高中数学《复数》练习题
一．基本知识：复数的基本概念
（1）形如a + b i 的数叫做复数（其中R b a ∈，）；复数的单位为i ，它的平方等于－1，即1i 2-=.其中a 叫做复数的实部，b 叫做虚部
实数：当b = 0时复数a + b i 为实数
虚数：当0≠b 时的复数a + b i 为虚数；
纯虚数：当a = 0且0≠b 时的复数a + b i 为纯虚数
（2）两个复数相等的定义：
00==⇔=+∈==⇔+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且
（3）共轭复数：z a bi =+的共轭记作z a bi =-；
（4）复平面： z a bi =+，对应点坐标为(),p a b ；（象限的复习）
（5）复数的模：对于复数z a bi =+，把z =z 的模；
二．复数的基本运算：设111z a b i =+，222z a b i =+
（1） 加法：()()121212z z a a b b i +=+++；
（2） 减法：()()121212z z a a b b i -=-+-；
（3） 乘法：()()1212122112z z a a b b a b a b i ⋅=-++ 特别22z z a b ⋅=+。
（4）幂运算：1i i =21i =-3i i =-41i =5i i =61i =-⋅⋅⋅⋅⋅⋅
三．复数的化简
c di z a bi
+=+（,a b 是均不为0的实数）；的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数：()()22
ac bd ad bc i c di c di a bi z a bi a bi a bi a b ++-++-==⋅=++-+ 四．例题分析
【例1】已知()14z a b i =++-，求
（1）当,a b 为何值时z 为实数（2）当,a b 为何值时z 为纯虚数
（3）当,a b 为何值时z 为虚数（4）当,a b 满足什么条件时z 对应的点在复平面内的第二象限。
【变式1】若复数2(1)(1)z x x i =-+-为纯虚数，则实数x 的值为
A ．1-
B ．0
C 1
D ．1-或1
【例2】已知134z i =+；()()234z a b i =-+-，求当,a b 为何值时12=z z
【例3】已知1z i =-，求z ，z z ⋅；
【变式1】复数z 满足21i z i
-=-，则求z 的共轭z
【变式2】已知复数z =
z z •= A. 14 B.12
C.1
D.2 【例4】已知12z i =-，232z i =-+
（1）求12z z +的值；（2）求12z z ⋅的值；（3）求12z z ⋅.
【变式1】已知复数z 满足()21z i i -=+，求z 的模.
【变式2】若复数()21ai +是纯虚数，求复数1ai +的模.
【例5】若复数()312a i z a R i
+=
∈-（i 为虚数单位）， （1） 若z 为实数，求a 的值
（2） 当z 为纯虚，求a 的值.
【变式1】设a 是实数，且112
a i i -++是实数，求a 的值.. 【变式2】若()3,1y i z x y R xi
+=∈+是实数，则实数xy 的值是 . 【变式3】i 是虚数单位,41i ()1-i +等于 ( ) A ．i
B ．-i
C ．1
D ．-1 【变式4】已知1i Z ＋=2+i,则复数z=（）
（A ）-1+3i (B)1-3i (C)3+i (D)3-i
【变式5】i 是虚数单位，若
17(,)2i a bi a b R i
+=+∈-，则乘积ab 的值是（A ）－15 （B ）－3 （C ）3 （D ）15【例6】复数73i z i
-=+= （ ） （A ）2i + （Ｂ）2i - （Ｃ）2i -+ （Ｄ）2i -- 【变式1】已知i 是虚数单位，3
2i 1i
=- （ ） Ａ1i + Ｂ1i -+ Ｃ1i - Ｄ．1i --
【变式2】.已知i 是虚数单位，复数131i i
--= （ ） A 2i + B 2i - C 12i -+ D 12i --
【变式3】已知i 是虚数单位，复数1312i i
-+=+（ ） (A)1＋i (B)5＋5i (C)-5-5i (D)-1－i
【变式4】.已知i 是虚数单位，则()=-+1
13i i i （ ） (A)1- (B)1 (C)i - (D)i
练习题
1.设复数),(R b a bi a z ∈+=，则z 为纯虚数的必要不充分条件是____________。
2.已知复数)()65(1
67222R a i a a a a a z ∈--+-+-=，那么当a=_______时，z 是实数； 当a ∈__________________时，z 是虚数；当a=___________时，z 是纯虚数。
3.已知0)2(622=-++-+i y x y x ，则实数.___________,__________==y x
4.若复数a 满足i ai a 4421+-=+-,则复数a=___________。
5.已知R a ∈，则复数i a a a a z )106()22(22--++-=必位于复平面的第_____象限。
6.复数2i i z +=在复平面对应的点在第_______象限。
7.设i 是虚数单位，计算=+++432i i i i ________.
8.复数i
i z 213--=的共轭复数是__________。 9. 如果复数2()(1)m i mi ++是实数，则实数m =____________.
10. 设,x y 为实数，且511213x y i i i
+=---，则x y += 。 11.已知复数i z +=1，求实数b a 、使2)2(2z a z b az +=+
答案：1. a=0 2. ∅∈+∞---∞∈=a a a ),6()6,1()1,1()1,(6Y Y Y 3. ⎪⎩⎪⎨⎧--=-=⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=2
1212121y x y x 或 4.1+2i 5. 第四 6. 第二 7.0 8. i -1 9.1+m 3=0，m=－1 10. x ＋y ＝4。11. 【答案】⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧-=-=2412b a b a 或
