源于Fermi—Pasta—Ulam问题的非线性发展方程的相似约化

非线代科学三大理论简单来说，非线性科学是一门研究各类系统中非线性现象共同规律的交叉学科。

每一门科学都有自己的非线性问题，并形成了各自的非线性学科分支。

非线性科学不是这些非线性学科的简单综合，而是以各个非线性学科为基础逐步发展起来的综合性科学，致力于研究各种非线性现象和非线性系统的共同规律。

线性系统有普遍适用的研究方法（如傅里叶变换法），而非线性系统却没有这样的方法。

目前，非线性科学形成了三个前沿理论：孤立子理论、分形理论和混沌理论，本文简要谈谈这三个理论。

孤立子（soliton）理论孤立波孤立子是从孤立波发展来的。

1834年8月，英国科学家罗素（Russell）在运河边看到一只迅速前进的船突然停止时，被船所推动的一大团水却不停止，形成一个滚圆、光滑、轮廓分明的大水包继续前进。

罗素骑马跟踪这个水包时发现，它完全浮在水面上，其大小、形状和速度变化很慢，直到3～4千米后才逐渐消失。

罗素将他发现的这种奇特的水波称为孤立波，并在其后半生专门从事孤立波的研究。

他用大水槽模拟运河，并给水以适当的推动，再现了他所发现的孤立波。

遗憾的是，在罗素的有生之年，无法从理论上对孤立波现象给出圆满解释，他所发现的孤立波现象也未能引起人们的注意。

就是著名的FPU问题，它与催生相对论的迈克尔逊－莫雷实验一样，被认为是对传统科学的有力挑战。

令人遗憾的是，Fermi等人当时并未能发现孤立波解，也未能得到正确解释。

经后人的进一步研究才得到了孤立波解，使FPU问题得以解决。

在随后的数值实验中，人们发现孤立波碰撞后仍保持原有的形状和速度，即像是“透明地”穿过对方，并与物质粒子的弹性碰撞一样，遵守动量守恒和能量守恒，因此可以把孤立波当做原子或分子那样的粒子看待，于是将这种具有粒子特性的孤立波称为“孤立子”（soliton），以此来描述这种具有粒子性质的孤立波。

孤立子概念的提出，开启了孤立子理论研究的新时代，各个领域的科学家们陆续对孤立子投入了巨大的热情和兴趣，已逐步形成了较为完整、系统的孤立子理论。

BZ反应||Belousov-Zhabotinski reaction, BZ reactionFPU问题||Fermi-Pasta-Ulam problem, FPU problemKBM方法||KBM method, Krylov-Bogoliubov-Mitropolskii method KS[动态]熵||Kolmogorov-Sinai entropy, KS entropyKdV 方程||KdV equationU形管||U-tubeWKB方法||WKB method, Wentzel-Kramers-Brillouin method[彻]体力||body force[单]元||element[第二类]拉格朗日方程||Lagrange equation [of the second kind] [叠栅]云纹||moiré fringe; 物理学称“叠栅条纹”。

[叠栅]云纹法||moiré method[抗]剪切角||angle of shear resistance[可]变形体||deformable body[钱]币状裂纹||penny-shape crack[映]象||image[圆]筒||cylinder[圆]柱壳||cylindrical shell[转]轴||shaft[转动]瞬心||instantaneous center [of rotation][转动]瞬轴||instantaneous axis [of rotation][状]态变量||state variable[状]态空间||state space[自]适应网格||[self-]adaptive meshＣ0连续问题||C0-continuous problemＣ1连续问题||C1-continuous problemＣＦＬ条件||Courant-Friedrichs-Lewy condition, CFL condition ＨＲＲ场||Hutchinson-Rice-Rosengren fieldＪ积分||J-integralＪ阻力曲线||J-resistance curveＫＡＭ定理||Kolgomorov-Arnol'd-Moser theorem, KAM theoremＫＡＭ环面||KAM torusｈ收敛||h-convergenceｐ收敛||p-convergenceπ定理||Buckingham theorem, pi theorem阿尔曼西应变||Almansis strain阿尔文波||Alfven wave阿基米德原理||Archimedes principle阿诺德舌[头]||Arnol'd tongue阿佩尔方程||Appel equation阿特伍德机||Atwood machine埃克曼边界层||Ekman boundary layer埃克曼流||Ekman flow埃克曼数||Ekman number埃克特数||Eckert number埃农吸引子||Henon attractor艾里应力函数||Airy stress function鞍点||saddle [point]鞍结分岔||saddle-node bifurcation安定[性]理论||shake-down theory安全寿命||safe life安全系数||safety factor安全裕度||safety margin暗条纹||dark fringe奥尔-索末菲方程||Orr-Sommerfeld equation奥辛流||Oseen flow奥伊洛特模型||Oldroyd model八面体剪应变||octohedral shear strain八面体剪应力||octohedral shear stress八面体剪应力理论||octohedral shear stress theory巴塞特力||Basset force白光散斑法||white-light speckle method摆||pendulum摆振||shimmy板||plate板块法||panel method板元||plate element半导体应变计||semiconductor strain gage半峰宽度||half-peak width半解析法||semi-analytical method半逆解法||semi-inverse method半频进动||half frequency precession半向同性张量||hemitropic tensor半隐格式||semi-implicit scheme薄壁杆||thin-walled bar薄壁梁||thin-walled beam薄壁筒||thin-walled cylinder薄膜比拟||membrane analogy薄翼理论||thin-airfoil theory保单调差分格式||monotonicity preserving difference scheme 保守力||conservative force保守系||conservative system爆发||blow up爆高||height of burst爆轰||detonation; 又称“爆震”。

非线性波动方程与孤子理论1. 引言非线性波动方程是研究波动现象中的一种重要数学模型，广泛应用于物理学、工程学和应用数学等领域。

而孤子理论则是针对非线性波动方程中一类特殊解的研究，孤子具有稳定且局部化的特征，因而成为了许多领域中颇受关注的研究对象。

2. 非线性波动方程的基本概念非线性波动方程描述了波动现象中的非线性效应，与线性波动方程相比，其解具有更为复杂的形式，可以出现孤子解、多孤子解等。

在非线性波动方程中，波动的传播速度与波动本身的性质有关，不同波动方程在模型和解的性质上有所差异。

3. 孤子的起源和基本特征孤子最早于1965年由俄罗斯物理学家佩恩列维-谢尔维桑诺夫提出，其起源于介质中的正负非线性效应相平衡时所出现的特殊解。

孤子具有稳定且局部化的特征，其传播过程中能量保持不变，并且不受干扰的影响。

孤子解不仅存在于非线性波动方程中，也存在于其他领域的方程中，如光学、声学和流体力学等。

4. 孤子的数学表达和求解方法孤子解的具体数学表达取决于非线性波动方程的形式。

对于某些具体的非线性波动方程，可以应用一些特定的方法进行求解，如Hirota方法、Darboux变换、Bäcklund变换等。

这些方法通过寻找方程的特殊解，从而获得孤子解的具体形式。

5. 孤子在实际应用中的重要性孤子理论在许多领域中具有重要的应用价值。

在光学中，孤子解可以用于描述光纤传输中的信号传播、光束调控等问题；在声学中，孤子解可以用于研究水声、地震波等现象；在流体力学中，孤子解可以用于研究水波、潮汐等问题。

孤子解的局部化特性使得其在信息传输、信号处理和数据存储等领域具有重要的应用前景。

6. 孤子理论的挑战与发展尽管孤子理论在许多领域中具有广泛应用，但仍然存在一些待解决的挑战。

一方面，随着应用领域的拓展，需要更加精确和高效的孤子解求解方法。

另一方面，需要进一步理论研究，深入探索更多类型的非线性波动方程，并对其孤子解进行深入研究，以满足实际问题的需求。

模拟试题模拟试卷一—.填空题（每空1分，共15分）1.自由大气中常取_______ 和_______ 二力平衡，而在边界层中还需要考虑______ 力的影响。

2.大气边界层由下到上分为_________ 、 ________ 和________ 三层。

3.根据雷诺平均有：AB =___________ ；A + B- _________ 。

4.常用的稳定度参数有两类，一类是从__________ 出发，以理查孙数Ri为代表；另一类是以_________ 为基础，以MoH0ii-O6yxoB（M-O）的相似理论最为完整。

5.由Kf（KJ = nS（n）可以说明在给定时刻，测得的 ________ 与空间固定点测得的______相同。

6.无量纲量口2=¥ = “因含L，可代表 ______________ o7.在近地层以上，风向随高度变化很大，地转偏向力的作用不可忽略，因而决定大气边界层中湍流状态高度分布的参数除 ________外，还应加上一个__________。

二.名词解释（每小题5分，共20分）1.大气边界层2.闭合问题3.中性层结4.通量理查逊数Rf三.简答题（每小题10分，共50分）1.边界层大气运动有哪些特征？2.简述近地层主要物理特征。

3.在强稳定层结中为什么z不是控制变量，即无z尺度？4.湍流达到充分发展状态时，其能谱可分为哪几个区？5.什么叫边界层的参数化问题？四.推导题（每小题15分，共15分）1.试根据基本方程，应用一定的假设条件，推导求解动量常值层的厚度he。

答案：（供参考）一.填空题（每空1分，共15分）1.自由大气中常取科氏力和气压梯度力二力平衡,而在边界层中还需要考虑湍流粘性力的影响。

2.大气边界层由下到上分为粘性副层、近地层（常通量层）和Ekman层（上部摩擦层）三层。

3.根据雷诺平均有：AB = AB+TF；A±B=A±B O4. 常用的稳定度参数有两类，一类是从湍流能量方程出发,以理查孙数Ri 为代表；另 一类是以相似理论、量纲分析 为基础,以MoHnn-O6yxoB （M-O ）的相似理论最为完整。

湖南师范大学硕士学位论文非线性薛定谔方程的孤子微扰理论及应用姓名：俞慧友申请学位级别：硕士专业：理论物理指导教师：颜家壬20050301摘要孤子理论是非线性科学中的一个十分重要的分支，它在物理学的许多领域中有着日益广泛的应用。

而孤子的微扰又是孤子理论中最有实用价值的重要内容之一．它大体可以分为两大类．一是建立在逆散射变换基础上的孤子微扰理论。

它在理论上有着重要的学术价值，但其思路较迂回曲折，数学计算较繁．另一种直接微扰论较为系统的方法是将孤子方程线性化后再按Ｊｏｓｔ函数的平方作微扰展开。

这两种方法均只适用于可积系统。

颜家壬教授近年来发展了一种基于分离变量法的孤子微扰理论法，它适用于可积和非可积系统，而且思路和计算较为简便．本人首先用此方法处理了自散焦非线性薛定谔方程的孤子微扰问题．一方面是由于问题的重要性，另一方面也是为丰富颜教授所发展的孤子微扰理论的内容，为它提供一个重要的实例．其次我们还用此方法处理了玻色一爱因斯坦凝聚中的亮孤子稳定性问题．全文共分为五章ｔ第一章简要介绍孤子的发展史以及孤子微扰问题的几种常用的方法，并指出这些方法存在的～些缺点，同时也叙述了我们方法的大致思路和主要特征．第二章给出了关于非线性薛定谔方程的微扰理论，并通过具体工作来说明我们的基于直接微扰理论的两种不同的思路方法．第三章简单的介绍和回顾ＢＥＣ理论的产生发展及实验研究过程，推导出了凝聚体宏观波函数满足的ＧＰ方程．然后讨论了ＢＥＣ中暗孤子和亮孤子的实验情况和理论研究现状．第四章本人基于直接微扰理论研究了ＢＥＣ中亮孤子的稳定性问题。

第五章为总结和展望．关键词：非线性薛定谔方程，孤子，微扰，玻色一爱因斯坦凝聚ＡＢＳＴＲＡＣＴＳｏｌｉｔｏｎｔｈｅｏｒｙｉＳｏｎｅｏｆｔｈｅｉｍｐｏｒｔａｎｔｂｒａｎｃｈｅｓｏｆｎＯｎｌｉｎｅａｒｓｃｉｅｎｅｅＩｔｈａｓｃｒｅｓｃｅｎｔａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｉｎｍａｎｙｆｉｅｌｄｓ．Ｔｉｌｅｓｏｆｔｅｎｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎｐｒｏｂｌｅｍｉｓａｎｉｍｐｏｒｔａｎｔｐａｒｔｏｆｔｈｅｓｏｌｉｔｏｎｔｈｅｏｒｙ．Ｉｔｅｘｉｓｔｓｉｎａｌａｒｇｅｎｕｍｂｅｒｏｆｒｅａｌｎｏｎｌｉｎｅａｒｓｙｓｔｅｍｓａｎｄｃａｌｌｂｅｒｏｕｇｈｌｙｄｉｖｉｄｅｄｔｏｔｗｏｋｉｎｄｓ．Ｏｎｅｉｓｂａｓｅｄｏｎｔｈｅｉｎｖｅｒｓｅｓｃａｔｔｅｒｉｎｇｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ（ＩＳＴ）ｗｈｉｃｈｈａｓｉｍｐｏｒｔａｎｔｌｅａｒｎｉｎｇｖａｌｕｅ．ＢｕｔｔｈｉｓｔｅｃｈｎｉｑｕｅｉＳｉｎｃｏｎｖｅｎｉｅｎｔｔｏｔｈｏｓｅｗｈｏａｒｅｎｏｔｆａｍｉｌｉａｒｗｉｔｈＩＳＴ．ＡｎｏｔｈｅｒｉｓｔｈｅｄｉｒｅｃｔｍｅｔｈｏｄｗｈｅｒｅｔｈｅｓｑｕａｒｅｄＪｅｓｔｓｏｌｕｔｉｏｎｓ＆ｒｅｅｍｐｌｏｙｅｄａｓｔｈｅｂａｓｉｓｆｏｒｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎｅｘｐａｎｓｉｏｎａｆｔｅｒｓｏｌｉｔｏｎｅｑａｔｉｏｎｂｅｅｎｌｉｎｅａｒｅｄ．Ｔｈｅｙａｒｅｊｕｓｔａｐｐｌｉｃａｂｌｅｔｏｉｎｔｅｇｒａｌｓｙｓｔｅｍｓ．ＰｒｏｆｅｓｓｏｒＪｉａｒｅｎＹａｎ，ｗｈｏｉｓｍｙｔｈｅｓｉｓｓｕｐｅｒｖｉｓｏｒ，ｈａｄｄｅｖｅｌｏｐｅｄａｄｉｒｅｃｔａｐｐｒｏａｃｈｏｆｔｈｅｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎｔｈｏｅｒｙｂａｓｅｄｏｎｓｅｐａｒａｔｉｎｇｖａｒｉａｂｌｅｔｅｃｈｎｉｑｕｅ，ｗｈｉｃｈｉｓａｐｐｌｉｃａｂｌｅｔｏｂｏｔｈｉｎｔｅｇｒａｂｌｅａｎｄｕｎｉｎｔｅｇｒａｌｓｙｓｔｅｍｓ．Ｉｔｉｓｍｏｒｅｓｉｍｐｌｅａｎｄｃｏｎｖｅｎｉｅｎｔｉｎｍｅｔｈｏｄａｎｄｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ．ＩｔａｃｋｌｅｔｈｅｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎｐｒｏｂｌｅｍｏｆｔｈｅｎｏｎｌｉｎｅａｒＳｃｈｒｈｄｉｎｇｃｒｅｑｕａｔｉｏｎｂｅｃａｕｓｅｏｆｉｔｓｉｍｐｏｒｔａｎｃｅ．Ａｔｔｈｅｓａｎ２ｃｔｉｍｅ，ｉｔｅｎｒｉｃｈｅｄｔｈｅｓｏｌｉｔｏｎｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎｔｈｏｅｒｙｏｆＰｒｏｆｅｓｓｏｒＹａｕａｎｄｏｆｆｅｒｅｄｉｍｐｏｒｔａｎｔｅｘａｍｐｌｅｓ．Ｎｅｘｔ，ＩｓｔｕｄｉｅｄｔｈｅｓｔａｂｉｌｉｔｙｏｆｂｒｉｇｈｔｓｏｌｉｔｏｎｓｉｎＢｏｓｅ－Ｅｉｎｓｔｅｉｎｃｏｎｄｅｎｓａｔｅｂａｓｅｄｏｎｔｈｃｄｉｒｅｃｔａｐｐｒｏａｃｈ．Ｔｈｉｓｔｈｅｓｉｓｃｏｎｓｉｓｔｓｏｆｆｉｖｅｃｈａｐｔｅｒｓ．Ｔｈｅｆｉｒｓｔｃｈａｐｔｅｒｈａｓｔｗｏｐａｒｔｓ．Ｆｉｒｓｔｊｗｅｂｒｉｅｆｌｙｉｎｔｒｏｄｕｃｅｔｈｅｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔｈｉｓｔｏｒｙｏｆｔｈｅｓｏｌｉｔｏｎａｎｄｄｉｓｃｕｓｓｓｏｍｅｇｅｎｅｒａｌａｐｐｒｏａｃｈｅｓｔｏｄｅａｌｗｉｔｈｔｈｅｓｏｌｉｔｏｎｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎｐｒｏｂｌｅｍｓ，ａｎｄｐｏｉｎｔｏｕｔｓｏｍｅｄｒａｗｂａｃｋｓｏｆｔｈｅｓｅａｐｐｒｏａｃｈｅｓ．Ｓｅｃｏｎｄｌｙ，ｗｅｐｒｅｓｅｎｔｔｈｅｇｅｎｅｒａｌｐｒｏ－ｃｅｄｕｒｅｏｆｏｕｒａｐｐｒｏａｃｈａｎｄｉｔｓｍａｊｏｒｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ．Ｉｎｔｈｅｓｅｃｏｎｄｃｈａｐｔｅｒ，ｗｅｅｓｔａｂｌｉｓｈｔｈｅｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎｔｈｅｏｒｙｆｏｒｔｈｅｎｏｎｌｉｎｅａｒＳｃｈｒｈｄｉｎｇｅｒｅｑｕａｔｉｏｎ，ａｎｄｓｔｕｄｙｉｔｓｓｐｅｃｉｆｉｃｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ．Ｗｅｗｉｌｌｅｘｐｌａｉｎｔｈｅｔｗｏｄｉｆｆｅｒｅｎｔａｐｐｒｏａｃｈｅｓ，ｗｈｉｃｈａｒｅｂａｓｅｄｏｎｔｈｅｄｉｒｅｃｔａｐｐｒｏａｃｈｔｈｒｏｕｇｈｔｈｅｗｏｒｋｔｈａｔｗｅｈａｖｅｄｏｎｅ．ＩｎｔｈｅｔｈｉｒｄｃｈａｐｔｅｒｗｅｂｒｉｅｆｌｙｉｎｔｒｏｄｕｃｅｔｈｅｆｏｒｍａｔｉｏｎａｎｄｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔｏｆＢｏｓｅ－Ｅｉｎｓｔｅｉｎｃｏｎｄｅｎｓａｔｉｏｎ’ｓｔｈｅｏｒｙａｎｄｉｔ’Ｓｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓ．ＴｈｅｎｗｅｄｅｒｉｖｅｔｈｅｎｏｎｌｉｎｅａｒＧｒｏｓｓ．Ｐｉｔａｅｖａｓｋｉｉｅｑｕａｔｉｏｎｔｈａｔｓａｔｉｓｆｉｅｓｔｈｅｃｏｎｄｅｎｓａｔｅｍａｃｒｏｓｃｏｐｉｃｗａｖｅｆｕｎｃｔｉｏｎ．Ａｔｔｈｅｅｎｄｏｆｔｈｉｓｃｈａｐｔｅｒ，ｗｅｄｉｓｃｕｓｓｔｈｅｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌｓｔｕｄｉｅｓａｎｄｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓｇｄａｒｋｓｏｌｉｔｏｎｓａｎｄｈｉ痨ｔｓｏｌＪｔｏｎｓ啦转锱争冀ｉ魏髓ｅ啦ｃ。

第四章自然界非线性动力学系统与电路模拟本章是上一章的继续，讲述各种类型的单元非线性电路，不同的是上一章的电路来源于电子电路内部，本章则来源于自然界的其它动力系统。

非线性科学是跨学科的综合自然科学，非线性电路是非线性科学中的一个部分，现代非线性电路科学既要从其它非线性学科中借鉴经验与吸收成果，将它们的知识充实自己的专业领域，又要将电子电路的经验与成果应用到整个非线性学科中。

在这里，其它非线性动力系统的电路模拟仍然具有一定的意义，而不仅仅是玩玩电路游戏而已，这要从两个方面来看。

第一，通过电路模拟，使得其它非线性动力系统的某些不易观察的现象用电路模拟形象化地显示出来，例如圆周映射复杂现象的显示; 还能节约被模拟系统的实验成本，例如某些量子效应实验。

第二，非线性动力系统的电路模拟结果能够直接应用于非线性电路系统，例如描述大气运动的洛伦茨方程能够应用于混沌保密通信。

所以电路模拟既体现电路研究的成果与贡献，又体现电路研究对于其它学科的知识吸收。

非线性动力系统电路模拟的内容非常丰富，本章仅举几个实例，读者完全能够使用这一思想实现自己需要的电路模拟。

第一节自然界与自然科学的非线性系统由于非线性自然现象的客观存在性与自然科学工作者的研究积极性，非线性科学的发展来势凶猛，使得电子学学科的非线性研究如火如荼。

非线性科学是典型的交叉科学，非线性电路的研究与其它学科的非线性研究已经完全融为一体。

就目前来看，非线性研究整体发展很快且规模很大的学科有数学、物理学、经济学、社会学、生物学、生态学、生理学与医学、机械工程学等，在这一切的发展中电子计算机的应用起着举足轻重的作用。

非线性电子学的发展很有特色，它一方面及时地借鉴其它学科的成功经验促进本学科的发展，另一方面积极地把自己的成果推广应用到其它学科中去，使非线性电子学具有特别重要的地位，这已经被近期历史所证明。

数学永远是人类取之不尽用之不竭的知识源泉，而电子学（包括电工学）从中获得所需也为之有所贡献。