第八节 函数与方程
A组 基础题组
1.(2015安徽,2,5分)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是( )
A.y=cosx B.y=sinx C.y=lnx D.y=x2+1
2.已知函数y=f(x)的图象是连续不断的曲线,且有如下的对应值表:
x 1 2 3 4 5 6
y 124.4
33 -74 24.5 -36.7 -123.6
则函数y=f(x)在区间1,6]上的零点至少有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
3.(2016浙江温州模拟)已知函数f(x)=x2-bx+a的大致图象如图所示,则g(x)=ex+f'(x)的零点所在的区间是( )
A.(-1,0)
B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)
4.(2016山西忻州一中、长治二中、康杰中学、临汾一中联考,12)函数f(x)=若方程f(x)=-x+a有且只有两个不相等的实数根,则实数a的取值范围为( )
A.(-∞,0) B.0,1) C.(-∞,1) D.0,+∞)
5.已知三个函数f(x)=2x+x,g(x)=x-2,h(x)=log2x+x的零点依次为a,b,c,则( )
A.a
6.若函数f(x)=ax+b有一个零点是2,那么函数g(x)=bx2-ax的零点是 .
7.已知关于x的方程x2+mx-6=0的一个根比2大,另一个根比2小,则实数m的取值范围是 . 8.若f(x)=则函数g(x)=f(x)-x的零点为 .
9.已知函数f(x)=sgn(x-1)-lnx,且sgn(x)=则函数f(x)零点的个数为 .
10.已知函数f(x)=-x2-2x,g(x)=
(1)求gf(1)]的值;
(2)若方程gf(x)]-a=0有4个实数根,求实数a的取值范围.
B组 提升题组
11.(2016湖南考前演练)设x0是函数f(x)=2x-|log2x|-1的一个零点,若a>x0,则f(a)满足( )
第二章 函数概念与基本初等函数I 2.8 函数与方程教师用书 理 苏教版
1.函数的零点
(1)函数零点的定义
对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使函数y＝f(x)的值为0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点.
(2)几个等价关系
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点.
(3)函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个 c 也就是方程f(x)＝0的根.
2.二分法
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
3.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系
Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
与x轴的交点 (x1，0)，(x2，0) (x1，0) 无交点
零点个数 2 1 0
【知识拓展】
有关函数零点的结论
(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.
(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.
(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号.
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.( × )
(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.( × )
(3)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值.( × )
(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点.( √ )
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1文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑. 第8讲 函数与方程
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、填空题
1．若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点为________．
解析 由已知得b＝－2a，所以g(x)＝－2ax2－ax＝－a(2x2＋x)．令g(x)＝0，得x1＝0，x2＝－12.
答案 0，－12
2．(2017·苏州期末)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,2)内的零点个数是________．
解析 因为函数y＝2x，y＝x3在R上均为增函数，故函数f(x)＝2x＋x3－2在R上为增函数，又f(0)＜0，f(2)＞0，故函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,2)内只有一个零点．
答案 1
3．函数f(x)＝|x|－k有两个零点，则实数k的取值范围是________．
解析 函数f(x)＝|x|－k的零点就是方程|x|＝k的根，在同一坐标系内作出函数y＝|x|，y＝k的图象，如图所示，可得实数k的取值范围是(0，＋∞)．
答案 (0，＋∞)
4．(2017·徐州月考)若函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1,1)内存在一个零点，则a的取值范围是________．
解析 当a＝0时，f(x)＝1与x轴无交点，不合题意，所以a≠0；函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1,1)内是单调函数，所以f(－1)·f(1)＜0，即(5a－1)(a＋1)＞0，解得a＜－1或a＞15.
答案 (－∞，－1)∪15，＋∞
5．若函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，则实数a的取值为________．
解析 当a＝0时，函数f(x)＝－x－1为一次函数，则－1是函数的零点，即函数仅有一个零点；
当a≠0时，函数f(x)＝ax2－x－1为二次函数，并且仅有一个零点，则一元二次方程ax2－x－1＝0有两个相等实根．
第二章 函数概念与基本初等函数I 2.1 函数及其表示教师用书 理
苏教版
1.函数与映射
函数 映射
两集合A、B 设A，B是两个非空的数集 设A，B是两个非空集合
对应法则f：A→B
如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应 如果按某种对应法则f，对于A中的每一个元素，在B中都有唯一的元素与之对应
名称 这样的对应叫做从集合A到集合B的一个函数 称对应f：A→B为从集合A到集合B的映射
记法 y＝f(x)(x∈A) f：A→B
2.函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，其中所有x组成的集合A称为函数y＝f(x)的定义域；将所有y组成的集合叫做函数y＝f(x)的值域.
(2)函数的三要素：定义域、对应法则和值域.
(3)函数的表示法
表示函数的常用方法有列表法、解析法和图象法.
3.分段函数
在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式，这样的函数，通常叫做分段函数.
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.
【知识拓展】
求函数定义域常见结论
(1)分式的分母不为零；
(2)偶次根式的被开方数不小于零； (3)对数函数的真数必须大于零；
(4)指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1；
(5)正切函数y＝tan x，x≠kπ＋π2(k∈Z)；
(6)零次幂的底数不能为零；
(7)实际问题中除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求.
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)对于函数f：A→B，其值域是集合B.( × )
(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数.( × )
(3)映射是特殊的函数.( × )
(4)若A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的映射.( × )
