2019届上海市松江区高三上学期期末质量监控数学试题

金山区2019届高三上学期期末质量监控数学试卷一. 填空题。

1.已知集合，，则___【答案】【解析】【分析】对集合A和集合B取交集即可得到答案.【详解】，,则,故答案为：.【点睛】本题考查集合的交集运算.2.抛物线的准线方程是______【答案】【解析】试题分析：开口向右，所以它的准线方程为x=-1考点：本题考查抛物线的标准方程点评：开口向右的抛物线方程为，准线方程为3.计算：______【答案】【解析】【分析】分子分母同时除以n,计算可得极限.【详解】＝＝故答案为:.【点睛】本题考查型极限问题，解题的关键是合理地选取公式．4.不等式的解集为________【答案】【解析】【分析】根据绝对值的定义去绝对值符号，直接求出不等式的解集即可.【详解】由，得，解得故答案为.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查等价转化的数学思想和计算能力.5.若复数（为虚数单位），________【答案】【解析】【分析】利用复数的乘法运算将复数化简为a+bi的形式，然后利用复数模的公式计算即可得到答案. 【详解】=7+i,则，故答案为:.【点睛】本题考查复数的模的概念和复数的四则运算，属于基础题.6.已知函数，则_______【答案】【解析】【分析】由反函数定义令f（x）＝5，求出x的值即可．【详解】由反函数定义，令，得＝4，则x＝24＝16，∴f﹣1（5）＝16．故答案为：16．【点睛】本题考查反函数的性质与应用问题，是基础题．7. 从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是______【答案】【解析】答案：解析：简单考察古典概型的概率计算，容易题。

8.在的二项展开式中，常数项的值是________（结果用数值表示）【答案】【解析】【分析】写出二项展开式的通项公式，令x的指数为0，计算即可求出展开式的常数项．【详解】展开式的通项为T r+1＝（﹣1）r C10r x30﹣5r，令30﹣5r＝0得r＝6，所以展开式中的常数项为C106＝210，故答案为：210．【点睛】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．9.无穷等比数列各项和的值为2，公比，则首项的取值范围是________【答案】【解析】【分析】由无穷等比数列{a n}的各项和为2且，解不等式可得a1范围．【详解】由题意可得，且，则a1＝2（1﹣q），由，。

上海市松江区2022-2023学年高三上学期期末数学试卷（一模）解析版一、填空题（1-6每小题4分，7-12每小题4分，12题第1空分，第2空3分，共54分）1．已知集合A＝（﹣2，1]，B＝Z，则A∩B＝ ．2．函数y＝sin x cos x的最小正周期是 ．3．已知a，b∈R，i是虚数单位．若a﹣i与2+bi互为共轭复数，则（a+bi）2＝ ．4．记S n为等差数列{a n}的前n项和．若2S3＝3S2+6，则公差d＝ ．5．已知函数y＝a﹣为奇函数，则实数a＝ ．6．已知圆锥的母线长为5，侧面积为20π，则此圆锥的体积为 ．7．已知向量＝（5，3），＝（﹣1，2），则在上的投影向量的坐标为 ．8．对任意x∈R，不等式|x﹣2|+|x﹣3|≥2a2+a恒成立，则实数a的取值范围为 ．9．已知集合．设函数的值域为B，若B⊆A，则实数a的取值范围为 ．10．已知F1，F2是双曲线Γ：的左、右焦点，点M是双曲线Γ上的任意一点（不是顶点），过F1作∠F1MF2的角一部分线的垂线，垂足为N，线段F1N的延长线交MF2于点Q，O是坐标原点，若，则双曲线Γ的渐近线方程为 ．11．动点P的棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1表面上运动，且与点A的距离是，点P的集合形成一条曲线，这条曲线的长度为 ．12．已知数列{a n}的各项都是正数，a n+12﹣a n+1＝a n（n∈N*，n≥1），若数列{a n}为严格增数列，则首项a1的取值范围是 ，当a1＝时，记b n＝，若k＜b1+b2+…+b2022＜k+1，则整数k＝ ．二、选择题（13-14每小题4分，15-16每小题4分，共18分）13．下面四个条件中，使a＞b成立的充要条件是（ ）A．a＞b+1B．a＞b﹣1C．a2＞b2D．a3＞b314．函数y＝（x2﹣1）e x的图象可能是（ ）A．B．C．D．15．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2﹣m1＝lg，其中星等为m k的星的亮度为E k（k＝1，2）．已知太阳的星等是﹣26.7，天狼星的星等是﹣1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ）A．1010.1B．10.1C．lg10.1D．10﹣10.116．已知函数，g（x）＝kx+1，若函数y＝f（x）﹣g（x）的图像经过四个象限，则实数k的取值范围为（ ）A．B．C．（﹣2，+∞）D．三、解答题（共78分）17．（14分）如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD（1）求证：平面ACD⊥平面ABC；（2）若AB＝1，CD＝BC＝2，求直线AD与平面ABC所成角的大小；18．（14分）在三角形ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知；（1）求角B的大小；（2）若c＝2a，三角形ABC的面积为，求三角形ABC的周长．19．（14分）某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上，桥AB与MN平行，OO'为铅垂线（O'在AB上），经测量，山谷左侧的轮廓曲线AO上任一点D到MN的距离h1（米）与D到OO'的距离a（米）之间满足关系式h1＝；山谷右侧的轮廓曲线BO上任一点F到MN的距离h2（米）与F到OO'的距离b（米）之间满足关系式h2＝﹣+6b；已知点B到OO'的距离为40米；（1）求谷底O到桥面AB的距离和桥AB的长度；（2）计划在谷底两侧建造平行于OO'的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在AB上（不包括端点），桥墩EF每米造价为k万元（k＞0）；问：O'E为多少米时，桥墩CD和EF的总造价最低？20．（18分）已知椭圆Γ：的长轴长为2，离心率为，直线l与椭圆Γ有两个不同的交点A，B（1）求椭圆Γ的方程；（2）若直线l的方程为：y＝x+t，椭圆上点关于直线l的对称点N（与M 不重合）在椭圆Γ上，求t的值；（3）设P（﹣2，0），直线PA与椭圆Γ的另一个交点为C，直线PB与椭圆Γ的另一个交点为D，若点C，D和点三点共线，求k的值．21．（18分）已知定义在R上的函数f（x）＝e kx+b（e是自然对数的底数）满足f（x）＝f'（x），且f（﹣1）＝1，删除无穷数列f（1），f（2），f（3），…，f（n），…中的第3项，第6项，…，第3n项，…（n∈N，n≥1），余下的项按原来顺序组成一个新数列{t n}，记数列{t n}前n项和为T n；（1）求函数f（x）的解析式；（2）已知数列{t n}的通项公式是t n＝f（g（n）），n∈N，n≥1，求函数g（n）的解析式；（3）设集合X是实数集R的非空子集，如果正实数a满足：对任意x1，x2∈X，都有|x1﹣x2|≤a，设称a为集合X的一个“阈度”；记集合，试问集合H存在“阈度”吗？若存在，求出集合H“阈度”的取值范围；若不存在，请说明理由；参考答案与试题解析一、填空题（1-6每小题4分，7-12每小题4分，12题第1空分，第2空3分，共54分）1．已知集合A＝（﹣2，1]，B＝Z，则A∩B＝　{﹣1，0，1}　．【分析】直接利用集合的交集运算求解即可．【解答】解：∵集合A＝（﹣2，1]，B＝Z，∴A∩B＝{﹣1，0，1}．故答案为：{﹣1，0，1}．【点评】本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．2．函数y＝sin x cos x的最小正周期是　π　．【分析】把函数y＝sin x cos x化为一个角的一个三角函数的形式，然后求出它的最小正周期．【解答】解：函数y＝sin x cos x＝sin2x，它的最小正周期是：＝π．故答案为：π．【点评】本题考查三角函数的周期性及其求法，二倍角的正弦，考查计算能力，是基础题．3．已知a，b∈R，i是虚数单位．若a﹣i与2+bi互为共轭复数，则（a+bi）2＝　3+4i　．【分析】直接利用复数是共轭复数，求出ab，即可求解（a+bi）2．【解答】解：因为a，b∈R，i是虚数单位．若a﹣i与2+bi互为共轭复数，所以a＝2，b＝1．（a+bi）2＝（2+i）2＝3+4i．故答案为：3+4i．【点评】本题考查复数的基本概念的应用，复数的代数形式的混合运算，考查计算能力．4．记S n为等差数列{a n}的前n项和．若2S3＝3S2+6，则公差d＝　2　．【分析】根据已知条件，可得2（a1+a2+a3）＝3（a1+a2）+6，再结合等差中项的性质，即可求解．【解答】解：∵2S3＝3S2+6，∴2（a1+a2+a3）＝3（a1+a2）+6，∵{a n}为等差数列，∴6a2＝3a1+3a2+6，∴3（a2﹣a1）＝3d＝6，解得d＝2．故答案为：2．【点评】本题主要考查等差数列的前n项和，考查转化能力，属于基础题．5．已知函数y＝a﹣为奇函数，则实数a＝　1　．【分析】由题意可得f（0）＝0，解出a再验证即可．【解答】解：∵函数f（x）＝a﹣为奇函数，∴f（0）＝a﹣＝0，解得，a＝1，经验证，函数f（x）＝1﹣为奇函数．故答案为：1．【点评】本题考查了函数的奇偶性的应用，属于基础题．6．已知圆锥的母线长为5，侧面积为20π，则此圆锥的体积为　16π　．【分析】根据侧面积公式计算底面半径，再计算圆锥的高，代入体积公式计算体积．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则S侧＝πr×5＝20π，∴r＝4，∴圆锥的高h＝＝3，∴圆锥的体积V＝＝＝16π．故答案为：16π．【点评】本题考查了圆锥的侧面积和体积公式，属于基础题．7．已知向量＝（5，3），＝（﹣1，2），则在上的投影向量的坐标为 ．【分析】利用向量的投影向量公式，代入坐标进行计算即可．【解答】解：向量＝（5，3），＝（﹣1，2），∴在上的投影向量的坐标为：＝＝（﹣1，2）＝．故答案为：（，）．【点评】本题考查了投影和投影向量的定义及求法，向量坐标的数量积的运算，根据向量的坐标求向量的长度的方法，考查了计算能力，属于基础题．8．对任意x∈R，不等式|x﹣2|+|x﹣3|≥2a2+a恒成立，则实数a的取值范围为　[﹣1，]　．【分析】由不等式性质可知，|x﹣2|+|x﹣3|≥|（x﹣2）+（3﹣x）|＝1，即2a2+a≤1，求解即可．【解答】解：|x﹣2|+|x﹣3|＝|x﹣2|+|3﹣x|≥|（x﹣2）+（3﹣x）|＝1，即2a2+a≤1，（2a﹣1）（a+1）≤0，解得a∈[﹣1，]．故答案为：[﹣1，]．【点评】本题主要考查了函数恒成立问题的求解，是中档题．9．已知集合．设函数的值域为B，若B⊆A，则实数a的取值范围为　（4，5]　．【分析】先求出集合A，再结合对数函数的性质求出集合B，再利用集合间的包含关系列出不等式组，求出a的取值范围即可．【解答】解：不等式，等价于，等价于（x﹣2）（x﹣4）≤0且x﹣2≠0，解得2＜x≤4，即A＝{x|2＜x≤4}，函数y＝+a，x∈（2，4]，∴y∈[﹣2+a，﹣1+a），即B＝[﹣2+a，﹣1+a），显然B≠∅，∵B⊆A，∴，解得4＜a≤5，即实数a的取值范围为（4，5]．故答案为：（4，5]．【点评】本题主要考查了分式不等式的解法，考查了对数函数的性质，以及集合间的包含关系，属于中档题．10．已知F1，F2是双曲线Γ：的左、右焦点，点M是双曲线Γ上的任意一点（不是顶点），过F1作∠F1MF2的角一部分线的垂线，垂足为N，线段F1N的延长线交MF2于点Q，O是坐标原点，若，则双曲线Γ的渐近线方程为　y＝±2x　．【分析】延长F1N交MF2的延长线于Q，因为MN是∠F1MF2角平分线，F1N⊥MN，可得△F1MQ为等腰三角形，再由题意可得|F1F2|＝3|F2Q|，结合双曲线的定义可得a，c 的关系，得到a，b的关系，求出双曲线的渐近线的方程．【解答】解：延长F1N交MF2的延长线于Q，因为MN是∠F1MF2角平分线，F1N⊥MN，如图所示：所以△F1MQ为等腰三角形，|F1M|＝|MQ|，N为F1Q的中点，O为F1F2的中点，所以ON是△F1F2Q的中位线，所以|ON|＝|F2Q|，若，则|F1F2|＝3|F2Q|＝3（|MQ|﹣|MF2|）＝3（|MF1|﹣|MF2|）＝6a，即c＝3a，可得b2＝c2﹣a2＝9a2﹣a2＝8a2，所以＝2，所以双曲线的渐近线的方程为y＝±x＝±2x．故答案为：y＝±2x．【点评】本题考查双曲线的性质的应用，角平分线的性质的应用，属于中档题．11．动点P的棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1表面上运动，且与点A的距离是，点P的集合形成一条曲线，这条曲线的长度为 ．【分析】本题首先要弄清楚曲线的形状，再根据曲线的性质及解析几何知识即可求出长度．【解答】解：由题意，此问题的实质是以A为球心、为半径的球在正方体ABCD﹣A1B1C1D1各个面上交线的长度计算，正方体的各个面根据与球心位置关系分成两类：ABCD、AA1DD1、AA1BB1为过球心的截面，截痕为大圆弧，各弧圆心角为、A1B1C1D1、B1BCC1、D1DCC1为与球心距离为1的截面，截痕为小圆弧，由于截面圆半径为r＝，故各段弧圆心角为．∴这条曲线长度为3••+3••＝故答案为：．【点评】本题以正方体为载体，考查轨迹，考查曲线的周长，有一定的难度．12．已知数列{a n}的各项都是正数，a n+12﹣a n+1＝a n（n∈N*，n≥1），若数列{a n}为严格增数列，则首项a1的取值范围是　（0，2）　，当a1＝时，记b n＝，若k＜b1+b2+…+b2022＜k+1，则整数k＝　﹣6　．【分析】本题根据正数数列{a n}是单调递增数列，可列出a n﹣a n+1＝﹣2a n+1＜0，通过求出a n+1的取值范围，得到a2的取值范围，逆推出a1的取值范围；第二空采用裂项相消法求出b1+b2+…+b2022的表达式，然后进行不等式范围计算，即可得到结果．【解答】解：因为正数数列{a n}是单调递增数列，且a n+12﹣a n+1＝a n（n∈N*），所以a n﹣a n+1＝﹣2a n+1＜0，解得a n+1∈（1，2），所以a2∈（1，2）．所以a1＝﹣a2∈[﹣，2），又因为a1＞0，所以0＜a1＜2，由﹣a n+1＝a n，可得：＝＝﹣，所以＝+，因为b n＝，所以b1+b2......+b2022＝﹣+﹣...+﹣＝﹣（+）+（+）﹣...﹣（+）+（+）﹣（）＝﹣﹣++﹣...﹣﹣++﹣﹣＝﹣﹣＝﹣3﹣﹣＝﹣﹣．又因为a1＝，且数列{a n}是递增数列，所以a2022∈（，2），即∈（，），所以﹣6＜﹣﹣＜﹣5．所以整数k＝﹣6．故答案为：（0，2）；﹣6．【点评】本题考查了数列递推关系、裂项相消法的应用，数列的周期性，考查了推理能力与不等式的计算能力，是难题．二、选择题（13-14每小题4分，15-16每小题4分，共18分）13．下面四个条件中，使a＞b成立的充要条件是（ ）A．a＞b+1B．a＞b﹣1C．a2＞b2D．a3＞b3【分析】分别判断四个选项与a＞b的关系．【解答】解：A．若a＞b，则a＞b+1不一定成立．B．若a＞b，则a＞b﹣1一定成立，但若a＞﹣1b，则a＞b不一定成立．C．若a＞b，则a2＞b2不一定成立，反之也不成立．D．因为函数f（x）＝x3在R上是单调递增函数，所以若a＞b，则一定有a3＞b3，故D正确．故选：D．【点评】本题考查充分条件和必要条件的判断，要求掌握判断充分条件和必要条件的方法：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件．14．函数y＝（x2﹣1）e x的图象可能是（ ）A．B．C．D．【分析】由函数值f（±1）＝0的可排除选项A，B，再由x→∞排除D．【解答】解：函数y＝（x2﹣1）e x，当x＝±1时，y＝0，故可排除A，B，当x→﹣∞时，y＝（x2﹣1）e x＞0，故可排除D，故选项C正确．故选：C．【点评】本题考查了函数图象的识别，解题的关键是掌握识别图象的方法：可以从定义域、值域、函数值的正负、特殊点、特殊值、函数的性质等方面进行判断，考查了直观想象能力与逻辑推理能力，属于基础题．15．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2﹣m1＝lg，其中星等为m k的星的亮度为E k（k＝1，2）．已知太阳的星等是﹣26.7，天狼星的星等是﹣1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ）A．1010.1B．10.1C．lg10.1D．10﹣10.1【分析】把已知数据代入m2﹣m1＝lg，化简后利用对数的运算性质求解．【解答】解：设太阳的星等是m1＝﹣26.7，天狼星的星等是m2＝﹣1.45，由题意可得：，∴，则．故选：A．【点评】本题考查对数的运算性质，是基础的计算题．16．已知函数，g（x）＝kx+1，若函数y＝f（x）﹣g（x）的图像经过四个象限，则实数k的取值范围为（ ）A．B．C．（﹣2，+∞）D．【分析】问题转化为函数y＝f（x）与y＝g（x）在x轴的正负半轴都有两个交点，作出函数y＝f（x）的图象，而直线g（x）＝kx+1，过定点P（0，1），利用导数的几何意义求出直线y＝kx+1与函数y＝x2﹣4x+2（x≥0）相切时的切线斜率，再求出直线y＝kx+1过点（﹣2，0）的斜率，数形结合即可求出k的取值范围．【解答】解：直线g（x）＝kx+1，过定点P（0，1），函数y＝f（x）﹣g（x）的图像经过四个象限，等价于函数y＝f（x）与y＝g（x）在x 轴的正负半轴都有两个交点，过点P（0，1）作y＝x2﹣4x+2（x≥0）的切线，切点设为M（x0，），∵y'＝2x﹣4，∴k＝2x0﹣4，∴切线方程为y﹣（）＝（2x0﹣4）（x﹣x0），把点P（0，1）代入上述切线方程得，1﹣+4x0﹣2＝﹣x0（2x0﹣4），解得x0＝1，∴k＝﹣2，易知f（x）＝|x+2|（x＜0）与x轴交于点N（﹣2，0），∴k PN＝，∴﹣2＜k＜，∴实数k的取值范围为（﹣2，）．故选：A．【点评】本题主要考查了分段函数的图象和零点个数问题，考查了数形结合的数学思想，属于中档题．三、解答题（共78分）17．（14分）如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD（1）求证：平面ACD⊥平面ABC；（2）若AB＝1，CD＝BC＝2，求直线AD与平面ABC所成角的大小；【分析】（1）由已知结合线线，线面与面面垂直的相互转化即可证明；（2）先作出直线AD与平面ABC所成的角，然后解三角形可求．【解答】（1）证明：因为AB⊥平面BCD，BC⊥CD，由三垂线定理可知，CD⊥AC，因为BC⊥CD且AB∩BC＝B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，所以CD⊥平面ABC，因为CD⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面ABC；（2）因为CD⊥平面ABC，所以∠CAD为直线AD与平面ABC所成的角，因为BC＝CD＝2，∠BCD＝90°，所以BD＝2，因为AB＝1，所以AD＝3，Rt△ACD中，sin∠CAD＝＝，即直线AD与平面ABC所成的角为arcsin．【点评】本题主要考查了面面垂直的判定及线面角的求解，属于中档题．18．（14分）在三角形ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知；（1）求角B的大小；（2）若c＝2a，三角形ABC的面积为，求三角形ABC的周长．【分析】（1）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求tan B，进而可求B；（2）由已知结合三角形面积公式可求a，c，然后结合余弦定理可求b，进而可求三角形的周长．【解答】解：（1）因为，由正弦定理可得，a sin B＝b sin A，所以a cos（B﹣）＝a sin B，即sin B＝cos（B﹣）＝，化简得tan B＝，由B为三角形内角得B＝60°；（2）因为c＝2a，三角形ABC的面积为，所以＝＝，所以a＝，c＝，由余弦定理得b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝（）2+（）2﹣2×＝4，所以b＝2，故三角形的周长为2+2．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．19．（14分）某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上，桥AB与MN平行，OO'为铅垂线（O'在AB上），经测量，山谷左侧的轮廓曲线AO上任一点D到MN的距离h1（米）与D到OO'的距离a（米）之间满足关系式h1＝；山谷右侧的轮廓曲线BO上任一点F到MN的距离h2（米）与F到OO'的距离b（米）之间满足关系式h2＝﹣+6b；已知点B到OO'的距离为40米；（1）求谷底O到桥面AB的距离和桥AB的长度；（2）计划在谷底两侧建造平行于OO'的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在AB上（不包括端点），桥墩EF每米造价为k万元（k＞0）；问：O'E为多少米时，桥墩CD和EF的总造价最低？【分析】（1）设AA1，BB1，CD1，EF1都与MN垂直，A1，B1，D1，F1是相应垂足．结合已知条件，转化求解AB即可．（2）以O为原点，OO'为y轴建立平面直角坐标系xOy（如图所示）．设F（x，y2），x∈（0，40），推出EF，CD，CD和EF的总造价为f（x），得到函数的解析式，利用函数的导数转化求解最小值即可．【解答】解：（1）设AA1，BB1，CD1，EF1都与MN垂直，A1，B1，D1，F1是相应垂足．由条件知，当O'B＝40时，，则AA1＝160．由，得O'A＝80．所以AB＝O'A+O'B＝80+40＝120（米）．（2）以O为原点，OO'为y轴建立平面直角坐标系xOy（如图所示）．设F（x，y2），x∈（0，40），则，．因为CE＝80，所以O'C＝80﹣x．设D（x﹣80，y1），则，所以．记桥墩CD和EF的总造价为f（x），则＝．，令f'（x）＝0，得x＝20．x（0，20）20（20，40）f'（x）﹣0+f（x）↘极小值↗所以当x＝20时，f（x）取得最小值．∴当O'E为20米时，桥墩CD和EF的总造价最低．【点评】本题考查函数与方程的综合应用，函数的导数求解函数的最值，是中档题．20．（18分）已知椭圆Γ：的长轴长为2，离心率为，直线l与椭圆Γ有两个不同的交点A，B（1）求椭圆Γ的方程；（2）若直线l的方程为：y＝x+t，椭圆上点关于直线l的对称点N（与M 不重合）在椭圆Γ上，求t的值；（3）设P（﹣2，0），直线PA与椭圆Γ的另一个交点为C，直线PB与椭圆Γ的另一个交点为D，若点C，D和点三点共线，求k的值．【分析】（1）由椭圆的长轴长和离心率，可得a，c的值，再由a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆的方程；（2）联立直线l的方程与椭圆方程，运用判别式大于0，可得t的范围，再由点关于直线的对称的知识，求得N的坐标，代入椭圆方程求得t的值；（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），结合椭圆方程，求得直线PA的方程，与椭圆方程联立，解得C的坐标，同理可得D的坐标，由向量共线的坐标表示，化简整理，结合直线的斜率公式，可得所求值．【解答】解：（1）由椭圆Γ：的长轴长为2，离心率为，可得2a＝2，即a＝，又e＝＝，解得c＝，则b＝＝1，则椭圆Γ的方程为+y2＝1：（2）联立可得4x2+6tx+3t2﹣3＝0，由Δ＝36t2﹣16（3t2﹣3）＞0，可得﹣2＜t＜2．设N（x0，y0），则＝﹣1，（+y0）＝（x0﹣）+t，解得x0＝﹣t，y0＝t﹣，即N（﹣t，t﹣），又N在椭圆上，可得（﹣t）2+（t﹣）2＝1，解得t＝2（舍去）或t＝，则t＝；（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x12+3y12＝3，x22+3y22＝3，又P（﹣2，0），则直线PA的方程为y＝（x+2），与椭圆方程x2+3y2＝3联立，可得（7+4x1）x2+（12﹣4x12）x﹣（7x12+12x1）＝0，则x1x C＝﹣，即有x C＝﹣，y C＝（x C+2）＝，即C（﹣，），同理可得D（﹣，），又Q（﹣，），所以＝（，），＝（，），由题意可得∥，则•＝•，化简可得y1﹣y2＝2（x1﹣x2），则k＝＝2，即有k的值为2．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，以及直线和椭圆的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于难题．21．（18分）已知定义在R上的函数f（x）＝e kx+b（e是自然对数的底数）满足f（x）＝f'（x），且f（﹣1）＝1，删除无穷数列f（1），f（2），f（3），…，f（n），…中的第3项，第6项，…，第3n项，…（n∈N，n≥1），余下的项按原来顺序组成一个新数列{t n}，记数列{t n}前n项和为T n；（1）求函数f（x）的解析式；（2）已知数列{t n}的通项公式是t n＝f（g（n）），n∈N，n≥1，求函数g（n）的解析式；（3）设集合X是实数集R的非空子集，如果正实数a满足：对任意x1，x2∈X，都有|x1﹣x2|≤a，设称a为集合X的一个“阈度”；记集合，试问集合H存在“阈度”吗？若存在，求出集合H“阈度”的取值范围；若不存在，请说明理由；【分析】（1）求出导函数，结合已知条件即可求解结论，（2）分n为奇数和偶数分别求解数列{t n}的通项公式，进而求解结论，（3）令w（n）＝，分n为奇数和偶数分别求解表达式，进而求解结论．【解答】解：（1）由定义在R上的函数f（x）＝e kx+b（e是自然对数的底数）满足f（x）＝f'（x），且f（﹣1）＝1，可得e kx+b＝ke kx+b恒成立，可得k＝1，又由f（﹣1）＝1，可得e﹣1+b＝1，解得b＝1，故函数f（x）＝e x+1；（2）由题可得数列{t n}的奇数项依次构成首项为e2，公比为e3的等比数列，偶数项依次构成首项为e3，公比为e3的等比数列，所以：t n＝＝；所以g（n）＝＝﹣；（3）令w（n）＝，当n为偶数时，T n＝（e2+e3），所以w（n）＝＝（1﹣），此时w（n）关于n是递增的，其函数值在区间[（1﹣），）内，即在区间[1+，）内，当n为奇数时，T n＝T n+1﹣t n+1＝•（e﹣1）﹣e，所以w（n）＝＝（1﹣）﹣1，此时w（n）关于n是递增的，其函数值在区间[（1﹣）﹣1，）内，即在区间[，）内，所以，n∈N，n≥1时，w的取值在区间[，）内，又﹣＝，所以，集合H“阈度”的取值范围为：[，+∞）．【点评】本题主要考查函数性质以及数列性质的应用，考查新定义的理解，考查学生的推理能力和计算能力，属于难题．。

金山区2019届高三上学期期末质量监控数学试卷一. 填空题。

1.已知集合，，则___【答案】对集合A和集合B取交集即可得到答案.【详解】，,则,故答案为：.本题考查集合的交集运算.2.抛物线的准线方程是______【答案】试题：开口向右，所以它的准线方程为x=-1考点：本题考查抛物线的标准方程点评：开口向右的抛物线方程为，准线方程为3.计算：______【答案】分子分母同时除以n,计算可得极限.【详解】＝＝故答案为:.本题考查型极限问题，解题的关键是合理地选取公式．4.不等式的解集为________【答案】根据绝对值的定义去绝对值符号，直接求出不等式的解集即可.【详解】由，得，解得故答案为.本题考查绝对值不等式的解法，考查等价转化的数学思想和计算能力.5.若复数（为虚数单位），________【答案】利用复数的乘法运算将复数化简为a+bi的形式，然后利用复数模的公式计算即可得到答案.【详解】=7+i,则，故答案为:.本题考查复数的模的概念和复数的四则运算，属于基础题.6.已知函数，则_______【答案】由反函数定义令f（x）＝5，求出x的值即可．【详解】由反函数定义，令，得＝4，则x＝24＝16，∴f﹣1（5）＝16．故答案为：16．本题考查反函数的性质与应用问题，是基础题．7. 从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是______ 【答案】答案：：简单考察古典概型的概率计算，容易题。

8.在的二项展开式中，常数项的值是________（结果用数值表示）【答案】写出二项展开式的通项公式，令x的指数为0，计算即可求出展开式的常数项．【详解】展开式的通项为T r+1＝（﹣1）r C10r x30﹣5r，令30﹣5r＝0得r＝6，所以展开式中的常数项为C106＝210，故答案为：210．本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．9.无穷等比数列各项和的值为2，公比，则首项的取值范围是________【答案】由无穷等比数列{a n}的各项和为2且，解不等式可得a1范围．【详解】由题意可得，且，则a1＝2（1﹣q），由，可得2＜a1＜4故答案为：.本题考查无穷等比数列的各项和, 各项和是指当|q|＜1且q≠0时前n项和的极限,是基础题．10.在的二面角内放置一个半径为6的小球，它与二面角的两个半平面相切于、两点，则这两个点在球面上的距离是________【答案】设球心为O，由二面角的面与球相切的性质可得∠AOB＝60°，又半径为6，由弧长公式可求两切点在球面上的距离．【详解】设球心为O，由球的性质知，OA，OB分别垂直于二面角的两个面，又二面角的平面角为120°，故∠AOB＝60°，∵半径为6的球切两半平面于A，B两点∴两切点在球面上的距离是6×＝2π．故答案为：2π．本题考查球面距离及相关计算，解题的关键是根据二面角与球的位置关系得出过两切点的两个半径的夹角以及球面上两点距离的公式，考查空间想像能力，是中档题．11.设函数，则使成立的取值范围是_____【答案】由式知函数f（x）为偶函数，且在[0，+∞）上单调递增，则不等式可转为|2x|＜|3x﹣2|，解出即得答案．【详解】函数，∵f（﹣x）＝f（x），故函数为偶函数且在[0，+∞）上单调递增．∵f（2x）＜f（3x﹣2），∴|2x|＜|3x﹣2|，∴（2x）2＜（3x﹣2）2，化为：（x﹣2）（5x﹣2）＞0，解得：x＞2，或x＜．∴使得f（2x）＜f（3x﹣2）成立的x的取值范围是．故答案为：．本题考查函数奇偶性与单调性的应用以及不等式的解法，考查推理能力与计算能力．12.已知平面向量、满足条件：，，，，若向，且，则的最小值为_______【答案】由题意可设＝（cosα，0），＝（0，sinα），＝（x，y），且设，由,求出C点的轨迹方程，结合圆的性质可求最值.【详解】由题意可设＝（cosα，0），＝（0，sinα），＝（x，y），设，∵＝（λcosα，μsinα），∴，α∈（0，），∵，则，即,∴C在以D为圆心，以为半径的圆上，α∈（0，），∴mn＝|OD|﹣＝＝，故答案为:．本题主要考查了平面向量的基本定理及向量的坐标表示，平面向量的加法减法的几何意义，平面向量的数乘及几何意义及圆的方程的应用，属于综合题.二. 选择题。

高三数学试卷 第1页 共13页2019-2020学年上海市松江区高三年级二模考试数学试卷（满分150分，完卷时间120分钟） 2020.5考生注意：1．本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分。

2．答题前，务必在答题纸上填写座位号和姓名。

3．答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位。

一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．1.若集合{}2{2,4,6,8},40A B x x x ==-≤，则AB = .【答案】{2,4}【解析】集合中的不等式，即(4)0x x -≤，解得04x ≤≤，中落在04x ≤≤这个区间的元素是2，4.2.已知复数122,23z a i z i =+=+（i 是虚数单位），若12z z ⋅是纯虚数，则实数a = .【答案】3【解析】=(2)(23i)26(43)a i a i a ++=-++，因为是纯虚数，所以26a -=0，430a +≠，解得3a =.3.已知动点P 到定点(1,0)的距离等于它到定直线:1l x =-的距离，则点P 的轨迹方程为 . 【答案】24y x =【解析】动点到定点的距离等于它到定直线的距离，因为定点不在定直线上，所以的轨迹是抛物线，为焦点，为准线。

因为22y px =的焦点是(,0)2p，即，所以2p =，进而抛物线方程为24y x =. 4.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若15374,12a a a a +=+=，则7S = . 【答案】282{|40}=-≤B x x x {2,4,6,8}=A 12z z ⋅12z z ⋅P (1,0):1l x =-P (1,0):1l x =-(1,0)高三数学试卷 第2页 共13页【解析】两式相加得，153716a a a a +++=，利用下标公式，5317a a a a +=+，所以178a a +=，1777()282a a S +==. 5.若8()x a +的展开式5x 中项的系数为56，则实数a = . 【答案】1【解析】二项式的通项为88kkk C xa -，当3k =时，得项的系数为338C a ，即356a ，由已知条件，35656a =，所以1a =.6.已知数列{}n a 的首项11a =，且满足()1012n na a n N *+=∈，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则lim n n S →∞= .【答案】2 【解析】1012n n a a +=，∴12n n a a +=，∴112n n a a +=,即数列{}n a 是以1为首项，公比为12的等比数列.∴1lim =21n n a S q →∞=-. 7．用半径为2米的半圆形铁片围成一个圆锥形的容器,则这个容器的容积是 立方米．【答案】3【解析】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，高为h ，圆锥的容积为V ，由题可知2l =，222lr ππ=，∴1r =.又h =∴h =∴213V r h π==. 8.若函数()2()log 21xf x kx =++是偶函数，则k = . 【答案】12-【解析】由题可知()()f x f x =-，∴()()22log 21log 21xxkx kx -++=+-化简得2x kx =-，∴12k =-.9.已知等边ABC ∆的边长为P 其外接圆上的一个动点，则PA PB ⋅的取值范围是 . 【答案】[]2,6-5x高三数学试卷 第3页 共13页【解析】由正弦定理可得外接圆半径2r =，令外接圆圆心()0,0O，则()1A -，)1B-设()2cos ,2sin ,P R θθθ∈，则()2cos 1PA θθ=++，()2cos 1PB θθ=+∴[]224cos 34sin 4sin 124sin 2,6PA PB θθθθ⋅=-+++=+∈-.10.已知函数()cos 26f x x π=-⎛⎫ ⎪⎝⎭，若对于任意的1,44x ππ∈-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，总存在2[,]x m n ∈，使得()()120f x f x +=，则||m n -的最小值为 . 【答案】3π【解析】当1[,]44ππ∈-x 时，122,633x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，()111,2f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，又因为()()21f x f x =-，所以()21,12f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，为了-m n 最小，只需要()f x 在[],m n 上单调，可取()()1,12f m f n =-=，解得min 3m n π-= 11.已知集合(){}12,,,|1,1,2,,n i A x x x x i n n ==±=，元素1(1,1,,1)n 成为集合n A的特征元素，对于n A 中的元素()12,,,n a a a a =与()12,,,n b b b b =，定义：.1122()n n n f a b a b a b a b ⊗=⨯+⨯++⨯.当9n =时，若a 是集合9A 中的非特征元素，则()9911f a ⊗=的概率为 .【答案】1873【解析】根据题意得()9912911f a a a a ⊗=+++=，相当于有5个为1，4个为-1，所以概率为：499182173C =- 12.已知函数20()log ()a x x f x xx x +>=-<⎧⎪⎨⎪⎩（a R ∈且a 为常数）和()g x k =（k R ∈且k 为常数），有以下命题：高三数学试卷 第4页 共13页①当0k <时，函数()()()F x f x g x =- 没有零点；②当0x <时，2()()()h x f x b f x c =+⋅+恰有3个不用的零点123,,x x x ，则1231x x x ⋅⋅=-； ③对任意的0k >，总存在实数a ，使得()()()F x f x g x =-有4个不同的零点1234x x x x <<<，且1243,,,x x x x 成等比数列其中的真命题是 .（写出所有真命题的序号） 【答案】②【解析】对于①，当0a <时，()()0af x x x x=+>为双刀函数，值域为()0,+∞，()()F x f x k =-恒定有零点，故①错误对于②由函数图像可得，当函数满足3个零点时，则必定有()101f x x =⇒=-，而另外两个解：()223log 2,2k k x k x x --=⇒=-=，所以1231x x x =- 对于③，任取1k =，可求出1212,2x x =-=-根据等比数列的性质可求出4311,832x x ==又因为34,x x 是方程1ax x+=的两个根，化简得20x x a --=，根据韦达定理得341x x +=，与上述所求34,x x 的值矛盾，故③错误二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 13.若O 为坐标原点，P 是直线20x y -+=上的动点，则OP 的最小值为（ ）()((()22A B C D【答案】B【解析】OP 的最小值为原点O 到直线20x y -+=的距离，即：min d ==14.若||1x a -≤成立的一个充分不必要条件是12x ≤≤，则实数a 的取值范围是（ ）()12()1()2()12A a B a C a D a a ≤≤≥≤≥≤或高三数学试卷 第5页 共13页【答案】A【解析】由1x a -≤得：11a x a -≤≤+，由已知条件可得：1112a a -≤⎧⎨+≥⎩，解得12a ≤≤15.在正方体1111ABCD A B C D - 中，,P Q 两点分别从点B 和点1A 出发，以相同的速度在棱BA 和11A D 上运动至点A 和点1D ，在运动过程中，直线PQ 与平面ABCD 所成角θ的变化范围为（ ）22(),()arctan,arctan 2(),arctan 2()arctan,432422A B C D ππππ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎣⎦【答案】C【解析】设[]0,1BP t =∈，由已知得：1AQ BP t ==，由线面角的定义找到θ，易得： ()222tan 1,22211t t t t θ⎡⎤==∈⎣⎦-++-，所以,arctan 24πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 16.已知实数[]12100,,1,1x x x ∈-，且12100x x x π++⋯+=，则当22212100x x x ++⋯+取得最大值时，12100,,,x x x 这100个数中，值为1的个数为（ ）()()()()50515253A B C D 个个个个【答案】B【解析】要满足题意，(1,2,,100)i x i =应尽可能多的取1±，由于π更接近3，(1,2,,100)i x i =取1的个数比-1的个数多3个，余下的那个数取3π-，设此时有x 个1，3x -个-1，则(3)1100x x +-+=，得51x =，此时22221210099(3)99.02x x x π+++=+-≈，选B三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．高三数学试卷 第6页 共13页17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第l 小题6分，第2小题8分.如图，已知四棱锥P ABCD - 的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD ，2AP AB AD ===，E 是侧棱的中点（1）求异面直线AE 与PD 所成的角； （2）求点B 到平面ECD 的距离【答案】（1）60︒；（2）25【解析】（1）连AC 、BD ，两直线交于点O ，连接EO ， 因为E 、O 分别是PB 、DB 的中点，所以EO PD ，所以∠AEO 就是异面直线AE 与PD 所成的角 …………3分 因为ABCD 为正方形，且2AP AB AD ===， 所以122====AE AO EO PD …………4分 所以60∠=︒AEO …………6分（2）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系， ∵2AP AB AD ===，点E 是棱PB 的中点， ∴(2,0,0)B ，(0,0,2)P ，(1,0,1)E ，(0,2,0)D ，(2,2,0)C ，(0,2,0)=BC ，(2,0,0)=DC ，(1,2,1)DE =-，…………8分设平面ECD 的法向量(,,)=n x y z ， 则由00⎧⋅=⎨⋅=⎩n DC n DE 得{2020x x y z =-+=取2z =，得(0,1,2)n =，…………11分 ∴点B 到平面ECD 的距离：2555BC n d n⋅===…………14分18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第l 小题6分，第2小题8分.PAEBCD高三数学试卷 第7页 共13页已知函数2()2cos cos f x x x x =+ （1）求()f x 的最大值和最小正周期T（2）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，已知32A f =⎛⎫⎪⎝⎭，且1a =，求ABC ∆面积的最大值. 【答案】（1）π；（2）4【解析】（1）2()2cos cos 1cos 2212sin(2)6π=+=+=++f x x x x x x x (4)分∴max ()3=f x ， ………………………………5分22ππ==T ………………………………6分 （2）由()32=A f 得 sin()16A π+=因为(0,)A π∈ ，所以62A ππ+=，得3A π=， ………………8分因为1=a ，由余弦定理，得 2212cos3b c bc π=+-，………………10分由2212b c bc bc bc bc =+-≥-= 得 1bc ≤，当且仅当b c =时取得等号………12分 ∴∆ABC面积11sin 2224ABC S bc A bc ∆==⋅≤， ∴∆ABC………………14分19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第l 小题6分，第2小题8分.新冠肺炎疫情造成医用防护服紧缺，来地政府决定为防护服生产企业A 公司扩大生产提供([0,10])x x ∈（万元）的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服。

金山区2019届高三上学期期末质量监控数学试卷2018.12一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. 已知集合{1,3,5,6,7}A =，{2,4,5,6,8}B =，则AB = 2. 抛物线24y x =的准线方程是3. 计算：21lim 32n n n →∞-=+ 4. 不等式|32|1x -<的解集为5. 若复数(34i)(1i)z =+-（i 为虚数单位），则||z =6. 已知函数2()1log f x x =+，则1(5)f -=7. 从1、2、3、4这四个数中一次随机地抽取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概 率是 （结果用数值表示）8. 在31021()x x -的二项展开式中，常数项的值是 （结果用数值表示） 9. 无穷等比数列{}n a 各项和S 的值为2，公比0q <，则首项1a 的取值范围是10. 在120︒的二面角内放置一个半径为6的小球，它与二面角的两个半平面相切于A 、B 两 点，则这两个点在球面上的距离是11. 设函数21()lg(1||)1f x x x =+-+，则使(2)(32)f x f x <-成立的x 取值范围是 12. 已知平面向量a 、b 满足条件：0a b ⋅=，||cos a α=，||sin b α=，(0,)2πα∈，若向量c a b λμ=+(,)λμ∈R ，且22221(21)cos (21)sin 9λαμα-+-=，则||c 的最小值为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 已知方程22212x y m m +=+表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（ ） A. 2m >或1m <- B. 2m >-C. 12m -<<D. 2m >或21m -<<-14. 给定空间中的直线l 及平面α，条件“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件15. 欧拉公式i e cos isin x x x =+（i 为虚数单位，x ∈R ，e 为自然底数）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，2018i e 表示的复数在复平面中位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限16. 已知函数52|log (1)|1()(2)21x x f x x x -<⎧⎪=⎨--+≥⎪⎩，则方程1(2)f x a x +-=（a ∈R ）的实数根个 数不可能为（ ）A. 5个B. 6个C. 7个D. 8个三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，M 是 BC 的中点，若底面ABC 是边长为 2的正三角形，且PB 与底面ABC 所成的角为3π. 求： （1）三棱锥P ABC -的体积；（2）异面直线PM 与AC 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）18. 已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点(P -.（1）求行列式sin 1tan cos ααα的值； （2）若函数()cos()cos sin()sin f x x x αααα=+++()x ∈R ，求函数2(2)2()2y x f x π=-+的最大值，并指出取得最大值时x 的值.19. 设函数()21x f x =-的反函数为1()f x -，4()log (31)g x x =+.（1）若1()()f x g x -≤，求x 的取值范围D ；（2）在（1）的条件下，设11()()()2H x g x f x -=-，当x D ∈时，函数()H x 的图像与直线 y a =有公共点，求实数a 的取值范围.20. 已知椭圆C 以坐标原点为中心，焦点在y 轴上，焦距为2，且经过点(1,0).（1）求椭圆C 的方程；（2）设点(,0)A a ，点P 为曲线C 上任一点，求点A 到点P 距离的最大值()d a ；（3）在（2）的条件下，当01a <<时，设QOA 的面积为1S （O 是坐标原点，Q 是曲线C 上横坐标为a 的点），以()d a 为边长的正方形的面积为2S ，若正数m 满足12S mS ≤，问m 是否存在最小值，若存在，请求出此最小值，若不存在，请说明理由.21. 在等差数列{}n a 中，13515a a a ++=，611a =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意m ∈*N ，将数列{}n a 中落入区间121(2,2)m m ++内的项的个数记为{}m b ，记数列 {}m b 的前m 项和为m S ，求使得2018m S >的最小整数m ；（3）若n ∈*N ，使不等式1111(21)n n n n a n a a a λ+++≤+≤+成立，求实数λ的取值范围.参考答案一. 填空题1. {5,6}2. 1x =-3. 234. 1(,1)35. 6. 16 7. 138. 210 9. (2,4) 10. 2π 11. 2(,)(2,)5-∞+∞ 12. 13 二. 选择题13. D 14. B 15. A 16. A三. 解答题。

虹口区2019届高三期末教学质量监控数学试卷2018.12一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. 计算：153lim 54n nnnn +→∞-=+ 考点：极限。

答案：5解析：135()535lim lim 4541()5nn nnn n x n+→∞→∞--=++＝5。

2. 不等式21xx >-的解集为 考点：分式不等式，一元二次不等式。

答案： (1,2) 解析：原不等式化为：201x x ->-，即：201x x -+>-，即201x x -<-， 等价于：(1)(2)0x x --<，所以，解集为：(1,2)3. 设全集U =R ，若{2,1,0,1,2}A =--，3{|log (1)}B x y x ==-，则()U A B =ð考点：集合的运算，对数的定义。

答案：{1,2}解析：由对数定义，可得：1－x ＞0，即x ＜1，U B ð＝｛x|x ≥1｝，所以，()U A B =ð{1,2} 4. 设常数a ∈R ，若函数3()log ()f x x a =+的反函数的图像经过点(2,1)，则a = 考点：对数函数的反函数，指数运算。

答案：8解析：函数3()log ()f x x a =+的反函数为3x y a =-，过点（2,1），所以，213a =-， 所以，a =85. 若一个球的表面积为4π，则它的体积为 考点：球的表面积和体积公式。

答案：43π解析：244R ππ=，得R ＝1，所以，V ＝43π。

6. 函数8()f x x x=+，[2,8)x ∈的值域为 考点：函数的值域，函数的导数及其应用。

答案：[42,9) 解析：28'()1f x x=-＝0，得22x =， 当[2,22]x ∈时，'()f x ＜0，函数()f x 单调递减， 当(22,8)x ∈时，'()f x ＞0，函数()f x 单调递增， 所以，当22x =时，函数()f x 有最小值：42 又f （2）＝6，f （8）＝9，所以，函数在[2,8)x ∈的值域为[42,9)7. 二项式62)x x的展开式的常数项为 考点：二项式定理。

金山区2019届高三上学期期末质量监控数学试卷2018.12一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知集合{1,3,5,6,7}A =，{2,4,5,6,8}B =，则A B =2. 抛物线24y x =的准线方程是3. 计算：21lim32n n n →∞-=+4. 不等式|32|1x -<的解集为5. 若复数(34i)(1i)z =+-（i 为虚数单位），则||z =6. 已知函数2()1log f x x =+，则1(5)f -=7. 从1、2、3、4这四个数中一次随机地抽取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概 率是 （结果用数值表示） 8. 在31021()x x-的二项展开式中，常数项的值是 （结果用数值表示） 9. 无穷等比数列{}n a 各项和S 的值为2，公比0q <，则首项1a 的取值范围是 10. 在120︒的二面角内放置一个半径为6的小球，它与二面角的两个半平面相切于A 、B 两 点，则这两个点在球面上的距离是 11. 设函数21()lg(1||)1f x x x =+-+，则使(2)(32)f x f x <-成立的x 取值范围是 12. 已知平面向量a 、b 满足条件：0a b ⋅=，||cos a α=，||sin b α=，(0,)2πα∈，若向量c a b λμ=+(,)λμ∈R ，且22221(21)cos (21)sin 9λαμα-+-=，则||c 的最小值为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 已知方程22212x y m m +=+表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（ ） A. 2m >或1m <- B. 2m >- C. 12m -<< D. 2m >或21m -<<-14. 给定空间中的直线l 及平面α，条件“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件15. 欧拉公式i e cos isin x x x =+（i 为虚数单位，x ∈R ，e 为自然底数）是由瑞士著名数 学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，2018i e 表示的复数在复平面中位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 16. 已知函数52|log (1)|1()(2)21x x f x x x -<⎧⎪=⎨--+≥⎪⎩，则方程1(2)f x a x +-=（a ∈R ）的实数根个 数不可能为（ ）A. 5个B. 6个C. 7个D. 8个三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，M 是 BC 的中点，若底面ABC 是边长为 2的正三角形，且PB 与底面ABC 所成的角为3π. 求： （1）三棱锥P ABC -的体积； （2）异面直线PM 与AC 所成角的大小. （结果用反三角函数值表示）18. 已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点(3)P -.（1）求行列式sin 1tan cos ααα的值；（2）若函数()cos()cos sin()sin f x x x αααα=+++()x ∈R ，求函数23(2)2()2y x f x π=-+的最大值，并指出取得最大值时x 的值.19. 设函数()21x f x =-的反函数为1()f x -，4()log (31)g x x =+. （1）若1()()f x g x -≤，求x 的取值范围D ； （2）在（1）的条件下，设11()()()2H x g x f x -=-，当x D ∈时，函数()H x 的图像与直线 y a =有公共点，求实数a 的取值范围.20. 已知椭圆C 以坐标原点为中心，焦点在y 轴上，焦距为2，且经过点(1,0). （1）求椭圆C 的方程；（2）设点(,0)A a ，点P 为曲线C 上任一点，求点A 到点P 距离的最大值()d a ；（3）在（2）的条件下，当01a <<时，设QOA 的面积为1S （O 是坐标原点，Q 是曲线C 上横坐标为a 的点），以()d a 为边长的正方形的面积为2S ，若正数m 满足12S mS ≤，问m 是否存在最小值，若存在，请求出此最小值，若不存在，请说明理由.21. 在等差数列{}n a 中，13515a a a ++=，611a =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意m ∈*N ，将数列{}n a 中落入区间121(2,2)m m ++内的项的个数记为{}m b ，记数列{}m b 的前m 项和为m S ，求使得2018m S >的最小整数m ；（3）若n ∈*N ，使不等式1111(21)n n n n a n a a a λ+++≤+≤+成立，求实数λ的取值范围.参考答案一. 填空题1. {5,6}2. 1x =-3.23 4. 1(,1)3 5. 52 6. 16 7.138. 210 9. (2,4) 10. 2π 11. 2(,)(2,)5-∞+∞ 12. 13二. 选择题13. D 14. B 15. A 16. A 三. 解答题。

上海市松江区2018 届高三期末质量监控（一模）数学试卷一 .填空题（本大题共12 题， 1-6 每题 4 分， 7-12 每题 5 分，共 54 分）1. 设会集，，则________【答案】【分析】【分析】化简会集 B，依照交集的定义写出A∩ B．【详解】会集A={ x| x＞1}，B={ x| x（ x﹣3）＜0}={ x|0＜x＜3}，∴则 A∩B={ x|1＜x＜3}．故答案为．【点睛】本题观察交集的求法，观察交集定义、分式不等式求解等基础知识，观察运算求解能力，是基础题．2. 若复数满足，则________【答案】 1【分析】由于，因此，因此.3. 已知函数的图像与函数的图像关于直线对称，且点在函数的图像上，则实数________【答案】 2【分析】【分析】由题意可知函数y=f （ x）与函数 y=a x（ a＞0且 a≠1）互为反函数，求出y=a x的反函数，再将（ 4， 2）代入可得答案．【详解】∵函数y=f （ x）的图象与函数y=a x（a＞0且 a≠1）的图象关于直线y=x 对称，∴函数 y=f （ x）与函数 y=a x（ a＞0且 a≠1）互为反函数，由y=a x（ a＞0且 a≠1），得 x=log∵点 P （4， 2）在函数 y =f （ x ）的图象上由 f （ 4） =2，得 log a 4=2，解得：a =2．故答案为 2．【点睛】本题观察了反函数的求法，观察了互为反函数的两个函数图象间的关系，是基础题.4. 等差数列 { a n } 的前 10 项和为 30，则 ________【答案】 12 【分析】 【分析】利用等差数列的前n 项和公式即可获取 1+10=6．由等差数列的性质可得a 1+ 10= 4+ 7，进而可a a a a a得答案．【详解】∵等差数列 { a n } 的前 10 项和为 30，∴，解得 a 1+a 10=6．由等差数列的性质可得a 1+a 10=a 4 +a 7，∴ a 1+a 4+a 7+a 10=2（ a 1+a 10）=2×6=12．∴ a 1+a 4+a 7+a 10=12．故答案为 12．【点睛】熟练掌握等差数列的前n 项和公式、等差数列的性质是解题的要点．5. 若增广矩阵为 的线性方程组无解，则实数的值为 ________【答案】 -1 【分析】 【分析】依照增广矩阵是 ，该方程组无解，可得且，进而可求实数 的值．m【详解】∵增广矩阵是 ，该方程组无解，∴且，2且 2m ﹣ m （ m +1）≠ 0， ∴ m ﹣ 1=0- 2 -故答案为：﹣1．【点睛】本题观察增广矩阵中的运算．观察行列式，解答的要点是二元线性方程组的增广矩阵的意义．6. 双曲线的焦点到它的渐近线的距离为_________________ ；【答案】 1【分析】试题分析：由双曲线方程可知，则，即，因此焦点为，渐近线为。

松江区2018学年度第一学期期末质量监控试卷高一数学一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.已知全集 ，集合，则____________={13579}U ，，，，A={579}，，A=U C 2.函数的定义域是。

y =3.函数的反函数是____________2(0)y x x =≥4.不等式的解集为____________11x ≥5.用“二分法”求函数在区间内的零点时，取的中点，则的3()25=--f x x x (2,3)(2,3)1 2.5x =()f x 下一个有零点的区间是____________6.命题“若，则”，能说明该命题为假命题的一组的值依次为________a b >22a b >,a b 7.已知，则____________（用表示）3log 2m =32log 18=m 8.函数的值域为____________19()(19)f x log x =-9.已知函数，若函数过点，那么函数一定经过点____________()()f x x R ∈(+2)f x 12-（，）|()|y f x =10.已知是奇函数，则____________23,0()(),0x x f x g x x ⎧->=⎨<⎩((3))f g -=11.已知,若，，则的取值范围是_________34,1()3,1x x x f x x ->⎧=⎨≤⎩a b <()()f a f b =3a b +12.函数的最大值与最小值之和为________.()f x =二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.若函数的图像位于第一、二象限，则它的反函数的图像位于（ ）()y f x =1()y f x -=A. 第一、二象限 B. 第三、四象限 C. 第二、三象限D. 第一、四象限14.下列函数中，在上既是奇函数又是减函数的是（）RA. B. C. D.1y x =1ln 1x y x -=+||y x x =-3x y -=15.已知，原命题是“若，则中至少有一个不小于0”，那么原命题与其逆命题依m n R ∈、0m n +>m n 、次是（ ）A. 真命题、假命题B. 假命题、真命题C. 真命题、真命题D. 假命题、假命题16.已知，则“”是“0,0a b >>1120182019420182019a b a b +++=”的（ ）11(20182019)()420182019a b a b ++=A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.已知函数，，，.()|1|f x x =-x ∈R A={| ()1>0}x f x -3B={| <0}+2x x x -（1）求集合A B（2）若，比较与的大小0a ≠2[(21)]f a +2[(1)]f a -18.已知，函数：1a >11()x xf x a a +-=-（1）判断函数的奇偶性，并证明；()f x （2）判断函数的单调性，并证明.()f x 19.把一段底面直径为40厘米的圆柱形木料据成横截面为矩形的木料，该矩形的一条边长是厘米，另一x 条边长是厘米.y （1）试用解析式将表示成的函数，并写出函数的定义域；y x （2）若该圆柱形木料长为100厘米，则怎样据才能使矩形木料的体积最大？并求出体积的最大值.20.已知函数.()1f x a x x =++x ∈R （1）若在上是增函数，求实数的取值范围；()f x R a （2）当时，作出函数的图像，并解不等式：；1a =()f x 2(1)(1)f x f x ->+（3）若函数与的图像关于对称，且任意，都有()g x ()f x (0,0)12x x R ∈、，求实数的取值范围.1122[()()][()()]0f x g x f x g x -->a 21.已知函数. 为实数，且，记由所有组成的数集为.2()2x a f x x +=+a *1()(2,)n n n x f x x n N +=≠-∈n x E （1）已知，求；131,3x x ==2x （2）对任意的，恒成立，求的取值范围；1[,1]6x ∈1()f x x <a （3）若，，判断数集中是否存在最大的项？若存在，求出最大项；若不存在，请说明理由.11x =1a >E。