课时跟踪检测 (四十三) 二倍角的正弦、余弦、正切公式

课时跟踪检测 （四十三） 二倍角的正弦、余弦、正切公式

层级(一) “四基”落实练 1.sin 20°cos 20°cos 2155°－sin 2155°的值是( ) A.1

2 B ．－12

C.32

D ．－

32

解析：选A 原式＝12sin 40°cos 310°＝12sin 40°cos 50°＝1

2sin 40°sin 40°＝1

2.

2．已知sin α＝

5

5

，则cos 4α－sin 4α的值为( ) A ．－3

5

B ．－15

C.15

D ．35

解析：选D cos 4α－sin 4α＝(cos 2α＋sin 2α)(cos 2α－sin 2α)＝cos 2α＝1－2sin 2α＝1－25＝3

5.

3．若9－cos 2θcos θ＋1＝4，则(sin θ)2 020＋(cos θ)2 021的取值为( )

A ．1

B ．－1

C ．2

D ．0

解析：选A 因为9－cos 2θ

cos θ＋1＝4，

所以9－(2cos 2θ－1)＝4(cos θ＋1)， 即cos 2θ＋2cos θ－3＝0，

解得cos θ＝1或cos θ＝－3(舍去)， 所以sin θ＝±1－cos 2θ＝0， 所以(sin θ)2 020＋(cos θ)2 021＝1. 4．已知

cos 2x

2cos ⎝⎛⎭

⎫x ＋π4＝1

5，则sin 2x ＝( ) A ．－

2425

B ．－4

5

C ．2425

D ．

25

5

解析：选A ∵

cos 2x

2cos ⎝⎛⎭

⎫x ＋π4＝15， ∴cos 2x －sin 2x cos x －sin x ＝1

5， ∴cos x ＋sin x ＝1

5

，

两边平方，得1＋sin 2x ＝1

25，

∴sin 2x ＝－24

25

.

5．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现0.618就是黄金分割，这是一个伟大的发现，这一数值也表示为a ＝2sin 18°，若a 2＋b ＝4，则1－2cos 227°a b

＝( )

A ．－12

B ．1

2

C ．－2

D ．2

解析：选A ∵a ＝2sin 18°，a 2＋b ＝4， ∴b ＝4－a 2＝4－4sin 218°＝4cos 218°，

∴1－2cos 227°a b ＝1－2cos 227°2sin 18°4cos 218°＝－cos 54°4sin 18°cos 18°＝－sin 36°2sin 36°＝－12.

6．若sin α＋cos αsin α－cos α＝1

2，则tan 2α＝________.

解析：因为sin α＋cos αsin α－cos α＝1

2，

整理得tan α＝－3，

所以tan 2α＝2tan α

1－tan 2α＝2×(－3)1－(－3)2

＝34. 答案：3

4

7．设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x ＋3cos x 取得最大值，则tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π

4＝________. 解析：f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π

3. ∵当x ＝θ时，函数f (x )取得最大值，

∴θ＋π3＝π

2＋2k π，k ∈Z ，

即θ＝π

6

＋2k π，k ∈Z ，

∴tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝tan ⎝⎛⎭⎫π6＋2k π＋π4＝tan ⎝⎛⎭⎫π4＋π

6＝1＋

331－

3

3

＝2＋ 3. 答案：2＋ 3

8．已知角α的终边经过点(－8，－6)，则

1＋cos 2α＋sin 2α

cos (π＋α)＝________.

解析：因为点(－8，－6)到原点的距离r ＝(－8)2＋(－6)2＝10，

所以sin α＝－610＝－35，cos α＝－810＝－4

5.

所以1＋cos 2α＋sin 2α

cos (π＋α)

＝2cos 2α＋2sin αcos α－cos α＝－2cos α－2sin α

＝－2×⎝⎛⎭⎫－45－2×⎝⎛⎭⎫－35＝145. 答案：

145

9．求证：3－4cos 2A ＋cos 4A

3＋4cos 2A ＋cos 4A

＝tan 4A .

证明：左边＝3－4cos 2A ＋2cos 22A －13＋4cos 2A ＋2cos 22A －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－cos 2A 1＋cos 2A 2＝⎝⎛⎭⎫2sin 2A 2cos 2A 2＝(tan 2A )2＝tan 4A ＝右边，

所以3－4cos 2A ＋cos 4A 3＋4cos 2A ＋cos 4A

＝tan 4A .

10．已知sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝1

6，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求sin 4α的值． 解：因为sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π

4－α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝1

6

，