2010数学建模D题
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2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承 诺 书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： D
我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：
所属学校（请填写完整的全名）：
参赛队员 (打印并签名) ：1.
2.
3.
指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：
日期： 2010 年 9 月 13 日
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛
编 号 专 用 页
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：
评
阅
人
评
分
备
注
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：
全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
1 宿舍设计方案的综合评价研究
摘要
本文主要采用层次分析法对学生宿舍设计方案的评价建立层次分析模型，对宿舍设计方案的经济性、舒适性和安全性等因素进行综合量化评价与比较。首先，基于层次分析法，着重对学校宿舍的经济性、舒适性、安全性进行考虑，建立初步层次分析模型。其次，在所建立的初步层次分析模型的基础上，分别就经济性、舒适性和安全性的影响因素进行分析建模。
针对经济性，采用层次分析法对它的影响因素进行分析建立第二级关于经济性因素的层次分析模型。将经济性的影响因素归结为建设成本、运行成本和收费标准，查阅相关资料将合适建设成本、运行成本和收费标准确定，并建立利润与收费标准、建设成本、运行成本和运行年限之间的关系式：
y= ntC- ntB- A；
结合附图所给数据并查阅所得数据，将函数表达式确定，并用Matlab软件作出图像，观察分析图像，对比得出Design4较有优势。
针对舒适性，对它的影响因素做层次分析，建立第二级关于舒适性因素的层次分析模型。利用层次分析法中判断矩阵方法，确定各因素的权重，进而对附图中的有关数据做有效量化，考虑各因素权重与量化后的数据之间的关系，对比得出Design4较有优势。
针对安全性，采用枚举法，对影响安全性的因素逐个考察事件的所有可能情况，利用房屋建筑学有关知识，对人口流动密度、疏散时间以及疏散距离等进行分析，对比得出Design4比较有优势。
综合宿舍设计的经济性、舒适性和安全性的量化评价和比较，最终得出Design4比较有优势。
关键字：层次分析法 综合量化 枚举法 权重
2 问题重述
学生宿舍是学校重要的人格教育阵地，现在许多学校在办学过程中，都把学生宿舍当成一个重点建设的内容。学生宿舍其实是一个综合教育阵地,影响着学生的生活、学习和健康成长，要为学生的健康成长和全面发育开创更多的条件。现在在大学生活当中,宿舍已经成为学生探讨问题、交流思想、开展健康有益的活动的重要组成部分。积极向上的宿舍文化是加强学生个人素养、培养学生良好的生活习惯和团队精神的基础。
学生宿舍的使用面积、布局和设施配置等的设计既要让学生生活舒适，也要方便管理, 同时要考虑成本和收费的平衡, 这些还与所在城市的地域、区位、文化习俗和经济发展水平有关。因此，学生宿舍的设计必须考虑以下问题：
经济性：建设成本、运行成本和收费标准等。
舒适性：人均面积、使用方便、互不干扰、采光和通风等。
安全性：人员疏散和防盗等。
附件是四种比较典型的学生宿舍的设计方案。运用数学建模的方法对它们的经济性、舒适性和安全性作出综合量化评价和比较。
问题分析
此题的目的是建立一种模型，来对附图中学校宿舍设计方案的经济性、舒适性和安全性作出综合的量化评价和比较。对于评价方案，采取层次分析法来解决。就本题整体而言，首先建立初步层次分析模型。然后对所建立的初步层次分析模型的准则层因素进行逐个分析。
对于经济方面，考虑到土地成本和房屋建筑成本对建设成本的影响，需要从网上搜索土地成本与房屋建筑成本的有关知识，并对其量化，结合附图给出的数据将四种设计方案的利润与时间的表达式求出来，用Matlab软件画出图形，进行综合比较。
对于舒适度，需要考虑影响舒适度的各因素的权重，这时利用层次分析法中的判断矩阵求权重，对附图数据进行有效量化，结合各个因素的权重和量化结果对四种设计方案进行评价与比较。
对于安全性，需要考虑各个影响因素的影响关系，由于这些因素比较文字化，因而我们采用枚举法逐个对考察事件的可能情况分析，从而得出一般结论。
模型假设
假设四种方案中宿舍的单位面积成本相同且不考虑地理气候等影响；
假设每种宿舍内水、电费单价都相同；
假设门窗等防盗设施都良好；
假设宿舍刚好注满；
假设宿舍楼内每个人步行速度相同。
假设分析单一因素时，各个因素之间的影响可以忽略。
3 符号说明
A 楼房的建设成本
B 每年的运行成本
C 每年的收费标准
y t年的利润
n 宿舍入住人数
t 运行年数
G 代表Q人公用卫生间的个数
Q 代表利用G个卫生间人数
L 代表平均每平方米卫生间的人数
m 代表楼层的总房间数目
N 代表单个房间所住人数
S 代表一个房间的面积
P 代表朝阳房间与总建筑面积比
H 代表走廊面积
S 代表建筑物的总面积
X 代表走廊面积与总建筑屋面积比
模型的建立与求解
首先，根据对模型的分析，对学校宿舍的设计建立一个初步的层次分析模型如图一:
图一 学校宿舍设计的初步层次分析模型
其次，对初步层次分析模型的准则层中的经济性、舒适性、安全性分别进行考虑：
一、经济性
学生宿舍设计
经济性
舒适性
安全性 目标层
准则层
Design3
Design1 Design2
Design4
方案层
4 层次分析模型的建立
根据前面所建立的层次分析模型的准则层中的经济性，可以建立出层次结构模型：
图二 层次分析图
下面对子准则层的每一项进行具体的分析：
⊙土地成本、房屋建筑成本
根据国家国土部近期的公布，在对全国620个调查项目的数据综合评比中，得到如下一些数据。下图为2001-2008年全国主要城市平均综合地价比较：
图三 2001-2008年全国主要城市平均综合地价增长率比较 建设成本 运行成本 收费标准
土
地
成
本 房
屋
建
筑
成
本 能源消耗费
维修能耗
管理服务费 宿
舍
收
费
房屋、设备折旧费 经济性
文化建设专项经费 目标层
准则层
子准则层
方案层 Design1 Design2
Design3
Design4
5
2008年我国35个重点城市综合地价水平值为3273元/平方米，地价增长率为0.18%，与2007年13.37%的平均综合地价增长率相比，下降了13.19个百分点，增长速度大幅降低。
各区域城市平均地价水平由高到低依次是东南区、西南区、华北区、中南区、东北区、西北区。从地价的区域分布来看，从南到北，从东到西，地价呈递减趋势。
表1 2008年全国分区域不同用途地价增长率及地价水平值
各区域 地价水平值（元/平方米） 地价增长率%
综合地价 商业 居住 工业 综合地价 商业 居住 工业
全国 2474 4148 3479 607 0.47 0.96 0.22 0.54
东南区 3479 5816 5597 734 -3.40 -3.04 -3.50 -3.45
中南区 1641 3079 1999 481 2.73 4.01 0.45 5.86
西南区 3126 5044 3834 489 -1.21 -1.94 -2.42 1.64
华北区 2395 4117 3497 597 4.71 5.21 4.33 4.98
西北区 1095 1661 1184 472 3.41 4.76 2.91 2.95
东北区 1148 3050 1352 321 3.02 3.98 3.91 1.70
然而房价的增长率与地价的增长率并不同步，受金融危机和其它因素的影响，2008年房价增长率与地价增长率虽然较上年相比大幅下降，但地价水平值和房屋销售价格较上年仍然有所上升，但二者的增长幅度存在差异。
图四 主要城市房屋价格与综合地价增长率（%）
从有关资料中查得房屋建设的一些数据，见附录一。
所以，根据调查结果，综合以上的分析，620个案例地价占房价比例平均为23.2%，地价平均为每平方米1720元，房子总建筑价格为每平方米1200元。
⊙能源消耗费
水费
