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滁州市第二中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 已知函数f （x ）=31+|x|﹣，则使得f （x ）＞f （2x ﹣1）成立的x 的取值范围是（）A ．B ．C ．（﹣，）D．2． 以过椭圆+=1（a ＞b ＞0）的右焦点的弦为直径的圆与其右准线的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定3． 在等比数列{a n }中，已知a 1=3，公比q=2，则a 2和a 8的等比中项为（）A ．48B ．±48C ．96D ．±964． 若复数在复平面内对应的点关于轴对称，且，则复数在复平面内对应的点在12,z z y 12i z =-12z z （）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【命题意图】本题考查复数的几何意义、代数运算等基础知识，意在考查转化思想与计算能力．5． 函数的定义域为（）A ．{x|1＜x ≤4}B ．{x|1＜x ≤4，且x ≠2}C ．{x|1≤x ≤4，且x ≠2}D ．{x|x ≥4}6． 复数z=（m ∈R ，i 为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7． 如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A ．1﹣B ．﹣C ．D ．8． 定义：数列{a n }前n 项的乘积T n =a 1•a 2•…•a n ，数列a n =29﹣n ，则下面的等式中正确的是（）A．T1=T19B．T3=T17C．T5=T12D．T8=T119．函数f（x﹣）=x2+，则f（3）=（）A．8B．9C．11D．1010．给出下列命题：①多面体是若干个平面多边形所围成的图形；②有一个平面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥；③有两个面是相同边数的多边形，其余各面是梯形的多面体是棱台．其中正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．311．如图，△ABC所在平面上的点P n（n∈N*）均满足△P n AB与△P n AC的面积比为3；1，=﹣（2x n+1）（其中，{x n}是首项为1的正项数列），则x5等于（）A．65B．63C．33D．3112．已知等差数列{a n}满足2a3﹣a+2a13=0，且数列{b n} 是等比数列，若b8=a8，则b4b12=（）A．2B．4C．8D．16二、填空题13．若数列{a n}满足：存在正整数T，对于任意的正整数n，都有a n+T=a n成立，则称数列{a n}为周期为T的周期数列．已知数列{a n}满足：a1＞=m （m＞a ），a n+1=，现给出以下三个命题：①若m=，则a5=2；②若a3=3，则m可以取3个不同的值；③若m=，则数列{a n}是周期为5的周期数列．其中正确命题的序号是 ．14．已知z，ω为复数，i为虚数单位，（1+3i）z为纯虚数，ω=，且|ω|=5，则复数ω= ． 15．若圆与双曲线C：的渐近线相切，则_____；双曲线C 的渐近线方程是____．16．用描述法表示图中阴影部分的点（含边界）的坐标的集合为 ．17．“黑白配”游戏，是小朋友最普及的一种游戏，很多时候被当成决定优先权的一种方式．它需要参与游戏的人（三人或三人以上）同时出示手势，以手心（白）、手背（黑）来决定胜负，当其中一个人出示的手势与其它人都不一样时，则这个人胜出，其他情况，则不分胜负．现在甲乙丙三人一起玩“黑白配”游戏．设甲乙丙三人每次都随机出“手心（白）、手背（黑）”中的某一个手势，则一次游戏中甲胜出的概率是 ． 18．已知等差数列{a n }中，a 3=，则cos （a 1+a 2+a 6）= ．三、解答题19．（本小题满分13分）椭圆:的左、右焦点分别为、，直线经过点与椭圆交于点C 22221(0)x y a b a b+=>>1F 2F :1l x my =-1F C ，点在轴的上方．当时，M M x 0m =1||MF =（Ⅰ）求椭圆的方程；C （Ⅱ）若点是椭圆上位于轴上方的一点， ，且，求直线的方程．N C x 12//MF NF 12123MF F NF F S S ∆∆=l20．将射线y=x（x≥0）绕着原点逆时针旋转后所得的射线经过点A=（cosθ，sinθ）．（Ⅰ）求点A的坐标；（Ⅱ）若向量=（sin2x，2cosθ），=（3sinθ，2cos2x），求函数f（x）=•，x∈[0，]的值域．21．一台还可以用的机器由于使用的时间较长，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺陷，每小时生产有缺陷零件的多少随机器运转的速率而变化，下表为抽样试验结果：转速x（转/秒）1614128每小时生产有缺陷的零件数y（件）11985（1）画出散点图；（2）如果y与x有线性相关的关系，求回归直线方程；（3）若实际生产中，允许每小时的产品中有缺陷的零件最多为10个，那么机器的转运速度应控制在什么范围内？参考公式：线性回归方程系数公式开始=，=﹣x．22．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，，E，F分别是A1C1，AB的中点．（I）求证：平面BCE⊥平面A1ABB1；（II）求证：EF∥平面B1BCC1；（III ）求四棱锥B ﹣A 1ACC 1的体积．23．（本小题满分12分）已知．1()2ln ()f x x a x a R x=--∈（Ⅰ）当时，求的单调区间；3a =()f x （Ⅱ）设，且有两个极值点，其中，求的最小值．()()2ln g x f x x a x =-+()g x 1[0,1]x ∈12()()g x g x -【命题意图】本题考查导数的应用等基础知识，意在考查转化与化归思想和综合分析问题、解决问题的能力．24．函数f （x ）=sin 2x+sinxcosx ．（1）求函数f （x ）的递增区间；（2）当x ∈[0，]时，求f （x ）的值域．滁州市第二中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题1．【答案】A【解析】解：函数f（x）=31+|x|﹣为偶函数，当x≥0时，f（x）=31+x﹣∵此时y=31+x为增函数，y=为减函数，∴当x≥0时，f（x）为增函数，则当x≤0时，f（x）为减函数，∵f（x）＞f（2x﹣1），∴|x|＞|2x﹣1|，∴x2＞（2x﹣1）2，解得：x∈，故选：A．【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的奇偶性，函数的单调性，难度中档．2．【答案】C【解析】解：设过右焦点F的弦为AB，右准线为l，A、B在l上的射影分别为C、D连接AC、BD，设AB的中点为M，作MN⊥l于N根据圆锥曲线的统一定义，可得==e，可得∴|AF|+|BF|＜|AC|+|BD|，即|AB|＜|AC|+|BD|，∵以AB为直径的圆半径为r=|AB|，|MN|=（|AC|+|BD|）∴圆M到l的距离|MN|＞r，可得直线l与以AB为直径的圆相离故选：C【点评】本题给出椭圆的右焦点F，求以经过F的弦AB为直径的圆与右准线的位置关系，着重考查了椭圆的简单几何性质、圆锥曲线的统一定义和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．3．【答案】B【解析】解：∵在等比数列{a n}中，a1=3，公比q=2，∴a2=3×2=6，=384，∴a2和a8的等比中项为=±48．故选：B．4．【答案】B【解析】5．【答案】B【解析】解：要使函数有意义，只须，即，解得1＜x≤4且x≠2，∴函数f（x）的定义域为{x|1＜x≤4且x≠2}．故选B6．【答案】C【解析】解：z====+i，当1+m＞0且1﹣m＞0时，有解：﹣1＜m＜1；当1+m＞0且1﹣m＜0时，有解：m＞1；当1+m＜0且1﹣m＞0时，有解：m＜﹣1；当1+m＜0且1﹣m＜0时，无解；故选：C．【点评】本题考查复数的几何意义，注意解题方法的积累，属于中档题．7．【答案】A【解析】解：设扇形的半径为r，则扇形OAB的面积为，连接OC，把下面的阴影部分平均分成了2部分，然后利用位移割补的方法，分别平移到图中划线部分，则阴影部分的面积为：﹣，∴此点取自阴影部分的概率是．故选A．8．【答案】C【解析】解：∵a n=29﹣n，∴T n=a1•a2•…•a n=28+7+…+9﹣n=∴T1=28，T19=2﹣19，故A不正确T3=221，T17=20，故B不正确T5=230，T12=230，故C正确T8=236，T11=233，故D不正确故选C9．【答案】C【解析】解：∵函数=，∴f（3）=32+2=11．故选C．10．【答案】B【解析】111]试题分析：由题意得，根据几何体的性质和结构特征可知，多面体是若干个平面多边形所围成的图形是正确的，故选B．考点：几何体的结构特征．11．【答案】D【解析】解：由=﹣（2x n+1），得+（2x n+1）=，设，以线段P n A、P n D作出图形如图，则，∴，∴，∵，∴，则，即x n+1=2x n+1，∴x n+1+1=2（x n+1），则{x n+1}构成以2为首项，以2为公比的等比数列，∴x5+1=2•24=32，则x5=31．故选：D．【点评】本题考查了平面向量的三角形法则，考查了数学转化思想方法，训练了利用构造法构造等比数列，考查了计算能力，属难题．12．【答案】D【解析】解：由等差数列的性质可得a3+a13=2a8，即有a82=4a8，解得a8=4（0舍去），即有b8=a8=4，由等比数列的性质可得b4b12=b82=16．故选：D．二、填空题13．【答案】 ①② ．【解析】解：对于①由a n+1=，且a1=m=＜1，所以，＞1，，，∴a5=2 故①正确；对于②由a3=3，若a3=a2﹣1=3，则a2=4，若a1﹣1=4，则a1=5=m．若，则．若a1＞1a1=，若0＜a1≤1则a1=3，不合题意．所以，a3=2时，m即a1的不同取值由3个．故②正确；若a1=m=＞1，则a2=，所a3=＞1，a4=故在a1=时，数列{a n}是周期为3的周期数列，③错；故答案为：①②【点评】本题主要考查新定义题目，属于创新性题目，但又让学生能有较大的数列的知识应用空间，是较好的题目14．【答案】 ±（7﹣i） ．【解析】解：设z=a+bi（a，b∈R），∵（1+3i）z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，∴．又ω===，|ω|=，∴．把a=3b代入化为b2=25，解得b=±5，∴a=±15．∴ω=±=±（7﹣i）．故答案为±（7﹣i）．【点评】熟练掌握复数的运算法则、纯虚数的定义及其模的计算公式即可得出．15．【答案】，【解析】【知识点】圆的标准方程与一般方程双曲线【试题解析】双曲线的渐近线方程为：圆的圆心为（2，0），半径为1．因为相切，所以所以双曲线C的渐近线方程是：故答案为：，16．【答案】 {（x，y）|xy＞0，且﹣1≤x≤2，﹣≤y≤1} ．【解析】解：图中的阴影部分的点设为（x，y）则{x，y）|﹣1≤x≤0，﹣≤y≤0或0≤x≤2，0≤y≤1}={（x，y）|xy＞0且﹣1≤x≤2，﹣≤y≤1}故答案为：{（x ，y ）|xy ＞0，且﹣1≤x ≤2，﹣≤y ≤1}．17．【答案】 ．【解析】解：一次游戏中，甲、乙、丙出的方法种数都有2种，所以总共有23=8种方案，而甲胜出的情况有：“甲黑乙白丙白”，“甲白乙黑丙黑”，共2种，所以甲胜出的概率为故答案为．【点评】本题考查等可能事件的概率，关键是分清甲在游戏中胜出的情况数目．18．【答案】 ．【解析】解：∵数列{a n }为等差数列，且a 3=，∴a 1+a 2+a 6=3a 1+6d=3（a 1+2d ）=3a 3=3×=，∴cos （a 1+a 2+a 6）=cos =．故答案是：． 三、解答题19．【答案】【解析】解：（Ⅰ）由直线经过点得，:1l x my =-1F 1c =当时，直线与轴垂直，0m =l x 21||b MF a ==由解得的方程为． （4分）21c b a=⎧⎪⎨=⎪⎩1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩C 2212x y +=（Ⅱ）设，，由知.1122(,),(,)M x y N x y 120,0y y >>12//MF NF 12121122||3||MF F NF F S MF y S NF y ∆∆===联立方程，消去得，解得22112x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩x 22(2)210m y my +--=y =∴，同样可求得， （11分）1y =2y =由得，解得，123y y =123y y =3=1m =直线的方程为． （13分）l 10x y -+=20．【答案】【解析】解：（Ⅰ）设射线y=x （x ≥0）的倾斜角为α，则tan α=，α∈（0，）．∴tan θ=tan （α+）==，∴由解得，∴点A 的坐标为（，）．（Ⅱ）f （x ）=•=3sin θ•sin2x+2cos θ•2cos2x=sin2x+cos2x=sin （2x+）由x ∈[0，]，可得2x+∈[，]，∴sin （2x+）∈[﹣，1]，∴函数f （x ）的值域为[﹣，]．【点评】本题考查三角函数、平面向量等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程的思想，属于中档题．21．【答案】【解析】【专题】应用题；概率与统计．【分析】（1）利用所给的数据画出散点图；（2）先做出横标和纵标的平均数，做出利用最小二乘法求线性回归方程的系数的量，做出系数，求出a ，写出线性回归方程．（3）根据上一问做出的线性回归方程，使得函数值小于或等于10，解出不等式．【解答】解：（1）画出散点图，如图所示：（2）=12.5，=8.25，∴b=≈0.7286，a=﹣0.8575∴回归直线方程为：y=0.7286x﹣0.8575；（3）要使y≤10，则0.728 6x﹣0.8575≤10，x≤14.901 9．故机器的转速应控制在14.9转/秒以下．【点评】本题考查线性回归分析，考查线性回归方程，考查线性回归方程的应用，考查不等式的解法，是一个综合题目．22．【答案】【解析】（I）证明：在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥底面ABC，所以，BB1⊥BC．又因为AB⊥BC且AB∩BB1=B，所以，BC⊥平面A1ABB1．因为BC⊂平面BCE，所以，平面BCE⊥平面A1ABB1．（II）证明：取BC的中点D，连接C1D，FD．因为E，F分别是A1C1，AB的中点，所以，FD∥AC且．因为AC∥A1C1且AC=A1C1，所以，FD∥EC1且FD=EC1．所以，四边形FDC1E是平行四边形．所以，EF∥C1D．又因为C1D⊂平面B1BCC1，EF⊄平面B1BCC1，所以，EF∥平面B1BCC1．（III ）解：因为，AB ⊥BC 所以，．过点B 作BG ⊥AC 于点G ，则．因为，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AA 1⊂平面A 1ACC 1所以，平面A 1ACC 1⊥底面ABC ．所以，BG ⊥平面A 1ACC 1．所以，四棱锥B ﹣A 1ACC 1的体积．【点评】本题考查了线面平行，面面垂直的判定，线面垂直的性质，棱锥的体积计算，属于中档题． 23．【答案】【解析】（Ⅰ）)(x f 的定义域),0(+∞，当时，，3a =1()23ln f x x x x=--2'2213231()2x x f x x x x -+=+-=令得，或；令得，，'()0f x >102x <<1x >'()0f x <112x <<故的递增区间是和；()f x 1(0,2(1,)+∞的递减区间是．()f x 1(,1)2（Ⅱ）由已知得，定义域为，x a xx x g ln 1)(+-=),0(+∞，令得，其两根为，222111)(xax x x a x x g ++=++='0)(='x g 012=++ax x 21,x x 且，2121240010a x x a x x ⎧->⎪+=->⎨⎪⋅=>⎩24．【答案】【解析】解：（1）…（2分）令解得…f（x）的递增区间为…（6分）（2）∵，∴…（8分）∴，∴…（10分）∴f（x）的值域是…（12分）【点评】本题考查两角和与差的三角函数，二倍角公式的应用，三角函数的最值，考查计算能力．。
2023-2024学年安徽省滁州中学高二（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．若直线经过A （2，0），B(1，√3)两点，则直线AB 的倾斜角为（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°2．在等比数列{a n }中，a 2＝2，a 5=−274，则公比q ＝（ ） A ．−32B ．−23C ．23D ．323．已知椭圆x 2m +y 24=1的一个焦点坐标F （1，0），则m ＝（ ）A ．√17B ．5C ．5或3D ．34．若函数f(x)=13x 3−ax 2在x ＝﹣2处有极值，则实数a ＝（ ）A ．﹣2B ．2C ．1D ．﹣15．已知A （1，﹣2，﹣1），n →=（2，0，1）是平面α的一个法向量，且B （﹣1，1，2）是平面α内一点，则点A 到平面α的距离为（ ） A ．√55B ．√33C ．√2D ．√226．已知f ′（x ）是函数f （x ）的导函数，若函数y ＝3f′（x ）的图象大致如图所示，则f （x ）的极小值点为（ ）A ．x 1B ．x 2C ．x 3D ．x 57．已知数列{a n }，a 1＝2，a 2＝0，且{a n+2=a n −2(n 为奇数)a n+2=a n +2(n 为偶数)，则数列{a n }的前2023项之和为（ ）A ．0B ．2C ．2024D ．40488．已知点M （1，2），点P 是双曲线C ：x 24−y 212=1左支上的动点，N 是圆D ：（x +4）2+y 2＝1上的动点，则|PM |﹣|PN |的最小值为（ ） A ．5−√10B ．√10−5C ．√13−3D ．3−√13二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知等比数列{a n }中，a 3＝8，公比q =12，其前n 项和为S n ，则下列说法中正确的是（ ）A ．a 1＝32B ．a n =26−nC ．a 24a 22=4D ．S 8=255410．若直线kx ﹣y +2k ＝0与圆（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝4有公共点，则实数k 的取值可能是（ ） A ．0B ．2C ．3D ．411．已知椭圆C ：x 26+y 22=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，且点P （1，1）为线段MN 的中点，则下列说法正确的是（ ） A ．椭圆C 的离心率为√63B ．△PF 1F 2的面积为1C ．直线l 的方程为x +3y ﹣4＝0D ．|MN|=2√10312．已知函数f （x ）为定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，若当x ＜0时，xf '（x ）﹣f （x ）＜0，且f （1）＝0，则（ ） A ．2f （e ）＞ef （2）B ．当m ＜2时，f （m ）＞mf （1）C ．3f （﹣π）+πf （3）＜0D ．不等式f （x ）＞0解集为（﹣1，0）∪（1，+∞）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知f '（x ）为函数f(x)=e xx 2的导函数，则f '（3）＝ ． 14．已知{a n }为等差数列，且a 1+a 2＝1，a 8+a 9＝5，则a 5＝ ．15．已知双曲线C ：x 29−y 2b 2=1(b ＞0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，离心率为43，P 为双曲线上一点，|OP |＝4（O 为坐标原点），则△PF 1F 2的面积为 ．16．已知正四面体P ﹣ABC 的棱长为4，空间内动点M 满足|MA →+MB →|=2√2，则PM →•PC →的最大值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2+a 3＝12，S 6＝48． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）记b n =1a n a n+1，求数列{b n }的前n 项和T n ． 18．（12分）已知函数f(x)=mx+lnx ．（1）若函数f （x ）在区间[12，2]上单调递减，求实数m 的取值范围；（2）当m ＝2，12≤x ≤2时，f （x ）≤a 恒成立，求实数a 的取值范围．19．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝3，且S n +1+3a n ＝S n +2a n +1． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若b n ＝（n +1）•a n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．20．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，AD ⊥AB ，P A ＝AD ＝3，AB ＝BC ＝2，点N 为BC 中点，点M 为棱PD 上靠近点P 的三等分点． （1）求证：直线MN ∥平面P AB ；（2）求直线MN 与平面PCD 所成角的正弦值．21．（12分）设抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，点P （2，n ）是抛物线C 上位于第一象限的一点，且|PF |＝4．（1）求抛物线C 的方程；（2）如图，过点P 作两条直线，分别与抛物线C 交于异于P 的M ，N 两点，若直线PM ，PN 的斜率存在，且斜率之和为0，求证：直线MN 的斜率为定值．22．（12分）已知函数f （x ）＝e x ﹣2x ﹣cos x ． （1）求曲线y ＝f （x ）在原点处的切线方程； （2）讨论f （x ）在R 上的零点个数．2023-2024学年安徽省滁州中学高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．若直线经过A （2，0），B(1，√3)两点，则直线AB 的倾斜角为（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解：因为直线经过A （2，0），B(1，√3) 两点，所以直线的斜率为√3−01−2=−√3，设直线的倾斜角为θ，则tan θ=−√3，又因为0°≤θ＜180°，所以θ＝120°，即直线AB 的倾斜角为120°． 故选：C ．2．在等比数列{a n }中，a 2＝2，a 5=−274，则公比q ＝（ ） A ．−32B ．−23C ．23D ．32解：∵等比数列{a n }中，a 2＝2，a 5=−274，∴q 3=a 5a 2=−2742=−278，故q =−32．故选：A ．3．已知椭圆x 2m +y 24=1的一个焦点坐标F （1，0），则m ＝（ ）A ．√17B ．5C ．5或3D ．3解：椭圆x 2m+y 24=1的一个焦点坐标F （1，0），可得m ﹣4＝1，解得m ＝5．故选：B ．4．若函数f(x)=13x 3−ax 2在x ＝﹣2处有极值，则实数a ＝（ ）A ．﹣2B ．2C ．1D ．﹣1解：因为f(x)=13x 3−ax 2，f ′（x ）＝x 2﹣2ax ，由f （x ）在x ＝﹣2处有极值可得 f ′（﹣2）＝0，所以4+4a ＝0，解得a ＝﹣1， 经检验当a ＝﹣1 时，f ′（x ）＝x 2+2x ＝x （x +2），当x ＜﹣2或x ＞0时，f ′（x ）＞0，当﹣2＜x ＜0时，f ′（x ）＜0，所以f （x ）在（﹣∞，﹣2），（0，+∞）上单调递增，在（﹣2，0）上单调递减，函数在x ＝﹣2处有极大值，满足题意． 故选：D ．5．已知A （1，﹣2，﹣1），n →=（2，0，1）是平面α的一个法向量，且B （﹣1，1，2）是平面α内一点，则点A 到平面α的距离为（ ） A ．√55B ．√33C ．√2D ．√22解：因为A （1，﹣2，﹣1），B （﹣1，1，2）是平面α内一点，所以AB →=(−2，3，3)， 又n →=（2，0，1）是平面α的一个法向量，则点A 到平面α的距离为|AB →⋅n →||n →|=√4+1=√55． 故选：A ．6．已知f ′（x ）是函数f （x ）的导函数，若函数y ＝3f′（x ）的图象大致如图所示，则f （x ）的极小值点为（ ）A ．x 1B ．x 2C ．x 3D ．x 5解：由y ＝3f′（x ）的图象知，当x ∈（﹣∞，x 1）时，3f′（x ）＞1，则f ′（x ）＞0，当x ∈（x 1，x 5）时，3f′（x ）≤1，则f ′（x ）≤0， 当x ∈（x 5，+∞）时，3f′（x ）＞1，则f ′（x ）＞0，故f （x ）的单调递增区间为（﹣∞，x 1）、（x 5，+∞），单调递减区间为（x 1，x 5）， 故f （x ）的极小值点为x 5． 故选：D ．7．已知数列{a n }，a 1＝2，a 2＝0，且{a n+2=a n −2(n 为奇数)a n+2=a n +2(n 为偶数)，则数列{a n }的前2023项之和为（ ）A ．0B ．2C ．2024D ．4048解：当n 为奇数时，a n +2＝a n ﹣2，即a n +2﹣a n ＝﹣2， 所以数列{a n }的奇数项构成首项为2，公差为﹣2的等差数列； 当n 为偶数时，a n +2＝a n +2，即a n +2﹣a n ＝2，所以数列{a n }的偶数项构成首项为0，公差为2的等差数列．所以前2023项和为（a 1+a 3+...+a 2023）+（a 2+a 4+...+a 2022）＝（2+0+...﹣2020）+（0+2+ (2020)=12×1012×（2﹣2020）+12×1011×2020＝2． 故选：B ．8．已知点M （1，2），点P 是双曲线C ：x 24−y 212=1左支上的动点，N 是圆D ：（x +4）2+y 2＝1上的动点，则|PM |﹣|PN |的最小值为（ ） A ．5−√10B ．√10−5C ．√13−3D ．3−√13解：双曲线C 的半焦距c =√4+12=4，圆D 的圆心D （﹣4，0）是双曲线C 的左焦点，令右焦点为F 2（4，0）， 圆D 半径为r ＝1，显然点P 在圆D 外，|PN |≤|PD |+r ， 当且仅当N 是PD 的延长线与圆的交点时取等号，|PM|≥|PF 2|−|MF 2|=|PF 2|−√13，当且仅当P ，M ，F 2三点共线时取等号， 由双曲线的定义|PF 2|﹣|PD |＝2a ＝4，所以|PM|−|PN|≥|PF 2|−√13−|PD|−1=3−√13，即|PM |﹣|PN |的最小值为3−√13． 故选：D ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知等比数列{a n }中，a 3＝8，公比q =12，其前n 项和为S n ，则下列说法中正确的是（ ）A ．a 1＝32B ．a n =26−nC ．a 24a 22=4D ．S 8=2554解：等比数列{a n }中，a 3＝8，公比q =12，其前n 项和为S n ，a 1=a 3q 2=32，故A 正确；a n =a 1q n−1=32⋅(12)n−1=26−n ，故B 正确；a 24a 22=q 2=14，故C 错误；S 8=a 1(1−q 8)1−q =2554，故D 正确．故选：ABD ．10．若直线kx ﹣y +2k ＝0与圆（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝4有公共点，则实数k 的取值可能是（ ） A ．0B ．2C ．3D ．4解：直线kx ﹣y +2k ＝0，即（x +2）k ﹣y ＝0，易知直线恒过定点（﹣2，0）， 圆（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝4的圆心坐标为（1，2），半径为2， 显然点（﹣2，0）在圆外，直线与圆有公共点， 则圆心到直线的距离d =|k−2+2k|√k +1≤2，解得0≤k ≤125． 故选：AB ．11．已知椭圆C ：x 26+y 22=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，且点P （1，1）为线段MN 的中点，则下列说法正确的是（ ） A ．椭圆C 的离心率为√63B ．△PF 1F 2的面积为1C ．直线l 的方程为x +3y ﹣4＝0D ．|MN|=2√103解：根据题意，作图如下：对A ：由题知a 2＝6，b 2＝2，则c 2＝4，所以离心率为e =c a =26=√63，A 正确； 对B ：S △PF 1F 2=12|F 1F 2|⋅y P =12×4×1=2，B 错误；对C ：设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则x 126+y 122=1，x 226+y 222=1，两式相减得(x 1+x 2)(x 1−x 2)6=−(y 1+y 2)(y 1−y 2)2，因为P （1，1）为线段MN 的中点，所以x 1+x 2＝2，y 1+y 2＝2，所以y 1−y 2x 1−x 2=−13，即直线MN 的斜率为−13，所以直线l 的方程为y −1=−13(x −1)，即x +3y ﹣4＝0，经检验符合题意，C 正确；对D ：联立{x 26+y 22=1，x +3y −4=0，得2x 2﹣4x ﹣1＝0，Δ＝16+8＞0，x 1+x 2=2，x 1x 2=−12；所以|MN|=√1+(−13)2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=2√153，D 错误．故选：AC ．12．已知函数f （x ）为定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，若当x ＜0时，xf '（x ）﹣f （x ）＜0，且f （1）＝0，则（ ） A ．2f （e ）＞ef （2）B ．当m ＜2时，f （m ）＞mf （1）C ．3f （﹣π）+πf （3）＜0D ．不等式f （x ）＞0解集为（﹣1，0）∪（1，+∞）解：构造函数g(x)=f(x)x，其中x ≠0， 因为函数f （x ）为定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，则f （﹣x ）＝﹣f （x ）， 所以g(−x)=f(−x)−x =f(x)x=g(x)，故函数g （x ）为偶函数， 当x ＜0时，g '（x ）=f′(x)x−f(x)x 2＜0，所以函数g （x ）在（﹣∞，0）上单调递减，由偶函数性质可得g （x ）在（0，+∞）上单调递增， 因为f （1）＝0，则g(1)=f(1)1=0，则g （﹣1）＝g （1）＝0， 对于A ：因为e ＞2，所以g （e ）＞g （2），即 f(e)e＞f(2)2，2f （e ）＞ef （2），故A 正确； 对于B ：不妨取m ＝1，则f （1）＝0，mf （1）＝0，故B 错误； 对于C ：因为偶函数g （x ）在（0，+∞）上单调递增， 则g （﹣π）＝g （π）＞g （3），即f(−π)−π＞f(3)3，整理可得3f （﹣π）+πf （3）＜0，故C 正确； 对于D ：当x ＜0时，由f （x ）＞0可得g （x ）=f(x)x＜0＝g （﹣1）， 又因为函数g （x ）在（﹣∞，0）上单调递减，所以﹣1＜x ＜0， 当x ＞0时，由f （x ）＞0可得 g(x)=f(x)x＞0=g(1)， 又因为函数g （x ）在（0，+∞）上单调递增，所以x ＞1，综上所述，不等式f （x ）＞0解集为（﹣1，0）∪（1，+∞），故D 正确． 故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知f '（x ）为函数f(x)=e xx 2的导函数，则f '（3）＝ e 327．解：由函数f(x)=e x x 2可得f ′(x)=xe x −2e x x 3，故f ′(3)=e 327．故答案为：e 327．14．已知{a n }为等差数列，且a 1+a 2＝1，a 8+a 9＝5，则a 5＝32．解：根据题意，{a n }为等差数列，且a 1+a 2＝1，a 8+a 9＝5，则a 1+a 2+a 8+a 9＝（a 1+a 9）+（a 2+a 8）＝2a 5+2a 5＝6，变形可得a 5=32．故答案为：32．15．已知双曲线C ：x 29−y 2b 2=1(b ＞0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，离心率为43，P 为双曲线上一点，|OP |＝4（O 为坐标原点），则△PF 1F 2的面积为 7 ． 解：如图所示：因为双曲线C 的离心率e =c a =c 3=43，所以c ＝4，|F 1F 2|＝8， 设点P 在双曲线的右支上，由|OP|=4=12|F 1F 2|=|OF 1|=|OF 2|，可得∠OPF 2＝∠OF 2P ，∠OPF 1＝∠OF 1P ，所以，∠F 1PF 2=∠OPF 1+∠OPF 2=12(∠OPF 1+∠OPF 2+∠OF 1P +∠OF 2P)=π2，由双曲线定义可得|PF 1|﹣|PF 2|＝6，由勾股定理可得|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2=64， 所以(|PF 1|−|PF 2|)2=|PF 1|2+|PF 2|2−2|PF 1|⋅|PF 2|=36，可得|PF 1|•|PF 2|＝14， 因此△PF 1F 2的面积为S =12|PF 1|⋅|PF 2|=7．故答案为：7．16．已知正四面体P ﹣ABC 的棱长为4，空间内动点M 满足|MA →+MB →|=2√2，则PM →•PC →的最大值为 8+4√2 ．解：∵正四面体P ﹣ABC 的棱长为4，空间内动点M 满足|MA →+MB →|=2√2， 设AB 的中点为O ，∵动点M 满足|MA →+MB →|=2√2，则|OM →|=√2， 故点M 在以O 为球心，以√2为半径的球面上．∵PM →=PO →+OM →，∴PM →⋅PC →=(PO →+OM →)⋅PC →=PO →⋅PC →+OM →⋅PC →． ∴PO =CO =4×sin60°=2√3，在三角形POC 中，PO =CO =2√3，PC ＝4， 取PC 的中点为E ，OE ⊥PC ，∴PO →在PC →上的投影向量的模为|PE →|，∴PO →⋅PC →=|PE →|×|PC →|=2×4=8． 设OM →，PC →夹角为θ，∴PM →⋅PC →=PO →⋅PC →+OM →⋅PC →=8+|OM →|×|PC →|cosθ=8+4√2cosθ． ∵cos θ∈[﹣1，1]，∴PM →⋅PC →∈[8−4√2，8+4√2]，即PM →⋅PC →的最大值为8+4√2． 故答案为：8+4√2．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2+a 3＝12，S 6＝48． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）记b n =1a n a n+1，求数列{b n }的前n 项和T n ． 解：（1）设等差数列 {a n } 的公差为d ，由a 2+a 3＝12，S 6＝48， 得{2a 1+3d =126a 1+15d =48，解得a 1＝3，d ＝4．所以a n ＝3+（n ﹣1）×2＝2n +1． （2）由（1）得b n =1a n a n +1，所以b n =1(2n+1)(2n+3)=12(12n+1−12n+3)，所以T n =12(13−15+15−17+...+12n+1−12n+3)=12(13−12n+3)=16−14n+6．18．（12分）已知函数f(x)=mx+lnx ． （1）若函数f （x ）在区间[12，2]上单调递减，求实数m 的取值范围；（2）当m ＝2，12≤x ≤2时，f （x ）≤a 恒成立，求实数a 的取值范围．解：（1）因为f （x ）在区间[12，2]上单调递减，所以在区间[12，2]上，f '（x ）≤0，所以f ′(x)=−m x 2+1x≤0⇒m ≥x ， 令g （x ）＝x ，只需m ≥g （x ）max ＝2，所以实数m 的取值范围为[2，+∞）．（2）由（1）知，m ＝2时，f （x ）在[12，2]上单调递减， 所以f （x ）的最大值为f(12)=4−ln2， 又当m ＝2，12≤x ≤2时，f （x ）≤a 恒成立，所以a ≥4﹣ln 2， 故实数a 的取值范围为[4﹣ln 2，+∞）．19．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝3，且S n +1+3a n ＝S n +2a n +1．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若b n ＝（n +1）•a n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．解：（1）由S n +1+3a n ＝S n +2a n +1，得S n +1﹣S n +3a n ＝a n +1+3a n ＝2a n +1，即a n+1a n=3， 所以{a n }是首项为3，公比为3的等比数列，故a n =3n ；（2）由（1）知b n =(n +1)⋅a n =(n +1)⋅3n ，则T n ＝2×3+3×32+4×33+⋯+（n +1）•3n ，①3T n ＝2×32+3×33+4×34+⋯+（n +1）•3n +1，②①与②两式相减得﹣2T n ＝6+32+33+…+3n ﹣（n +1）•3n +1＝3+3(1−3n )1−3−（n +1）•3n +1=(−1−2n)⋅3n+12+32， 故T n =(2n+14)⋅3n+1−34． 20．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，AD ⊥AB ，P A ＝AD ＝3，AB ＝BC ＝2，点N 为BC 中点，点M 为棱PD 上靠近点P 的三等分点．（1）求证：直线MN ∥平面P AB ；（2）求直线MN 与平面PCD 所成角的正弦值．（1）证明：在P A 上取点E ，使得PE ＝1，即PE =13P A ，连接EB ，EM ，因为点N 为BC 中点，点M 为棱PD 上靠近点P 的三等分点又因为AD ＝3，BC ＝2，N 为BC 的中点，所以EM ∥AD ，且EM =13AD ＝1， 因为EM ＝BN ＝1＝EM ，因为AD ∥BC ，所以EM ∥BN 且EM ＝BN ，所以四边形EBNM 为平行四边形，所以MN ∥EB ，又因为EB ⊂平面P AB ，MN ⊄平面P AB ，所以直线MN ∥平面P AB ；（2）解：如图以A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴，AD 所在的直线为y 轴，AP 所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，由题意可得：C （2，2，0），D （0，3，0），P （0，0，3），M （0，1，2），N （2，1，0）， 所以PD →=(0，3，−3)，PC →=(2，2，−3)，MN →=(2，0，−2)，设平面PCD 的一个法向量为n →=(x 1，y 1，z 1)，则{n →⋅PC →=0n →⋅PD →=0，即{2x 1+2y 1−3z 1=03y 1−3z 1=0， 令z 1＝2，则y 1＝2，x 1＝1，即n →=(1，2，2)，MN →•n →=2×1+0×2+（﹣2）×2＝﹣2，|n →|=√12+22+22=3，|MN →|=√22+02+(−2)2=2√2， 所以cos ＜MN →，n →＞=MN →⋅n →|MN →|⋅|n →|=2√2×3=−√26， 设MN 与平面PCD 所成角θ，则θ∈[0，π2]， 所以sin θ＝|cos ＜MN →，n →＞|=√26．所以直线MN 与平面PCD 所成角的正弦值为√26．21．（12分）设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点P（2，n）是抛物线C上位于第一象限的一点，且|PF|＝4．（1）求抛物线C的方程；（2）如图，过点P作两条直线，分别与抛物线C交于异于P的M，N两点，若直线PM，PN的斜率存在，且斜率之和为0，求证：直线MN的斜率为定值．（1）解：由抛物线的定义知|PF|=4=2+p2，解得p＝4，所以抛物线C的方程为y2＝8x；（2）证明：因为点P的横坐标为2，即y2＝8×2，解得y＝±4，故P点的坐标为（2，4），由题意可知，直线PM，PN不与x轴平行，设M（x1，y1），N（x2，y2），设直线PM：m（y﹣4）＝x﹣2，即x＝my﹣4m+2，代入抛物线的方程得y2＝8（my﹣4m+2），即y2﹣8my+32m﹣16＝0，则y1+4＝8m，故y1＝8m﹣4，所以x1=my1−4m+2=m(8m−4)−4m+2=8m2−8m+2，即M（8m2﹣8m+2，8m﹣4），设直线PN：﹣m（y﹣4）＝x﹣2，即x＝﹣my+4m+2，同理可得y2＝﹣8m﹣4，则x2=−my2+4m+2=−m(−8m−4)+4m+2=8m2+8m+2，即N（8m2+8m+2，﹣8m﹣4），直线MN的斜率k MN=y1−y2x1−x2=16m−16m=−1，所以直线MN的斜率为定值．22．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣2x﹣cos x．（1）求曲线y＝f（x）在原点处的切线方程；（2）讨论f（x）在R上的零点个数．解：（1）易知f（x）的定义域为R，可得f′（x）＝e x﹣2+sin x，此时f′（0）＝﹣1，又f（0）＝0，所以曲线y＝f（x）在原点处的切线方程为y＝﹣x，即x+y＝0；（2）由（1）知f′（x）＝e x+sin x﹣2，当x≤0时，e x≤1，sin x≤1，所以f′（x）＝e x+sin x﹣2≤0恒成立，即f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，此时f（x）≥f（0）＝0，则0是f（x）的一个零点；当x＞0时，f′（x）＝e x+sin x﹣2，设g（x）＝e x+sin x﹣2，函数定义域为（0，+∞），可得g′（x）＝e x+cos x＞1+cos x≥0恒成立，所以g（x）在（0，+∞）上单调递增，即f′（x）在（0，+∞）上单调递增，又f′（0）＝﹣1＜0，f′（1）＝e﹣2+sin1＞0，所以∃x1∈（0，1），使得f′（x1）＝0，当0＜x＜x1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞x1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，又f（0）＝1﹣1＝0，所以f（x1）＜0，因为f（2）＝e2﹣4﹣cos2＞e2﹣4＞0，所以∃x2∈（x1，2），使得f（x2）＝0．综上所述，f（x）在R上的零点个数为2．。
2019—2020学年第一学期期末联考高二数学（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.命题“x R ∀∈，sin 0x >”的否定是 A. x R ∃∈，sin 0x ≤ B. x R ∀∈，sin 0x ≤ C. x R ∃∈，sin 0x < D. x R ∀∈，sin 0x <【答案】A 【解析】试题分析：根据全称命题的否定是特称命题，且否定结论，故为“,sin 0x R x ∃∈≤”，所以选A. 考点：全程命题的否定.2.某学校的老师配置及比例如图所示，为了调查各类老师的薪资状况，现采用分层抽样的方法抽取部分老师进行调查，在抽取的样本中，青年老师有30人，则该样本中的老年教师人数为（ ）A. 10B. 12C. 18D. 20【答案】B 【解析】 【分析】由分层抽样的特点，运用比例关系求出结果【详解】设样本中的老年教师人数为x 人，由分层抽样的特点得：3050%20%x =，所以12x =，故选B【点睛】本题考查了分层抽样的计算，由分层抽样的特点结合比例关系求出结果，较为基础 3.若函数21()f x x x=+，则()1f '-=（ ） A. 3- B. 1C. 1-D. 3【答案】A 【解析】 【分析】对函数()f x 求导，即可求解. 【详解】21()2f x x x'=-，则(1)3f '-=-． 故选：A【点睛】本题考查求函数的导数，属于基础题.4.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率53e =，且其虚轴长为8，则双曲线C 的方程为A. 22143x y -= B. 22134x y -= C. 221916x y -=D.221169x y -= 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意建立,,a b c 的方程，求出22,a b 即可得到结果.【详解】根据题意得到：2225328c e a b c a b ⎧==⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，得345a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩故方程为：221916x y -=.故答案为C.【点睛】求双曲线方程的方法一般就是根据条件建立,,a b c 的方程，求出22,a b 即可，注意222-,ca b c e a=+=的应用.5.命题“[]21,2,0x x a ∀∈-≤”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）A. 4a ≥B. 4a ≤C. 5a ≥D. 5a ≤【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得原命题为真命题的条件为a≥4，可得其充分不必要条件为集合{a|a≥4}的真子集，由此可得答案. 【详解】解：命题“∀x∀[1，2]，20x a -≤”为真命题，可化为∀x∀[1，2]，2a x ≥，恒成立，即“∀x∀[1，2]，20x a -≤”为真命题的充要条件为a≥4，故其充分不必要条件即为集合{a|a≥4}的真子集，由选择项可知C 符合题意． 故选C ．【点睛】本题属于命题与集合相集合的题目，解题的关键是明确充分不必要条件的定义. 6.篮球运动员甲在某赛季前15场比赛的得分如表：则这15场得分的中位数和众数分别为（ ） A. 22，18 B. 18，18C. 22，22D. 20，18【答案】B 【解析】 【分析】根据频数分布表列出的数据，找出出现次数最多的数字为众数；这组数据有15个，这组数据的中位数是排序后最中间的数字．【详解】解：根据表中数据可知，得分频率最高的为18，故众数为18， 将得分按从小到大顺序排序，8,13,13,13,18,18,18,18,22,28,28,28,33,37,37 排在中间位置的为18，故中位数为18，故选：B ．【点睛】本题考查频数分布表，考查众数、中位数，对于一组数据这两个特征数是经常考查的，本题是基础题．7.下列说法：①若线性回归方程为$35y x =-，则当变量x 增加一个单位时，y 一定增加3个单位；②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差不会改变；③线性回归直线方程y bx a =+$$$必过点(),x y ；④抽签法属于简单随机抽样；其中错误的说法是（ ） A. ①③ B. ②③④ C. ① D. ①②④【答案】C 【解析】 【分析】根据线性回归方程与方差的求法，随机抽样的知识，对选项中的命题判断正误即可．【详解】解：对于①，回归方程中，变量x 增加1个单位时，y 平均增加3个单位，不是一定增加，∴①错误；对于②，将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，均值改变，方差不变，∴②正确； 对于③，线性回归方程必经过样本中心点，∴③正确； 对于④，∴抽签法属于简单随机抽样；④正确． 综上，错误的命题是①． 故选：C ．【点睛】本题考查了线性回归方程与的应用问题，是基础题． 8.偶函数()()xxf x x e ae-=-的图象在1x =处的切线斜率为( )A. 2eB. eC.2eD. 1e e+【答案】A 【解析】 【分析】先通过偶函数的性质求出a 的值，然后对函数()f x 求导，即可求出()1f '的值，即为图像在1x =处的切线斜率．【详解】由于函数()f x 为偶函数，则()()f x f x -=， 即()()xx x x x eae x e ae ----=-，解得1a =，故()()xxf x x e e-=-，则()()xxx x f x e ee e x --=-++'，则()111112f e e e ee --=-++='，故函数()()xxf x x e ae-=-的图像在1x =处的切线斜率为2e .故选A.【点睛】本题考查了导数的几何意义，以及偶函数的性质，属于基础题．9.设a 是一个各位数字都不是0且没有重复数字的两位数．将组成a 的2个数字按从小到大排成的两位数记为I （a ），按从大到小排成的两位数记为D （a ）（例如a ＝75，则I （a ）＝57，D （a ）＝75）．执行如图所示的程序框图，若输人的a ＝51，则输出的b ＝（ ）A. 30B. 35C. 40D. 45【答案】D 【解析】 【分析】根据程序框图输入a ＝51即可。
2020-2021学年安徽省滁州市高三（上）期末数学试卷（理科）（一模）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|x >x 2−6}，B ={x|2x <4√2}，则A ∩B =( )A. (−3,52)B. (−2,52)C. (−3,2)D. (−2,2)2. 已知复数a+i2−i 是纯虚数(i 是虚数单位)，则实数a 等于( )A. −2B. 2C. 12D. −13. 执行如图所示的程序框图，则输出S 的结果为( )A. 16B. 25C. 36D. 494. 为了解学生参加“阳光体育”活动的情况，某学校随机统计了学生的“阳光体育”活动时间(单位：分钟)，已知所得样本数据都在区间[10,110]内，样本频率分布直方图如图所示，则该样本数据的中位数的估计值为( )A. 60B. 65C. 66.25D. 72.255. 设m ，n 是不同的直线，α，β是不同的平面，则( )A. 若m//α，n ⊂α，则m//nB. 若α∩β=m ，n ⊂β，n ⊥m ，则n ⊥αC. 若m//α，n//β，m//n ，则α//βD. 若m ⊥α，n ⊥β，n ⊥m ，则α⊥β6. 在“学宪法、讲宪法”活动中，将甲、乙、丙、丁四位法律老师分配到A 、B 、C 、D 四个班级进行宣讲，每个班级分配一位老师.若甲不分配到A 班，丁不分配到D 班，则分配方案的种数为( )A. 12B. 14C. 16D. 247. 已知函数f(x)=√3sin(ωx +φ)(ω>0,φ∈(0,π))的最小正周期为π2，若将f(x)的图象向右平移π6个单位长度后，所得图象对应的函数为偶函数，则φ=( )A. π6B. π3C. π2D. 2π38. 已知a =(23)13，b =(49)15，c =log 93，则( )A. a <b <cB. c <b <aC. b <c <aD. b <a <c9. 已知点M 为抛物线x 2=8y 准线上一点，点F 为焦点，O 为坐标原点，A 在抛物线上，且|AF|=10，则|MA|+|MO|的最小值为( )A. 16B. 8√2+2C. 4√13D. 8√210. 已知函数f(x)={x +1x ,x <0lnx,x >0，则方程f(f(x))+3=0的解的个数为( )A. 3B. 4C. 5D. 611. 在等差数列{a n }中，a8a 7<−1，且它的前n 项和S n 有最小值，则当S n <0时，n 的最大值为( )A. 7B. 8C. 13D. 1412. 已知函数f(x)=e −x −e x−2+12x ，则不等式f(2020+x)+f(2021−2x)≤1的解集是( )A. (−∞,4039]B. [4039,+∞)C. (−∞,4042]D. [4042,+∞)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量a ⃗ =(1,−3)，b ⃗ =(4,3)，则|a ⃗ −b ⃗ |= ______ ．14. 在平面直角坐标系xOy 中，点P(x 0,y 0)是单位圆O 上第一象限内的点，∠xOP =α，若cos(α+π3)=−1114，则x 0的值为______ ． 15. 已知双曲线x 24−y 28=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线与双曲线右支交于A ，B 两点，且∠F 1AB =π3，则△ABF 1的面积为______ ．16. 已知正方形ABCD 的边长为4，E 是BC 的中点，沿DE 把△DCE 折起，使点C 到达点F 的位置，且BE ⊥FE ，则三棱锥F −ABE 的外接球的表面积为______ ． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，满足2sin 2B +sin 2C =2sin 2A .(1)若B =π3，c =2，求△ABC 的面积； (2)求tanAtanB 的值．18.智慧课堂是指一种打破传统教育课堂模式，以信息化科学技术为媒介实现师生之间、生生之间的多维度互动，能有效提升教师教学效果、学生学习成果的新型教学模式.为了进一步推动智慧课堂的普及和应用，A市现对全市中小学智慧课堂的应用情况进行抽样调查，统计数据如表：从城市学校中任选一个学校，偶尔应用或者不应用智慧课堂的概率是1．4(1)补全2×2列联表，判断能否有99.5%的把握认为智慧课堂的应用与区域有关，并说明理由；(2)在偶尔应用或者不应用智慧课堂的学校中，按照农村和城市的比例抽取6个学校进行分析，然后再从这6个学校中随机抽取2个学校所在的地域进行核实，记其中农村学校有X个，求X的分布列和数学期望．，n=a+b+c+d．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)19.如图，已知三棱锥S−ABC中，△ABC是边长为2的等边三角形，SB=SC=4，点D为SC的中点，DA=2．(1)求证：平面SAB⊥平面ABC；(2)求二面角S−AB−D的正弦值．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，右焦点为F(4,0)，短轴长为4．(1)求椭圆C的方程；(2)若过点T(0,1)的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AT中点为P，线段BT中点为Q，且|OP|=|OQ|(O为坐标原点)，求所有满足条件的直线l方程．21.已知函数f(x)=e x+ax(其中e≈2.718为自然对数的底数)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当0≤a≤1，证明：f(x)+12x2+732>0．参考数据：ln2≈0.693．22. 平面直角坐标系xOy 中，直线C 1的参数方程为{x =t +2y =−t +4(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2(2−cos2θ)=3． (1)求直线C 1的普通方程与曲线C 2的直角坐标方程； (2)求曲线C 2上的动点到直线C 1距离的取值范围．23. 已知函数f(x)=2|x −1|+|x +2|．(1)求不等式f(x)≥6的解集；(2)若f(x)≥m +2m 对任意x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵集合A={x|x>x2−6}={x|−2<x<3}，B={x|2x<4√2}={x|x<52}，∴A∩B={x|−2<x<5}=(−2,5).故选：B．求出集合A，B，利用交集能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】C【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部等于0且虚部不等于0求解即可得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．【解答】解：∵a+i2−i =(a+i)(2+i)(2−i)(2+i)=2a−1+(a+2)i5=2a−15+a+25i是纯虚数，∴{2a−1=0a+2≠0，解得a=12．故选：C．3.【答案】B【解析】解：S=0，n=0，第一次执行循环体后，a=1，S=1，n=1，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，a=3，S=4，n=2，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，a=5，S=9，n=3，不满足退出循环的条件；第四次执行循环体后，a=7，S=16，n=4，不满足退出循环的条件；第五次执行循环体后，a=9，S=25，n=5，满足退出循环的条件；故输出S值为25，故选：B．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，得出正确的结论，是基础题．4.【答案】C【解析】解：由频率分布直方图得：[10,60)的频率为(0.004+0.012)×25=0.4，[60,85)的频率为0.016×25=0.4，∴该样本数据的中位数的估计值为：×25=66.25．60+0.5−0.40.4故选：C．由频率分布直方图得[10,60)的频率为0.4，[60,85)的频率为0.4，由此能求出该样本数据的中位数的估计值．本题考查该样本数据的中位数的估计值的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】D【解析】解：由m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，知：在A中，若m//α，n⊂α，则m与n平行或异面，故A错误；在B中，若α∩β=m，n⊂β，n⊥m，则n与α相交但不一定垂直，故B错误；在C中，若m//α，n//β，m//n，则α与β相交或平行，故C错误；在D中，若m⊥α，n⊥m，则n和α平行或n在α内，又n⊥β，则α⊥β，故D正确．故选：D．在A中，m与n平行或异面；在B中，n与α相交但不一定垂直；在C中，α与β相交或平行；在D中，由面面垂直的判定理得α⊥β．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．6.【答案】B【解析】解：根据题意，分2种情况讨论：①若甲分配到D班，剩下三人全排列即可，有A33=6种情况，②若甲不分配到D班，甲的分配方法有2种，丁不能分配到D 班，其分配方法有2种，剩下2人安排到剩下的2个班级，有2种分配方法， 此时有2×2×2=8种分配方法， 则一共有6+8=14种不同的分配方法， 故选：B ．根据题意，按甲的分配方法分2种情况讨论，由加法原理计算可得答案． 本题考查排列的应用，注意要按甲是否分到D 班进行讨论，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：函数f(x)=√3sin(ωx +φ)(ω>0,φ∈(0,π))的最小正周期为π2， 则2πω=π2， 解得ω=4．将f(x)=√3sin(4x +φ)的图象向右平移π6个单位长度后， 得到g(x)=√3sin(4x −2π3+φ)，由于所得图象对应的函数为偶函数， 故−2π3+φ=kπ+π2，整理得φ=kπ+7π6，当k =−1时，φ=π6． 故选：A ．直接利用正弦型函数的性质和函数的图象的平移变换的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数的平移变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：∵1=(23)0>a =(23)13>b =(49)15=(23)25>23，c =log 93=12， ∴c <b <a ． 故选：B ．利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.【答案】C【解析】解：由抛物线的方程可得：F(0,2)，准线方程为：y =−2， 设点A 的坐标为(x,y)，则由|AF|=10=y +2，所以y =8，代入抛物线方程可得：x =±8，不妨设A(8,8)， 原点O 关于准线的对称点为N(0,−4)， 则|MA|+|MO|=|MA|+|MN|，当A ，M ，N 三点共线时，|MA|+|MN|最小， 最小值为|AN|=√82+(8+4)2=4√13， 故选：C ．求出抛物线的准线方程，求出原点关于准线的对称点N ，由抛物线的定义求出点A 的坐标，再利用三点共线即可求解．本题考查了抛物线的性质，涉及到线段和的最小值问题，考查了学生的数形结合思想，属于中档题．10.【答案】C【解析】解：∵函数f(x)={x +1x ,x <0lnx,x >0， 由f(x)=−3，当x >0，即lnx =−3，解得x =1e 3，当x <0时，则有x +1x =−3，解得x =−3±√52，∵f(f(x))+3=0即f(x)=1e 3，或f(x)=−3±√52， 由f(x)=1e 3，可得lnx =1e 3，此方程只有一个根， 又x <0时，f(x)=x +1x ≤−2，故f(x)=−3+√52仅在x >0时有一个根，f(x)=−3−√52在x <0时有两个根，在x >0时有一个根，综上，方程f(f(x))+3=0有五个根，故选：C ．先研究f(x)=−3时方程根的情况，从而推测出f(f(x))+3=0内层f(x)的值，然后研究相关方程得出根的个数．本题考查函数的零点与方程根的关系，研究出函数f(x)的性质，是解答本题的关键，本题考查了转化的思想，方程的思想，对数函数与对勾函数的性质，综合性强，较难．11.【答案】C【解析】解：因为等差数列{a n }的前n 项和S n 有最小值，则d >0，又a8a 7<−1，所以a 7<0，a 8>0，所以a 7+a 8>0， 又S 13=13(a 1+a 13)2=13a 7<0，S 14=14(a 1+a 14)2=7(a 7+a 8)>0，所以当S n <0时，n 的最大值为13． 故选：C ．利用前n 项和S n 有最小值，得到d >0，再结合a8a 7<−1，可得到a 7<0，a 8>0，a 7+a 8>0，利用求和公式以及等差数列的性质可得S 13<0，S 14>0，从而得到答案．本题考查了等差数列的前n 项和公式、等差数列的性质，解题的关键是熟练掌握等差数列的公式以及相关性质，属于中档题．12.【答案】A【解析】解：∵f(x)=e −x −e x−2+12x ，∴f(2−x)=e −(2−x)−e (2−x)−2+12(2−x)=e x−2−e −x +1−12x ， 则f(x)+f(2−x)=1，即是f(x)关于(1,12)对称，由f(2020+x)+f(2021−2x)≤1得f(2021−2x)≤1−f(2020+x)=f(2−(2020+x))=f(−x −2018)，f′(x)=−e −x −e x−2+12，令g(x)=f′(x)=−e −x −e x−2+12，g′(x)=e −x −e x−2，为减函数，且当x <1时，g′(x)>0，f′(x)单调递增， 当x >1时，g′(x)<0，f′(x)单调递减，即当x =1时，f′(x)取得极大值f′(1)=−2e −1+12<0， 即f′(x)<0恒成立，则f(x)在R 上是减函数，则不等式f(2021−2x)≤f(−x−2018)，等价为2021−2x≥−x−2018，即x≤2021+2018=4039，即不等式的解集为(−∞,4039]，故选：A．根据条件得到f(x)+f(2−x)=1，然后将把不等式进行转化，求函数的导数，研究函数的单调性，结合函数的单调性将不等式进行转化求解即可．本题主要考查不等式的求解，结合条件得到f(x)+f(2−x)=1，以及求函数的导数，研究函数的单调性，利用函数的单调性将不等式进行转化是解决本题的关键，是中档题．13.【答案】3√5【解析】【分析】本题考查向量的坐标计算，涉及向量模的计算公式，属于基础题．根据题意，求出a⃗−b⃗ 的坐标，由向量模的计算公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，向量a⃗=(1,−3)，b⃗ =(4,3)，则a⃗−b⃗ =(−3,−6)，则|a⃗−b⃗ |=√9+36=3√5，故答案为：3√5．14.【答案】17【解析】解：因为点P(x0,y0)是单位圆O上第一象限内的点，∠xOP=α，所以α是第一象限角，且x0=cosα，y0=sinα，因为cos(α+π3)=−1114<0，所以α+π3为第二象限角，所以sin(α+π3)=√1−cos2(α+π3)=5√314，故x0=cosα=cos[(α+π3)−π3]=cos(α+π3)cosπ3+sin(α+π3)sinπ3 =−1114×12+5√314×√32=17．故答案为：17．利用点P(x0,y0)是单位圆O上第一象限内的点，∠xOP=α，从而确定α为第一象限角，利用同角三角函数关系求出sin(α+π3)的值，再利用任意角的三角函数的定义得到x0=cosα，结合角的变换，将α转化为已知的角α+π3表示，运用两角差的余弦公式求解即可得到答案．本题考查了三角函数的求值问题，涉及了任意角三角函数的定义、同角三角函数关系的应用、两角差的余弦公式的应用，解题的关键是将α转化为已知的角α+π3表示，属于中档题．15.【答案】16√3【解析】解：由题意知，|F1F2|=2√4+8=4√3，设|AF2|=m，由双曲线的定义知，|AF1|−|AF2|=2a=4，∴|AF1|=m+4，在△AF1F2中，由余弦定理知，cos∠F1AB=|AF1|2+|AF2|2−|F1F2|22|AF1|⋅|AF2|=(m+4)2+m2−(4√3)22(m+4)⋅m=cosπ3，化简得，m2+4m−32=0，解得m=4或−8(舍负)，∴|AF2|=4，|AF1|=8，∴|AF2|2+|F1F2|2=|AF1|2，即AB⊥F1F2，∴|AB|=2|AF2|=8，∴△ABF1的面积为12|F1F2|⋅|AB|=12×4√3×8=16√3．故答案为：16√3．设|AF2|=m，由双曲线的定义可得|AF1|=m+4，在△AF1F2中，由余弦定理列得关于m的方程，解之后，再由勾股定理的逆定理可推出AB⊥F1F2，故S=12|F1F2|⋅|AB|，得解．本题考查双曲线的定义与几何性质，还运用了余弦定理，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．16.【答案】20π【解析】解：以C 为坐标原点，CD ，CB 为x 轴，y 轴建立空间直角坐标系，则E(0,2，0)，D(4,0，0)，B(0,4，0)，A(4,4，0)，F(x,y ，z)， 由折叠性质可得，|EF|=2，|FD|=4，DF ⊥EF ，BE ⊥EF ，则有{x 2+(y −2)2+z 2=4(x −4)2+y 2+z 2=16x(x −4)+y(y −2)+z 2=0−2(y −2)=0，解得x =1，y =2，z =√3， 设三棱锥F −ABE 的外接球的半径为r ，球心为(a,b ，c)，则有{ (a −4)2+(b −4)2+c 2=r 2a 2+(b −4)2+c 2=r 2a 2+(b −2)2+c 2=r 2(a −1)2+(b −2)2+(c −√3)2=r2， 解得a =2，b =3，c =0，r 2=5，所以三棱锥F −ABE 的外接球的表面积为S =4πR 2=20π． 故答案为：20π．建立空间直角坐标系，设F(x,y ，z)，利用折叠性质可得|EF|=2，|FD|=4，DF ⊥EF ，BE ⊥EF ，然后列出方程组求出F 的坐标，设三棱锥F −ABE 的外接球的半径为r ，球心为(a,b ，c)，利用球心到各顶点的距离等于半径，列出方程组，求解即可得到半径，利用球的表面积公式求解即可．本题考查了球的理解和应用，涉及了三棱锥外接球的求解、空间两点间距离公式的应用，解题的关键是掌握球的相关性质，属于中档题．17.【答案】解：(1)因为满足2sin 2B +sin 2C =2sin 2A ，由正弦定理，2b 2+c 2=2a 2， 即a 2−b 2=12c 2， 若B =π3，由余弦定理b 2=a 2+c 2−2accosB ， 得b 2=a 2+c 2−ac ， 所以ac =32c 2， 由于c =2， 所以ac =6，所以S△ABC=12acsinB=3√32．(2)由a2−b2=12c2，所以tanAtanB =sinAcosBsinBcosA=a⋅c2+a2−b22acb⋅b2+c2−a22bc=a2+c2−b2b2+c2−a2=32c212c2=3．【解析】本题考查的知识要点：三角函数关系的变换，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．(1)直接利用正弦定理和余弦定理的应用求出三角形的面积；(2)利用三角函数的关系式的变换和余弦定理的应用求出结果．18.【答案】解：(1)因为从城市学校中任选一个学校，偶尔应用或者不应用智慧课堂的概率是14，所以经常应用智慧课堂的概率是34，又城市学校中经常应用智慧课堂的有60所学校，所以城市学校共有6034=80所以所以得2×2列联表，K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=160(20×40−40×60)2100×60×80×80=323=10.667>7.879.所以有99.5%的把握认为认为智慧课堂的应用与区域有关;(2)在偶尔应用或者不应用智慧课堂的学校中，农村和城市的比例是2：1，所以抽取的6个样本有4个是农村学校，2个是城市学校，从中抽取2个，则X的可能取值为0，1，2．P(X=0)=C40C22C62=115，P(X=1)=C41C21C62=815，P(X=2)=C42C2C62=25．所以X的分布列为：X 的数学期望E(X)=0×115+1×815+2×25=43．【解析】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，独立检验思想的应用，是中档题． (1)利用已知条件填写列联表，求出K 2，即可判断是否有99.5%的把握认为认为智慧课堂的应用与区域有关． (2)X 的可能取值为0，1，2.求出概率，得到分布列，然后求解期望即可．19.【答案】(1)证明：因为SC =4，点D 为SC 的中点，所以SD =DC =2，又AC =DA =2，所以△ADC 是等边三角形，所以∠DCA =π3， 由余弦定理可得SA =2√3，所以SC 2=SA 2+AC 2，SA ⊥AC ． 又△SAB ≌△SAC ，得SA ⊥AB ， 又AB ∩AC =A ，AB 、AC ⊂平面ABC ， 所以SA ⊥平面ABC ，又SA ⊂平面SAB ，所以平面SAB ⊥平面ABC ．(2)解：以A 为坐标原点，AB 为x 轴，在平面ABC 内过点A 垂直于AB 的直线为y 轴，AS 为z 轴，建立空间直角坐标系．则A(0,0，0)，B(2,0，0)，C(1,√3,0)，S(0,0，2√3)，所以D(12,√32,√3)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0，0)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,√32,√3)， 设m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)为平面ABD 的法向量， 由{m ⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x =0m ⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12x +√32y +√3z =0，令z =1，得m⃗⃗⃗ =(0,−2,1)． 而平面SAB 的一个法向量n ⃗ =(0,1，0)， ∴cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=−2√55． 设二面角S −AB −D 的平面角为θ，则二面角S −AB −D 的正弦值为sinθ=2√55)=√55．【解析】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．(1)推导出SA ⊥AC ，SA ⊥AB ，从而SA ⊥平面ABC ，由此能证明平面SAB ⊥平面ABC ．(2)以A 为坐标原点，AB 为x 轴，在平面ABC 内过点A 垂直于AB 的直线为y 轴，AS 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角S −AB −D 的正弦值．20.【答案】解：(1)由题意得{ c =42b =4a 2=b 2+c 2，解得{c =4b =2a =20，所以椭圆C 的方程为：x 220+y 24=1 (2)因为直线l 过点T(0,1)，若l ⊥x 轴，则A 、B 是C 的短轴端点，显然不满足条件， 所以设直线l 方程为：y =kx +1，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，x 1≠x 2， 则有y 1=kx 1+1，y 2=kx 2+1，先把C 的方程化为x 2+5y 2=20，再联立方程得，{x 2+5y 2=20y =kx +1⇒(1+5k 2)x 2+10kx −15=0⇒x 1+x 2=−10k1+5k 2， 由|OP|=|OQ|，和中点坐标公式得，(x12)2+(y 1+12)2=(x22)2+(y 2+12)2， 所以(x 1−x 2)(x 1+x 2)=−(y 1−y 2)(y 1+y 2+2)⇒(x 1−x 2)(x 1+x 2)=−k(x 1−x 2)[k(x 1+x 2)+4]，所以(x 1+x 2)+k 2(x 1+x 2)+4k =0⇒−10k1+5k 2−10k 31+5k 2+4k =0，解得k 1=0，k 2=√155，k 3=√155， 所以l 方程为：y =1、y =√155x +1和y =−√155x +1．故答案为：(1)椭圆C 的方程为：x 220+y 24=1，(2)直线l 方程为：y =1、y =√155x +1和y =−√155x +1．【解析】本题考查用待定参数法求椭圆方程和直线方程，考查了直线与椭圆位置关系问题，属中档题． (1)用待定参数法求解，(2)设直线方程，联立方程组，利用|OP|=|OQ|以及中点坐标公式，解方程组，用待定系数法解求解直线方程．21.【答案】(1)解：函数f(x)的定义域为R ，f′(x)=e x +a ，①当a ≥0时，f′(x)>0，则f(x)在R 上单调递增； ②当a <0时，由f′(x)=0，解得x =ln(−a)， 当x <ln(−a)时，f′(x)<0，所以f(x)单调递减；当x>ln(−a)时，f′(x)>0，所以f(x)单调递增．综上所述，当a≥0时，f(x)在R上单调递增；当a<0时，f(x)在(−∞,ln(−a))单调递减，在(ln(−a),+∞)单调递增，(2)证明：①当x≥0时，显然有f(x)+12x2+732>0；②当x<0时，令g(a)=f(x)+12x2+732=xa+e x+12x2+732，则函数g(a)在0≤a≤1时单调递减，所以只需证明g(1)>0，即e x+12x2+x+732>0，令ℎ(x)=e x+12x2+x+732(x<0)，则φ(x)=ℎ′(x)=e x+x+1，显然φ(x)单调递增，又φ(−2)<0，φ(−1)>0，所以存在唯一x0∈(−2,−1)，使φ(x0)=0，当x∈(−∞,x0)时，φ(x)<0，ℎ(x)单调递减；当x∈(x0,+∞)时，φ(x)>0，ℎ(x)单调递增，所以ℎ(x)≥ℎ(x0)，因为φ(x0)=0，所以e x0+x0+1=0，即e x0=−(x0+1)，所以ℎ(x)≥ℎ(x0)=e x0+12x02+x0+732=−(x0+1)+12x02+x0+732=12x02−2532，又因为ln4=2ln2=2×0.693>54，所以e54<4，所以φ(−54)=1e54−14>0，从而x0∈(−2,−54)，所以12x02−2532>12×(−54)2−2532=0，则ℎ(x)>0，故待证不等式成立．【解析】(1)求出函数f(x)的定义域，求出导函数，对a的取值进行分类讨论，分别研究导函数的正负判断函数的单调性；(2)构造关于a的函数g(a)=f(x)+12x2+732=xa+e x+12x2+732，利用其单调性，将问题转化为证明g(1)>0，构造函数ℎ(x)=e x +12x 2+x +732(x <0)，利用导数研究其单调性，可得存在唯一x 0∈(−2,−1)，ℎ(x)≥ℎ(x 0)，利用e x 0=−(x 0+1)，结合ln4=2ln2=2×0.693>54，得到e 54<4，从而确定x 0∈(−2,−54)，分析可证明12x 02−2532>12×(−54)2−2532=0，从而得出证明． 本题考查了导数的综合应用，涉及了利用导数研究函数的单调性的应用、利用导数构造函数证明不等式问题，综合性强，对学生的思维能力要求很高，属于难题．22.【答案】解：(1)∵直线C 1的参数方程为{x =t +2y =−t +4(t 为参数)，∴消去参数t ，得C 1的普通方程为x +y −6=0． ∵曲线C 2的极坐标方程为ρ2(2−cos2θ)=3， ∴2ρ2−ρ2(cos 2θ−sin 2θ)=3，∴C 2的直角坐标方程为2(x 2+y 2)−(x 2−y 2)=3， 即x 23+y 2=1．(2)曲线C 2的参数方程为{x =√3cosαy =sinα(α为参数)，设C 2上的动点为M(√3cosα,sinα)， 则C 2上的动点到C 1距离d =√3cosα+sinα−6|√2=|2sin(α+π3)−6|√2．∵2sin(α+π3)∈[−2,2]，则C 2上的动点到C 1距离的最大值是4√2，最小值是2√2，∴C 2上的动点到C 1距离的取值范围是[2√2,4√2]．【解析】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数之间的关系式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于中档题．(1){x =t +2y =−t +4(t 为参数)，消去参数t ，得C 1的普通方程．曲线C 2的极坐标方程，通过极坐标与直角坐标的互化，化为普通方程即可．(2)曲线C 2的参数方程为{x =√3cosαy =sinα(α为参数)，设C 2上的动点为M(√3cosα,sinα)，利用点到直线的距离，结合三角函数的最值求解最值，得到范围即可．23.【答案】解：(1)由不等式f(x)≥6，可得f(x)=2|x −1|+|x +2|≥6，所以{x ≤−22−2x −x −2≥6或{−2<x <12−2x +x +2≥6或{x ≥12x −2+x +2≥6解得x ≤−2或x ≥2，所以原不等式的解集为(−∞,−2]∪[2,+∞).(2)因为f(x)=2|x −1|+|x +2|={−3x,x ≤−2−x +4,−2<x <13x,x ≥1，所以f(x)在(−∞,1)上单调递减，在[1,+∞)上单调递增， 所以f(x)min =f(1)=3，要f(x)≥m +2m 对任意x ∈R 恒成立，只需3≥m +2m ，即m 2−3m+2m≤0，所以{(m −1)(m −2)≤0m >0或{(m −1)(m −2)≥0m <0，解得1≤m ≤2或m <0，所以实数m 的取值范围为(−∞,0)∪[1，2]．【解析】本题考查不等式恒成立，绝对值不等式的解法，考查转化思想以及计算能力，是中档题． (1)由不等式f(x)≥6，利用零点分段法解不等式即可．(2)将f(x)写为分段函数的形式，然后求出f(x)的最小值，f(x)≥m +2m 对任意x ∈R 恒成立，只需3≥m +2m ，转化求解m 的范围即可．。
安徽省滁州市民办重点中学2019-2021年高二上学期第一次联考数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}220M x x x =--<,{N x y ==，则M N ⋃=（ ） A ．{}1x x >- B ．{}12x x ≤< C ．{}12x x -<< D ．{}0x x ≥ 2．若x 0,y 0>>，则x+y 1>是22x 1y +>的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件 3．若点55sin ,cos 66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭在角α的终边上，则sin α的值为（ ） AB ．12C ．12- D．4．定义运算：12142334a a a a a a a a =-，将函数sin ()cos x f x xωω=（0>ω）的图像向左平移2π3个单位所得图像对应的函数为偶函数，则ω的最小值是（ ） A ．54 B ．14 C ．74D ．34 5．设()0,90α∈︒︒，若3sin 7525°，则sin 15sin 75°°( ) A ．110B ．20C ．110-D ．20- 6．安徽黄山景区，每半个小时会有一趟缆车从山上发车到山下，某人下午在山上，准备乘坐缆车下山，则他等待时间不多于5分钟的概率为（ ）A ．13B ．16C ．19D ．112 7．远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是( )A ．336B ．510C ．1326D ．36038．已知数列{}n a 的通项公式为()()11n a n N n n +=∈+，其前n 项和910n S =，则直线11x y n n+=+与坐标轴所围成的三角形的面积为（ ） A ．36 B ．45 C ．50 D ．559．已知圆22111:30C x y D x E y +++-=和圆22222:30C x y D x E y +++-=都经过点(2,1)A -，则同时经过点11()D E ,和点22()D E ,的直线方程为（ ）A ．220x y -+=B ．20x y --=C ．20x y -+=D ．220x y +-=10．如图是某四面体ABCD 水平放置时的三视图（图中网格纸的小正方形的边长为1，则四面体ABCD 外接球的表面积为A ．20πB ．1256πC ．25πD ．100π11．设,x y 为实数,若2241x y xy ++=,则2x y +的最大值是（ ）AB．5 C ．85 D．512．定义在R 上的函数f （x ）对任意x 1，x 2（x 1≠x 2）都有()()1212f x f x x x --＜0，且函数y =f （x +1）的图象关于点（-1，0）成中心对称，若当1≤s ≤4时，s ，t 满足不等式-f （2s ）≥f （t ）≥f （s ），则t s s t-+的取值范围是（ ）A ．13,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B ．15,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C ．15,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ D ．[]3,0-二、填空题13．若sin cos 1sin 2cos 2θθθθ+=-，则sin 2θ=___________． 14．关于曲线C ：421x y +=，给出下列说法：①关于坐标轴对称； ②关于点()0,0对称；③关于直线y x =对称； ④是封闭图形，面积大于π．则其中正确说法的序号是______.(注：把你认为正确的序号都填上)15．在平行四边形ABCD 中，∠BAD=60°，AB=1，P 为平行四边形内一点，且(,)AP AB AD R λμλμ=+∈，则λ+的最大值为___________． 16．点E 、F 、G 分别是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱AB 、BC 、B 1C 1的中点，如图所示，则下列命题中的真命题是________(写出所有真命题的编号)．①以正方体的顶点为顶点的三棱锥的四个面中最多只有三个面是直角三角形；②过点F 、D 1、G 的截面是正方形；③点P 在直线FG 上运动时，总有AP ⊥DE ；④点Q 在直线BC 1上运动时，三棱锥A －D 1QC 的体积是定值；⑤点M 是正方体的平面A 1B 1C 1D 1内的到点D 和C 1距离相等的点，则点M 的轨迹是一条线段．三、解答题17．已知p ：不等式1m -≤a ⎡∈-⎣恒成立，q :关于x 的不等式20x mx m ++<有解，若p q ∨为真，p q ∧为假，求m 的取值范围．18．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足()2cos cos 0a b C c B ++=．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求sin cos A B 的取值范围．19．已知等差数列{}n a 满足12231()()()2(1)n n a a a a a a n n +++++++=+（*n N ∈）.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列12n n a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S . 20．某射击运动员进行射击训练，前三次射击在靶上的着弹点、、A B C 刚好是边长为3 cm 的等边三角形的三个顶点.（Ⅰ）第四次射击时，该运动员瞄准ABC ∆区域射击（不会打到ABC ∆外），则此次射击的着弹点距、、A B C 的距离都超过1?cm 的概率为多少？（弹孔大小忽略不计） (Ⅱ) 该运动员前三次射击的成绩（环数）都在区间[7.5,8.5)内，调整一下后，又连打三枪，其成绩（环数）都在区间[9.5,10.5)内.现从这6次射击成绩中随机抽取两次射击的成绩（记为a 和b ）进行技术分析.求事件“1a b ->”的概率.21．在平面直角坐标系xOy 中，已知半径为2的圆C ，圆心在x 轴正半轴上，且与直线20x +=相切.（1）求圆C 的方程；（2）在圆C 上，是否存在点，满足PQ =，其中，点Q 的坐标是(1,0)Q -.若存在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由；（3）若在圆C 上存在点(),M m n ，使得直线:1l mx ny +=与圆22:1O x y +=相交不同两点,A B ，求m 的取值范围.并求出使得OAB ∆的面积最大的点M 的坐标及对应的OAB ∆的面积.22．如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 为直角梯形，AD//BC ，且112BC AD ==，BC⊥DC，∠BAD=60°，平面PAD⊥底面ABCD，E为AD的中点，△PAD为等边三角形，M是棱PC上的一点，设PMkMC（M与C不重合）．（1）求证：CD⊥DP；（2）若PA∥平面BME，求k的值；（3）若二面角M﹣BE﹣A的平面角为150°，求k的值．参考答案1．A【解析】集合{}{}{220|12,?{|1}M x x x x x N x y x x =--<=-<<===≥. {}1M N x x ⋃=>-.故选A.2．B【分析】在第一象限中，画出1x y +>和221x y +>的范围，根据两者的包含关系判断充分、必要条件.【详解】在第一象限中，画出1x y +>和221x y +>的范围如下图所示，由图可知前者的范围包含后者的范围，故前者是后者的必要不充分条件条件.故选B.【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查利用图像表示不等式，属于中档题. 3．D【解析】试题分析：因为551(sin ,cos )(,6622ππ=-，所以sin α==故选D ．考点：任意角的三角函数值．4．A【分析】 利用三角恒等变换，化函数()f x 为余弦型函数，根据三角函数的图象变换规律，得到对应的函数y ，由函数y 为偶函数，即可求出ω的最小值.【详解】根据新定义运算，函数()sin 1cos x f x xωω=sin 2cos (0)6x x x πωωωω⎛⎫=-=+> ⎪⎝⎭. ∵()f x 的图像向左平移2π3个单位 ∴所得图象对应的函数为222cos 2cos 3636y x x ππωππωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 又∵函数y 为偶函数 ∴2,36k k Z ωπππ+=∈，解得31,24k k Z ω=-∈. ∵0ω> ∴当1k =时，ω的最小值是54. 故选A.【点睛】三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言，解题时要注意函数的平移和偶函数的合理运用．5．B【解析】()()sin 75cos 15αα-=+，所以原式等于()()()1sin 15cos 15sin 3022ααα++=+ 而()()()()2sin 302sin[75245]sin 752cos 752αααα⎡⎤+=+-=+-+⎣⎦ ，()75275,255α+∈ ，又因为()sin 7520α+<，所以()752180,255α+∈，可求得()4cos 7525α+=- ，那么()()()2234sin 302sin 752cos 75255ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎡⎤+=+-+=---= ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦，那么()1sin 3022α+= B. 6．B【分析】由题意分析在何区间内等待时间可以控制在5分钟之内，再由概率计算公式即可求出结果.【详解】此人在25分到30分或55分到60分之间的5分钟内到达，等待时间不多于5分钟，所以他等待时间不多于5分钟的概率为101P 606==.故选B 【点睛】本题主要考查几何概型，熟记公式即可求解，属于基础题型.7．B【解析】试题分析：由题意满七进一，可得该图示为七进制数, 化为十进制数为321737276510⨯+⨯+⨯+=,故选B.考点：1、阅读能力及建模能力；2、进位制的应用.8．B【分析】利用裂项相消法求出n S ，再由910n S =求出n 的值，从而得到直线方程，易求得该直线与坐标轴的交点，利用三角形面积公式即可得到结论.【详解】由()11111n a n n n n ==-++， 所以11111111223111n n S n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 又知910n S =，所以9110n n =+，解得9n =， 所以直线方程为1109x y +=，且与坐标轴的交点为(10，0)和(0，9)， 所以直线与坐标轴所围成的三角形的面积为1109452⨯⨯=. 故选：B【点睛】本题考查裂项相消法求数列的前n 项和，考查直线的截距式方程，三角形面积公式，属于基础题.9．A【分析】把点()2,1A -的坐标代入两个圆的方程中，再根据点线关系进行求解即可.【详解】将()2,1A -代入两圆方程得：1122220,220D E D E -+=-+=，所以，点()11,D E 和点()22,D E 满足直线方程220x y -+=即同时经过点()11,D E 和点()22,D E 的直线方程为220x y -+=.故选：A【点睛】本题考查了点圆关系、点线关系，属于基础题.10．C【详解】由三视图可知，这是三棱锥的三视图，如下图所示，三角形BCD 为等腰直角三角形， 其外心为BD 中点1O ，设O 为AD 中点，则O 为外接球球心，半径长度为1522AD =， 所以表面积为25π.11．D 【解析】试题分析：22145x y xy xy =++≥，()282135x y xy +=+≤，故25x y +≤. 考点：基本不等式. 【思路点晴】在运用时，注意条件a 、b 均为正数，结合不等式的性质，进行变形.三个式子必须都为非负且能同时取得等号时，三个式子才能相乘，最后答案才能取得等号.在利用基本不等式证明的过程中，常常要把数、式合理的拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式． 12．D 【解析】 【分析】由已知可得函数的奇偶性与单调性，再由14s ，且s ，t 满足不等式()()()2sf f t f s -，得到约束条件，作出可行域，由线性规划知识求解． 【详解】解：由函数(1)y f x =+的图象关于点(1,0)-成中心对称，可得()y f x =的图象关于原点O 中心对称，即函数()f x 为奇函数，又对任意1x ，212()x x x ≠都有1212()()0f x f x x x -<-，可知()f x 在R 上单调递减，由()()()2s f f t f s -，得()()()2s f f t f s -，即20s t s t+⎧⎨⎩，∴约束条件为1420s s t s t ⎧⎪⎨⎪+⎩，画出可行域如图：222111t s t s s s t s t s t s t s-+-==-=-++++． 由图可知，112t s -，则1122ts +， 2411t s∴--+，则[3t s s t -∈-+，0]． 故选：D ． 【点睛】本题考查函数的性质及其应用，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题． 13．817-【解析】由题意可得tan 4θ=-，2222sin cos 2tan 8sin 2sin cos tan 117θθθθθθθ-===++．填817-．14．①②④ 【解析】对于①②，将方程中的x 换成−x ，y 换成−y 方程不变，所以曲线C 关于x 轴、y 轴、原点对称，故①②对；对于③，将方程中的x 换为y ，y 换为x 方程变为y 4+x 2=1与原方程不同，故③错； 对于④，在曲线C 上任取一点()420000,1Mx y x y +=，，∵|0y|⩽1，∴40x⩽20x，∴224200001x y x y+≥+=，即点M在圆x2+y2=1外，故④对.故答案为①②④.15．【解析】试题分析：因为，所以，即，又因为，所以，因此，即所以，所以的最大值为，当且仅当取等号.考点：平面向量及运算、基本不等式及应用.16．③④⑤【解析】对于①，三棱锥A－BCC1的四个面都是直角三角形，故①为假命题；对于②，截面为矩形FGD1D，易知其边长不等，故②为假命题；③易证DE⊥平面AFG，又AP⊂平面AFG，故DE⊥AP，故③为真命题；④由于BC1∥平面ACD1，故三棱锥Q－ACD1的高为定值，即点Q到平面ACD1的距离为定值，而底面积S△ACD1也为定值，故三棱锥体积为定值，故④为真命题；⑤到D、C1距离相等的点的轨迹为平面A1BCD1(中垂面)，又点M在平面A1B1C1D1中，故点M的轨迹为线段A1D1，故⑤为真命题．17．(,1)[0,3](4,)-∞-⋃⋃+∞【解析】试题分析：先求出关于p，q的m的范围，根据p∨q为真，且p∧q为假，p与q必有一真一假，得到不等式组，解出即可．试题解析：解：不等式1m -≤对于a ⎡∈-⎣恒成立，可得，12,13m m -≤∴-≤≤又命题q :关于x 的不等式20x mx m ++<有解，所以240m m ->解得4m > 或0m < ，因为p q ∨为真，p q ∧为假，所以p 与q 必有一真一假当p 真q 假时，有03m ≤≤ ， 当p 假q 真时，4m > 或1m <- ，综上，实数m 的取值范围是()[](),10,34,-∞-⋃⋃+∞ ．18．（Ⅰ）23C π=；（Ⅱ）⎛ ⎝⎭． 【详解】（Ⅰ）因为()2cos cos 0a b C c B ++=，所以()2cos cos cos a C b C c B =-+， 由正弦定理得()()2sin cos sin cos sin cos sin sin A C B C C B B C A =-+=-+=-， 因为在ABC ∆中sin 0A ≠，所以1cos 2C =-， 所以23C π=． （Ⅱ）由（Ⅰ）知3A B π+=，所以033B A A ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭＜＜，所以1sin cos sin cos sin cos 32A B A A A A A π⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11sin2sin 2423A A A π⎛⎫=+-=-+⎪⎝⎭因为03A π＜＜，所以2333A πππ--＜＜，此时1sin 223A π⎛⎫- ⎪⎝⎭＜，则10sin 22342A π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＜＜，所以sin cos A B 的取值范围为0,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．19．（1）21n a n =-；（2）12362n n -+-. 【详解】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知得()()1212234,{12,a a a a a a +=+++=即12234,{8,a a a a +=+=所以()()()11114,{28,a a d a d a d ++=+++=解得11,{2,a d == 所以21n a n =-．（Ⅱ）由（Ⅰ）得112122n n n a n ---=，所以122135232112222nn n n n S ----=+++⋯++，① 23111352321222222n n n n n S ---=+++⋯⋯++，② -①②得：2211112123113222222n n n nn n S --+=++++⋯+-=-所以4662n nn S +=-． 点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn ”与“qSn ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn －qSn ”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解. 20．(II)35【解析】 【分析】（I ）用三角形ABC 的面积减去三个扇形的面积，得到“着弹点距A B C 、、的距离都超过1cm ”的点的面积，用这个面积除以三角形ABC 的面积得到所求的概率.（II ）利用列举法列出所有的基本事件，进而得到符合题意的事件，利用古典概型概率计算公式，求得所求的概率. 【详解】（Ⅰ）因为着弹点若与A B C 、、的距离都超过1cm ，则着弹点就不能落在分别以A B C 、、为中心,半径为1cm 的三个扇形区域内， 只能落在图中阴影部分内.因为193=33sin6024ABCS ∆⨯⨯= 图中阴影部分的面积为21312342ABC S S ππ∆=-⨯⨯⨯=-'， 故所求概率为1ABCS p S ∆='=（Ⅱ）前三次射击成绩依次记为123x x x 、、，后三次成绩依次记为123y y y 、、，从这6次射击成绩中随机抽取两个，基本事件是：{}{}{}121323,,,,,,x x x x x x{}{}{}121323,,,,,,y y y y y y{}{}{}111213,,,,,,x y x y x y {}{}{}212223,,,,,,x y x y x y {}{}{}313233,,,,,x y x y x y ，共15个，其中可使1a b ->发生的是后9个基本事件.故93(1)155P a b ->==. 【点睛】本小题主要考查几何概型的计算，考查古典概型的计算，考查阅读与理解能力，属于基础题. 21．（1）()2224x y -+=；（2）不存在点满足条件；（3）144m <≤，12. 【详解】（1）设圆心是()()00,00x x >，它到直线20x -+=的距离是2d ==，解得02x =或06x =-（舍去）,所以,所求圆C 的方程是()2224x y -+=.（2）假设存在这样的点，则由，得.即，点P 在圆D:()2222x y ++=上，点P也在圆C:()2224x y -+=上.因为=42c d CD r r >+=+C 与圆D 外离，圆C 与圆D 没有公共点.所以，不存在点满足条件.（3）存在，理由如下：因为点(),M m n 在圆C 上，所以()2224m n -+=，()222424n m m m =--=-且04m ≤≤.因为原点到直线:1l mx ny +=的距离1h ==<，解得144m <≤而AB =212OABS AB h h ∆==-==因为111164m≤<，所以当1142m =，即12m =时，OAB S ∆取得最大值12，此时点M 的坐标是12⎛ ⎝⎭或1,2⎛ ⎝⎭，OAB ∆的面积的最大值是12. 【方法点晴】本题主要考查待定系数法求圆的方程、直线和圆的位置关系、配方法求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调法以及均值不等式法，本题（3）就是根据的这种思路，利用配方法求OAB ∆的最大值的. 22．（1）证明见解析；（2）1；（3）3. 【详解】（1）因为△PAD 为等边三角形，E 为AD 的中点，所以PE ⊥AD ．因为平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD∩平面ABCD=AD ，PE ⊂平面PAD ， 所以PE ⊥平面ABCD ．又CD ⊂平面ABCD ，所以PE ⊥CD ．由已知得CD ⊥DA ，PE∩AD=E ，所以CD ⊥平面PAD ． 双DP ⊂平面PAD ，所以CD ⊥DP ． （2）连接AC 交BE 于N ，连接MN ．因为PA ∥平面BME ，PA ⊂平面PAC ， 平面PAC∩平面BME=MN ，所以PA ∥MN ． 因为AD ∥BC ，BC ⊥DC ，所以∠CBN=∠AEN=90°． 又CB=AE ，∠CNB=∠ANE ，所以△CNB ≌△ANE ． 所以CN=NA ，则M 为PC 的中点，k=1．（3）依题意，若二面角M ﹣BE ﹣A 的大小为150°，则二面角M ﹣BE ﹣C 的大小为30°． 连接CE ，过点M 作MF ∥PE 交CE 于F ，过A （0，1，0）作FG ⊥BE 于G ，连接MG ． 因为PE ⊥平面ABCD ，所以MF ⊥平面ABCD ． 又BE ⊂平面ABCD ，所以MF ⊥BE ．又MF∩FG=F ，MF ⊂平面MFG ，FG ⊂平面MFG ， 所以BE ⊥平面MFG ，从而BE ⊥MG ．则∠MGF 为二面角M ﹣BE ﹣C 的平面角，即∠MGF=30°．在等边△PAD 中，PE =F C 1C 1k M M ==PE P +，所以F 1kM =+． 又FG G C E =B BE ，所以FG 1kk=+． 在△MFG 中，Ftan GF=FGM ∠M解得k=3． 【点晴】本题主要考查的是直线与平面垂直的性质与判定定理、直线与平面平行的性质及二面角的求法，属于难题．解题时一定要注意二面角的平面角是锐角还是钝角，否则很容易出现错误．证明直线与平面垂直的关键是证明直线与直线垂直，证明两直线垂直常用的方法是直角三角形、等腰三角形的“三线合一”和菱形、正方形的对角线．。
安徽省滁州市2019-2020学年高二上学期期中数学试卷（理科）C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. (共12题；共24分)1. （2分） (2016高二上·嘉兴期中) 下列说法中正确的个数是（）①若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b；②若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b异面；③若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b一定不相交；④若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b平行或异面．A . 0B . 1C . 2D . 32. （2分）如图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面，该三棱锥的正视图是（）A .B .C .D .3. （2分）已知水平放置的△ABC的平面直观图△A′BC′是边长为1的正三角形，那么△ABC的面积为（）A .B .C .D .4. （2分）已知棱台的两个底面面积分别是80cm2和245cm2 ，截得这个棱台的棱锥的高为35cm，则这个棱台的高为（）A . 10cmB . 15cmC . 20cmD . 25cm5. （2分）有一个几何体的正视图、侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A . 48πB . 36πC . 24πD . 12π6. （2分） (2016高三上·洛阳期中) 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题是真命题的是（）A . 若m∥α，m∥β，则α∥βB . 若m∥α，α∥β，则m∥βC . 若m⊂α，m⊥β，则α⊥βD . 若m⊂α，α⊥β，则m⊥β7. （2分） (2016高一下·太康开学考) 用m，n表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，给出下列命题：①若m⊥n，m⊥α，则n∥α；②若m∥α，α⊥β则m⊥β；③若m⊥β，α⊥β，则m∥α；④若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β，其中，正确命题是（）A . ①②B . ②③C . ③④D . ④8. （2分）一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是（）A . 16πB . 12πC . 8πD . 25π9. （2分）下列命题中，真命题的个数有（）①；②；③“”是“”的充要条件；④是奇函数.A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个10. （2分）(2018·重庆模拟) 某几何体的三视图如图所示，其正视图和侧视图是全等的正三角形，其俯视图中，半圆的直径是等腰直角三角形的斜边，若半圆的直径为2，则该几何体的体积等于（）A .B .C .D .11. （2分）(2017·黄冈模拟) 如图，矩形ABCD中，AB=2AD=4，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE，构成四棱锥A1﹣BCDE，若M为线段A1C的中点，在翻转过程中有如下4个命题：①MB∥平面A1DE；②存在某个位置，使DE⊥A1C；③存在某个位置，使A1D⊥CE；④点A1在半径为的圆面上运动，其中正确的命题个数是（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个12. （2分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为底面ABCD上一动点，如果P到点A1的距离等于P到直线CC1的距离，那么点P的轨迹所在的曲线是（）A . 直线B . 圆C . 抛物线D . 椭圆二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高一上·延边月考) 在正方体中，二面角的大小为________.14. （1分） (2017高一下·简阳期末) 如图，在三棱柱A1B1C1﹣ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F﹣ADE的体积为V1 ，三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积为V2 ，则V1：V2=________．15. （1分）(2017·陆川模拟) 如图所示，三棱锥P﹣ABC中，△ABC是边长为3的等边三角形，D是线段AB 的中点，DE∩PB=E，且DE⊥AB，若∠EDC=120°，PA= ，PB= ，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为________．16. （1分） (2016高一上·舟山期末) 正三棱锥V﹣ABC的底面边长为2，E，F，G，H分别是VA，VB，BC，AC的中点，则四边形EFGH的面积的取值范围是________三、解答题 (共5题；共45分)17. （5分）如图1，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，点E，F分别是边CD，CB的中点，AC∩EF=O．沿EF将△CEF翻折到△PEF，连接PA，PB，PD，得到如图2的五棱锥P﹣ABFED，且PB=．（1）求证：BD⊥平面POA；（2）求四棱锥P﹣BFED的体积．18. （15分） (2015高二上·昌平期末) 在直平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，AC∩BD=O，AB=AA1=1．（1）求证：OC1∥平面AB1D1（2）求证：平面AB1D1⊥平面ACC1A1（3）求三棱锥A1﹣AB1D1的体积．19. （5分）如图所示，PA⊥平面ABC，点C在以AB为直径的⊙O上，∠CBA=30°，PA=AB=2，点E为线段PB 的中点，点M在上，且OM∥AC．（Ⅰ）求证：平面MOE∥平面PAC；（Ⅱ）求证：平面PAC⊥平面PCB．20. （10分）(2016·安徽模拟) 如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1 ，∠BAA1=60°．（1）证明：AB⊥A1C；（2）若AB=CB=2，A1C= ，求二面角B﹣AC﹣A1的余弦值．21. （10分） (2017高一上·珠海期末) 如图，DE∥BC，BC=2DE，CA⊥CB，CA⊥CD，CB⊥CD，F、G分别是AC、BC中点．（1）求证：平面DFG∥平面ABE；（2）若AC=2BC=2CD=4，求二面角E﹣AB﹣C的正切值．参考答案一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. (共12题；共24分) 1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共5题；共45分) 17-1、18-1、18-2、18-3、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、。
滁州市2018～2019学年度第二学期期末联考高二数学（理科）考生注意：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。
第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；第Ⅱ卷请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区城内作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，．在试题．．．卷、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．．。
3.本卷命题范围：必修1～5，30%，选修2～1，2～2，2～3，70%。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合A ＝{1，3，5}，B ＝{－3，1，5}，则AB=A.{1}B.{3}C.{1，3}D.{1，5} 2.若复数z=i(6+i)，则复数z 在复平面内的对应点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 3.“x 2－4x>0”是“x>4”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.若双曲线22221x y a b-=的一条渐近线与直线y=2x 垂直，则该双曲线的离心率为A.2 C.2D.2 5.有10名学生和2名老师共12人，从这12人选出3人参加一项实践活动，则恰有1名老师被选中的概率为A.922 B.716 C.916 D.13226.将函数sin(2)6y x π=+的图象向右平移6π个单位长度后，得到函数f(x)的图象，则函数f(x)的单调增区间为A.5[,]()1212k k k ππππ-+∈ZB.5[,]()1212k k k ππππ-+∈ZC.[,]()36k k k ππππ-+∈Z D.[,]()63k k k ππππ-+∈Z 7.已知x 、y 的取值如下表，从散点图知，x 、y 线性相关，且0.6y x a =+，则下列说法正确的是A.回归直线一定过点(2，2，2，2)B.x 每增加1个单位，y 就增加1个单位C.当x=5时，y 的预报值为3.7D.x 每增加1个单位，y 就增加0.7个单位8.今年全国高考，某校有3000人参加考试，其数学考试成绩2(100a )X N ～，(0a >，试卷满分150分)，统计结果显示数学考试成绩高于130分的人数为100，则该校此次数学考试成绩高于100分且低于130分的学生人数约为 A.1300 B.1350 C.1400 D.1450 9.函数2cos (1sin )y x x =+在区间[0,]2π上的最大值为A.2B.1C.1 10.在“一带一路”的知识测试后甲、乙、丙三人对成绩进行预测。
安徽省滁州市实验中学2020-2021学年高二数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 一个圆的圆心在抛物线y2=4x上，且该圆经过抛物线的顶点和焦点，若圆心在第一象限，圆心到直线ax+y﹣=0的距离为，则a=（）A．1 B．﹣1 C．±1D．参考答案：C【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】由题意知圆心C也在线段OF的中垂线上，由此求出圆心，再利用圆心到直线的距离列方程求出a的值．【解答】解：由题意知，抛物线的焦点为F（1，0），圆心在线段OF的中垂线x=上，由，且圆心在第一象限内，解得x=，y=，所以圆心C为（，）；又圆心C到直线ax+y﹣=0的距离为，所以d==，解得a=±1．故选：C．2. “一元二次方程有实数解”是“” 的（）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件参考答案：C3. 设，则( )A. 2B. 3C. 4D. 5参考答案：B【分析】利用复数的除法运算求出，进而可得到.【详解】，则，故，选B.【点睛】本题考查了复数的四则运算，考查了复数的模，属于基础题。
4. 已知，，，则的大小关系是（）A． B. C． D．参考答案：C略5. 把一枚硬币掷三次，三次都出现正面的概率为（）（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）参考答案：A略6. 设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是( )A. y与x具有正的线性相关关系B.回归直线过样本点的中心（，）C. 若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD. 若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重为58.79kg参考答案：C略7. 某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件。
