第22章二次函数复习课件
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第22章二次函数总复习页数:8
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第22章二次函数总复习页数:8
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第22章二次函数单元测试卷(含答案)页数:4
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人教版初中数学第二十二章二次函数知识点汇总页数:15
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【学案】第22章 二次函数复习页数:4
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二十二-二次函数复习课PPT课件
一般式： 解： 设所求的二次函数为 y=a(x＋1)(x－1）
y=ax2+bx+c
由条件得：
y
两根式： y=a(x-x1)(x-x2)
点M( 0,1 )在抛物线上
所以：a(0+1)(0-1)=1
x o
顶点式： y=a(x-h)2+k
得： a=-1 故所求的抛物线解析式为 y=- (x＋1)(x-1)
.
23
4.求抛物线解析式的三种方法
例题精讲
例1.已知一个二次函数的图象过点（－1,10）、
（1,4）、（2,7）三点，求这个函数的解析式？
一般式： 解： 设所求的二次函数为 y=ax2+bx+c
y=ax2+bx+c
两根式： y=a(x-x1)(x-x2)
由条件得： a-b+c=10 a+b+c=4 4a+2b+c=7
有两个相等的
解
x1=x2=
b 2a
没有实数根
O
x
19
基础练习:
1.不与x轴相交的抛物线是(D )
A y=2x2 – 3
B y= - 2 x2 + 3
C y= - x2 – 3x D y=-2(x+1)2 - 3
2.若抛物线y=ax2+bx+c,当 a>0,c<0时,图象与x
轴交点情况是( C )
（1）抛物线经过（2，0）（0，-2）（-1，0）三
点。
yx2 x2
（2）抛物线的顶点坐标是（6，-2），且与X轴
的一个交点的横坐标是8。
y1(x6 )221x26x 1 6
人教版数学九年级上册第二十二章《二次函数》课件(共22张)
解：因为第1档次的产品一天能生产 95 件，每件利润 6 元，每 提高一个档次，每件利润增加 2 元，但一天产量减少 5 件， 所以第 x 档次，提高了(x−1)档，利润增加了 2(x−1)元． 所以 y＝[6＋2(x−1)][95−5(x−1)]， 即 y＝−10x2＋180x＋400(其中 x 是正整数，且1≤x≤10)．
2.一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积 S 与底面半径 r 之间的关系式．
解：由圆柱的表面积=2×圆柱的底面积+圆柱的侧面积， 得 S=2πr2+2πr•r=4πr2．
3.如图，矩形绿地的长、宽各增加 x m，写出扩充后的绿地的面 积 y 与 x 的关系式．
解：由图可得，扩充后的绿地的面积y(m2)与 x(m) 之间的函数关系式是y=(30+x)(20+x)=x2+50x+600， 即 y=x2+50x+600.
这个函数与我们学过的函数不同，其中自变量x的最高次数是2． 这类函数具有哪些性质呢？这就是本章要学习的二次函数．
合作探究
n 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数 m 与球队数 n 有什么关系？
分析：每个球队要与其他 (n-1) 个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙
队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数为
形如 y=ax²+bx+c (a，b，c是常数，a≠ 0)的函数叫做二次函数．其中 x 是自变量，a，b，c 分别是二次项系数、一次项系数和常数项．
（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式； （2）a，b，c为常数，且a≠ 0； （3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但 不能没有二次项．
2.一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积 S 与底面半径 r 之间的关系式．
解：由圆柱的表面积=2×圆柱的底面积+圆柱的侧面积， 得 S=2πr2+2πr•r=4πr2．
3.如图，矩形绿地的长、宽各增加 x m，写出扩充后的绿地的面 积 y 与 x 的关系式．
解：由图可得，扩充后的绿地的面积y(m2)与 x(m) 之间的函数关系式是y=(30+x)(20+x)=x2+50x+600， 即 y=x2+50x+600.
这个函数与我们学过的函数不同，其中自变量x的最高次数是2． 这类函数具有哪些性质呢？这就是本章要学习的二次函数．
合作探究
n 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数 m 与球队数 n 有什么关系？
分析：每个球队要与其他 (n-1) 个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙
队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数为
形如 y=ax²+bx+c (a，b，c是常数，a≠ 0)的函数叫做二次函数．其中 x 是自变量，a，b，c 分别是二次项系数、一次项系数和常数项．
（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式； （2）a，b，c为常数，且a≠ 0； （3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但 不能没有二次项．
第22章二次函数复习课件(共267张PPT)
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人教版九年级上册第22章二次函数复习 课件(共19张PPT)
y<0
10. 当a>0, △<0时，抛物线y=ax2+bx+c与x 轴 无交点，即全部图象在x 轴的上方，一元二 次方程ax2+bx+c=0无实数根，无论x 取何值， 都有y>0; 无论 x 取何值，都不可能有y≤0。
y>0
11.当a<0, △<0时，抛物线y=ax2+bx+c与x 轴无交点，即全部图象在x 轴的下方，一 元二次方程ax2+bx+c=0无实数根，无论x 取何值，都有y<0 .
【例】已知某二次函数二的次图函象数过的(一1，1般0)式，。(1，4) ， (2，7) 三点，求这个函数的解析式。
解：设所求函数解析式为 y ax2 bx c
由已知函数图象过(1，10)，(1，4)，(2，7) 三点得
a b c 10 a b c 4 4a 2b c 7 解这个方程组得a 2，b 3，c 5
∴所求得的函数解析式为 y 2x2 3x 5。
巩固练习1
已知某二次函数图象上有(1，3) ，(1，3) ，(2，6)三
个点，求它的函数解析式。
解：设函数解析式为 y ax2 bx c 由已知，函数图象上有 (1，3) ，(1，3) ，(2，6) 三个点，
得
a b c 3 a b c 3 4a 2b c 6
3. 当 a > 0 时，在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而减小，
在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而增大；当 a < 0 时，
在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而增大，在对称轴的
右侧，y 随 x 的增大而减小。
4. y=a（x-h)2+k 的顶点坐标是（h, k) , 对称轴是直线 x㎝
10. 当a>0, △<0时，抛物线y=ax2+bx+c与x 轴 无交点，即全部图象在x 轴的上方，一元二 次方程ax2+bx+c=0无实数根，无论x 取何值， 都有y>0; 无论 x 取何值，都不可能有y≤0。
y>0
11.当a<0, △<0时，抛物线y=ax2+bx+c与x 轴无交点，即全部图象在x 轴的下方，一 元二次方程ax2+bx+c=0无实数根，无论x 取何值，都有y<0 .
【例】已知某二次函数二的次图函象数过的(一1，1般0)式，。(1，4) ， (2，7) 三点，求这个函数的解析式。
解：设所求函数解析式为 y ax2 bx c
由已知函数图象过(1，10)，(1，4)，(2，7) 三点得
a b c 10 a b c 4 4a 2b c 7 解这个方程组得a 2，b 3，c 5
∴所求得的函数解析式为 y 2x2 3x 5。
巩固练习1
已知某二次函数图象上有(1，3) ，(1，3) ，(2，6)三
个点，求它的函数解析式。
解：设函数解析式为 y ax2 bx c 由已知，函数图象上有 (1，3) ，(1，3) ，(2，6) 三个点，
得
a b c 3 a b c 3 4a 2b c 6
3. 当 a > 0 时，在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而减小，
在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而增大；当 a < 0 时，
在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而增大，在对称轴的
右侧，y 随 x 的增大而减小。
4. y=a（x-h)2+k 的顶点坐标是（h, k) , 对称轴是直线 x㎝
人教版数学九年级上册第22章二次函数章节复习课件(共36张)
温馨提示： （1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式； （2）a,b,c为常数，且a≠ 0; （3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二 次项.
2.
y＝ax2
二
图象
次
a>0 y
O x
a<0 yx
O
函 位置开
数
口方向 开口向上,在x轴上方
开口向下,在x轴下方
的 对称性
7.二次函数的应用
1．二次函数的应用包括以下两个方面 (1)用二次函数表示实际问题变量之间的关系，解决最大化问题(即最值问
题)； (2)利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解．
2．一般步骤：(1)找出问题中的变量和常量以及它们之间 的函数关系；(2) 列出函数关系式，并确定自变量的取值范围；(3)利用二次函数的图象及性质 解决实际问题；(4)检验结果的合理性，是否符合实际意义．
∵x1<x2<1，∴y1<y2 . 故选B.
下列函数中，当x＞0时，y值随x值增大而减小的是（ D ）
A. y= x2
B.y=x-1 C. y 3 x
4
D.y=-3x2
3 二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像与系数a，b，c的关系
【例3】已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图所示，下列结论：①abc＞
关于y轴对称，对称轴是直线x＝0
图
顶点坐标是原点（0，0）
象 顶点最值
与
当x=0时，y最小值=0
当x=0时，y最大值=0
性 增减性 质
在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减
2.二次函数的图象与性质
y=ax2+k 开口方向 对称轴 顶点坐标
2.
y＝ax2
二
图象
次
a>0 y
O x
a<0 yx
O
函 位置开
数
口方向 开口向上,在x轴上方
开口向下,在x轴下方
的 对称性
7.二次函数的应用
1．二次函数的应用包括以下两个方面 (1)用二次函数表示实际问题变量之间的关系，解决最大化问题(即最值问
题)； (2)利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解．
2．一般步骤：(1)找出问题中的变量和常量以及它们之间 的函数关系；(2) 列出函数关系式，并确定自变量的取值范围；(3)利用二次函数的图象及性质 解决实际问题；(4)检验结果的合理性，是否符合实际意义．
∵x1<x2<1，∴y1<y2 . 故选B.
下列函数中，当x＞0时，y值随x值增大而减小的是（ D ）
A. y= x2
B.y=x-1 C. y 3 x
4
D.y=-3x2
3 二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像与系数a，b，c的关系
【例3】已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图所示，下列结论：①abc＞
关于y轴对称，对称轴是直线x＝0
图
顶点坐标是原点（0，0）
象 顶点最值
与
当x=0时，y最小值=0
当x=0时，y最大值=0
性 增减性 质
在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减
2.二次函数的图象与性质
y=ax2+k 开口方向 对称轴 顶点坐标
人教版九年级上册数学 第22章 二次函数 复习课件(共23张ppt)(共23张PPT)
数学·新课标（RJ）
图象与x轴只有一个交点⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 有 两个相等的实数根 ；
图象与x轴没有交点⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 没有实 数根 .
[注意] 当二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴有交点 时，其交点横坐标就是方程ax2＋bx＋c＝0的根．
数学·新课标（RJ）
数学·新课标（RJ）
ห้องสมุดไป่ตู้ ┃知识归纳┃
二次函数与一元二次方程的关系 对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当y＝0时，就变成了一 元二次方程ax2＋bx＋c＝0. 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点有三种情 况： 图象与x轴有两个交点⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个 不相等的实数根；
┃考点攻略┃
► 考点一 二次函数与一元二次方程 例1 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图26－9所示，
根据图象解答下列问题： (1)方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是__x_1_＝__－__1_，__x_2_＝__3___． (2)不等式ax2＋bx＋c>0的解集是___－__1_<_x_<_3__________． (3) 若 方 程 ax2 ＋ bx ＋ c ＝ k 没 有 实 数 根 ， 则 k 的 取 值 范 围 是
数学·新课标（RJ）
► 考点三 与二次函数有关的面积问题 例3 如图26－10所示，梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC
＝ 90° ， ∠ A ＝ 45° ， AB ＝ 30 ， BC ＝ x ， 其 中 15 ＜ x ＜ 30. 作 DE⊥AB于点E，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在F处，DF交 BC于点G.
(1)求一次函数的表达式；
图象与x轴只有一个交点⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 有 两个相等的实数根 ；
图象与x轴没有交点⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 没有实 数根 .
[注意] 当二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴有交点 时，其交点横坐标就是方程ax2＋bx＋c＝0的根．
数学·新课标（RJ）
数学·新课标（RJ）
ห้องสมุดไป่ตู้ ┃知识归纳┃
二次函数与一元二次方程的关系 对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当y＝0时，就变成了一 元二次方程ax2＋bx＋c＝0. 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点有三种情 况： 图象与x轴有两个交点⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个 不相等的实数根；
┃考点攻略┃
► 考点一 二次函数与一元二次方程 例1 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图26－9所示，
根据图象解答下列问题： (1)方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是__x_1_＝__－__1_，__x_2_＝__3___． (2)不等式ax2＋bx＋c>0的解集是___－__1_<_x_<_3__________． (3) 若 方 程 ax2 ＋ bx ＋ c ＝ k 没 有 实 数 根 ， 则 k 的 取 值 范 围 是
数学·新课标（RJ）
► 考点三 与二次函数有关的面积问题 例3 如图26－10所示，梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC
＝ 90° ， ∠ A ＝ 45° ， AB ＝ 30 ， BC ＝ x ， 其 中 15 ＜ x ＜ 30. 作 DE⊥AB于点E，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在F处，DF交 BC于点G.
(1)求一次函数的表达式；
人教版九年级上册数学课件：第二十二章 二次函数复习(15张PPT)
1.二次函数 y ax2 bx c 的图像是抛物线
对称轴为 x 顶点坐标为
b，
2a
(
b 2a
,
4ac 4a
b2．)
4ac b2
当 a>0 时，抛物线开口 向上；函数有最小值 当 a<0 时，抛物线开口 向下； 函数有最大值
4a 4ac b2
当 a>0 时，对称轴左侧y随x的增大而减小；对称轴4右a
3.已知二次函数的图象与x轴交于(-1,0)和(6,0),并且 经过点(2,12).
二次函数与一元二次方程的关系
当 b2－4ac>0 时，方程有两个不相等的实数根， 抛物线与 x轴的两个交点的横坐标是此方程的两个实
数根；
当 b2－4ac＝0 时，方程有两个相等的实数根， 抛物线与 x轴只有一个交点，此交点的横坐标是方程
的；
当 b2－4ac<0 时，方程没有实数根，抛物线与 x
轴没有交点．
练习：
已知二次函数y=kx²-7x-7的图象和x轴有交点 则k的取值范围是（ B ）
7
A、k＞－ 4
7
C、k ≥ － 4
7
B、k ≥ － 4 且k ≠ 0
7
D、k＞－ 4 且k ≠ 0
相信自己
如图，抛物线y=-x2+mx+n与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C， 抛物线的对称轴交x轴于点D。已知A(-1,0),C(0,3) (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在P点，使⊿PCD 是以CD为腰的等腰三角形，如果存在，直接写 出点P的坐标，如果不存在，请说明理由； (3)点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的 垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位 置时，四边形CDBF的面积最大？求四边形CDBF 的最大面积及此时点E的坐标。
对称轴为 x 顶点坐标为
b，
2a
(
b 2a
,
4ac 4a
b2．)
4ac b2
当 a>0 时，抛物线开口 向上；函数有最小值 当 a<0 时，抛物线开口 向下； 函数有最大值
4a 4ac b2
当 a>0 时，对称轴左侧y随x的增大而减小；对称轴4右a
3.已知二次函数的图象与x轴交于(-1,0)和(6,0),并且 经过点(2,12).
二次函数与一元二次方程的关系
当 b2－4ac>0 时，方程有两个不相等的实数根， 抛物线与 x轴的两个交点的横坐标是此方程的两个实
数根；
当 b2－4ac＝0 时，方程有两个相等的实数根， 抛物线与 x轴只有一个交点，此交点的横坐标是方程
的；
当 b2－4ac<0 时，方程没有实数根，抛物线与 x
轴没有交点．
练习：
已知二次函数y=kx²-7x-7的图象和x轴有交点 则k的取值范围是（ B ）
7
A、k＞－ 4
7
C、k ≥ － 4
7
B、k ≥ － 4 且k ≠ 0
7
D、k＞－ 4 且k ≠ 0
相信自己
如图，抛物线y=-x2+mx+n与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C， 抛物线的对称轴交x轴于点D。已知A(-1,0),C(0,3) (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在P点，使⊿PCD 是以CD为腰的等腰三角形，如果存在，直接写 出点P的坐标，如果不存在，请说明理由； (3)点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的 垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位 置时，四边形CDBF的面积最大？求四边形CDBF 的最大面积及此时点E的坐标。
第22章《二次函数》复习课PPT课件(人教版)
形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由
三、课堂练习
N M
N
重视知识归纳； 重视基本概念； 重视典型题型； 重视每日小练； 重视错题整理； 避免盲目大意。
九年级数学
第22章 《二次函数》 复习（2）
定形图 性 义式象 质
坦洲实验中学初三数学
一、知识回顾
归纳知识：
（1）开a口的向符上号：由抛物a线>0的开口y 方向确定
开口向下
（2）c的符号：
a<0
o
x
由抛物线与y轴的交点位置确定.
交点在y轴正半轴
c>0
y
交点在y轴负半轴
c<0
交点是坐标原点
c=0
ox
∴ OE=DE=1.5 即D(1.5,-1.5)
设直线OD为y=kx,代入D点坐标得y= -x
令x2-2x-3 = -x
二、典型例题
证明: b2-4ac=[-(2m-1)]2-4×1×(m2-m-2) =4m2-4m+1-4m2+4m+8 =9
即b2-4ac ＞0 ∴ 抛物线与x轴有两个不同的交点
三、课堂练习
C
一次函数y=ax+b经过的象限与a, b符号关系 A选项，经过一二四象限， a＜0, b＞0 B选项，经过一二三象限，a＞0, b＞0 C选项，经过一三四象限， a＞0, b＜0 D选项，经过一三四象限，a＞0, b＜0
三、课堂练习
·B
A2
6
三、课堂练习
-1·
·5
与x,y轴交点
-5·
二、典型例题
解：令x=0,解得y=m2-m-2 令y=0,得x2-(2m-1) x+m2-m-2=0 [x-(m-2)][x-(m+1)]=0
三、课堂练习
N M
N
重视知识归纳； 重视基本概念； 重视典型题型； 重视每日小练； 重视错题整理； 避免盲目大意。
九年级数学
第22章 《二次函数》 复习（2）
定形图 性 义式象 质
坦洲实验中学初三数学
一、知识回顾
归纳知识：
（1）开a口的向符上号：由抛物a线>0的开口y 方向确定
开口向下
（2）c的符号：
a<0
o
x
由抛物线与y轴的交点位置确定.
交点在y轴正半轴
c>0
y
交点在y轴负半轴
c<0
交点是坐标原点
c=0
ox
∴ OE=DE=1.5 即D(1.5,-1.5)
设直线OD为y=kx,代入D点坐标得y= -x
令x2-2x-3 = -x
二、典型例题
证明: b2-4ac=[-(2m-1)]2-4×1×(m2-m-2) =4m2-4m+1-4m2+4m+8 =9
即b2-4ac ＞0 ∴ 抛物线与x轴有两个不同的交点
三、课堂练习
C
一次函数y=ax+b经过的象限与a, b符号关系 A选项，经过一二四象限， a＜0, b＞0 B选项，经过一二三象限，a＞0, b＞0 C选项，经过一三四象限， a＞0, b＜0 D选项，经过一三四象限，a＞0, b＜0
三、课堂练习
·B
A2
6
三、课堂练习
-1·
·5
与x,y轴交点
-5·
二、典型例题
解：令x=0,解得y=m2-m-2 令y=0,得x2-(2m-1) x+m2-m-2=0 [x-(m-2)][x-(m+1)]=0
人教版数学九年级上册第22章《二次函数》复习课件 (共12张PPT)
变型题： -3 -2 -1 在线段BC下方的 -1 1 2 3 4 5 6 X -2 抛物线上有一动点D, 1、知识要点梳理： C -3 二次函数图像和性质、极值 当△ BCD的面积最大 -4 D 2、方法技巧归纳： 时，求点D的坐标？ 求极值问题，就是构建二次函数问题 -5
●
抛物线 只有一个交点， 求交点D的坐标？ A
聪
谜语 耳朵听着，
眼睛看着， 嘴巴说着， 心里想着。
（答一汉字）
专题复习 教材典型题拓展
（孙悟空七十二变）
例：已知二次函数y1=x2 -2x-3，根据已学的二次函数相关 知识解决下列问题。 y （1）将其转化为顶点式： 6 5 （2）将其转化为交点式： 4 （3）开口方向: 3 （4）对称轴: 2 1 （5）顶点坐标: -3 -2 -1 （6）与X轴的交点坐标 : -1 1 2 3 4 5 6 X -2 （7）与Y轴的交点坐标 ： 1、知识要点梳理： -3 （8）根据已得的关键点， 一般式确定与 Y轴交点坐标，顶点式确定顶 -4 点坐标及对称轴，交点式确定与 X轴交点坐标。 画出其图像近似图: 2、方法技巧归纳： -5
-6 解函数问题，抓关键点坐标 3、解题步骤完善：
· · ···
例：已知二次函数y1=x2 -2x-3，根据已学的二次函数相关 知识解决下列问题。 （ 9 ）关于X轴对称的 y 6 抛物线解析式 ： 5 4 （10）关于Y轴对称的 3 抛物线解析式 ： 2 1 （11）关于原点对称的 -3 -2 -1 -1 1 2 3 4 5 6 X 抛物线解析式 ： -2 （12）向右平移3个单位， 1、知识要点梳理： -3 二次函数图像和性质、轴对称、中心对称 -4 再向上平移6个单 2、方法技巧归纳： -5 解图像变换问题，抓开口方向和顶点坐标 -6 3、解题步骤完善： 位后抛物线解析式：
人教版九年级上册数学第22章二次函数复习课件
17.根据下列表格中二次函数y＝ax2+bx+c的自变量 与函数值的对应值，判断方程ax2+bx+c =0
B （a≠0, a, b, c为常数）的一个解的范围是（ ）
x
6.17 6.18 6.19 6.20
y＝ax2＋bx＋c -0.03 -0.01 0.02 0.04
A．6.17＜ X ＜6.18 C．-0.01＜ X ＜0.02
二次函数
开口方向 对称轴 顶点坐标
y = a（x+h) 2+k a ＞ 0 向上 直线X=-h （-h，k） a ＜ 0 向下
练习巩固2:
（1）抛物线 y = 2 (x –３ ) 2+1 的开口向 上,
对称轴 X=３ , 顶点坐标是（３，1）
（2）若抛物线y = a (x+m) 2+n开口向下，顶
点在第四象限，则a〈 0, m〈 0, n〈 0。
一元二次方程
ax2+bx+c=0的根
有两个相异的实数根 有两个相等的实数根
没有实数根
一元二次方程
ax2+bx+c=0根的判别式 （b2-4ac）
b2-4ac > 0 b2-4ac = 0
b2-4ac < 0
选择
c
(1) 抛物线y=x2-4x+3的对称轴是_____________.
A 直线x=1 B直线x= -1 C 直线x=2 D直线x= -2
y = 1 x 2向上 平移3 个单位得到的；
2
OB
（2）已知（如图）抛物线y = ax 2+k的图象A，
X
则a 〉0，k〈 0；若图象过A (0,-2) 和B (2,0) ，
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2
中考链接(2013上海)
13、如图，在直角坐标平面中，O为坐标原点， 2 二次函数 y x bx c 的图象与y轴的负半轴相 交于点C，点C的坐标为（0，－3），且BO＝ CO. (1)求出B点坐标和这个 二次函数的解析式； (2)求△ABC的面积。 (3)设这个二次函数的 图象的顶点为M，求 AM的长.
（2）一个商品所获利润可以表示为 （50+x-40）元 （3）销售量可以表示为
(500-10x) 个
（4）共获利润可以表示为 (50+x-40)(500-10x)元
中考链接
12、如图，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD组成， 矩形的长BC为8米，宽AB为2米，以BC所在的直线为x 轴，以BC的中垂线为y轴，建立直角坐标系。y轴是抛 物线的对称轴，顶点E到坐标原点的距离为6米。 1 2 （1）求抛物线的解析式；y x 6 4 （2）现有一货车卡高4.2米，宽 2.4米，这辆车能否通过该隧道？
分别 是一次函数？ 二次函数 ？
m2-2
25 1 （ —，- — 2.二次函数y=x2-x-6的图象顶点坐标是 __________ 4） 2 1 x= — 对称轴是_________ 。 2 1 x= — y 2
增减性: 1 当 x 时,y随x的增大而减小
(-2,0) 0
x 最值: (3,0) 1 25 x 当 时,y有最 小值,是 2 4 (1,-6) 函数值y的正负性: 25 (0,-6) 1 （—，- — ） 当 x<-2或x>3 时,y>0 4 2
请说明理由。
（2）现有一货车卡高4.2米，宽2.4米，这辆
车能否通过该隧道？请说明理由。
解：
1 2 把x=1.2代入 y x 6 4 中，解得y=5.64。
∵4.2＜5.64
∴这辆车能通过该隧道
货 车
中考链接
12（2012黑龙江）如图，抛物线 y x bx c 经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）。 （1）求此抛物线的解析式； （2）写出顶点坐标及对称轴； （3）若抛物线上有一点B， 且 SOAB 3 ，求点B的坐标。
y
O
x y
O
b2-4ac=0
与x轴有唯一个 交点 ( b ,0)
2a
x y
O
有两个相等的 解 b x1=x2=
2a
b2-4ac＜0
与x轴没有 交点
没有实数根 x
5、抛物线的平移法则
练习 ⑴二次函数y=2x2的图象向下 平移 3 个单位可得 到y=2x2-3的图象； 二次函数y=2x2的图象向右 平移 3 个单位可得到 y=2(x-3)2的图象。 ⑵二次函数y=2x2的图象先向左 平移1 个单位， 再向 上 平移 2 个单位可得到函数y=2(x+1)2+2的 图象。
函数的图象及性质
抛物线 开口方 向
a＞0向上 a＜0向下
对称轴
顶点 坐标
最 值
增 减 性
y = ax2
y轴 y轴
(0,0) (0,k)
y = ax2 + k
y = a (x – h )2 y = a (x – h )2 + k
a＞0向上 a＜0向下 a＞0向上 a＜0向下 a＞0向上 a＜0向下
直线x=h ( h , 0 ) 直线x=h (h,k)
11.某商场将进价40元一个的某种商品按50元一个售出 时，能卖出500个，已知这种商品每个涨价一元，销量 减少10个，为赚得最大利润，售价定为多少？最大利 润是多少？ 分析：利润=（每件商品所获利润）× （销售件数）
设每个涨价x元， 那么
（1）销售价可以表示为
（50+x）元（x≥ 0，且 为整数）
左加右减，上加下减
引申：y=2(x+3)2-4
y=2(x+1)2+2
练习
1 2 1、二次函数y= 2 x +2x+1写成顶点式为： 1 y= 2 (x+2)2-1 x=-2 ，顶点为______ (-2，-1) __________，对称轴为_____
2、已知二次函数y=0 。 顶点在y轴上，则b=___
求抛物线解析式的三种方法
1、已知抛物线上的三点，通常设解析式为 y=ax2+bx+c(a≠0) ________________ 2、已知抛物线顶点坐标（h, k），通常设 y=a(x-h)2+k(a≠0) 抛物线解析式为_______________ 3、已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) (x2,0),通常设解析式为_____________
4、a，b，c符号的确定
a决定开口方向：a＞０时开口向上， a
(上正、下负） a＜０时开口向下
a、b同时决定对称轴位置：a、b同号时对称轴在y轴左侧 a、b异号时对称轴在y轴右侧 a,b (左同、右异) b＝０时对称轴是y轴
c决定抛物线与y轴的交点：c＞０时抛物线交于y轴的正半轴 c＝０时抛物线过原点 c (上正、下负) c＜０时抛物线交于y轴的负半轴
4.抛物线y=x2向上平移 2 个单位，再向右平移 3 2 y x 6 x 11 个单位可得到抛物线 。
y ( x 3) 2 2
5.已知抛物线y＝－x2－2x＋m.
＝ (1)若抛物线经过坐标系原点，则m______0 ； （填“＞”、“＝”或 “＜”） ＞ (2)若抛物线与y轴交于正半轴，则m______0 ； （填“＞”、“＝”或 “＜”） (3)若抛物线与x轴有一个交点，则m_______. ＝－1 ＞－1 。 (4)若抛物线与x轴有两个交点，则m______
课堂小结：
1、二次函数的概念： 二次函数的概念：函数y= ax2+bx+c (a、b、 c为常数，其中a ≠０ )叫做二次函数。 2、二次函数的图象： 二次函数的图象是一条抛物线。
3、二次函数的性质：
包括抛物线的三要素，最值，增减性。 4、二次函数的实践应用（数形结合） 具体体现在解决一些实际应用题中。
各种形式的二次函数的关系
左 右 平 移
y = a( x – h )2 + k
上 下 平 移
y = ax2 + k
上下平移
y = a(x – h )2
左右平移
y=
ax2
结论: 一般地,抛物线 y = a(x-h)2+k与 y = ax2形状相同,位置不同。
３、二次函数的y= ax2+bx+c的性质： 二次函数 开口 方向 y=ax2+bx+c y=a(x－h)2+k a ＞0 开口向上 a ＜0 开口向下 x=h (h , k) y最小=k y最大=k
6.将函数y= x2+6x+7进行配方正确的结果应为
（ C ）
A.y ( x 3) 2
2
B. y ( x 3) 2
2
C. y ( x 3) 2
2
D.y ( x 3) 2
2
7.抛物线的图像如下，则满足条件a＞0, b＜0, c＜0的是（ D ）
A
BD Cx b 4ac b 2 2a , 4a 4ac b 2 y最小= 4a 2 y最大= 4ac b 4a
对称轴
顶点坐标 最 a＞ 0 值 a＜ 0 增 a＞ 0 减 性 a＜ 0
b 2a
在对称轴左边， x ↗y↘ ；在对称轴右边， x ↗ y ↗ 在对称轴左边， x ↗y ↗ ；在对称轴右边， x ↗ y ↘
8. 如图，在同一坐标系中，函数y=ax+b与 y=ax2+bx(ab≠0)的图象只可能是（ ）
y y y y
o
x
o
x
o
x
o
x
A
B
C
D
9.二次函数y= ax2+bx+c的图象如图所示，求此 函数解析式。
（1）方法一 （一般式） 方法二 （顶点式） 方法三 （交点式） （2）知识拓展
-6 -2 3 2
△决定抛物线与x轴的交点：△＞０时抛物线与x轴有两个交点 △＝０时抛物线与x轴有一个交点 2 △= b -4ac △＜０时抛物线与x轴没有交点
△
判别式： b2-4ac
二次函数 y=ax2+bx+c （a≠0）
图象
一元二次方程 ax2+bx+c=0 （a≠0）的根
有两个不同的 解x=x1，x=x2
与x轴有两个不 b2-4ac＞0 同的交点 （x1 ，0） （x2 ，0）
第二十二章二 次 函 数 复习（一）
1、二次函数的定义
定义： y=ax² ＋ bx ＋ c （ a 、 b 、 c 是 常数， a ≠ 0 ） 定义要点：①a ≠ 0 ②最高次数为2 ③代数式一定是整式 练习：1、y=-x² ，y=2x² -2/x，y=100-5 x² ， y=3 x² -2x³ +5,其中是二次函数的有____ 个。 2 m 2.当m_______时,函数y=(m+1)χ m-2χ+1 是二次函数？
1 2 2 x +bx-5的图象的
根据下列条件，求二次函数的解析式。 (1)、图象经过(0，0)， (1，-2) ， (2，3) 三点； (2)、图象的顶点(2，3)， 且经过点(3，1) ；
(3)、图象经过(0，0)， (12，0) ，且最高点 的纵坐标是3 。
复习题
金典例题 1. 当m取何值时，函数是y= (m+2)x
2 1 当 x 时,y随x的增大而增大 2
当 x=-2或x=3
时,y=0
当 -2<x<3
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13、如图，在直角坐标平面中，O为坐标原点， 2 二次函数 y x bx c 的图象与y轴的负半轴相 交于点C，点C的坐标为（0，－3），且BO＝ CO. (1)求出B点坐标和这个 二次函数的解析式； (2)求△ABC的面积。 (3)设这个二次函数的 图象的顶点为M，求 AM的长.
（2）一个商品所获利润可以表示为 （50+x-40）元 （3）销售量可以表示为
(500-10x) 个
（4）共获利润可以表示为 (50+x-40)(500-10x)元
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12、如图，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD组成， 矩形的长BC为8米，宽AB为2米，以BC所在的直线为x 轴，以BC的中垂线为y轴，建立直角坐标系。y轴是抛 物线的对称轴，顶点E到坐标原点的距离为6米。 1 2 （1）求抛物线的解析式；y x 6 4 （2）现有一货车卡高4.2米，宽 2.4米，这辆车能否通过该隧道？
分别 是一次函数？ 二次函数 ？
m2-2
25 1 （ —，- — 2.二次函数y=x2-x-6的图象顶点坐标是 __________ 4） 2 1 x= — 对称轴是_________ 。 2 1 x= — y 2
增减性: 1 当 x 时,y随x的增大而减小
(-2,0) 0
x 最值: (3,0) 1 25 x 当 时,y有最 小值,是 2 4 (1,-6) 函数值y的正负性: 25 (0,-6) 1 （—，- — ） 当 x<-2或x>3 时,y>0 4 2
请说明理由。
（2）现有一货车卡高4.2米，宽2.4米，这辆
车能否通过该隧道？请说明理由。
解：
1 2 把x=1.2代入 y x 6 4 中，解得y=5.64。
∵4.2＜5.64
∴这辆车能通过该隧道
货 车
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12（2012黑龙江）如图，抛物线 y x bx c 经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）。 （1）求此抛物线的解析式； （2）写出顶点坐标及对称轴； （3）若抛物线上有一点B， 且 SOAB 3 ，求点B的坐标。
y
O
x y
O
b2-4ac=0
与x轴有唯一个 交点 ( b ,0)
2a
x y
O
有两个相等的 解 b x1=x2=
2a
b2-4ac＜0
与x轴没有 交点
没有实数根 x
5、抛物线的平移法则
练习 ⑴二次函数y=2x2的图象向下 平移 3 个单位可得 到y=2x2-3的图象； 二次函数y=2x2的图象向右 平移 3 个单位可得到 y=2(x-3)2的图象。 ⑵二次函数y=2x2的图象先向左 平移1 个单位， 再向 上 平移 2 个单位可得到函数y=2(x+1)2+2的 图象。
函数的图象及性质
抛物线 开口方 向
a＞0向上 a＜0向下
对称轴
顶点 坐标
最 值
增 减 性
y = ax2
y轴 y轴
(0,0) (0,k)
y = ax2 + k
y = a (x – h )2 y = a (x – h )2 + k
a＞0向上 a＜0向下 a＞0向上 a＜0向下 a＞0向上 a＜0向下
直线x=h ( h , 0 ) 直线x=h (h,k)
11.某商场将进价40元一个的某种商品按50元一个售出 时，能卖出500个，已知这种商品每个涨价一元，销量 减少10个，为赚得最大利润，售价定为多少？最大利 润是多少？ 分析：利润=（每件商品所获利润）× （销售件数）
设每个涨价x元， 那么
（1）销售价可以表示为
（50+x）元（x≥ 0，且 为整数）
左加右减，上加下减
引申：y=2(x+3)2-4
y=2(x+1)2+2
练习
1 2 1、二次函数y= 2 x +2x+1写成顶点式为： 1 y= 2 (x+2)2-1 x=-2 ，顶点为______ (-2，-1) __________，对称轴为_____
2、已知二次函数y=0 。 顶点在y轴上，则b=___
求抛物线解析式的三种方法
1、已知抛物线上的三点，通常设解析式为 y=ax2+bx+c(a≠0) ________________ 2、已知抛物线顶点坐标（h, k），通常设 y=a(x-h)2+k(a≠0) 抛物线解析式为_______________ 3、已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) (x2,0),通常设解析式为_____________
4、a，b，c符号的确定
a决定开口方向：a＞０时开口向上， a
(上正、下负） a＜０时开口向下
a、b同时决定对称轴位置：a、b同号时对称轴在y轴左侧 a、b异号时对称轴在y轴右侧 a,b (左同、右异) b＝０时对称轴是y轴
c决定抛物线与y轴的交点：c＞０时抛物线交于y轴的正半轴 c＝０时抛物线过原点 c (上正、下负) c＜０时抛物线交于y轴的负半轴
4.抛物线y=x2向上平移 2 个单位，再向右平移 3 2 y x 6 x 11 个单位可得到抛物线 。
y ( x 3) 2 2
5.已知抛物线y＝－x2－2x＋m.
＝ (1)若抛物线经过坐标系原点，则m______0 ； （填“＞”、“＝”或 “＜”） ＞ (2)若抛物线与y轴交于正半轴，则m______0 ； （填“＞”、“＝”或 “＜”） (3)若抛物线与x轴有一个交点，则m_______. ＝－1 ＞－1 。 (4)若抛物线与x轴有两个交点，则m______
课堂小结：
1、二次函数的概念： 二次函数的概念：函数y= ax2+bx+c (a、b、 c为常数，其中a ≠０ )叫做二次函数。 2、二次函数的图象： 二次函数的图象是一条抛物线。
3、二次函数的性质：
包括抛物线的三要素，最值，增减性。 4、二次函数的实践应用（数形结合） 具体体现在解决一些实际应用题中。
各种形式的二次函数的关系
左 右 平 移
y = a( x – h )2 + k
上 下 平 移
y = ax2 + k
上下平移
y = a(x – h )2
左右平移
y=
ax2
结论: 一般地,抛物线 y = a(x-h)2+k与 y = ax2形状相同,位置不同。
３、二次函数的y= ax2+bx+c的性质： 二次函数 开口 方向 y=ax2+bx+c y=a(x－h)2+k a ＞0 开口向上 a ＜0 开口向下 x=h (h , k) y最小=k y最大=k
6.将函数y= x2+6x+7进行配方正确的结果应为
（ C ）
A.y ( x 3) 2
2
B. y ( x 3) 2
2
C. y ( x 3) 2
2
D.y ( x 3) 2
2
7.抛物线的图像如下，则满足条件a＞0, b＜0, c＜0的是（ D ）
A
BD Cx b 4ac b 2 2a , 4a 4ac b 2 y最小= 4a 2 y最大= 4ac b 4a
对称轴
顶点坐标 最 a＞ 0 值 a＜ 0 增 a＞ 0 减 性 a＜ 0
b 2a
在对称轴左边， x ↗y↘ ；在对称轴右边， x ↗ y ↗ 在对称轴左边， x ↗y ↗ ；在对称轴右边， x ↗ y ↘
8. 如图，在同一坐标系中，函数y=ax+b与 y=ax2+bx(ab≠0)的图象只可能是（ ）
y y y y
o
x
o
x
o
x
o
x
A
B
C
D
9.二次函数y= ax2+bx+c的图象如图所示，求此 函数解析式。
（1）方法一 （一般式） 方法二 （顶点式） 方法三 （交点式） （2）知识拓展
-6 -2 3 2
△决定抛物线与x轴的交点：△＞０时抛物线与x轴有两个交点 △＝０时抛物线与x轴有一个交点 2 △= b -4ac △＜０时抛物线与x轴没有交点
△
判别式： b2-4ac
二次函数 y=ax2+bx+c （a≠0）
图象
一元二次方程 ax2+bx+c=0 （a≠0）的根
有两个不同的 解x=x1，x=x2
与x轴有两个不 b2-4ac＞0 同的交点 （x1 ，0） （x2 ，0）
第二十二章二 次 函 数 复习（一）
1、二次函数的定义
定义： y=ax² ＋ bx ＋ c （ a 、 b 、 c 是 常数， a ≠ 0 ） 定义要点：①a ≠ 0 ②最高次数为2 ③代数式一定是整式 练习：1、y=-x² ，y=2x² -2/x，y=100-5 x² ， y=3 x² -2x³ +5,其中是二次函数的有____ 个。 2 m 2.当m_______时,函数y=(m+1)χ m-2χ+1 是二次函数？
1 2 2 x +bx-5的图象的
根据下列条件，求二次函数的解析式。 (1)、图象经过(0，0)， (1，-2) ， (2，3) 三点； (2)、图象的顶点(2，3)， 且经过点(3，1) ；
(3)、图象经过(0，0)， (12，0) ，且最高点 的纵坐标是3 。
复习题
金典例题 1. 当m取何值时，函数是y= (m+2)x
2 1 当 x 时,y随x的增大而增大 2
当 x=-2或x=3
时,y=0
当 -2<x<3