人教版八年级数学上册第十五章 分式知识点总结和题型归纳

分式知识点总结和题型归纳

第一部分 分式的运算

（一）分式定义及有关题型

题型一：考查分式的定义:

一般地，如果A，B表示两个整数，并且B中含有字母，那么式子BA叫做分式，A为分子，B为分母。

【例1】下列代数式中：yxyxyxyxbabayxx1,,,21,22，是分式的有： .

题型二：考查分式有意义的条件

分式有意义：分母不为0（0B）

分式无意义：分母为0（0B）

【例1】当x有何值时，下列分式有意义

（1）44xx （2）232xx （3）122x （4）3||6xx （5）xx11

题型三：考查分式的值为0的条件

分式值为0：分子为0且分母不为0（00BA）

【例1】当x取何值时，下列分式的值为0.

（1）31xx （2）42||2xx （3）653222xxxx

【例2】当x为何值时，下列分式的值为零：

（1）4|1|5xx （2）562522xxx

题型四：考查分式的值为正、负的条件

分式值为正或大于0：分子分母同号（00BA或00BA）

分式值为负或小于0：分子分母异号（00BA或00BA）

【例1】（1）当x为何值时，分式x84为正；

（2）当x为何值时，分式2)1(35xx为负；

（3）当x为何值时，分式32xx为非负数.

【例2】解下列不等式

（1）012||xx （2）03252xxx

题型五：考查分式的值为1，-1的条件

分式值为1：分子分母值相等（A=B）

分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0）

【例1】若22||xx的值为1，-1，则x的取值分别为

思维拓展练习题：

1、若a>b>0,2a＋2b－6ab=0,则abab

2、一组按规律排列的分式：25811234,,,,bbbbaaaa（ab0），则第n个分式为

3、已知2310xx，求221xx的值。

4、已知222450,xyxy求分式yxxy的值。

（二）分式的基本性质及有关题型

1．分式的基本性质：MBMAMBMABA

2．分式的变号法则：babababa

题型一：化分数系数、小数系数为整数系数

【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.

（1）yxyx41313221 （2）baba04.003.02.0

题型二：分数的系数变号

【例1】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.

（1）yxyx （2）baa （3）ba

题型三：化简求值题

【例1】已知：511yx，求yxyxyxyx2232的值.

【例2】已知：21xx，求221xx的值.

【例3】若0)32(|1|2xyx，求yx241的值.

【例4】已知：311ba，求aabbbaba232的值.

【例5】若0106222bbaa，求baba532的值.

【例6】如果21x，试化简xx2|2|xxxx|||1|1.

思维拓展练习题

1、对于任何非零实数a,b,定义运算“*”如下：a*babab,求2*1+3*2+…+10*9的值

2、已知0,234xyz求代数式2xyzxyz的值

（三）分式的运算

① 分式的乘除法法则：

乘法分式式子表示为：dbcadcba•••

除法分式式子表示为：cc•••bdadbadcba

② 分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子表示为：nnnbaba

③ 分式的加减法则：cbacbca

异分母分式加减法：式子表示为：bdbcaddcba

整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为1的分式，再通分。

题型一：通分

1．系数取各个分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数.

2．取各个公因式的最高次幂作为最简公分母的因式.

3．如果分母是多项式,则应先把每个分母分解因式,然后判断最简公分母.

【例1】将下列各式分别通分.

（1）cbacababc225,3,2； （2）abbbaa22,；

（3）22,21,1222xxxxxxx； （4）aa21,2

题型二：约分

①分式的分子与分母均为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。

②分子分母若为多项式，先对分子分母进行因式分解，再约分。

【例2】约分：

（1）322016xyyx； （2）nmmn22； （3）6222xxxx.

题型三：分式的混合运算

【例3】计算：

（1）42232)()()(abcabccba； （2）22233)()()3(xyxyyxyxa；

（3）mnmnmnmnnm22； （4）112aaa；

（5）874321814121111xxxxxxxx； （6）)5)(3(1)3)(1(1)1)(1(1xxxxxx；

（7）)12()21444(222xxxxxxx

题型四：化简求值题

【例4】先化简后求值

（1）已知：1x，求分子)]121()144[(48122xxxx的值；

（2）已知：432zyx，求22232zyxxzyzxy的值；

（3）已知：0132aa，试求)1)(1(22aaaa的值.

题型五：求待定字母的值

【例5】若111312xNxMxx，试求NM,的值.

思维拓展练习题：

1、某工厂通过改造设备，平均每天节约用煤15，那么相同数量的煤，现在使用的天数是原来的几倍？

2、若非零实数a,b满足22104aabb，则ba

3、若27xy，求222232257xxyyxxyy的值

4、已知abc=1,求111abcababcbacc的值

5、已知a,b,c为实数，且111',345abbccaabbcca，求abcabbcca的值

第二部分 分式方程

分式方程的解的步骤：

⑴去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。（产生增根的过程）

⑵解整式方程，得到整式方程的解。

⑶检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：

如果最简公分母为0，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；如果最简公分母不为0，则是原方程的解。

产生增根的条件是：①是得到的整式方程的解；②代入最简公分母后值为0。

（一）分式方程题型分析

题型一：用常规方法解分式方程

【例1】解下列分式方程

（1）xx311；（2）0132xx；（3）114112xxx；（4）xxxx4535

题型二：特殊方法解分式方程

【例2】解下列方程

（1）4441xxxx； （2）569108967xxxxxxxx

提示：（1）换元法，设yxx1； （2）裂项法，61167xxx.

【例3】解下列方程组

)3(4111)2(3111)1(2111xzzyyx

题型三：求待定字母的值

【例4】若关于x的分式方程3132xmx有增根，求m的值.

【例5】若分式方程122xax的解是正数，求a的取值范围.

题型四：解含有字母系数的方程

【例6】解关于x的方程

)0(dcdcxbax

题型五：列分式方程解应用题

1、某服装厂准备加工400套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成任务，问：原计划每天加工服装多少套？

2、某商店经销一种泰山旅游纪念品，4月份的营业额为2000元，为扩大销售量，5月份该商店对这种纪念品打6折销售，结果销售量增加20件，营业额增加700元。

（1） 求该种纪念4月份的销售价格？

（2） 若4月份销售这种纪念品获得800元，5月份销售这种纪念品获利多少元？