方位角计算公式

⽅位⾓计算公式

⼀、直线定向1、正、反⽅位⾓换算

对直线⽽⾔，过始点的坐标纵轴平⾏线指北端顺时针⾄直线的夹⾓是的正⽅位⾓，⽽过端点的坐标纵轴平⾏线指北端顺时针⾄直

线的夹⾓则是的反⽅位⾓，同⼀条直线的正、反⽅位⾓相差，即同⼀直线的正反⽅位⾓

＝ (1-13)

上式右端，若<，⽤“＋”号，若，⽤“－”号。2、象限⾓与⽅位⾓的换算

⼀条直线的⽅向有时也可⽤象限⾓表⽰。所谓象限⾓是指从坐标纵轴的指北端或指南端起始，⾄直线的锐⾓，⽤表⽰，取值范围为。为了说明直线所在的象限，在前应加注直线所在象限的名称。四个象限的名称分别为

北东（NE）、南东（SE）、南西(SW)、北西(NW)。象限⾓和坐标⽅位⾓之间的换算公式列于表1-4。

表1-4 象限⾓与⽅位⾓关系表

3、坐标⽅位⾓的推算

测量⼯作中⼀般并不直接测定每条边的⽅向，⽽是通过与已知⽅向进⾏连测，推算出各边的坐标⽅位⾓。

设地⾯有相邻的、、三点，连成折线（图1-17），已知边的⽅位⾓，⼜测定了和之间的⽔平⾓，求边的⽅位⾓，即是相邻边坐标⽅位⾓的推算。

⽔平⾓⼜有左、右之分，前进⽅向左侧的⽔平⾓为，前进⽅向右侧的⽔平⾓。

设三点相关位置如图1-17()所⽰，应有

＝＋＋ (1-14)

设三点相关位置如图1-17()所⽰，应有

＝＋＋－＝＋－ (1-15)

若按折线前进⽅向将视为后边，视为前边，综合上⼆式即得相邻边坐标⽅位⾓推算的通式：

＝＋(1-16)

显然，如果测定的是和之间的前进⽅向右侧⽔平⾓，因为有＝－，代⼊上式即得通式

＝－ (1-17)

上⼆式右端，若前两项计算结果<，前⾯⽤“＋”号，否则前⾯⽤“－”号。

⼆、坐标推算1、坐标的正算

地⾯点的坐标推算包括坐标正算和坐标反算。坐标正算，就是根据直线的边长、坐标⽅位⾓和⼀个端点的坐标，计算直线另⼀个端点的坐标的⼯作。如图1所⽰，设直线AB的边长DAB和⼀个端点A的坐标XA、YA为已知，则直线另⼀个端点B的坐标为：XB=XA+ΔXAB

YB=YA+ΔYAB

式中，ΔXAB、ΔYAB称为坐标增量，也就是直线两端点A、B的坐标值之差。由图1中，根据三⾓函数，可写出坐标增量的计算公式为：ΔXAB=DAB·cosαAB

ΔYAB=DAB·sinαAB

式中ΔX、ΔY 均有正、负，其符号取决于直线的坐标⽅位⾓所在的象限， 参见表1-5。

表1-5 不同象限坐标增量的符号

坐标⽅位⾓及其所在象限 之符号 之符号

（第⼀象限） （第⼆象限） （第三象限） （第四象限）

＋ － － ＋

＋ ＋ － －2、坐标的反算

根据、两点的坐标、和、，推算直线的⽔平距离与坐标⽅位⾓，为坐标反算。由图1可见，其计算公式为： = ( 1-20 ) = ( 1-21 )

注意，由（1-20）式计算时往往得到的是象限⾓的数值，必须参照表1-5表1-4，先根据、的正、负号，确定直线所在的象限，再将象限⾓化为坐标⽅位⾓。 例如、均为－１。这时由（1-20）式计算得到的数值为，但根据、的符号判断，直线应在第三象限。因此，最后得=＝，余类推。

三、举例1、某导线12边⽅位⾓为45°，在导线上2点测得其左⾓为250°，求α32 ？

解：1）23边的⽅位⾓：

根据公式＝＋

因α12＝250°，α12 ＞180°，

故计算公式中，前⾯应取“－”号：

α23＝α12＋－

＝45°＋250°－180°

＝115°2）求α23反⽅位⾓：

根据公式＝，本例α23＜180°，故前⾯应取“＋”号：

α32＝α23＋＝295°当前位置：⾸页－复习总结－基本计算2

⼀、⽔准测量内业的⽅法：

⽔准测量的内业即计算路线的⾼差闭合差，如其符合要求则予以调整，最终推算出待定点的⾼程。1.⾼差闭合差的计算与检核

附合⽔准路线⾼差闭合差为：

＝－ () (2-8)

闭合⽔准路线⾼差闭合差为：

＝(2-9)

为了检查⾼差闭合差是否符合要求，还应计算⾼差闭合差的容许值（即其限差）。⼀般⽔准测量该容许值规定为

平地＝mm

⼭地＝mm (2-11)

式中，―⽔准路线全长，以km为单位；―路线测站总数。2.⾼差闭合差的调整

若⾼差闭合差⼩于容许值，说明观测成果符合要求，但应进⾏调整。⽅法是将⾼差闭合差反符号，按与测段的长度(平地)或测站数(⼭地)成正⽐，即依下式计算各测段的⾼差改正数，加⼊到测段的⾼差观测值中：

⊿= - (平地)

⊿= - (⼭地)

式中，―路线总长；―第测段长度 (km) (＝1、2、3．．．)；

―测站总数；―第测段测站数。

3.计算待定点的⾼程

将⾼差观测值加上改正数即得各测段改正后⾼差：h i改=hi+⊿h i i＝1，2，3，……

据此，即可依次推算各待定点的⾼程。

如上所述，闭合⽔准路线的计算⽅法除⾼差闭合差的计算有所区别⽽外，其余与附合路线的计算完全相同。

⼆、举例1.附合⽔准路线算例

下图2-18所⽰附合⽔准路线为例，已知⽔准点A、B和待定点1、2、3将整个路线分为四个测段。

1）将点名、各测段测站数、各测段的观测⾼差、已知⾼程数填⼊表2-2内相应栏⽬2、3、4、7(如系平地测量，则将测站数栏改为公⾥数栏，填⼊各测段公⾥数；表内加粗字为已知数据)。2）进⾏⾼差闭合差计算：

＝－ () ＝－－＝+

由于图中标注了测段的测站数，说明是⼭地观测，因此依据总测站数计算⾼差闭合差的容许值为：

＝＝= 54mm

计算的⾼差闭合差及其容许值填于表2-2下⽅的辅助计算栏。3）⾼差闭合差的调整

fh≤fh容，故其精度符合要求。

本例中，将⾼差闭合差反符号，按下式依次计算各测段的⾼差改正数：

⊿= - （―测站总数，―第测段测站数）

第⼀测段的⾼差改正数为：

⊿=－14mm

同法算得其余各测段的⾼差改正数分别为－5、－7、－8mm，依次列⼊表2-2中第5栏。

注：1、所算得的⾼差改正数总和应与⾼差闭合差的数值相等，符号相反，以此对计算进⾏校核。如因取整误差造成⼆者出现⼩的较差可对个别测段⾼差改正数的尾数适当取舍1mm，以满⾜改正数总和与闭合差数值相等的要求。2、若为平地，⾼差改正数按各测段长度⽐例分配：⽤公式⊿＝-计算，式中，―路线总长；―第测段长度 (km) (＝1、2、3．．．)。

4）计算待定点的⾼程

将⾼差观测值加上改正数即得各测段改正后⾼差：h i改=hi+⊿h i i＝1，2，3，4

据此，即可依次推算各待定点的⾼程。（上例计算结果列⼊表2-2之第6、7栏）。H1=HA+H1改H2=H1+H2改

……

HB（算）=HB(已知)

注：改正后的⾼差代数和，应等于⾼差的理论值（HB-HA），即: ∑h改=HB-HA 。如不相等，说明计算中有错误存在。最后推出的终点⾼程应与已知的⾼程相等。2 闭合⽔准路线算例

闭合⽔准路线的计算⽅法除⾼差闭合差的计算有所区别⽽外，其余与附合路线的计算完全相同。计算时应当注意⾼差闭合差的公式为：ｆｈ＝∑ｈ测。

如图2所⽰⼀闭合⽔准路线，A为已知⽔准点，A点⾼程为，，其观测成果如图中所⽰，计算1、2、3各点的⾼程。

将图中各数据按⾼程计算顺序列⼊表2进⾏计算：

36

3

47－－

BMB

32－0

辅助计算＝30mm

＝mm＝±68mm

计算步骤如下：

⑴计算实测⾼差之和∑h测=

＝－＝＝30mm

⑶计算容许闭合差fh容==±68mmfh≤fh容，故其精度符合要求，可做下⼀步计算。

⑷计算⾼差改正数

⾼差闭合差的调整⽅法和原则与符合⽔准路线的⽅法⼀样。本例各测段改正数vi计算如下：⊿=－(fh/∑n)×n1=－(－17/32)×11=6mm

⊿h2=－(fh/∑n)×n2=－(－17/32)×8=4mm

……

检核∑⊿h =－fh=－

⑸计算改正后⾼差 h改各测段观测⾼差hi分别加上相应的改正数后⊿hi，即得改正后⾼差：h1改=h1+⊿h 1=－+=

h2改=h2+⊿h 2=+=

……

注：改正后的⾼差代数和，应等于⾼差的理论值0，即：∑h改=0 ，如不相等，说明计算中有错误存在。

⑹⾼程计算

测段起点⾼程加测段改正后⾼差，即得测段终点⾼程，以此类推。最后推出的终点⾼程应与起始点的⾼程相等。即：H1=HA+h1改=

H2=H1+h2改=+=

……

HA（算）=HA(已知)=

计算中应注意各项检核的正确性。

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⼀、经纬仪测回法测⽔平⾓1、基本数据：

设、、为地⾯三点，为测定、两个⽅向之间的⽔平⾓，在O点安置经纬仪(图3-7)，采⽤测回法进⾏观测。1）上半测回(盘左)⽔平度盘读数：

⽬标：＝0°02′06″，

⽬标：＝68°49′18″；2)下半测回(盘右)⽔平度盘读数：

⽬标：＝248″49′30″，

⽬标：＝180°02′24″。2、填表与计算：

1）将⽬标A、⽬标B⽔平度盘读数填⼊表3－1第4栏。

2）计算半测回⾓，并将结果填⼊表3－1第5栏：

盘左： =＝

盘右：

注：计算⾓值时，总是右⽬标读数减去左⽬标读数，若<，则应加。3）计算测回⾓值，并填⼊表3－1第6栏。＝

注：1．同⼀⽅向的盘左、盘右读数⼤数应相差；2．半测回⾓值较差的限差⼀般为；

3．为提⾼测⾓精度，观测个测回时，在每个测回开始即盘左的第⼀个⽅向，应旋转度盘变换⼿轮配置⽔平度盘读数，使其递增。各测回平均⾓值较差的限差⼀般为。⽔平⾓取各测回⾓的平均值。

⼆、经纬仪测竖直⾓

竖直⾓(简称竖⾓)是同⼀竖直⾯内⽬标⽅向和⽔平⽅向之间的⾓值，仰⾓为正，俯⾓为负，其绝对值为。1、竖盘构造

经纬仪竖直度盘固定在横轴⼀端，随望远镜⼀道转动，竖盘指标线受竖盘指标⽔准管控制，当指标⽔准管⽓泡居中时，指标线应在铅垂位置。⽬标⽅向可通过竖直度盘(简称竖盘)读取读数（始读数），⽽⽔平⽅向的读数已刻在竖盘上。2、竖直⾓的计算公式

图3-9所⽰竖盘按顺时针⽅向注记，且望远镜⽔平时竖盘读数为：盘左为，盘右为。

盘左(3-4)

盘右＝ (3-5)

其平均值为 (3-6)

注：竖盘注记形式不同，计算公式也不同。3、竖直⾓记录整理举例：

设点安置经纬仪观测⽬标、C⽬标的竖⾓，观测值如下：

⽬标：盘左：竖盘读数为(设为)；

盘右：竖盘读数为(设为)。

⽬标C：盘左：竖盘读数为(设为99°41′12″)；

盘右：竖盘读数为(设为260°18′00″)。1）将竖盘读数填⼊下表3－4第4栏。

注：盘左视线⽔平时，竖盘读数为90°，视线上斜读数减少。2）计算半测回⾓，并填⼊表3－4第5栏中。

盘左(3-4)

盘右＝(3-5)3）计算指标差x，填⼊表3－4第6栏。

指标⽔准管⽓泡居中时，指标线如果偏离正确位置，则指标线的偏离⾓值称为竖盘指标差x。指标差有两种计算⽅法：⽅法1：＝(3-12)