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2000年真题
1．（14分）设f (x),g (x),h (x)都是数域P 上的一元多项式，并且满足：
4(1)()(1)()(2)()0x f x x g x x h x ++-+-= （1） 4(1)()(1)()(2)()0
x f x x g x x h x +++++= （2）
证明：4
1x +能整除()g x 。
2．（14分）设A 是n ⨯r 的矩阵，并且秩（A ）= r ，B ，C 是r ⨯m 矩阵，并且AB=AC ，证明：B=C 。
3（15分）求矩阵
3
21222361A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭
的最大的特征值0λ，并且求A 的属于0λ的特征子空间的一组基。
４(14分)设⨯-2,3,-1是33矩阵Ａ的特征值，计算行列式611n
A A E -+3．
５(14分)设A,B 都是实数域R 上的n n ⨯矩阵,证明:AB,BA 的特征多项式相等． 证明：要证明AB,BA 的特征多项式相等，只需证明：E A E B
λλ-=-
６．(14分)设A 是n n ⨯实对称矩阵,证明：
257n A A E -+是一个正定矩阵．
证明：A 是实对称矩阵，则Ａ的特征值均为实数．
７．(15分)设A 是数域P 上的n 维线性空间V 的一个线性变换,设1
,n V A
α-∈≠使0,但是()n A α=0,其中n>1．证明：
21{,,,
,}n A A A αααα-是Ｖ的一组基．并且求线性变换Ａ在此基下的矩阵，以及Ａ的核的维数．
2000年真题答案
1、证明：1
(2)(1):2()4()
0()()2g x h x h x g x -+=⇒=- （3）
将（3）带入（1）中，得到：4
1(1)()()2
x f x xg x +=-
441()x x x g x ∴++1与互素，．
注：本题也可以把g,h 作为未知量对线性方程求解，用克莱姆法则导出结果。
2、证明：
,()0.AB AC A B C =∴-=
(),A n r R A r A ⨯=∴是的矩阵,是列满秩的矩阵，即方程0AX =只有零解． 0,B C B C
∴-==即
3、解：()
()2
24E A λλλ-=-+，02λ∴=
当02λ=时，求出线性无关的特征向量为()()1210101
2ξξ==，，＇，，，＇， 则()120,,L
ξξλ构成的特征子空间12ξξ，是0λ的特征子空间的一组基．
4、解：
⨯-2,3,-1是33矩阵Ａ的特征值，不妨设1232,3,1,λλλ=-==-
则矩阵611n A A E -+3对应的特征值为：12315,20,16ξξξ===
故
6111520164800n A A E -+=⨯⨯=3
5、利用构造法，设0λ≠，令1
E B H A
E
λ=，
1101
0E B
E E
B A E A E E AB λ
λλ⎛
⎫
⎛
⎫ ⎪⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪
⎪
- ⎪ ⎪⎝⎭-
⎪
⎝⎭⎝
⎭
，两边取行列式得 1
1
()n H E AB E AB
λλ
λ
=-
=-．（１）
11100E E B E BA B A E A E E λλλ⎛⎫⎛
⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，两边取行列式得
1
1
()n H E BA E BA
λλ
λ
=-
=-．（２）
由（１），（２）两式得1
(
)n E AB
λλ
-＝1
(
)n E BA
λλ
-
E AB E BA λλ∴-=-．（３） 上述等式是假设了0λ
≠，但是（３）式两边均为λ的n 次多项式，有无穷多个值使它们成立（0λ≠），从而一定是恒等式．
注：此题可扩展为Ａ是m n ⨯矩阵，Ｂ是n m ⨯矩阵，ＡＢ，ＢＡ的特征多项式有如下关系：n
m m n E AB E BA λλλλ-=-，这
个等式也称为薛尔佛斯特（Sylvester ）公式．
6、设λ为Ａ的任意特征值，则257n A A E -+的特征值为2
2
5
3
57()02
4
ξλλλ=-+=-+
>． 故
257n A A E -+是一个正定矩阵．
7、证明：
1n n A A α-≠0,=0.令()()10110n n l l A l A ααα--++
+=．（１）
用
1n A -左乘（１）式两边，得到10()0n l A α-=． 由于
1n A -≠0，00l ∴=，带入（１）得()()1110n n l A l A αα--++=．（２）
再用
2n A -左乘（２）式两端，可得10l =．
这样继续下去，可得到0110n l l l -====．
21,,,,n A A A αααα-∴线性无关． 21,,,
,)n A A A A αααα-(＝21,,,
,)n A A A αααα-(0000100001000010⎛
⎫
⎪ ⎪ ⎪
⎪
⎪ ⎪⎝
⎭
．
∴Ａ在此基下的矩阵为00
001
00001000010⎛⎫
⎪
⎪ ⎪
⎪
⎪ ⎪⎝⎭
， 可见,()1R A n =-,dimker (1)1A n n ∴=--=
即A 的核的维数为1．
