2023年九年级中考数学复习++几何图形动点与函数图像综合讲义

2023中考数学综合复习知识点中考数学综合复习知识点1、二次函数的概念一般地，如果，那么y叫做x 的二次函数。

叫做二次函数的一般式。

2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。

抛物线的主要特征：①有开口方向;②有对称轴;③有顶点。

3、二次函数图像的画法五点法：(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴(2)求抛物线与坐标轴的交点：当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D。

将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。

当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。

由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。

如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。

初中中考数学知识点梳理二次函数的解析式有三种形式：(1)一般式：(2)顶点式：(3)当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根和存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。

如果没有交点，则不能这样表示。

注意：抛物线位置由决定.(1)决定抛物线的开口方向①开口向上.②开口向下.(2)决定抛物线与y轴交点的位置.①图象与y轴交点在x轴上方.②图象过原点.③图象与y轴交点在x轴下方.(3)决定抛物线对称轴的位置(对称轴：)①同号对称轴在y轴左侧.②对称轴是y轴.③异号对称轴在y轴右侧.(4)顶点坐标.(5)决定抛物线与x轴的交点情况.、①△0抛物线与x轴有两个不同交点.②△=0抛物线与x轴有的公共点(相切).③△0抛物线与x轴无公共点.(6)二次函数是否具有、最小值由a判断.①当a0时，抛物线有最低点，函数有最小值.②当a0时，抛物线有点，函数有值.(7)的符号的判定：表达式，请代值，对应y值定正负;对称轴，用处多，三种式子相约;轴两侧判，左同右异中为0;1的两侧判，左同右异中为0;-1两侧判，左异右同中为0.(8)函数图象的平移：左右平移变x，左+右-;上下平移变常数项，上+下-;平移结果先知道，反向平移是诀窍;平移方式不知道，通过顶点来寻找。

专题一：建立动点问题的函数解析式36xPHOP--236211x -2222233621419xxx MHPH+-++N G P O B xy∴y =GP=32MP=233631x + (0<x <6).(3)(3)△△PGH 是等腰三角形有三种可能情况是等腰三角形有三种可能情况: : ①GP=PH 时,x x =+233631,解得6=x . . 经检验经检验经检验, , 6=x 是原方程的根是原方程的根,,且符合题意且符合题意. .②GP=GH 时,2336312=+x ,解得0=x . . 经检验经检验经检验, , 0=x 是原方程的根是原方程的根,,但不符合题意但不符合题意. . ③PH=GH 时,2=x .综上所述综上所述,,如果△如果△PGH PGH 是等腰三角形是等腰三角形,,那么线段PH 的长为6或2.二、应用比例式建立函数解析式例例2（2006年²山东）如图2,2,在△在△在△ABC ABC 中,AB=AC=1,,AB=AC=1,点点D,E 在直线BC 上运动上运动..设BD=,x CE=y . (1) (1)如果∠如果∠如果∠BAC=30BAC=30BAC=30°°,∠DAE=105DAE=105°°,试确定y 与x 之间的函数解析式；之间的函数解析式； (2) (2)如果∠如果∠如果∠BAC BAC 的度数为a ,∠DAE 的度数为b ,当a ,b 满足怎样的关系式时满足怎样的关系式时,(1),(1),(1)中中y 与x 之间的函数解析式还成立数解析式还成立??试说明理由试说明理由. .解:(1):(1)在△在△在△ABC ABC 中,∵AB=AC,AB=AC,∠∠BAC=30BAC=30°°,∴∠∴∠ABC=ABC=ABC=∠∠ACB=75ACB=75°°, , ∴∠∴∠∴∠ABD=ABD=ABD=∠∠ACE=105ACE=105°°. ∵∠∵∠BAC=30BAC=30BAC=30°°,∠DAE=105DAE=105°°, , ∴∠∴∠∴∠DAB+DAB+DAB+∠∠CAE=75CAE=75°°, 又∠又∠DAB+DAB+DAB+∠∠ADB=ADB=∠∠ABC=75ABC=75°°, ∴∠∴∠CAE=CAE=CAE=∠∠ADB, ∴△∴△ADB ADB ADB∽△∽△∽△EAC, EAC, EAC, ∴∴ACBD CEAB =,∴11xy =, , ∴∴x y 1=.(2)(2)由于∠由于∠由于∠DAB+DAB+DAB+∠∠CAE=a b -,又∠又∠DAB+DAB+DAB+∠∠ADB=ADB=∠∠ABC=290a-°,且函数关系式成立函数关系式成立, ,∴290a-°=a b -, , 整理得整理得=-2a b °90. 当=-2a b °90时,函数解析式xy 1=成立成立. .例3(2005年²年²上海上海上海))如图3(1),3(1),在△在△在△ABC ABC 中,∠ABC=90ABC=90°°,AB=4,BC=3. 点O 是边AC 上的一个动点上的一个动点,,以点O 为圆心作半圆为圆心作半圆,,与边AB 相切于点D,交线段OC 于点E.E.作作EP EP⊥⊥ED,ED,交射线交射线AB 于点P,P,交射线交射线CB 于点F.(1)(1)求证求证求证: : : △△ADE ADE∽△∽△∽△AEP. AEP.(2)(2)设设OA=x ,AP=y ,求y 关于x 的函数解析式的函数解析式,,并写出它的定义域义域. . (3) (3)当当BF=1时,求线段AP 的长的长. . 解:(1):(1)连结连结OD.根据题意根据题意,,得OD OD⊥⊥AB,AB,∴∠∴∠∴∠ODA=90ODA=90ODA=90°°,∠ODA=ODA=∠∠DEP.又由OD=OE,OD=OE,得得∠ODE=ODE=∠∠OED.∴∠∴∠ADE=ADE=∠AEP, AEP, ∴∴△ADE ADE∽△∽△AEP.(2)∵∠ABC=90°,AB=4,BC=3, ∴AC=5. ∵∠ABC=∠A E D C B 图 2●P D E A C B 3(2) O F O ●F P D E A C B 3(1) ADO=90ADO=90°°, , ∴∴OD OD∥∥BC, BC, ∴∴53x OD =,54x AD =,∴OD=x 53,AD=x 54. . ∴∴AE=x x53+=x 58. ∵△∵△ADE ADE ADE∽△∽△∽△AEP, AEP, AEP, ∴∴AE ADAP AE=, , ∴∴xx yx585458=. . ∴∴x y 516=(8250£<x ).(3)(3)当当BF=1时，时，①若EP 交线段CB 的延长线于点F,F,如图如图3(1)3(1)，则，则CF=4.∵∠∵∠ADE=ADE=ADE=∠∠AEP, AEP, ∴∠∴∠∴∠PDE=PDE=PDE=∠∠PEC. PEC. ∵∠∵∠∵∠FBP=FBP=FBP=∠∠DEP=90DEP=90°°, , ∠∠FPB=FPB=∠∠DPE,∴∠∴∠F=F=F=∠∠PDE, PDE, ∴∠∴∠∴∠F=F=F=∠∠FEC, FEC, ∴∴CF=CE. ∴5-x 58=4,=4,得得85=x .可求得2=y ,即AP=2.②若EP 交线段CB 于点F,F,如图如图3(2), 3(2), 则则CF=2. 类似①类似①,,可得CF=CE. ∴5-x 58=2,=2,得得815=x .可求得6=y ,即AP=6.综上所述综上所述, , , 当当BF=1时,线段AP 的长为2或6. 三、应用求图形面积的方法建立函数关系式例4（2004年²上海）如图,在△在△ABC ABC 中,∠BAC=90BAC=90°°,AB=AC=22,⊙A 的半径为1.1.若点若点O 在BC 边上运动运动((与点B 、C 不重合不重合),),),设设BO=x ,△AOC 的面积为y .(1)(1)求求y 关于x 的函数解析式的函数解析式,,并写出函数的定义域并写出函数的定义域. .(2)(2)以点以点O 为圆心为圆心,BO ,BO 长为半径作圆O,O,求当⊙求当⊙求当⊙O O 与⊙与⊙A A 相切时相切时, , △AOC 的面积的面积. .解:(1):(1)过点过点A 作AH AH⊥⊥BC,BC,垂足为垂足为H.∵∠∵∠BAC=90BAC=90BAC=90°°,AB=AC=22, , ∴∴BC=4,AH=21BC=2. BC=2. ∴∴OC=4-x . ∵AH OC SAOC×=D 21, , ∴∴4+-=x y (40<<x ). (2)(2)①当⊙①当⊙①当⊙O O 与⊙与⊙A A 外切时外切时, ,在Rt Rt△△AOH 中,OA=1+x ,OH=x -2, , ∴∴222)2(2)1(x x -+=+. . 解得解得67=x .此时此时,,△AOC 的面积y =617674=-.②当⊙②当⊙O O 与⊙与⊙A A 内切时内切时, , 在Rt Rt△△AOH 中,OA=1-x ,OH=2-x , , ∴∴222)2(2)1(-+=-x x . . 解得解得27=x .此时此时,,△AOC 的面积y =21274=-.综上所述综上所述,,当⊙当⊙O O 与⊙与⊙A A 相切时相切时,,△AOC 的面积为617或21.A B C O 图8 H FABED专题二：动态几何型压轴题2x321017217ABCDEOlA ′ABCDEO lF 392+x 9412+x x 9+339412+x 3F GE AB D图3-2K F GE KF G E FGE U KFG EF GE AAA AA D D D DB D A BF MN332OBACOBACGFED CBAAD O33333COCOC1O则PC BP的值为的值为 （A ）2 （B ）3 （C ）23 （D ）26分析：本题是一道选择题，给出四个答案有且只有一个是正确的，因此可以取一个特殊位置进行研究，当点P 满足PB ⊥AB 时，可以通过计算得出PB=221322=-BC ³AP=BP ³AB ，因此，因此BC=62462288162822==+=+´BPAB BP AB ， 在三角形BPC 中，PC=36222=-BC BP，所以，PC BP=3选（B ）当然，本题还可以根据三角形相似得BP APPCBP=，即可计算出结论。

2023年中考数学高频考点突破--二次函数与动态几何综合题1．抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），C（0，3）.（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BDC 的面积最大时，求点P的坐标；（3）如图2，抛物线顶点为E，EF△x轴于F点，M（m，0）是x轴上一动点，N是线段EF上一点，若△MNC=90°，请指出实数m的变化范围，并说明理由.2．综合与探究如图，抛物线y=34x2−154x+3与x轴交于A，B两点，且点A在点B的左侧，与y轴交于点C．（1）求点A，B和C的坐标；（2）点E是直线BC上的动点，过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当EF=OC时，求点E的横坐标；（3）点P从点B出发沿BC以1个单位长度/秒的速度向终点C运动，同时，点Q从点O出发以相同的速度沿x轴的正半轴向终点B运动，一点到达，两点同时停止运动．连接PQ，当△BPQ是等腰三角形时，请直接写出运动的时间．3．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c（a≠0）与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、B（0，3）两点．（1）试求抛物线的解析式和直线AB的解析式；（2）动点E从O点沿OA方向以1个单位/秒的速度向终点A匀速运动，同时动点F沿AB方向以√2个单位/秒的速度向终点B匀速运动，E、F任意一点到达终点时另一个点停止运动，连接EF，设运动时间为t，当t为何值时△AEF为直角三角形？（3）抛物线位于第一象限的图象上是否存在一点P，使△PAB面积最大？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．4．如图，抛物线y=ax2+bx+ 4与x轴的两个交点分别为A（－4，0）、B（2，0），与y轴交于点C，顶点为D．E（1，2）为线段BC的中点，BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G．（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；（2）在直线EF上求一点H，使△CDH的周长最小，并求出最小周长；（3）若点K在x轴上方的抛物线上运动，当K运动到什么位置时，△EFK的面积最大？并求出最大面积．5．已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过A（3，0）、B（4，1）两点，且与y轴交于点C.（1）求抛物线的解析式；（2）如图，设抛物线与x轴的另一个交点为D，在抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积是△BDA面积的2倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.（3）如图（2），连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合），经过A、E、O 三点的圆交直线AB于点F，当△OEF的面积取得最小值时，求面积的最小值及E点坐标.6．如图，在平面直角坐标系中，直线y=−12x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=−23x2+bx+c过点B且与直线相交于另一点C(52,34).（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上的一动点，当∠PAO=∠BAO时，求点P的坐标；（3）点N(n,0) (0<n<52)在x轴的正半轴上，点M(0,m)是y轴正半轴上的一动点，且满足∠MNC=90°.①求m与n之间的函数关系式；②当m在什么范围时，符合条件的N点的个数有2个？7．已知抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过A（3，0）、B（4，1）两点，且与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图（1），设抛物线与x轴的另一个交点为D，在抛物线的对称轴上找一点H，使△CDH的周长最小，求出H点的坐标并求出最小周长值．（3）如图（2），连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合），经过A、E、O 三点的圆交直线AB于点F，当△OEF的面积取得最小值时，求面积的最小值及E点坐标．8．如图，二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴相交于点A（﹣3，0）、B（1，0），与y轴相交于点C，点G是二次函数图象的顶点，直线GC交x轴于点H（3，0），AD平行GC交y 轴于点D．（1）求该二次函数的表达式（2）求证：四边形ACHD是正方形（3）①作ME△x轴于点E，作MF△y轴于点F，根据四边形ADCM的面积为S，可得S=S四边形AOCM+S△AOD，再分别求出S四边形AOCM、S△AOD即可．②首先设点N的坐标是（t1，p1），则NI=|t1|，所以S△CMN=S△COM+S△CON=32（|t|+|t1|），再根据t＜0，t1＞0，可得S△CMN=32（|t|+|t1|）=32(t1-t)=214，据此求出t1﹣t=72；然后求出k1、k2的值是多少，进而求出t1、t2的值是多少，再把它们代入S关于t的函数表达式，求出S的值是多少即可．9．如图，抛物线y=14x2−32x−4与x轴交于A、B点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C．连结BC，以BC为一边，点O为对称中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为(m,0)，过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．（1）求点A、B、C的坐标；（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD、BC于点M、N．试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形；（3）当点P在线段EB上运动时，是否存在点Q，使△BDQ为直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．10．《函数的图象与性质》拓展学习片段展示：（1）（问题）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y=a(x-2)2-4经过原点O，与x轴的另一个交点为A，则a=，点A的坐标为．（2）（操作）将图①中的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，如图②．直接写出翻折后的这部分抛物线对应的函数解析式：．（3）（探究）在图②中，翻折后的这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成了一个“W”形状的新图象，则新图象对应的函数y随x的增大而增大时，x的取值范围是．（4）（应用）结合上面的操作与探究，继续思考：如图③，若抛物线y=(x-h)2-4与x轴交于A，B两点（A在B左），将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，同样，也得到了一个“W”形状的新图象．①求A、B两点的坐标；（用含h的式子表示）②当1＜x＜2时，若新图象的函数值y随x的增大而增大，求h的取值范围．11．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(√3，0)，B两点（点B在点A 的左侧），与y轴交于点C，且OB=3OA=√3OC，∠OAC的平分线AD交y轴于点D，过点A且垂直于AD的直线l交y轴于点E，点P是x轴下方抛物线上的一个动点，过点P作PF⊥x轴，垂足为F，交直线AD于点H．（1）求抛物线的解析式；（2）设点P的横坐标为m，当FH=HP时，求m的值；（3）当直线PF为抛物线的对称轴时，以点H为圆心，12HC为半径作⊙H，点Q为⊙H上的一个动点，求14AQ+EQ的最小值．12．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C:y=ax2+bx+c与x轴相交于A，B两点，顶点为D(0,4),AB=4，设点F(m,0)是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F 旋转180°，得到新的抛物线C′．（1）求抛物线C的函数表达式；（2）若抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围．（3）如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C′上的对应点P′，设M是C上的动点，N是C′上的动点，试探究四边形PMP′N 能否成为正方形？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．13．如图1，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点B坐标为(2,0)，点C坐标为(0,2).（1）求抛物线的表达式；（2）如图2，点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，当△PBC的面积最大时，求点P的坐标；（3）如图3，过点M(1,3)作直线MD⊥x轴于点D，在直线MD上是否存在点N，使点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.14．如图，抛物线y＝﹣13x2+bx+c经过点B（2 √3，0）、C（0，2）两点，与x轴的另一个交点为A.（1）求抛物线的解析式；（2）点D从点C出发沿线段CB以每秒√3个单位长度的速度向点B运动，作DE△CB 交y轴于点E，以CD、DE为边作矩形CDEF，设点D运动时间为t（s）.①当点F落在抛物线上时，求t的值；②若点D在运动过程中，设△ABC与矩形CDEF重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围.15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−12x2+bx+c与直线AB交于点A(4,5)，B(0,1).（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点C为该抛物线的顶点，连接AC，点P为抛物线上点B，C之间的任意一点，连接BP，CP，过点P作PE//AC交直线AB于点E，连接CE，求四边形CPBE面积的最大值；（3）设该抛物线沿射线AB方向平移2√2个单位后得到的抛物线为y1=a1x2+b1x+c1(a1≠0)，平移后的抛物线与原抛物线交于点G，连接AG、BG，将△ABG 沿直线AB方向平移，平移后得到△A′B′G′，其中点A的对应点为点A′，点B的对应点为点B′，点G的对应点为点G′.在平移过程中，是否存在点B′，使得△OG′B′是以B′G′为腰的等腰三角形，若存在，请直接写出点B′的横坐标，若不存在，请说明理由.16．如图，已知抛物线y=ax 2+ 85x+c 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且A （2，0），C （0，﹣4），直线l ：y=﹣ 12 x ﹣4与x 轴交于点D ，点P 是抛物线y=ax 2+ 85x+c 上的一动点，过点P 作PE△x 轴，垂足为E ，交直线l 于点F.（1）试求该抛物线表达式；（2）如图（1），若点P 在第三象限，四边形PCOF 是平行四边形，求P 点的坐标； （3）如图（2），过点P 作PH△y 轴，垂足为H ，连接AC. ①求证：△ACD 是直角三角形；②试问当P 点横坐标为何值时，使得以点P 、C 、H 为顶点的三角形与△ACD 相似？答案解析部分1．【答案】（1）解：由题意得： {−1−b +c =0c =3 ，解得： {b =2c =3, ，∴抛物线解析式为 y =−x 2+2x +3 （2） 解：令 −x 2+2x +3=0 ， ∴x 1= -1，x 2=3，即B （3，0）， 设直线BC 的解析式为y=kx+b′，∴{b ′=33k +b ′=0，解得： {b ′=3k =−1, ，∴直线BC 的解析式为 y =−x +3 ， 设P （a ，3-a ），则D （a ，-a 2+2a+3）， ∴PD=（-a 2+2a+3）-（3-a ）=-a 2+3a ， ∴S △BDC =S △PDC +S △PDB ，=12PD ⋅a +12PD ⋅(3−a)=3 2PD=32(−a2+3a)=−32(a−32)2+278∴当a=32时，△BDC的面积最大，此时P（32，32）（3）解：由（1），y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，∴OF=1，EF=4，OC=3，过C作CH△EF于H点，则CH=EH=1，当M在EF左侧时，∵△MNC=90°，则△MNF△△NCH，∴MFNH=FNBC，设FN=n，则NH=3-n，∴1−m3−n=n1，即n2-3n-m+1=0，关于n的方程有解，△=（-3）2-4（-m+1）≥0，得m≥ −54，当M在EF右侧时，Rt△CHE中，CH=EH=1，△CEH=45°，即△CEF=45°，作EM△CE交x轴于点M，则△FEM=45°，∵FM=EF=4，∴OM=5，即N为点E时，OM=5，∴m≤5，综上，m的变化范围为：−54≤m≤5.2．【答案】（1）解：把x=0代入y=34x2−154x+3中，得y=3．∴点C的坐标是(0，3)．把y=0代入y=34x2−154x+3中，得34x2−154x+3=0．解得x1=1，x2=4．∴点A的坐标是(1，0)，点B的坐标是(4，0)．∴点A的坐标是(1，0)，点B的坐标是(4，0)，点C的坐标是(0，3)．（2）解：设直线BC的解析式是y=kx+3．∵过点B(4，0)，∴0=4k+3．解得k=−3 4．∴直线BC的解析式是y=−34x+3．∵点E是直线BC上的动点，过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，∴设点E的坐标是(m，−34m+3)，则点F的坐标是(m，34m2−154m+3)．∵EF=OC，点C的坐标是(0，3)，∴|34m2−154m+3−(−34m+3)|=3．∴34m2−3m=3，或34m2−3m=−3．解得m1=2+2√2，m2=2−2√2，m3=m4=2．∴点E的横坐标是2+2√2，2−2√2和2．（3）解：设运动时间为t，根据题意，若要构成△BPQ，则P、Q不与点B重合，t的取值范围为0<t<4，∴PB=OQ=t，BQ=4−t，如图，过点P作PD⊥x轴于点D，设点P的坐标为(a，−34a+3)，则BD=4−a，PD=−34a+3，根据勾股定理，在Rt △PDB 中， PD 2+DB 2=PB 2，(−34a +3)2+(4−a)2=t 2，解得a 1=4−45t ，a 2=4+45t （不符合题意，舍去），∴点P 的坐标为(4−4t 5，3t5)，∵点Q 的坐标为(t ，0)∴PQ 2=(4−4t 5−t)2+(3t 5)2=9025t 2−72t5+16，∵PB =OQ =t ，BQ =4−t ，PQ 2=(4−4t 5−t)2+(3t 5)2=9025t 2−72t5+16，①当BP =BQ 时， 即t =4−t ， 解得：t =2； ②当BP =PQ 时，t 2=9025t 2−72t5+16，解得：t 1=2013，t 2=4（不符合题意，舍去），③当BQ =PQ 时，(4−t)2=9025t 2−72t5+16，解得：t 1=3213，t 2=0（不符合题意，舍去），综上所述：当△BPQ 是等腰三角形时，时间为2秒，2013秒，3213秒．3．【答案】（1）解：∵抛物线y=﹣x 2+bx+c （a≠0）经过A （3，0），B （0，3），∴{−9+3b +c =0c =3 ，解得 {b =2c =3，∴抛物线解析式为y=﹣x 2+2x+3， 设直线y=kx+n ，∴{3k +n =0n =3 ，解得 {k =−1n =3 ，∴直线AB 的解析式为y=x+3（2）解：由题意可知OE=t ，则AF= √2 t ，AE=3﹣t ， ∵△AEF 为直角三角形，∴有△AEF=90°和△AFE=90°两种情况， ①当△AEF=90°时，则有△AOB△△AEF ，∴AB AF = AO AE ，即√2√2t= 33−t ，解得t= 32 ； ②当△AFE=90°时，则有△AOB△△AFE ，∴OA AF = AB AE ，即 3√2t = 3√23−t，解得t=1； 综上可知当t 为 32或1时△AEF 为直角三角形（3）解：如图，过P 作PC△y ，AB 于点C ，交x 轴于点D ，设P （x ，﹣x 2+2x+3）（0＜x ＜3），则C （x ，﹣x+3）， ∵P 为抛物线在第一象限内的点， ∴PC=﹣x 2+2x+3﹣（﹣x+3）=﹣x 2+3x ，∴S △PAB =S △PBC +S △PAC = 12 PC•OD+ 12 PC•AD= 12 PC•OA= 32 PC= 32 （﹣x 2+3x ）=﹣ 32（x﹣ 32 ）2+ 278 ，∵﹣ 32＜0，∴当x= 32 时，S △PAB 有最大值 278 ，此时P 点坐标为（ 32 ， 154），综上可知存在满足条件的点P ，其坐标为（ 32 ， 154）4．【答案】（1）解：由题意，得 {16a −4b +4=04a +2b +4=0解得 a =−12 ，b=－1．所以抛物线的解析式为 y =−12x 2−x +4 ，顶点D 的坐标为（－1， 92 ）．（2）解：设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ．因为EF 垂直平分BC ，即C 关于直线EG 的对称点为B ，连结BD 交于EF 于一点，则这一点为所求点H ，使DH+CH 最小，即最小为DH+CH=DH+HB=BD= √BM 2+DM 2=32√13 ．而 CD =√12+(92−4)2=√52．∴△CDH 的周长最小值为CD+DR+CH= √5+3√132．设直线BD 的解析式为y=k 1x+b ，则 {2k 1+b 1=0−k 1+b 1=92 解得 k 1=−32 ，b 1= 3．所以直线BD 的解析式为y= −32x+ 3．由于BC= 2 √5 ，CE=BC∕2 = √5 ，Rt△CEG△△COB ， 得CE:CO=CG:CB ，所以CG= 2.5，GO= 1.5．G （0，1.5）．同理可求得直线EF 的解析式为y= 12 x+ 32．联立直线BD 与EF 的方程，解得使△CDH 的周长最小的点H （ 34 ， 158）．（3）解：设K （t ， −12t 2−t +4 ），x F ＜t ＜x E ．过K 作x 轴的垂线交EF 于N ．则KN=y K －y N = −12t 2−t +4 －（ 12 t+ 32 ）= −12t 2−32t +52．所以S △EFK =S △KFN +S △KNE = 12 KN （t+ 3）+ 12 KN （1－t ）= 2KN= －t 2－3t+ 5 =－（t+ 32）2+ 294． 即当t=－ 32 时，△EFK 的面积最大，最大面积为 294 ，此时K （－ 32 ， 358）．5．【答案】（1）解：将点A （3，0），B （4，1）代入可得： {9a +3b +3＝014a +4b +3＝1 ，解得： {a =12b =−52， 故函数解析式为 y =12x 2−52x +3 ；（2）解：∵抛物线与x 轴的交点的纵坐标为0， ∴12x 2−52x +3=0 ，解得：x 1＝3，x 2＝2，∴点D 的坐标为（2，0），取点E （1，0），作EP△AB 交抛物线于点P ，∵ED＝AD＝1，∴此时△PAB的面积是△DAB的面积的两倍，∵直线AB解析式为y＝x﹣3，∴直线EP为y＝x﹣1，由{y=x−1y=12x2−52x+3解得{x=7−√172y=5−√172或{x=7+√172y=5+√172，∴点P坐标（7−√172，5−√172）或（7+√172，5+√172）.（3）解：如图2中，作BD△OA于D.∵A（3，0），C（0，3），B（4，1），∴OA＝OC＝3，AD＝BD＝1，∴△OAC＝△BAD＝45°，∵△OAF＝△BAD＝45°，∴△EAF＝90°，∴EF是△AEO的外接圆的直径，∴△EOF＝90°，∴△EFO＝△EAO＝45°，∴△EOF是等腰直角三角形，∴当OE最小时，△EOF的面积最小，∵OE△AC 时，OE 最小，OC ＝OA ，∴CE ＝AE ，OE ＝ 12 AC ＝ 3√22，∴E （ 32 ， 32 ），S △EOF ＝ 12×3√22×3√22=94.∴当△OEF 的面积取得最小值时，面积的最小值为 94 ，E 点坐标（ 32 ， 32）.6．【答案】（1）解：∵直线 y =−12x +2 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，令x=0，则y=2，令y=0，则x=4， ∴A （4，0），B （0，2），∵抛物线 y =−23x 2+bx +c 经过B （0，2）， C(52,34) ，∴{2=c34=−23×254+52b +c ，解得： {b =76c =2 ，∴抛物线的表达式为： y =−23x 2+76x +2 ；（2）解：当点P 在x 轴上方时，点P 与点C 重合，满足 ∠PAO =∠BAO ，∵C(52,34) ，∴P(52,34) ，当点P 在x 轴下方时，如图，AP 与y 轴交于点Q ，∵∠PAO =∠BAO ， ∴B ，Q 关于x 轴对称， ∴Q （0，-2），又A （4，0），设直线AQ 的表达式为y=px+q ，代入，{−2=q 0=4p +q ，解得： {p =12q =−2， ∴直线AQ 的表达式为： y =12x −2 ，联立得：{y =12x −2y =−23x 2+76x +2，解得：x=3或-2，∴点P的坐标为（3，−12）或（-2，-3），综上，当∠PAO=∠BAO时，点P的坐标为：(52,34)或（3，−12）或（-2，-3）；（3）解：①如图，△MNC=90°，过点C作CD△x轴于点D，∴△MNO+△CND=90°，∵△OMN+△MNO=90°，∴△CND=△OMN,又△MON=△CDN=90°，∴△MNO△△NCD，∴MOND=NOCD，即m52−n=n34，整理得：m=−43n2+103n；②如图，∵△MNC=90°，以MC为直径画圆E，∵N(n,0) (0<n<5 2)，∴点N在线段OD上（不含O和D），即圆E与线段OD有两个交点（不含O和D），∵点M在y轴正半轴，当圆E与线段OD相切时，有NE= 12MC，即NE2= 14MC2，∵M（0，m），C(52,34)，∴E（54，38+m2），∴(38+m2)2= 14[(52)2+(m−34)2]，解得：m= 25 12，当点M与点O重合时，如图，此时圆E与线段OD（不含O和D）有一个交点，∴当0＜m＜2512时，圆E与线段OD有两个交点，故m的取值范围是：0＜m＜25 12.7．【答案】（1）解：将点A（3，0），B（4，1）代入可得：{9a+3b+3=014a+4b+3=1，解得：{a=12b=−52，故函数解析式为y= 12x2﹣52x+3（2）解：如图1中，连接DC、AC，AC交对称轴于H，连接DH，此时△CDH的周长最小．∵A、D关于对称轴对称，HD=HA，x∴DH+CH=AC= √32+42=5，CD= √22+32= √13，∴△CDH的周长的最小值为5+ √13，∵A（3，0），C（3，0），∴直线AC的解析式为y=﹣x+3，∴H（52，12）（3）解：如图2中，作BD△OA于D．∵A（3，0），C（0，3），B（4，1），∴OA=OC=3，AD=BD=1，∴△OAC=△BAD=45°，∵△OAF=△BAD=45°，∴△EAF=90°，∴EF是△AEO的外接圆的直径，∴△EOF=90°，∴△EFO=△EAO=45°，∴△EOF是等腰直角三角形，∴当OE最小时，△EOF的面积最小，∵OE△AC时，OE最小，OC=OA，∴CE=AE，OE= 12AC=3√22，∴E（32，32），S△EOF=12•3√22• 3√22= 94．∴当△OEF的面积取得最小值时，面积的最小值为94，E点坐标（32，32）8．【答案】（1）解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴相交于点A（﹣3，0）、B（1，0）， ∴{9a −3b +3=0a +b +3=0 解得{a =−1b =−2∴二次函数的表达式为y=﹣x 2﹣2x+3． （2）解：如图1，，∵二次函数的表达式为y=﹣x 2﹣2x+3， ∴点C 的坐标为（0，3）， ∵y=﹣x 2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4， ∴点G 的坐标是（﹣1，4）， ∵点C 的坐标为（0，3），∴设CG 所在的直线的解析式是y=mx+3， 则﹣m+3=4， ∴m=﹣1，∴CG 所在的直线的解析式是y=﹣x+3， ∴点H 的坐标是（3，0）， 设点D 的坐标是（0，p ），则p−00−(−3)=3−00−3=−1，∴p=﹣3，∵AO=CO=DO=HO=3，AH△CD ， ∴四边形ACHD 是正方形．（3）解：①如图2，作ME△x 轴于点E ，作MF△y 轴于点F ，，∵四边形ADCM 的面积为S ，∴S=S 四边形AOCM +S △AOD ，∵AO=OD=3，∴S △AOD =3×3÷2=4.5，∵点M （t ，p ）是y=kx 与y=﹣x 2﹣2x+3在第二象限内的交点，∴点M 的坐标是（t ，﹣t 2﹣2t+3），∵ME=﹣t 2﹣2t+3，MF=﹣t ，∴S 四边形AOCM =12×3×（﹣t 2﹣2t+3）12×3×(-t)=﹣32t 2﹣92t+92，∴S=﹣32t 2﹣92t+92+4.5=﹣32t 2﹣92t+9，﹣3＜t ＜0．②如图3，作NI△x 轴于点I ，，设点N 的坐标是（t 1，p 1），则NI=|t 1|，∴S △CMN =S △COM +S △CON =32（|t|+|t 1|），∵t ＜0，t 1＞0，∴S △CMN =32（|t|+|t 1|）=32(t 1-t)=214，∴t 1-t=72，联立{y =kxy =−x 2−2x +3可得x 2﹣（k+2）x ﹣3=0，∵t 1、t 是方程的两个根，∴{t 1+t =k +2t 1t =−3∴t (t 1−t)2=(t 1+t)2﹣4t 1t=（k+2）2﹣4×（﹣3）=(72)2=494，解得k 1=−32，k 2=−52，a 、k=﹣32时，由x 2+（2﹣32）x ﹣3=0，解得x 1=﹣2，或（舍去）．b 、k=﹣52时，由x 2+（2﹣52）x ﹣3=0，解得x 3=﹣32，或x 4=2（舍去），∴t=﹣2，或t=﹣32，t=﹣2时，S=﹣32t 2﹣92t+9=﹣32×4﹣92×（﹣2）+9=12t=﹣32时，S=﹣32×94﹣92×(-32)+9=998，∴S 的值是12或998．9．【答案】（1）解：当 y =0 时， 14x 2−32x −4=0 ，解得 x 1=−2 ， x 2=8 ，∵ 点 B 在点 A 的右侧，∴ 点 A 的坐标为 (−2,0) ，点 B 的坐标为 (8,0) ． 当 x =0 时， y =−4 ， ∴ 点 C 的坐标为 (0,−4) ．（2）解：由菱形的对称性可知，点 D 的坐标为 (0,4) ． 设直线 BD 的解析式为 y =k x +b ，则 {b =48k +b =0，解得 k =−12， b =4 ．∴ 直线 BD 的解析式为 y =−12x +4 ．∵l ⊥x 轴，∴ 点 M 的坐标为 (m,−12m +4) ，点 Q 的坐标为 (m,14m 2−32m −4) ．如图，当 MQ =DC 时，四边形 CQMD 是平行四边形，∴(−12m +4)−(14m 2−32m −4)=4−(−4) ．化简得： m 2−4m =0 ，解得 m 1=0 （不合题意舍去）， m 2=4 ． ∴ 当 m =4 时，四边形 CQMD 是平行四边形．（3）解：抛物线上存在两个这样的点Q ，分别是Q 1（-2，0），Q 2（6，-4）． 若△BDQ 为直角三角形，可能有三种情形，如答图所示：①以点Q 为直角顶点．此时以BD 为直径作圆，圆与抛物线的交点，即为所求之Q 点． ∵P 在线段EB 上运动，∴-8≤x Q ≤8，而由图形可见，在此范围内，圆与抛物线并无交点，故此种情形不存在． ②以点D 为直角顶点．连接AD ，∵OA=2，OD=4，OB=8，AB=10， 由勾股定理得：AD=2 √5 ，BD=4 √5 ， ∵AD 2+BD 2=AB 2，∴△ABD 为直角三角形，即点A 为所求的点Q ． ∴Q 1（-2，0）； ③以点B 为直角顶点．如图，设Q 2点坐标为（x ，y ），过点Q 2作Q 2K△x 轴于点K ，则Q 2K=-y OK=x ，BK=8-x ． 易证△Q 2KB△△BOD ，∴Q 2K OB =BK OD，即−y 8=8−x4 ，整理得：y=2x-16． ∵点Q 在抛物线上，∴y= 14x 2−32x −4∴14x 2−32x −4 =2x-16，解得x=6或x=8， 当x=8时，点Q 2与点B 重合，故舍去； 当x=6时，y=-4， ∴Q 2（6，-4）．综上所述，正确的点Q 的坐标为（-2，0）或（6，-4）．10．【答案】（1）1；（4，0）（2）y=-(x-2)2+4（3）0＜x ＜2（填0≤x≤2也可以）或x ＞4（4）解：①令y =(x −ℎ)2−4=0，解得：x 1=ℎ−2，x 2=ℎ+2. 故点A ，B 的坐标为：A(ℎ−2，0)，B(ℎ+2，0). ②当1<x <2时，新图象的函数值y 随x 增大而增大， 则：{ℎ−2≤1ℎ≥2 或ℎ+2≤1.解得：2≤ℎ≤3或ℎ≤−1.11．【答案】（1）解：由题意A （ √3 ，0），B （﹣3 √3 ，0），C （0，﹣3），设抛物线的解析式为y ＝a （x+3 √3 ）（x −√3 ），把C （0，﹣3）代入得到a =13，∴抛物线的解析式为y =13 x 2+23√3 x ﹣3（2）解：在Rt△AOC 中，tan△OAC =OCOA =√3 ，∴△OAC ＝60°．∵AD 平分△OAC ，∴△OAD ＝30°，∴OD ＝OA•tan30°＝1，∴D （0，﹣1），∴直线AD 的解析式为y =√33 x ﹣1，由题意P （m ， 13 m 2+2√33m ﹣3），H （m ， √33 m ﹣1），F （m ，0）．∵FH ＝PH ，∴1 −√33m =√33 m ﹣1﹣（ 13 m 2+2√33m ﹣3）解得m =−√3 或 √3 （舍弃），∴当FH ＝HP 时，m 的值为 −√3 （3）解：如图，∵PF 是对称轴，∴F （ −√3 ，0），H （ −√3 ，﹣2）． ∵AH△AE ，∴△EAO ＝60°，∴EO =√3 OA ＝3，∴E （0，3）．∵C （0，﹣3），∴HC =√（√3）2+12= 2，AH ＝2FH ＝4，∴QH =12 CH ＝1，在HA上取一点K ，使得HK =14 ，此时K （ −78√3，−158）．∵HQ 2＝1，HK•HA ＝1，∴HQ 2＝HK•HA ，∴HQ AH =KHHQ ．∵△QHK ＝△AHQ ，∴△QHK△△AHQ ，∴KQ AQ =HQ AH =14 ，∴KQ =14AQ ，∴14 AQ+QE ＝KQ+EQ ，∴当E 、Q 、K 共线时， 14AQ+QE 的值最小，最小值 =（7√38）2+（158+3）2=√4174．12．【答案】（1）解：由题意抛物线的顶点 D(0,4),A(−2,0) ，设抛物线的解析式为 y =ax 2+4 ，把 A(−2,0) 代入可得 a =−1 ，∴抛物线C 的函数表达式为 y =−x 2+4 ．（2）解：由题意抛物线 C ′ 的顶点坐标为 (2m,−4) ，设抛物线 C ′ 的解析式为 y =(x −2m)2−4 ，由 {y =−x 2+4y =(x −2m)2−4 ，消去y 得到 x 2−2mx +2m 2−4=0 ， 由题意，抛物线 C ′ 与抛物线C 在y 轴的右侧有两个不同的公共点， 则有 {(2m)2−4(2m 2−4)>02m >02m 2−4>0 ，解得 √2<m <2 ， ∴满足条件的m 的取值范围为 √2<m <2 ． （3）解：结论：四边形 PMP ′N 能成为正方形．理由：1情形1，当 0<m <√17−12时，如图，作 PE ⊥x 轴于 E, MH ⊥x 轴于H ．由题意P 点在二次函数上，且横纵坐标相等， x =−x 2+4 ，解得 x =√17−12（舍去负值），∴P(√17−12,√17−12) ，当 △PFM 是等腰直角三角形时，四边形 PMP ′N 是正方形， ∴PF =FM, ∠PFM =90° ，可证 △PFE ≌△FMH ，可得 PE =FH =√17−12, EF =HM =√17−12−m ，∴M(m +√17−12,m −√17−12) ，∵点M 在 y =−x 2+4 上， ∴m −√17−12=−(m +√17−12)2+4 ，解得 m =−√17+√13+4√172或 −√17−√13+4√172（舍弃），∴m =−√17+√13+4√172时，四边形 PMP ′N 是正方形，情形2，如图，当 m >√17−12 时，四边形 PMP ′N 是正方形，同法可得 M(m −√17−12,√17−12−m) ，把 M(m −√17−12,√17−12−m) 代入 y =−x 2+4 中，√17−12−m =−12(m −√17−12)2+4 ，解得 m =√17 或0（舍弃）， ∴m =√17 时，四边形 PMP ′N 是正方形． 综上，四边形 PMP ′N 能成为正方形，m =−√17+√13+4√172或 √17 ．13．【答案】（1）∵ 点 B(2,0) ，点 C(0,2) 在抛物线 y =x 2+bx +c 图象上，∴{−4+2b +c =0c =2 ，解得 {b =1c =2 ，∴ 抛物线解析式为： y =−x 2+x +2 . （2）设直线BC 的解析式为y=kx+n ， ∵ 点 B(2,0) ，点 C(0,2) ， ∴{2k +n =0n =2 ，解得 {k =−1n =2 ，∴ 直线 BC 解析式为： y =−x +2 ，如图，过点 P 作 PH ⊥x 轴于 H ，交 BC 于点 G ，设点 P(m,−m 2+m +2) ，则点 G(m,−m +2) ，∴PG =(−m 2+m +2)−(−m +2)=−m 2+2m ，∵S △PBC =12×PG ×OB =12×2×(−m 2+2m)=−(m −1)2+1 ，∴ 当 m =1 时， S △PBC 有最大值， ∴ 点 P(1,2) .（3）存在 N 满足条件，理由如下：∵ 抛物线 y =−x 2+x +2 与 x 轴交于 A ， B 两点， ∴ 点 A(−1,0) ，∵点 M 为 (1,3) ，点 C(0,2) ，设直线MC 解析式为y=ax+z ， ∴{a +z =3z =2 ，解得 {a =1z =2，∴ 直线 MC 的解析式为： y =x +2 ，如图，设直线 MC 与 x 轴交于点 E ，过点 N 作 NQ ⊥MC 于 Q ，连接AN ，∴ 点 E(−2,0) ， ∴DE =3=MD ，∴∠NMQ =45° . NQ =√22MN ，设点 N(1,n) ， ∴NQ 2=AN 2 ，∴(√22MN)2=AN 2 ， ∴(√22|3−n|)2=4+n 2 ，∴n2+6n−1=0，∴n=−3±√10，∴存在点N满足要求，点N坐标为(1,−3+√10)或(1,−3−√10).. 14．【答案】（1）解：把B(2√3，0),C(0，2)两点代入抛物线解析式得：{−4+2√3b+c=0c=2,解得：b=√33，c=2，则抛物线解析式为y=−13x 2+√33x+2；（2）解：①如图1所示，点F在抛物线上，作DG△y轴，FH△y轴，易得△CDG△△EFH，即CG＝HE，GD＝FH，由题意得：CD=EF=√3t，∵△CGD△△COB，∴CG2=√3t4=2√3,即CG=HE=√32t，DG=FH=32t，∵CE=2CD=2√3t,∴OH＝3√32t−2，即F(−32t,−2+3√32t)，代入抛物线解析式得：−2+3√32t=−13×94t2+√33×(−32)+2,解得：t= 4√33；②分三种情况考虑：（i）如图2所示，△ABC与矩形CDEF重叠部分为矩形CDEF，在Rt△CDE中，CD=√3t，∠ECD=60°，∴DE＝3t，∴S=3t⋅√3t=3√3t2(0<t≤√3 3).（ii）如图3所示，△ABC与矩形CDEF重叠部分为五边形CDHGF，由题意得：CD=√3t，在Rt△CED中，△ECD＝60°，∴CE=2√3t，∴OE=2√3t−2，在Rt△OGE中，GE=2OE=4√3t−4，同理可得EH=4t−4√33，即S△GEH=12GE⋅EH=(2√3t−2)(4t−4√33)，则S=√3t⋅3t−(2√3t−2)(4t−4√33)=−5√3t 2+16t−8√33(√33<t≤4√39);（iii）如图4，△ABC与矩形CDEF重叠部分为四边形CDMN，由题意得：CN=2√32=4√33，CD=√3t，BD=4−√3t,在Rt△BMD 中， DM =√3t√3,则 S =S △BCN −S △BDM ,=12CN ⋅BC −12BD ⋅DM ，=12×4√33×4−12×(4−√3t)√3t √3,=−√32t2+4t(4√39<t ≤4√33).15．【答案】（1）∵y=- 12x 2+bx+c把A （4，5）B （0，1）代入{−12×16+4b +c =5c =1{b =3c =1∴y= −12x 2+3x +1（2）过点P 作PM△x 轴交AB 于F ，如图∵PE//AC ∴S △PEC =S △APE直线 AB 交于点 A(4，5) ， B(0，1) . S 四边形BPCE =S △PBE +S △PEC =S △PBE +S △APE =S △APB 设AB 的解析式为y=kx+b∵直线 AB 经过点 A(4，5) ， B(0,1) . ∴{4k +b =5b =1解得{k =1b =1∴y=x+1设点P （x ，- 12x 2+3x +1 ) 则点F(x ，x+1)∴PF=(- 12x 2+3x +1)−(x +1)=−12x 2+2x △ABP 的面积S = 12 PF×BK= 12×4PF=- x 2 +4x 当x=- b 2a=2 时，S △ABP 最大值=-22+4×2=4 ∴四边形CPBE 面积的最大值为4（3）如图，该抛物线沿射线 AB 方向平移 2√2 个单位，即沿x 轴负方向平移2个单位，沿y 轴负方向平移2个单位.∴平移后抛物线解析式为：y=- 12(x +2)2+3(x +2)+1−2 =- 12x 2＋x+3 { y =−12x 2+x +3y =−12x 2+3x +1 {x =1y =72∴G(1， 72） ∴BG= √(1−0)2+(72−1)2=√292=B′G′ 分两种情况讨论，第一种情况当OB ＇=B ＇G ＇= √292设点B`的坐标为(x,x+1)√x 2+(x +1)2=√292解得x= −12−3√64 ，或- 12 + 3√64 第二种情况当OG ＇=B ＇G ＇∴K GG`=K AB =1∴y- 72 =x-1 ∴GG`的解析式为y=x+ 52设点B`的坐标为(x,x+1)，则点G`的坐标为(x+1, x+ 72) ∵OG ＇=B ＇G ＇∴√(x +1)2+(x +72)2=√292解得x= −94−√334 或 −94+√334综上：B`的横坐标为 −12−3√64 ，- 12 + 3√64 ， −94−√334 ，或 −94+√334. 16．【答案】（1）解：由题意得： {4a +85×2+c =0c =−4 ，解得： {a =15c =−4， ∴抛物线的表达式为y= 15 x 2+ 85x ﹣4. （2）解：设P （m ， 15 m 2+ 85 m ﹣4），则F （m ，﹣ 12m ﹣4）. ∴PF=（﹣ 12 m ﹣4）﹣（ 15 m 2+ 85 m ﹣4）=﹣ 15 m 2﹣ 2110m. ∵PE△x 轴，∴PF△OC.∴PF=OC 时，四边形PCOF 是平行四边形.∴﹣ 15 m 2﹣ 2110 m=4，解得：m=﹣ 52或m=﹣8. 当m=﹣ 52时， 15 m 2+ 85 m ﹣4=﹣ 274 ， 当m=﹣8时， 15 m 2+ 85m ﹣4=﹣4. ∴点P 的坐标为（﹣ 52，﹣ 274 ）或（﹣8，﹣4）. （3）①证明：把y=0代入y=﹣ 12 x ﹣4得：﹣ 12x ﹣4=0，解得：x=﹣8. ∴D （﹣8，0）.∴OD=8.∵A （2，0），C （0，﹣4），∴AD=2﹣（﹣8）=10.由两点间的距离公式可知：AC2=22+42=20，DC2=82+42=80，AD2=100，∴AC2+CD2=AD2.∴△ACD是直角三角形，且△ACD=90°.②解：由①得△ACD=90°.当△ACD△△CHP时，ACCD=CHHP，即2√54√5=|−15n2−85n||−n|，解得：n=0（舍去）或n=﹣5.5或n=﹣10.5.当△ACD△△PHC时，ACCD=PHCH，即2√54√5=|n||−15n2−85n|，解得：n=0（舍去）或n=2或n=﹣18.综上所述，点P的横坐标为﹣5.5或﹣10.5或2或﹣18时，使得以点P、C、H为顶点的三角形与△ACD相似。

2023年中考数学高频考点训练——动点问题的函数图象一、综合题1．小亮在学习中遇到了这样一个问题：把一副三角尺如图摆放，直角三角尺的两条直角边分别垂直或平行，即90,6cm C AC BC ∠=︒==，点D 在AB 上，DE BC ⊥于点E ，射线DF 与射线AC 交于点F ，60EDF ∠=︒，顶点D 在斜边AB 上移动，设BE 两点间的距离为cm x ，EF 两点间的距离为cm EF y ，DE 两点间的距离为cm DE y .（1）当点F 与点C 重合时，求x 的长度（保留一位小数）；（2）通过测量，得到了x 与EF y 的几组值，如下表：将线段BE 的长度作为自变量x ，EF DE 直角坐标系xOy 中画出函数EF y 和DE y 的图象；（3）结合图象直接写出：当DEF 为等边三角形时，BE 长度的近似值（结果保留一位小数）2．在以点O 为原点的平面直角坐标系中，边长为1的正方形OABC 的两顶点A ，C 分别在y 轴，x 轴的正半轴上，现将正方形OABC 绕点О顺时针旋转，当点A 第一次落在直线y x =上时，停止转动，旋转过程中，AB 边交直线y x =于点M ，BC 边交轴于点N.（1）旋转停止时正方形旋转的度数是.（2）在旋转过程中，当MN 和AC 平行时，①OAM 与OCN 是否全等？此时正方形OABC 旋转的度数是多少？②直接写出MBN 的周长的值，并判断这个值在正方形OABC 的旋转过程中是否发生变化.3．如图，点C 是以点O 为圆心，AB 为直径的半圆上的动点（不与点A ，B 重合），AB ＝6cm ，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，E 是CD 的中点，连接AE 并延长交 AB 于点F ，连接FD ．小腾根据学习函数的经验，对线段AC ，CD ，FD 的长度之间的关系进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）对于点C 在 AB 上的不同位置，画图、测量，得到了线段AC ，CD ，FD 的长度的几组值，如表：位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8AC /cm 0.10.5 1.0 1.9 2.6 3.2 4.2 4.9CD /cm 0.10.5 1.0 1.8 2.2 2.5 2.3 1.0FD /cm 0.2 1.0 1.8 2.8 3.0 2.7 1.80.5在AC ，CD ，FD 的长度这三个量中，确定的长度是自变量，的长度和的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合函数图象，解答问题：当CD＞DF时，AC的长度的取值范围是．4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm，点D是AB的中点，以D 为顶点作∠MDN＝∠A，∠MDN的两边分别与线段AC交于点M.N（点M在点N左边）.设A，M两点间的距离为xcm，C、N两点间的距离为ycm.小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.下面是小明的探究过程，请补充完整.（1）列表：下表的已知数据是根据A，M两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到了x与y的几组对应值：x/cm00.6 1.2 1.8 2.3 2.9 3.4 3.5 4.0 4.3 4.5 4.7 4.8 y/cm a 4.6 4.3 3.9 3.6 3.1 2.6 2.4b 1.20.90.40.2请你补全表格：a＝；b＝.（2）描点、连线：在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点（x，y），并画出函数y关于x的图象：（3）探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势：.（4）解决问题：当AM＝CN时，A、M两点间的距离大约是cm.（保留一位小数）中，D为AB的中点，P是BC边上一动点，连接5．如图1，在Rt ABC，，设PC x=(当点P与点C重合时，x的值为0)，==BC AC，．若43PD PA+=．PA PD y小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整．（1）通过取点、画图、计算，得到了x与y的几组值，如下表：(参考数据： 1.414 3.162 3.606≈≈)．（2）如图2，描出剩余的点，并用光滑的曲线画出该函数的图象．（3）观察图象，下列结论正确的有_．①函数有最小值，没有最大值②函数有最小值，也有最大值③当43x >时，y 随着x 的增大而增大④当 1.5x <时，y 随着x 的增大而减小6．如图如图1，在矩形ABCD 中，3cm AB =，4cm BC =，圆弧 AE 过点A 和AD 延长线上的点E ，圆心R 在CD 上， AE 上有一个动点P ，PQ AC ⊥，交直线AC 于点Q .线段AP 的长cm x 与PQ 的长cm PQ y 以及RQ 的长cm RQ y 之间的几组对应值如下表所示.（1）将线段AP 的长度作为自变量，在平面直角坐标系中画出了函数PQ y 的图象，如图2所示.请在同一坐标系中画出函数RQ y 的图象.（2）结合函数图象填空：（结果精确到0.1）线段PQ 的长度的最大值约为；线段RQ 的长度的最小值约为；圆弧 AE 所在圆的半径约等于；连结PC ，PAC 面积的最大值约为.（3）继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当以点P 、Q 、R 为顶点构成的三角形为等腰三角形时，线段AP 的长度的近似值.（结果精确到0.1）7．动点P 在□ABCD 边上沿着A→B→C→D 的方向匀速移动，到达点D 时停止移动.已知P 的速度为1个单位长度/s ，其所在位置用点P 表示，P 到对角线BD 的距离（即垂线段PQ 的长）为d 个单位长度，其中d 与t 的函数图象如图2所示.（1）若a ＝3，求当t ＝8时△BPQ 的面积；（2）如图3，点M ，N 分别在函数第一和第三段图象上，线段MN 平行于横轴，M 、N 的横坐标分别为t 1、t 2，设t 1、t 2时点P 走过的路程分别为12l l 、，若12l l +＝16，求t 1、t 2的值.8．如图1，已知四边形OABC 的顶点O 在坐标原点，点A 在y 轴上，点C 在x 轴上，AB x 轴，动点P 从点O 出发，以每秒1单位的速度，沿O A B C O →→→→运动一周，顺次连结P ，O ，C 三点所围成图形的面积为S ，点P 的运动时间为t 秒，S 与t 之间的函数关系如图2中折线ODEFG 所示已知4AB =，点D ，点F 横坐标分别为8和22.（1）求a 和b 的值.（2）求直线EF 的函数解析式.（3）当P 在BC 上时，用t 表示P 点的纵坐标.9．“低碳环保、绿色出行”的理念得到广大群众的接受，越来越多的人喜欢选择自行车作为出行工具．小军和爸爸同时从家骑自行车沿同一路线去图书馆，爸爸先以150米/分的速度骑行一段时间，休息了5分钟，再以m 米/分的速度到达图书馆．小军始终以同一速度骑行，两人行驶的路程(y 米)与时间(x 分钟)的关系如图．请结合图象，解答下列问题：（1）a=；b=．（2）求出m 的取值是多少？（3）若小军的速度是120米/分，求小军在图中与爸爸第二次相遇时的时间．10．如图1，在菱形ABCD 中，1cm AB =，连结AC BD ，．设DAB x ∠=()0180x y AC BD <<=- ，，小宁根据学习函数的经验，对变量y 与x 之间的关系进行了如下探究．（1）【探究】列表：通过观察补全下表（精确到0.01）．/x153045607590105120135150165/cm y 1.72 1.080.3700.73 1.08 1.41 1.72描点、连线：在图2中描出表中各组数值所对应的点() x y ，，并画出y 关于x的函数图象．（2）【发现】结合画出的函数图象，写出该函数的两条性质：①；②．（3）【应用】有一种“千斤顶”，它是由4根长为30cm 的连杆组成的菱形ABCD ，当手柄顺时针旋转时，B D 、两点的距离变小（如图3）．在这个过程中，当33cm AC BD -=时，BAD ∠的度数约为．（精确到1°）．11．快、慢两车分别从相距360km 的佳市、哈市两地出发，匀速行驶，先相向而行，慢车在快车出发1h 后出发，到达佳市后停止行驶；快车到达哈市后，立即按原路原速返回佳市（快车掉头的时间忽略不计）．快、慢两车距哈市的路程1y （单位：km ），2y （单位：km ）与快车出发时间x （单位：h ）之间的函数图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题：（1）直接写出慢车的行驶速度和a 的值；（2）快车与慢车第一次相遇时，距离佳市的路程是多少千米？（3）快车出发多少小时两车相距100km ？请直接写出答案．12．如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，点P 从点A 出发，以12cm/s 的速度沿AB 向终点B 运动；2s 后，又有一动点Q 从点B 出发，沿B→C→A 方向以3cm/s 的速度向终点A 运动.第二幅图是△PQC 的面积S （cm 2）关于点P 的运动时间t （s ）的函数图象，请结合图中提供的信息解决下面的问题；（1）线段AB ＝cm ，a=，m=；（2）求当t 为何值时，PQ ∥AC ；（3）求图中EF 段函数解析式.13．如图，在ABC 中，60C ∠=︒，3BC =厘米，4AC =厘米，点P 从点B 出发，沿B C A →→以每秒1厘米的速度匀速运动到点A ．设点P 的运动时间为x 秒，B 、P 两点间的距离为y 厘米．小新根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究．下面是小新的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：x（s）01234567y（cm）0 1.0 2.0 3.0 2.7 2.7m 3.6m的值是．（2）建立平面直角坐标系，描出表格中所有各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；中画出（3ABC点P所在的位置，此时P运动的时间为▲秒14．已知图形ABCDEF的相邻两边垂直，AB＝8cm．当动点M以2cm/s的速度沿图①的边框按B→C→D→E→F→A的路径运动时，△ABM的面积S随时间t的变化如图②所示．回答下列问题：（1）求a的值和EF的长度；（2）当点M运动到DE上时，求S与t的关系式．15．已知动点P以每秒2㎝的速度沿图甲的边框按从的路径移动,相应的△ABP 的面积S 与时间t 之间的关系如图乙中的图象表示.若AB=6cm,试回答下列问题：（1）图甲中的BC 长是多少？（2）图乙中的a 是多少?（3）图甲中的图形的面积是多少?（4）图乙中的b 是多少?16．对于平面直角坐标系xOy 中的任意点()P x y ，，如果满足x y a +=(x ≥0，a 为常数)，那么我们称这样的点叫做“特征点”．（1）当2≤a ≤3时，①在点(1,2),(1,3),(2.5,0)A B C 中，满足此条件的特征点为；②⊙W 的圆心为(,0)W m ，半径为1，如果⊙W 上始终存在满足条件的特征点，请画出示意图，并直接写出m 的取值范围；（2）已知函数()10Z x x x =+>，请利用特征点求出该函数的最小值．17．如图，在正方形ABCD 中，1AB =，延长BC 至M ，使5BM =．以BD BM ，为邻边作DBMN ．动点P 从点D 出发，以每秒1个单位的速度沿DN 向终点N 运动，过点P 作PQ ⊥BM 交BM 或BM 的延长线于点Q ，以PQ 为边向右作正方形PQRS ．设正方形PQRS ．设正方形PQRS 与DBMN 的重叠部分的面积为y ，点P 运动的时间为x （0x >．单位：秒）．（1）用含x 的代数式表示线段PN 为；（2）当点S 与点N 重合时，求x 的值；（3）当正方形PQRS 与DBMN 的重叠部分不是正方形时，求y 与x 之间的函数关系式；（4）当DQS 或PRN 是直角三角形时，直接写出x 的值．18．如图，已知在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的边AB//x 轴，AD//y 轴，点A 的坐标为（2，1），AB=4，AD=3．（1）求直线BD 的解析式．（2）已知双曲线(0)ky k x =>与折线ABC 的交点为E ，与折线ADC 的交点为F ．①连接CE ，当S △BCE =3时，求该双曲线的解析式，并求出此时点F 的坐标；②若双曲线(0)ky k x =>与矩形ABCD 各边和对角线BD 的交点个数为3，请直接写出k 的取值范围．19．如图①，在矩形ABCD 中，AB ＜AD ，对角线AC ，BD 相交于点O,动点P 由点A 出发，沿AB→BC→CD 向点D 运动，设点P 的运动路程为x ，△AOP 的面积为y ，y与x的函数关系图象如图②所示：（1）AD边的长为.（2）如图③，动点P到达点D后从D点出发，沿着DB方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，以点P为圆心，PD长为半径的⊙P与DB、DC的另一个交点分别为M、N，与此同时，点Q从点C出发，沿着CD方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动，以点Q为圆心、2为半径作⊙Q.设运动时间为t秒（0＜t≤5）.①当t为何值时，点Q与点N重合？②当⊙P与BC相切时，求点Q到BD的距离.20．已知：在矩形ABCD中，E为边BC上的一点，AE⊥DE，AB=12，BE=16，F为线段BE上一点，EF=7，连接AF．如图1，现有一张硬纸片△GMN，∠NGM=900，NG=6，MG=8，斜边MN与边BC在同一直线上，点N与点E重合，点G在线段DE上．如图2，△GMN从图1的位置出发，以每秒1个单位的速度沿EB向点B匀速移动，同时，点P从A点出发，以每秒1个单位的速度沿AD向点D匀速移动，点Q为直线GN与线段AE的交点，连接PQ．当点N到达终点B时，△GMNP和点同时停止运动．设运动时间为t秒，解答问题：（1）在整个运动过程中，当点G在线段AE上时，求t的值；（2）在整个运动过程中，是否存在点P ，使△APQ 是等腰三角形，若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由；（3）在整个运动过程中，设△GMN 与△AEF 重叠部分的面积为S ，请直接写出S 与t 的函数关系式以及自变量t 的取值范围．21．如图，直角三角形ABC ∆中，90 4 60ACB AC A ∠︒=∠︒＝，，＝，O 为BC 中点，将ABC ∆绕O 点旋转180︒得到DCB ∆.一动点P 从A 出发，以每秒1的速度沿A B D →→的路线匀速运动，过点P 作直线PM ，使PM AC ⊥.（1）当点P 运动2秒时，另-动点Q 也从A 出发沿A-→B→D 的路线运动，且在AB 上以每秒1的速度匀速运动，在BD.上以每秒2的速度匀速运动，过Q 作直线QN 使//QN PM ，设点Q 的运动时间为t 秒，(0<t<10)直线PM 与QN 截四边形ABDC 所得图形的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并求出S 的最大值（2）当点P 开始运动的同时，另一动点R 从B 处出发沿B C D →→的路线运动，且在BC 上以每秒32的速度匀速运动，在CD 上以每秒2的速度匀度运动，是否存在这样的P,R ，使BPR ∆为等腰三角形？若存在，直接写出点P 运动的时间m 的值，若不存在请说明理由.22．如图，直线l ：243y x =-+分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，在OB 上取一点()01C ，，以线段BC 为边向右作正方形BCDE ，正方形BCDE 沿CD 的方向以每秒1个单位长度的速度向右作匀速运动，设运动时间为t 秒()0t >．（1）求A，B两点的坐标；（2）在正方形BCDE向右运动的过程中，若正方形BCDE的顶点落在直线l 上，求t的值；（3）设正方形BCDE两条对角线交于点P，在正方形向右运动的过程中，是否存在实数t，使得OP PA+有最小值？若存在，求出t的值：若不存在，请说明理由．23．如图，A、B、C是数轴上的三点，O是原点，BO=3，AB=2BO，5AO=3CO．（1）写出数轴上点A、C表示的数；（2）点P、Q分别从A、C同时出发，点P以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，M为线段AP的中点，点N在线段CQ上，且CN=23CQ．设运动的时间为t（t>0）秒．①求数轴上点M、N表示的数（用含t的式子表示）；②t为何值时，M、N两点到原点的距离相等?24．一只蚂蚁在一个半圆形的花坛的周边寻找食物，如图1，蚂蚁从圆心O出发，按图中箭头所示的方向，依次匀速爬完下列三条线路：（1）线段OA、（2）半圆弧AB、（3）线段BO后，回到出发点．蚂蚁离出发点的距离S（蚂蚁所在位置与O点之间线段的长度）与时间t之间的图象如图2所示，问：（注：圆周率π的值取3）（1）请直接写出：花坛的半径是米，a=．（2）当2t<时，求s与t之间的关系式；（3）若沿途只有一处有食物，蚂蚁在寻找到食物后停下来吃了2分钟，并知蚂蚁在吃食物的前后，始终保持爬行且爬行速度不变，请你求出：①蚂蚁停下来吃食物的地方，离出发点的距离．②蚂蚁返回O所用时间．答案解析部分1．【答案】（1）解：在Rt DEB 中，DE BE x ==，在Rt DEF 中，6EF BF BE x =-=-，60EDF ∠=︒tan EFEDF DE∠=∴6xx -=，解得 2.2x ≈将 2.2x ≈代入分式方程左边中得6 2.23.8=1.732.2 2.2-=≈故x 的长约为 2.2cm（2）解：由题意可知DE BE x ==，∴DE y x=又根据EF y 经过表中的那些点，所以取点，画图即可得到其图象.（3）解：如图所示，当△DEF 为等边三角形时，EF=DE∵∠B=45°，射线DE ⊥BC 于点E∴BE=EF∴EF=DE∴在(2)中EF y 与DE y 的交点横坐标即为BE 的长经测量可知 3.2x ≈∴BE 的长约为3.2.【解析】【分析】(1)由题意得出△ABC 为等腰直角三角形，结合DE ⊥BC ，得出BE=DE=x ，当点F 与点C 重合时，在Rt △DEF 中，EF=6-x ，∠EDF=60°，利用正切函数列构建方程求解即可；(2)根据△ABC 为等腰直角三角形，推出△BDE 为等腰直角三角形，则可求出y DE 与x 的函数关系并画出图象，根据表格提供的数据，并通过描点法画出在同一个平面直角坐标系中函数yEF 的图象；(3)根据等边三角形的性质得出EF=DE ，结合∠B=45°，DE ⊥BC ，得出BE=EF ，即y=x ，再根据y EF 与y DE 相交时，交点的横坐标即为BE 的长度，得出BE 的近似值.2．【答案】（1）45°（2）解：①∵//MN AC ，∴45BMN BAC ∠=∠=︒，45BNM BCA ∠=∠=︒，∴BMN BNM ∠=∠，∴BM BN =，又∵BA BC =，∴AM CN =，∵在OAM 和OCN 中，AM CNOAM OCN AO CO=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS OAM OCN ∆ ≌，∴1()2AOM CON AOC MON ∠=∠=∠-∠1(9045)22.52︒=⨯-︒=︒，∴旋转过程中，当MN 和AC 平行时，正方形OABC 旋转的度数为4522.522.5︒-︒=︒.②MBN 的周长的值为2，且在正方形OABC 的旋转过程中不发生变化.理由如下：如图所示，延长BA 交y 轴于点E，则45AOE EOM AOM AOM ∠=∠-∠=︒-∠，∵904545CON AOC MON AOM AOM AOM ∠=∠-∠-∠=︒-︒-∠=︒-∠，∴AOE CON ∠=∠，又∵OA OC =，1809090OAE OCN ∠=︒-︒=︒=∠，在OAE 和OCN 中，AOE CONOA OC OAE OCN∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()ASA OAE OCN ≌，∴OE ON =，AE CN =.在OME 和OMN 中，OE ONEOM NOM OM OM=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS OME OMN ≌，∴MN ME AM AE ==+.∴MN AM CN =+，∴MBN 的周长为2MN BN BM AM CN BN BM AB BC ++=+++=+=.∴在正方形OABC 的旋转过程中，MBN 的周长不发生变化.【解析】【解答】解：（1）∵A 点第一次落在直线y x =上时停止旋转，直线y x =与y轴的夹角是45 ，∴OA旋转了45°；【分析】（1）根据直线y=x图象上点的特点，得出线y=x与y轴的夹角是45°，即可得出求得边OA旋转的角度；（2）①利用SAS得出全等，根据正方形一个内角的度数求出∠AOM的度数，即可得出答案；②利用全等把△MBN的各边整理到成与正方形的边长有关的式子即可.3．【答案】（1）AC；CD；FD（2）解：函数图象如图所示：（3）3.5cm＜x＜5cm【解析】【解答】解：（1）由题意可知：AC是自变量，CD，DF是自变量AC的函数．故答案为：AC，CD，FD．（3）观察图象可知CD＞DF时，3.5cm＜x＜5cm．故答案为：3.5cm＜x＜5cm．【分析】（1）根据函数的定义可得结论；（2）利用描点法画出函数图象即可；（3）利用图象法，观察图象写出函数CD的图象在函数DF的图象上方时，自变量的取值范围即可。

专题十动点型问题一、中考专题诠释所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.“动点型问题”题型繁多、题意创新，考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等，是近几年中考题的热点和难点。

二、解题策略和解法精讲解决动点问题的关键是“动中求静”.从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。

在动点的运动过程中观察图形的变化情况，理解图形在不同位置的情况，做好计算推理的过程。

在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。

三、中考考点精讲考点一：建立动点问题的函数解析式（或函数图像）函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.例1（2013•兰州）如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点P在运动过程中速度不变，则以点B为圆心，线段BP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t的函数图象大致为（）A．B．C．D．思路分析：分析动点P的运动过程，采用定量分析手段，求出S与t的函数关系式，根据关系式可以得出结论．解：不妨设线段AB长度为1个单位，点P的运动速度为1个单位，则：（1）当点P在A→B段运动时，PB=1-t，S=π（1-t）2（0≤t＜1）；（2）当点P在B→A段运动时，PB=t-1，S=π（t-1）2（1≤t≤2）．综上，整个运动过程中，S与t的函数关系式为：S=π（t-1）2（0≤t≤2），这是一个二次函数，其图象为开口向上的一段抛物线．结合题中各选项，只有B符合要求．故选B．点评：本题结合动点问题考查了二次函数的图象．解题过程中求出了函数关系式，这是定量的分析方法，适用于本题，如果仅仅用定性分析方法则难以作出正确选择．对应训练1．（2013•白银）如图，⊙O的圆心在定角∠α（0°＜α＜180°）的角平分线上运动，且⊙O.与∠α 的两边相切，图中阴影部分的面积 S 关于⊙O 的半径 r （r ＞0）变化的函数图象大致 是（ ）A ．B ．C ．D ． 1．C考点二：动态几何型题目点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题 . 它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题 . 这类题综合性强，能力要求 高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力 动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊 位置。

2023年中考数学专题复习：二次函数综合压轴题（动点问题）1．抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于点()10A -，，()30B ，，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)点D 为第一象限内抛物线上的一动点，作DE x ⊥轴于点E ，交BC 于点F ，过点F 作BC 的垂线与抛物线的对称轴、x 轴、y 轴分别交于点G ，N ，H ，设点D 的横坐标为m ．①当DF HF +取最大值时，求点F 的坐标；②连接EG ，若45GEH ∠=︒，求m 的值．2．如图，已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于()1,0A -，()5,0B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上存在一点P ，使得PA PC +的值最小，求此时点P 的坐标；(3)点D 是第一象限内抛物线上的一个动点（不与点C 、B 重合），过点D 作DF x ⊥轴于点F ，交直线BC 于点E ，连接BD ，直线BC 把BDF V 的面积分成两部分，若:3:2BDE BEF S S =V V ，请求出点D 的坐标．3．如图1，对于平面内小于等于90︒的MON ∠，我们给出如下定义：若点P 在MON ∠的内部或边上，作PE OM ⊥于点E ，PF ON ⊥于点F ，则将PE PF +称为点P 与MON ∠的“点角距”，记作(),d MON P ∠．如图2，在平面直角坐标系xOy 中，x 、y 正半轴所组成的角为xOy ∠．(1)已知点()5,0A 、点()3,2B ，则(),d xOy A ∠=______ ，(),d xOy B ∠=______．(2)若点P 为xOy ∠内部或边上的动点，且满足(),5d xOy P ∠=，在图2中画出点P 运动所形成的图形．(3)如图3，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线212y x mx n =-++经过()5,0A 与点()3,4D 两点，点Q 是A 、D 两点之间的抛物线上的动点(点Q 可与A 、D 两点重合)，求当(),d xOD Q ∠取最大值时点Q 的坐标．4．如图，抛物线2134y ax bx =++与x 轴交于点()30A -，和点B ，点D 是抛物线1y 的顶点，过点D 作x 轴的垂线，垂足为点()10C -，．(1)求抛物线1y 所对应的函数表达式；(2)如图1，点M 是抛物线1y 上一点，且位于x 轴上方，横坐标为m ，连接MC ，若MCB DAC ∠=∠，求m 的值；(3)如图2，将抛物线1y 平移后得到顶点为B 的抛物线2y ．点P 为抛物线1y 上的一个动点，过点P 作y 轴的平行线，交抛物线2y 于点Q ，过点Q 作x 轴的平行线，交抛物线2y 于点R ．当以点P ，Q ，R 为顶点的三角形与ACD V 全等时，请直接写出点P 的坐标．5．如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点()0,6C ，顶点为D ，且()1,8D ．(1)求抛物线的解析式；(2)若在线段BC 上存在一点M ，过点O 作OH OM ⊥交BC 的延长线于H ，且MO HO =，求点M 的坐标；(3)点P 是y 轴上一动点，点Q 是在对称轴上一动点，是否存在点P ，Q ，使得以点P ，Q ，C ，D 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，已知二次函数24y x bx =+-的图像经过点()3,4A -，与x 轴负半轴交于点B ，与y 轴交于点C ，连接AB ，BC ．(1)填空：b =______；(2)点P 是直线AB 下方抛物线上一个动点，过点P 作PT x ⊥轴，垂足为T ，PT 交AB 于点Q ，求线段PQ 的最大值；(3)点D 是y 轴正半轴上一点，若∠=∠BDC ABC ，求点D 的坐标．7．如图，抛物线2y x bx c =++（b ，c 是常数）的顶点为C ，与x 轴交于A ，B 两点，()1,0A ，4AB =(1)求该抛物线的解析式；(2)点P 为线段AB 上的动点，过P 作PQ BC ∥交AC 于点Q ，求CPQ V 面积的最大值，并求此时P 点坐标；(3)如图，设抛物线与y 轴交于点D ，平行于BD 的直线MN 交抛物线于点M ，N ，作直线MB ND 、交于点G ，问点G 是否在某一定直线上运动，若在求此直线的解析式，若不在说明理由．8．如图，已知抛物线23y ax bx =+-的图象与x 轴交于点A ()10，和B ()30，，与y 轴交于点C ，D 是抛物线的顶点，对称轴与x 轴交于E ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，在抛物线的对称轴DE 上求作一点M ，使A M C V 的周长最小，M 的坐标__________周长的最小值______．(3)如图2，点P 是x 轴上的动点，过P 点作x 轴的垂线分别交抛物线和直线BC 于F 、G ．设点P 的横坐标为m ．是否存在点P ，使FG 最长？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．9．如图1，抛物线()230y ax bx a =+->交x 轴于点A ，B （点A 在点B 左侧），交y 轴于点C ，且3O B O C O A ==，点D 为抛物线上第四象限的动点．(1)求抛物线的解析式．(2)如图1，直线AD 交BC 于点P ，连接AC BD ，，若ACP △和BDP △的面积分别为1S 和2S ，当12S S -的值最小时，求直线AD 的解析式．(3)如图2，直线BD 交抛物线的对称轴于点N ，过点B 作AD 的平行线交抛物线的对称轴于点M ，当点D 运动时，线段MN 的长度是否会改变？若不变，求出其值；若变化，求出其变化的范围．10．已知抛物线23y ax bx =++（0a ≠）交x 轴于()0A 1，和()30B -，，交y 轴于C ．(1)求抛物线的解析式；(2)若M 为抛物线上第二象限内一点，求使MBC V 面积最大时点M 的坐标；(3)若F 是对称轴上一动点，Q 是抛物线上一动点，是否存在F 、Q ，使以B 、C 、F 、Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q 的坐标．11．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于()20A -，，()40B ，，()08C ，三点，点P 是直线BC 上方抛物线上的一个动点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)动点P 运动到什么位置时，PBC V 的面积最大，求此时P 点坐标及PBC V 面积的最大值；(3)在y 轴上是否存在点Q ，使以O ，B ，Q 为顶点的三角形与AOC V 相似？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于()1,0A -，()3,0B 两点，与y 轴交于点C ．(1)求该抛物线的解析式；(2)若点E 是线段BC 上的一个动点，平行于y 轴的直线EF 交抛物线于点F ，求FBC V 面积的最大值；(3)设点P 是（1）中抛物线上的一个动点，是否存在满足6PAB S =△的点P ？如果存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图，抛物线2y ax bx =+经过()()3,0,2,10A B -两点．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 是直线AB 下方抛物线上的一个动点，求PAB V 面积的最大值；(3)点M 是直线AB 上的一个动点，将点M 向左平移3个单位长度得到点N ，设点M 的横坐标为m ，若线段MN 与抛物线只有一个公共点，请直接写出m 的取值范围．14．如图，在平面直角坐标系中，直线122y x =-与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线212y x bx c =++经过A ，C 两点，与x 轴的另一交点为点B ，点P 为抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)当ACP △的面积与ABC V 的面积相等时，求点P 的坐标；(3)是否存在点P ，使得ACP ABC BAC ∠=∠-∠，若存在，请直接写出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，已知拋物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()1,0A ，()3,0B -，与y 轴交于点()0,3C -．点P 是抛物线上一动点，且在直线BC 的下方，过点P 作PD x ⊥轴，垂足为D ，交直线BC 于点E ．(1)求抛物线的函数解析式；(2)连接CP ，若45CPD ∠=︒，求点P 的坐标；(3)连接BP ，求四边形OBPC 面积的最大值．16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线28y x bx =-++与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，直线y x t =-过点B ，与y 轴交于点D ，点C 与点D 关于x 轴对称．点P 是线段OB 上一动点，过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点M ，交直线BD 于点N ．(1)求抛物线的解析式；(2)当MDB △的面积最大时，求点P 的坐标；(3)在（2）的条件下，在y 轴上是否存在点Q ，使得以Q ，M ，N ，D 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在；说明理由17．如图，抛物线21262y x x =--与x 轴相交于点A 、点B ，与y 轴相交于点C ．(1)请直接写出点A ，B ，C 的坐标；(2)若点P 是抛物线BC 段上的一点，当PBC V 的面积最大时求出点P 的坐标，并求出PBC V 面积的最大值．(3)点F 是抛物线上的动点，作FE AC ∥交x 轴于点E ，是否存在点F ，使得以A 、C 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由．18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线21=2y x bx c ++经过点()4,0A -，点M 为抛物线的顶点，点B 在y 轴上，直线AB 与抛物线在第一象限交于点()2,6C ．(1)求抛物线的解析式；(2)连接OC ，点Q 是直线AC 上不与A 、B 重合的点，若2OAQ OAC S S =V V ，请求出点Q 的坐标；(3)在x 轴上有一动点H ，平面内是否存在一点N ，使以点A 、H 、C 、N 为顶点的四边形是菱形?若存在，直接写出点N 的坐标，若不存在，请说明理由．参考答案：1．(1)223y x x =-++(2)①点F 的坐标为⎝⎭；②1或952．(1)245y x x =-++(2)()2,3P (3)335,24D ⎛⎫ ⎪⎝⎭3．(1)5，5 (3)54,2⎛⎫ ⎪⎝⎭4．(1)21113424y x x =--+(2)2-(3)304⎛⎫ ⎪⎝⎭，或524⎛⎫- ⎪⎝⎭，5．(1)2246y x x =-++ (2)126,55⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)(1,8或(1,8或271,4⎛⎫ ⎪⎝⎭6．(1)3-(2)PQ 的最大值是4 (3)50,3⎛⎫ ⎪⎝⎭7．(1)223y x x =+-(2)CPQ V 面积的最大值为2，此时P 点坐标为()1,0-(3)在，3y x =--8．(1)2=+43y x x --(2)()21-，(3)存在，m 的值为329．(1)2=23y x x --(2)22y x =--(3)不变，值为810．(1)223y x x =--+ (2)31524⎛⎫- ⎪⎝⎭， (3)存在，点Q 的坐标为()23-，或()45-，-或()25，-11．(1)228y x x =-++(2)当P 点坐标为()28，时，PBC V 的最大面积为8； (3)存在，点Q 的坐标为()016，或()016-，或()01，或()01-，．12．(1)2=23y x x -- (2)278(3)存在，点P 的坐标为()1或()1或()0,3-或()2,3-13．(1)23y x x =-(2)PAB S V 最大值为1258(3)23m -≤<或34m <<或338m =14．(1)抛物线的函数表达式为213222y x x =-- (2)点P 的坐标为(5,3)P(3)存在，点P 的横坐标为2911或7．15．(1)223y x x =+- (2)(14)--， (3)63816．(1)278y x x =-++(2)()3,0(3)存在，()0,17Q 或()0,33-17．(1)()2,0A -，()6,0B ，()0,6C - (2)点P 的坐标为153,2⎛⎫- ⎪⎝⎭时，PBC S V 有最大值272(3)存在，点F 的坐标为()4,6-或()2+或()2-18．(1)21=22y x x + (2)()8,12或()16,12--(3)()2N +或()2N -或()2,6N -或()4,6-。

专题28动点综合问题（32题）1．（2023·四川遂宁·统考中考真题）如图，在ABC 中，1068AB BC AC ，，，点P 为线段AB 上的动点，以每秒1个单位长度的速度从点A 向点B 移动，到达点B 时停止．过点P 作PM AC 于点M 、作PN BC 于点N ，连接MN ，线段MN 的长度y 与点P 的运动时间t （秒）的函数关系如图所示，则函数图象最低点E 的坐标为（）A ． 55，B ．246,5C ．3224,55D ．32,55【答案】C 【分析】如图所示，过点C 作CD AB 于D ，连接CP ，先利用勾股定理的逆定理证明ABC 是直角三角形，即90C ，进而利用等面积法求出245CD ，则可利用勾股定理求出325AD ；再证明四边形CMPN 是矩形，得到MN CP ，故当点P 与点D 重合时，CP 最小，即MN 最小，此时MN 最小值为245，325AP ，则点E 的坐标为3224,55．【详解】解：如图所示，过点C 作CD AB 于D ，连接CP ，∵在ABC 中，1068AB BC AC ，，，∴2222226810010AC BC AB ，∴ABC 是直角三角形，即90C ，∴1122ABC S AC BC AB CD，∴245AC BC CD AB ，∴22325AD AC CD；∵90PM AC PN BC C ⊥，⊥，∠，∴四边形CMPN 是矩形，∴MN CP ，【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，矩形的性质与判断，垂线段最短，坐标与图形等等，正确作出辅助线是解题的关键．2．（2023·广东深圳·统考中考真题）如图速度为2单位/s ，其中BP 长与运动时间A ．1552B ．427【答案】C【分析】根据图象可知0 t 时，点间，进而得到点P 从点B 运动到点【详解】解：由图象可知：0 t ∴15AB ，∴点P 从点A 运动到点B 所需的时间为∴点P 从点B 运动到点C 的时间为∴248BC ；在Rt ABC △中：2AC AB BC故选：C ．【点睛】本题考查动点的函数图象，勾股定理．从函数图象中有效的获取信息，求出,AB BC 的长，是解题的关键．3．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，在菱形ABCD 中，60A ，4AB ，动点M ，N 同时从A 点出发，点M 以每秒2个单位长度沿折线A B C 向终点C 运动；点N 以每秒1个单位长度沿线段AD 向终点D 运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为x 秒，AMN 的面积为y 个平方单位，则下列正确表示y 与x 函数关系的图象是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】连接BD ，过点B 作BE AD 于点E ，根据已知条件得出ABD △是等边三角形，进而证明AMN ABE ∽得出90ANM AEB ，当04t 时，M 在AB 上，当48t 时，M 在BC 上，根据三角形的面积公式得到函数关系式，【详解】解：如图所示，连接BD ，过点B 作BE AD 于点E ，当04t 时，M 在AB 上，菱形ABCD 中，60A ，AB ∴AB AD ，则ABD △是等边三角形，∴122AE ED AD ，BE ∵2,AM x AN x ，∴2AM AB AN AE，又A A ∴AMN ABE∽∴90ANM AEB∴223MN AM AN x，∴213322y x x x ==当48t 时，M 在BC 上，∴112322y AN BE x 综上所述，04t 时的函数图象是开口向上的抛物线的一部分，当故选：A ．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，二次函数图象的性质，一次函数图象的性质，菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．4．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）如图，在正方形同时出发，沿射线AB ，射线BC 动的路程为 04x x ，DMNA ．B ．．．【答案】A【分析】先根据ADM BMN ABCD S S S S V V 正方形，求出S 与x 之间函数关系式，再判断即可得出结论．【详解】解：ADM DCN ABCD S S S S V V 正方形，1114444(4)(4)222x x x ，21282x x ，21(2)62x ，故S 与x 之间函数关系为二次函数，图像开口向上，2x 时，函数有最小值6，故选：A ．【点睛】本题考查了正方形的性质，二次函数的图像与性质，本题的关键是求出S 与x 之间函数关系式，再判断S 与x 之间函数类型．5．（2023·河南·统考中考真题）如图1，点从等边三角形ABC 的顶点A 出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B ．设点运动的路程为x ，PC，图2是点P 运动时关系图象，则等边三角形ABC 的边长为（结合图象可知，当点P 在AO 上运动时，∴PB PC ，23AO ，又∵ABC 为等边三角形，∴60BAC ，AB AC ，∴ SSS APB APC △≌△，∴BAO CAO ，∴30BAO CAO ，当点P 在OB 上运动时，可知点∴23OB ，即23AO OB ∴30BAO ABO ，过点O 作OD AB ，∴AD BD ，则cos30AD AO ∴6AB AD BD ，即：等边三角形ABC 的边长为A ．8B ．6【答案】D 【分析】根据一次函数与坐标轴的交点得出好垂直AB 时，垂足为点E ，此时【详解】解：∵直线y x ∴当0x 时，=2y ，当y ∴ 2,0,0,2A B ，∴2OA OB ，∴2222AB OA OB ，∵PAB 的底边22AB 为定值，∴使得PAB 底边上的高最大时，面积最大，点P 为CD 的中点，当PO 的延长线恰好垂直A．．．．【答案】D【分析】设圆的半径为R，根据机器人移动时最开始的距离为AM CN机器人之间的距离y越来越小，当两个机器人分别沿A D C和C移动时，此时两个机器人之间的距离越来越大．间的距离是直径2R，当机器人分别沿A M【详解】解：由题意可得：机器人（看成点）分别从M，N两点同时出发，设圆的半径为R，两个机器人最初的距离是两个人机器人速度相同，分别同时到达点A，C，两个机器人之间的距离y，C；当两个机器人分别沿A D移动时，此时两个机器人之间的距离是直径和A移动时，此时两个机器人之间的距离越来越大，故排除当机器人分别沿C N故选：D．【点睛】本题考查动点函数图像，找到运动时的特殊点用排除法是关键．（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为OA OC为边作矩形OABC,O B同时出发，以每秒,A．10B．910C【答案】D∵点A 的坐标为 9,0，点C 的坐标为 0,3∴ 9,3B ，2239310AC 则9OA ，9BC OA 依题意，414OE ，414BF ∴945AE ，则 4,0E ，∴945CF BC BF ∴ 5,3F ，∴ 22543=10EF ，∵ 0,3C ，∴AC EF 3101030∴,60AP AQ PAQ ，BP ∴APQ △是等边三角形，∴PQ AP ，∴以线段,,AP BP CP 为边的三角形，即∵104APC ，∴76APB∴76AQC APB∴PQC 766016 ，故选：B ．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．10．（2023·甘肃武威·统考中考真题）发沿AB BC 匀速运动，运动到点象如图2所示，则点M 的坐标为（A ． 4,23B ． 4,4【答案】C 【分析】证明4AB BC CD AD ， 此时222425PE ，而运动路程为【详解】解：∵正方形ABCD 的边长为4∴4AB BC CD AD ，C DA ．AFE △的面积C ．BCN △的面积【答案】D 【分析】如图所示，连接ND ，证明又NFD MEC ，则NFD ∽1122EMC DMC MNC S S S ，即可求解．【详解】解：如图所示，连接A．PA PB的最小值为3 周长的最小值为C．CDE【答案】A【分析】延长,AD BC ，则ABQ 是等边三角形，观察选项都是求最小时，进而得出当E 点与F 重合时，则,,Q P F 三点共线，各项都取得最小值，得出B ，C ，D 选项正确，即可求解．【详解】解：如图所示，延长,AD BC ，依题意60QAD QBA∴ABQ 是等边三角形，∵P 是CD 的中点，∴PD PC ，∵DEA CBA ，∴ED CQ∥∴,PQC PED PCQ PDE ，∴PDE PCQ≌∴PQ PE ，∴四边形DECQ 是平行四边形，则P 为EQ 的中点如图所示，设,AQ BQ 的中点分别为,G H ，此时2AB AB BB故A 选项错误，根据题意可得,,P Q F 三点共线时，CDE 周长等于CD DE 即当CD 最小时，CDE 周长最小，如图所示，作平行四边形∵60,GHQ GHM 如图，延长DE ,H G ，交于点则60NGD QGH ，∴NGD △是等边三角形，∴ND GD HM ，在NPD 与HPC △中，60NPD HPC N CHP PD PC∴NPD HPC≌∴ND CH∴CH MH∴30HCM HMC∴CM QF ∥，则CM DM ∴DMC 是直角三角形，在DCM △中，DC DM∴当DC DM 时，DC 最短，∵2CD PC PC∴CDE 周长的最小值为△的面积为0时，取得最小值，此时，∴当BGD∴四边形ABCD面积的最小值为故选：A．【点睛】本题考查了解直角三角形，等边三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质，得出当点与F重合时得出最小值是解题的关键．二、填空题13．（2023·四川达州·统考中考真题）连接AP，则AP的最小值为【答案】2132的外接圆，【分析】如图，作ABC交BP的垂直平分线于N径定理易得AM BM CMAMC PNB，从而易证中由三角形三边关系APN【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理解直角三角形，相似三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，30 角所对的直角边等于斜边的一半，三角形三边之间的关系；解题的关键是结合接圆构造相似三角形．14．（2023·浙江宁波·统考中考真题）如图，在半圆O与BC相切于点D，连接ADAP的长为_____________．【答案】230或6【分析】连接OD，勾股定理求出半径，平行线分线段成比例，求出长，分AP AD两种情况进行求解即可．和AP PD【详解】解：连接OD，∵以AE为直径的半圆O与BC相切于点∴6AP OA ，不存在PD AD 的情况；【答案】13【分析】如图所示，取AB的中点D【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质等等，正确作出辅助线确定当O C D 、、三点共线时，．（四川泸州统考中考真题）如图，【答案】27【分析】作点F 关于AC 垂线段，交AC 于点K AEP KF P △∽△，可得【详解】解：作点F 关于由题意得：此时F 落在设正方形ABCD 的边长为∵四边形ABCD 是正方形，45F AK ，P AE∵四边形ABCD 矩形，∴90A ，则∥MN AB ，由平行线分线段成比例可得：AN BM ND MD又∵M 为对角线BD 的中点，∵M 为对角线BD 的中点，90NMD∴MN 为BD 的垂直平分线，∴BN ND ，【答案】112∵2AB AB ∴B 在A 为圆心，2为半径的弧上运动，当,,A B C 三点共线时，CB 此时11CB AC AB 当点P 在DC 上时，如图所示，此时112CB 当P 在AD 上时，如图所示，此时综上所述，CB 的最小值为11【答案】2【分析】首先证明出MN 22AE AB BE 合时，BE 最大，即BC 【详解】如图所示，连接∵M ，N 分别是EF AF ，∴MN 是AEF △的中位线，∴12MN AE ，∵四边形ABCD 是正方形，∴90B Ð=°，∴22AE AB BE ∴当BE 最大时，AE 最大，此时∵点E 是BC 上的动点，∴当点E 和点C 重合时，【答案】292【分析】设AD 的中点为O ，以AD 为直径画圆，连接可知点F 在以AD 为直径的半圆上运动，当点解即可．【详解】解：设AD 的中点为O ，以AD ∵90ABC BAD ，∴AD BC ∥，∴DAE AEB ，【答案】60 13【分析】连接OE，根据矩形的性质得到理得到2213AC AB BC，求得【详解】解：连接OE，∵四边形ABCD是矩形，【答案】73 2【分析】过点A作AQ BC于点Q，当点P与Q重合时，在图2中F点表示当AB点Q，此时当P在BC上运动时，AP最小，勾股定理求得AQ，然后等面积法即可求解．【详解】如图过点A作AQ BC于点Q，当点P与Q重合时，在图2中F点表示当AB达点Q，此时当P在BC上运动时，AP最小，∴7BC ，4,3BQ QC 在Rt ABQ 中，8,4AB BQ ∴22228443AQ AB BQ∵1122ABC S AB CG AQ BC，∴7437382BC AQ CG AB ,故答案为：732．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，垂线段最短，从函数图象获取信息是解题的关键．23．（2023·新疆·统考中考真题）如图，在ABCD Y 中，6AB ，8BC ，120ABC 点，将ABE 沿BE 折叠得到A BE ，当点A 恰好落在EC 上时，DE 的长为______．【答案】373【分析】过点C 作CH AD 交AD 的延长线于点H ，根据平行四边形的性质以及已知条件得出120,60ADC ABC HDC ，进而求得,DH HC ，根据折叠的性质得出CB 中，勾股定理即可求解．【详解】解：如图所示，过点C 作CH AD 交AD 的延长线于点H ，∵在ABCD Y 中，6AB ，8BC ， ∴120,60ADC ABC HDC ，∴1cos 32DH DC HDC DC ，在Rt ECH △中，22HC CD DH ∵将ABE 沿BE 折叠得到A BE ，当点∴AEB CEB又AD BC∥∴EBC AEB∴EBC CEB∴8CE BC 设ED x ，∴3EH x 在Rt ECH △中，222EC EH HC ∴ 2228333x 解得：373x （负整数）故答案为：373 ．【点睛】本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质，解直角三角形，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．【答案】 8,6M 或M【分析】如图，由AMN MN AN ，可得N 是圆H 的上方时，如图，过N 作明MNK NAJ ≌，设 N 则2128x x ，再解方程可得答案．【详解】解：如图，∵ ∴N 在以AM 为直径的圆∴N 是圆H 与直线26y x 的交点，∴90NAJ ANJ ，∵AN MN ，90ANM ，∴90MNK ANJ ，∴MNK NAJ ，∴MNK NAJ ≌，设 ,26N x x ，∴MK NJ x ，266212KN AJ x x ，而8KJ AB ，∴2128x x ，解得：203x ，则22263x ，∴22202333CM CK MK，【答案】392【分析】作出点 32C ，，作CD 直角三角形求得1103F，，利用待定系数法求得直线DG y 轴于点G ，此时35BH 【详解】解：∵直线123y x ∴ 02B ，， 60A ，，作点B 关于x 轴的对称点 0B ，作CD AB 于点D ，交x 轴于点此时，BE B E CF ，∴BE DF CF DF CD 有最小值，作CP x 轴于点P ，则2CP ，3OP ，∵CFP AFD ，∴FCP FAD ，∴tan tan FCP FAD ，∴PF OB PC OA，即226PF ，∴23PF，则1103F ，，设直线CD 的解析式为y kx 则321103k b k b ，解得311k b ∴直线CD 的解析式为3y x 联立，311123y x y x ，解得即3971010D，；过点D 作DG y 轴于点G ，直线423y x 与x 轴的交点为∴332sin 552OQ OBQ BQ ，∴3sin 5HG BH GBH BH ，∴335555BH DH BH DH三、解答题26．（2023·重庆·统考中考真题）如图，ABC 是边长为4的等边三角形，动点E ，F 分别以每秒1个单位长度的速度同时从点A 出发，点E 沿折线A B C 方向运动，点F 沿折线A C B 方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为t 秒，点E ，F 的距离为y ．(1)请直接写出y 关于t 的函数表达式并注明自变量t 的取值范围；(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；(3)结合函数图象，写出点E ，F 相距3个单位长度时t 的值．【答案】(1)当04t 时，y t ；当46t 时，122y t(2)图象见解析，当04t 时，y 随x 的增大而增大(3)t 的值为3或4.5【分析】（1）分两种情况：当04t 时，根据等边三角形的性质解答；当46t 时，利用周长减去2AE 即可；（2）在直角坐标系中描点连线即可；（3）利用3y 分别求解即可．【详解】（1）解：当04t 时，连接EF ，由题意得AE AF ，60A ，∴AEF △是等边三角形，∴y t ；当46t 时，122y t ；（2）函数图象如图：当04t 时，y 随t 的增大而增大；（3）当04t 时，3y 即3t ；当46t 时，3y 即1223t ，解得 4.5t ，故t 的值为3或4.5．【点睛】此题考查了动点问题，一次函数的图象及性质，解一元一次方程，正确理解动点问题是解题的关键．27．（2023·辽宁大连·统考中考真题）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，直线y x 与直线BC 相交于点A ， ,0P t 为线段OB 上一动点（不与点B 重合），过点P 作PD x 轴交直线BC 于点D ．OAB 与DPB 的重叠面积为S ．S 关于t 的函数图象如图2所示．(1)OB 的长为_______________；OAB 的面积为_______________．(2)求S 关于t 的函数解析式，并直接写出自变量t 的取值范围．【答案】(1)4，83(2)2218402331424443t t S t t t 【分析】（1）根据函数图象即可求解．（2）根据（1）的结论，分403t ，443t ，根据OAB 与DPB 的重叠面积为【详解】（1）解：当0 t 时，P 点与O 重合，此时83ABO S S，当4t 时，0S ，即P 点与B 点重合，∴4OB ，则 4,0B ，故答案为：4，83．（2）∵A 在y x 上，则45OAB 设 ,A a a ，∴1184223AOB S OB a a ∴43a ,则44,33A 当403t时，如图所示，设DP 交OA 于点E ，∵45OAB ，DP OB ，则EP OP t∴28132S t当443t 时，如图所示，∵ 4,0B ，44,33A 设直线AB 的解析式为y kx b ，∴404433k b k b 解得：212b k，∴直线AB 的解析式为122y x ，当0x 时，2y ，则 0,2C ，∴2OC ，∵21tan 42DP OC CBO PD OB ，∵4BP t ，则122DP t ，(1)设直线1l 经过上例中的点,M N ，求1l 的解析式；析式；(2)点P 从原点O 出发连续移动10次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点移动了m 次．①用含m 的式子分别表示,x y ；②请说明：无论m 怎样变化，点Q 都在一条确定的直线上．设这条直线为(3)在（1）和（2）中的直线123,,l l l 上分别有一个动点在一条直线上，直接写出此时a ，b ，c 之间的关系式．【答案】(1)1l 的解析式为6y x ；2l 的解析式为(2)①10,20x m y m ；②3l 的解析式为30y x ，图象见解析；(3)538a c b【分析】（1）根据待定系数法即可求出1l 的解析式，然后根据直线平移的规律：上加下减即可求出直线2l 的解析式；（2）①根据题意可得：点P 按照甲方式移动m 次后得到的点的坐标为 2,m m ，再得出点 2,m m 按照乙方式移动 10m 次后得到的点的横坐标和纵坐标，即得结果；②由①的结果可得直线3l 的解析式，进而可画出函数图象；（3）先根据题意得出点A ，B ，C 的坐标，然后利用待定系数法求出直线AB 的解析式，再把点C 的坐标代入整理即可得出结果．【详解】（1）设1l 的解析式为y kx b ，把(4,2)M 、(2,4)N 代入，得4224k b k b，解得：16k b ，∴1l 的解析式为6y x ；将1l 向上平移9个单位长度得到的直线2l 的解析式为15y x ；（2）①∵点P 按照甲方式移动了m 次，点P 从原点O 出发连续移动10次，∴点P 按照乙方式移动了 10m 次，∴点P 按照甲方式移动m 次后得到的点的坐标为 2,m m ；∴点 2,m m 按照乙方式移动 10m 次后得到的点的横坐标为21010m m m ，纵坐标为21020m m m ，∴10,20x m y m ；②由于102030x y m m ，∴直线3l 的解析式为30y x ；函数图象如图所示：（3）∵点,,A B C 的横坐标依次为,,a b c ，且分别在直线∴ ,6,,15,,30A a a B b b C c c ，设直线AB 的解析式为y mx n ，把A 、B 两点坐标代入，得615ma n a mb n b ，解得：9196m b a a n b a，∴直线AB 的解析式为916y x b a∵A ，B ，C 三点始终在一条直线上，∴991630a c c b a b a，整理得：538a c b ；即a ，b ，c 之间的关系式为：538a c b ．【点睛】本题是一次函数和平移综合题，主要考查了平移的性质和一次函数的相关知识，正确理解题意、熟练掌握平移的性质和待定系数法求一次函数的解析式是解题关键．29．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，OC 的长是一元二次方程24120x x 的根，过点x 轴和y 轴于点F 和点E ，动点M 从点O 以每秒以每秒2个单位长度的速度沿FE 向终点E(1)求直线AD 的解析式．(2)连接MN ，求MDN △的面积S 与运动时间(3)点N 在运动的过程中，在坐标平面内是否存在一点存在，直接写出点Q 的坐标，若不存在，说明理由．【答案】(1)3433y x (2)223912302323912323432t t t S t t t (3)存在，点Q 的坐标是333,22 或6,4【分析】（1）过点A 作AH OC 于H ，解方程可得得到点A 、D 的坐标，再利用待定系数法求出解析式即可；（2）首先证明EOD △是等边三角形，求出023t 时，过点N 作NP OB 于P ，分别解直角三角形求出NP 和NT ，再利用三角形面积公式列式即可；（3）分情况讨论：①当AN 是直角边时，则三角形求出CK 和NK ，再利用平移的性质得出点作NL CF 于L ，证明 NCF NFC ，可得得出点Q 的坐标．【详解】（1）解：解方程24120x x 得：∴6OC ，∵四边形AOCB 是菱形，60AOC ，（2）解：由（1）知在Rt COD 中，CD ∴243OD CD ，90EOD DOC ∵直线3433y x 与y 轴交于点E ，∴43OE ，∴OE OD =，∴EOD △是等边三角形，∴60OED EDO BDF ，ED OD ∴30OFE DOF ，②当点N 在DE 上，即2343t 时，由题意得：43DM OD OM t ，DN 过点N 作NT OB 于T ，则 sin sin 602NT DN NDT DN t ∴ 11433622S DM NT t t 综上， 22391230232391232342t t t S t t t （3）解：存在，分情况讨论：①如图，当AN 是直角边时，则CN EF ，过点②如图，当AN 是对角线时，则90ACN ∵OA OC ，60AOC ，∴AOC 是等边三角形，∴60ACO ，∴180609030NCF NFC ，∴132CL FL CF ，∴3tan 30333NL CL ，∴将点C 向右平移3个单位长度，再向上平移∴将点A 向右平移3个单位长度，再向上平移∵ 3,33A ，∴6,43Q ；【点睛】本题考查了解一元二次方程，菱形的性质，解直角三角形，待定系数法的应用，等边三角形的判定和性质，含30 直角三角形的性质，二次函数的应用，矩形的判定和性质以及平移的性质等知识，灵活运用各知识点，作出合适的辅助线，熟练掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用是解题的关键．30．（2023·江苏苏州·统考中考真题）某动力科学研究院实验基地内装有一段笔直的轨道金属滑块在上面做往返滑动．如图，滑块首先沿前滑块左端与点A 重合，当滑块右端到达点滑块的左端与点A 重合，滑动停止．设时间为为 2m l ，记12,d l l d 与t 具有函数关系．已知滑块在从左向右滑动过程中，当应的d 的两个值互为相反数；滑块从点A 根据所给条件解决下列问题：(1)滑块从点A 到点B 的滑动过程中，d 的值________________；（填(2)滑块从点B 到点A 的滑动过程中，求d 与t 的函数表达式；(3)在整个往返过程中，若18d ，求t 的值．【答案】(1)由负到正(2)12234d t (3)当6t 或18t 时，18d 【分析】（1）根据等式12d l l ，结合题意，即可求解；（2）设轨道AB 的长为n ，根据已知条件得出121l l n ，则12d l l 181t n ，根据当 4.5s t 和5.5s 时，与之对应的d 的两个值互为相反数；则5t 时，0d ，得出91d ，继而求得滑块返回的速度为 91115=6m/s ，得出 2612l t ，代入12d l l ，即可求解；（3）当18d 时，有两种情况，由（2）可得，①当010t 时，②当1227t 时，分别令18d ，进而即可求解．【详解】（1）∵12d l l ，当滑块在A 点时，10l ，2d l 0 ，当滑块在B 点时，20l ，1d l 0 ，∴d 的值由负到正．故答案为：由负到正．（2）解：设轨道AB 的长为n ，当滑块从左向右滑动时，∵121l l n ，∴211l n l ，∴ 12111221291181d l l l n l l n t n t n ∴d 是t 的一次函数，∵当 4.5s t 和5.5s 时，与之对应的d 的两个值互为相反数；∴当5t 时，0d ，∴18510n ，∴91d ，∴滑块从点A 到点B 所用的时间为 911910 s ，∵整个过程总用时27s （含停顿时间）．当滑块右端到达点B 时，滑块停顿2s ，∴滑块从点B 到点A 的滑动时间为27102= 15s ，∴滑块返回的速度为 91115=6m/s ，∴当1227t 时， 2612l t ，∴ 12911906121626l l t t ，①如图②，当边E F 与AB 相交于点M 、边G H 与BC 相交于点N ，且矩形E F G H 与菱形为五边形时，试用含有t 的式子表示S ，并直接写出t 的取值范围：②当2311334t 时，求S 的取值范围（直接写出结果即可）．【答案】(1)3,2，33,2 (2)①332t ；②3316S 【分析】（1）根据矩形及菱形的性质可进行求解；∵四边形ABCD 是菱形，且(3,0),(0,1),(2A B D ∴ 2230012AB AD，AC BD ∴2AC ，∴ 3,2C ，故答案为3,2，33,2；（2）解：①∵点10,2E ，点13,2F ，点∴矩形EFGH 中，EF x ∥轴，EH x 轴，EF ∴矩形E F G H 中，E F x ∥轴，E H x 轴，由点 3,0A ，点 0,1B ，得3,1OA OB ．在Rt ABO △中，tan 3OA ABO OB ，得ABO。