九年级上册二次函数中考真题汇编[解析版]
一、初三数学二次函数易错题压轴题（难）
1．如图，二次函数y＝ax2+bx+c交x轴于点A（1，0）和点B（3，0），交y轴于点C，抛物线上一点D的坐标为（4，3）
（1）求该二次函数所对应的函数解析式；
（2）如图1，点P是直线BC下方抛物线上的一个动点，PE//x轴，PF//y轴，求线段EF的最大值；
（3）如图2，点M是线段CD上的一个动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点N，当△CBN是直角三角形时，请直接写出所有满足条件的点M的坐标．
【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）EF的最大值为
2
4
；（3）M点坐标为可以为（2，
3），（55
2
+
，3），（
55
2
-
，3）．
【解析】
【分析】
（1）根据题意由A、B两点坐标在二次函数图象上，设二次函数解析式的交点式，将D点坐标代入求出a的值，最后将二次函数的交点式转化成一般式形式．
（2）由题意可知点P在二次函数图象上，坐标为（p，p2﹣4p+3）．又因为PF//y轴，点F 在直线BC上，P的坐标为（p，﹣p+3），在Rt△FPE中，可得FE2PF，用纵坐标差的绝对值可求线段EF的最大值．
（3）根据题意求△CBN是直角三角形，分为∠CBN＝90°和∠CNB＝90°两类情况计算，利用三角形相似知识进行分析求解．
【详解】
解：（1）设二次函数的解析式为y＝a（x﹣b）（x﹣c），
∵y＝ax2+bx+与x轴r的两个交点A、B的坐标分别为（1，0）和（3，0），
∴二次函数解析式：y＝a（x﹣1）（x﹣3）．
又∵点D（4，3）在二次函数上，
∴（4﹣3）×（4﹣1）a＝3，
∴解得：a＝1．
∴二次函数的解析式：y＝（x﹣1）（x﹣3），即y＝x2﹣4x+3．
（2）如图1所示．
因点P 在二次函数图象上，设P （p ，p 2﹣4p+3）．
∵y ＝x 2﹣4x+3与y 轴相交于点C ，
∴点C 的坐标为（0，3）．
又∵点B 的坐标为B （3，0），
∴OB ＝OC
∴△COB 为等腰直角三角形．
又∵PF//y 轴，PE//x 轴，
∴△PEF 为等腰直角三角形．
∴EF 2PF ．
设一次函数的l BC 的表达式为y ＝kx+b ，
又∵B （3，0）和C （0，3）在直线BC 上，
303k b b +=⎧⎨=⎩
， 解得：13
k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线BC 的解析式为y ＝﹣x+3．
∴y F ＝﹣p+3．
FP ＝﹣p+3﹣（p 2﹣4p+3）＝﹣p 2+3p ．
∴EF 2p 22．
∴线段EF 的最大值为，EF max 42-24
． （3）①如图2所示：
若∠CNB ＝90°时，点N 在抛物线上，作MN//y 轴，l//x 轴交y 轴于点E ，
BF ⊥l 交l 于点F ．
设点N 的坐标为（m ，m 2﹣4m+3），则点M 的坐标为（m ，3），
∵C 、D 两点的坐标为（0，3）和（4，3），
∴CD ∥x 轴．
又∵∠CNE ＝∠NBF ，∠CEN ＝∠NFB ＝90°，
∴△CNE ∽△NBF ．
∴CE NE ＝NF BF
， 又∵CE ＝﹣m 2+4m ，NE ＝m ；NF ＝3﹣m ，BF ＝﹣m 2+4m ﹣3，
∴24m m m
-+＝2343m m m --+-， 化简得：m 2﹣5m+5＝0．
解得：m 1＝552
+，m 2＝552-． ∴M 点坐标为（
55+，3）或（55-，3） ②如图3所示：
当∠CBN ＝90°时，过B 作BG ⊥CD ，
∵∠NBF ＝∠CBG ，∠NFB ＝∠BGC ＝90°，
∴△BFN ∽△CGB ．
∵△BFN 为等腰直角三角形，
∴BF ＝FN ，
∴0﹣（m 2﹣4m+3）＝3﹣m ．
∴化简得，m 2﹣5m+6＝0．
解得，m ＝2或m ＝3（舍去）
∴M 点坐标为，（2，3）． 综上所述，满足题意的M 点坐标为可以为（2，3），（
552
+，3），（552-，3）． 【点睛】
本题考查待定系数法求解函数解析式，二次函数和三角函数求值，三角形相似等相关知识点；同时运用数形结合和分类讨论的思想探究点在几何图形上的位置关系．
2．在平面直角坐标系中，抛物线2
2(0)y ax bx a =++≠经过点(2,4)A --和点(2,0)C ，与y 轴交于点D ，与x 轴的另一交点为点B ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接BD ，在抛物线上是否存在点P ，使得2PBC BDO ∠=∠？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，连接AC ，交y 轴于点E ，点M 是线段AD 上的动点（不与点A ，点D 重合），将CME △沿ME 所在直线翻折，得到FME ，当FME 与AME △重叠部分的面积是AMC 面积的14
时，请直接写出线段AM 的长． 【答案】（1）22y x x =-++；（2）存在，（23，209）或（103，529
-）；（3）
5或 【解析】
【分析】
（1）根据点A 和点C 的坐标，利用待定系数法求解；
（2）在x 轴正半轴上取点E ，使OB=OE ，过点E 作EF ⊥BD ，垂足为F ，构造出
∠PBC=∠BDE ，分点P 在第三象限时，点P 在x 轴上方时，点P 在第四象限时，共三种情况分别求解；
（3）设EF 与AD 交于点N ，分点F 在直线AC 上方和点F 在直线AC 下方时两种情况，利用题中所给面积关系和中线的性质可得MN=AN ，FN=NE ，从而证明四边形FMEA 为平行四边形，继而求解．
【详解】
解：（1）∵抛物线22(0)y ax bx a =++≠经过点A （-2，-4）和点C （2，0），
则44220422a b a b -=-+⎧⎨=++⎩，解得：11a b =-⎧⎨=⎩
， ∴抛物线的解析式为22y x x =-++；
（2）存在，理由是：
在x 轴正半轴上取点E ，使OB=OE ，过点E 作EF ⊥BD ，垂足为F ，
在22y x x =-++中，
令y=0，解得：x=2或-1，
∴点B 坐标为（-1，0），
∴点E 坐标为（1，0），
可知：点B 和点E 关于y 轴对称，
∴∠BDO=∠EDO ，即∠BDE=2∠BDO ，
∵D （0，2），
∴=，
在△BDE 中，有12×BE ×OD=12
×BD ×EF ，
即2×EF ，解得：，
∴，
∴tan ∠BDE=EF DF =55
÷=43， 若∠PBC=2∠BDO ，
则∠PBC=∠BDE ，
∵BE=2，
