确定一次函数的表达式

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确定一次函数的表达式

在数学的世界里，一次函数就像是一座桥梁，连接着不同的数量关系。而确定一次函数的表达式，则是我们能够顺利通过这座桥梁，解决各种实际问题的关键钥匙。

一次函数的一般形式是 y ＝ kx ＋ b（其中 k、b 是常数，k ≠ 0）。这里的 k 被称为斜率，它决定了函数图像的倾斜程度；b 则是截距，也就是函数图像与 y 轴的交点。要确定一次函数的表达式，实际上就是要找出 k 和 b 的值。

那怎么来找呢？通常有两种常见的方法：待定系数法和利用函数图像的特征。

先说待定系数法。假设我们知道一次函数上的两个点的坐标，比如（x₁, y₁）和（x₂, y₂），把这两个点代入函数表达式 y ＝ kx ＋ b 中，就可以得到一个关于 k 和 b 的方程组。

举个例子，如果已知点（1, 3）和（2, 5）在某个一次函数上，那么把（1, 3）代入函数表达式得到 3 ＝ k×1 ＋ b，即 k ＋ b ＝ 3；把（2, 5）代入得到 5 ＝ k×2 ＋ b，即 2k ＋ b ＝ 5。接下来解这个方程组，就能求出 k 和 b 的值。

从第一个方程 k ＋ b ＝ 3 可以得到 b ＝ 3 k，把它代入第二个方程

2k ＋ b ＝ 5 中，就有 2k ＋ 3 k ＝ 5，解得 k ＝ 2。再把 k ＝ 2 代入 b

＝ 3 k ，得到 b ＝ 1。所以这个一次函数的表达式就是 y ＝ 2x ＋ 1。再来说说利用函数图像的特征来确定表达式。如果我们能从图像中直接看出函数与 y 轴的交点，那这个交点的纵坐标就是 b 的值。而斜率 k 呢，可以通过图像上任意两个点的坐标来计算。

比如说，函数图像与 y 轴交于（0, －2），并且还经过点（2, 4）。那么 b ＝－2，而斜率 k ＝（4 （－2））÷（2 0）＝ 3 。所以这个一次函数的表达式就是 y ＝ 3x 2 。

在实际应用中，确定一次函数的表达式非常有用。比如，我们在研究物体的运动时，速度和时间的关系可能就是一个一次函数。通过实验得到一些数据点，然后确定函数表达式，就能更好地理解物体运动的规律。

又比如，在经济学中，成本和产量之间的关系、收入和销售量之间的关系等，都有可能用一次函数来表示。通过确定这些函数的表达式，企业可以做出更合理的决策，以达到降低成本、提高利润的目的。

再比如，在日常生活中，我们计算水电费、电话费等费用时，也可能会用到一次函数。比如水费按照每吨 a 元计算，再加上一个固定的基础费用 b 元，那么总水费 y 与用水量 x 之间的关系就是 y ＝ ax ＋ b 。

总之，确定一次函数的表达式是解决许多数学问题和实际问题的重要手段。它让我们能够用简洁的数学语言描述各种变化的关系，为我们的思考和决策提供有力的支持。只要我们掌握了待定系数法和利用函数图像特征这两种方法，再加上对实际问题的仔细分析，就能轻松地确定一次函数的表达式，从而在数学的海洋中畅游，解决一个又一个有趣而又实用的问题。

确定一次函数表达式教案

教学目标

1．了解两个条件可确定一次函数；能根据所给信息（图象、表格、实际问题等）利用待定系数法确定一次函数的表达式；并能利用所学知识解决简单的实际问题．

2．经历对正比例函数及一次函数表达式的探求过程，掌握用待定系数法求一次函数的表达式，进一步发展数形结合的思想方法；

3．经历从不同信息中获取一次函数表达式的过程，体会到解决问题的多样性，拓展学生的思维．

教学重点：根据所给信息，利用待定系数法确定一次函数的表达式．

教学难点：在实际问题情景中寻找条件，确定一次函数的表达式．

教学方法：启发引导．

2．课前准备

教具：教材、课件、电脑．

学具：教材、练习本．

教学过程

一复习旧知：1、y=2x-3的性质

2、点（2，3）（2,1）（0,3）（3，0）在一次函数y=2x-3的图象上的有（）

二导入新课：根据表达式，我们可以说出它的有关性质。如果给你信息，你能否求出函数表达式呢？本节课我们一起来探索。板书课题

三探究新知：结合课本自己完成探究一二三

探究一

某物体沿一个斜坡下滑，它的速度v(米/秒)与其下滑时间t(秒 )的关系如图所示．

(1)写出v与t之间的关系式； (2)下滑3秒时物体的速度是多少？

探究二

例1 在弹性限度内，弹簧的长度y(厘米)是所挂物体的质量x(千克)的一次函数，一根弹簧不挂物体时长14.5厘米；当所挂物体的质量为3千克时，弹簧长16厘米．写出y与x之间的关系式，并求出所挂物体的质量为4千克时弹簧的长度．

解：设bkxy，根据题意，得

14.5=b， ①

16=3k+b，②

将5.14b代入②，得5.0k．

所以在弹性限度内，5.145.0xy．

当4x时，5.165.1445.0y（厘米）．

即物体的质量为4千克时，弹簧长度为5.16厘米．

探究三

确定正比例函数的表达式需要几个条件？确定一次函数的表达式呢？

四自学完以后小组交流展示自学成果，自学中遇到的困惑是什么？

一次函数表达式的确定

吴育弟

【一】利用两点坐标确定

例1 直线l过A〔0，-1〕，B〔1，0〕两点，求直线l的表达式．

解：设函数表达式为y=kx+b，将〔1，0〕，〔0，-1〕分别代入表达式，得,1,0bbk解得.1,1bk所以直线l的表达式为y=x-1．

【二】利用直线平行确定

例2 直线l与y=-2x-1平行，且过点〔1，3〕，求直线l的表达式．

解：因为直线l与y=-2x-1平行，所以设所求直线l的表达式为y=-2x+b.

又直线l过点〔1，3〕，所以3=-2×1+b，解得b=5.

所以直线l的表达式为y=-2x+5．

【三】利用表格确定

例3 某工厂有一种材料，可加工甲、乙、丙三种型号机械配件共240个．厂方计划由20个工人一天内加工完成，并要求每人只加工一种配件．根据下表提供的信息，解答以下问题：

配件种类甲乙丙

每人可加工配件的数量〔个〕 16 12 10

设加工甲种配件的人数为x，加工乙种配件的人数为y，求y与x之间的函数表达式．

解：因为加工甲种配件的人数为x，加工乙种配件的人数为y，所以加工丙种配件的人数为〔20-x-y〕人.

因为厂方计划由20个工人一天内加工完成，所以16x+12y+10〔20-x-y〕=240，那么y=-3x+20.

【四】利用性质确定

例4 一次函数的图象经过点〔0，1〕，且满足y随x的增大而增大，那么该一次函数的表达式可以为．

解析：设一次函数的表达式为y=kx+b〔k≠0〕.

因为一次函数的图象经过点〔0，1〕，所以b=1.

因为y随x的增大而增大，所以k＞0. 当k=1时，该一次函数表达式为y=x+1〔答案不唯一，可以是形如y=kx+1，k＞0的一次函数〕．

确定一次函数解析式的五种方法

五种类型一次函数解析式的确定

确定一次函数的解析式，是一次函数学习的重要内容。下面就确定一次函数的解析式的题型作如下的归纳，供同学们学习时参考。

一、根据直线的解析式和图像上一个点的坐标，确定函数的解析式

例1、若函数y=3x+b经过点（2，-6），求函数的解析式。

分析：因为，函数y=3x+b经过点（2，-6），

所以，点的坐标一定满足函数的关系式，所以，只需把x=2，y=-6代入解析式中，就可以求出b的值。函数的解析式就确定出来了。

解：

因为，函数y=3x+b经过点（2，-6），

所以，把x=2，y=-6代入解析式中，

得：-6=3×2+b，

解得：b=-12，

所以，函数的解析式是：y=3x-12.

二、根据直线经过两个点的坐标，确定函数的解析式

例2、直线y=kx+b的图像经过A（3，4）和点B（2，7），

求函数的表达式。

分析：把点的坐标分别代入函数的表达式，用含k的代数式分别表示b，

因为b是同一个，这样建立起一个关于k的一元一次方程，这样就可以把k的值求出来，

然后，就转化成例1的问题了。

解：

因为，直线y=kx+b的图像经过A（3，4）和点B（2，7），

所以，4=3k+b，7=2k+b，

所以，b=4-3k，b=7-2k，

所以，4-3k=7-2k，

解得：k=-3，

所以，函数变为：y=-3x+b，

把x=3，y=4代入上式中，得：4=-3×3+b，

解得：b=13，

所以，一次函数的解析式为：y=-3x+13。

三、根据函数的图像，确定函数的解析式

例3、如图1表示一辆汽车油箱里剩余油量y（升）与行驶时间x（小时）之间的关系．

求油箱里所剩油y（升）与行驶时间x（小时）之间的函数关系式，并且确定自变量x的取值范围。

分析：根据图形是线段，是直线上的一部分，所以，我们可以确定油箱里所剩油y（升）是行驶时间x（小时）的一次函数，明白这些后，就可以利用设函数解析式的方法去求函数的解析式。