2015年高考数学《新高考创新题型》之13：矩阵行列式(含精析)]

精品题库试题理数1.（2013某某某某高三一月质量检查，15,5分）（1）（矩阵与变换选做题）已知矩阵，，曲线y=sinx在矩阵MN对应的变换作用下得到曲线C，则C 的方程是.[解析] 1.MN=所以在矩阵MN变换下，则，即，所以曲线在矩阵MN变换下得到曲线C的方程是．2.(2014某某高中毕业班质量检测, 21(1)) 选修4-2：矩阵与变换.已知矩阵, 若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为，属于特征值1的一个特征向量.（Ⅰ）求矩阵A的逆矩阵；（Ⅱ）计算的值.[解析] 2.(Ⅰ) 法一: 依题意, . .所以. （4分）法二: ，即的两个根为6和1，故, . ，所以，(Ⅱ) 法一: =2－，A3=2×63－13=. （7分）法二:=. （7分）3.(2014周宁、政和一中第四次联考，21（1）) 选修4—2：矩阵与变换已知二阶矩阵有特征值及对应的一个特征向量，并且矩阵对应的变换将点变换成，求矩阵.[解析] 3. 设，有已知得，，又，，，. （7分）4. (2014某某苏北四市高三期末统考, 21B) 设矩阵（其中），若曲线在矩阵所对应的变换作用下得到曲线，求的值.[解析] 4. 设曲线上任意一点，在矩阵所对应的变换作用下得到点，则，即. （5分）又点在曲线上，所以，则为曲线的方程.又曲线的方程为，故，，因为，所以. （10分）5.(2011某某, 21B, 10分) 选修4-2:矩阵与变换已知矩阵A=, 向量β=. 求向量α, 使得A2α=β.5.6.(2011某某, 21(1) , 7分) 选修4-2:矩阵与变换设矩阵M=(其中a>0, b>0) .(Ⅰ) 若a=2, b=3, 求矩阵M的逆矩阵M-1;(Ⅱ) 若曲线C:x2+y2=1在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C':+y2=1, 求a, b的值.6.7.（2013某某，21（1）, 7分）已知直线l: ax+y=1在矩阵A=对应的变换作用下变为直线l': x+by=1.(Ⅰ) 某某数a, b的值;(Ⅱ) 若点P(x0, y0) 在直线l上, 且A=, 求点P的坐标.7.8.（2013某某，21B, 10分）已知矩阵A=, B=, 求矩阵A-1B.8.答案和解析理数[答案] 1.（或）[解析] 1.MN=所以在矩阵MN变换下，则，即，所以曲线在矩阵MN变换下得到曲线C的方程是．[答案] 2.查看解析[解析] 2.(Ⅰ) 法一: 依题意, . .所以. （4分）法二: ，即的两个根为6和1，故, . ，所以，(Ⅱ) 法一: =2－，A3=2×63－13=. （7分）法二:=. （7分）[答案] 3.查看解析[解析] 3. 设，有已知得，，又，，，. （7分）[答案] 4.查看解析[解析] 4. 设曲线上任意一点，在矩阵所对应的变换作用下得到点，则，即. （5分）又点在曲线上，所以，则为曲线的方程.又曲线的方程为，故，，因为，所以. （10分）[答案] 5.A2==.设α=. 由A2α=β, 得=, 从而解得x=-1, y=2, 所以α=.5.[答案] 6.(Ⅰ) 设矩阵M的逆矩阵M-1=, 则MM-1=.又M=, 所以=,所以2x1=1, 2y1=0, 3x2=0, 3y2=1,即x1=, y1=0, x2=0, y2=, 故所求的逆矩阵M-1= .(Ⅱ) 设曲线C上任意一点P(x, y) , 它在矩阵M所对应的线性变换作用下得到点P'(x',y') , 则=, 即又点P'(x', y') 在曲线C'上,所以+y'2=1, 则+b2y2=1为曲线C的方程.又已知曲线C的方程为x2+y2=1, 故又a>0, b>0, 所以6.[答案] 7.(Ⅰ)设直线l: ax+y=1上任意点M(x, y) 在矩阵A对应的变换作用下的像是M' (x', y').由==, 得又点M' (x', y') 在l' 上, 所以x' +by' =1, 即x+(b+2) y=1,依题意得解得(Ⅱ) 由A=, 得解得y0=0.又点P(x0, y0) 在直线l上, 所以x0=1.故点P的坐标为(1,0).7.[答案] 8.设矩阵A的逆矩阵为, 则=, 即=, 故a=-1, b=0, c=0, d=, 从而A的逆矩阵为A-1=,所以A-1B==.8.。

二模汇编——矩阵行列式专题一、知识梳理【知识点1】系数矩阵增广矩阵【例1】已知线性方程组的增广矩阵矩阵431572145238-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭，写出其对应的线性方程组____. 【答案】⎪⎩⎪⎨⎧=--=++=-+8325427534z y x z y x z y x .【例2】写出一个系数矩阵为单位矩阵、解为1行3列矩阵()531的线性方程组为__________.【答案】⎪⎩⎪⎨⎧===531z y x .【知识点2】矩阵的运算【例1】计算矩阵的乘积13-23-16201-3-201-43052-14⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭=__________. 【答案】25635-7-2-7⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点评】设矩阵111211121112212221222122,,a a b b c c A B C a a b b c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.如果它们元素间的关系可以用下列等式表示：1122(1,2;1,2)ij i j i j c a b a b i j =+==，则C 叫做矩阵A 和矩阵B 的积，记作C =AB注意:①只有当第一个矩阵的列数与第二个矩阵的行数相同时，这两个矩阵乘积才有意义，才可以相乘.②一般地，AB BA ≠.【知识点3】二阶三阶行列式【例1】若行列式112124=-x x ，则=x ．【答案】0.【点评】掌握二阶行列式的对角线法则.【例2】将2333b ca ca bd e e d ++用三阶行列式表示，可得 ． 【答案】1233a bc d e-. 【点评】掌握三阶行列式的展开方法.【知识点4】余子式，代数余子式【例1】设三阶行列式[]1213,1,2411c x x x∈-中元素c 的代数余子式为y ，则y 的值域为_________. 【答案】52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点评】掌握余子式代数余子式的定义.【知识点5】方程组的解【例1】m 取什么值时，关于x,y 的线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-+-=--1)1()1(1)5(22y m x m y m x （1）有唯一解？（2）无解？（3）有无穷解？【答案】221(5)(1)(2)(3)1(1)m D m m m m m --==++-+-+221(5)2(1)(2)1(1)x m D m m m ---==-+-+11211y D m m -==++（1）1,2,3m ≠--时，方程组有唯一解；（2）13m =-或 方程组无解；（3）2m =-方程组有无穷解．【点评】掌握方程组的基本解法：判断系数行列式的是是否为零→判断x y D D ,是否为零.【知识点6】新定义题型【例1】如下定义矩阵的方幂：设A 是一个n n ⨯矩阵，定义1*1,k k A A k N A A A+⎧=∈⎨=⋅⎩.若1001A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则20A =__________.【答案】1001⎛⎫⎪⎝⎭.【点评】熟练掌握矩阵的乘法，理解题目意思.二、二模真题汇编一、填空题1.方程sec 01x =的解集为__________【答案】,3x x k k Z ππ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭【解析】sec 0sec sin 01x x x =⇒+=，则tan ,3x x x k k Z ππ⎧⎫=⇒=-+∈⎨⎬⎩⎭ 2．计算行列式2cossin 33sin cos 2ππππ=【答案】0 【解析】2cossin33sin cos 2ππππ=0sin 32sin 2cos 3cos =⋅-⋅ππππ 3.若关于x 、y 的二元一次线性方程组的增广矩阵是11602a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，该方程组的解为2c ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 则a c +=【答案】5【解析】有题设则2,==y c x 是方程组⎩⎨⎧==+26ay y x 的解，故5,1,4=+∴==c a a c .4、行列式201949sin cos 5sin cos 23πθθππ-的元素π的代数余子式的值等于 。

高考数学中的行列式解析技巧在高考数学中，行列式是一个比较重要的概念。

它不仅在数学上有极大的用处，同时也广泛应用于物理、工程等领域。

在高考中，行列式的解析技巧是非常关键的。

本文将从理论与实践两方面来介绍高考数学中的行列式解析技巧。

一、行列式的定义与性质在数学中，一个n阶行列式是由n行n列的矩阵构成的，其中每一个元素都是实数或者复数。

通过对这些元素的排列和相乘，得到一个标量值。

行列式的定义可以用以下方式表达：左乘右减法则一个n阶行列式可以表示为：$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & ... &a_{1n}\\a_{21} & a_{22} & ... &a_{2n}\\... & ... & ... & ... \\a_{n1} & a_{n2} & ...&a_{nn}\end{vmatrix}=\sum\limits_{j_1,j_2,...j_n}(-1)^TA_{1j1}A_{2j2}...A_{njn}$$其中，$A_{ij}$表示将第i行第j列元素去掉后所剩的(n-1)阶行列式。

而上述式子中的$\sum\limits_{j_1,j_2,...j_n}$则表示对所有有序排列$j_1,j_2,...j_n$进行求和。

行列式还具有以下性质：（1）交换两行或列，行列式相反；（2）行列式中的一列(行)乘以k，等于在原行列式中的值乘以k；（3）行列式的某一列(行)可分解为两列(行)相加或相减。

以上仅仅是行列式定义与性质的基本介绍。

下面，我们将详细介绍高考数学中常用的行列式解析技巧。

二、数学上的行列式解析技巧（1）三阶行列式的计算对于3阶行列式A：$$A=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{21} & a_{22} & a_{23}\\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}$$其中的元素$a_{ij}$可以按任意一行(列)展开，得到：$$A=a_{11}\begin{vmatrix}a_{22} & a_{23}\\a_{32} &a_{33}\end{vmatrix}-a_{12}\begin{vmatrix}a_{21} & a_{23}\\a_{31} & a_{33}\end{vmatrix}+a_{13}\begin{vmatrix}a_{21} &a_{22}\\a_{31} & a_{32}\end{vmatrix}$$这一结论显然是成立的。

五年高考真题分类汇编：矩阵与变换1．（2013•江苏高考）已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 00 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 206，求矩阵A －1B . 解：设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1， 即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a －b 2c 2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝12， 从而A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 12， 所以A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 6＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 －20 3. 2．（2013•福建高考理）已知直线l ：ax ＋y ＝1在矩阵A ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1 201对应的变换作用下变为直线l ′：x ＋by ＝1.①求实数a ，b 的值； ②若点P (x 0，y 0)在直线l 上，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0y 0，求点P 的坐标． 解：(1)本小题主要考查矩阵、矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．①设直线l ：ax ＋y ＝1上任意点M (x ，y )在矩A 对应的变换作用下的像是M ′(x ′，y ′)．由⎝ ⎛⎭⎪⎫x 'y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1 20 1⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋2y ，y ′＝y . 又点M ′(x ′，y ′)在l ′上，所以x ′＋by ′＝1，即x ＋(b ＋2)y ＝1， 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝－1. ②由A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0y 0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 0＋2y 0，y 0＝y 0，解得y 0＝0. 又点P (x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0＝1. 故点P 的坐标为(1,0)． 3．（2012•江苏高考） 已知矩阵A 的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－14 3412 －12，求矩阵A 的特征值． 解：因为A －1A ＝E ，所以A ＝(A －1)－1.因为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－14 3412 －12，所以A ＝(A －1)－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 32 1，于是矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －3－2 λ－1＝λ2－3λ－4. 令f (λ)＝0，解得A 的特征值λ1＝－1，λ2＝4.4．（2012•福建高考理）设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1在矩阵A ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 0b 1(a ＞0)对应的变换作用下得到的曲线为x 2＋y 2＝1. (1)求实数a ，b 的值；(2)求A 2的逆矩阵．解：(1)设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1上任意点P (x ，y )在矩阵A 对应的变换作用下的象是P ′(x ′，y ′)．由⎝⎛⎭⎫x ′y ′＝⎝⎛⎭⎫a 0b 1⎝⎛⎭⎫x y ＝⎝⎛⎭⎫ax bx ＋y ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝ax ，y ′＝bx ＋y . 又点P ′(x ′，y ′)在曲线x 2＋y 2＝1上，所以x ′2＋y ′2＝1，即a 2x 2＋(bx ＋y )2＝1，整理得(a 2＋b 2)x 2＋2bxy ＋y 2＝1.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝2，2b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝1. 因为a >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝1.(2)由(1)知，A ＝⎝⎛⎭⎫1 01 1， A 2＝⎝⎛⎭⎫1 01 1⎝⎛⎭⎫1 01 1＝⎝⎛⎭⎫1 02 1，所以|A 2|＝1，(A 2)－1＝⎝⎛⎭⎫1 0－2 1.5．（2011•福建高考理）设矩阵M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 00 b (其中a ＞0，b ＞0)． (Ⅰ)若a ＝2，b ＝3，求矩阵M 的逆矩阵M －1；(Ⅱ)若曲线C ：x 2＋y 2＝1在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到曲线C ′：x 24＋y 2＝1，求a ，b 的值．解：(Ⅰ)设矩阵M 的逆矩阵M －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1 y 1x 2 y 2， 则MM －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1 00 1. 又M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 00 3，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫2 00 3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1 y 1x 2 y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1 00 1， 所以2x 1＝1,2y 1＝0,3x 2＝0,3y 2＝1，即x 1＝12，y 1＝0，x 2＝0，y 2＝13，故所求的逆矩阵M －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12 00 13. (Ⅱ)设曲线C 上任意一点P (x ，y )，它在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到点P ′(x ′，y ′)，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a 00 b ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ′y ′，即⎩⎪⎨⎪⎧ ax ＝x ′，by ＝y ′，又点P ′(x ′，y ′)在曲线C ′上，所以x ′24＋y ′2＝1，则a 2x 24＋b 2y 2＝1为曲线C 的方程．又已知曲线C 的方程为x 2＋y 2＝1，故⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝4，b 2＝1.又a ＞0，b ＞0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝1.6．（2011•江苏高考）已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 1，向量β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12.求向量α，使得A 2α＝β.解：A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 24 3.设α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y .由A 2α＝β，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 24 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，从而⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝1，4x ＋3y ＝2. 解得x ＝－1，y ＝2，所以α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2.。

新数学《矩阵与变换》高考知识点一、151．用行列式解关于x 、y 的方程组3(31)484mx y m x my m -=⎧⎨+-=+⎩，并讨论说明解的情况.【答案】当1m =时，无穷解；当14m =-时，无解；当1m ≠且14m ≠-时，有唯一解，441x m =+，8341m y m +=-+. 【解析】 【分析】 先求出系数行列式D ，x D ，y D ，然后讨论m ，从而确定二元一次方程解的情况． 【详解】 解：3(31)484mx y m x my m -=⎧⎨+-=+⎩Q 21431(41)(1)431mm D m m m m m -∴+-==-+=+-++，4443148x D m mm -==--+，()()23853*******y m D m m m m m m ==--+++=-，①当1m ≠且14m ≠-时，0D ≠，原方程组有唯一解，即144(41)4(14)x D m x m D m m -===+++-，()()()()8318341141y D m m m y D m m m +-+===-+-++， ②当1m =时，0D =，0x D =，0y D =，原方程组有无穷解． ③当14m =-时，0D =，0x D ≠，原方程无解． 【点睛】本题主要考查了行列式，以及二元一次方程的解法，属于基础题．2．关于ϕ的矩阵()cos sin sin cos A ϕϕϕϕϕ-⎛⎫=⎪⎝⎭，列向量12x X x ⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）已知11x =，23x =，45ϕ=︒，计算()A X ϕ，并指出该算式表示的意义； （2）把反比例函数1xy=的图象绕坐标原点逆时针旋转45︒，求得到曲线的方程；（3）已知数列12n n a =，n *∈N ，猜想并计算()()()12n A a A a A a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅. 【答案】（1）⎛⎝，表示把向量X 逆时针旋转45︒得到的向量；（2）22122y x -=； （3）cos1sin1sin1cos1-⎛⎫⎪⎝⎭.【解析】 【分析】（1）根据向量与矩阵的乘法可计算结果，由旋转变换的运算法则即可得到算式表示的意义；（2）由题意，得旋转变换矩阵cos sin4422sin cos 44A ππππ⎛⎛⎫--⎪⎪==⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，设xy =1上的任意点(),P x y '''在变换矩阵A 作用下为(,)P x y ，确定坐标之间的关系，即可求得曲线的方程；（3）分别求出n =1，n =2，n =3时矩阵相乘的结果，由此猜想算式关于n 的表达式，从而可求得所求算式的结果. 【详解】（1）()cos sin 114433sin cos 4422A X ππϕππ⎛⎫- ⎪⎛⎛⎫⎛⎫ ⎪===⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 该算式表示把向量X 逆时针旋转45︒得到的向量；（2）由题意，得旋转变换矩阵cos sin4422sin cos 44A ππππ⎛⎛⎫--⎪⎪==⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭， 设xy =1上的任意点(),P x y '''在变换矩阵A 的作用下为(,)P x y ，则2222x x y y ⎛- ⎛⎫⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪''⎝⎭，2222x x y y x y ⎧=-⎪⎪∴⎨⎪=+'''⎩'⎪，则222222y x x y x y x y ⎫⎫''''''-=--==⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭，将曲线xy =1绕坐标原点按逆时针方向旋转45︒，所得曲线的方程为22122y x -=；（3）当n =1时，()111cos sin2211sin cos 22nn n nA a ⎛⎫- ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； 当n =2时，()()2212221111cos sin cos sin 22221111sin cos sin cos 2222A a A a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪=⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2222222211111111cos cos sin sin cos sin cos sin 2222222211111111sin cos sin cos cos cos sin sin 22222222⎛⎫--- ⎪=⎪ ⎪+- ⎪⎝⎭22221111cos()sin()22221111sin()cos()2222⎛⎫+-+ ⎪= ⎪ ⎪++ ⎪⎝⎭，当n =3时，()()()22331232233111111cos sin cos sincos sin222222111111sin cos sin cos sin cos 222222A a A a A a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪⎪=⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭23232323111111cos()sin()222222111111sin()cos()222222⎛⎫++-++ ⎪= ⎪ ⎪++++ ⎪⎝⎭，由此猜想：当n =k 时，()()()221222111111cos sin cos sincos sin222222111111sin cos sin cos sin cos 222222k k k kkA a A a A a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪ ⎪=⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L 222211111111cos()sin()cos(1)sin(1)2222222211111111sin()cos()sin(1)cos(1)22222222k k k k k k k k ⎛⎫⎛⎫+++-+++--- ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L L L L ，当k →+∞时，1112k -→，所以()()()12cos1sin1sin1cos1n A a A a A a -⎛⎫⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查向量经矩阵变换后的向量求法，曲线的旋转变换和矩阵的乘法，关键掌握住变换的运算法则和矩阵的乘法公式，属中档题.3．利用行列式解关于x 、y 的二元一次方程组42mx y m x my m +=+⎧⎨+=⎩.【答案】见解析 【解析】 【分析】计算出系数行列式D ，以及x D 、y D ，然后分0D ≠和0D =两种情况讨论，在0D ≠时，直接利用行列式求出方程组的解，在0D =时，得出2m =±，结合行列式讨论原方程组解的情况. 【详解】 系数行列式为2441m D m m==-，()242x m D m m mm+==-，()()222211y m m D m m m m m+==--=-+.①当240D m =-≠时，即当2m ≠±时，原方程组有唯一解()()()2224221142x y m m D m x D m m D m m m y D m m ⎧-===⎪⎪-+⎨-++⎪===⎪-+⎩；②当240D m =-=时，2m =±.（i ）当2m =-时，0D =，8x D =，4y D =，原方程组无解；（ii ）当2m =时，0x yD D D ===，原方程为24422x y x y +=⎧⎨+=⎩，可化为22x y +=， 该方程组有无数组解，即12x R x y ∈⎧⎪⎨=-⎪⎩.【点睛】本题考查利用行列式求二元一次方程组的解，解题时要对系数行列式是否为零进行分类讨论，考查运算求解能力与分类讨论思想的应用，属于中等题.4．已知线性方程组5210258x y x y +=⎧⎨+=⎩．()1写出方程组的系数矩阵和增广矩阵；()2运用矩阵变换求解方程组．【答案】（1）矩阵为5225⎛⎫ ⎪⎝⎭，增广矩阵为5210.258⎛⎫ ⎪⎝⎭ （2）34212021x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【解析】 【分析】()1由线性方程组5210258x y x y +=⎧⎨+=⎩，能写出方程组的系数矩阵和增广矩阵． ()2由170345010521052102121258102540202001012121⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫→→→⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，能求出方程组的解． 【详解】（1）Q 线性方程组5210258x y x y +=⎧⎨+=⎩．∴方程组的系数矩阵为5225⎛⎫⎪⎝⎭， 增广矩阵为5210.258⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）因为5210258x y x y +=⎧⎨+=⎩，1703452105010521052105210212120258102540021202020010101212121⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪∴→→→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪----- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，34212021x y ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩．【点睛】本题考查方程组的系数矩阵和增广矩阵的求法，考查运用矩阵变换求解方程组，考查矩阵的初等变换等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．已知矩阵11m A m ⎛⎫=⎪-⎝⎭（0m >）满足24A I =（I 为单位矩阵）． （1）求m 的值；（2）设(,)P x y ，,()'Q x y '．矩阵变换11x m x y m y '⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪'-⎝⎭⎝⎭⎝⎭可以将点P 变换为点Q ．当点P 在直线:1l y x =+上移动时，求经过矩阵A 变换后点Q 的轨迹方程．（3）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上？若存在，求出所有这样的直线；若不存在，则说明理由．【答案】（1）m （2）1)1)40x y ''--=（3）存在，1:3l y x =，2:l y =．【解析】 【分析】（1）计算2A ，由24A I =可求得m ；（2）由11x x y y ⎛'⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪'-⎝⎭⎝⎭⎭，得x x y y ⎧=+⎪⎨=-''⎪⎩，解得44x x y y⎧=+⎪⎨='-'''⎪⎩．代入1y x =+可得；（3）首先确定这种变换，与坐标轴垂直的直线不合题意，因此设直线l 方程为(0)y kx b k =+≠，求出变换后的直线方程，两方程表示的直线重合，可求得k ，可分类0b ≠和0b =．【详解】（1）0m >Q ，2221110104110101m m m A m m m ⎛⎫+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，m ∴=（2）11x x x y y y ⎛⎛⎫'+⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪ ⎪⎪⎪'--⎝⎭⎝⎭⎭⎭Q ，即x x y y ⎧=⎪⎨=-''⎪⎩，44x x y y⎧=+⎪∴⎨='-'''⎪⎩．∵点(,)P x y 在直线1y x =+上，4y x ''''-=++，即点()','Q x y的轨迹方程1)1)40x y ''--+-=． （3）垂直于坐标轴的直线不合要求．设:(0)l y kx b k =+≠，(,)P x y，()Q x y +-()y k x b -=++Q ，1)(y k x b ∴-+=+当0b ≠时，1)1,k k -+==，无解． 当0b =时，21)201k k k-+-=⇒+-=,解得3k =或k =∴所求直线是1:l y x =，2:l y =． 【点睛】本题考查矩阵的运算，考查矩阵变换，求变换后的曲线方程，可设原曲线上点坐标为(,)P x y ，变换后为()','Q x y ，由矩阵运算得'(,)'(,)x f x y y g x y =⎧⎨=⎩，然后解得(',')(',')x h x y y i x y =⎧⎨=⎩，把(,)x y 代入原曲线方程即得新方程．6．用矩阵变换的方法，解二元一次方程组2342x y x y =⎧⎨-=⎩－【答案】17107x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩【解析】 【分析】先将方程组化为矩阵，再根据矩阵运算求结果. 【详解】2312342412x y x x y y =-⎧⎡⎤⎡⎤⎡⎤⇒=⎨⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=-⎩⎣⎦⎣⎦⎣⎦－ 所以1121123377741241210777x y -⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦因此17107x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩【点睛】本题考查利用矩阵解方程组，考查基本分析求解能力，属基础题.7．定义()111111n n n n x x n N y y +*+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为向量()111,n n n OP x y +++=u u u u u v 的一个矩阵变换， （1）若()12,3P ，求2OP u u u v ，3OP u u u v； （2）设向量()11,0OP =u u u v ，O 为坐标原点，请计算9OP u u u v 并探究2017OP u u u u u u v的坐标. 【答案】（1）()21,5OP =-u u u v ，()36,4OP =-u u u v；（2）()25216,0. 【解析】 【分析】（1）根据递推关系可直接计算2OP uuu r ，3OP u u ur .（2）根据向量的递推关系可得816n n OP OP +=u u u u u r u u u r 对任意的*n N ∈恒成立，据此可求9OP u u u r、2017OP u u u u u u r的坐标.【详解】（1）因为()12,3P ，故123OP⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r，设2x OP y ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r， 则11211135x y --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以215OP -⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r 即()21,5OP =-u u u r ，同理()36,4OP =-u u u r . （2）因为111111n n n n x x y y ++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以11n n n n nn x x y y x y ++-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭， 故21121122n n n n n n n n x x y y y x y x ++++++--⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，3223222222n n n n n n n n n n x x y y x y x y y x ++++++---⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，43343344n n n n n n n n x x y x y x y y ++++++--⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以44n n OP OP +=-u u u u u r u u u r ，故816n n OP OP +=u u u u u r u u u r . 又9811=⨯+，20174504182521=⨯+=⨯+,()911616,0OP OP ==u u u r u u u r所以()252252201711616,0OP OP ==u u u u u u r u u u r . 【点睛】本题考查向量的坐标计算及向量的递推关系，解题过程中注意根据已知的递推关系构建新的递推关系，此问题为中档题.8．[选修4-2：矩阵与变换]已知矩阵11a A b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为21α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．若x a A y b ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，求x ，y 的值． 【答案】x ，y 的值分别为0，1．【解析】试题分析：利用矩阵的乘法法则列出方程，解方程可得x ，y 的值分别为0，1． 试题解析：由条件知，2A αα=，即][1222111a b ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，即][2422a b +⎡⎤=⎢⎥-+⎣⎦， 所以24,{22,a b +=-+= 解得2,{ 4.a b == 所以1214A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦． 则][][][12221444xx x y A y y x y +⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦，所以22,{44,x y x y +=-+= 解得0,{ 1.x y == 所以x ，y 的值分别为0，1．9．解方程组()sin cos 2cos 0cos cos 2sin x y x y ααααπααα-=⎧≤≤⎨+=⎩.【答案】见解析. 【解析】 【分析】求出行列式D 、x D 、y D ，对D 分0D ≠和0D =两种情况分类讨论，利用方程组的解与行列式之间的关系求出方程组的解，或者将参数的值代入方程组进行求解，由此得出方程组的解. 【详解】由题意得()sin cos2cos cos2sin cos cos2D ααααααα=+=+，()cos cos2sin cos2sin cos cos2x D ααααααα=+=+， 22sin cos cos2y D ααα=-=-.0απ≤≤Q ，022απ∴≤≤.①当0D ≠时，即当cos20α≠时，即当22πα≠且322πα≠时，即当4πα≠且34πα≠时，11sin cos x y D x DD y D αα⎧==⎪⎪⎨⎪==-⎪+⎩；②当4πα=时，方程组为2222x x =⎪⎪⎪=⎪⎩，则该方程组的解为1x y R =⎧⎨∈⎩；③当34πα=时，方程组为22x x =-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，该方程组的解为1x y R =-⎧⎨∈⎩. 【点睛】本题考查二元一次方程组的求解，解题时要对系数行列式是否为零进行分类讨论，考查运算求解能力，属于中等题.10．已知数列{}n a 满足条件1(1)(1)(1)n n n a n a +-=+-，且26a = （1）计算134,,a a a ，请猜测数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明；（2）请分别构造一个二阶和三阶行列式，使它们的值均为n a ，其中，要求所构造的三阶行列式主对角线下方的元素均为零，并用按某行或者某列展开的方法验证三阶行列式的值为n a【答案】（1）1341,15,28a a a ===，22n a n n =-；证明见解析 （2）2=1n n n a n，211101=001n n n a -，验证见解析 【解析】 【分析】（1）分别将1,2,3n =代回即可求得134,,a a a ,可猜测22n a n n =-,根据数学归纳法证明即可；（2）由（1）可构造二阶行列式为21n n n,根据要求可构造三阶行列式为211101001n n -,并展开求值进行验证即可 【详解】（1）当1n =时,()1021a =-,即11a =； 当2n =时,()()323136115a a =-=⨯-=； 当3n =时,()43241a a =-,则428a =；猜测22n a n n =-,证明：当1,2,3,4n =时,22n a n n =-成立；假设当()5n k k =≥时,22k a k k =-成立,则()()()1111k k k a k a +-=+-, 所以()()()()()2221112121123121111k k k a k k k k k k k k k k +++=--=+-=++=+-+--, 即当1n k =+时,等式也成立,综上,22n a n n =-成立（2）由（1）,因为2221n a n n n n n =-=⋅-⋅,则可构造二阶行列式为21n n n；因为要求所构造的三阶行列式主对角线下方的元素均为零,可构造三阶行列式为211101001n n -,检验,()()()221110121110212001n n n n n n n n n a -=-⋅-⋅=-=-=,故该三阶行列式符合题意 【点睛】本题考查利用数学归纳法证明,考查行列式的应用,考查数列的通项公式,考查数列的项,考查运算能力,考查猜测推理的能力11．已知a ，b R ∈，点()1,1P -在矩阵13a A b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换下得到点()1,3Q .（1）求a ，b 的值；（2）求矩阵A 的特征值和特征向量；（3）若向量59β⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u r ，求4A βu r .【答案】（1）20a b =⎧⎨=⎩；（2）矩阵A 的特征值为1-，3，分别对应的一个特征值为13⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，11⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（3）485489⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【解析】 【分析】（1）直接利用矩阵的乘法运算即可； （2）利用特征多项式计算即可；（3）先计算出126βαα=-+u r u u ru u r ，再利用()4444121266A A A A βαααα=-+=-+u r u u r u u r u u r u u r 计算即可得到答案. 【详解】（1）由题意知，11113133a a b b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 则1133a b -=⎧⎨-=⎩，解得20a b =⎧⎨=⎩. （2）由（1）知2130A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，矩阵A 的特征多项式()()21233f λλλλλ--==---， 令()0f λ=，得到A 的特征值为11λ=-，13λ=.将11λ=-代入方程组()2030x y x y λλ⎧--=⎨-+=⎩，解得3y x =-，所以矩阵A 的属于特征值1-的一个特征向量为113α⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦u u r .再将13λ=代入方程组()2030x y x y λλ⎧--=⎨-+=⎩，解得y x =，所以矩阵A 的属于特征值3的一个特征向量为211α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u u r .综上，矩阵A 的特征值为1-，3，分别对应的一个特征值为13⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，11⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （3）设12m n βαα=+u ru u r u u r ，即5119313m n m n m n +⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以539m n m n +=⎧⎨-+=⎩，解得16m n =-⎧⎨=⎩，所以126βαα=-+u r u u r u u r ，所以()4444121266A A A A βαααα=-+=-+u r u u r u u r u u r u u r()441148516331489⎡⎤⎡⎤⎡⎤=--+⨯=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 【点睛】本题考查矩阵的乘法、特征值、特征向量，考查学生的基本计算能力，是一道中档题.12．用行列式法解关于x 、y 的二元一次方程组42mx y m x my m +=+⎧⎨+=⎩，并对解的情况进行讨论.【答案】见解析 【解析】 【分析】写出,,x y D D D ，讨论2m ≠±，2m =-，2m =时的三种情况得到答案.【详解】22242244,2,211y x m m m m D m D m m D m m mmmm++==-==-++==-当2m ≠±时，0D ≠，原方程组有唯一组解212m x m m y m ⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩； 当2m =-时，0D =，80x D =≠，原方程组无解； 当2m =时，0D =，0x D =，0y D =，原方程组有无穷组解.综上所述：2m ≠±是，有唯一解；2m =-时，无解；2m =时，无穷组解. 【点睛】本题考查了利用行列式计算二元一次方程组，意在考查学生对于行列式的应用能力.13．已知函数()2cos 2sin 3sin cos 3x f x x πααπαα⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⎛⎫+- ⎪⎝⎭.（1）求()f x 的单调增区间. （2）函数()f x 的图象F 按向量,13a π⎛⎫=-⎪⎝⎭v 平移到'F ，'F 的解析式是()'y f x =.求()'f x 的零点.【答案】（1）42,233k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；（2）23x k ππ=±，k Z ∈. 【解析】 【分析】（1）由题意根据二阶行列式的运算法则及利用两角和差的三角公式，化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论．（2）由题意利用sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律求得()2cos 1f x x '=-，再根据函数零点的定义和求法求得()f x '的零点． 【详解】解：（1）()2cos 2sin 3sin cos 3x f x x πααπαα⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⎛⎫+- ⎪⎝⎭Q()2cos cos 2sin sin 33f x x x ππαααα⎛⎫⎛⎫=+--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴2cos 3x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令223k x k ππππ-≤+≤，k Z ∈，求得42233k x k ππππ-≤≤-，k Z ∈， 则()f x 的单调增区间42,233k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. （2）()2cos 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭Q 按向量,13a π⎛⎫=- ⎪⎝⎭r 平移到'F'F ∴的解析式是()'2cos 1y f x x ==-，令2cos 10x -=，解得23x k ππ=±，k Z ∈.所以()'f x 的零点为23x k ππ=±，k Z ∈.【点睛】本题主要考查两角和差的三角公式，正弦函数的单调性，sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，函数零点的定义和求法，属于基础题．14．将一枚六个面的编号为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后掷两次，记第一次出的点数为a ，第二次出的点数为b ，且已知关于x 、y 的方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩.（1）求此方程组有解的概率；（2）若记此方程组的解为0x x y y =⎧⎨=⎩，求00x >且00y >的概率.【答案】（1）1112；（2）1336. 【解析】 【分析】（1）先根据方程组有解得a b ，关系，再确定,a b 取法种数，最后根据古典概型概率公式求结果；（2）先求方程组解，再根据解的情况得a b ，关系，进而确定,a b 取法种数，最后根据古典概型概率公式求结果. 【详解】 （1）因为方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩有解，所以0212a b a b ≠∴≠ 而2b a =有123,,,246a a a b b b ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩这三种情况，所以所求概率为31116612-=⨯；（2）006232,2022232b x ax by a ba b x y a y a b -⎧=⎪+=⎧⎪-∴-≠⎨⎨+=-⎩⎪=⎪-⎩Q 因为00x >且00y >，所以6223200,022b a a b a b a b---≠>>--，因此12,,33a ab b =≥⎧⎧⎨⎨><⎩⎩即有35213+⨯=种情况，所以所求概率为13136636=⨯； 【点睛】本题考查古典概型概率以及二元一次方程组的解，考查综合分析求解能力，属中档题.15．变换T 1是逆时针旋转2π角的旋转变换，对应的变换矩阵是M 1；变换T 2对应的变换矩阵是M 2＝1101⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （1）点P(2，1)经过变换T 1得到点P'，求P'的坐标；（2）求曲线y ＝x 2先经过变换T 1，再经过变换T 2所得曲线的方程. 【答案】（1）P'(-1,2).（2）y －x ＝y 2. 【解析】试题分析：（1）先写出旋转矩阵M 1＝0110-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，再利用矩阵运算得到点P'的坐标是P'(-1,2).（2）先按序确定矩阵变换M ＝M 2⋅M 1＝1110-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，再根据相关点法求曲线方程：即先求出对应点之间关系，再代入已知曲线方程，化简得y －x ＝y 2.试题解析：解：(1)M 1＝0110-⎡⎤⎢⎥⎣⎦， M 121⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝12-⎡⎤⎢⎥⎣⎦．所以点P(2,1)在T 1作用下的点P'的坐标是P'(-1,2). (2)M ＝M 2⋅M 1＝1110-⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 设x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是变换后图象上任一点,与之对应的变换前的点是00x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 则M 00x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,也就是000{x y x x y -==即00{y y x x y =-=所以,所求曲线的方程是y －x ＝y 2. 考点：旋转矩阵，矩阵变换16．已知向量11α-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦v 是矩阵103a A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的属于特征值λ的一个特征向量. （1）求实数a ，λ的值； （2）求2A . 【答案】（1）4,3.a λ=⎧⎨=⎩（2）216709A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 【解析】 【分析】（1）根据特征值的定义可知A αλα=u r u r，利用待定系数法求得实数a ，λ的值。

矩阵行列式（2013理17）在数列{}n a 中，21n na =-，若一个7行12列的矩阵的第i 行第j 列的元素,i j i j i j a a a a a =⋅++，（1,2,,7;1,2,,12i j ==）则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（ ）.18A.28B .48C.63D答案：A （2017秋13）二元线性方程组⎩⎨⎧=+=+43205y x y x 的系数矩阵=D （ ）A. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4350B. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3201C. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3251D. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4201答案：C（2016春8）若线性方程组的增广矩阵为0201a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，解为21x y =⎧⎨=⎩，则a b +=________. 答案：2（2015理3，文5）若线性方程组的增广矩阵为122301c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭解为35x y =⎧⎨=⎩ ，12c c -= ． 答案：16___________答案：18（2013文4）若2011x =，111x y =，则x y += ．答案：3（2013理3）若2211x x x y y y=--，则x y +=．答案：0(2017春5)若关于,x y 的方程组2436x y x ay +=⎧⎨+=⎩无解，则实数a =_____答案：6（2016理10，文13）设.0,0>>b a 若关于,x y 的方程组11ax y x by +=⎧⎨+=⎩无解，则b a +的取值范围是____________ 答案：()2,+∞（2014理17、文18）已知111(,)P a b 与222(,)P a b 是直线1y kx =+（k 为常数）上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组11221,1a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是（ ）(A) 无论12,,k P P 如何，总是无解. (B) 无论12,,k P P 如何，总有唯一解. (C) 存在12,,k P P ，使之恰有两解.(D) 存在12,,k P P ，使之有无穷多解.答案：B（2013年高考理18）在边长为1的正六边形ABCDEF 中，记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,a a a a a ；以D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,d d d d d .若,m M 分别为()()i j k r s t a a a d d d ++⋅++的最小值、最大值，其中{,,}{1,2,3,4,5}i j k ⊆,{,,}{1,2,3,4,5}r s t ⊆,则,m M 满足（ ）. (A) 0,0m M => (B) 0,0m M <> (C) 0,0m M <= (D) 0,0m M <<解答：作图知，只有0AF DE AB DC ⋅=⋅>，其余均有0i r a d ⋅≤，故选D ．（2013年高考文14）已知正方形ABCD 的边长为1．记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1a 、2a 、3a ；以C 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1c 、2c 、3c ．若{},,,1,2,3i j k l ∈且,i j k l ≠≠，则()()i j k l a a c c +⋅+的最小值是 ．答案：5-。

【创新设计】（江苏专用）2015高考数学二轮复习 专题整合 7-2 矩阵与变换(选做部分） 理（含最新原创题，含解析）1．(2012·江苏卷)已知矩阵A 的逆矩阵A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－14 3412 －12，求矩阵A 的特征值． 解 因为A －1A ＝E ，所以A ＝(A －1)－1.因为A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－14 34 12 －12，所以A ＝(A －1)－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 321，于是矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －3 －2 λ－1＝λ2－3λ－4.令f (λ)＝0，解得A 的特征值λ1＝－1，λ2＝4. 2．(2011·江苏卷)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 1，向量β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12.求向量α，使得A 2α＝β. 解 A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1121⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 24 3，设α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，由A 2α＝β得，⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 243⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，从而⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝1，4x ＋3y ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.所以α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2. 3．求使等式⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 43 5＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1成立的矩阵M .解 设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤mn pq ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 435＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤200 1M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2m －2n p －q ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＝2，－2n ＝4，p ＝3，－q ＝5⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝－2，p ＝3，q ＝－5，即M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －23 －5.4．(2010·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0,0)，B (－2,0)，C (－2,1)．设k 为非零实数，矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k 001，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110，点A 、B 、C 在矩阵MN 对应的变换下得到点分别为A 1、B 1、C 1，△A 1B 1C 1的面积是△ABC 面积的2倍，求k 的值．解 由题设得，MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k00 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k 10，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 k 10⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －2 －20 0 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 0 k 0 －2 －2，可知A 1(0,0)、B 1(0，－2)、C 1(k ，－2)．计算得△ABC 的面积是1，△A 1B 1C 1的面积是|k |，则由题设知：|k |＝2×1＝2. 所以k 的值为2或－2.5．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 a －1 b ，A 的一个特征值λ＝2，其对应的特征向量是α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21.设向量β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤74，试计算A 5β的值．解 由题设条件可得，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 a －1 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，即⎩⎪⎨⎪⎧2＋a ＝4，－2＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4，得矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2－1 4.矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －2 1 λ－4＝λ2－5λ＋6，令f (λ)＝0，解得λ1＝2，λ2＝3.当λ1＝2时，得α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21；当λ2＝3时，得α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，由β＝m α1＋n α2，得⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝7，m ＋n ＝4，得m ＝3，n ＝1，∴A 5β＝A 5(3α1＋α2)＝3(A 5α1)＋A 5α2＝3(λ51α1)＋λ52α2＝3×25⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＋35⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤435339.6．(2014·南京，盐城模拟)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2134.(1)求矩阵M 的逆矩阵；(2)求矩阵M 的特征值及特征向量．解 (1)设M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd .则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 13 4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ＋3b a ＋4b 2c ＋3d c ＋4d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋3b ＝1，2c ＋3d ＝0，a ＋4b ＝0，c ＋4d ＝1，解得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧a ＝45，b ＝－15，c ＝－35，d ＝25，∴M－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤45 －15－35 25. (2)矩阵A 的特征多项式为f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －1 －3 λ－4＝(λ－2)·(λ－4)－3＝λ2－6λ＋5，令f (λ)＝0， 得矩阵M的特征值为1或5，当λ＝1时，由二元一次方程⎩⎪⎨⎪⎧－x －y ＝0，－3x －3y ＝0，得x ＋y＝0，令x ＝1，则y ＝－1，所以特征值λ＝1对应的特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1；当λ＝5时，由二元一次方程⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝0，－3x ＋y ＝0，得3x －y ＝0，令x ＝1，则y ＝3，所以特征值λ＝5对应的特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤13.。

12015年高三二模汇编——矩阵行列式、算法一、填空题1.（2015年虹口理10）若行列式()51sin 02cos 214x x πππ+⎛⎫+ ⎪⎝⎭的第1行第2列的元素1的代数余子式为1-，则实数x 的取值集合为____.【答案】(21),()k k Z π+∈2.（2015年静安理5文5）若2021310x y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则x y += ． 【答案】2 3.（2015年浦东理3文3）已知一个关于y x ,的二元一次方程组的增广矩阵为112012-⎛⎫ ⎪⎝⎭，则x y -= ．【答案】24.（2015年徐汇理9）矩阵1211222232332123i n i n i n n ni nn a a a a a a a a a n a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭中每一行都构成公比为2的等比数列， 第i 列各元素之和为i S ，则2lim2n n n S n →∞=⋅ ． 【答案】145.（2015年徐汇理11）执行如图所示的程序框图，输出的结果为a ，二项式421mx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的 展开式中3x 项的系数为2a ，则常数m = ． 【答案】146. （2015年杨浦理3若42321x x=，则x 的值是 . 【答案】2log 32 7.（2015年杨浦文3）若02312=x x，则x 的值是 . 【答案】3log 4 8.（2015年杨浦理8文10）如图，根据该程序框图，若输出的y 为2，则输入的x的值为 .【答案】4二、选择题（2015年静安理17）如图所示是一个循环结构的算法，下列说法不正确的是（ ）（A ）①是循环变量初始化，循环就要开始（B ）②为循环体（C ）③是判断是否继续循环的终止条件（D ）输出的S 值为2，4，6，8，10，12，14，16，18.【答案】D开始x输入0x >是否2x y =2log y x =y 输出结束。

高考数学中的线性代数中的行列式在数学的学习中，线性代数被认为是数学基础课中的一门重要的学科。

而在高考的数学中，线性代数成为了重要的一部分，其中最为重要的是关于行列式的知识。

行列式是线性代数中的一种非常有用的工具，它有着广泛的应用，不仅仅在数学中，而且在物理、工程、统计等领域也有着极其重要的地位。

那么什么是行列式呢？形式上讲，行列式是一个方阵（方阵是指行数和列数相等的矩阵）的值。

而这个值的计算方法是比较繁琐的，并不容易直接看出来。

一般来说，我们使用拉普拉斯定理来进行计算，这个定理给出了一个递归的定义。

具体地说，对于一个二阶行列式（2×2的矩阵），它的值可以通过下面的公式计算：$$ \begin{vmatrix} a & b\\ c & d\\\end{vmatrix} = ad - bc $$而对于一个三阶行列式（3×3的矩阵），则可以通过以下方式进行计算：$$ \begin{vmatrix} a & b & c\\ d & e & f\\ g & h & i\\\end{vmatrix} = a \begin{vmatrix} e & f \\ h & i \\ \end{vmatrix} - b \begin{vmatrix} d & f \\ g & i \\ \end{vmatrix} + c \begin{vmatrix} d & e \\ g & h \\ \end{vmatrix} $$这个公式就是拉普拉斯定理的一个实例。

而对于更高阶的行列式，它的计算方法则是类似的，需要使用更为复杂的递归公式。

从这些公式中，我们可以看出行列式是一个非常复杂的数学工具。

它对于我们理解矩阵的性质和特征有着非常大的帮助。

那么，在高考中，我们为什么要学习行列式呢?首先，行列式是矩阵的一种特征，它包含了矩阵的很多重要信息。

高中数学 矩阵 行列式 专题练习及答案精析版含答案（79页）1．定义运算⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡df ce bf ae f e d c b a ，如⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡1514543021.已知πβα=+，2πβα=-，则=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡ββααααsin cos sin cos cos sin （ ）.A. 00⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 01⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 10⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 11⎡⎤⎢⎥⎣⎦2．规定运算a bad bc c d=+，若sincos122332cossin22θθθθ=，其中0θπ<<，则sin θ=A ．12-B．2-C．2±D．23．定义行列式运算：32414321a a a a a a a a -=，将()xx x f c os 1s in 3----=向左平移()0>m m 个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则m 的最小值为（ ）A 、8π B 、3πC 、32πD 、65π4．如图， 111213212223313233a a a a a a a a a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭三行三列的方阵中有9个数(1,2,3;1,2,3)ij a i j ==， 从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是 （ ）A ．37 B ．47 C ．114 D ．13145．（选修4－2矩阵与变换）试从几何变换角度求解矩阵AB 的逆矩阵：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1001A ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0 11 0B . 6．定义：a b ad bc c d=-.若复数z 满足112z i i i=-+-，则z 等于A ．1i +B ．1i -C ．3i +D ．3i -7．已知关于x y 、的二元一次线性方程组的增广矩阵为111222a b c a b c ⎛⎫⎪⎝⎭，记121212(,),(,),(,)a a a b b b cc c ===，则此线性方程组有无穷多组解的充要条件是 [答]（ ）A 、0a b c ++=．B 、a b c 、、两两平行． C 、a b //． D 、a b c 、、方向都相同． 8．定义运算a bad bcc d=-,则符合条件120121z i ii+=--的复数z 对应的点在( )A.第四象限B.第三象限C.第二象限D.第一象限 9．定义运算a b ad bc c d=-，若函数()123x f x xx -=-+在(,)m -∞上单调递减，则实数m 的取值范围是( )A ．(2,)-+∞B ．[2,)-+∞C ．(,2)-∞-D ．(,2]-∞-10．定义运算bc ad db ca -=,则符合条件i ziz=12的复数z 的虚部为（ ）A ．51 B ．51- C ．52 D ．52- 11．设1141A ⎛⎫=⎪⎝⎭，则矩阵A 的一个特征值λ和对应的一个特征向量α为 A ．3=λ，12α⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．1-=λ，21α⎛⎫=⎪-⎝⎭C ．3=λ，12α-⎛⎫=⎪⎝⎭ D ．1-=λ，12α⎛⎫= ⎪⎝⎭12．对2×2数表定义平方运算如下： （ ）222a b a b a b a bc ab bd c d c d c d ac cd bc d ⎛⎫++⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 则21201-⎛⎫ ⎪⎝⎭为 A.1011⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.1101⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 1001⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.0110⎛⎫⎪⎝⎭13．已知2010200820062004262422201816141210864,++++-= 则bc ad dc b a =（ ）A ． 2008B ．—2008C ．2010D ．—201014．定义2×2矩阵12142334a a a a a a a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若sin()()cos()1x f x x ππ⎛-= +⎝⎭，则()f x 的图象向右平移3π个单位得到的函数解析式为（ ） A ．22sin()3y x π=- B ．2sin()3y x π=+C ．2cos y x =D ．2sin y x =15．已知a 、b 、c 是ABC ∆的三边长，且满足0222=ac b c b a ，则A B C ∆一定是（ ）． A 、等腰非等边三角形 B 、等边三角形 C 、直角三角形 D 、等腰直角三角形16．我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，…，9填入3×3的方格内，使三行、三列、二对角线的三个数之和都等于15，如图1所示，一般地，将连续的正整数1，2，3，…n 2填入n×n 个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n 阶幻方，记n 阶幻方的对角线上数的和为N ，如图1的幻方记为N 3=15，那么N 12的值为 （ ）A ．869B ．870C ．871D ．875 17．矩阵E =⎪⎪⎭⎫⎝⎛1001的特征值为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 任意实数18．将5,6,7,8四个数填入12349⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭中的空白处以构成三行三列方阵，若要求每一行从左到右、每一列从上到下依次增大，则满足要求的填法种数为 （ ）A ．24B ．18C ．12D ．6 19． 已知bc ad dc b a -=,则=+++20102008200620041816141210864 ( )A －2008B 2008C 2010D -201020．定义运算bc ad db ca -=，则符合条件121211-+--x yy x = 0的点P (x , y )的轨迹方程为（ ）A ．(x – 1)2 + 4y 2 = 1B ．(x –1)2 – 4y 2 = 1C ．(x –1)2 + y 2 = 1D ．(x –1)2 – y 2 = 121．第3行第2列的元素的代数余子式记作()x f ，()x f +1的零点属于区间 （ ）（A ）； （B ）； （C ）； （D ）；22．定义运算⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡df ce bf ae f e d c b a ，如⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡1514543021，已知αβ+=π，2αβπ-=，则=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡ββααααsin cos sin cos cos sin （ ）. A.00⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.01⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C.10⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.11⎡⎤⎢⎥⎣⎦23．如图，三行三列的方阵中，从中任取三个数，则至少有两个数最大公约数大于1 的概率是 （ ） ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛55331135217532 A 8413 B72C8471 D75 24． 已知a b ad bc c d=-,则46121420042006810161820082010+++=( )A ．－2008B ．2008C ．2010D ．－201025．若规定bcad d c ba -=，则不等式0111lg<x的解集是A ．（1，2）B ．（2，+∞）C ．（-∞，2）D ．（-∞，3）26．计算矩阵的乘积=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0110n m y x ______________ 27．规定运算a bad bc c d=+，若sincos122332cossin22θθθθ=，则sin θ= ．28．函数x x xx x x x f sin cos sin 2)cos(cos sin )(--+=π的最小正周期=T29．线性方程组21202x z x y y z -=-⎧⎪+=⎨⎪+=⎩的增广矩阵是__________________．30．对任意的实数y x ,，矩阵运算⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛x y y x d c b a 都成立，则=⎪⎪⎭⎫⎝⎛d c b a . 31．方程组2132x y x y -=⎧⎨+=-⎩的增广矩阵是__________________.32．定义矩阵变换a b m am bn c d n cm dn +⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭；对于矩阵变换11sin 20cos u v αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，函数1()2y u v =+的最大值为_____________ 33．设二阶矩阵,,a b A c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中每一个数字称为二阶矩阵的元素，又记二阶矩阵乘法222,,a bc ab bd A A A ac cd bc d ⎛⎫++=⨯= ⎪ ⎪++⎝⎭，请观察二阶矩阵乘法的规律，写出1112322122,,a a A A A a a ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭中的元素21a =__________.34．若复数z 满足109z z-=，则z 的值为___________.35．二阶行列式ii i++-1101的值是 . （其中i 为虚数单位）36．计算：122423432⎛⎫⎛⎫⋅+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭= . 37．若0ln 1a b π⎛⎫ ⎪⎝⎭是单位矩阵，则a b -= . 38．行列式（a,b,c,d ∈{－1,1,2}）的所有可能值中，最大的是 .39．如果矩阵()111113-是线性方程组{111222a x b y c a x b y c +=+=的增广矩阵，则这个线性方程组的解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛y x 可用矩阵表示为 ▲ ．40．将正整数21,2,3,4,,n （2n ≥）任意排成n 行n 列的数表.对于某一个数表，计算各行和各列中的任意两个数,a b （a b >）的比值ab，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”.若ij a 表示某个n 行n 列数表中第i 行第j 列的数（1i n ≤≤，1j n ≤≤），且满足(1),(1),ij i j i n i j a i n i j n i j +--<⎧=⎨+-+-≥⎩， ，，当4=n 时数表的“特征值”为_________ 41．当πcos12=a 时，行列式211121a a +-的值是 ．42．方程cos sin sin cos =x x xx 的解为__________________.43．若行列式124012x -=，则x = .44．各项都为正数的无穷等比数列{}na ，满足,,42t a m a ==且⎩⎨⎧==ty mx 是增广矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2221103的线性方程组⎩⎨⎧=+=+2222111211c y a x a c y a x a 的解，则无穷等比数列{}n a 各项和的数值是 _________.45．若3sin 5θ=-，则行列式cos sin sin cos θθθθ= ． 46．不等式210x x+≥ 1 2 2的解为 .47．已知变换100M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，点(2,1)A -在变换M 下变换为点(,1)A a '，则a b += 48．⎥⎦⎤⎢⎣⎡6421的逆矩阵为 . 49．行列式987654321中元素8的代数余子式为______________.50．已知矩阵10102A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦，则矩阵A 的逆矩阵为51．矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0110的逆矩阵是 ．52．矩阵2130A ⎛⎫=⎪⎝⎭的特征值是_____________________． 53．．由9个正数组成的数阵111213212223313233a a a a a a a a a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭中，每行中的三个数成等差数列，且a 11+a 12+a 13，a 21+a 22+a 23，a 31+a 32+a 33成等比数列．给出下列结论：①第二列中的a 12，a 22，a 32必成等比数列；②第一列中的a 11，a 21，a 31不一定成等比数列；③a 12+ a 32≥a 21+a 23； ④若9个数之和大于81，则a 22>9． 其中正确的序号有 ．（填写所有正确结论的序号）． 54．已知函数11()13xf x -=，则1(4)f-= ．55．[选修4-2：矩阵与变换] 已知矩阵1211,121A B x -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，向量2a y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，,x y 是实数，若Aa Ba =，求x y +的值.56．定义运算：12142334a a a a a a a a =-，将函数cos ()sin xf x x的图象向左平移m个单位（0m >），若所得图象对应的函数为偶函数，则m 的最小值为57．已知矩阵A =1234⎛⎫⎪⎝⎭，矩阵B =4231⎛⎫ ⎪⎝⎭，计算：AB = ．58．若2211x x x y y y =--，则______x y += 59．对于任意),1()1,0(∞+∈ a ，函数)1(log 111)(--=x x f a 的反函数)(1x f-的图像经过的定点的坐标是______________． 60．已知，则cos2α= ．61．若以⎪⎪⎭⎫⎝⎛1431a a 为增广矩阵的线性方程组有唯一一组解，则实数a 的取值范围为 ．62．规定矩阵3A A A A =⋅⋅，若矩阵31 1 10 10 1x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则x 的值是_____________．63．矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2563N 的特征值为______________．来源 64．设平面上一伸缩变换把(1,1)A 变换为(2,3)P -,则点(2,3)B -在此变换下所对应的点是65．已知圆22:4C x y +=在矩阵1002A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应伸压变换下变为一个椭圆，则此椭圆方程为66．对2×2数表定义平方运算如下：222a b a b a b a bc ab bd c d c d c d ac cdbc d ⎛⎫++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则21201-⎛⎫= ⎪⎝⎭__________． 67．已知,1->t 当[]2,+-∈t t x 时，函数xxx y 4=的最小值为-4，则t 的取值范围是 68．如图，2(4)nn ≥个正数排成n 行n 列方阵：符号(1,)ij a i j n ≤≤ 表示位于第i 行第j 列的正数．已知每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，且每一列的数的公比都等于q ． 若1112a =，241a =，3214a = ， 则q = ________，ij a =__________．69，则x =__________70．将正整数21,2,3,4,,n （2n ≥）任意排成n 行n 列的数表.对于某一个数表，计算各行和各列中的任意两个数,a b （a b >）的比值ab，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”.若ij a 表示某个n 行n 列数表中第i 行第j 列的数（1i n ≤≤，1j n ≤≤），且满足(1),(1),ij i j i n i j a i n i j n i j +--<⎧=⎨+-+-≥⎩， ，，当3n =时数表的“特征值”为_________71．若3sin 5θ=-，则行列式cos sin sin cos θθθθ=72．增广矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-111311的线性方程组的解为________________. 73．关于z 的方程20132012101i zii izi+=--+（其中i 是虚数单位），则方程的解=z ． 74．三阶行列式12324310中第二行第一列元素0的代数余子式是________.75．已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=421x A 可逆，则x 的取值范围为76．已知函数cos ()sin xf x x=， 则方程()021cos =+⋅x x f 的解是________.77．下列命题： ①函数⎪⎭⎫⎝⎛-=2sin πx y 在[]π,0上是减函数； ②点A （1，1）、B （2，7）在直线03=-y x 两侧；③数列{}n a 为递减的等差数列，051=+a a ，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则当4=n 时，n S 取得最大值； ④定义运算11a b ，b a b a a b 122122-=则函数()13312x x x x x f +=的图象在点⎪⎭⎫⎝⎛31,1处的切线方程是.0536=--y x其中正确命题的序号是________（把所有正确命题的序号都写上）.78．不等式1111x x+-1≤的解集为._______79．若规定a b cd=|ad -bc|，则不等式log2111x<0的解集为80．三行三列的方阵中有9个数(1,2,3;1,2,3)ij a i j ==，111213212223313233 a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的的概率为__________．81．不等式1011ax x <+对任意R x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是 ．82．规定矩阵A A A A ∙∙=3，若矩阵31 1 10 10 1x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则x 的值是_____________.83． 已知线性方程组的增广矩阵为103210⎛⎫ ⎪⎝⎭，则其对应的方程组为_____________ 84．若1250120131xx =，则实数x = ． 85．矩阵1141⎡⎤⎢⎥⎣⎦的特征值为 ． 86．若=642531222c b a 222222C c B b A a ++，则2C 化简后的最后结果等于__________．87．已知矩阵2134A -⎛⎫=⎪⎝⎭，2143B -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则A B ⨯=____________ 88．cos()αβ-计算公式可用行列式表示为_____________． 89．若1312,2433A B -⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，则=-B A 3 ．90．若关于x, y 的线性方程组的增广矩阵为0603m n ⎛⎫⎪⎝⎭，该方程组的解为3,4.x y =-⎧⎨=⎩则mn的值为 ．91．已知N=0110-⎛⎫⎪⎝⎭,计算N 2.92．三阶行列式xb x x D 31302502-=， 元素b ()R b ∈的代数余子式为()x H ，(){}0≤=x H x P ，(1) 求集合P ；(2)函数()()22log 22f x ax x =-+的定义域为,Q 若,P Q ⋂≠∅求实数a 的取值范围；93．已知矩阵A =⎪⎭⎫ ⎝⎛b a 12有一个属于特征值1的特征向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12α. (Ⅰ) 求矩阵A ； (Ⅱ) 若矩阵B =⎪⎭⎫⎝⎛-1011，求直线10x y ++=先在矩阵A ，再在矩阵B 的对应变换作用下的像的方程.94．点(－1，k)在伸压变换矩阵001m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦之下的对应点的坐标为(－2，－4)，求m 、k 的值．95．已知矩阵A ＝ ⎝⎛0a ⎪⎪⎭⎫b 1把点（1，1）变换成点（2，2） （Ⅰ）求b a ,的值（Ⅱ）求曲线C ：122=+y x 在矩阵A 的变换作用下对应的曲线方程. 96．选修4—2：矩阵与变换 (本小题满分10分)已知矩阵3222-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=41α，试计算：10M α． 97．（1）（矩阵与变换）求矩阵12A 14⎛⎫= ⎪-⎝⎭的特征值和对应的特征向量。