2020-2021学年上海市虹口区高一(上)期末数学试卷(附答案详解)

2020-2021学年上海市虹口区高一上学期期末数学试题一、单选题1．设,a b 均为实数，则“a b >”是“33a b >”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【详解】因为2332223()()()[()]24b b a b a b a ab b a b a -=-++=-++ ，所以33a b a b >⇔> ，即“a b >”是“33a b >”的充要条件，选C.2．函数412x xy +=的图像的对称性为（ ） A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y x=对称 【答案】B【分析】将函数进行化简，利用函数的奇偶性的定义进行判断．【详解】解：因为4141()22222x x x x x x x f x -+==+=+，所以()222(2)x x x x f x f x ---=+=+=，所以函数()f x 是偶函数，即函数图象关于y 轴对称． 故选：B ．3．已知全集U =R 及集合2128,4a A aa -⎧⎫=≤<∈⎨⎬⎩⎭Z ，{}23100B b b b b =+->∈R ，，则A B 的元素个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B【分析】可求出集合A ，B ，然后进行交集和补集的运算求出A B ，然后即可得出AB 的元素个数．【详解】解：2128,4a A a a -⎧⎫=≤<∈⎨⎬⎩⎭Z ，{}23100B b b b b =+->∈R ，{|223A a a ∴=--<，}{|14a Z a a ∈=-<，}{0a Z ∈=，1，2，3，4}，{|5B b b =<-或2}b >，且U =R ，∴{|52}B b b =-，{0,1,2}A B =，∴AB 的元素个数为：3．故选：B ．4．已知函数2x y x =+，ln y x x =+，lg y x x =+的零点依次为1x 、2x 、3x ，则1x 、2x 、3x 的大小关系为（ ）A ．123x x x <<B ．213x x x <<C ．231x x x <<D ．132x x x <<【答案】D【分析】化函数的零点为方程的根，然后在同一坐标系中画出函数2xy =，ln y x =，lg y x =和函数y x =-的图像，根据图象即可判断1x 、2x 、3x 的大小关系．【详解】已知函数2xy x =+，ln y x x =+，lg y x x =+的零点依次为1x 、2x 、3x ，即111202x xy x x =+=⇒=-1，2222ln 0ln y x x x x =+=⇒=-， 3333lg 0lg y x x x x =+=⇒=-，在同一坐标系中画出函数2xy =，ln y x =，lg y x =和函数y x =-的图像，由图可知：132x x x <<． 故选：D5．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，2()f x x =，若对任意的[,2]x t t ∈+，不等式()2()f x t f x +≥恒成立，则实数t 的取值范围是A ．)+∞B ．[2,)+∞C ．(0,2]+D ．[1]-⋃【答案】A【详解】试题分析：因为()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，2()f x x =，所以0x时，2()f x x =-，所以()f x 在R 上单调递增，且2())f x f =．对任意的[,2]x t t ∈+，不等式()2()f x t f x +≥恒成立，即())f x t f +≥恒成立．因为()f x在R 上单调递增，所以任意的[,2]x t t ∈+，x t +≥恒成立．即1)t x ≥恒成立，当[,2]x t t ∈+时，max1)1)(2)x t ⎡⎤=+⎣⎦，所以只需1)(2)t t ≥+，解得t ≥A 正确．【解析】奇函数的奇偶性和单调性，利用单调性比较大小求最值二、填空题6．已知集合{1,1,2}A =-，{}20B x x x =+=，则A B =__________．【答案】{}1-【分析】可求出集合B ，然后进行交集的运算即可． 【详解】解：{1A =-，1，2}，{1B =-，0}，{1}AB ∴=-．故答案为：{}1-．7．不等式301xx +≤-的解集为______. 【答案】[)3,1-【分析】解分式不等式301xx +≤-即可得出该不等式的解集. 【详解】解不等式301x x +≤-得31x -≤<，因此，不等式301xx +≤-的解集为[)3,1-.故答案为：[)3,1-.【点睛】本题考查分式不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题. 8．函数4()f x x x =+，1,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域为__________． 【答案】174,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】根据对勾函数的单调性分析出()f x 的单调性，然后即可求解出()f x 的最值，从而()f x 的值域可确定出.【详解】由对勾函数的单调性可知：4()f x x x =+在1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在(]2,4上单调递减，所以()()min 24f x f ==，又()()max 1max ,42f x f f ⎧⎫⎛⎫=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，且11178222f ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，()4415f =+=，所以()max 172f x =， 所以()f x 的值域为174,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故答案为：174,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 9．计算：7log 222220log 2log 3log 579+-+=__________． 【答案】4【分析】根据对数的运算法则和性质求解出结果. 【详解】原式222220log log 3log 529+-=+ 222099log 2log 422245⎛⎫⨯ ⎪=+=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭，故答案为：4.10．用“二分法”求方程340x x +-=在区间(1,2)内的实根，首先取区间中点 1.5x =进行判断，那么下一个取的点是x =__________．【答案】1.25【分析】分别代入1x =， 1.5x =计算得340x x +-<和340x x +->，所以可得方程340x x +-=在区间(1,1.5)内有实根，所以根据二分法，下一个取的点为1.25. 【详解】当1x =时，3411420x x +-=+-=-<， 1.5x =时，334 1.5 1.540.8750x x +-=+-=>，所以方程340x x +-=在区间(1,1.5)内有实根，所以下一个取的点是1.25. 故答案为：1.2511．已知条件:211p k x k -≤≤-，:33q x -≤<，且p 是q 的必要条件，则实数k 的取值范围为_________． 【答案】(,2]-∞-【分析】根据集合的包含关系得到关于k 的不等式组解出即可． 【详解】∴[)[]3,321,1k k -⊆--，∴32131k k-≥-⎧⎨≤-⎩，解得2k ≤-，故答案为：(],2-∞-．【点睛】结论点睛：一般可根据如下规则判断：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等； （4）p 是q 的既不充分又不必要条件，q 对的集合与p 对应集合互不包含．12．不等式|2||1|5x x ++-≤的解集为__________． 【答案】[3,2]-【分析】分1≥x ，2x <-，21x 三种情况讨论，即可求出结果．【详解】当1≥x 时，原不等式可化为215x +≤，解得2x ≤，所以2x ≤； 当2x <-时，原不等式可化为215x --≤，解得3x ≥-，所以3x ≥-； 当21x 时，原不等式可化为35≤，显然不成立；综上，原不等式的解集为[3,2]-． 故答案为：[3,2]-．13．已知函数()3x f x a =+的反函数为1()y f x -=，若函数1()y f x -=的图像过点(3,2)，则实数a 的值为__________．【答案】-6 【分析】由1()y fx -=的图象过点(3,2)得函数()y f x =的图象过点(2,3)，把点(2,3)代入()y f x =的解析式求得a 的值． 【详解】解：1()y f x -=的图象过点(3,2)，∴函数()y f x =的图象过点(2,3)，又()3xf x a =+， 233a ∴+=，即6a =-．故答案为：6-．14．已知集合A ={13x x m m -<+，其中,x m ∈Z ，且0m >}，B ={123x x m +<，其中,x m ∈Z ，且0m >}，则A B 的元素个数为__________．（用含正整数m 的式子表示） 【答案】2m【分析】可求出集合A ，B ，然后进行交集的运算求出A B ，根据x ，m Z ∈且0m >即可得出AB 的元素个数．【详解】解：A ={13x x m m -<+，其中,x m ∈Z ，且0m >}，B ={123x x m +<，其中,x m ∈Z ，且0m >}，所以11{|2,,,0}33A x x m x m Z m =-<<+∈>，11{|22,,,0}33B x m x m x m Z m =--<<-∈>，∴11{|2,,,0}33A B x x m x m Z m =-<<-∈>，x ，m Z ∈，且0m >，{0AB ∴=，1，2，⋯，21}m -，AB ∴元素的个数为：2m ．故答案为：2m15．已知函数2230()30x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩，若()23(2)0f a f a -+>，则实数a 的取值范围为________．【答案】(,3)(1,)-∞-⋃+∞【分析】先根据已知条件判断出()f x 的奇偶性和单调性，根据奇偶性和单调性将原不等式转化为关于a 的不等式，由此求解出a 的取值范围.【详解】当0x >时，()()()()220,33x f x x x x x f x -<-=⋅---=--=-， 当0x <时，()()()()220,33x f x x x x x f x ->-=-+⋅-=-=-， 且()00f =，所以()f x 是定义在R 上的奇函数， 因为23y x x =+的对称轴为32x =-，所以()f x 在()0,+∞上单调递增， 由()f x 为奇函数可知()f x 在R 上单调递增，因为()23(2)0f a f a -+>，所以()()232f a f a ->-，所以232a a ->-，所以3a <-或1a >，即a 的取值范围是()(),31,-∞-⋃+∞， 故答案为：()(),31,-∞-⋃+∞.【点睛】思路点睛：利用函数单调性和奇偶性解形如()()()()0f g x f h x +>的不等式的思路：（1）利用奇偶性将不等式变形为()()()()f g x f h x >-；、 （2）根据单调性得到()g x 与()h x -的大小关系；（3）结合函数定义域以及()g x 与()h x -的大小关系，求解出x 的取值范围即为不等式解集.三、解答题16．已知,a b 是任意实数，求证：4433a b a b ab ++≥，并指出等号成立的条件． 【答案】证明见解析；当且仅当a b =时，等号成立．【分析】做差，然后因式分解，再进行配方，最后与0比较大小即可证明. 【详解】因为()()()()44334343a ba b ab aa b b ab +-+=-+-()3333()()()a a b b b a a b a b =-+-=--()22222213()()24a b a ab b a b a b b ⎡⎤⎛⎫=-++=-++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦故()()44330a ba b ab +-+≥，即4433ab a b ab ++≥．当且仅当a b =时，等号成立．17．某居民小区欲在一块空地上建一面积为21200m 的矩形停车场，停车场的四周留有人行通道，设计要求停车场外侧南北的人行通道宽3m ，东西的人行通道宽4m ，如图所示（图中单位：m ），问如何设计停车场的边长，才能使人行通道占地面积最小？最小面积是多少？【答案】设计矩形停车场南北侧边长为30m ，则其东西侧边长为40m ，人行通道占地面积最小5282m ．【分析】设矩形停车场南北侧边长为m x ，则其东西侧边长为1200xm ，人行通道占地面积为1200(6)81200S x x ⎛⎫=++-⎪⎝⎭，再由基本不等式可得答案. 【详解】设矩形停车场南北侧边长为()m 0x x >，则其东西侧边长为1200xm ， 人行通道占地面积为()212007200681200848m S x x x x ⎛⎫=++-=++ ⎪⎝⎭，由均值不等式，得27200720084828482244896m S x x x x=++≥⋅=⨯+=， 当且仅当72008x x=，即30m x =时，2min 96m S =，此时120040m x =． 所以，设计矩形停车场南北侧边长为30m ，则其东西侧边长为40m ，人行通道占地面积最小528m 2． 18．已知函数231x y x -=+．（1）作出这个函数的大致图像； （2）讨论关于x 的方程231x t x -=+的根的个数． 【答案】（1）作图见解析；（2）答案不唯一，具体见解析．【分析】（1）把已知函数解析式变形，再由函数图象的平移与翻折变换可得23||1x y x -=+的图象；（2）对t 分类，数形结合得答案． 【详解】解：（1）因235211x y x x -==-++ 故先将函数5y x=-的图像向左平移1个单位，再向上平移2个单位，得到函数521y x =-+的图像，最后将函数521y x =-+图像x 轴下方部分翻折到x 轴上方，便得到函数231x y x -=+的大致图像．（2）当0t <时，方程231x t x -=+根的个数为0； 当0t =，或2t =时，方程231x t x -=+根的个数为1；当02t <<，或2t >时，方程231x t x -=+根的个数为2． 19．已知函数()161x f x a a+=-+(0,1)a a >≠是定义在R 上的奇函数. （1）求实数a 的值及函数()f x 的值域；（2）若不等式()33xtf x ≥-在[1,2]x ∈上恒成立，求实数t 的取值范围.【答案】（1）3a =；(1,1)-； （2）15[,)2+∞. 【分析】（1）根据()00f =解得3a =，并检验3a =时，满足题意，得出函数解析式，求解值域；（2）根据函数值域，将问题转化()313331x xx t +≥-⋅-，故()max313331x x xt ⎡⎤+≥-⋅⎢⎥-⎣⎦，利用换元法求解最值即可得解.【详解】（1）由()00f =解得3a =，反之3a =时，()16133x f x +=-+23113131x x x-=-=++ ()()31313131x x x x f x f x -----==-=-++，符合题意，故3a =，据此()()1301xf x f x +=>-，()()1,1f x ∈-，即值域为()1,1- （2）()2131x f x =-+在[]1,2x ∈显然是单调增函数，()14,25f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦为正数， 所以()313331x x x t +≥-⋅-，故()max 313331x xx t ⎡⎤+≥-⋅⎢⎥-⎣⎦，令[]31,2,8xm m -=∈，则()()3133231x xx m +-⋅=-- 24m m m m +⋅=-随m 的增大而增大， 最大值为152，∴实数t 范围是15,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】此题考查根据函数奇偶性求参数的取值，根据不等式恒成立求解参数的取值范围，涉及参变分离，换元法求解最值.20．已知函数212log (1)0()log (1)0x x f x x x +≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩．（1）判断函数()y f x =的奇偶性；（2）对任意的实数x 、x ，且120x x +>，求证：()()120f x f x +>； （3）若关于x 的方程23[()]()04f x af x a +-+-=有两个不相等的正根，求实数a 的取值范围．【答案】（1）奇函数；（2）证明见解析：（3）3,1(3,)4a ⎛⎫∈⋃+∞⎪⎝⎭． 【分析】（1）(0)0f =，然后分0x >、0x <两种情况讨论即可； （2）首先判断出()y f x =在R 上是增函数，然后可证明；（3）令()f x t =，则当0x >时，()0t f x =>，原方程有两个不相等的正根等价于：关于t 的方程2304t at a ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭有两个不相等的正根，然后可建立不等式组求解. 【详解】（1）2(0)log (10)0f =+=． 当0x >时，0x -<，有122()log [1()]log (1)()f x x x f x -=--=-+=-，即()()f x f x -=-．当0x <时，0x ->，有212()log [1()]log (1)()f x x x f x -=+-=--=-，即()()f x f x -=-．综上，函数()y f x =在R 上是奇函数．（2）因为函数2log y x =在(0,)+∞上是增函数，函数1u x =+在R 上也是增函数， 故函数2log (1)=+y x 在[0,)+∞上是增函数．由（1）知，函数()y f x =是R 上的奇函数．由奇函数的单调性知， 函数12log (1)y x =-在(,0)-∞上也是增函数，从而函数()y f x =在R 上是增函数．由120x x +>，得12x x >-，所以()()()122f x f x f x >-=-，即()()120f x f x +>．（3）由（1）知，函数()y f x =是R 上的奇函数，故原方程可化为23[()]()04f x af x a -+-=． 令()f x t =，则当0x >时，()0t f x =>．原方程有两个不相等的正根等价于：关于t 的方程2304t at a ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭有两个不相等的正根，即23401,343001,?343344a a a a a a a a a a ⎧⎛⎫⎧∆=--> ⎪⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎪>⇔>⇔<<>⎨⎨⎪⎪⎪⎪->>⎩⎪⎩或 因此，实数a 的取值范围为3,1(3,)4⎛⎫⋃+∞⎪⎝⎭． 21．对于定义在D 上的函数()y f x =，设区间[,]m n 是D 的一个子集，若存在0(,)x m n ∈，使得函数()y f x =在区间[]0,m x 上是严格减函数，在区间[]0,x n 上是严格增函数，则称函数()y f x =在区间[,]m n 上具有性质P ．（1）若函数2y ax bx =+在区间[0,1]上具有性质P ，写出实数a 、b 所满足的条件； （2）设c 是常数，若函数3y x cx =-在区间[1,2]上具有性质P ，求实数c 的取值范围． 【答案】（1）20a b -<<；（2）()3,12c ∈．【分析】（1）根据定义判断出2y ax bx =+为二次函数，然后根据()f x 的单调性和单调区间判断出2y ax bx =+的开口以及对称轴，由此得到,a b 满足的条件；（2）先分析函数3y x cx =-在区间[1,2]上为严格增函数和严格减函数时c 的取值，据此分析出3y x cx =-在区间[1,2]上先递减再递增时c 的取值范围，由此求解出c 的取值范围.【详解】（1）当函数2y ax bx =+在区间[0,1]上具有性质P 时，由其图象在R 上是抛物线，故此抛物线的开口向上（即0a >），且对称轴是(0,1)2bx a=-∈； 于是，实数a ，b 所满足的条件为：20a b -<<．（2）记3()f x x cx =-．设1x ，2x 是区间[1,2]上任意给定的两个实数，总有()()()()2212121122f x f x x x x x x x c -=-++-．若3c ≤，当12x x <时，总有120x x -<且22112211130x x x x c ++->++-=，故()()120f x f x -<，因此3y x cx =-在区间[1,2]上是严格增函数，不符合题目要求． 若12c ≥，当12x x <时，总有120x x -<且222211222222120x x x x c ++-<+⨯+-=，故()()120f x f x ->，因此3y x cx =-在区间[1,2]上是严格减函数，不符合题目要求．若312c <<，当12x x <且12,x x ⎡∈⎢⎣时，总有120x x -<且2211220333c c c x x x x c c ++-<++-=，故()()120f x f x ->，因此3y x cx =-在区间⎡⎢⎣上是严格减函数；当12x x <且12,2x x ⎤∈⎥⎦时，总有120x x -<且2211220333c c c x x x x c c ++->=++-=，故()()120f x f x -<，因此3y x cx =-在区间2⎤⎥⎦上是严格增函数． 因此，当()3,12c ∈时，函数3y x cx =-在区间[1,2]上具有性质P ．【点睛】关键点点睛：本题属于函数的新定义问题，求解本题第二问的关键在于对于性质P 的理解，通过分析函数不具备性质P 的情况：严格单调递增、严格单调递减，借此分析出可能具备性质P 的情况，然后再进行验证即可.。

2019-2020学年上海市虹口区高一期末数学试题及答案一、单选题1．已知13a <<，24b <<，现给出以下结论：（1）37a b <+<；（2）31a b -<-<；（3）212a b <⋅<；（4）1342a b <<，以上结论正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】D【解析】根据不等式的可加性，同向不等式且为正值的可乘性即可得到答案.【详解】因为13a <<，24b <<，所以37a b <+<，故（1）正确. 因为42b -<-<-，所以31a b -<-<，故（2）正确. 因为13a <<，24b <<，根据同向不等式且为正值的可乘性知：212a b <⋅<，故（3）正确. 因为11142b <<，13a <<，根据同向不等式且为正值的可乘性知：1342a b <<，故（4）正确. 故选：D【点睛】本题主要考查不等式的基本性质，属于简单题.2．已知a R ∈，则“1a <”是“11a >”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件【答案】B【解析】首先解不等式11a >，再根据充分条件和必要条件即可得到答案.【详解】 因为1111100(1)001a a a a a a a ->⇔->⇔>⇔-<⇔<<. 所以“1a <”是“11a>”的必要非充分条件. 故选：B【点睛】 本题主要考查充分条件和必要条件，同时考查了分式不等式的解法，属于简单题.3．已知函数32x y =-的值域是（ ）A ．RB ．()2,-+∞C ．[)2,-+∞D ．[)1,-+∞【答案】D【解析】首先令x t =，根据指数函数的图像得到：31t ≥，即1y ≥-.【详解】 令x t =，0t ≥，则32t y =-，因为31t ≥，所以1y ≥-.故选：D【点睛】本题主要考查指数函数的值域问题，同时考查了换元法求函数的值域，属于简单题.4．定义在R 上的函数()f x 的图象是连续不断的，此函数有两个不同的零点，这两个零点分别在区间()0,2和()4,6内，那么下列不等式中一定正确的是（ ）A ．()()020f f ⋅<B ．()()020f f ⋅>C ．()()240f f ⋅>D ．()()260f f ⋅>【答案】C【解析】首先根据题意得到函数()f x 在区间(2,4)上没有零点，即可得到(2)(4)0f f >.【详解】因为定义在R 上的函数()f x 的图象是连续不断的，此函数有两个不同的零点，这两个零点分别在区间()0,2和()4,6内，所以函数()f x 在区间(2,4)上没有零点，若(2)f 与(4)f 的函数值异号，根据零点存在性定理可得以函数()f x 在区间(2,4)上必有零点，所以(2)f 与(4)f 的函数值同号，即(2)(4)0f f >.故选：C【点睛】本题主要考查函数的零点存在定义和零点的区间，属于简单题.5．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，现给出以下结论：（1）此函数一定有零点；（2）此函数可能没有零点；（3）此函数有奇数个零点；（4）此函数有偶数个零点.以上结论正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】B【解析】根据奇函数的定义及性质，对题目中的命题判断正误即可.【详解】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以(0)=0f .故0是函数()f x 的零点，所以（1）正确，（2）错误. 根据奇函数的对称性知：函数()f x 有零点，则零点关于原点对称，再加上原点，共有奇数个零点，所以（3）正确，（4）错误.故选：B【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，同时考查了方程与零点，属于中档题.二、填空题6．用列举法表示集合{}2230,x xx x Z --<∈=________. 【答案】{}0,1,2【解析】首先解不等式2230x x --<，再用列举法表示集合即可.【详解】2{|230,}{|13,}{0,1,2}x x x x Z x x x Z --<∈=-<<∈=.故答案为：{0,1,2}【点睛】本题主要考查集合的表示，同时考查了二次不等式的解法，属于简单题.7．命题“若2x >且3y >,则5x y +>”的否命题是__________命题.(填入“真”或“假”)【答案】假【解析】写出否命题，即可判断命题的真假.【详解】命题“若2x >且3y >,则5x y +>”的否命题：“若2x ≤或3y ≤,则5x y +≤”是假命题，例如1,9x y ==，满足2x ≤或3y ≤，但不能推出5x y +≤. 故答案为：假【点睛】此题考查根据已知命题写出否命题，并判断真假，涉及含有逻辑联结词的命题的否定.8．函数4y x =，[]1,12x ∈的值域为________. 【答案】1,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【解析】根据函数的单调性即可求出值域.【详解】 因为函数4y x=在区间[]1,12为减函数， 所以值域为1,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故答案为：1,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题主要考查反比例函数的单调性，属于简单题. 9．己知函数()2x f x =.则()()2f f =________.【答案】16【解析】首先计算(2)f ，再代入计算((2))f 即可.【详解】2(2)24f ==，4((2))(4)216f f ===.故答案为：16【点睛】本题主要考查函数值的求法，属于简单题.10．不等式|x ﹣1|＜2的解集为 ．【答案】（﹣1，3）．【解析】试题分析：由不等式|x ﹣1|＜2，可得﹣2＜x ﹣1＜2，解得﹣1＜x ＜3．解：由不等式|x ﹣1|＜2可得﹣2＜x ﹣1＜2，∴﹣1＜x ＜3，故不等式|x ﹣1|＜2的解集为（﹣1，3），故答案为（﹣1，3）．【考点】绝对值不等式的解法．11．已知112112322α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭，，，，，，，若幂函数()a f x x =为奇函数，且在()0+∞，上递减，则a =____． 【答案】-1【解析】由幂函数f （x ）=x α为奇函数，且在（0，+∞）上递减，得到a 是奇数，且a ＜0，由此能求出a 的值．【详解】∵α∈{﹣2，﹣1，﹣1122，，1，2，3}， 幂函数f （x ）=x α为奇函数，且在（0，+∞）上递减， ∴a 是奇数，且a ＜0，∴a=﹣1．故答案为﹣1．【点睛】本题考查实数值的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 12．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()21x f x =-，则(2)f -=____.【答案】3-【解析】 由题意得，函数()y f x =为奇函数，所以()2(2)2(21)3f f -=-=--=-.13．已知2m >，且()110lg 100lgx m m =+则x 的值为________.【答案】lg 2【解析】首先计算1lg(100)lg lg1002m m +==，再解方程102x =即可.【详解】 因为1lg(100)lg lg1002m m +==，所以，102x =，即lg 2x =.故答案为：lg 2【点睛】本题主要考查对数的运算，同时考查了指数方程，熟练掌握对数的运算法则是解题的关键，属于简单题.14．已知0a >，0b >，且44a b +=，则ab 的最大值等于________. 【答案】1【解析】首先根据题意得到114a b =-，代入a b 得到21=(2)14a ab --+，再利用二次函数的性质即可得到最大值. 【详解】 因为44a b +=，所以114a b =-. 因为0a >，0b >，所以104a ->，即04a <<. 所以21=(1)(2)144a a a ab -=--+. 当2a =时，max ()=1a b .故答案为：1【点睛】 本题主要考查二次函数的最值，将a b转化为二次函数的形式为解题的关键，属于中档题.15．已知函数()(0,1)x f x a b a a =+>≠的定义域和值域都是[]1,0-，则a b += . 【答案】32-【解析】若1a >，则()f x 在[]1,0-上为增函数,所以11{10a b b -+=-+=，此方程组无解；若01a <<，则()f x 在[]1,0-上为减函数,所以10{11a b b -+=+=-，解得1{22a b ==-，所以32a b +=-. 【考点】指数函数的性质.16．记函数()f x x b =+，2,2x 的最大值为()g b ，则()g b =________.【答案】()2 02 0b b g b b b +≥⎧=⎨-<⎩ 【解析】首先将()f x 转化为分段函数，再对b 进行讨论，即可求出最大值()g b【详解】,(),x b x b f x x b x b x b+≥-⎧=+=⎨--<-⎩. 当0b =时，()f x x =，max ()2f x =，即()2g b =.当0b -<，即0b >时，max ()(2)2f x f b ==+，即()2g b b =+. 当0b ->，即0b <时，max ()(2)2f x f b =-=-，即()2g b b =-.综上：2? 0()2? 0b b g b b b +≥⎧=⎨-<⎩. 故答案为：2? 0()2?0b b g b b b +≥⎧=⎨-<⎩ 【点睛】本题主要考查含参绝对值函数的最值问题，同时考查了分类讨论的思想，属于中档题.17．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,+∞上单调递增，则关于x 的不等式()()2110f x f x -+-<的解是________.【答案】()1,1-【解析】首先将不等式变形，根据()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,+∞上单调递增，设2()()g x f x x =+，得到()g x 在R 上为偶函数，且在[)0,+∞上单调递增，再解不等式即可.【详解】因为2()(1)10f x f x -+-<，所以2()(1)1f x x f +<+.因为()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,+∞上单调递增. 设2()()g x f x x =+，()g x 在R 上为偶函数，且在[)0,+∞上单调递增.所以2()(1)1f x x f +<+，即()()1g x g <. 所以1x <，解得11x -<<.故答案为：(1,1)-.【点睛】本题主要考查抽象函数的单调性和奇偶性，属于中档题. 18．函数()22f x x x =-，[]2,2x ∈-的最大值为________.【答案】8【解析】首先画出()f x 的图象，根据图象即可求出函数的最大值. 【详解】函数()f x 的图象如图所示：由图可知，max ()(2)44=8f x f =-=+. 故答案为：8 【点睛】本题主要考查利用函数的图象求最值，熟练画出函数图象为解题的关键，属于中档题.19．已知()42f x x x =+，则关于x 的不等式()()12f x f +<的解是________. 【答案】()3,1-【解析】首先根据函数()f x 的解析式，得到()f x 为偶函数，且在(0,)+∞为增函数，再利用偶函数的对称性解不等式即可. 【详解】因为42()f x x x =+，所以()f x 为偶函数，且在(0,)+∞为增函数. 所以(1)(2)f x f +<根据偶函数的对称性知：212x -<+<，解得：31x -<<. 故答案为：(3,1)- 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性，熟练掌握奇偶函数的性质为解题的关键，属于中档题.三、解答题 20．解下列方程 （1）2223x x -+⋅=； （2）2lg lg 20x x --=【答案】（1）0x =或1x =（2）100x =或110x =【解析】（1）首先令2x t =，根据二次方程和指数方程即可解出方程的根.（2）根据二次方程和对数方程即可解出方程的根. 【详解】（1）令2xt =，0t >，得23t t+=. 整理得：2320t t -+=.解得：1t =或2t =. 即：21x =或22x =，0x =或1x =.（2）因为2lg lg 20x x --=，所以(lg 2)(lg 1)0x x -+=. 解得：lg 2x =或lg 1=-，100x =或110x =. 【点睛】本题主要考查了指数方程和对数方程的求解，同时考查了二次方程的求解，属于简单题.21．设a R ∈，函数()221x x af x +=+.（1）当1a =-时，判断()f x 的奇偶性，并给出证明； （2）当0a =时，证明此函数在(),-∞+∞上单调递增. 【答案】（1）奇函数；证明见解析（2）证明见解析 【解析】（1）首先求出函数()f x 的定义域为R ，再判断()f x 与()f x -的关系即可.（2）根据题意设任意12,x x R ∈，且12x x <，作差比较12()()f x f x -即可. 【详解】（1）当1a =-时，21()21x x f x ，定义域关于原点对称. 112112222()()11212121221xx x x x x x x x xf x f x ----====+--=-+++. 所以()f x 为奇函数. （2）当0a =时，2()21xx f x =+，设任意12,x x R ∈，且12x x <. 1212211212121212222(21)2(21)22()()2121(21)(21)(21)(21)x x x x x x x x x x x x x x f x f x +-+--=-==++++++. 因为12220xx -<，1210x +>，2210x +>，所以12())0(f x f x -<.即：12()()f x f x <.所以2()21xx f x =+在R 上为增函数. 【点睛】本题第一问考查函数奇偶性的判断，第二问考查了函数单调性的判断，属于中档题.22．某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售，同时当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠.例如：购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，然后还能获得对应的奖券金额为28元.于是，该顾客获得的优惠额为：4000.228108⨯+=元.设购买商品得到的优惠率=购买商品获得的优惠额商品的标价.试问：（1）购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？（2）当商品的标价为[]100,600元时，试写出顾客得到的优惠率y关于标价x元之间的函数关系式；（3）当顾客购买标价不超过600元的商品时，该顾客是否可以得到超过30%的优惠率？试说明理由.【答案】（1）25.8%（2）[)[]0.2 100,360280.2360,600xyxx⎧∈⎪=⎨+∈⎪⎩（3）不能，详见解析【解析】（1）根据题意得到购买1000元商品，则消费800元，获得对应的奖券58元，再计算优惠率即可.（2）根据题意，分段讨论当标价为[100,360)元和标价为[360,600]元时的优惠率即可.（3）根据（2）得到当顾客在买标价为360元商品时，优惠率最大，再计算最大优惠率比较即可. 【详解】（1）购买1000元商品的优惠率10000.25810025.81000%%=⨯+=⨯.（2）当标价为[100,360)元时，则消费[80,288)元，不能获得优惠券.所以顾客得到的优惠率为：0.20.2xy x==. 当标价为[360,600]元时，则消费[288,480]元，获得28元优惠券.所以顾客得到的优惠率为：0.228280.2x y x x+==+. 综上[)[]0.2? 100,360280.2?360,600x y x x ⎧∈⎪=⎨+∈⎪⎩. （3）当顾客买标价不超过360元商品时，优惠率为20%. 当顾客买标价在[360,600]元商品时，优惠率为280.2y x=+，为减函数.所以当顾客在买标价为360元商品时，优惠率最大.max 280.227.8%30%360y =+≈<. 所以顾客不能得到超过30%的优惠率. 【点睛】本题主要考查函数的实际应用，弄清题意为解题的关键，属于中档题.23．已知函数()222f x x ax =-+，[]1,1x ∈-. （1）当1a =时，求()11f -； （2）当12a =-时，判断此函数有没有反函数，并说明理由； （3）当a 为何值时，此函数存在反函数？并求出此函数的反函数()1f x -.【答案】（1）1，（2）没有，详见解析，（3）1a ≥或1a ≤-；当1a ≥时，()1f x a -=，[]32,32x a a ∈-+，当1a ≤-时，()1f x a -=[]32,32x a a ∈+-.【解析】（1）当1a =时，由互为反函数的性质可得：1(1)f -等价于()1f x =在[1,1]x ∈-求解，再解方程即可.（2）当12a =-时，2()2f x x x =++，根据函数在区间[1,1]-的单调性即可判定.（3）首先根据函数()f x 存在反函数，得到1a ≥或1a ≤-，在分类讨论求反函数即可. 【详解】（1）当1a =时，2()22f x x x =-+. 求1(1)f -即等价于()1f x =在[1,1]x ∈-求解.2221x x -+=，解得：1x =.所以1(1)1f -=. （2）当12a =-时，2217()2()24f x x x x =++=++.[1,1]x ∈-时，显然函数不单调，所以在区间[1,1]-没有反函数.（3）若函数()f x 存在反函数，则函数()f x 在区间[1,1]-单调.222()22()2f x x ax x a a =-+=-+-，对称轴为x a =.所以当1a ≥或1a ≤-时，函数()f x 存在反函数.当1a ≥时，1)(f a x -=[]32,32x a a ∈-+.当1a ≤-时，()1f x a -=[]32,32x a a ∈+-.【点睛】本题主要考查反函数的求法，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.24．已知函数()f x 的定义域是使得解析式有意义的x 集合，如果对于定义域内的任意实数x ，函数值均为正，则称此函数为“正函数”. （1）证明函数()()2lg 11f x x =++是“正函数”；（2）如果函数()11af x x x =+-+不是“正函数”，求正数a 的取值范围. （3）如果函数()()()222242122x a x a f x x a x a +--+=+--+是“正函数”，求正数a 的取值范围.【答案】（1）证明见解析，（2）(,1]-∞（3）(){}6,13- 【解析】（1）有题知：()1f x ≥，即证. （2）首先讨论当0a ≤时，显然()11af x x x =+-+不是“正函数”.当0a >时，从反面入手，假设()f x 是“正函数”，求出a 的范围，再取其补集即可.（3）根据题意得到：22(2)4(42)0(1)8(22)0a a a a ⎧---<⎨---<⎩或12242122a a a a --+==--+，解方程和不等式组即可. 【详解】（1）2()lg(1)1lg111f x x =++≥+=.函数值恒为正数，故函数2()lg(1)1f x x =++是“正函数”. （2）当0a ≤时，(0)10f a =-<， 显然()11af x x x =+-+不是“正函数”. 当0a >时 假设()11af x x x =+-+为“正函数”.则()f x 恒大于零.()1221af x x x =++-≥+. 所以20>，即1a >所以()11af x x x =+-+不是“正函数”时， 01a <≤.综上：1a ≤.（3）有题知：若函数()22(2)242(1)22x a x a f x x a x a +--+=+--+是“正函数”， 则22(2)4(42)0(1)8(22)0a a a a ⎧---<⎨---<⎩或12242122a a a a --+==--+. 解得：61a -<<或3a =. 【点睛】本题主要考查函数的新定义，同时考查了对所学知识的综合应用，属于难题.。

2020-2021上海虹口区教育学院实验中学高一数学上期末模拟试题(含答案)一、选择题1．设6log 3a =，lg5b =，14log 7c =，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．a b c >>C ．b a c >>D ．c a b >>2．函数y ＝a |x |(a >1)的图像是( ) A ．B ．C ．D ．3．已知函数ln ()xf x x=，若(2)a f =，(3)b f =，(5)c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．b c a <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．c a b <<4．已知定义域R 的奇函数()f x 的图像关于直线1x =对称，且当01x ≤≤时，3()f x x =，则212f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．278-B ．18-C ．18D ．2785．下列函数中，值域是()0,+∞的是（ ） A ．2y x = B ．211y x =+ C ．2x y =-D ．()lg 1(0)y x x =+>6．已知函数()2x xe ef x --=，x ∈R ，若对任意0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，都有()()sin 10f f m θ+->成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()0,1B ．()0,2C ．(),1-∞D ．(]1-∞， 7．设函数()f x 是定义为R 的偶函数，且()f x 对任意的x ∈R ，都有()()22f x f x -=+且当[]2,0x ∈-时， ()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若在区间(]2,6-内关于x的方程()()log 20(1a f x x a -+=>恰好有3个不同的实数根，则a 的取值范围是 （ ） A ．()1,2B ．()2,+∞C ．(34D ．)34,28．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(),0-∞上单调递增。

虹口区高一上期末数学试卷2020.01一、填空题1．用列举法表示集合2{|230,}x x x x --<∈=Z ．2．命题“若2x >且3y >，则5x y +>”的逆否命题是 命题（填“真”或“假”）3．函数4,[1,12]y x x=∈的值域为 ． 4．已知函数()2x f x =，则((2))f f = ．5．不等式|1|2x -<的解为 ．6．已知112,1,,,1,2,322α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭，若幂函数()f x x α=为奇函数，且在(0,)+∞上递减，则α= ．7．已知函数()f x 为R 上的奇函数，当0x ≥时，()21x f x =-，则(2)f -= ．8．已知0m >，且110lg(100)lgx m m =+，则x 的值为 ． 9．已知0a >，0b >且44a b +=，则a b的最大值等于 ． 10．已知函数()x f x a b =+（0a >，1a ≠）的定义域和值域都是[1,0]-，则a b += ．11．（A 组题）记函数()||f x x b =+，[2,2]x ∈-的最大值为()g b ，则()g b = ． （B 组题）函数2()|2|f x x x =-，[2,2]x ∈-的最大值为 ．12．（A 组题）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[0,)+∞上单调递增，则关于x 的不等式2()(1)10f x f x -+-<的解是 ．（B 组题）已知42()f x x x =+，则关于x 的不等式(1)(2)f x f +<的解是 ．二、选择题13．已知13a <<，24b <<，现给出以下结论：（1）37a b <+<；（2）31a b -<-<；（3）212a b <⋅<；（4）1342a b <<．以上结论正确的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个14．已知a ∈R ，则“1a <”是“11a>”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件15．已知函数||32x y =-的值域是（ ）A ．RB ．(2,)-+∞C ．[2,)-+∞D ．[1,)-+∞16．（A 组题）定义在R 上的函数()f x 的图像是连续不断的，此函数有两个不同的零点，这两个零点分别在区间(0,2)和(4,6)内，那么下列不等式中一定正确的是（ ）A ．(0)(2)0f f ⋅<B ．(0)(6)0f f ⋅>C ．(2)(4)0f f ⋅>D ．(2)(6)0f f ⋅>（B 组题）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，现给出以下结论：（1）此函数一定有零点；（2）此函数可能没有零点；（3）此函数有奇数个零点；（4）此函数有偶数个零点．以上结论正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个三、解答题17．解下列方程：（1）2223x x -+⋅=；（2）2lg lg 20x x --=．18．设a ∈R ，函数2()21x x a f x +=+． （1）当1a =-时，判断()f x 的奇偶性，并给出证明；（2）当0a =时，证明此函数在(,)-∞+∞上单调递增．19．某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售，同时当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：则消费金额为320元，然后还能获得对应的奖券金额为28元，于是，该顾客获得的优惠额为：4000.228108⨯+=元．设购买商品得到的优惠率=购买商品获得的优惠额商品的标价．试问：（1）购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？（2）当商品的标价为[100,600]元时，试写出顾客得到的优惠率y关于标价x元之间的函数关系式；（3）当顾客购买标价不超过600元的商品时，该顾客是否可以得到超过30%的优惠率？试说明理由．20．已知函数2()22f x x ax=-+，[1,1]x∈-．（1）当1a=时，求1(1)f-；（2）当12a=-时，判断此函数有没有反函数，并说明理由；（3）当a为何值时，此函数存在反函数？并求出此函数的反函数1()f x-．21．已知函数()f x 的定义域是使得解析式有意义的x 的集合，如果对于定义域内的任意实 数x ，函数值均为正，则称此函数为“正函数”．（1）证明函数2()lg(1)1f x x =++是“正函数”；（2）（A 组题）如果函数()||1||1a f x x x =+-+不是．．“正函数”，求正数．．a 的取值范围； （B 组题）如果函数1()||||f x x a x =+-不是．．“正函数”，求实数a 的取值范围； （3）（A 组题）如果函数22(2)24()2(1)22x a x a f x x a x a +--+=+--+是“正函数”，求正数．．a 的取值范围； （B 组题）如果函数2()2f x ax ax =++是“正函数”，求实数a 的取值范围．参考答案一、填空题1．{0,1,2}2．真3．1[,4] 34．16 5．(1,3)-6．1-7．3-8．lg2 9．1 10．32-11．（A组题）2,0()2,0b bg bb b+⎧=⎨-<⎩≥；（B组题）812．（A组题）(1,1)-；（B组题）(3,1)-【第12题A组题解析】2()(1)10f x f x-+-<即2()(1)1f x x f+<+（*），记2()()F x f x x=+，则（*）式即()(1)F x F<，由题意()F x仍为R上的偶函数，且在[0,)+∞上单调递增，∴||111x x<⇒-<<．二、选择题13．D 14．B 15．D 16．（A组题）C；（B组题）B【第16题A组题解析】A、B、D的反例分别对应如下：三、解答题17．（1）0x=或1x=；（2）100x=或110x=．18．（1）奇函数，证明略；（2）用定义证明，略．19．（1）25.8%；（2）0.2,[100,360)280.2,[360,600]xyxx∈⎧⎪=⎨+∈⎪⎩；（3）不能，最大优惠为27.8%．20．（1）1；（2）没有，函数不单调；（3）1a-≤或1a≥，①当1a-≤时，12()2f x a x a-=++-，[32,32]x a a∈+-；当1a≥时，12()2f x a x a-=-+-，[32,32]x a a∈-+．21．（1）()1f x≥，函数值恒为正；（2）（A组题）即min()0f x≤，令||1,(1)t x t=+≥，则()2ay f x tt==+-，①当1a>，即1a>时，min()220f x a=-≤，无解，②当01，即01a <≤时，min ()10f x a =-≤，解得01a <≤， 综上，01a <≤；（B 组题）2a ≥；（3）（A 组题）记2212(2)24,2(1)22y x a x a y x a x a =+--+=+--+，对应的判别式分别为12,∆∆，则12()y f x y =， ①10y >且20y ≥恒成立，计算1200∆<⎧⎨∆⎩≤，得61a -<≤，∵0a >，∴01a <≤； ②20∆>，必须有10∆>，且方程2(2)240x a x a +--+=与方程22(1)22x a x a +--+两实根必须完全相同，此时必有系数对应成比例，即12242122a a a a --+==--+，解得3a =，满足判别式的条件，综上，01a <≤或3a =．（B 组题）08a <≤．。

2019-2020学年上海市虹口区高一（上）期末数学试卷一.填空题1. 用列举法表示集合{x|x2−2x−3<0, x∈Z}=________．2. 命题“若x>2且y>3，则x+y>5”的否命题是________命题．（填入“真”或“假”）3. 函数y=4x，x∈[1, 12]的值域为________．4. 已知函数f(x)＝2x，则f（f(2)）＝________．5. 不等式|x−1|<2的解集为________．6. 已知a∈{−2, −1, −12，12, 1, 2, 3}，若幂函数f(x)=x a为奇函数，且在(0, +∞)上递减，则a=________．7. 已知函数f(x)为R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x−1，则f(−2)＝________．8. 已知m>2，且10x=lg(100m)+lg1m，则x的值为________．9. 已知a>0，b>0，且a+4b =4，则ab的最大值等于________．10. 已知函数f(x)=a x+b(a>0, a≠1)的定义域和值域都是[−1, 0]，则a+b=________．11. 记函数f(x)＝|x+b|，x∈[−2, 2]的最大值为g(b)，则g(b)＝________．12. 函数f(x)＝|x2−2x|，x∈[−2, 2]的最大值为________．13. 已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0, +∞)上单调递增，则关于x的不等式f(x)−f(1)+x2−1<0的解是________．14. 已知f(x)＝x4+x2，则关于x的不等式f(x+1)<f(2)的解是________．二.选择题已知1<a<3，2<b<4，现给出以下结论：（1）3<a+b<7；（2）−3<a−b<1；（3）2<a⋅b<12；(4)14<ab<32；以上结论正确的个数是（）A.2个B.1个C.4个D.3个已知a∈R，则“a<1”是“1a>1”的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.既不充分又不必要条件D.充要条件已知函数y＝3|x|−2的值域是（）A.(−2, +∞)B.RC.[−1, +∞)D.[−2, +∞)定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的，此函数有两个不同的零点，这两个零点分别在区间(0, 2)和(4, 6)内，那么下列不等式中一定正确的是（）A.f(0)⋅f(6)>0B.f(0)⋅f(2)<0C.f(2)⋅f(6)>0D.f(2)⋅f(4)>0已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，现给出以下结论：（1）此函数一定有零点；（2）此函数可能没有零点；（3）此函数有奇数个零点；（4）此函数有偶数个零点；以上结论正确的个数是（）A.2个B.1个C.4个D.3个三.解答题解下列方程：（1）2x+2⋅2−x＝3；（2）lg2x−lg x−2＝0．设a∈R，函数f(x)=2x+a2x+1．（1）当a＝−1时，判定f(x)的奇偶性，并给出证明；（2）当a＝0时，证明此函数在(−∞, +∞)上单调递增．某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售，同时当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如：购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，然后还能获得对应的奖券金额为28元，于是，该顾客获得的优惠额为：400×0.2+28＝108元，设购买商品得到的优惠率=，试问：（1）购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？（2）当商品的标价为[100, 600]元时，试写出顾客得到的优惠率y关于标价x元之间的函数关系式；（3）当顾客购买标价不超过600元的商品时，该顾客是否可以得到超过30%的优惠率？试说明理由．已知函数f(x)＝x2−2ax+2，x∈[−1, 1]．（1）当a＝1时，求f−1(1)；（2）当a=−12时，判定此函数有没有反函数，并说明理由；（3）当a为何值时，此函数存在反函数？并求出此函数的反函数f−1(x)．已知函数f(x)的定义域是使得解析式有意义的x集合，如果对于定义域内的任意实数x，函数值均为正，则称此函数为“正函数”．（1）证明函数f(x)＝lg(x2+1)+1是“正函数”；（2）如果函数f(x)=|x|+a|x|+1−1不是“正函数”，求正数a的取值范围；（3）如果函数f(x)=x 2+(a−2)x−2a+42x2+(a−1)x−2a+2是“正函数”，求正数a取值范围．（4）证明函数f(x)＝lg(x2+1)+1是“正函数”；−a不是“正函数”，求实数a的取值范围；（5）如果函数f(x)=|x|+1|x|（6）如果函数f(x)＝ax2+ax+2是“正函数”，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析2019-2020学年上海市虹口区高一（上）期末数学试卷一.填空题1.【答案】此题暂无答案2.【答案】此题暂无答案3.【答案】此题暂无答案4.【答案】此题暂无答案5.【答案】此题暂无答案6.【答案】此题暂无答案7.【答案】此题暂无答案8.【答案】此题暂无答案9.【答案】此题暂无答案10.【答案】此题暂无答案11.【答案】此题暂无答案12.【答案】此题暂无答案13.【答案】此题暂无答案14.【答案】此题暂无答案二.选择题【答案】此题暂无答案【答案】此题暂无答案【答案】此题暂无答案【答案】此题暂无答案【答案】此题暂无答案三.解答题【答案】此题暂无答案【答案】此题暂无答案【答案】此题暂无答案【答案】此题暂无答案【答案】此题暂无答案。

2020~2021学年上海虹口区高一上学期期末数学试卷(详解)一、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1.【答案】【解析】【踩分点】已知集合，，则 ．∵集合，．∴．2.【答案】【解析】【踩分点】不等式的解集为 ．不等式可化为，或，解得，或，∴原不等式的解集为：．3.【答案】【解析】【踩分点】函数，的值域为 ．由双勾函数性质可知：函数在上单调递减，在上单调递增，又∵，，，∴函数，的值域是．4.【答案】【解析】【踩分点】计算： ．．5.【答案】【解析】【踩分点】用“二分法”求方程在区间内的实根，首先取区间中点进行判断，那么下一个取的点是 ．设函数，易知函数为增函数，∵，，，∴下一个有根区间是，那么下一个取的点是．故答案为：．6.【答案】【解析】已知条件，，且是的必要条件，则实数的取值范围为 ．∵条件：，：，且是的必要条件，∴，解得，则实数的取值范围是．【踩分点】故答案为︰．7.【答案】【解析】【踩分点】不等式的解集为 ．①当时，不等式可化为，∴，∴；②当时，不等式可化为，恒成立，；③当时，不等式可化为，，∴，综上所述：不等式的解集为．故答案为∶．8.【答案】【解析】【踩分点】已知函数的反函数为，若函数的图象过点，则实数的值为 ．的反函数为，∵函数的图象经过点，∴函数的图象经过点，∴，解得．故答案为：．9.已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围为 ．【答案】【解析】【踩分点】令，原函数化为，函数为增函数，要使函数在区间上是增函数，则在上单调递增，则．∴实数的取值范围为．故答案为：．10.【答案】【解析】【踩分点】，其中，，且，，其中，，且，则的元素个数为 ．（用含正整数的式子表示）∵，，∴，∵，，且，∴，∴元素的个数为：．11.【答案】【解析】若集合，，且，则满足条件的实数的取值集合为 ．，解得或，则，【踩分点】①时，，此时满足条件；②时，要满足，则或，解得或，综上所述，实数的取值集合为．12.【答案】【解析】【踩分点】已知函数，若，则实数的取值范围为 ．函数的图象如图所示，当时，，，当时，，，所以在上单调递增，且，，所以，所以是奇函数，若，则相当于，相当于，即，得或，所以的取值范围是．13.已知函数是定义在实数集上的偶函数，若在区间上是增函数，且，则不等式的解集为 ．【答案】【解析】【踩分点】因为是定义在实数集上的偶函数，在区间上是增函数，且，所以在上单调递减，且，所以在上，在上．因为不等式，所以或，即或或或，解得或，即不等式的解集为．故答案为：．或或二、选择题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）14.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】【解析】已知，都是实数，那么“”是“”的（ ）．C ∵函数在上单调递增，则当时，有，故充分性成立，当，即时，有，故必要性成立，∴“”是“”的充要条件．故选．15.A.关于轴对称B.关于轴对称函数的图象的对称性为（ ）．C.关于原点对称D.关于直线对称【答案】【解析】B 因为，定义域为，且，所以函数是偶函数，即函数图象关于轴对称．故选．16.A.B. C. D.【答案】【解析】已知全集及集合，，则的元素个数为（ ）．B 集合，集合，则，所以，含个元素．故选．且其中且且或17.A.B. C. D.【答案】【解析】已知函数，，的零点依次为，，，则，，的大小关系为（ ）．D 已知函数，，的零点依次为、、，当时，，即；当时，，即；当时，，即．在同一平面直角坐标系中分别作出函数，，，的图象，如图：由图知．故选．18.A. B.C.D.【答案】【解析】设是定义在上的奇函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）．A（排除法）当则得，即在时恒成立，而最大值，是当时出现，故的最大值为，则恒成立，排除项，同理再验证时，恒成立，排除项，时，不成立，故排除项．故选：．19.A.B.C.D.【答案】【解析】若函数与在区间上都是严格减函数，则实数的取值范围为（ ）．D 对于函数，时，为减函数，时，为增函数，故应有．对于函数，显然不为，对比函数可知，时，在上为减函数，时，在上为增函数，因此．故选．三、解答题（本大题共5小题，共50分）20.【答案】【解析】【踩分点】已知，是任意实数，求证：，并指出等号成立的条件．证明见解析，时，等号成立．证明：因故，即．当且仅当时，等号成立．21.【答案】【解析】某居民小区欲在一块空地上建一面积为的矩形停车场，停车场的四周留有人行通道．设计要求停车场外侧南北的人行通道宽，东西的人行通道宽，如图所示（图中单位：）．问如何设计停车场的边长，才能使人行通道占地面积最小？最小面积是多少？北南停车场设计矩形停车场南北侧边长为，其东西侧边长为，人行通道占地面积最小，最小面积是．设矩形停车场南北侧边长为，则其东西侧边长为，【踩分点】人行通道占地面积为，由均值不等式，得 ，当且仅当，即时，，此时．所以，设计矩形停车场南北侧边长为，则其东西侧边长为，人行通道占地面积最小．22.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】【踩分点】已知函数．作出这个函数的大致图象．讨论关于的方程的根的个数．图象见解析．当时，方程的根的个数为；当或时，方程的根的个数为；当或时，方程的根的个数为．，故先将函数的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，得到函数的图象，最后将函数的图象轴下方部分翻折到轴上方，即可得到函数的大致图象．–8–6–4–22468–22468当时，方程的根的个数为；当或时，方程的根的个数为；当或时，方程的根的个数为．23.24.（1）（2）（3）（1）（2）【答案】已知函数．判断函数的奇偶性．对任意的实数，，且，求证：．若关于的方程有两个不相等的正根，求实数的取值范围．奇函数．证明见解析．（1）（2）（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】【踩分点】已知函数是定义在上的奇函数．求实数的值及函数的值域．若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．，函数的值域是．实数的取值范围是：．由，解得：，反之时，，，符合题意，故，由，时，，时，，故函数的值域是．在递增，故，故，故，令，，则随的增大而增大，最大值是，故实数的取值范围是：．（3）（1）（2）（3）【解析】．因为，当时，，所以，即．当时，，，即．综上知，是奇函数．因为是单调递增函数，也是单调递增函数，由复合函数的单调性，知在上是单调递增函数．由（）知是上的奇函数．由奇函数的单调性知当时是单调递增函数，从而是定义在上的单调递增的奇函数．由，得，所以，即．由（）知函数是上的奇函数，故原方程可化为．令，则当时，，于是，原方程有两个不相等的正根等价于：关于的方程有两个不相等的正根，即【踩分点】或，因此实数的取值范围为．或25.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】设是正常数，函数满足．求的值，并判断函数的奇偶性．是否存在一个正整数，使得对于任意恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．；奇函数．存在；．由，得，即，注意到，解得．于是，对于任意实数，均有，即恒成立，故的定义域为．在中任取一个实数，都有，并且，故，因此是奇函数．设、是区间上任意给定实数，且，易知，故，因在上是严格增函数，故，【踩分点】从而在上是严格增函数，此时函数的最大值为．由对于任意恒成立，得，又是正整数，因此的最小值为．四、附加题26.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】对于定义在上的函数，设区间是的一个子集．若存在，使得函数在区间上是严格减函数，在区间上是严格增函数，则称函数在区间上具有性质．若函数在区间上具有性质，写出实数，所满足的条件．设是常数，若函数在区间上具有性质，求实数的取值范围．．．当函数在区间上具有性质时，由其图象在上是抛物线，故此抛物线的开口向上（即)，且对称轴是；于是，实数，所满足的条件为：．记．设，是区间上任意给定的两个实数，总有．若，当时，总有且，故，因此在区间上是严格增函数，不符合题目要求．若，当时，总有且，故，因此在区间上是严格减函数，不符合题目要求．若，当且，时，总有且，故，因此在区间上是考查严格减函数；当且，时，总有且，故，因此在区间上是严格增函数．【踩分点】。

2020-2021学年上海市虹口区高一上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共6小题，共18.0分）1.数列{a n}的前n项和记为S n，则“数列{S n}为等差数列”是“数列{a n}为常数列”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件2.若定义域为R的奇函数f(x)满足f(1−x)=f(1+x)，且f(3)=2，则f(2021)=()A. 2B. 1C. 0D. −23.已知集合A={−3,−2,−1,0,1,2,3}，B={x|x2≥4}，则A∩B=()A. {−3,−2,2,3}B. {−2,2,3}C. {−2,2}D. {−3,3}4.函数f(x)=2lnx+x−2的零点所在的大致区间为()A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)5.下列函数中，既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的函数是()A. y=x+1B. y=−x2+1C. y=|x|+1D. y=1−1x6.已知y=f(x)是偶函数，且在区间(0,+∞)上是增函数，则f(−4)、f(π)、f(−1)的大小关系是()A. f(π)>f(−1)>f(−4)B. f(−1)>f(−4)>f(π)C. f(−4)>f(π)>f(−1)D. f(−4)>f(−1)>f(π)二、单空题（本大题共13小题，共39.0分）7.集合M={x|0<x≤3}，N={x∈N|0≤x−1≤1}，则M∩N=______ ．>0的解集是______ ．8.不等式(x+1)(x−5)x−29.函数f(x)=1g(3x−1)的定义域为______．10.计算：log32log83=______11.若函数f(x)=x3+x2−2x−2的一个零点(正数)附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表：则方程x3+x2−2x−2=0的一个近似解(精确度0.04)为12. 已知α，β为三角形的内角，则“α>β”是“sinα>sinβ”的______ 条件(填“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”)．13. 如果存在实数x使不等式|x+1|−|x−2|<k成立，则实数k的取值范围是______ ．14. 已知函数f(x)=2+log a(x+1)(a>0，且a≠1).若y=f(x)的反函数的图象经过点(1,2)，则a=______ ．15. 函数y=log0.5(2x2−ax+5)在区间[−1,+∞)上是减函数，则实数a的取值范围是______．16. 已知集合A={x|x2−x−2≤0}，集合B={x|1<x≤3}，则A∩B=．17. 集合{x,y,z}的子集个数为______．18. y=x|x|+3的单调增区间是______ ．x)为奇函数，则a=______．19. 若函数f(x)=x(log2(2x+a)−12三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）|+|x−a|(a>0)．20. 设函数f(x)=|x+6a(Ⅰ)证明：f(x)≥2√6；(Ⅱ)若f(3)<7，求a的取值范围．21. 在中，角，，所对的边分别是，，，已知．(Ⅰ)求角的值；(Ⅱ)若，求的取值范围．22. 已知函数f(x)=x2−4x+a+3，a∈R(1)若函数y=f(x)在[−1,1]上存在零点，求a的取值范围；(2)设函数g(x)=bx+5−2b，b∈R，当a=0时，若对任意的x1∈[1,4]，总存在x2∈[1,4]，使得f(x1)=g(x2)，求b的取值范围．23. 设函数f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R)，(1)若f(−1)=0，且对于任意的x，f(x)≥0恒成立，求f(x)的表达式；(2)在(1)的条件下，当x∈[−2,2]时，g(x)=f(x)−kx是单调函数，求实数k的取值范围．24. 已知方程x2+(m−3)x+m=0的两个根都是正数，求实数m的取值范围．25. 设f(x)是R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=lg(x2−ax+10)，a∈R．(1)若f(1)=1，求f(x)的解析式；(2)若a=0，不等式f(k⋅2x)+f(4x+k+1)>0恒成立，求实数k的取值范围；(3)若f(x)的值域为R，求a的取值范围．26. 已知函数f(x)是定义域在R上的偶函数．(Ⅰ)若当x≥0时f(x)=x3+x+1，求当x<0时f(x)表达式；(Ⅱ)若函数f(x)在区间(−∞,0)上单调递减，求满足f(x2+2x+3)>f(−x2−4x−5)的x的集合．参考答案及解析1.答案：B解析：解：若数列{a n}为常数列，则设a n=a，所以S n=na，于是S1=a1=a，S n+1−S n=a，所以{S n}为等差数列，所以“数列{S n}为等差数列”是“数列{a n}为常数列”的必要条件；若数列{S n}为等差数列，设公差为d，则S n=S1+(n−1)d，于是a1=S1，a n+1=S n+1−S n=(S1+nd)−(S1+(n−1)d)=d，当a1=S1≠d时，数列{a n}不是常数列，所以，“数列{S n}为等差数列”不是“数列{a n}为常数列”的充分条件；综上所述，“数列{S n}为等差数列”是“数列{a n}为常数列”的必要不充分条件．故选：B．求出数列的通项公式，利用等差数列的定义及充分条件和必要条件概念进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的基本概念，考查了等差数列的基本性质，属于基础题．2.答案：D解析：解：根据题意，f(x)是奇函数，且f(1−x)=f(1+x)，则有f(1−x)=f(1+x)=−f(x−1)，f(0)=0，则f(x+2)=−f(x)，则f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，即函数f(x)是周期为4的周期函数，故f(2021)=f(1+2020)=f(1)，则有f(3)=f(−1)=−f(1)=2，变形可得f(1)=−2，故f(2021)=−2；故选：D．根据题意，分析可得f(x)是周期为4的周期函数，则有f(2021)=f(1)，由奇偶性求出f(1)的值，即可得答案．本题考查抽象函数的求值，涉及函数周期性的判断，属于基础题．3.答案：A解析：解：∵A={−3,−2,−1,0,1,2,3}，B={x|x≤−2或x≥2}，∴A∩B={−3,−2,2,3}．故选：A．可求出集合B，然后进行交集的运算即可．本题考查了集合的列举法和描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．4.答案：B解析：由函数的解析式先判断单调性，再根据函数的零点的判定定理，函数f(x)=2lnx+x−2的零点所在区间需满足的条件是函数在区间端点的函数值符号相反．本题考查函数的零点的判定定理，连续函数在某个区间存在零点的条件是函数在区间端点处的函数值异号．解：易知函数f(x)=2lnx+x−2是(0,+∞)上的增函数，f(1)=1−2=−1<0，f(2)=2ln2+2−2=2ln2>0，故f(1)⋅f(2)<0，且f(x)在(0,+∞)上连续，故函数f(x)=2lnx+x−2的零点所在的大致区间为(1,2)，故选：B．5.答案：C解析：解：A、y=x+1是非奇非偶函数，A不满足条件；B、y=−x2+1是偶函数，在(0,+∞)上是减函数，B不满足条件；C、y=|x|+1是定义域R上的偶函数，且在(0,+∞)上是增函数，C满足条件；D、y=1−1是非奇非偶的函数，D不满足条件；x故选：C．根据基本初等函数的单调性、奇偶性，逐一分析答案中函数在(0,+∞)上的单调性和奇偶性，可得答案．本题考查了函数的奇偶性与单调性，熟练掌握基本初等函数的单调性和奇偶性是解答的关键．6.答案：C解析：本题考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题．由函数的奇偶性可得f(−4)=f(4)，f(−1)=f(1)，再由单调性可作出判断．解：∵y=f(x)是偶函数，∴f(−4)=f(4)，f(−1)=f(1)，又∵函数在区间(0,+∞)上是增函数，∴f(4)>f(π)>f(1)，∴f(−4)>f(π)>f(−1)，故选：C．7.答案：{1,2}解析：解：∵M={x|0<x≤3}，N={x∈N|0≤x−1≤1}={x∈N|1≤x≤2}={1,2}，∴M∩N={1,2}．故答案为：{1,2}求出N中不等式解集的自然数解确定出N，找出M与N的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．8.答案：{x|x>5或−1<x<2}解析：解：原不等式可转化为(x+1)(x−2)(x−5)>0，结合高次不等式的求解得，x>5或−1<x<2．故原不等式的解集{x|x>5或−1<x<2}．故答案为：{x|x>5或−1<x<2}．把已知分式不等式直接转化为高次不等式，然后结合数轴标根法可求．本题主要考查了分式不等式的求解，体现了转化思想的应用，属于基础题．9.答案：(0,+∞)解析：解：要使f(x)有意义，则3x−1>0；∴x>0；∴f(x)的定义域为(0,+∞)．故答案为：(0,+∞)．可看出，要使得函数f(x)有意义，则需满足3x−1>0，解出x的范围即可．考查函数定义域的定义及求法，对数函数的定义域，指数函数的单调性．10.答案：13。

上海市虹口区高一（上）期末数学试卷一、填空题（本大题满分30分，共10题）1．（3分）已知集合A={﹣2，﹣1，0，2}，B={|2=2}，则A∩B=．2．（3分）不等式|﹣3|≤1的解集是．3．（3分）不等式＞4的解集是．4．（3分）已知函数f（）=3+a的反函数y=f﹣1（），若函数y=f﹣1（）的图象经过（4，1），则实数a的值为．5．（3分）命题“若实数a，b满足a≠4或b≠3，则a+b≠7”的否命题是．6．（3分）已知条件p：2﹣1≤≤﹣3，条件q：﹣1＜≤3，且p是q的必要条件，则实数的取值范围是．7．（3分）已知函数y=f（）是R上的奇函数，且在区间（0，+∞）单调递增，若f（﹣2）=0，则不等式f（）＜0的解集是．8．（3分）函数f（）=|2﹣4|﹣a恰有两个零点，则实数a的取值范围为．9．（3分）已知函数f（）=，若f（f（a））=2，则实数a的值为．10．（3分）设f（）=log2（2+||）﹣，则使得f（﹣1）＞f（2）成立的取值范围是．11．已知函数f（）=（）的图象与函数y=g（）的图象关于直线y=对称，令h（）=g（1﹣2），则关于函数y=h（）的下列4个结论：①函数y=h（）的图象关于原点对称；②函数y=h（）为偶函数；③函数y=h（）的最小值为0；④函数y=h（）在（0，1）上为增函数其中，正确结论的序号为．（将你认为正确结论的序号都填上）二、选择题（本大题满分20分，每小题4分，共6小题）12．（4分）设全集U=，集合A={|1≤＜7，∈}，B={=2﹣1，∈}，则A∩（∁U B）=（）A．{1，2，3，4，5，6}B．{1，3，5}C．{2，4，6}D．∅13．（4分）设∈R，则“＜﹣2”是“2+≥0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件14．（4分）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A．y=||B．y=（）C．y= D．y=﹣315．（4分）设，y∈R，a＞1，b＞1，若a=b y=3，a+b=6，则+的最大值为（）A．B．C．1 D．216．（4分）设集合M=[0，），N=[，1]，函数f（）=．若0∈M且f（f （0））∈M，则0的取值范围为（）A．（0，] B．[0，]C．（，]D．（，）17．设f（）=5||﹣，则使得f（2+1）＞f（）成立的取值范围是（）A．（﹣1，﹣）B．（﹣3，﹣1）C．（﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（﹣，+∞）三、解答题（本大题慢点50分，共7小题）18．（10分）已知集合A={|2+p+1=0}，B={|2+q+r=0}，且A∩B={1}，（∁U A）∩B={﹣2}，求实数p、q、r的值．19．（10分）（1）解不等式：3≤2﹣2＜8；（2）已知a，b，c，d均为实数，求证：（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2．20．（10分）已知函数f（）=log2|||﹣1|．（1）作出函数f（）的大致图象；（2）指出函数f（）的奇偶性、单调区间及零点．21．已知f（）=||（2﹣）（1）作出函数f（）的大致图象，并指出其单调区间；（2）若函数f（）=c恰有三个不同的解，试确定实数c的取值范围．22．（10分）如图，在半径为40cm的半圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中A，B在直径上，点C，D在圆周上、（1）设AD=，将矩形ABCD的面积y表示成的函数，并写出其定义域；（2）怎样截取，才能使矩形材料ABCD的面积最大？并求出最大面积．23．（10分）已知函数f（）=（）的图象与函数y=g（）的图象关于直线y=对称．（1）若f（g（））=6﹣2，求实数的值；（2）若函数y=g（f（2））的定义域为[m，n]（m≥0），值域为[2m，2n]，求实数m，n 的值；（3）当∈[﹣1，1]时，求函数y=[f（）]2﹣2af（）+3的最小值h（a）．24．已知函数f（）=b+log a（＞0且a≠1）的图象经过点（8，2）和（1，﹣1）．（1）求f（）的解析式；（2）[f（）]2=3f（），求实数的值；（3）令y=g（）=2f（+1）﹣f（），求y=g（）的最小值及其最小值时的值．四、附加题25．设函数φ（）=a2﹣a（a＞0，a≠1）．（1）求函数φ（）在[﹣2，2]上的最大值；（2）当a=时，φ（）≤t2﹣2mt+2对所有的∈[﹣2，2]及m∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．上海市虹口区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分30分，共10题）1．（3分）已知集合A={﹣2，﹣1，0，2}，B={|2=2}，则A∩B={0，2} ．【解答】解：∵集合A={﹣2，﹣1，0，2}，B={|2=2}={0，2}，∴A∩B={0，2}．故答案为：{0，2}．2．（3分）不等式|﹣3|≤1的解集是[2，4] ．【解答】解：∵|﹣3|≤1，∴﹣1≤﹣3≤1，解得：2≤≤4，故答案为：[2，4]．3．（3分）不等式＞4的解集是（2，12）．【解答】解：∵＞4，∴＞0，即＜0，解得：2＜＜12，故答案为：（2，12）．4．（3分）已知函数f（）=3+a的反函数y=f﹣1（），若函数y=f﹣1（）的图象经过（4，1），则实数a的值为1．【解答】解：f（）=3+a的反函数y=f﹣1（），∵函数y=f﹣1（）的图象经过（4，1），原函数与反函数的图象关于y=对称∴f（）=3+a的图象经过（1，4），即3+a=4，解得：a=1．故答案为：1．5．（3分）命题“若实数a，b满足a≠4或b≠3，则a+b≠7”的否命题是若实数a，b满足a=4且b=3，则a+b=7”．【解答】解：命题“若实数a，b满足a≠4或b≠3，则a+b≠7”的否命题是“若实数a，b 满足a=4且b=3，则a+b=7”，故答案为：若实数a，b满足a=4且b=3，则a+b=7”6．（3分）已知条件p：2﹣1≤≤﹣3，条件q：﹣1＜≤3，且p是q的必要条件，则实数的取值范围是≤﹣1．【解答】解：∵p：2﹣1≤≤﹣3，条件q：﹣1＜≤3，且p是q的必要条件，∴（﹣1，3]⊆[2﹣1，﹣3]，∴，解得：≤﹣1，故答案为：≤﹣1．7．（3分）已知函数y=f（）是R上的奇函数，且在区间（0，+∞）单调递增，若f（﹣2）=0，则不等式f（）＜0的解集是（﹣2，0）∪（0，2）．【解答】解：函数y=f（）是R上的奇函数，在区间（0，+∞）单调递增∴函数y=f（）在R上单调递增，且f（0）=0∵f（﹣2）=﹣f（2）=0，即f（2）=0．∴当＜﹣2时，f（）＜0，当﹣2＜＜0时，f（）＞0，当0＜＜2时，f（）＜0，当＞2时，f（）＞0，那么：f（）＜0，即或，∴得：﹣2＜＜0或0＜＜2．故答案为（﹣2，0）∪（0，2）．8．（3分）函数f（）=|2﹣4|﹣a恰有两个零点，则实数a的取值范围为a=0或a＞4．【解答】解：函数g（）=|2﹣4|的图象如图所示，∵函数f（）=|2﹣4|﹣a恰有两个零点，∴a=0或a＞4．故答案为：a=0或a＞4．9．（3分）已知函数f（）=，若f（f（a））=2，则实数a的值为﹣，，16．【解答】解：由f（）=，f（f（a））=2，当log2a≤0时，即0＜a≤1时，（log2a）2+1=2，即（log2a）2=1，解得a=，当log2a＞0时，即a＞1时，log2（log2a）=2，解得a=16，因为a2+1＞0，log2（a2+1）=2，即a2+1=4解得a=（舍去），或﹣，综上所述a的值为﹣，，16，故答案为：﹣，，16，10．（3分）设f（）=log2（2+||）﹣，则使得f（﹣1）＞f（2）成立的取值范围是（﹣1，）．【解答】解：函数f（）=log2（2+||）﹣，是偶函数，当≥0时，y=log2（2+），y=﹣都是增函数，所以f（）=log2（2+）﹣，≥0是增函数，f（﹣1）＞f（2），可得|﹣1|＞|2|，可得32+2﹣1＜0，解得∈（﹣1，）．故答案为：（﹣1，）．11．已知函数f（）=（）的图象与函数y=g（）的图象关于直线y=对称，令h（）=g（1﹣2），则关于函数y=h（）的下列4个结论：①函数y=h（）的图象关于原点对称；②函数y=h（）为偶函数；③函数y=h（）的最小值为0；④函数y=h（）在（0，1）上为增函数其中，正确结论的序号为②③④．（将你认为正确结论的序号都填上）【解答】解：∵函数f（）=（）的图象与函数y=g（）的图象关于直线y=对称，∴g（）=，∴h（）=g（1﹣2）=，故h（﹣）=h（），即函数为偶函数，函数图象关于y轴对称，故①错误；②正确；当=0时，函数取最小值0，故③正确；当∈（0，1）时，内外函数均为减函数，故函数y=h（）在（0，1）上为增函数，故④正确；故答案为：②③④二、选择题（本大题满分20分，每小题4分，共6小题）12．（4分）设全集U=，集合A={|1≤＜7，∈}，B={=2﹣1，∈}，则A∩（∁U B）=（）A．{1，2，3，4，5，6}B．{1，3，5}C．{2，4，6}D．∅【解答】解：全集U=，集合A={|1≤＜7，∈}={1，2，3，4，5，6}B={=2﹣1，∈}，∴∁u B={=2，∈}，∴A∩（∁u B）={2，4，6}，故选：C．13．（4分）设∈R，则“＜﹣2”是“2+≥0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由“2+≥0”，解得：＞0或＜﹣1，故＜﹣2”是“＞0或＜﹣1“的充分不必要条件，故选：A．14．（4分）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A．y=||B．y=（）C．y= D．y=﹣3【解答】解：对于A：y=f（）=||，则f（﹣）=|﹣|=||是偶函数．对于B：，根据指数函数的性质可知，是减函数．不是奇函数．对于C：定义为（﹣∞，0）∪（0，+∞），在其定义域内不连续，承载断点，∴在（﹣∞，0）和在（0，+∞）是减函数．对于D：y=f（）=﹣3，则f（﹣）=3=﹣f（）是奇函数，根据幂函数的性质可知，是减函数．故选D．15．（4分）设，y∈R，a＞1，b＞1，若a=b y=3，a+b=6，则+的最大值为（）A．B．C．1 D．2【解答】解：设，y∈R，a＞1，b＞1，a=b y=3，a+b=6，∴=log a3，y=log b3，∴+=log3a+log3b=log3ab≤log3（）=2，当且仅当a=b=3时取等号，故选：D16．（4分）设集合M=[0，），N=[，1]，函数f（）=．若0∈M且f（f （0））∈M，则0的取值范围为（）A．（0，] B．[0，]C．（，]D．（，）【解答】解：∵0≤0＜，∴f（0））∈[，1]⊆N，∴f（f（0））=2（1﹣f（0））=2[1﹣（0+）]=2（﹣0），∵f（f（0））∈M，∴0≤2（﹣0）＜，∴＜0≤∵0≤0＜，∴＜0＜故选：D17．设f（）=5||﹣，则使得f（2+1）＞f（）成立的取值范围是（）A．（﹣1，﹣）B．（﹣3，﹣1）C．（﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（﹣，+∞）【解答】解：函数f（）=5||﹣，则f（﹣）=5|﹣|﹣=5||﹣=f（）为偶函数，∵y1=5||是增函数，y2=﹣也是增函数，故函数f（）是增函数．那么：f（2+1）＞f（）等价于：|2+1|＞||，解得：＜﹣1或使得f（2+1）＞f（）成立的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（，+∞）．故选D．三、解答题（本大题慢点50分，共7小题）18．（10分）已知集合A={|2+p+1=0}，B={|2+q+r=0}，且A∩B={1}，（∁U A）∩B={﹣2}，求实数p、q、r的值．【解答】解：集合A={|2+p+1=0}，B={|2+q+r=0}，且A∩B={1}，∴1+p+1=0，解得p=﹣2；又1+q+r=0，①（∁U A）∩B={﹣2}，∴4﹣2q+r=0，②由①②组成方程组解得q=1，r=﹣2；∴实数p=﹣2，q=1，r=﹣2．19．（10分）（1）解不等式：3≤2﹣2＜8；（2）已知a，b，c，d均为实数，求证：（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2．【解答】解：（1）不等式：3≤2﹣2＜8，即：，解得：，即∈（﹣2，﹣1]∪[3，4）．（2）证明：∵（a2+b2）（c2+d2）﹣（ac+bd）2=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2﹣a2c2﹣2abcd﹣b2d2=a2d2+b2c2﹣2abcd=（ad﹣bc）2≥0∴（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2．20．（10分）已知函数f（）=log2|||﹣1|．（1）作出函数f（）的大致图象；（2）指出函数f（）的奇偶性、单调区间及零点．【解答】解：函数f（）=log2|||﹣1|的定义域为：{|≠±1，∈R}．函数f（）=log2|||﹣1|=，=0时f（）=0，函数的图象如图：（2）函数是偶函数，单调增区间（﹣1，0），（1，+∞）；单调减区间为：（﹣∞，﹣1），（0，1）；零点为：0，﹣2，2．21．已知f（）=||（2﹣）（1）作出函数f（）的大致图象，并指出其单调区间；（2）若函数f（）=c恰有三个不同的解，试确定实数c的取值范围．【解答】解：（1）f（）=||（2﹣）=，函数的图象如图：函数的单调增区间（0，1），单调减区间（﹣∞，0），（1，+∞）．（2）函数f（）=c恰有三个不同的解，函数在=1时取得极大值：1，实数c的取值范围（0，1）．22．（10分）如图，在半径为40cm的半圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中A，B在直径上，点C，D在圆周上、（1）设AD=，将矩形ABCD的面积y表示成的函数，并写出其定义域；（2）怎样截取，才能使矩形材料ABCD的面积最大？并求出最大面积．【解答】解：（1）AB=2OA=2=2，∴y=f（）=2，∈（0，40）．（2）y2=42（1600﹣2）≤4×=16002，即y≤1600，当且仅当=20时取等号．∴截取AD=20时，才能使矩形材料ABCD的面积最大，最大面积为1600．23．（10分）已知函数f（）=（）的图象与函数y=g（）的图象关于直线y=对称．（1）若f（g（））=6﹣2，求实数的值；（2）若函数y=g（f（2））的定义域为[m，n]（m≥0），值域为[2m，2n]，求实数m，n 的值；（3）当∈[﹣1，1]时，求函数y=[f（）]2﹣2af（）+3的最小值h（a）．【解答】解：（1）∵函数f（）=（）的图象与函数y=g（）的图象关于直线y=对称，∴g（）=，∵f（g（））=6﹣2，∴=6﹣2=，即2+﹣6=0，解得=2或=﹣3（舍去），故=2，（2）y=g（f（2））==2，∵定义域为[m，n]（m≥0），值域为[2m，2n]，，解得m=0，n=2，（3）令t=（），∵∈[﹣1，1]，∴t∈[，2]，则y=[f（）]2﹣2af（）+3等价为y=m（t）=t2﹣2at+3，对称轴为t=a，当a＜时，函数的最小值为h（a）=m（）=﹣a；当≤a≤2时，函数的最小值为h（a）=m（a）=3﹣a2；当a＞2时，函数的最小值为h（a）=m（2）=7﹣4a；故h（a）=24．已知函数f（）=b+log a（＞0且a≠1）的图象经过点（8，2）和（1，﹣1）．（1）求f（）的解析式；（2）[f（）]2=3f（），求实数的值；（3）令y=g（）=2f（+1）﹣f（），求y=g（）的最小值及其最小值时的值．【解答】解：（1）由已知得，b+log a8=2，b+log a1=﹣1，（a＞0且a≠1），解得a=2，b=﹣1；故f（）=log2﹣1（＞0）；（2）[f（）]2=3f（），即f（）=0或3，∴log2﹣1=0或3，∴=2或16；（3）g（）=2f（+1）﹣f（）=2[log2（+1）﹣1]﹣（log2﹣1）=log2（++2）﹣1≥1，当且仅当=，即=1时，等号成立）．于是，当=1时，g（）取得最小值1．四、附加题25．设函数φ（）=a2﹣a（a＞0，a≠1）．（1）求函数φ（）在[﹣2，2]上的最大值；（2）当a=时，φ（）≤t2﹣2mt+2对所有的∈[﹣2，2]及m∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵φ（）=a2﹣a=（a﹣）2﹣（a＞0，a≠1），∈[﹣2，2]，∴当a＞1时，φma（）=φ（2）=a4﹣a2；当0＜a＜1时，φma（）=φ（﹣2）=a﹣4﹣a﹣2；∴φma（）=．（2）当a=时，φ（）=2﹣（），由（1）知，φma（）=φ（2）=（）4﹣（）2=4﹣2=2，∴φ（）≤t2﹣2mt+2对所有的∈[﹣2，2]及m∈[﹣1，1]恒成立⇔∀m∈[﹣1，1]，t2﹣2mt+2≥φma（）=2恒成立，即∀m∈[﹣1，1]，t2﹣2mt≥0恒成立，令g（m）=﹣2tm+t2，则，即，解得：t≥2或t≤﹣2，或t=0．∴实数m的取值范围为：（﹣∞，2]∪{0}∪[2，+∞）．。

2020-2021上海市高一数学上期末试卷(及答案)一、选择题1．设a b c ，，均为正数，且122log aa =，121log 2b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 2cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭．则（ ） A ．a b c << B ．c b a << C ．c a b << D ．b a c <<2．已知集合21,01,2A =--｛，，｝，{}|(1)(2)0B x x x =-+<,则AB =（ ）A ．{}1,0-B ．{}0,1C ．{}1,0,1-D ．{}0,1,23．若函数,1()42,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,+∞B ．（1,8）C ．（4,8）D ．[4,8)4．下列函数中，值域是()0,+∞的是（ ） A ．2y x = B ．211y x =+ C ．2x y =-D ．()lg 1(0)y x x =+>5．已知函数()2x xe ef x --=，x ∈R ，若对任意0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，都有()()sin 10f f m θ+->成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()0,1B ．()0,2C ．(),1-∞D ．(]1-∞，6．若函数ya >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0，1]，则log a 56＋log a 485＝( ) A ．1B ．2C ．3D ．47．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数为（ ） A ．1ln||y x = B ．3y x = C ．||2x y =D ．cos y x =8．将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，min t 后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线nt y ae =，假设过5min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过min m 甲桶中的水只有4a升，则m 的值为（ ） A ．10B ．9C ．8D ．59．若0.33a =，log 3b π=，0.3log c e =，则（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>10．若函数()[)[]1,1,0{44,0,1xx x f x x ⎛⎫∈- ⎪=⎝⎭∈，则f (log 43)＝( ) A ．13B ．14C ．3D ．411．下列函数中，在区间(1,1)-上为减函数的是A ．11y x=- B ．cos y x =C ．ln(1)y x =+D ．2x y -=12．已知函数()()f x g x x =+，对任意的x ∈R 总有()()f x f x -=-，且(1)1g -=，则(1)g =（ ）A ．1-B ．3-C ．3D ．1二、填空题13．已知函数()22f x mx x m =-+的值域为[0,)+∞，则实数m 的值为__________ 14．()f x 是R 上的奇函数且满足(3)(3)f x f x -=+，若(0,3)x ∈时，()lg f x x x =+，则()f x 在(6,3)--上的解析式是______________．15．已知函数2()log f x x =，定义()(1)()f x f x f x ∆=+-，则函数()()(1)F x f x f x =∆++的值域为___________.16．已知函数()()1123121x a x a x f x x -⎧-+<=⎨≥⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围是_____.17．已知11,,1,2,32a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，若幂函数()af x x =为奇函数，且在()0,∞+上递减，则a的取值集合为______. 18．若函数()242xx f x aa =+-（0a >，1a ≠)在区间[]1,1-的最大值为10，则a =______.19．已知函数1,0()ln 1,0x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，若方程()()f x m m R =∈恰有三个不同的实数解()a b c a b c <<、、，则()a b c +的取值范围为______；20．已知函数()5,222,2x x x f x a a x -+≤⎧=++>⎨⎩，其中0a >且1a ≠，若()f x 的值域为[)3,+∞，则实数a 的取值范围是______．三、解答题21．已知函数()log (12)a f x x =+，()log (2)a g x x =-，其中0a >且1a ≠，设()()()h x f x g x =-.(1)求函数()h x 的定义域;(2)若312f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，求使()0h x <成立的x 的集合. 22．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当()0,x ∈+∞时，()232f x x ax a =++-. （1）求()f x 的解析式；（2）若()f x 是R 上的单调函数，求实数a 的取值范围. 23．已知函数sin ωφf x A x B (0A >，0>ω，2πϕ<)，在同一个周期内，当6x π=时，()f x 取得最大值2，当23x π=时，()f x 取得最小值2-. (1)求函数()f x 的解析式，并求()f x 在[0，π]上的单调递增区间.(2)将函数()f x 的图象向左平移12π个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到函数()g x 的图象，方程()g x a =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦有2个不同的实数解，求实数a 的取值范围.24．随着我国经济的飞速发展，人们的生活水平也同步上升，许许多多的家庭对于资金的管理都有不同的方式.最新调查表明，人们对于投资理财的兴趣逐步提高.某投资理财公司做了大量的数据调查，调查显示两种产品投资收益如下： ①投资A 产品的收益与投资额的算术平方根成正比； ②投资B 产品的收益与投资额成正比.公司提供了投资1万元时两种产品的收益，分别是0.2万元和0.4万元.（1）分别求出A 产品的收益()f x 、B 产品的收益()g x 与投资额x 的函数关系式； （2）假如现在你有10万元的资金全部用于投资理财，你该如何分配资金，才能让你的收益最大？最大收益是多少？ 25．计算或化简：（1）112320412730.1log 321664π-⎛⎫⎛⎫++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）6log 332log log 2log 36⋅-- 26．已知函数()xf x a =(0a >,且1a ≠),且(5)8(2)f f =. (1)若(23)(2)f m f m -<+,求实数m 的取值范围; (2)若方程|()1|f x t -=有两个解,求实数t 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】试题分析：在同一坐标系中分别画出2,xy =12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log y x =，12log y x =的图象，2xy =与12log y x =的交点的横坐标为a ，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与12log y x =的图象的交点的横坐标为b ，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与2log y x =的图象的交点的横坐标为c ，从图象可以看出．考点：指数函数、对数函数图象和性质的应用．【方法点睛】一般一个方程中含有两个以上的函数类型，就要考虑用数形结合求解，在同一坐标系中画出两函数图象的交点，函数图象的交点的横坐标即为方程的解．2．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】由已知得{}|21B x x =-<<，因为21,01,2A =--｛，，｝，所以{}1,0A B ⋂=-，故选A ．解析：D 【解析】 【分析】根据分段函数单调性列不等式，解得结果. 【详解】因为函数,1()42,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数， 所以140482422a a a aa ⎧⎪>⎪⎪->∴≤<⎨⎪⎪-+≤⎪⎩故选：D 【点睛】本题考查根据分段函数单调性求参数，考查基本分析判断能力，属中档题.4．D解析：D 【解析】 【分析】利用不等式性质及函数单调性对选项依次求值域即可． 【详解】对于A ：2y x =的值域为[)0,+∞；对于B ：20x ≥，211x ∴+≥，21011x ∴<≤+， 211y x ∴=+的值域为(]0,1； 对于C ：2xy =-的值域为(),0-∞； 对于D ：0x >，11x ∴+>，()lg 10x ∴+>，()lg 1y x ∴=+的值域为()0,+∞；故选：D ． 【点睛】此题主要考查函数值域的求法，考查不等式性质及函数单调性，是一道基础题．5．D解析：D试题分析：求函数f （x ）定义域，及f （﹣x ）便得到f （x ）为奇函数，并能够通过求f′（x ）判断f （x ）在R 上单调递增，从而得到sinθ＞m ﹣1，也就是对任意的0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦都有sinθ＞m ﹣1成立，根据0＜sinθ≤1，即可得出m 的取值范围． 详解：f （x ）的定义域为R ，f （﹣x ）=﹣f （x ）； f′（x ）=e x +e ﹣x ＞0； ∴f （x ）在R 上单调递增；由f （sinθ）+f （1﹣m ）＞0得，f （sinθ）＞f （m ﹣1）； ∴sin θ＞m ﹣1； 即对任意θ∈0,2π⎛⎤⎥⎝⎦都有m ﹣1＜sinθ成立；∵0＜sinθ≤1； ∴m ﹣1≤0；∴实数m 的取值范围是（﹣∞，1]． 故选：D ．点睛：本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，注意奇函数的在对称区间上的单调性的性质；对于解抽象函数的不等式问题或者有解析式，但是直接解不等式非常麻烦的问题，可以考虑研究函数的单调性和奇偶性等，以及函数零点等，直接根据这些性质得到不等式的解集.6．C解析：C 【解析】 【分析】先分析得到a ＞1，再求出a =2,再利用对数的运算求值得解. 【详解】由题意可得a －a x ≥0，a x ≤a ，定义域为[0，1]， 所以a >1，y [0，1]上单调递减，值域是[0，1]，所以f (0)1，f (1)＝0， 所以a ＝2，所log a56＋log a 485＝log 256＋log 2485＝log 28＝3. 故选C 【点睛】本题主要考查指数和对数的运算，考查函数的单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.解析：A 【解析】本题考察函数的单调性与奇偶性 由函数的奇偶性定义易得1ln||y x =，||2x y =，cos y x =是偶函数，3y x =是奇函数 cos y x =是周期为2π的周期函数，单调区间为[2,(21)]()k k k z ππ+∈0x >时，||2x y =变形为2x y =，由于2>1,所以在区间(0,)+∞上单调递增 0x >时，1ln||y x =变形为1ln y x =，可看成1ln ,y t t x==的复合，易知ln (0)y t t =>为增函数，1(0)t x x=>为减函数，所以1ln ||y x =在区间(0,)+∞上单调递减的函数故选择A8．D解析：D 【解析】由题设可得方程组()552{4n m n ae aa ae +==，由55122n nae a e =⇒=，代入(5)1142m n mn ae a e +=⇒=，联立两个等式可得512{12mn n e e ==，由此解得5m =，应选答案D 。