2020年中考数学复习 第23章 旋转(专题复习讲义)

《 23 章 旋转 》《知识点1 旋转的相关概念》 （1）定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O 旋转一个角度的图形变换叫做旋转． 点O 叫做 旋转中心 ，转动的角叫做 旋转角 。

如果图形上的点P 经过旋转变为点P ′，那么这两个点叫做 对应点。

（2）注意：1. 旋转的范围是在平面内旋转，否则有可能旋转为立体图形，因此“在平面内”这一条件不可忽略。

2. 旋转的三要素： ， 和 ；3. 旋转的方向有： ， ；4. 旋转角： 。

例1 已知：把△ABC 顺时针旋转60°后能与△A ’BC ’重合， 求：（1）找出旋转中心，（2）指出对应顶点和对应边， （3）指出旋转角（4）连接A A ’， △ABA ’是什么三角形？为什么？接CC ’，△CBC ’呢？A'C'BAC例2 如图，P 是等边△ABC 内一点，△BMC 是由△BPA 旋转所得，则旋转角是， ∠PBM ＝ ____．例3 我们知道，国旗上的一个五角星是旋转对称图形，为使它能与自身重合，需要旋转的角度为（ ） A. 36° B. 45° C.60° D. 72°练习：1. 下面生活中的实例，不是旋转的是（ ）A. 传送带传送货物B. 螺旋桨的运动C. 风车风轮的运动D. 自行车车轮的运动 2. 将一个三角形旋转，旋转中心应选在（ ）A. 三角形的顶点B. 三角形的外部C. 三角形的三条边上D. 平面内的任意位置3. 如图，四边形ABCD 是长方形，四边形AEFG 也是长方形，E 在AD 上，如果长方形ABCD 旋转后能与长方形AEFG 重合，那么（1）旋转中心是哪一点？ （2）旋转角是几度？EFGBDAC4.5.6.《知识点2 旋转的性质》由旋转的定义可知，旋转不改变图形的大小和形状，这说明旋转前后的两个图形是全等的.由此得到如下性质：1. 旋转前后的图形；2. 旋转后的对应线段；对应角；3. 同一个旋转，旋转角；4.对应点到旋转中心的距离相等.注意：经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，对应点的排列次序相同.例1例2例3例4 已知平面直角坐标系上的三个点O（0，0），A（－1，1），B（－1，0），将△ABO绕点O顺时针方向旋转135°，点A、B的对应点为A l，B l，求点A l，B l的坐标。

初中数学试卷桑水出品第23章 旋转考点1．旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角. 旋转三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度练习：1、如图，D 是等腰Rt △ABC 内一点，BC 是斜边，如果将△ABD 绕点A 按逆时针方向旋转到△ACD ′的位置，回答下列问题：（1）旋转中心为 ，旋转角度为 度（2）△AD D ′的形状是 。

2、16:50的时候，时针和分针的夹角是 度2．旋转的性质：1、图形中的每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度；2、每一对对应点到旋转中心的距离相等；3、每一对对应点与旋转中心的连线所成的夹角为旋转角；4、旋转只改变图形的位置，旋转前后的图形全等；练习：1、如图，9030AOB B ∠=∠=°，°，A OB ''△可以看作是由AOB △绕点O 顺时针旋转α角度得到的．若点A '在AB 上。

（1）求旋转角大小； （2）判断OB 与A B ''的位置关系，并说明理由。

2、将直角边长为5cm 的等腰直角△ABC 绕点A 逆时针旋转15o后得到AB C ''△，则图中阴影部分的面积是多少？3、如图，在△ABC 中, ο70=∠CAB . 在同一平面内, 将△ABC 绕点A 旋转到△//C AB 的位置, 使A O BA 'B 'A C BB 'C '得AB CC ///, 求/BAB ∠ 的度数。

4、如图6，四边形ABCD 是边长为1的正方形，点E 、F 分别在边AB 和BC 上，DCM ∆是由ADE ∆ 逆时针旋转得到的图形。

（1）旋转中心是点__________；（2）旋转角是________度，EDM ∠=_________度；（2）若45EDF ∠=︒，求证EDF MDF ∆∆≌.并求此时BEF ∆的周长.5、△ABC 中，∠BAC ＝90°，P 是△ABC 内一点，将△ABP 绕点A 逆时针旋转一定角度后能与△ACQ 重合，AP ＝3.（1）求△APQ 的面积；（2）判断BQ 与CQ 的位置关系，并说明理由。

旋转一、知识梳理定义：把一个平面图形绕着平面内某一点 o 转动一个角度的图形变换叫做图形的旋转．这个点 o叫旋转中心，转动的角叫做旋转角．如果图形上的点 P 经过旋转变为点 P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点．练习：1．时钟的时针在不停地转动，从上午 6 时到上午 9 时，时针旋转的旋转角是多少度？从上午 9 时到上午 10 时呢？旋转的性质对应点到旋转中心的距离相等．对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．旋转前、后的图形全等．应用例1下图为 4×4 的正方形网格，每个小正方形的边长均为 1，将△OAB 绕点 O 逆时针旋转 90°，你能画出△OAB 旋转后的图形△O A’ B’吗？中心旋转问题1 如图，线段 AC，BD 相交于点 O，OA=OC，OB=OD．把△OCD 绕点 O 旋转 180°，你有什么发现？中心对称与一般的旋转的联系和区别？联系：中心对称和一般的旋转都是绕着某一点进行旋转；区别：中心对称的旋转角度都是180°，一般的旋转的旋转角度不固定，中心对称是特殊的旋转．中心对称的性质（1）中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；（2）中心对称的两个图形是全等图形中心对称图形如图，将平行四边形ABCD 绕它的两条对角线的交点 O旋转 180°，你有什么发现？定义如果一个图形绕一个点旋转 180°后能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心．区分中心对称和中心对称图形的概念二、课堂达标检测1．将三角形绕直线L 旋转一周，可以得到如图所示的立体图形的是（ ）2．下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．直角B ．等边三角形C ．直角梯形D ．两条相交直线3．在线段，等腰梯形，平行四边形，矩形，正五角星，圆，正方形，等边三角形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的图形有（ ）A.3个B.4个 A.3个 B.4个C.5个D.6个 4.如图，利用关于原点对称的点的坐标的特点，作出与线段AB•关于原点对称的图形．5.已知点P（-b,2）与点Q（3,2a）关于原点对称点，则a、b的值分别是______。

2020春人教版九级数学第23章《旋转》寒假复习知识点及复习题知识点一轴对称与轴对称图形1．轴对称：如果两个平面图形沿一条直线对折后能够_________，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫做这两个图形的对称轴．2．轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够 _________，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．3．轴对称的性质：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴_________，对应线段_______，对应角_______．4．简单的轴对称图形(1)线段是轴对称图形， _______________________是它的一条对称轴．(2)角是轴对称图形， ___________________是它的对称轴．(3)等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形_____________、底边上的中线、 ___________重合(也称“三线合一”)，它们所在的直线是等腰三角形的对称轴．知识点二图形的平移与旋转1．图形的平移(1)平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移．(2)平移的性质①平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小；②一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行(或在一条直线上)且_______；对应线段平行(或在一条直线上)且_______，对应角_______．2．图形的旋转(1)旋转：在平面内，将一个图形绕一个_______按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转．这个定点称为 _________，转动的角称为_________．(2)旋转的性质①旋转不改变图形的形状和大小；②对应点到旋转中心的距离_______；③任意一组对应点与 _________的连线所成的角都等于旋转角；④对应线段 _____，对应角_______．知识点三中心对称与中心对称图形1．中心对称：如果把一个图形绕着某一点旋转 ______，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做它们的对称中心．2．中心对称图形：把一个图形绕某个点旋转 ______，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心．复习练习题1.如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE.若AB的长为2，则FM的长为( )2．如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′.若∠1＝25°，则∠BAA′的度数是( )A ．55° B．60° C ．65° D．70°3．如图，若将△ABC 绕点O 逆时针旋转90°，则顶点B 的对应点B 1的坐标为( )A ．(－4，2)B ．(－2，4)C ．(4，－2)D ．(2，－4)4.如图，直线y ＋2与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，把△AOB 沿直线AB 翻折后得到△AO ′B ，则点O ′的坐标是( )5．如图，直线y ＝23x ＋4与x 轴，y 轴分别交于点A 和点B ，点C ，D 分别为线段AB ，OB 的中点，点P 为OA 上一动点，当PC ＋PD 最小时，点P 的坐标为( )A ．(－3，0)B ．(－6，0)C ．(－32，0)D ．(－52，0)6．如图，把△ABC 沿着BC 的方向平移到△DEF 的位置，它们重叠部分的面积是△ABC 面积的一半，若BC ＝3，则△ABC 移动的距离是( )A.32B.33C.62D.3－627.中国古代建筑中的窗格图案实用大方，寓意吉祥．以下给出的图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )8．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，如果将△ABC 先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到△A 1B 1C 1，那么点A 的对应点A 1的坐标为( )A ．(4，3)B ．(2，4)C ．(3，1)D ．(2，5)9．(2017·潍坊)如图，将一张矩形纸片ABCD 的边BC 斜着向AD 边对折，使点B 落在AD 上，记为B′，折痕为CE ；再将CD 边斜向下对折，使点D 落在B′C 上，记为D′，折痕为CG ，B′D′＝2，BE ＝13BC ，则矩形纸片ABCD 的面积为________．10.如图，点P 在等边△ABC 的内部，且PC ＝6，PA ＝8，PB ＝10，将线段PC 绕点C 顺时针旋转60°得到P′C，连接AP′，则sin∠PAP′的值为___．。

第二十三章旋转---图形的旋转一、学习目标1.掌握旋转的定义以及相关概念；理解旋转的基本性质；利用性质解决相关问题。

2.能够按照要求做出简单的图形旋转后的图形。

3.继续利用旋转的性质解决相关问题。

二、知识精讲知识点1：图形的旋转⑴定义：把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转（rotation）.点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角.如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么，这两个点叫做这个旋转的对应点.⑵旋转的三个要素：①旋转中心：图形旋转的固定点②旋转方向：（顺时针旋转或逆时针旋转）③旋转角度：（图形中任一边开始的位置（始边）与旋转后位置（终变）之间的夹角）⑶旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前后的图形全等.⑷旋转作图步骤：在画旋转图形时，要把握旋转中心与旋转角这两个元素.确定旋转中心的关键是看图形在旋转过程中某一点是“动”还是“不动”，不动的点则是旋转中心；确定旋转角度的方法是根据已知条件确定一组对应边，看其始边与终边的夹角即为旋转角.作图的步骤：①连接图形中的每一个关键点（一般是各个顶点）与旋转中心；②把连线按要求绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；③在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；④连接所得到的各对应点（一般用虚线）。

【例1】（1）在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，4)，将线段OA绕点O顺时针旋转90°得到线段OA′，则点A′的坐标是_______________．（2）如图所示，图①沿逆时针方向旋转90°可得到图________；图①按顺时针方向至少旋转______________度可得图③．⑶如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是BA延长线上的一点，若AF＝１２AB，则可通过_________（填“平移”、“旋转”、“轴对称”）变换，使△ABE变换到△ADF 的位置；且线段BE、DF的数量关系是_________________．（4）在图所示的4个图案中既包含图形的旋转，还有图形轴对称是（ ）【例2】（1）如图所示，在正方形网格中，图○1是由图○2经过旋转变换得到的，其旋转中心是点_________（填A 或B 或C ）。

旋转及综合专题一、旋转有关定义1、定义：把一个图形绕着某一点O 转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O 叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。

2、假如图形上的点 P 经过旋转变成 P ，那么这两个点叫做这个旋转的对应点。

13、（ 1）对应点到旋转中心的距离相等，即旋转中心在对应点所连线段的垂直均分线上；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前、后图形全等。

4、把一个图形绕着某一点旋转180 ，假如它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形对于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。

这两个图形的对称点叫做对于中心的对称点。

5、（ 1）对于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心均分；（2）对于中心对称的两个图形是全等图形。

6、把一个图形绕着某一点旋转180 ，假如旋转后的图形能够与本来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。

二、旋转有关结论如图，将ABC 绕点 A 逆时针旋转角到AB1C1。

点 B 和点 B1为对应点，点 C 和 C1为对应点。

结论 1：旋转中心为对应点所连线段垂直均分线的交点，也即对应点所连线段的垂直均分线均经过旋转中心。

如图，线段BB1的垂直均分线l1、线段CC1的垂直均分线l2都经过旋转中心点A 。

利用这个结论我们能够利用对应点坐标求出旋转中心的坐标。

因为对应点所连线段的垂直均分线均经过旋转中心，所以只需求出两组对应点所连线段的垂直均分线分析式，而后联立刻可求出旋转中心坐标。

结论 2：对应点与旋转中心所组成的三角形均为等腰三角线，且等腰三角形顶角均等于旋转角。

如图，ABB1和 ACC1均为等腰三角形，BAB1CAC1。

第1页/共11页结论 3：对应点与旋转中心所组成的三角形均相像。

如图，BAB 1 ∽ CAC 1 。

结论 4：旋转前、后图形全等。

如图，ABCAB 1C 1 。

示例 1：已知 A( 3,2)、O(0,0) ，将线段 OA 绕点 P 旋转获得线段 O 1 A 1 ，此中 O 1 ( 1, 1) 、 A 1 ( 3, 4) ， O 1 为点 O 的对应点， A 1 为点 A 的对应点，求点 P 的坐标。

《旋转》全章复习与巩固（提高）知识讲解【学习目标】1、通过具体实例认识旋转，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质．2、通过具体实例认识中心对称，探索它的基本性质，理解对应点所连线段被对称中心平分的性质，了解平行四边形、圆是中心对称图形．3、能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形，欣赏旋转在现实生活中的应用．4、探索图形之间的变化关系（轴对称、平移、旋转及其组合），灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计．【知识网络】【要点梳理】要点一、旋转1.旋转的概念：把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转..点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角(如∠AO A′),如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么，这两个点叫做这个旋转的对应点.要点诠释：旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.2.旋转的性质: (1)对应点到旋转中心的距离相等（OA= OA′）；(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；''').(3)旋转前、后的图形全等(△ABC≌△A B C要点诠释：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.3.旋转的作图:在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．要点诠释：作图的步骤：(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；(2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；(4)连接所得到的各对应点.要点二、特殊的旋转—中心对称1.中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．要点诠释：（1）有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同；（2）位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合 (全等图形不一定是中心对称的，而中心对称的两个图形一定是全等的) .2.中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．要点诠释：(1)中心对称图形指的是一个图形；（2）线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图形.要点三、平移、轴对称、旋转【典型例题】类型一、旋转1．如图1，ΔACB与ΔADE都是等腰直角三角形，∠ACB 和∠ADE都是直角，点C在AE上，如果ΔACB经逆时针旋转后能与ΔADE重合.①请指出其旋转中心与旋转角度；②用图1作为基本图形，经过怎样的旋转可以得到图2？【答案与解析】①旋转中心：点A；旋转角度：45°（逆时针旋转）②以点A为旋转中心，将图1顺时针（或逆时针）旋转90°三次得到图2.【总结升华】此类题型要把握好旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.举一反三：【变式】如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△DEF为等边三角形，AB=DE，点B、C、D在x轴上，点A、E、F在y轴上，下面判断正确的是（）A．△DEF是△ABC绕点O顺时针旋转90°得到的.B．△DEF是△ABC绕点O逆时针旋转90°得到的.C．△DEF是△ABC绕点O顺时针旋转60°得到的.D．△DEF是△ABC绕点O顺时针旋转120°得到的.【答案】A.类型二、中心对称2. 如图，△ABC中A(-2，3)，B(-3，1)，C(-1，2)．⑴将△ABC向右平移4个单位长度，画出平移后的△A1B1C1；⑵画出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2；⑶画出△ABC关于原点O对称的△A3B3C3；⑷在△A1B1C1，△A2B2C2，△A3B3C3中，△______与△______成轴对称，对称轴是______；△______与△______成中心对称，对称中心的坐标是______．【答案与解析】⑷△A2B2C2与△A3B3C3成轴对称，对称轴是y轴．△A3B3C3与△A1B1C1成中心对称，对称中心的坐标是(2，0)．【总结升华】注意观察中心对称和旋转对称的关系.举一反三：【变式】如图是正方形网格，请在其中选取一个白色的单位正方形并涂黑，使图中黑色部分是一个中心对称图形．【答案】类型三、平移、轴对称、旋转3.（2015•北京校级模拟）如图所示，△ABC，△ADE为等腰直角三角形，∠ACB=∠AED=90°．（1）如图1，点E在AB上，点D与C重合，F为线段BD的中点．则线段EF与FC的数量关系是；∠EFD的度数为；（2）如图2，在图1的基础上，将△ADE绕A点顺时针旋转到如图2的位置，其中D、A、C在一条直线上，F为线段BD的中点．则线段EF与FC是否存在某种确定的数量关系和位置关系？证明你的结论；（3）若△ADE绕A点任意旋转一个角度到如图③的位置，F为线段BD的中点，连接EF、FC，请你完成图3，并直接写出线段EF与FC的关系（无需证明）．【思路点拨】（1）易得△EFC是等腰直角三角形，那么EF=FC，∠EFD=90°．（2）延长线段CF到M，使CF=FM，连接DM、ME、EC，易证△BFC≌△DFM，进而可以证明△MDE≌△CAE，即可证明EF=FC，EF⊥FC；（3）基本方法同（2）．【答案与解析】解：（1）EF=FC，90°．（2）延长CF到M，使CF=FM，连接DM、ME、EC，如下图2∵FC=FM，∠BFC=∠DFM，DF=FB，∴△BFC≌△DFM，∴DM=BC，∠MDB=∠FBC，∴MD=AC，MD∥BC，∵ED=EA，∠MDE=∠EAC=135°，∴△MDE≌△CAE，∴ME=EC，∠DEM=∠CEA，∴∠MEC=90°，∴EF=FC，EF⊥FC（3）图形如下，结论为：EF=FC，EF⊥FC．【总结升华】延长过三角形的中线构造全等三角形是常用的辅助线方法，证明线段相等的问题可以转化为证明三角形全等的问题解决．举一反三：（1）求∠ABC的度数．（2）以点A为中心，把△ABD顺时针旋转60°，画出旋转后的图形．（3）求BD的长度．【答案】∴BC=4，∴∠ABC=30°（2）如图所示：（3）连接BE．由（2）知：△ACE≌△ADB，∴AE=AB，∠BAE=60°，BD=EC，∴∠EBC=90°，又BC=2AC=4，4.（2015•东西湖区校级模拟）如图，Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点E在线段AB上，CF⊥CE，CE=CF，EF交AC于G，连接AF．（1）填空：线段BE、AF的数量关系为，位置关系为；（2）当=时，求证：=2；（3）若当=n时，=，请直接写出n的值．【思路点拨】（1）在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CF⊥CE，可推出∠ECB=∠ACF，且CE=CF，由此可得△ECB≌△FCA，即得BE=AF，∠CBE=∠CAF，且∠CBE+∠CAB=90°，故∠CAF+∠CAB=90°，即BE⊥AF；（2）作GM⊥AB于M，GN⊥AF于N，可得出GM=GN，从而有S△AEG=2S△AFG，即证=2；（3）根据（2）的推理过程，知S△AEG=nS△AFG，则，即可求得n的值．【答案与解析】（1）解：∵∠ACB=90°，CF⊥CE，∴∠ECB=∠ACF．又AC=BC，CE=CF，∴△ECB≌△FCA．∴BE=AF，∠CBE=∠CAF，又∠CBE+∠CAB=90°，∴∠CAF+∠CAB=90°，即BE=AF，BE⊥AF．（2）证明：作GM⊥AB于M，GN⊥AF于N，∵△ACF可由△BCE绕点C顺时针方向旋转90°而得到，∴AF=BE，∠CAF=∠CBE=45°．∴AE=2AF，∠CAF=∠CAB，∴GM=GN．∴S△AEG=2S△AFG，∴EG=2GF，∴=2．（3）解：由（2），得当=n时，S△AEG=nS△AFG，则，∴当n=时，=．【总结升华】此题综合运用了全等三角形的判定和性质、旋转的性质，能够从特殊推广到一般发现规律．5.已知：点P是正方形ABCD内的一点，连结PA、PB、PC，（1）若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC的长.(2)若2222PB PC PA =+，请说明点P 必在对角线AC 上.∴AE=PC∵BE=BP,∠PBE=90°，PB=4 ∴∠BPE=45°，PE=又∵∠APB=135° ∴∠APE=90° ∴222AE AP EP =+ 即AE=6, 所以PC=6.(2)由（1）证得：∵2222PB PC PA =+ ∴222PA AE PE += ∴∠PAE=90° 即∠PAB+∠BAE=90° 又∵由（1）证得∠BAE=∠BCP ∴∠PAB+∠BCP=90 又∵∠ABC=90° ∴点A,P,C 三点共线， 即P 必在对角线AC 上.【总结升华】注意勾股定理及逆定理的灵活运用. 举一反三：【变式】如图，在四边形ABCD 中，AB=BC ，，K 为AB上一点，N为BC上一点.若的周长等于AB的2倍，求的度数.【答案】显然，绕点D顺时针方向旋转至6如图1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图2），量得它们的斜边长为10cm，较小锐角为30°，再将这两张三角纸片摆成如图3的形状，使点B、C、F、D在同一条直线上，且点C与点F重合（在图3～图6中统一用F表示）小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决.⑴将图3中的△ABF沿BD向右平移到图4的位置，使点B与点F 重合，请你求出平移的距离；⑵将图3中的△ABF绕点F顺时针方向旋转30°到图5的位置，A1F交DE于点G，请你求出线段FG的长度；⑶将图3中的△ABF沿直线AF翻折到图6的位置，AB1交DE于点H，请证明：AH=DH.【答案与解析】⑴平移的距离为5cm（即）⑵⑶证明：在△AHE与△DHB1中∴△AHE≌△DHB1（AAS）∴AH=DH.【总结升华】注意平移和旋转综合运用时找出不变量是解题的关键.。