分钟）考生须知： 1． 本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。

2． 答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写。

3． 答题卡上第I 卷(选择题)必须用2B 铅笔作答，第II 卷(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B 铅笔。

请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。

4． 修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液。

保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损。

不得在答题卡上做任何标记。

5． 考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存。

第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)（1）抛物线210y x =的焦点到准线的距离为（A ）52（C ）5 （C ）10 （D ）20 （2）过点(2,1)-且倾斜角为060的直线方程为(A) 10y --=( B) 330y --=( C)10y -+=( D)330y -+=（3）若命题p 是真命题，命题q 是假命题，则下列命题一定是真命题的是(A)p q ∧ （B ）()p q ⌝∨ (C)()p q ⌝∧ (D )()()p q ⌝∨⌝（4）已知平面α和直线,a b ，若//a α，则“b a ⊥”是“b α⊥”的(A)充分而不必要条件 ( B )必要而不充分条件 ( C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 （5）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点,M N 分别是面对角线111A B B D 与的中点，若1,,,DA DC DD ===a b c 则MN =CA 1俯视图侧（左）视图正（主）视图(A)1()2+-c b a ( B) 1()2+-a b c ( C) 1()2-a c ( D) 1()2-c a（6）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>(A) y =( B) y x = ( C) 12y x =± ( D) 2y x =± （7）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是(A )2+ ( B)2( C)4+ ( D)4（8）从点(2,1)P -向圆222220x y mx y m +--+=作切线，当切线长最短时m 的值为（A ）1- （B ）0 （C ）1 （D ）2（9）已知点12,F F 是椭圆22:14x C y +=的焦点，点M 在椭圆C 上且满足1223MF MF += 则12MF F ∆的面积为(A)3(B) 2(C ) 1 (D) 2 (10) 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是左侧面11ADD A 上的一个动点，满足11BC BM ⋅=，则1BC 与BM 的夹角的最大值为 (A) 30︒ ( B) 45︒ ( C ) 60︒ ( D) 75︒P D 1C 1B 1A 1D C BAD 1C 1B 1A 1D第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）(11)若命题2:R,220p x x x ∃∈++>，则:p ⌝ ． (12) 已知(1,3,1)=-a ，(1,1,3)=--b ，则-=a b ______________.(13)若直线()110a x y +++=与直线220x ay ++=平行，则a 的值为____ .(14)如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设 11AD AA ==， 2AB =，P 是11C D 的中点，则11B C A P 与所成角的大小为____________， 11BC A P ⋅=___________.(15)已知P 是抛物线28y x =上的一点，过点P 向其准线作垂线交于点E ，定点(2,5)A ，则PA PE +的最小值为_________；此时点P 的坐标为_________ .(16)已知直线:10l kx y -+=()k ∈R ．若存在实数k ，使直线l 与曲线C 交于,A B 两点，且||||AB k =，则称曲线C 具有性质P ．给定下列三条曲线方程： ① y x =-； ② 2220x y y +-=； ③ 2(1)y x =+． 其中，具有性质P 的曲线的序号是________________ .三、解答题(本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) （17）(本小题满分14分)已知圆22:2410C x y x y +--+=. (I)求过点(3,1)M 的圆C 的切线方程；(II)若直线:40l ax y -+=与圆C 相交于,A B 两点，且弦AB的长为a 的值．（18）(本小题满分14分)在直平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，60DAB ∠=︒，ACBD O =，11AB AA ==.(I)求证：111//OC AB D 平面；N MDCBAP(II)求证：1111AB D ACC A ⊥平面平面； (III)求三棱锥111A AB D -的体积. （19）(本小题满分14分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，且经过点(0,1)A -．(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)如果过点3(0,)5B 的直线与椭圆交于,M N 两点（,M N 点与A 点不重合），求证：AMN ∆为直角三角形．（20）(本小题满分14分)如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ABCD ⊥底面，底面ABCD 为直角梯形，//,90,AD BC BAD ∠=︒22PA AD AB BC ====，过AD 的平面分别交PB PC ，于,M N 两点.（I ）求证：//MN BC ；（II ）若,M N 分别为,PB PC 的中点，①求证：PB DN ⊥；②求二面角P DN A --的余弦值.（21）(本小题满分14分)抛物线22(0)y px p =>与直线1y x =+相切，112212(,),(,)()A x y B x y x x ≠是抛物线上两个动点，F 为抛物线的焦点，且8AF BF +=. （I ） 求p 的值；（II ） 线段AB 的垂直平分线l 与x 轴的交点是否为定点，若是，求出交点坐标，若不是，说明理由；（III ）求直线l 的斜率的取值范围.高二年级期末质量抽测数学试卷参考答案及评分标准 （理科）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（11）2:,220p x x x ⌝∀∈++≤R（12） 6 （13）1或2- （14）60︒；1 （15）5；(2,4) （16）②③ 三、解答题(本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) （17）（本小题满分14分）解：（I ）圆C 的方程可化为22(1)(2)4x y -+-=，圆心(1,2)C ，半径是2.…2分①当切线斜率存在时，设切线方程为1(3)y k x -=-，即310kx y k --+=. ……3分因为2d ===，所以34k =. …………6分 ②当切线斜率不存在时，直线方程为3x =，与圆C 相切. ……… 7分所以过点(3,1)M 的圆C 的切线方程为3x =或3450x y --=. ………8分（II ）因为弦AB 的长为所以点C 到直线l 的距离为11d ==. ……10分 即11d ==. …………12分所以34a =-. …………14分O 1ABCDA 1B 1C 1D 1O（18）（本小题满分14分）证明：(I) 如图，在直平行六面体1111ABCD A B C D -中，设11111AC B D O =，连接1AO .因为1111//AA CC AA CC =且，所以四边形11AAC C 是平行四边形.所以1111//AC AC AC AC =且. ……1分因为底面ABCD 是菱形， 所以1111//O C AO O C AO =且. 所以四边形11AOC O 是平行四边形.所以11//AO OC . ……2分 因为111AO AB D ⊂平面，111OC AB D ⊄平面所以111//OC AB D 平面. ……4分(II)因为11111AA A B C D ⊥平面，111111B D A B C D ⊂平面，所以111B D AA ⊥. ……5分 因为底面ABCD 是棱形，所以1111B D AC ⊥. ……6分 因为1111AA AC A =，所以1111B D ACC A ⊥平面. ……7分 因为1111B D AB D ⊂平面， ……8分 所以1111AB D ACC A ⊥平面平面. ……9分 (III)由题意可知，11111AA A B C D ⊥平面，所以1AA 为三棱锥111A A B D -的高. ……10分因为111111111111111332A AB D A A B D A B D V V S AA --∆==⋅=⨯⨯所以三棱锥111A AB D -. ……14分(19)（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为椭圆经过点(0,1)A -，e =， 所以1b =. ……1分由c e a ===，解得2a =. ……3分 所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=． ……4分（Ⅱ）若过点3(0,)5的直线MN 的斜率不存在，此时,M N 两点中有一个点与A 点重合，不满足题目条件． ……5分若过点3(0,)5的直线MN 的斜率存在，设其斜率为k ，则MN 的方程为35y kx =+，由223514y kx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩可得222464(14)0525k x kx ++-=. ……7分设1122(,),(,)M x y N x y ，则122122245(14)64,25(14)0k x x k x x k ⎧+=-⎪+⎪⎪⋅=-⎨+⎪⎪∆>⎪⎩， ……9分 所以1212266()55(14)y y k x x k +=++=+， 221212122391009()52525(14)k y y k x x k x x k -+⋅=⋅+++=+. ……11分因为(0,1)A -，所以1122121212(,1)(,1)()1AM AN x y x y x x y y y y ⋅=+⋅+=++++22264100925(14)25(14)k k k -+=-+++26105(14)k ++=+所以AM AN ⊥,AMN ∆为直角三角形得证． ……14分(20)（本小题满分14分）证明：（I ）因为底面ABCD 为直角梯形， 所以//BC AD .因为,,BC ADNM AD ADNM ⊄⊂平面平面所以//BC ADNM 平面. ……2分 因为,BC PBC PBCADNM MN ⊂=平面平面平面，所以//MN BC . ……4分 （II ）①因为,M N 分别为,PB PC 的中点，PA AB =，所以PB MA ⊥. ……5分 因为90,BAD ∠=︒ 所以DA AB ⊥.因为PA ABCD ⊥底面，所以DA PA ⊥. 因为PAAB A =，所以DA PAB ⊥平面. 所以PB DA ⊥. ……7分 因为AMDA A =，所以PB ADNM ⊥平面因为DN ADNM ⊂平面，所以PB DN ⊥. ……9分 ②如图，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A xyz -. ……10分 则(0,0,0),(2,0,0),(2,1,0),(0,2,0),(0,0,2)A B C D P . ……11分由（II ）可知，PB ADNM ⊥平面，所以ADNM 平面的法向量为(2,0,2)BP =-. ……12分 设平面PDN 的法向量为(,,)x y z =n 因为(2,1,2)PC =-，(0,2,2)PD =-, 所以00PC PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n .即220220x y z y z +-=⎧⎨-=⎩.令2z =，则2y =，1x =. 所以(1,2,2)=n所以cos ,622BP BP BP⋅〈〉===n n n .所以二面角P DN A --的余弦值为6. ……14分(21)（本小题满分14分）解:（I ）因为抛物线22(0)y px p =>与直线1y x =+相切，所以由221y px y x ⎧=⎨=+⎩ 得：2220(0)y py p p -+=>有两个相等实根. …2分即2484(2)0p p p p ∆=-=-=得：2p =为所求. ……4分 （II ）法一：抛物线24y x =的准线1x =.且8AF BF +=，所以由定义得1228x x ++=，则126x x +=. ………5分 设直线AB 的垂直平分线l 与x 轴的交点(,0)C m . 由C 在AB 的垂直平分线上，从而AC BC =………6分即22221122()()x m y x m y -+=-+. 所以22221221()()x m x m y y ---=-.即12122112(2)()444()x x m x x x x x x +--=-=-- ………8分 因为12x x ≠，所以1224x x m +-=-. 又因为126x x +=，所以5m =， 所以点C 的坐标为(5,0).即直线AB 的垂直平分线l 与x 轴的交点为定点(5,0). ………10分 法二：由112212(,),(,)()A x y B x y x x ≠可知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y kx m =+.由24y x y kx m⎧=⎨=+⎩可得222(24)0k x km x m +-+=. ………5分 所以12221224216160km x x k m x x k km -⎧+=⎪⎪⎪⋅=⎨⎪∆=-+>⎪⎪⎩. ………6分因为抛物线24y x =的准线1x =.且8AF BF +=，所以由定义得1228x x ++=，则126x x +=. ………7分 所以232km k +=.设线段AB 的中点为00(,)M x y . 则12003,32x x x y k m +===+. 所以(3,3)M k m +. ………8分 所以线段AB 的垂直平分线的方程为13(3)y k m x k--=--. ………9分 令0y =，可得2335x m mk =++=.即直线AB 的垂直平分线l 与x 轴的交点为定点(5,0). ………10分 （III ）法一：设直线l 的斜率为1k ，由（II ）可设直线l 方程为1(5)y k x =-.设AB 的中点00(,)M x y ，由12032x x x +==.可得0(3,)M y .因为直线l 过点0(3,)M y ，所以012y k =-.………11分 又因为点0(3,)M y 在抛物线24y x =的内部，所以2012y <.…12分 即21412k < ，则213k <.因为12x x ≠，则10k ≠. …13分 所以1k的取值范围为((0,3).………14分 法二：设直线l 的斜率为1k ，则11k k =-.由（II ）可知223km k =-.因为16160km ∆=-+>，即1km <， …11分 所以2231k -<.所以213k >.即21113k >.所以2103k <<.…12分 因为12x x ≠，则10k ≠. …13分 所以1k的取值范围为((0,3).………14分。

2015-2016学年辽宁省鞍山一中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数（i是虚数单位）的虚部是（）A．1B．i C．D．2．（5分）可导函数在闭区间的最大值必在（）A．取得极值点B．导数为0的点C．极值点或区间端点D．区间端点3．（5分）下列推理过程利用的推理方法是（）①通过大量的试验得出抛硬币出现正面的概率为0.4；②函数f（x）=x2+|x|为偶函数A．演绎推理归纳推理B．类比推理演绎推理C．归纳推理合情推理D．归纳推理演绎推理4．（5分）圆上有10个点，过每3个点都可画1个圆的内接三角形，则所有圆的内接三角形的个数为（）A．120B．240C．360D．7205．（5分）当一个圆与一个正方形的周长相等时，这个圆的面积S与正方形的面积P的大小关系为（）A．S＜P B．S＞PC．S=P D．S，P的大小关系不定6．（5分）组合数C n r（n＞r≥1，n、r∈Z）恒等于（）A．B．（n+1）（r+1）C．nr D．7．（5分）设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是（）﹣z2|=0，则=A．若|zB．若z 1=，则=z2C．若|z 1|=|z2|，则z1•=z2•D．若|z1|=|z2|，则z12=z228．（5分）若函数f（x）=xlnx﹣a有两个零点，则实数a的取值范围为（）A．[0，]B．（﹣，）C．（0，]D．（﹣，0）9．（5分）若函数y=f（x）的导函数在区间（a，b）上的图象关于直线x=对称，则函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象可能是（）A．①B．②C．③D．③④10．（5分）我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式d≈．人们还用过一些类似的近似公式．根据π=3.14159…..判断，下列近似公式中最精确的一个是（）A．d≈B．d≈C．d≈D．d≈11．（5分）5个人站成一列，重新站队时各人都不站在原来的位置上，共有（）种不同的站法．A．42B．44C．46D．4812．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，且f′（x）+f（x）=2xe﹣x，若f（0）=1，则函数的取值范围为（）A．[﹣2，0]B．[﹣1，0]C．[0，1]D．[0，2]二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）设f（x）=x3，（a，b是常数），则f（a﹣bx）的导数等于．14．（5分）直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为．15．（5分）将5名实习教师分配到高二年级的3个班实习，每班至少一名，则不同的分配方案有种．16．（5分）计算，可以采用以下方法：构造恒等式，两边对x求导，得，在上式中令x=1，得．类比上述计算方法，计算=．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）在二项式（1﹣2x）n（n∈N*）的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128．（1）求展开式中的二项式系数最大项；（2）若展开式的第二项大于第三项，求x的取值范围．18．（12分）设函数f（x）=e x﹣ax﹣1（1）若函数f（x）在R上单调递增，求α的取值范围；（2）当α＞0时，设函数f（x）的最小值为g（a），求证：g（a）≤0．19．（12分）已知数列{a n}的通项公式为：a n=n（1+）n（e为自然对数的底数）．（1）计算a1，a2，a3，由此推测计算a1a2a3…a n的公式，并给出证明；（2）若c n=，求证：2＜c n＜e．20．（12分）函数；（1）当a=1时，求y=f（x）在[﹣4，﹣]上的最值；（2）若a≥0，求f（x）的极值点．21．（12分）等差数列{a n}的前n项和为S n，a1=1+，S3=9+3．（1）求数列{a n}的通项a n与前n项和为S n；（2）设b n=（n∈N+），求证：数列{b n}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．22．（12分）设f（x）=（x+1）e ax（其中a≠0），曲线y=f（x）在x=处有水平切线．（1）求a的值；（2）设g（x）=f（x）+x+xlnx，证明：对任意x1，x2∈（0，1）有|g（x1）﹣g （x2）|＜e﹣1+2e﹣2．2015-2016学年辽宁省鞍山一中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数（i是虚数单位）的虚部是（）A．1B．i C．D．【解答】解：复数==1+i的虚部是1，故选：A．2．（5分）可导函数在闭区间的最大值必在（）A．取得极值点B．导数为0的点C．极值点或区间端点D．区间端点【解答】解：可导函数在闭区间上必然连续，①若函数在闭区间上单调，则函数的最大值在区间端点处取得；②若函数在闭区间上有唯一极大值，则该极大值即为最大值；若函数在闭区间上有唯一极小值，则最大值在区间端点处取得；③若函数在闭区间上既有极大值，又有极小值，则对函数的极值、端点处函数值进行大小比较，其中最大者即为最大值；综上可知，函数在闭区间上的最大值必在极值点或区间端点处取得，故选：C．3．（5分）下列推理过程利用的推理方法是（）①通过大量的试验得出抛硬币出现正面的概率为0.4；②函数f（x）=x2+|x|为偶函数A．演绎推理归纳推理B．类比推理演绎推理C．归纳推理合情推理D．归纳推理演绎推理【解答】解：（1）为归纳推理，在推理过程是由特殊到一般的推理过程；（2）为演绎推理，大前提：对于函数y=f（x），若对定义域内的任意x，都有f （﹣x）=f（x），则函数f（x）是偶函数；小前提：函数f（x）=x2+|x|满足对定义域R内的任意x，都有f（﹣x）=f（x）；结论：函数f（x）=x2+|x|是偶函数．它是由两个前提和一个结论组成，是三段论式的推理故选：D．4．（5分）圆上有10个点，过每3个点都可画1个圆的内接三角形，则所有圆的内接三角形的个数为（）A．120B．240C．360D．720【解答】解：圆上10个点，任意3点都不共线，故从10个中任选3个都可以构成一个三角形，故一共可以画的三角形个数为C103=120．故选：A．5．（5分）当一个圆与一个正方形的周长相等时，这个圆的面积S与正方形的面积P的大小关系为（）A．S＜P B．S＞PC．S=P D．S，P的大小关系不定【解答】解：设圆和正方形的周长为4π，则圆的半径为2，正方形的边长为π，所以圆的面积：π×22=4π，正方形的面积：π2．正方形的面积和圆的面积的比是：π2：4π=π：4；所以圆的面积大于正方形的面积，故S＞P，故选：B．6．（5分）组合数C n r（n＞r≥1，n、r∈Z）恒等于（）A．B．（n+1）（r+1）C．nr D．【解答】解：由，故选：D．7．（5分）设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是（）﹣z2|=0，则=A．若|zB．若z 1=，则=z2C．若|z 1|=|z2|，则z1•=z2•D．若|z1|=|z2|，则z12=z22【解答】解：对（A），若|z 1﹣z2|=0，则z1﹣z2=0，z1=z2，所以为真；对（B）若，则z和z2互为共轭复数，所以为真；对（C）设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，若|z1|=|z2|，则，，所以为真；对（D）若z1=1，z2=i，则|z1|=|z2|为真，而，所以为假．故选：D．8．（5分）若函数f（x）=xlnx﹣a有两个零点，则实数a的取值范围为（）A．[0，]B．（﹣，）C．（0，]D．（﹣，0）【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），由f（x）=xlnx﹣a=0得xlnx=a，设g（x）=xlnx，则g′（x）=lnx+1，由g′（x）=lnx+1＞0得x＞，此时函数单调递增，由g′（x）=lnx+1＜0得0＜x＜，此时函数单调递减，即当x=时，函数g（x）取得极小值g（）=ln=﹣，当x→0时，g（x）→0，∴要使函数f（x）=xlnx﹣a有两个零点，即方程xlnx=a有两个不同的根，即函数g（x）和y=a有两个不同的交点，则﹣＜a＜0，故选：D．9．（5分）若函数y=f（x）的导函数在区间（a，b）上的图象关于直线x=对称，则函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象可能是（）A．①B．②C．③D．③④【解答】解：因为函数y=f（x）的导函数在区间（a，b）上的图象关于直线x=对称，即导函数要么图象无增减性，要么是在直线x=两侧单调性相反；对于①，由图得，在a处切线斜率最小，在b处切线斜率最大，故导函数图象不关于直线x=对称，故①不成立；对于②，由图得，在a处切线斜率最大，在b处切线斜率最小，故导函数图象不关于直线x=对称，故②不成立；对于③，由图得，原函数为一次函数，其导函数为常数函数，故导函数图象关于直线x=对称，故③成立；对于④，由图得，原函数有一对称中心，在直线x=与原函数图象的交点处，故导函数图象关于直线x=对称，故④成立；所以，满足要求的有③④．故选：D．10．（5分）我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式d≈．人们还用过一些类似的近似公式．根据π=3.14159…..判断，下列近似公式中最精确的一个是（）A．d≈B．d≈C．d≈D．d≈【解答】解：由V=，解得d=设选项中的常数为，则π=选项A代入得π==3.375；选项B代入得π==3；选项C代入得π==3.14；选项D代入得π==3.142857由于D的值最接近π的真实值故选：D．11．（5分）5个人站成一列，重新站队时各人都不站在原来的位置上，共有（）种不同的站法．A．42B．44C．46D．48【解答】解：方法一：设原来站在第i个位置的人是（i=1，2，3，4，5），重新站队时，站在第2个位置的站法有4!种，其中不符合要求的有：站第3位的3!种，站第4位的3!种，但有的站法在考虑的情形时已经减去了，故只应再算（3!﹣2!）种，同理，站第5位的应再算[3!﹣2!（2!﹣1!）]种，站在第3，4，5位的情形与站在第2位的情形时对等的，故所有符合要求的站法有：4{4!﹣3!﹣（3!﹣2!）﹣[3!﹣2!﹣（2!﹣1!）]}=44（种），方法二：首先我们把人数推广到n个人，即n个人排成一列，重新站队时，各人都不站在原来的位置上．设满足这样的站队方式有a n种，现在我们来通过合理分步，恰当分类找出递推关系：第一步：第一个人不站在原来的第一个位置，有n﹣1种站法．第二步：假设第一个人站在第2个位置，则第二个人的站法又可以分为两类：第种站队方式；一类，第二个人恰好站在第一个位置，则余下的n﹣2个人有a n﹣2第二类，第二个人不站在第一个位置，则就是第二个人不站在第一个位置，第三个人不站在第三个位置，第四个人不站在第四个位置，…，第n个人不种站队方式．站在第n个位置，所以有a n﹣1由分步计数原理和分类计数原理，我们便得到了数列a n的递推关系式：a n=（n﹣1）×（a n﹣1+a n﹣2），显然，a1=0，a2=1，a3=2，a4=9，a5=44，有44种排法故选：B．12．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，且f′（x）+f（x）=2xe﹣x，若f（0）=1，则函数的取值范围为（）A．[﹣2，0]B．[﹣1，0]C．[0，1]D．[0，2]【解答】解：由f′（x）+f（x）=2xe﹣x，得，即e x f′（x）+e x f（x）=2x，令g（x）=e x f（x），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）=2x，∴g（x）=x2+c（其中c为常数），∴f（x）=，又f（0）=1，∴c=1，则f（x）=，∴f′（x）=，∴，当x=0时，，当x≠0时，，∵，∴∈[﹣2，0]．故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）设f（x）=x3，（a，b是常数），则f（a﹣bx）的导数等于﹣3b（a ﹣bx）2．【解答】解：设f（x）=x3，则f（a﹣bx）=（a﹣bx）3，∴f′（a﹣bx）=3（a﹣bx）2（a﹣bx）′=﹣3b（a﹣bx）2，故答案为：﹣3b（a﹣bx）214．（5分）直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为4．【解答】解：先根据题意画出图形，得到积分上限为2，积分下限为0，曲线y=x3与直线y=4x在第一象限所围成的图形的面积是∫02（4x﹣x3）dx，而∫02（4x﹣x3）dx=（2x2﹣x4）|02=8﹣4=4∴曲边梯形的面积是4，故答案为：415．（5分）将5名实习教师分配到高二年级的3个班实习，每班至少一名，则不同的分配方案有150种．【解答】解：将5名老师分组，可分成三组，一组1人，另两组都是2人：即，，种法．将5名教师分成三组，一组3人，另两组都是1人，即有，，种法．∴第一种：有×××=60种．第二种：××××=90种共有90+60=150种不同的分配方案，∴不同的分配方案有150种．故答案为：150．16．（5分）计算，可以采用以下方法：构造恒等式，两边对x求导，得，在上式中令x=1，得．类比上述计算方法，计算=n（n+1）•2n﹣2．【解答】解：对C n1+2C n2x+3C n3x2+…+nC n n x n﹣1=n（1+x）n﹣1，两边同乘以x得：xC n1+2C n2x2+3C n3x3+…+nC n n x n=n•x•（1+x）n﹣1，再两边对x求导得到：C n1+22C n2x+32C n3x2+…+n2C n n x n﹣1=n（1+x）n﹣1+n（n﹣1）x（1+x）n﹣2在上式中令x=1，得C n1+22C n2+32C n3+…+n2C n n=n•2n﹣1+n（n﹣1）•2n﹣2=n（n+1）2n﹣2．故答案为：n（n+1）2n﹣2．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）在二项式（1﹣2x）n（n∈N*）的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128．（1）求展开式中的二项式系数最大项；（2）若展开式的第二项大于第三项，求x的取值范围．【解答】解：（1）∵二项式（1﹣2x）n（n∈N*）的展开式中，偶数项的二项式系数之和为2n﹣1=128，∴n=8，故展开式中的二项式系数最大项为T5=•（﹣2x）4=1120x4，（2）若展开式的第二项大于第三项，则•（﹣2x）＞•（﹣2x）2，求得﹣＜x＜0．18．（12分）设函数f（x）=e x﹣ax﹣1（1）若函数f（x）在R上单调递增，求α的取值范围；（2）当α＞0时，设函数f（x）的最小值为g（a），求证：g（a）≤0．【解答】（1）解：由f（x）=e x﹣ax﹣1，得f′（x）=e x﹣a，∵函数f（x）在R上单调递增，∴f′（x）=e x﹣a≥0对任意x∈R恒成立，即a≤e x恒成立，∵e x＞0，∴a≤0，故实数a的取值范围是（﹣∞，0]；（2）证明：a＞0，由f′（x）=e x﹣a＜0，得x＜lna，由f′（x）=e x﹣a＞0，得x＞lna，∴当x=lna时，f（x）min=f（lna）=elna﹣alna﹣1=a﹣alna﹣1，即g（a）=a﹣alna﹣1，则g′（a）=﹣lna．由﹣lna=0，得a=1，∴g（a）≤g（1）=0，∴g（a）≤0．19．（12分）已知数列{a n}的通项公式为：a n=n（1+）n（e为自然对数的底数）．（1）计算a1，a2，a3，由此推测计算a1a2a3…a n的公式，并给出证明；（2）若c n=，求证：2＜c n＜e．【解答】解：（1）数列{a n}的通项公式为：a n=n（1+）n（e为自然对数的底数）；当n=1时，a1=2；当n=2时，a2=；当n=3时，a3=；当n=4时，a4=；∴a1a2=9，a1a2a3=64，a1a2a3a4=625，…；猜想a1a2a3…a n=（n+1）n，n∈N*；用数学归纳法证明如下；显然n=1时等式成立，假设n=k时等式成立，即a1a2a3…a k=（k+1）k，k∈N*；则n=k+1时，a1a2a3…a k•a k+1=（k+1）k•（k+1）=（k+1）k+1•=（k+1+1）k+1，k∈N*；即n=k+1时，等式也成立，即证命题成立；（2）证明：2＜c n，即＞2，即＞2，由=1+•+•+...=2+•+ (2)欲证c n＜e ，只需证＜e，两边取以e为底的对数得nln（1+）＜1，只要证ln（1+）＜（*），设1+=x，x＞1，则（*）式化为lnx＜x﹣1，x＞1；设f（x）=lnx﹣（x﹣1），x＞1，则f′（x）=﹣1=＜0，∴f（x）在x∈（1，+∞）上是单调减函数，∴f（x）＜f（1）=0，∴lnx＜x﹣1，即ln（1+）＜成立；即证c n＜e成立；综上可得，2＜c n＜e．20．（12分）函数；（1）当a=1时，求y=f（x）在[﹣4，﹣]上的最值；（2）若a≥0，求f（x）的极值点．【解答】解：（1）∴最大值为0，最小值﹣2（2）设u=x2+4x+3a，△=16﹣12a当时，△≤0，g′（x）≤0，所以y=g（x）没有极值点当时，，减区间：（﹣∞，x1），（x2，0），增区间：（x1，x2），∴有两个极值点x1，x2当a=0时，减区间：（﹣∞，﹣4），增区间：（﹣4，0）∴有一个极值点x=﹣4综上所述：a=0时，∴有一个极值点x=﹣4；时有两个极值点x1，x2；时没有极值点．21．（12分）等差数列{a n}的前n项和为S n，a1=1+，S3=9+3．（1）求数列{a n}的通项a n与前n项和为S n；（2）设b n=（n∈N+），求证：数列{b n}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．【解答】解：（1）由已知得，∴d=2，故．（2）由（Ⅰ）得．假设数列{b n}中存在三项b p，b q，b r（p，q，r互不相等）成等比数列，则b q2=b p b r．即．∴，∵p，q，r∈N*，∴，∴=0，∴p=r．与p≠r矛盾．所以数列{b n}中任意不同的三项都不可能成等比数列．22．（12分）设f（x）=（x+1）e ax（其中a≠0），曲线y=f（x）在x=处有水平切线．（1）求a的值；（2）设g（x）=f（x）+x+xlnx，证明：对任意x1，x2∈（0，1）有|g（x1）﹣g （x2）|＜e﹣1+2e﹣2．【解答】（1）解：f（x）=（x+1）e ax（其中a≠0），x∈R．f′（x）=（ax+a+1）•e ax．∵曲线y=f（x）在x=处有水平切线．∴=（a+2）e=0，解得a=﹣2．（2）证明：对任意x1，x2∈（0，1）有|g（x1）﹣g（x2）|＜e﹣1+2e﹣2⇔g（x）﹣g（x）min＜e﹣1+2e﹣2．maxg（x）=f（x）+x+xlnx=+x+xlnx，g′（x）=+2+lnx，可知：g′（x）在x∈（0，1）上单调递增；∵x∈（0，1），∴x→0时，g′（x）→﹣∞；x=1时，g′（x）=＞0．∴必然存在t∈（0，1），使得g′（t）=0．由于=+2﹣ln4＜0，=+2﹣ln2＞0，∴t∈．由g′（t）=0，可得+2+lnt=0，可得：lnt=﹣2，∴g（x）min=g（t）=+t+tlnt=﹣t=u（t），u′（t）=﹣1＜0，∴函数u（t）在t∈单调递减．其最小值=，而当x=1时，函数g（1）=+1＞g（x）max．∴g（x）max﹣g（x）min＜+1﹣＜e﹣1+2e﹣2．。

2016学年度第一学期高二年级期末教学质量检测理科数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、班级和考号填写在答题卷上。

2、必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

第Ⅰ卷 选择题（共50分）一、选择题:本大题共10小题,每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．“0x >”是0>”成立的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．非充分非必要条件D ．充要条件 2．抛物线24y x =的焦点坐标是A ．(1,0)B ．(0,1)C ．1(,0)16 D ．1(0,)163．与圆8)3()3(22=-+-y x 相切，且在y x 、轴上截距相等的直线有A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条 4．设l 是直线，,αβ是两个不同的平面，则下列结论正确的是A ．若l ∥α，l ∥β，则//αβB ．若//l α，l ⊥β，则α⊥βC ．若α⊥β，l ⊥α，则l ⊥βD ．若α⊥β, //l α，则l ⊥β 5．已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≥0，则⌝p 是A ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≤0B ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≤0C ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<0D ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<06．设(2,1,3)a x = ，(1,2,9)b y =-，若a 与b 为共线向量，则A ．1x =，1y =B ．12x =，12y =- C ．16x =，32y =- D ．16x =-，32y =7．已知椭圆2215x y m +=的离心率5e =，则m 的值为 A ．3 BCD ．253或38．如图,在正方体1111ABCD A BC D -中，,,M N P 分别是111,,B B B C CD 的中点，则MN 与1D P 所成角的余弦值为 A．5-B．5CD ．9．如图，G 是ABC ∆的重心，,,OA a OB b OC c ===，则OG =A ．122333a b c ++B ．221333a b c ++C ．222333a b c ++D ．111333a b c ++10．已知双曲线22214x yb-=的右焦点与抛物线y 2=12x 的焦 点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于A． BC ．3D ．5 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，满分20分11．若直线x +a y+2=0和2x+3y+1=0互相垂直，则a =12．若一个圆锥的侧面展开图是面积为π2的半圆面，则该圆锥的体积为 。

辽宁省鞍山市数学高二上学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）若集合，，且，则m的值为（）A . 1B . -1C . 1或-1D . 1或-1或02. （2分）已知数列的前n项和为，若点在函数的图像上，则的通项公式是（）A .B .C .D .3. （2分） (2019高三上·郑州期中) 已知椭圆的中心在原点，离心率，且它的一个焦点与抛物线的焦点重合，则此椭圆方程为（）A .B .C .D .4. （2分）在平面直角坐标系中，，点是以原点为圆心的单位圆上的动点，若，则的值是（）A . 0B . 1C . 2D . 35. （2分）“”是“方程”表示焦点在y轴上的椭圆”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件6. （2分） (2018高二上·吉林月考) 设满足约束条件 ,则目标函数的最大值为（）A .B .C .D .7. （2分）(2017·吕梁模拟) 如图，过抛物线x2=2py（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于AB，交其准线于点C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=2，则p=（）A . 1B .C . 2D . 2﹣8. （2分） (2019高二上·石河子月考) 《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31．5尺，前九个节气日影长之和为85．5尺，则芒种日影长为（）A . 1．5尺B . 2．5尺C . 3．5尺D . 4．5尺9. （2分） (2018高二上·黑龙江期末) 若直线的一个方向向量，平面的一个法向量为，则（）A .B .C .D . 都有可能10. （2分） (2019高三上·吉林月考) 我国宋代数学家秦九韶（1202－1261）在《数书九章》（1247）一书中提出“三斜求积术”，即：以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.其实质是根据三角形的三边长，，求三角形面积，即.若的面积，，，则等于（）A . 5B . 9C . 或3D . 5或911. （2分）已知点P是双曲线C：左支上一点，F1 ， F2是双曲线的左、右两个焦点，且PF1⊥PF2 ， PF2与两条渐近线相交于M，N两点（如图），点N恰好平分线段PF2 ，则双曲线的离心率是（）A .B . 2C .D .12. （2分） (2016高二上·嘉兴期末) 如图，底面为正方形且各侧棱长均相等的四棱锥V﹣ABCD可绕着棱AB 任意旋转，若AB⊂平面α，M，N分别是AB，CD的中点，AB=2，VA= ，点V在平面α上的射影为点O，则当ON的最大时，二面角C﹣AB﹣O的大小是（）A . 90°B . 105°C . 120°D . 135°二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）设等比数列{an}满足a1+a3=5，a2+a4= ，则a1a2…an的最大值为________．14. （1分） (2017高二上·河北期末) 已知正实数x，y满足xy+2x+y=4，则x+y的最小值为________．15. （1分） (2018高二上·凌源期末) 已知向量，，且，则的值为________．16. （1分） (2016高三上·汕头模拟) 已知正数a，b满足5﹣3a≤b≤4﹣a，lnb≥a，则的取值范围是________．三、解答题 (共6题；共45分)17. （5分） (2018高一上·海安月考) 已知函数的图象过点．（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）若，求实数的取值范围．18. （10分）(2016·大连模拟) 已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，顶点A（a，0），B（0，b），中心O到直线AB的距离为．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C上一动点P满足：，其中M，N是椭圆C上的点，直线OM与ON的斜率之积为﹣，若Q（λ，μ）为一动点，E1（﹣，0），E2（，0）为两定点，求|QE1|+|QE2|的值．19. （10分） (2016高二下·珠海期中) 当n∈N*时，，Tn= ++ +…+ ．（Ⅰ）求S1 ， S2 ， T1 ， T2；（Ⅱ）猜想Sn与Tn的关系，并用数学归纳法证明．20. （10分）(2017·太原模拟) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinAcosC+csinAcosA= c，D是AC的中点，且cosB= ，BD= ．（1）求角A的大小；（2）求△ABC的最短边的边长．21. （5分） (2017高二下·保定期末) 如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形．AB=BC=2，CD=SD=1．（1）证明：SD⊥平面SAB（2）求AB与平面SBC所成角的正弦值．22. （5分）(2020·宝山模拟) 已知直线与椭圆相交于两点，其中在第一象限，是椭圆上一点.（1）记、是椭圆的左右焦点，若直线过，当到的距离与到直线的距离相等时，求点的横坐标；（2）若点关于轴对称，当的面积最大时，求直线的方程；（3）设直线和与轴分别交于，证明：为定值.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共45分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、。