[初二数学]勾股定理综合难题

八下数学 | 勾股定理

与全等三角形综合大题

【一】已知，如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，过D作DE∥AC交AB于E．

（1）求证：AE＝DE；

【解答】

证明：∵DE∥AC，

∴∠CAD＝∠ADE，

∵AD平分∠BAC，

∴∠CAD＝∠EAD．

∴∠EAD＝∠ADE．

∴AE＝DE；

（2）如果AC＝3，，求AE的长．

【解答】

解：过点D作DF⊥AB于F．

∵∠C＝90°，AC＝3，AC=2√3,

在Rt△ACD中，由勾股定理得 AC2+DC2＝AD2．

∴=√3．

∵AD平分∠BAC，

∴DF＝DC=√3．

又∵AD＝AD，∠C＝∠AFD＝90°，

∴Rt△DAC≌Rt△DAF（HL）．

∴AF＝AC＝3，

∴Rt△DEF中，由勾股定理得 EF2+DF2＝DE2．

设AE＝x，则DE＝x，EF＝3﹣x，

∴（3-x）²+（√3）²＝x²，

∴x＝2．

∴AE＝2．

【二】如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6．AD平分∠CAB交BC于点D．

（1）求BC的长；

【解答】

解：在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，

由勾股定理得：

=∠AB²-BC²∠10²-6²=．

（2）求CD的长．

【解答】

解：过点D作DE⊥AB于点E，如图．

∴∠DEA＝90°＝∠C（垂直定义）．

∵AD平分∠CAB（已知），

∴∠1＝∠2（角平分线定义）．

在△AED和△ACD中，

∠DEA=∠C，∠2=∠1，AD=AD

△AED≌△ACD（AAS）．

∴AE＝AC＝6，DE＝DC（全等三角形的对应边相等）．

∴BE＝AB﹣AE＝4．

设CD＝x，则DE＝x，DB＝8﹣x．

在Rt△DEB中，∠DEB＝90°，

由勾股定理，得（8﹣x）2＝x2+42．

解得x＝3．

即CD＝3．

【三】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣B﹣C运动．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．

勾股定理题目初二难题

勾股定理是解决直角三角形问题的重要定理，它的应用广泛且具有实用性。下面我向大家提出一道初二难度的勾股定理题目，希望能够展示一下大家的数学能力。

题目：

小明正在建造一个长方形花坛，他想要确定花坛两侧边的长度，以确保它是一个正方形。他已经测量了花坛两条对角线的长度，分别为12米和16米。请问，花坛两侧边的长度各是多少米？

解题思路：

根据勾股定理，直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和。在这个问题中，我们可以将花坛的两条对角线看作是直角三角形的两条直角边，而花坛两侧边则是斜边。

设花坛两侧边的长度分别为x米和y米。根据勾股定理，我们可以得到以下两个方程：

x + y = 12 (方程1)

x + y = 16 (方程2)

我们可以使用这两个方程来求解x和y的值。首先，我们可以将方程1和方程2相减，得到： 16 - 12 = x + y - (x + y)

简化后得到：

256 - 144 = 0

这个方程显然是错误的，说明我们的假设存在问题。实际上，无法通过已知的对角线长度来确定花坛两侧边的具体长度，因为对角线长度并不能唯一地确定一个长方形。

所以，这个问题的答案是无解。当我们只知道一个长方形的对角线长度时，无法准确地确定其两侧边的长度。

总结：

这道题目通过勾股定理展示了对角线长度不足以唯一确定长方形的两侧边长度。勾股定理的应用需要考虑到问题的具体条件，避免出现错误的假设。在实际问题中，我们经常会遇到需要使用勾股定理来解决的情况，因此加深对勾股定理的理解和运用是非常重要的。

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勾股定理难题50道

1．已知：如图，无盖无底的正方体纸盒ABCDEFGH，P，Q分别为棱FB，GC上的点，且2FPPB，12GQQC，若将这个正方体纸盒沿折线APPQQH裁剪并展开，得到的平面图形是( )

A．一个六边形

B．一个平行四边形

C．两个直角三角形

D．一个直角三角形和一个直角梯形

2．已知ABC中，17AB，10AC，BC边上的高8AD，则边BC的长为( )

A．21 B．15

C．6 D．以上答案都不对

3．在底面直径为2cm，高为3cm的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为 cm．（结果保留)

4．如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要 cm．

5．直角三角形是一个奇妙的三角形，除了有勾股定理这样著名的定理外，它还有许多奇妙

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的特性值得我们去探索，例如，在RtABC中，90C，A、B、C的对边分别为a、b、c．设ABCSS，abcl，则S与l的比Sl蕴含着一个奇妙的规律，这个规律与abc的值有关，观察下面a、b、c取具体勾股数的表：

三边a、b、c abc l S /Sl

345 2 12 6 1/2

6810 4 24 24 1

51213 4 30 30 1

81517 6 40 60 3/2

121620 8 48 96 2

    

若abcm，则观察上表我们可以猜想出Sl （用含m的代数式表示）

6．等腰ABC的底边8BCcm，腰长5ABcm，一动点P在底边上从点B开始向点C以0.25/cm秒的速度运动，当点P运动到PA与腰垂直的位置时，点P运动的时间应为

秒．

7．阅读以下解题过程：

已知a，b，c为ABC的三边，且满足222244acbcab，试判断ABC的形状．

第1页共10页

探索勾股定理进阶（二）（综合）

一、单选题(共10道，每道10分)

1.在直角三角形中，两边长分别为3和4，则最长边的长度为( )

A.5 B.4

C.3 D.5或4

答案：D

解题思路：

由于题中没有说明哪条是直角边哪条是斜边，所以需要分类讨论：

①当4是直角边时，设斜边长为x，则，此时最长边为5；

②当4为斜边时，此时最长边为4．

故选D

试题难度：三颗星知识点：勾股定理之分类讨论

2.若直角三角形的三边长分别为6，10，m，则m2的值为( )

A.8 B.64

C.136或64 D.136或100

答案：C

解题思路：

由于题中没有说明哪条是直角边哪条是斜边，所以需要分类讨论：

①10是直角边时，

②10是斜边时，，

所以的值为136或64

故选C

试题难度：三颗星知识点：勾股定理之分类讨论

3.在△ABC中，AB=26，AC=25，BC边上的高AD=24，则另一边BC等于( )

A.3或17 B.3

C.2或18 D.17

答案：A

解题思路： 第2页共10页 由题意，有如下两种情况，△ABC为锐角三角形或钝角三角形

①如图，△ABC为锐角三角形

∵AD⊥BC

∴在Rt△ABD中，∠ADB=90°，AB=26，AD=24

由勾股定理得，BD=10

同理，在Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=24，AC=25

由勾股定理得，CD=7

∴BC=BD+CD=10+7=17

②如图，△ABC为钝角三角形

∵AD⊥BC

∴在Rt△ABD中，∠ADB=90°，AB=26，AD=24

由勾股定理得，BD=10

同理，在Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=24，AC=25

由勾股定理得，CD=7

∴BC=BD-CD=10-7=3

综上，BC的长为3或17

故选A

试题难度：三颗星知识点：勾股定理之分类讨论